Svārstības un viļņi. Harmoniskās svārstības Formulas svārstību amplitūdas atrašanai

4.2. Sadaļas "svārstības un viļņi" jēdzieni un definīcijas

Harmonisko vibrāciju vienādojums un tā risinājums:

, x=Acos(ω 0t+α ) ,

A– svārstību amplitūda;

α – svārstību sākuma fāze.

Materiāla punkta svārstību periods, kas svārstās elastīga spēka ietekmē:

Kur m– materiāla punkta masa;

k– stinguma koeficients.

Matemātiskā svārsta svārstību periods:

Kur l– svārsta garums;

g= 9,8 m/s 2 – brīvā kritiena paātrinājums.

Vibrāciju amplitūda, kas iegūta, pievienojot divas vienādi virzītas harmoniskās vibrācijas:

Kur A 1 un A 2 – vibrācijas komponentu amplitūdas;

φ 1 un φ 2 ir svārstību komponentu sākotnējās fāzes.

Sākotnējā svārstību fāze, kas iegūta, pievienojot divas vienādi virzītas harmoniskās svārstības:

.

Slāpēto svārstību vienādojums un tā atrisinājums:

, ,

– slāpēto svārstību biežums,

šeit ω 0 ir svārstību dabiskā frekvence.

Logaritmiskā slāpēšanas samazināšanās:

kur β ir vājinājuma koeficients;

– slāpētu svārstību periods.

Svārstību sistēmas kvalitātes faktors:

kur θ ir logaritmiskais vājinājuma samazinājums

Piespiedu svārstību vienādojums un tā līdzsvara stāvokļa risinājums:

, x=A cos (ω t-φ ),

Kur F 0 – spēka amplitūdas vērtība;

– slāpēto svārstību amplitūda;

φ= - sākuma fāze.

Rezonanses frekvence:

,

kur ω 0 – svārstību dabiskā cikliskā frekvence;

β ir vājinājuma koeficients.

Slāpētas elektromagnētiskās svārstības ķēdē, kas sastāv no kapacitātesC, induktivitāteLun pretestībaR:

,

Kur q– uzlāde uz kondensatora;

q m– kondensatora lādiņa amplitūdas vērtība;

β = R/2L- vājinājuma koeficients,

Šeit R– ķēdes pretestība;

L– spoles induktivitāte;

– svārstību cikliskā frekvence;

šeit ω 0 – svārstību dabiskā frekvence;

α – svārstību sākuma fāze.

Elektromagnētisko svārstību periods:

,

Kur AR– kondensatora ietilpība;

L– spoles induktivitāte;

R- ķēdes pretestība.

Ja ķēdes pretestība ir maza, tad ( R/2L) 2 <<1/L.C., tad svārstību periods:

Viļņa garums:

Kur v – viļņu izplatīšanās ātrums;

T– svārstību periods.

Plaknes viļņu vienādojums:

ξ =A cos (ω t-kx),

Kur A- amplitūda;

ω – cikliskā frekvence;

- viļņa numurs.

Sfēriskā viļņa vienādojums:

,

Kur A- amplitūda;

ω – cikliskā frekvence;

k– viļņa numurs;

r– attālums no viļņa centra līdz apskatāmajam punktam vidē.

? Brīvas harmoniskas svārstības ķēdē

Ideāla ķēde ir elektriskā ķēde, kas sastāv no kondensatora, kas virknē savienots ar kapacitāti AR un induktori L. Saskaņā ar harmonikas likumu mainīsies spriegums uz kondensatora plāksnēm un strāva induktīvā.

? Harmoniskais oscilators. Pavasara, fizikālie un matemātiskie svārsti, to svārstību periodi

Harmoniskais oscilators ir jebkura fiziska sistēma, kas svārstās. Klasiskie oscilatori - atsperes, fizikālie un matemātiskie svārsti. Pavasara svārsts - masas masa m, kas piekārts uz pilnīgi elastīgas atsperes un veic harmoniskas svārstības elastīga spēka iedarbībā. T= . Fiziskais svārsts ir stingrs patvaļīgas formas ķermenis, kas gravitācijas ietekmē svārstās ap horizontālu asi, kas neiet cauri tā smaguma centram. T= . Matemātiskais svārsts ir izolēta sistēma, kas sastāv no materiāla punkta ar masu m, piekārts uz neizstiepjama bezsvara vītnes garumā L, un svārstās gravitācijas ietekmē. T= .

? Brīvas neslāpētas mehāniskās vibrācijas (vienādojums, ātrums, paātrinājums, enerģija). Harmonisko vibrāciju grafiskais attēlojums.

Svārstības tiek sauktas par brīvām, ja tās rodas sākotnēji piešķirtās enerģijas dēļ, kam vēlāk nav ārējas ietekmes uz svārstību sistēmu. Vērtība mainās saskaņā ar sinusa vai kosinusa likumu. , S- nobīde no līdzsvara stāvokļa, A– amplitūda, w 0 - cikliskā frekvence, – svārstību sākuma fāze. Ātrums, paātrinājums. Pilna enerģija - E= . Grafiski - izmantojot sinusa vai kosinusa vilni.

? Svārstību procesu jēdziens. Harmoniskās svārstības un to raksturojums. Svārstību periods, amplitūda, frekvence un fāze. Harmonisko vibrāciju grafiskais attēlojums.

Periodiskus procesus, kas laika gaitā atkārtojas, sauc par svārstībām. Periodiskās svārstības, kurās ķermeņa koordinātas laika gaitā mainās saskaņā ar sinusa vai kosinusa likumu, sauc par harmoniskām. Periods ir vienas svārstības laiks. Amplitūda ir punkta maksimālā nobīde no tā līdzsvara stāvokļa. Frekvence ir pilnīgu svārstību skaits laika vienībā. Fāze ir daudzums zem sinusa vai kosinusa zīmes. Vienādojums: , Šeit S- lielums, kas raksturo oscilējošas sistēmas stāvokli - cikliskā frekvence. Grafiski - izmantojot sinusa vai kosinusa vilni.

? Slāpētas svārstības. Šo svārstību diferenciālvienādojums. Logaritmiskā slāpēšanas samazināšanās, relaksācijas laiks, kvalitātes faktors.

Svārstības, kuru amplitūda laika gaitā samazinās, piemēram, berzes dēļ. Vienādojums: , Šeit S- lielums, kas raksturo svārstību sistēmas stāvokli, - cikliskā frekvence, - slāpēšanas koeficients. Logaritmiskās slāpēšanas samazināšanās, kur N– amplitūdas samazināšanās laikā pabeigto svārstību skaits N vienreiz. Relaksācijas laiks t - kura laikā amplitūda samazinās par e reizes. Kvalitātes koeficients Q= .

? Neslāpētas piespiedu svārstības. Šo svārstību diferenciālvienādojums. Kas ir rezonanse? Piespiedu svārstību amplitūda un fāze.

Ja svārstību enerģijas zudumi, kas izraisa to slāpēšanu, ir pilnībā kompensēti, tiek izveidotas neslāpētas svārstības. Vienādojums: . Šeit labajā pusē ir ārējā ietekme, kas mainās saskaņā ar harmonikas likumu. Ja sistēmas dabiskā svārstību frekvence sakrīt ar ārējo, rodas rezonanse - straujš sistēmas amplitūdas pieaugums. Amplitūda , .

? Aprakstiet viena virziena un vienādas frekvences vibrāciju, savstarpēji perpendikulāru vibrāciju pievienošanu. Kas ir bīti?

Iegūto svārstību amplitūda, kas rodas, saskaitot divas vienāda virziena un vienādas frekvences harmoniskas svārstības, ir šeit A– amplitūdas, j – sākuma fāzes. Iegūto svārstību sākotnējā fāze . Savstarpēji perpendikulāras svārstības - trajektorijas vienādojums , Šeit A Un IN pievienoto svārstību amplitūdas, j-fāžu starpība.

? Aprakstiet relaksācijas svārstības; pašsvārstības.

Relaksācija - pašsvārstības, kas pēc formas krasi atšķiras no harmoniskajām, ko izraisa ievērojama enerģijas izkliede pašsvārstību sistēmās (berze mehāniskās sistēmās). Pašsvārstības ir neslāpētas svārstības, ko atbalsta ārējie enerģijas avoti, ja nav ārēja mainīga spēka. Atšķirība no piespiedu ir tāda, ka pašsvārstību frekvenci un amplitūdu nosaka pašas svārstību sistēmas īpašības. Tās atšķiras no brīvajām svārstībām – tās atšķiras ar amplitūdas neatkarību no laika un no sākotnējās īstermiņa ietekmes, kas ierosina svārstību procesu. Pašoscilējošas sistēmas piemērs ir pulkstenis.

? Viļņi (pamatjēdzieni). Garenvirziena un šķērsviļņi. Stāvvilnis. Viļņa garums, tā saistība ar periodu un frekvenci.

Vibrāciju izplatīšanās procesu telpā sauc par vilni. Virziens, kurā vilnis pārnes vibrācijas enerģiju, ir virziens, kurā vilnis pārvietojas. Garenvirziena - vides daļiņu svārstības notiek viļņu izplatīšanās virzienā. Šķērsvirziena - vides daļiņu vibrācijas notiek perpendikulāri viļņa izplatīšanās virzienam. Stāvviļņu veido superpozīcija diviem ceļojošiem viļņiem, kas izplatās viens pret otru ar vienādām frekvencēm un amplitūdām, un šķērsviļņu gadījumā ar tādu pašu polarizāciju. Viļņa garums ir attālums, ko vilnis noiet vienā periodā. (viļņa garums, v- viļņu ātrums, T- svārstību periods)

? Viļņu superpozīcijas (pārklājuma) princips. Grupas ātrums un tā saistība ar fāzes ātrumu.

Superpozīcijas princips - kad lineārā vidē izplatās vairāki viļņi, katrs izplatās tā, it kā citu viļņu nebūtu, un rezultātā iegūtā vides daļiņas nobīde jebkurā brīdī ir vienāda ar daļiņu nobīdi ģeometrisko summu. saņemt, piedaloties katrā no viļņu veidojošajiem procesiem. Grupas ātrums ir viļņu grupas kustības ātrums, kas katrā telpā veido lokalizētu viļņu paketi. Viļņa fāzes kustības ātrums ir fāzes ātrums. Neizkliedētā vidē tie sakrīt.

? Elektromagnētiskais vilnis un tā īpašības. Elektromagnētisko viļņu enerģija.

Elektromagnētiskais vilnis – elektromagnētiskās svārstības, kas izplatās telpā. Eksperimentāli ieguva Hertz 1880. gadā. Īpašības - var izplatīties vidē un vakuumā, vakuumā vienāds ar c, vidē mazāk, šķērsvirzienā, E Un B savstarpēji perpendikulāri un perpendikulāri izplatīšanās virzienam. Intensitāte palielinās, palielinoties izstarojošās lādētās daļiņas paātrinājumam, noteiktos apstākļos parādās tipiskas viļņu īpašības - difrakcija utt. Tilpuma enerģijas blīvums .

Optika

Optikas pamatformulas

Gaismas ātrums vidē:

Kur c– gaismas ātrums vakuumā;

n– vides refrakcijas indekss.

Optiskā gaismas viļņa ceļa garums:

L = ns,

Kur s– gaismas viļņa ģeometriskā ceļa garums vidē ar laušanas koeficientu n.

Optiskā ceļa atšķirība starp diviem gaismas viļņiem:

∆ = L 1 – L 2 .

Fāzu starpības atkarība no optiskās atšķirības gaismas viļņu ceļā:

kur λ ir gaismas viļņa garums.

Nosacījumi maksimālai gaismas pastiprināšanai traucējumu laikā:

∆ = kλ ( = 0, 1, 2, …) .

Nosacījumi maksimālai gaismas vājināšanai:

Optiskā atšķirība gaismas viļņu ceļā, kas rodas, monohromatiskajai gaismai atstarojot no plānas plēves:

∆ = 2d ,

Kur d– plēves biezums;

n– plēves refrakcijas indekss;

es i– gaismas laušanas leņķis filmā.

Gaismas rādiuss Ņūtona gredzeni atstarotā gaismā:

r k = , (k = 1, 2, 3, …),

Kur k– gredzena numurs;

R– izliekuma rādiuss.

Ņūtona tumšo gredzenu rādiuss atstarotajā gaismā:

r k = .

Staru novirzes leņķi φ, kas atbilst maksimumam (gaismas joslai) difrakcijas laikā par vienu spraugu, nosaka no stāvokļa

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

Kur a– spraugas platums;

k– maksimuma sērijas numurs.

Stūrisφstaru novirzi, kas atbilst maksimumam (gaismas josla) gaismas difrakcijas laikā uz difrakcijas režģa, nosaka no stāvokļa

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

Kur d– difrakcijas režģa periods.

Difrakcijas režģa izšķirtspēja:

R= = kN,

kur ∆λ ir mazākā divu blakus esošo spektra līniju (λ un λ+∆λ) viļņu garumu atšķirība, pie kuras šīs līnijas var redzēt atsevišķi ar šo režģi iegūtajā spektrā;

N– kopējais režģa spraugu skaits.

Vulfa – Brega formula:

2d grēks θ = κ λ,

kur θ ir izkliedes leņķis (leņķis starp paralēla rentgena starojuma kūļa virzienu, kas krīt uz kristālu, un atoma plakni kristālā);

d ir attālums starp kristāla atomu plaknēm.

Brūstera likums:

iedegums ε B=n 21 ,

kur ε B– krišanas leņķis, kurā no dielektriķa atstarotais stars ir pilnībā polarizēts;

n 21 – otrās vides relatīvais refrakcijas indekss attiecībā pret pirmo.

Malusa likums:

es = es 0 cos 2 α ,

Kur es 0 – plaknes polarizētās gaismas intensitāte, kas krīt uz analizatoru;

es– šīs gaismas intensitāte pēc analizatora;

α ir leņķis starp analizatorā krītošā gaismas elektriskā vektora svārstību virzienu un analizatora caurlaidības plakni (ja krītošās gaismas elektriskā vektora svārstības sakrīt ar šo plakni, tad analizators raida šo gaismu bez vājināšanās).

Monohromatiskās gaismas polarizācijas plaknes griešanās leņķis, kad tā iet cauri optiski aktīvai vielai:

a) φ = αd(cietās vielās),

Kur α – rotācijas konstante;

d– gaismas noietā ceļa garums optiski aktīvā vielā;

b) φ = [α]pd(šķīdumos),

Kur [α] – īpatnējā rotācija;

lpp– optiski aktīvās vielas masas koncentrācija šķīdumā.

Viegls spiediens normālā stāvoklī uz virsmas:

,

Kur Viņa– enerģijas apgaismojums (izstarojums);

ω – tilpuma starojuma enerģijas blīvums;

ρ – atstarošanas koeficients.

4.2. Sadaļas “optika” jēdzieni un definīcijas

? Viļņu traucējumi. Saskaņotība. Maksimālie un minimālie nosacījumi.

Interference ir koherentu viļņu savstarpēja nostiprināšanās vai pavājināšanās, kad tie ir uzlikti (koherenti - ar vienādu garumu un nemainīgu fāzu starpību to superpozīcijas punktā).

Maksimums ;

minimums .

Šeit D ir optiskā ceļa starpība, l ir viļņa garums.

? Huygens-Fresnel princips. Difrakcijas fenomens. Spraugas difrakcija, difrakcijas režģis.

Huygens-Fresnel princips - katrs telpas punkts, ko izplatošs vilnis ir sasniedzis noteiktā laika brīdī, kļūst par elementāru koherentu viļņu avotu. Difrakcija ir viļņu liece ap šķēršļiem, ja šķēršļa izmērs ir salīdzināms ar viļņa garumu, gaismas novirze no taisnvirziena izplatīšanās. Spraugas difrakcija ir paralēlos staros. Plaknes vilnis krīt uz šķērsli; difrakcijas modeli novēro uz ekrāna, kas atrodas savācējlēcas fokusa plaknē, kas uzstādīta gaismas ceļā, kas iet caur šķērsli. Ekrāns rada attāla gaismas avota “difrakcijas attēlu”. Difrakcijas režģis ir vienāda platuma paralēlu spraugu sistēma, kas atrodas vienā plaknē un ir atdalītas ar vienāda platuma necaurspīdīgām telpām. Izmanto, lai sadalītu gaismu spektrā un izmērītu viļņu garumus.

? Gaismas izkliede (normāla un patoloģiska). Bouguer likums. Absorbcijas koeficienta nozīme.

Gaismas izkliede - vielas absolūtā laušanas koeficienta atkarība n uz vielu krītošās gaismas frekvenci ν (vai viļņa garumu λ). Gaismas ātrums vakuumā nav atkarīgs no frekvences, tāpēc vakuumā nav izkliedes. Normāla gaismas izkliede - ja laušanas koeficients monotoni palielinās, palielinoties frekvencei (samazinās, palielinoties viļņa garumam). Anomāla dispersija - ja refrakcijas indekss monotoni samazinās, palielinoties frekvencei (palielinās, palielinoties viļņa garumam). Izkliedes sekas ir baltās gaismas sadalīšanās spektrā, kad tā tiek lauzta vielā. Gaismas absorbciju vielā apraksta Bugūra likums

es 0 un es– plakana monohromatiskā gaismas viļņa intensitāte pie biezuma absorbējošās vielas slāņa ievades un izejas X, a ir absorbcijas koeficients, ir atkarīgs no viļņa garuma un ir atšķirīgs dažādām vielām.

? Ko sauc par viļņu polarizāciju? Polarizētu viļņu iegūšana. Malusa likums.

Polarizācija sastāv no šķērsviļņu svārstību virziena preferenciālas orientācijas iegūšanas. Sakārtotība elektromagnētiskā viļņa elektriskā un magnētiskā lauka intensitātes vektoru orientācijā plaknē, kas ir perpendikulāra gaismas stara izplatīšanās virzienam. E , B - perpendikulāri. Dabisko gaismu var pārvērst polarizētā gaismā, izmantojot polarizatorus. Malusa likums ( es 0 – iziet cauri analizatoram, es– izvadīts caur polarizatoru).

? Daļiņu-viļņu duālisms. De Broglie hipotēze.

Vēsturiski ir izvirzītas divas gaismas teorijas: korpuskulāri - gaismas ķermeņi izstaro korpuskulāras daļiņas (pierādījums - melnā ķermeņa starojums, fotoelektrisks efekts) un vilnis - gaismas ķermenis rada elastīgas vibrācijas vidē, izplatoties kā skaņas viļņi gaisā (pierādījumi - gaismas traucējumu, difrakcijas, polarizācijas parādības). Broglija hipotēze - daļiņu-viļņu īpašības ir raksturīgas ne tikai fotoniem, bet arī daļiņām, kurām ir miera masa - elektroniem, protoniem, neitroniem, atomiem, molekulām. ? Foto efekts. Einšteina vienādojums.

Fotoelektriskais efekts ir gaismas un vielas mijiedarbības parādība, kuras rezultātā fotonu enerģija tiek pārnesta uz vielas elektroniem. Vienādojums: (fotonu enerģija tiek tērēta elektrona darba funkcijai un elektronam piešķirot kinētisko enerģiju)

Periods.

Periods T Laika periodu, kurā sistēma veic vienu pilnīgu svārstību, sauc:

N- pilnīgu svārstību skaits vienā laikā t.

Biežums.

Frekvence ν - svārstību skaits laika vienībā:

Frekvences mērvienība ir 1 hercs (Hz) = 1 s -1

Cikliskā frekvence:

Harmonisko vibrāciju vienādojums:

x- ķermeņa pārvietošana no stāvokļa. X m- amplitūda, tas ir, maksimālā nobīde, (ω t+ φ 0) ir svārstību fāze, Ψ 0 ir tās sākuma fāze.

Ātrums.

Ja φ 0 = 0:

Paātrinājums.

Ja φ 0 = 0:

Brīvas vibrācijas.

Brīvās vibrācijas ir tās, kas rodas mehāniskā sistēmā (oscilatorā) ar vienu novirzi no līdzsvara stāvokļa, kuru dabiskā frekvence ω 0, ko nosaka tikai sistēmas parametri, un laika gaitā samazinās berzes klātbūtnes dēļ.

Matemātiskais svārsts.

Biežums:

l- svārsta garums, g- gravitācijas paātrinājums.

Svārstam ir maksimālā kinētiskā enerģija brīdī, kad tas šķērso līdzsvara stāvokli:

Pavasara svārsts.

Biežums:

k- atsperes stīvums, m- kravas masa.

Svārstam ir maksimālā potenciālā enerģija pie maksimālās nobīdes:

Piespiedu vibrācijas.

Piespiedu svārstības ir tās, kas rodas svārstību sistēmā (oscilatorā) periodiski mainīga ārējā spēka ietekmē.

Rezonanse.

Rezonanse - straujš amplitūdas pieaugums X m piespiedu svārstības, kad virzošā spēka frekvence ω sakrīt ar sistēmas dabisko svārstību frekvenci ω 0.

Viļņi.

Viļņi ir vielas (mehāniskās) vai lauku (elektromagnētiskās) vibrācijas, kas laika gaitā izplatās telpā.

Viļņu ātrums.

Viļņu izplatīšanās ātrums υ ir vibrācijas enerģijas pārraides ātrums. Šajā gadījumā vides daļiņas svārstās ap līdzsvara stāvokli, nevis kustas kopā ar vilni.

Viļņa garums.

Viļņa garums λ ir attālums, kādā svārstības izplatās vienā periodā:

Viļņa garuma mērvienība ir 1 metrs (m).

Viļņu frekvence:

Viļņu frekvences mērvienība ir 1 herts (Hz).

Vienotā valsts eksāmena kodifikatora tēmas: harmoniskās vibrācijas; svārstību amplitūda, periods, frekvence, fāze; brīvās vibrācijas, piespiedu vibrācijas, rezonanse.

Svārstības - Tās ir izmaiņas sistēmas stāvoklī, kas atkārtojas laika gaitā. Svārstību jēdziens aptver ļoti plašu parādību loku.

Mehānisko sistēmu vibrācijas vai mehāniskās vibrācijas- tā ir ķermeņa vai ķermeņu sistēmas mehāniska kustība, kas atkārtojas laikā un notiek līdzsvara stāvokļa tuvumā. Līdzsvara stāvoklis ir sistēmas stāvoklis, kurā tā var palikt bezgalīgi bez ārējas ietekmes.

Piemēram, ja svārsts tiek novirzīts un atlaists, tas sāks svārstīties. Līdzsvara pozīcija ir svārsta stāvoklis, ja nav novirzes. Ja svārsts netiek traucēts, tas var palikt šajā pozīcijā tik ilgi, cik vēlaties. Svārstoties, tas vairākas reizes iziet cauri līdzsvara stāvoklim.

Tūlīt pēc novirzītā svārsta atlaišanas tas sāka kustēties, izgāja līdzsvara stāvokli, sasniedza pretējo galējo stāvokli, uz mirkli tur apstājās, virzījās pretējā virzienā, atkal pagāja garām līdzsvara stāvoklim un atgriezās atpakaļ. Viena lieta ir notikusi pilnās burās. Tad šis process tiks periodiski atkārtots.

Ķermeņa svārstību amplitūda ir tās lielākās novirzes no līdzsvara stāvokļa lielums.

Svārstību periods - tas ir vienas pilnīgas svārstības laiks. Var teikt, ka periodā ķermenis veic četru amplitūdu ceļu.

Svārstību frekvence ir perioda reciproks: . Frekvenci mēra hercos (Hz) un parāda, cik pilnīgas svārstības notiek vienā sekundē.

Harmoniskās vibrācijas.

Pieņemsim, ka svārstošā ķermeņa stāvokli nosaka viena koordināta. Līdzsvara pozīcija atbilst vērtībai . Mehānikas galvenais uzdevums šajā gadījumā ir atrast funkciju, kas jebkurā brīdī dod ķermeņa koordinātu.

Svārstību matemātiskam aprakstam ir dabiski izmantot periodiskas funkcijas. Šādu funkciju ir daudz, taču divas no tām – sinuss un kosinuss – ir vissvarīgākās. Viņiem ir daudz labu īpašību un tie ir cieši saistīti ar plašu fizisko parādību klāstu.

Tā kā sinusa un kosinusa funkcijas tiek iegūtas viena no otras, pārbīdot argumentu par , mēs varam aprobežoties tikai ar vienu no tām. Noteiktības labad mēs izmantosim kosinusu.

Harmoniskās vibrācijas- tās ir svārstības, kurās koordinātas ir atkarīgas no laika saskaņā ar harmoniku likumu:

(1)

Noskaidrosim šajā formulā iekļauto daudzumu nozīmi.

Pozitīva vērtība ir koordinātes lielākā moduļa vērtība (jo kosinusa moduļa maksimālā vērtība ir vienāda ar vienību), t.i., lielākā novirze no līdzsvara stāvokļa. Tāpēc - svārstību amplitūda.

Tiek saukts kosinusa arguments fāze vilcināšanās. Vērtību, kas vienāda ar fāzes vērtību at, sauc par sākuma fāzi. Sākotnējā fāze atbilst ķermeņa sākuma koordinātam: .

Daudzums tiek saukts cikliskā frekvence. Atradīsim tā saistību ar svārstību periodu un frekvenci. Viena pilnīga svārstība atbilst fāzes pieaugumam, kas vienāds ar radiāniem: , no kurienes

(2)

(3)

Ciklisko frekvenci mēra rad/s (radiānos sekundē).

Saskaņā ar izteiksmēm (2) un (3) mēs iegūstam vēl divas harmonikas likuma (1) rakstīšanas formas:

Funkcijas (1) grafiks, kas izsaka koordinātas atkarību no laika harmonisko svārstību laikā, parādīts att. 1 .

(1) tipa harmonikas likums ir visvispārīgākais. Tas reaģē, piemēram, uz situācijām, kad ar svārstu vienlaikus tika veiktas divas sākotnējās darbības: tas tika novirzīts par summu un tam tika piešķirts noteikts sākuma ātrums. Ir divi svarīgi īpaši gadījumi, kad viena no šīm darbībām netika veikta.

Ļaujiet svārstu novirzīt, bet sākuma ātrums netika ziņots (tas tika atbrīvots bez sākuma ātruma). Ir skaidrs, ka šajā gadījumā mēs varam likt. Mēs iegūstam kosinusa likumu:

Harmonisko svārstību grafiks šajā gadījumā ir parādīts attēlā. 2.

Rīsi. 2.Kosinusa likums

Tagad pieņemsim, ka svārsts netika novirzīts, bet sākotnējais ātrums no līdzsvara stāvokļa tam tika piešķirts trieciena rezultātā. Šajā gadījumā, lai jūs varētu ievietot . Mēs iegūstam sinusa likumu:

Svārstību grafiks ir parādīts attēlā. 3.

Rīsi. 3. Sinusa likums

Harmonisko vibrāciju vienādojums.

Atgriezīsimies pie vispārējā harmonikas likuma (1). Atšķirsim šo vienlīdzību:

. (4)

Tagad mēs diferencējam iegūto vienādību (4):

. (5)

Salīdzināsim izteiksmi (1) koordinātei un izteiksmi (5) paātrinājuma projekcijai. Mēs redzam, ka paātrinājuma projekcija no koordinātas atšķiras tikai ar koeficientu:

. (6)

Šo attiecību sauc harmoniskais vienādojums. To var arī pārrakstīt šādā formā:

. (7)

No matemātiskā viedokļa (7) vienādojums ir diferenciālvienādojums. Diferenciālvienādojumu risinājumi ir funkcijas (nevis skaitļi, kā parastajā algebrā).
Tātad var pierādīt, ka:

(7) vienādojuma risinājums ir jebkura formas (1) funkcija ar patvaļīgu ;

Neviena cita funkcija nav šī vienādojuma risinājums.

Citiem vārdiem sakot, attiecības (6), (7) apraksta harmoniskās svārstības ar ciklisku frekvenci un tikai tās. Divas konstantes tiek noteiktas no sākotnējiem nosacījumiem - no koordinātas un ātruma sākotnējām vērtībām.

Pavasara svārsts.

Pavasara svārsts ir slodze, kas piestiprināta atsperei, kas var svārstīties horizontālā vai vertikālā virzienā.

Atradīsim atsperes svārsta mazo horizontālo svārstību periodu (4. att.). Svārstības būs nelielas, ja atsperes deformācijas apjoms ir daudz mazāks par tās izmēriem. Mazām deformācijām varam izmantot Huka likumu. Tas novedīs pie tā, ka svārstības būs harmoniskas.

Mēs ignorējam berzi. Slodzei ir masa un atsperes stingrība ir vienāda ar .

Koordināta atbilst līdzsvara stāvoklim, kurā atspere nav deformēta. Līdz ar to atsperes deformācijas lielums ir vienāds ar slodzes koordinātu moduli.

Rīsi. 4. Pavasara svārsts

Horizontālā virzienā uz slodzi iedarbojas tikai elastīgais spēks no atsperes. Otrajam Ņūtona likumam slodzei projekcijā uz asi ir šāda forma:

. (8)

Ja (slodze tiek nobīdīta pa labi, kā attēlā), tad elastīgais spēks ir vērsts pretējā virzienā, un . Un otrādi, ja , tad . Zīmes un visu laiku ir pretējas, tāpēc Huka likumu var uzrakstīt šādi:

Tad attiecība (8) iegūst šādu formu:

Esam ieguvuši formas (6) harmonisko svārstību vienādojumu, kurā

Tādējādi atsperes svārsta svārstību cikliskā frekvence ir vienāda ar:

. (9)

No šejienes un no attiecībām mēs atrodam atsperes svārsta horizontālo svārstību periodu:

. (10)

Ja jūs pakarat slodzi uz atsperes, jūs iegūstat atsperes svārstu, kas svārstās vertikālā virzienā. Var parādīt, ka šajā gadījumā formula (10) ir derīga svārstību periodam.

Matemātiskais svārsts.

Matemātikas svārsts ir mazs ķermenis, kas piekārts uz bezsvara nestiepjama pavediena (5. att.). Matemātiskais svārsts gravitācijas laukā var svārstīties vertikālā plaknē.

Rīsi. 5. Matemātiskais svārsts

Atradīsim matemātiskā svārsta mazo svārstību periodu. Vītnes garums ir. Mēs ignorējam gaisa pretestību.

Pierakstīsim Ņūtona otro svārsta likumu:

un projicējiet to uz asi:

Ja svārsts ieņem tādu pozīciju kā attēlā (t.i.), tad:

Ja svārsts atrodas līdzsvara stāvokļa otrā pusē (t.i.), tad:

Tātad jebkurai svārsta pozīcijai mums ir:

. (11)

Kad svārsts atrodas miera stāvoklī līdzsvara stāvoklī, vienādība ir izpildīta. Mazām svārstībām, kad svārsta novirzes no līdzsvara stāvokļa ir nelielas (salīdzinot ar vītnes garumu), aptuvenā vienādība ir izpildīta. Izmantosim to formulā (11):

Šis ir formas (6) harmonisko svārstību vienādojums, kurā

Tāpēc matemātiskā svārsta svārstību cikliskā frekvence ir vienāda ar:

. (12)

Tātad matemātiskā svārsta svārstību periods:

. (13)

Lūdzu, ņemiet vērā, ka formula (13) neietver kravas masu. Atšķirībā no atsperes svārsta, matemātiskā svārsta svārstību periods nav atkarīgs no tā masas.

Brīvās un piespiedu vibrācijas.

Viņi saka, ka sistēma to dara brīvas vibrācijas, ja to reiz noņem no līdzsvara stāvokļa un pēc tam atstāj sev. Nav periodisku ārējo
Šajā gadījumā sistēma nejūt nekādas ietekmes, un nav iekšējo enerģijas avotu, kas atbalsta svārstības sistēmā.

Iepriekš apskatītās atsperes un matemātisko svārstu svārstības ir brīvo svārstību piemēri.

Biežumu, ar kādu notiek brīvās vibrācijas, sauc dabiskā frekvence oscilācijas sistēma. Tādējādi formulas (9) un (12) dod atsperu un matemātisko svārstu svārstību dabiskās (cikliskās) frekvences.

Idealizētā situācijā, kad nav berzes, brīvās svārstības nav slāpētas, tas ir, tām ir nemainīga amplitūda un tās ilgst bezgalīgi. Reālās svārstību sistēmās vienmēr ir berze, tāpēc brīvās vibrācijas pamazām izzūd (6. att.).

Piespiedu vibrācijas- tās ir sistēmas radītas svārstības ārēja spēka ietekmē, kas laika gaitā periodiski mainās (tā sauktais virzošais spēks).

Pieņemsim, ka sistēmas svārstību dabiskā frekvence ir vienāda ar , un virzošais spēks ir atkarīgs no laika saskaņā ar harmonikas likumu:

Laika gaitā tiek izveidotas piespiedu svārstības: sistēma veic sarežģītu kustību, kas ir piespiedu un brīvu svārstību superpozīcija. Brīvās svārstības pamazām izmirst, un līdzsvara stāvoklī sistēma veic piespiedu svārstības, kas arī izrādās harmoniskas. Līdzsvara stāvokļa piespiedu svārstību biežums sakrīt ar frekvenci
piespiedu spēks (ārējais spēks it kā uzliek sistēmai savu frekvenci).

Noteikto piespiedu svārstību amplitūda ir atkarīga no virzošā spēka frekvences. Šīs atkarības grafiks ir parādīts attēlā. 7.

Rīsi. 7. Rezonanse

Mēs redzam, ka frekvences tuvumā notiek rezonanse - piespiedu svārstību amplitūdas pieauguma parādība. Rezonanses frekvence ir aptuveni vienāda ar sistēmas dabisko svārstību frekvenci: , un šī vienādība tiek izpildīta precīzāk, jo mazāka berze sistēmā. Ja nav berzes, rezonanses frekvence sakrīt ar dabisko svārstību frekvenci, un svārstību amplitūda palielinās līdz bezgalībai pie .

Harmoniskās svārstības notiek saskaņā ar likumu:

x = A cos (ω t + φ 0),

Kur x– daļiņas pārvietošana no līdzsvara stāvokļa, A– svārstību amplitūda, ω – apļveida frekvence, φ 0 – sākuma fāze, t- laiks.

Svārstību periods T = .

Svārstīgo daļiņu ātrums:

υ = = – Aω sin(ω t + φ 0),

paātrinājums a = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Tādas daļiņas kinētiskā enerģija, kurā notiek svārstību kustība: E k = =
sin 2 (ω t+ φ 0).

Potenciālā enerģija:

E n=
cos 2 (ω t + φ 0).

Svārsta svārstību periodi

- pavasaris T =
,

Kur m- kravas masa, k- atsperes stinguma koeficients,

- matemātiskā T = ,

Kur l- balstiekārtas garums, g- gravitācijas paātrinājums,

- fiziska T =
,

Kur es– svārsta inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur balstiekārtas punktu, m- svārsta masa, l– attālums no piekares punkta līdz masas centram.

Fiziskā svārsta samazinātais garums tiek noteikts no nosacījuma: l np = ,

Apzīmējumi ir tādi paši kā fiziskajam svārstam.

Ja tiek pievienotas divas vienādas frekvences un viena virziena harmoniskas svārstības, tiek iegūtas tādas pašas frekvences harmoniskas svārstības ar amplitūdu:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos (φ 2 – φ 1)

un sākuma fāze: φ = arctāns
.

Kur A 1 , A 2 – amplitūdas, φ 1, φ 2 – salocītu svārstību sākuma fāzes.

Iegūtās kustības trajektorija, pievienojot vienas un tās pašas frekvences savstarpēji perpendikulāras svārstības:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

Slāpētas svārstības notiek saskaņā ar likumu:

x = A 0 e - β t cos (ω t + φ 0),

kur β ir slāpēšanas koeficients, pārējo parametru nozīme ir tāda pati kā harmoniskām svārstībām, A 0 – sākotnējā amplitūda. Laika momentā t vibrācijas amplitūda:

A = A 0 e - β t .

Logaritmisko slāpēšanas samazinājumu sauc:

λ = log
= β T,

Kur T- svārstību periods: T = .

Svārstību sistēmas kvalitātes koeficientu sauc:

Plaknes ceļojoša viļņa vienādojumam ir šāda forma:

y = y 0 cos ω( t ± ),

Kur plkst– svārstību lieluma nobīde no līdzsvara stāvokļa, plkst 0 – amplitūda, ω – leņķiskā frekvence, t- laiks, X– koordināte, pa kuru izplatās vilnis, υ – viļņu izplatīšanās ātrums.

Zīme “+” atbilst viļņam, kas izplatās pret asi X, “–” zīme atbilst vilnim, kas izplatās pa asi X.

Viļņa garumu sauc par tā telpisko periodu:

λ = υ T,

Kur υ - viļņu izplatīšanās ātrums, T– svārstību izplatīšanās periods.

Viļņu vienādojumu var uzrakstīt:

y = y 0 cos 2π (+).

Stāvviļņu apraksta ar vienādojumu:

y = (2y 0cos ) cos ω t.

Stāvviļņa amplitūda ir ievietota iekavās. Punktus ar maksimālo amplitūdu sauc par antinodiem,

x n = n ,

punkti ar nulles amplitūdu - mezgli,

x y = ( n + ) .

Problēmu risināšanas piemēri

20. problēma

Harmonisko svārstību amplitūda ir 50 mm, periods ir 4 s un sākuma fāze . a) Pierakstiet šīs svārstības vienādojumu; b) atrast svārstību punkta nobīdi no līdzsvara stāvokļa pie t=0 un plkst t= 1,5 s; c) uzzīmējiet šīs kustības grafiku.

Risinājums

Svārstību vienādojums ir uzrakstīts kā x = a cos ( t+  0).

Saskaņā ar nosacījumu ir zināms svārstību periods. Caur to varam izteikt apļveida frekvenci  = . Pārējie parametri ir zināmi:

A) x= 0,05 cos( t + ).

b) Nobīde x plkst t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

Plkst t= 1,5 s

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 m.

V ) funkcijas grafiks x=0,05 cos ( t + ) sekojoši:

Noteiksim vairāku punktu izvietojumu. Zināms X 1 (0) un X 2 (1,5), kā arī svārstību periodu. Tātad, caur  t= 4 s vērtība X atkārtojas, un pēc  t = 2 s maina zīmi. Starp maksimumu un minimumu vidū ir 0.

21. problēma

Punkts veic harmoniskas svārstības. Svārstību periods ir 2 s, amplitūda ir 50 mm, sākuma fāze ir nulle. Atrodiet punkta ātrumu brīdī, kad tā nobīde no līdzsvara stāvokļa ir 25 mm.

Risinājums

1 veids. Mēs pierakstām punktu svārstību vienādojumu:

x= 0,05 cos t, jo  = =.

Ātruma atrašana laika momentā t:

υ = = – 0,05 cos t.

Mēs atrodam brīdi, kad pārvietojums ir 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos t 1 ,

tātad cos  t 1 = ,  t 1 = . Mēs aizstājam šo vērtību ātruma izteiksmē:

υ = – 0,05  grēks = – 0,05  = 0,136 m/s.

2. metode. Svārstību kustības kopējā enerģija:

E =
,

Kur A– amplitūda,  – apļveida frekvence, m – daļiņu masa.

Katrā laika brīdī tas sastāv no punkta potenciālās un kinētiskās enerģijas

E k = , E n = , Bet k = m 2, kas nozīmē E n =
.

Pierakstīsim enerģijas nezūdamības likumu:

= +
,

no šejienes mēs iegūstam: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

22. problēma

Materiāla punkta harmonisko svārstību amplitūda A= 2 cm, kopējā enerģija E= 3∙10 -7 J. Kādā nobīdē no līdzsvara stāvokļa spēks iedarbojas uz svārstību punktu F = 2,25∙10 -5 N?

Risinājums

Punkta, kas veic harmoniskas svārstības, kopējā enerģija ir vienāda ar: E =
. (13)

Elastības spēka modulis tiek izteikts ar punktu nobīdi no līdzsvara stāvokļa xšādā veidā:

F = k x (14)

Formula (13) ietver masu m un cirkulārā frekvence , un (14) – stinguma koeficients k. Bet apļveida frekvence ir saistīta ar m Un k:

 2 = ,

no šejienes k = m 2 un F = m 2 x. Izteicis m 2 no attiecības (13) iegūstam: m 2 = , F = x.

No kurienes mēs iegūstam pārvietošanas izteiksmi x: x = .

Skaitlisko vērtību aizstāšana dod:

x =
= 1,5∙10 -2 m = 1,5 cm.

23. problēma

Punkts piedalās divās svārstībās ar vienādiem periodiem un sākuma fāzēm. Svārstību amplitūdas A 1 = 3 cm un A 2 = 4 cm Atrodiet radušās vibrācijas amplitūdu, ja: 1) vibrācijas notiek vienā virzienā; 2) vibrācijas ir savstarpēji perpendikulāras.

Risinājums

Ja svārstības notiek vienā virzienā, tad iegūto svārstību amplitūdu nosaka šādi:

Kur A 1 un A 2 – pievienoto svārstību amplitūdas,  1 un  2 – sākuma fāzes. Atbilstoši nosacījumam sākotnējās fāzes ir vienādas, kas nozīmē  2 –  1 = 0 un cos 0 = 1.

Tātad:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 cm.

Ja svārstības ir savstarpēji perpendikulāras, tad iegūtās kustības vienādojums būs:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

Tā kā pēc nosacījuma  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, vienādojums tiks uzrakstīts šādi:
=0,

vai
=0,

vai
.

Rezultātā radušās attiecības starp x Un plkst var attēlot grafikā. Grafikā redzams, ka rezultāts būs punkta svārstības uz taisnas līnijas MN. Šo svārstību amplitūdu nosaka šādi: A =
= 5 cm.

24. problēma

Slāpēto svārstību periods T=4 s, logaritmiskā slāpēšanas samazināšanās  = 1,6, sākuma fāze ir nulle. Punkta nobīde plkst t = vienāds ar 4,5 cm 1) Uzrakstiet šīs vibrācijas vienādojumu; 2) Izveidojiet šīs kustības grafiku diviem periodiem.

Risinājums

Slāpēto svārstību vienādojumam ar nulles sākuma fāzi ir šāda forma:

x = A 0 e -  t cos2 .

Nav pietiekami daudz sākotnējo amplitūdas vērtību, lai aizstātu skaitliskās vērtības A 0 un vājinājuma koeficients .

Vājināšanās koeficientu var noteikt no logaritmiskā vājinājuma samazinājuma attiecības:

 = T.

Tādējādi  = = = 0,4 s -1.

Sākotnējo amplitūdu var noteikt, aizstājot otro nosacījumu:

4,5 cm = A 0
cos 2 =A 0
cos = A 0
.

No šejienes mēs atrodam:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Galīgais kustības vienādojums ir:

x = 0,0775
izmaksas.

25. problēma

Kāds ir matemātiskā svārsta logaritmiskās slāpēšanas samazinājums, ja par t = 1 min svārstību amplitūda samazinājusies uz pusi? Svārsta garums l = 1 m.

Risinājums

Logaritmiskās slāpēšanas samazinājumu var atrast no attiecības: =  T,

kur  ir vājinājuma koeficients, T– svārstību periods. Matemātiskā svārsta dabiskā riņķveida frekvence:

 0 =
= 3,13 s -1.

Svārstību slāpēšanas koeficientu var noteikt pēc nosacījuma: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1 .

Kopš <<  0 , то в формуле  =
var neņemt vērā, salīdzinot ar  0, un svārstību periodu var noteikt pēc formulas: T = = 2c.

Mēs aizstājam  un T logaritmiskās slāpēšanas samazinājuma izteiksmē un iegūstam:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

26. problēma

Neslāpēto svārstību vienādojums ir dots formā x= 4 sin600  t cm.

Atrodiet attāluma punkta nobīdi no līdzsvara stāvokļa l= 75 cm no vibrācijas avota, cauri t= 0,01 s pēc svārstību sākuma. Svārstību izplatīšanās ātrums υ = 300 m/s.

Risinājums

Pierakstīsim vienādojumu viļņam, kas izplatās no dotā avota: x= 0,04 sin 600 ( t– ).

Mēs atrodam viļņa fāzi noteiktā laikā noteiktā vietā:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

grēks 4,5 = grēks = 1.

Tāpēc punkta nobīde x= 0,04 m, t.i. uz attālumu l =75 cm no avota brīdī t= 0,01 s maksimālā punkta nobīde.

Bibliogrāfija

Volkenšteins V.S.. Vispārīgā fizikas kursa uzdevumu krājums. – Sanktpēterburga: SpetsLit, 2001.

Saveļjevs I.V.. Vispārējās fizikas jautājumu un problēmu krājums. – M.: Nauka, 1998. gads.

Jebkuru periodiski atkārtotu kustību sauc par svārstību. Tāpēc ķermeņa koordinātu un ātruma atkarības no laika svārstību laikā apraksta ar laika periodiskām funkcijām. Skolas fizikas kursā tiek aplūkotas vibrācijas, kurās ķermeņa atkarības un ātrumi ir trigonometriskas funkcijas , vai to kombinācija, kur ir noteikts skaitlis. Šādas svārstības sauc par harmoniskām (funkcijām Un bieži sauktas par harmoniskām funkcijām). Lai atrisinātu problēmas par svārstībām, kas iekļautas fizikas vienotā valsts eksāmena programmā, jums jāzina svārstību kustības galveno raksturlielumu definīcijas: amplitūda, periods, frekvence, apļveida (vai cikliskā) frekvence un svārstību fāze. Dosim šīs definīcijas un savienosim uzskaitītos lielumus ar ķermeņa koordinātu atkarības no laika parametriem, kurus harmonisko svārstību gadījumā vienmēr var attēlot formā

kur , un ir daži skaitļi.

Svārstību amplitūda ir svārstīga ķermeņa maksimālā novirze no tā līdzsvara stāvokļa. Tā kā (11.1) kosinusa maksimālās un minimālās vērtības ir vienādas ar ±1, tad ķermeņa svārstību amplitūda (11.1) ir vienāda ar . Svārstību periods ir minimālais laiks, pēc kura atkārtojas ķermeņa kustība. Atkarībai (11.1.) periodu var noteikt, pamatojoties uz šādiem apsvērumiem. Kosinuss ir periodiska funkcija ar punktu. Tāpēc kustība tiek pilnībā atkārtota caur tādu vērtību, ka . No šejienes mēs iegūstam

Apļveida (vai cikliskā) svārstību frekvence ir svārstību skaits, kas tiek veiktas laika vienībā. No formulas (11.3) secinām, ka apļveida frekvence ir daudzums no formulas (11.1).

Svārstību fāze ir trigonometriskās funkcijas arguments, kas apraksta koordinātas atkarību no laika. No formulas (11.1) redzam, ka ķermeņa svārstību fāze, kuras kustību raksturo atkarība (11.1), ir vienāda ar . Svārstību fāzes vērtību brīdī = 0 sauc par sākuma fāzi. Atkarībai (11.1) svārstību sākuma fāze ir vienāda ar . Acīmredzot svārstību sākuma fāze ir atkarīga no laika atskaites punkta izvēles (moments = 0), kas vienmēr ir nosacīts. Mainot laika izcelsmi, svārstību sākuma fāzi vienmēr var “padarīt” vienādu ar nulli, un sinusu formulā (11.1) var “pārvērst” par kosinusu vai otrādi.

Vienotā valsts eksāmena programmā ir arī zināšanas par atsperu un matemātisko svārstu svārstību biežuma formulām. Par atsperes svārstu parasti sauc ķermeni, kas var svārstīties uz gludas horizontālas virsmas atsperes iedarbībā, kuras otrais gals ir fiksēts (attēls pa kreisi). Matemātiskais svārsts ir masīvs ķermenis, kura izmērus var neievērot, svārstās uz gara, bezsvara un nepaplašināma pavediena (labais attēls). Šīs sistēmas nosaukums "matemātiskais svārsts" ir saistīts ar faktu, ka tā attēlo abstraktu matemātiskā reāls modelis ( fiziskais) svārsts. Jāatceras atsperu un matemātisko svārstu svārstību perioda (vai frekvences) formulas. Par atsperu svārstu

kur ir vītnes garums, ir gravitācijas paātrinājums. Apskatīsim šo definīciju un likumu piemērošanu, izmantojot problēmu risināšanas piemēru.

Atrast slodzes svārstību ciklisko frekvenci uzdevums 11.1.1 Vispirms noskaidrosim svārstību periodu un pēc tam izmantosim formulu (11.2). Tā kā 10 m 28 s ir 628 s, un šajā laikā slodze svārstās 100 reizes, tad slodzes svārstību periods ir 6,28 s. Tāpēc svārstību cikliskā frekvence ir 1 s -1 (atbilde 2 ). IN problēma 11.1.2 slodze radīja 60 svārstības 600 s, tātad svārstību frekvence ir 0,1 s -1 (atbilde 1 ).

Lai saprastu attālumu, ko krava nobrauks 2,5 periodos ( problēma 11.1.3), sekosim viņa kustībai. Pēc kāda laika slodze atgriezīsies atpakaļ maksimālās novirzes punktā, pabeidzot pilnīgu svārstību. Tāpēc šajā laikā slodze veiks attālumu, kas vienāds ar četrām amplitūdām: līdz līdzsvara stāvoklim - viena amplitūda, no līdzsvara stāvokļa līdz maksimālās novirzes punktam otrā virzienā - otrajā, atpakaļ līdzsvara stāvoklī - trešais, no līdzsvara stāvokļa līdz sākuma punktam - ceturtais. Otrajā periodā slodze atkal iet cauri četrām amplitūdām, bet atlikušajā perioda pusē - divas amplitūdas. Tāpēc nobrauktais attālums ir vienāds ar desmit amplitūdām (atbilde 4 ).

Ķermeņa kustības apjoms ir attālums no sākuma punkta līdz beigu punktam. Vairāk nekā 2,5 periodi uzdevums 11.1.4ķermenim būs laiks pabeigt divas pilnas un puse pilnas svārstības, t.i. būs pie maksimālās novirzes, bet līdzsvara stāvokļa otrā pusē. Tāpēc nobīdes lielums ir vienāds ar divām amplitūdām (atbilde 3 ).

Pēc definīcijas svārstību fāze ir trigonometriskās funkcijas arguments, kas apraksta oscilējoša ķermeņa koordinātu atkarību no laika. Tāpēc pareizā atbilde ir problēma 11.1.5 - 3 .

Periods ir pilnīgas svārstības laiks. Tas nozīmē, ka ķermeņa atgriešanās tajā pašā punktā, no kuras ķermenis sāka kustēties, nenozīmē, ka ir pagājis periods: ķermenim jāatgriežas tajā pašā punktā ar tādu pašu ātrumu. Piemēram, ķermenim, sācis svārstības no līdzsvara stāvokļa, būs laiks maksimāli novirzīties vienā virzienā, atgriezties atpakaļ, maksimāli novirzīties otrā virzienā un atgriezties atpakaļ. Tāpēc šajā periodā ķermenim būs laiks maksimāli divreiz novirzīties no līdzsvara stāvokļa un atgriezties atpakaļ. Līdz ar to pāreja no līdzsvara stāvokļa līdz maksimālās novirzes punktam ( problēma 11.1.6) ķermenis pavada ceturtdaļu perioda (atbilde 3 ).

Harmoniskās svārstības ir tās, kurās oscilējošā ķermeņa koordinātu atkarību no laika apraksta ar laika trigonometrisku (sinusu vai kosinusu) funkciju. IN uzdevums 11.1.7šīs ir funkcijas un , neskatoties uz to, ka tajās iekļautie parametri ir apzīmēti kā 2 un 2 . Funkcija ir trigonometriska laika kvadrāta funkcija. Tāpēc vibrācijas ir tikai lieluma un harmoniskas (atbilde 4 ).

Harmonisko vibrāciju laikā ķermeņa ātrums mainās atbilstoši likumam , kur ir ātruma svārstību amplitūda (laika atskaites punkts ir izvēlēts tā, lai svārstību sākuma fāze būtu vienāda ar nulli). No šejienes mēs atrodam ķermeņa kinētiskās enerģijas atkarību no laika
(problēma 11.1.8). Tālāk izmantojot labi zināmo trigonometrisko formulu, iegūstam

No šīs formulas izriet, ka ķermeņa kinētiskā enerģija harmonisko svārstību laikā mainās arī saskaņā ar harmonikas likumu, bet ar dubultu frekvenci (atbilde 2 ).

Aiz sakarības starp slodzes kinētisko enerģiju un atsperes potenciālo enerģiju ( problēma 11.1.9) ir viegli izsekot no tālāk norādītajiem apsvērumiem. Kad ķermenis ir maksimāli novirzīts no līdzsvara stāvokļa, ķermeņa ātrums ir nulle, un tāpēc atsperes potenciālā enerģija ir lielāka par slodzes kinētisko enerģiju. Gluži pretēji, kad ķermenis iziet cauri līdzsvara stāvoklim, atsperes potenciālā enerģija ir nulle, un tāpēc kinētiskā enerģija ir lielāka par potenciālo enerģiju. Tāpēc starp līdzsvara stāvokļa pāreju un maksimālo novirzi kinētiskā un potenciālā enerģija tiek salīdzināta vienu reizi. Un tā kā periodā ķermenis četras reizes pāriet no līdzsvara stāvokļa uz maksimālo izlieci vai atpakaļ, tad šajā periodā slodzes kinētiskā enerģija un atsperes potenciālā enerģija tiek salīdzinātas viena ar otru četras reizes (atbilde 2 ).

Ātruma svārstību amplitūda ( uzdevums 11.1.10) ir visvieglāk atrodams, izmantojot enerģijas nezūdamības likumu. Maksimālās novirzes punktā svārstību sistēmas enerģija ir vienāda ar atsperes potenciālo enerģiju , kur ir atsperes stinguma koeficients, ir vibrācijas amplitūda. Izejot cauri līdzsvara stāvoklim, ķermeņa enerģija ir vienāda ar kinētisko enerģiju , kur ir ķermeņa masa, ir ķermeņa ātrums, ejot cauri līdzsvara stāvoklim, kas ir ķermeņa maksimālais ātrums svārstību procesa laikā un tādējādi atspoguļo ātruma svārstību amplitūdu. Pielīdzinot šīs enerģijas, mēs atklājam

(atbilde 4 ).

No formulas (11.5) secinām ( problēma 11.2.2), ka tā periods nav atkarīgs no matemātiskā svārsta masas un, palielinoties garumam 4 reizes, svārstību periods palielinās 2 reizes (atbilde 1 ).

Pulkstenis ir svārstīgs process, ko izmanto laika intervālu mērīšanai ( problēma 11.2.3). Vārdi “pulkstenis steidzas” nozīmē, ka šī procesa periods ir mazāks nekā tam vajadzētu būt. Tāpēc, lai noskaidrotu šo pulksteņu virzību, ir nepieciešams palielināt procesa periodu. Saskaņā ar formulu (11.5), lai palielinātu matemātiskā svārsta svārstību periodu, ir jāpalielina tā garums (atbilde 3 ).

Lai atrastu svārstību amplitūdu iekšā problēma 11.2.4, nepieciešams attēlot ķermeņa koordinātu atkarību no laika vienas trigonometriskas funkcijas veidā. Noteikumā norādītajai funkcijai to var izdarīt, ieviešot papildu leņķi. Reizinot un dalot šo funkciju ar un izmantojot trigonometrisko funkciju pievienošanas formulu, iegūstam

kur ir tāds leņķis, ka . No šīs formulas izriet, ka ķermeņa svārstību amplitūda ir (atbilde 4 ).