A "pénz" továbbra is figyelemmel kíséri a pénzügyi eszközök jövedelmezőségét. A másodfokú formák tehetetlenségi törvénye

A mező felett K (\displaystyle K)És e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\dots ,e_(n))- alapja be L (\displaystyle L).

• Egy másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha mátrixának minden szögmollja szigorúan pozitív.
• Egy másodfokú alak akkor és csak akkor negatív határozott, ha mátrixának összes szögmoll előjele váltakozik, és az 1. rendű moll negatív.

A pozitív határozott másodfokú formához poláris bilineáris forma kielégíti az összes pontszorzat-axiómát.

Kanonikus nézet

Valós eset

Abban az esetben K = R (\displaystyle K=\mathbb (R) )(valós számok mezője), minden másodfokú alaknak van egy alapja, amelyben a mátrixa átlós, és magának az alaknak van kanonikus nézet(normál nézet):

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2, 0 ≤ p, q ≤ r, p + q = r, (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*))

Ahol r (\displaystyle r)- a másodfokú forma rangja. Nem degenerált másodfokú forma esetén p + q = n (\displaystyle p+q=n), degenerált esetén - p+q< n {\displaystyle p+q.

A másodfokú formák kanonikusra redukálásához általában a Lagrange-módszert vagy az ortogonális bázistranszformációkat alkalmazzák, és egy adott másodfokú formát többféleképpen is kanonikus formára lehet hozni.

Szám q (\displaystyle q)(negatív kifejezések) nevezzük tehetetlenségi index adott másodfokú alak, és a szám p − q (\displaystyle p-q)(a pozitív és negatív tagok számának különbsége) nevezzük aláírás másodfokú forma. Vegye figyelembe, hogy néha a másodfokú alak aláírása a pár (p , q) (\displaystyle (p,q)). Számok p , q , p − q (\displaystyle p,q,p-q) másodfokú alak invariánsai, azaz. nem függ a kanonikus formára redukálás módszerétől ( Sylvester tehetetlenségi törvénye).

Összetett eset

Abban az esetben K = C (\displaystyle K=\mathbb (C) )(komplex számok mezője), minden másodfokú alakhoz van egy alap, amelyben az alak kanonikus alakkal rendelkezik

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2, (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))

Ahol r (\displaystyle r)- a másodfokú forma rangja. Így összetett esetben (a valós esettel ellentétben) a másodfokú alaknak egyetlen invariáns - rangja van, és minden nem degenerált alaknak ugyanaz a kanonikus alakja (négyzetek összege).

A másodfokú forma normál nézete.

Lagrange tétele szerint bármely másodfokú alak kanonikus formává redukálható. Vagyis van egy diagonalizáló (kanonikus) alap, amelyben ennek a másodfokú alak mátrixának átlós alakja van

Ahol . Ekkor ezen az alapon a másodfokú alaknak van formája

Legyenek pozitív és negatív elemek a nem nulla elemek között, és . A bázisvektorok számozásának szükség szerinti megváltoztatásával mindig biztosítható, hogy egy másodfokú alak diagonális mátrixában az első elemek pozitívak, a többiek negatívak (ha , akkor a mátrix utolsó elemei nullák). Ennek eredményeként a (10.17) másodfokú alak a következő formában írható fel

A változók rendszer szerinti változókkal való helyettesítésének eredményeként:

a másodfokú alak (6.18) átlós alakot vesz fel, amelyben a változók négyzetének együtthatói egy, mínusz egy vagy nulla:

ahol a (10.19) másodfokú mátrixnak átlós alakja van

Meghatározás 10.9. Felvétel (10.19) kerül meghívásra normális kinézetű másodfokú alakot, és azt a diagonalizációs alapot, amelyben a másodfokú alaknak mátrixa (10.20) van, az ún. normalizáló alapon.

Így a másodfokú alak normál alakjában (10.19) a mátrix (10.20) átlós elemei lehetnek egyesek, mínusz egyesek vagy nullák, és úgy helyezkednek el, hogy először egyesek, majd mínusz egyesek, majd nullák ( a nullára fordulás esetei nincsenek kizárva megadott értékek, , ).

Így a következő tétel bizonyítást nyer.

10.3. Tétel. Bármely másodfokú forma lecsökkenthető normál formára (10.19) egy átlós mátrixszal (10.20).

A tehetetlenségi másodfokú alak törvénye

A másodfokú forma többféleképpen redukálható kanonikus formára (Lagrange-módszer, ortogonális transzformációs módszer vagy Jacobi-módszer). De annak ellenére, hogy egy adott másodfokú formához sokféle kanonikus forma létezik, az együtthatóinak vannak olyan jellemzői, amelyek ezekben a kanonikus alakokban változatlanok maradnak. Beszélünk az ún numerikus invariánsok másodfokú forma. A másodfokú alakok egyik numerikus invariánsa a másodfokú alak rangja.

10.4. tétel ( másodfokú alak rangváltozatlanságáról ) Egy másodfokú alak rangja nem változik a nem degenerált lineáris transzformációk során, és megegyezik a nem nulla együtthatók számával bármelyik kanonikus alakjában. Más szóval, a másodfokú forma rangja megegyezik a másodfokú forma mátrixának nullától eltérő sajátértékeinek számával (figyelembe véve azok sokasságát).

Meghatározás 10.10. A másodfokú alak rangját ún tehetetlenségi index. A pozitív és a negatív számok számát () normál alakban (3) másodfokú alakban ún. pozitívÉs negatív indexek másodfokú forma tehetetlensége, ill. Ebben az esetben a lista ún aláírás másodfokú forma.

A pozitív és negatív tehetetlenségi indexek a másodfokú alak numerikus invariánsai. Az úgynevezett tétel tehetetlenségi törvény.

10.5. tétel ( tehetetlenségi törvény ) .A másodfokú alak kanonikus alakja (10.17) egyedileg definiált, vagyis az aláírás nem függ az átlós alap megválasztásától (nem függ a másodfokú alak kanonikus formára redukálásának módszerétől).

□ A tétel kijelentése azt jelenti, hogy ha ugyanaz a másodfokú forma két nem szinguláris lineáris transzformációval

különböző kanonikus formákra redukálva ():

akkor kötelező, vagyis a pozitív együtthatók száma egybeesik a pozitív együtthatók számával.

Az állítással ellentétben tegyük fel, hogy . Mivel a (10.21) transzformációk nem degeneráltak, ezekből fejezzük ki a kanonikus változókat:

Keressünk egy olyan vektort, amelyiknek a megfelelő alakja van

Ehhez a következő blokkformákban mutatjuk be a mátrixokat:

ahol a denotációk -mátrix, -mátrix, -mátrix, -mátrix.

A és mátrixok blokk-reprezentációi eredményeként homogén lineáris algebrai egyenletrendszert állítunk össze, az első egyenleteket a (10.22), az utolsó egyenleteket a (10.23)-ból:

A kapott rendszer egyenleteket és ismeretleneket tartalmaz (vektorkomponens). Mivel tehát , vagyis ebben a rendszerben az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma, és végtelen számú megoldása van, amelyek között egy nullától eltérő megoldás is azonosítható.

A kapott vektoron az alakértékek különböző előjelekkel rendelkeznek:

ami lehetetlen. Ez azt jelenti, hogy az a feltételezés, amely hamis, azaz.

Ebből az következik, hogy az aláírás nem függ a diagonalizációs alap megválasztásától. ■

A tehetetlenségi törvény illusztrációjaként kimutatható, hogy három változó másodfokú alakja:

két nem szinguláris lineáris transzformáció, megfelelő mátrixokkal

(az első mátrix a Lagrange-módszernek, a második az ortogonális transzformációk módszerének felel meg) két különböző kanonikus formára redukálódik.

Sőt, mindkét kanonikus formának ugyanaz az aláírása

6. Határozott és váltakozó másodfokú formák

A kvadratikus formákat típusokra osztják az általuk elfogadott értékkészlettől függően.

Meghatározás 10.11. A másodfokú alakot:

pozitív határozott

negatívan definiált, ha bármely nem nulla vektor esetén: ;

nem pozitív határozott (negatív félig határozott), ha bármely nem nulla vektor esetén: ;

nem negatív határozott (pozitív félig határozott), ha bármely nem nulla vektor esetén: ;

váltakozó jel, ha vannak nem nulla vektorok, : .

Meghatározás 10.12. Pozitívan (negatívan) határozott másodfokú formákat nevezünk határozott. A nem pozitív (nem negatív) határozott másodfokú formákat nevezzük állandó jel.

A másodfokú forma típusa könnyen meghatározható, ha kanonikus (vagy normál) formára redukáljuk. A következő két tétel igaz.

10.6. Tétel. Legyen a másodfokú alak kanonikus formára redukálva, és legyen aláírása ( , ). Akkor:

Is pozitív határozott ;

Is negatívan definiált ;

Is nem pozitív határozott ;

Is nem negatív határozott ;

Is váltakozó jel.). Ezután: nem negatív mindenre határozott ;

Is váltakozó jel a sajátértékek között van pozitív és negatív is.

Megállapítást nyert, hogy egy másodfokú forma nullától eltérő kanonikus együtthatóinak száma megegyezik a rangjával, és nem függ attól, hogy milyen nem degenerált transzformációt választunk, amelynek segítségével a formát A(x, x) kanonikus formára redukálódik. Valójában a pozitív és negatív együtthatók száma sem változik.

Tétel11.3 (másodfokú formák tehetetlenségi törvénye). A pozitív és negatív együtthatók száma a másodfokú alak normál alakjában nem függ attól, hogy a másodfokú formát milyen módszerrel redukáljuk vissza.

Legyen a kvadratikus alak f rang r tól től n ismeretlen x 1 , x 2 , …, x n kétféleképpen csökkenthető normál formára, azaz

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Ez bizonyítható k = l.

Meghatározás 11.14. A normál alakban lévő pozitív négyzetek számát, amelyre a valós másodfokú alakot redukáljuk, nevezzük pozitív tehetetlenségi index ez a forma; negatív négyzetek száma – negatív tehetetlenségi index, és összegük: tehetetlenségi index másodfokú forma ill aláírás formák f.

Ha p– pozitív tehetetlenségi index; q– negatív tehetetlenségi index; k = r = p + q– tehetetlenségi index.

A másodfokú formák osztályozása

Legyen a kvadratikus alak A(x, x) a tehetetlenségi index egyenlő k, pozitív tehetetlenségi index egyenlő p, negatív tehetetlenségi index egyenlő q, Akkor k = p + q.

Bármilyen kanonikus alapon bebizonyosodott f = {f 1 , f 2 , …, f n) ez a másodfokú forma A(x, x) normál formára redukálható A(x, x) = + + … + –
– … – , Ahol  1 ,  2 , …,  n vektor koordináták x alapon ( f}.

A másodfokú alak jelének szükséges és elégséges feltétele

Nyilatkozat11.1. A(x, x), pontjában meghatározott n V, volt határozott jel, szükséges és elégséges, hogy vagy pozitív tehetetlenségi index p, vagy negatív tehetetlenségi index q, egyenlő volt a mérettel n hely V.

Sőt, ha p = n, majd az űrlapot pozitívan x ≠ 0 A(x, x) > 0).

Ha q = n, majd az űrlapot negatív meghatározott (vagyis bármely x ≠ 0 A(x, x) < 0).

A másodfokú alak jeleinek váltakozásának szükséges és elégséges feltétele

Nyilatkozat 11.2. A másodfokú forma érdekében A(x, x), pontjában meghatározott n-dimenziós vektortér V, volt váltakozó jel(vagyis vannak ilyenek x, y Mit A(x, x) > 0 és A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

A kvázi váltakozó másodfokú alak szükséges és elégséges feltétele

Nyilatkozat 11.3. A másodfokú forma érdekében A(x, x), pontjában meghatározott n-dimenziós vektortér V, volt kvázi váltakozó(vagyis bármely vektorra x vagy A(x, x) ≥ 0 vagy A(x, x) ≤ 0 és van ilyen nem nulla vektor x, Mit A(x, x) = 0) szükséges és elegendő ahhoz, hogy a két összefüggés valamelyike ​​teljesüljön: p < n, q= 0 vagy p = 0, q < n.

Megjegyzés. Ezen jellemzők alkalmazásához a másodfokú formát kanonikus formára kell redukálni. Sylvester 15-ös előjel-meghatározási kritériuma ezt nem követeli meg.

A másodfokú forma fogalma. Másodfokú mátrix. A másodfokú forma kanonikus formája. Lagrange módszer. A másodfokú forma normál nézete. A másodfokú alak rangja, indexe és aláírása. Pozitív határozott másodfokú forma. Kvadrikus.

A másodfokú forma fogalma: függvény egy vektortéren, amelyet a vektor koordinátáiban egy másodfokú homogén polinom határoz meg.

Másodfokú forma -tól n Az ismeretlen egy olyan összeg, amelynek minden tagja vagy az egyik ismeretlen négyzete, vagy két különböző ismeretlen szorzata.

Kvadratikus mátrix: A mátrixot egy adott alapon másodfokú mátrixnak nevezik. Ha a térkarakterisztika nem egyenlő 2-vel, akkor feltételezhetjük, hogy a másodfokú mátrix szimmetrikus, azaz.

Írj fel egy másodfokú mátrixot:

Ennélfogva,

Vektormátrix formában a másodfokú alak a következő:

A másodfokú forma kanonikus formája: Egy másodfokú formát kanonikusnak nevezünk, ha minden i.e.

Bármilyen másodfokú forma lineáris transzformációkkal redukálható kanonikus formává. A gyakorlatban általában a következő módszereket alkalmazzák.

Lagrange módszer : teljes négyzetek szekvenciális kiválasztása. Például ha

Ezután hasonló eljárást hajtunk végre a másodfokú formával stb. Ha minden nincs másodfokú formában, akkor egy előzetes transzformáció után a dolog a vizsgált eljárásra kerül. Tehát, ha például akkor feltételezzük

A másodfokú forma normál formája: A normál másodfokú forma egy kanonikus másodfokú forma, amelyben minden együttható +1 vagy -1.

Másodfokú alak rangsora, indexe és aláírása: A másodfokú forma rangja A a mátrix rangjának nevezzük A. A másodfokú alakok rangja nem változik az ismeretlenek nem degenerált transzformációi során.

A negatív együtthatók számát negatív formaindexnek nevezzük.

A kanonikus formában lévő pozitív tagok számát a másodfokú forma pozitív tehetetlenségi indexének, a negatív tagok számát negatív indexnek nevezzük. A pozitív és negatív indexek közötti különbséget a másodfokú forma aláírásának nevezzük

Pozitív határozott másodfokú forma: Egy valós másodfokú formát pozitív határozottnak (negatív határozottnak) nevezünk, ha a változók bármely valós értéke esetén, amely nem egyidejűleg nulla,

Ebben az esetben a mátrixot pozitív határozottnak (negatív határozottnak) is nevezik.

A pozitív határozott (negatív határozott) formák osztálya a nem negatív (illetve nem pozitív) formák osztályának része.

Négyszögek: négyes - n-dimenziós hiperfelület be n+1-dimenziós tér, egy másodfokú polinom nullák halmazaként definiálva. Ha megadja a koordinátákat ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (euklideszi vagy affin térben), a négyzet általános egyenlete

Ez az egyenlet tömörebben átírható mátrixjelöléssel:

ahol x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) – sorvektor, x T egy transzponált vektor, K- méretmátrix ( n+1)×( n+1) (feltételezzük, hogy legalább egy eleme nem nulla), P egy sorvektor, és R- állandó. Leggyakrabban a valós vagy komplex számok feletti négyeseket veszik figyelembe. A definíció kiterjeszthető a projektív térben lévő négyzetekre, lásd alább.

Általánosabban, a polinomiális egyenletrendszer nullák halmazát algebrai változatnak nevezzük. Így a quadric egy (affin vagy projektív) algebrai másodfokú és 1-es kóddimenziós változat.

A sík és a tér átalakulásai.

A síktranszformáció definíciója. Mozgásérzékelés. a mozgás tulajdonságai. Kétféle mozgás: az első típusú mozgás és a második típusú mozgás. Példák mozgásokra. A mozgás analitikus kifejezése. Síkmozgások osztályozása (fix pontok és invariáns egyenesek meglététől függően). Síkmozgások csoportja.

A síktranszformáció definíciója: Definíció. A pontok közötti távolságot megőrző síktranszformációt nevezzük mozgalom(vagy mozgása) a sík. A síktranszformációt ún affin, ha bármely három, ugyanazon az egyenesen fekvő pontot három, szintén ugyanazon az egyenesen fekvő ponttá alakít át, ugyanakkor megőrzi a három pont egyszerű összefüggését.

Mozgás meghatározása: Ezek alaktranszformációk, amelyek megőrzik a pontok közötti távolságokat. Ha két figura pontosan egymáshoz igazodik a mozgás révén, akkor ezek a figurák azonosak, egyenlőek.

Mozgás tulajdonságai: Egy sík minden orientációmegőrző mozgása vagy párhuzamos transzláció vagy elforgatás, a sík minden orientációt megváltoztató mozgása vagy tengelyirányú szimmetria vagy csúszó szimmetria. Mozgáskor az egyenesen fekvő pontok egyenesen fekvő pontokká alakulnak, és egymáshoz viszonyított helyzetük sorrendje megmarad. Mozgáskor a félvonalak közötti szögek megmaradnak.

Kétféle mozgás: az első típusú mozgás és a második típusú mozgás: Az első típusú mozgások azok a mozdulatok, amelyek megőrzik egy bizonyos alakzat alapjainak tájolását. Folyamatos mozgásokkal valósíthatók meg.

A második típusú mozgások azok a mozgások, amelyek az alapok irányát az ellenkezőjére változtatják. Folyamatos mozgással nem valósíthatók meg.

Az első típusú mozgások példái az egyenes vonal körüli elfordítás és forgatás, a második típusú mozgások pedig a központi és tükörszimmetriák.

Az első típusú mozgás tetszőleges számú összetétele az első típusú mozgás.

A második típusú páros számú mozgás összetétele az 1. típusú mozgás, a páratlan számú 2. típusú mozgás összetétele pedig a 2. típusú mozgás.

Példák a mozgásokra:Párhuzamos átvitel. Legyen a az adott vektor. Az a vektorra való párhuzamos átvitel a sík önmagára való leképezése, amelyben minden M pont az M 1 pontra van leképezve úgy, hogy az MM 1 vektor egyenlő az a vektorral.

A párhuzamos fordítás mozgás, mert a síkot önmagára leképezi, megőrzi a távolságokat. Ez a mozgás vizuálisan úgy ábrázolható, mint a teljes sík eltolódása egy adott vektor irányában a hosszával.

Forog. Jelöljük az O pontot a síkon ( forgóközpont) és állítsa be az α szöget ( forgásszög). A sík O pont körüli elforgatása α szöggel a sík önmagára való leképezése, amelyben minden M pont az M 1 pontra van leképezve úgy, hogy OM = OM 1 és a MOM 1 szög egyenlő α-val. Ebben az esetben az O pont a helyén marad, azaz önmagára van leképezve, és az összes többi pont az O pont körül ugyanabba az irányba - az óramutató járásával megegyezően vagy azzal ellentétes irányba - forog (az ábra az óramutató járásával ellentétes forgást mutat).

A forgatás mozgás, mert a sík önmagára való leképezését jelenti, amelyben a távolságok megmaradnak.

A mozgás analitikus kifejezése: az előkép koordinátái és a pont képe közötti analitikus kapcsolat alakja (1).

Síkmozgások osztályozása (fix pontok és invariáns vonalak jelenlététől függően): Definíció:

A síkon egy pont akkor invariáns (rögzített), ha egy adott transzformáció során önmagává alakul.

Példa: Központi szimmetria esetén a szimmetriaközéppont pontja invariáns. Forduláskor a forgásközéppont invariáns. Axiális szimmetria esetén az invariáns egyenes egyenes - a szimmetriatengely invariáns pontok egyenes vonala.

Tétel: Ha egy mozgásnak nincs egyetlen invariáns pontja, akkor legalább egy invariáns iránya van.

Példa: Párhuzamos átvitel. Valójában az ezzel az iránnyal párhuzamos egyenesek egész alakban változatlanok, bár nem invariáns pontokból áll.

Tétel: Ha egy sugár mozog, a sugár önmagába fordítódik, akkor ez a mozgás vagy azonos transzformáció, vagy szimmetria az adott sugarat tartalmazó egyeneshez képest.

Ezért az invariáns pontok vagy ábrák jelenléte alapján lehetséges a mozgások osztályozása.

Mozgás neve	Invariáns pontok	Változatlan vonalak
Az első típusú mozgás.
1. - fordul	(középen) - 0	Nem
2. Identitás transzformáció	a sík összes pontja	mind egyenesen
3. Központi szimmetria	pont 0 - középpont	a 0 ponton átmenő összes egyenes
4. Párhuzamos átvitel	Nem	mind egyenesen
A második típusú mozgás.
5. Tengelyszimmetria.	pontok halmaza	szimmetriatengely (egyenes) minden egyenes

Síkmozgás csoport: A geometriában fontos szerepet töltenek be a figurák önkompozícióinak csoportjai. Ha egy alak egy síkon (vagy térben) van, akkor a sík (vagy tér) mindazon mozgásainak halmazát tekinthetjük, amelyek során az alak önmagába fordul.

Ez a készlet egy csoport. Például egy egyenlő oldalú háromszögnél a háromszöget önmagává alakító síkmozgások csoportja 6 elemből áll: egy pont körüli szögeken keresztüli elforgatásokból és három egyenes körüli szimmetriából.

ábrán láthatók. 1 piros vonalakkal. Egy szabályos háromszög önigazítási csoportjának elemei eltérően adhatók meg. Ennek magyarázatára számozzuk meg egy szabályos háromszög csúcsait 1, 2, 3 számokkal. A háromszög bármely önbeállítása az 1, 2, 3 pontokat ugyanabba a pontba viszi, de más sorrendben, azaz. feltételesen felírható a következő zárójelek egyikébe:

ahol az 1, 2, 3 számok azoknak a csúcsoknak a számát jelölik, amelyekbe a vizsgált mozgás eredményeként az 1, 2, 3 csúcsok kerülnek.

Projektív terek és modelljeik.

A projektív tér fogalma és a projektív tér modellje. A projektív geometria alapjai. Az O pont középpontjában álló vonalcsokor a projektív sík modellje. Projektív pontok. A kiterjesztett sík a projektív sík modellje. A kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér a projektív tér modellje. Lapos és térbeli alakzatok képei párhuzamos kivitelben.

A projektív tér fogalma és a projektív tér modellje:

A mező feletti projektív tér egy adott mező feletti lineáris tér vonalaiból (egydimenziós altereiből) álló tér. A közvetlen tereket nevezzük pontok projektív tér. Ez a meghatározás tetszőleges testre általánosítható

Ha dimenziója van, akkor a projektív tér dimenzióját számnak nevezzük, magát a projektív teret pedig jelöljük és társítva nevezzük (ennek jelzésére a jelölést veszik át).

A dimenziós vektortérből a megfelelő projektív térbe való átmenetet ún projektivizálás hely.

A pontok homogén koordinátákkal írhatók le.

A projektív geometria alapjai: A projektív geometria a geometriának egy olyan ága, amely a projektív síkokat és tereket vizsgálja. A projektív geometria fő jellemzője a kettősség elve, amely elegáns szimmetriát ad sok tervnek. A projektív geometria tanulmányozható tisztán geometriai szempontból, valamint analitikai (homogén koordináták felhasználásával) és salgebrai szempontból, a projektív síkot egy mező feletti szerkezetnek tekintve. Gyakran és történelmileg az igazi projektív síkot az euklideszi síknak tekintik, a "végtelen vonal" hozzáadásával.

Míg az euklideszi geometriával foglalkozó ábrák tulajdonságai metrikus(szögek, szakaszok, területek konkrét értékei), és az ábrák egyenértékűsége megegyezik azokkal egyezést(azaz amikor az alakzatokat mozgással egymásba lehet fordítani a metrikus tulajdonságok megőrzése mellett), a geometriai alakzatoknak több „mélyen fekvő” tulajdonsága van, amelyek a mozgásnál általánosabb típusú transzformációk során megmaradnak. A projektív geometria az osztály alatt invariáns alakzatok tulajdonságainak tanulmányozásával foglalkozik projektív transzformációk, valamint maguk ezek az átalakulások.

A projektív geometria kiegészíti az euklideszi geometriát azzal, hogy gyönyörű és egyszerű megoldásokat kínál számos olyan problémára, amelyet a párhuzamos vonalak jelenléte bonyolít. A kúpszelvények projektív elmélete különösen egyszerű és elegáns.

A projektív geometriának három fő megközelítése létezik: a független axiomatizálás, az euklideszi geometria kiegészítése és a mező feletti struktúra.

Axiomatizálás

A projektív tér különböző axiómakészletek segítségével határozható meg.

A Coxeter a következőket nyújtja:

1. Van egy egyenes és egy pont, amely nincs rajta.

2. Minden vonalnak legalább három pontja van.

3. Két ponton keresztül pontosan egy egyenest húzhatunk.

4. Ha A, B, C, És D- különböző pontok és ABÉs CD akkor metszik egymást A.C.És BD metszik egymást.

5. Ha ABC egy sík, akkor legalább egy pont nincs a síkban ABC.

6. Két különböző sík legalább két pontot metsz.

7. Egy teljes négyszög három átlós pontja nem kollineáris.

8. Ha három pont van egy egyenesen x x

A projektív síkot (a harmadik dimenzió nélkül) kissé eltérő axiómák határozzák meg:

1. Két ponton keresztül pontosan egy egyenest húzhatunk.

2. Bármely két egyenes metszi egymást.

3. Négy pont van, ebből három nem egyvonalas.

4. A teljes négyszögek három átlós pontja nem kollineáris.

5. Ha három pont van egy egyenesen x invariánsak a φ projekttivitásához képest, akkor minden pont on x invariáns φ-hez képest.

6. Desargues-tétel: Ha két háromszög egy ponton keresztül perspektivikus, akkor egy egyenesen keresztül perspektivikus.

Egy harmadik dimenzió jelenlétében Desargues tétele ideális pont és egyenes bevezetése nélkül is bebizonyítható.

Kiterjesztett sík - projektív sík modell: Az A3 affin térben veszünk egy S(O) egyenesköteget, amelynek középpontja az O pontban van, és egy Π síkot, amely nem megy át a köteg középpontján: O 6∈ Π. Az affin térben lévő vonalköteg a projektív sík modellje. Határozzuk meg a Π sík pontjainak leképezését az S összekötő egyenesek halmazára (Baszki, imádkozz, ha megkaptad ezt a kérdést, bocsáss meg)

Kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér – a projektív tér modellje:

Annak érdekében, hogy a leképezés szürjektív legyen, megismételjük a Π affin sík formális kiterjesztésének folyamatát a Π projektív síkra, kiegészítve a Π síkot nem megfelelő pontok halmazával (M∞), így: ((M∞)) = P0(O). Mivel a térképen az S(O) síkköteg minden síkjának inverz képe egy egyenes a d síkon, nyilvánvaló, hogy a kiterjesztett sík összes helytelen pontjának halmaza: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), a kiterjesztett sík egy nem megfelelő d∞ egyenesét jelenti, amely a Π0 szinguláris sík inverz képe: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Egyezzünk meg abban, hogy itt és a továbbiakban az utolsó P0(O) = Π0 egyenlőséget ponthalmazok egyenlősége értelmében fogjuk érteni, de más szerkezettel felruházva. Az affin síkot egy nem megfelelő vonallal kiegészítve biztosítottuk, hogy a leképezés (I.21) bijektív legyen a kiterjesztett sík összes pontjának halmazán:

Lapos és térbeli alakzatok képei párhuzamos tervezés során:

A sztereometriában a térbeli alakzatokat tanulmányozzák, de a rajzon lapos figurákként ábrázolják őket. Hogyan kell egy térbeli alakot síkon ábrázolni? A geometriában jellemzően párhuzamos tervezést alkalmaznak erre. Legyen p valami sík, l- azt metsző egyenes (1. ábra). Egy tetszőleges ponton keresztül A, nem tartozik a vonalhoz l, rajzoljon a vonallal párhuzamos egyenest l. Ennek az egyenesnek a p síkkal való metszéspontját a pont párhuzamos vetületének nevezzük A az egyenes irányába eső p síkra l. Jelöljük A". Ha a lényeg A sorhoz tartozik l, majd párhuzamos vetítéssel A az egyenes metszéspontját a p síkon lévőnek tekintjük l síkkal p.

Így minden pont A tér vetületét összehasonlítjuk A" a p síkra. Ezt a megfelelést nevezzük párhuzamos vetítésnek a p síkra az egyenes irányában l.

Projektív transzformációk csoportja. Alkalmazás problémamegoldásra.

A sík projektív transzformációjának fogalma. Példák a sík projektív transzformációira. Projektív transzformációk tulajdonságai. Homológia, a homológia tulajdonságai. Projektív transzformációk csoportja.

A sík projektív transzformációjának fogalma: A projektív transzformáció fogalma általánosítja a központi vetület fogalmát. Ha végrehajtjuk az α sík központi vetületét valamilyen α 1 síkra, akkor α 1 vetítését α 2-re, α 2 vetítését α 3-ra, ... és végül valamilyen α síkra. n ismét α 1-en, akkor ezeknek a vetületeknek az összetétele az α sík projektív transzformációja; Egy ilyen láncban párhuzamos vetületek is szerepelhetnek.

Példák projektív sík transzformációra: Egy kész sík projektív transzformációja annak egy az egyhez leképezése önmagára, amelyben megmarad a pontok kollinearitása, vagy más szóval bármely vonal képe egyenes. Bármely projektív transzformáció központi és párhuzamos vetületek láncolatának összetétele. Az affin transzformáció a projektív transzformáció speciális esete, amelyben a végtelenben lévő egyenes önmagába fordul.

A projektív transzformációk tulajdonságai:

A projektív transzformáció során három, egy egyenesen nem fekvő pont három nem egy egyenesen fekvő ponttá alakul.

A projektív transzformáció során a keret keretté alakul.

A projektív transzformáció során a vonal egyenes, a ceruza pedig a ceruzává válik.

Homológia, a homológia tulajdonságai:

Egy olyan sík projektív transzformációját, amelyben invariáns pontokból álló vonal van, tehát invariáns vonalakból álló ceruza, homológiának nevezzük.

1. A nem egybeeső megfelelő homológiapontokon átmenő egyenes invariáns egyenes;

2. A nem egybeeső megfelelő homológiapontokon átmenő egyenesek ugyanahhoz a ceruzához tartoznak, amelynek középpontja egy invariáns pont.

3. A pont, a képe és a homológia középpontja ugyanazon az egyenesen fekszik.

Projektív transzformációk csoportja: tekintsük a P 2 projektív sík önmagára való projektív leképezését, vagyis ennek a síknak a projektív transzformációját (P 2 ’ = P 2).

Mint korábban, a P 2 projektív sík f 1 és f 2 projektív transzformációinak f összetétele az f 1 és f 2 transzformációk szekvenciális végrehajtásának eredménye: f = f 2 °f 1 .

1. Tétel: a P 2 projektív sík összes projektív transzformációjának H halmaza a projektív transzformációk összetétele szempontjából egy csoport.

A másodfokú formák tehetetlenségi törvénye. Fentebb már megjegyeztük, hogy egy másodfokú alak rangja megegyezik a nem nulla kanonikus együtthatók számával. Így a nem nulla kanonikus együtthatók száma nem függ a nem degenerált transzformáció megválasztásától, amellyel a formát kanonikus formává redukáljuk. Valójában a formát kanonikus formára redukáló bármely módszerrel a pozitív és negatív kanonikus együtthatók száma nem változik. Ezt a tulajdonságot a másodfokú formák tehetetlenségi törvényének nevezzük.

Határozza meg a bázis formáját a mátrix:

, (4.20)

hol vannak a vektor koordinátái a bázisban e. Tegyük fel, hogy ezt a formát nem degenerált koordinátatranszformáció segítségével kanonikus formává redukáljuk

és nem nulla kanonikus együtthatók, úgy számozva, hogy ezen együtthatók közül az első pozitív, a következő együtthatók pedig negatívak:

, , …, , , …, .

Tekintsük a következő nem degenerált koordináta transzformációt:

Ennek az átalakításnak az eredményeként a forma felveszi a formát

másodfokú forma normálalakjának nevezzük.

4.5. Tétel (a másodfokú formák tehetetlenségi törvénye). A pozitív (negatív) együtthatójú tagok száma egy másodfokú alak normál alakjában nem függ attól, hogy milyen módszerrel redukáljuk az alakot erre a formára.

Következmény. Két másodfokú alak akkor és csak akkor ekvivalens, ha az alakok rangsorai egyenlőek, és a pozitív és negatív tehetetlenségi indexek egybeesnek.

A másodfokú formák osztályozása. Ebben a részben a tehetetlenségi index, a másodfokú alak pozitív és negatív tehetetlenségi indexe fogalmát használva azt mutatjuk be, hogyan lehet megtudni, hogy egy másodfokú forma a fent felsorolt ​​típusok valamelyikébe tartozik-e (pozitív határozott, negatív határozott, váltakozó és kvázi jel határozott). Ebben az esetben egy másodfokú forma tehetetlenségi indexének nevezzük ennek az alaknak a nullától eltérő kanonikus együtthatóinak számát (azaz a rangját), a pozitív tehetetlenségi indexét a pozitív kanonikus együtthatók számának, a negatív tehetetlenségi indexét a negatívak számának. kanonikus együtthatók. Nyilvánvaló, hogy a pozitív és negatív tehetetlenségi indexek összege egyenlő a tehetetlenségi indexszel. A negatív és pozitív tehetetlenségi indexeket a reláció kapcsolja össze, és a vagy párt hívják aláírás másodfokú forma.

Legyen tehát a másodfokú alak tehetetlenségi indexe, pozitív és negatív tehetetlenségi indexe rendre egyenlő, és ()-vel. Az előző bekezdésben bebizonyosodott, hogy bármely kanonikus alapon ez a forma a következő normál formára redukálható:

hol vannak a vektor koordinátái a bázisban.

6. példa Keresse meg a másodfokú alak normálalakját és aláírását!

Ennek a formának a kanonikus alakja: . Tegyük fel , , . Akkor . Ez a másodfokú forma normál formája. Pozitív tehetetlenségi index: , negatív tehetetlenségi index. Ezért a másodfokú alak aláírása .

4.6. Tétel (szükséges és elégséges feltétel a másodfokú alak előjeléhez) Ahhoz, hogy egy n-dimenziós L lineáris térben adott másodfokú alak előjel-határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy vagy a pozitív tehetetlenségi mutató, vagy a negatív tehetetlenségi index egyenlő legyen az L tér dimenziójával. , ha , akkor az alak pozitív határozott, ha , akkor a forma negatív határozott.

Megjegyzés. Hogy tisztázzuk a másodfokú forma határozott jelének kérdését a megjelölt ismérv alapján, ezt a formát a kanonikus formájába kell hoznunk.

4.7. Tétel (szükséges és elégséges feltétele a másodfokú alak jeleinek váltakozásának) Ahhoz, hogy egy másodfokú alak váltakozzon, szükséges és elégséges, hogy ennek a formának mind a pozitív, mind a negatív tehetetlenségi indexe különbözik a nullától.

4.8. Tétel (szükséges és elégséges feltétele egy másodfokú alak kvázijel-meghatározásának) Ahhoz, hogy egy forma kvázi előjel határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy a következő relációk teljesüljenek: vagy , , vagy , .

Sylvester kritériuma a másodfokú forma határozott jelére. Határozza meg a bázis alakját a mátrix: és legyen , , … a szög (fő)mollok és a mátrix determinánsa. A következő állítás igaz:

4.9. tétel (Sylvester-kritérium) Ahhoz, hogy egy másodfokú alak pozitív határozott legyen, szükséges és elégséges, hogy a , , …, .

Ahhoz, hogy egy másodfokú alak negatív határozott legyen, szükséges és elégséges, hogy a szögmollok jelei váltakoznak, és.

Következmény 1 Ahhoz, hogy egy másodfokú alak negatív határozott legyen, szükséges és elégséges, hogy minden páros sorrendű szögmoll pozitív, és minden páratlan sorrendű szögmoll negatív legyen, ellenkező esetben a , , ..., , egyenlőtlenségek teljesülnek. .

Következmény 2 Ahhoz, hogy egy másodfokú alak nenegatív legyen, szükséges és elégséges, hogy a mátrixának minden nagyobb (nem csak szögletes) mollja nem negatív.

Következmény 3 Ahhoz, hogy egy másodfokú alak ne legyen pozitív, szükséges és elegendő, hogy minden páros sorrendű vezető moll ne legyen negatív, és minden páratlan sorrendű vezető moll ne legyen pozitív.

Következmény 4 Ahhoz, hogy egy másodfokú alak határozatlan (alternáló) legyen, szükséges és elegendő, hogy a mátrixában legyen egy páros rendű negatív vezető moll és két különböző előjelű páratlan sorrendű vezető moll.

7. példa Vizsgálja meg a másodfokú alakzatokat a jelek meghatározottságára:

1) Másodfokú mátrix esetén keresse meg az összes szög-mollt

Ebben az esetben megint csak a szögletes kiskorúak értékei alapján nem lehet választ adni. Keressük meg az összes nagyobb kiskorút. Az elsőrendű nem szögletes főmollok a 2 és 4. A másodrendű nem szögletes főmollok a ,. Van egy páros sorrendű negatív vezető moll. Ezért a másodfokú forma határozatlan.