Hogyan lehet megtudni, hogy a vektorok lineárisan függenek-e? Egy vektorrendszer lineáris függése és lineáris függetlensége

A vektorrendszert ún lineárisan függő, ha vannak olyan számok, amelyek közül legalább egy különbözik nullától, úgy, hogy az egyenlőség https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ha ez az egyenlőség csak abban az esetben teljesül, ha mind, akkor a vektorrendszert hívjuk lineárisan független.

Tétel. A vektorrendszer fog lineárisan függő akkor és csak akkor, ha legalább egy vektora a többi lineáris kombinációja.

1. példa Polinom a polinomok lineáris kombinációja https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. A polinomok lineárisan független rendszert alkotnak, mivel a https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24"> polinom.

2. példa A , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> mátrixrendszer lineárisan független, mivel egy lineáris kombináció egyenlő a nulla mátrix csak abban az esetben, ha https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineárisan függő.

Megoldás.

Készítsünk lineáris kombinációt ezekből a vektorokból https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" magasság=" 22">.

Az egyenlő vektorok ugyanazon koordinátáinak egyenlőségével a következőt kapjuk: https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Végre megkapjuk

És

A rendszernek egyedi triviális megoldása van, így ezen vektorok lineáris kombinációja csak abban az esetben egyenlő nullával, ha minden együttható nulla. Ezért ez a vektorrendszer lineárisan független.

4. példa A vektorok lineárisan függetlenek. Milyenek lesznek a vektorrendszerek?

a);

b).?

Megoldás.

a) Készítsünk lineáris kombinációt, és egyenlőségjelet adjunk nullához

A lineáris térbeli vektorokkal végzett műveletek tulajdonságait felhasználva átírjuk a formába az utolsó egyenlőséget

Mivel a vektorok lineárisan függetlenek, a at együtthatóknak nullának kell lenniük, azaz.gif" width="12" height="23 src=">

Az így kapott egyenletrendszer egyedi triviális megoldással rendelkezik .

Az egyenlőség óta (*) csak akkor kerül végrehajtásra, ha https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineárisan független;

b). Készítsünk egyenlőséget https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Hasonló érvelést alkalmazva azt kapjuk, hogy

Az egyenletrendszert Gauss-módszerrel megoldva megkapjuk

vagy

Ez utóbbi rendszernek végtelen számú megoldása van https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Így van egy nem- az együtthatók nulla halmaza, amelyre érvényes az egyenlőség (**) . Ezért a vektorok rendszere – lineárisan függő.

5. példa A vektorrendszer lineárisan független, a vektorrendszer pedig lineárisan függő..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Egyenjogúságban (***) . Valójában a rendszer lineárisan függő lenne.

A kapcsolatból (***) kapunk vagy Jelöljük .

Kapunk

Önálló megoldási feladatok (tanteremben)

1. Egy nulla vektort tartalmazó rendszer lineárisan függő.

2. Egy vektorból álló rendszer A, akkor és csak akkor lineárisan függ, a=0.

3. Egy két vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha a vektorok arányosak (vagyis az egyiket a másikból egy számmal való szorzással kapjuk meg).

4. Ha hozzáadunk egy vektort egy lineárisan függő rendszerhez, akkor egy lineárisan függő rendszert kapunk.

5. Ha egy vektort eltávolítunk egy lineárisan független rendszerből, akkor a kapott vektorrendszer lineárisan független.

6. Ha a rendszer S lineárisan független, de vektor összeadásakor lineárisan függővé válik b, majd a vektor b rendszervektorokon keresztül lineárisan kifejezve S.

c). Mátrixrendszer , , másodrendű mátrixok terében.

10. Legyen a vektorrendszer a,b,c A vektortér lineárisan független. Igazolja a következő vektorrendszerek lineáris függetlenségét:

a)a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– tetszőleges szám

c).a+b, a+c, b+c.

11. Hadd a,b,c– három vektor a síkon, amelyből háromszöget lehet alkotni. Lineárisan függenek ezek a vektorok?

12. Két vektor adott a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Keress még két négydimenziós vektort a3 ésa4 hogy a rendszer a1,a2,a3,a4 lineárisan független volt .

általunk bemutatott lineáris műveletek vektorokon lehetővé teszik különféle kifejezések létrehozását vektor mennyiségekés átalakítsa azokat az ezekhez a műveletekhez beállított tulajdonságok segítségével.

Adott a 1, ..., a n vektorhalmaz alapján létrehozhat egy kifejezést az alakból

ahol a 1, ... és n tetszőleges valós számok. Ezt a kifejezést hívják vektorok lineáris kombinációja a 1, ..., a n. Az α i, i = 1, n számok azt jelentik lineáris kombinációs együtthatók. A vektorok halmazát is nevezzük vektorok rendszere.

A bevezetett lineáris vektorkombináció fogalmával kapcsolatban felmerül egy olyan vektorhalmaz leírása, amely egy adott a 1, ..., a n vektorrendszer lineáris kombinációjaként írható fel. Emellett természetes kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy milyen feltételek mellett létezik egy vektor lineáris kombináció formájában történő ábrázolása, és egy ilyen ábrázolás egyedisége.

Meghatározás 2.1. Az a 1, ... és n vektorokat hívjuk lineárisan függő, ha van olyan α 1 , ... , α n együtthatók halmaza,

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

és ezen együtthatók legalább egyike nem nulla. Ha a megadott együtthatóhalmaz nem létezik, akkor a vektorok meghívásra kerülnek lineárisan független.

Ha α 1 = ... = α n = 0, akkor nyilvánvalóan α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Ezt figyelembe véve a következőket mondhatjuk: vektorok a 1, ... és n lineárisan független, ha a (2.2) egyenlőségből az következik, hogy minden α 1 , ... , α n együttható nulla.

A következő tétel megmagyarázza, miért nevezik az új fogalmat „függőségnek” (vagy „függetlenségnek”), és egy egyszerű kritériumot ad a lineáris függőséghez.

Tétel 2.1. Ahhoz, hogy az a 1, ... és n, n > 1 vektorok lineárisan függőek legyenek, szükséges és elegendő, hogy az egyik a többi lineáris kombinációja.

◄ Szükségszerűség. Tegyük fel, hogy az a 1, ... és n vektorok lineárisan függőek. A lineáris függés 2.1 definíciója szerint a (2.2) egyenlőségben a bal oldalon van legalább egy nullától eltérő együttható, például α 1. Az első tagot az egyenlőség bal oldalán hagyva, a többit a jobb oldalra helyezzük, előjeleiket szokás szerint megváltoztatva. A kapott egyenlőséget α 1-gyel elosztva kapjuk

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

azok. az a 1 vektor ábrázolása a fennmaradó a 2, ..., a n vektorok lineáris kombinációjaként.

Megfelelőség. Legyen például az első a 1 vektor a fennmaradó vektorok lineáris kombinációjaként: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Az összes tagot a jobb oldalról a balra áthelyezve egy 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0-t kapunk, azaz. a 1, ..., a n vektorok lineáris kombinációja α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n együtthatókkal nulla vektor. Ebben a lineáris kombinációban nem minden együttható nulla. A 2.1 definíció szerint az a 1, ... és n vektorok lineárisan függenek.

A lineáris függőség definíciója és kritériuma úgy van megfogalmazva, hogy két vagy több vektor jelenlétére utaljon. Beszélhetünk azonban egy vektor lineáris függéséről is. Ennek a lehetőségnek a megvalósításához a „vektorok lineárisan függőek” helyett azt kell mondani, hogy „a vektorok rendszere lineárisan függő”. Könnyen belátható, hogy az „egy vektorból álló rendszer lineárisan függő” kifejezés azt jelenti, hogy ez az egyetlen vektor nulla (egy lineáris kombinációban csak egy együttható van, és ez nem lehet egyenlő nullával).

A lineáris függés fogalmának egyszerű geometriai értelmezése van. A következő három állítás ezt az értelmezést világítja meg.

Tétel 2.2. Két vektor akkor és csak akkor lineárisan függ kollineáris.

◄ Ha a és b vektorok lineárisan függőek, akkor az egyik, például a, a másikon keresztül fejeződik ki, azaz. a = λb valamilyen λ valós számra. Az 1.7 művek vektorok számonként, az a és b vektorok kollineárisak.

Legyenek most a és b vektorok kollineárisak. Ha mindkettő nulla, akkor nyilvánvaló, hogy lineárisan függenek egymástól, mivel ezek bármely lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral. Legyen ezen vektorok egyike ne egyenlő 0-val, például a b vektor. Jelöljük λ-val a vektorhosszak arányát: λ = |a|/|b|. Kollineáris vektorok lehetnek egyirányú vagy ellentétes irányú. Ez utóbbi esetben λ előjelét változtatjuk. Ezután az 1.7 definíciót ellenőrizve meggyőződünk arról, hogy a = λb. A 2.1. Tétel szerint az a és b vektorok lineárisan függenek egymástól.

Megjegyzés 2.1. Két vektor esetén a lineáris függés kritériumát figyelembe véve a bizonyított tétel a következőképpen fogalmazható újra: két vektor akkor és csak akkor kollineáris, ha az egyiket a másik szorzataként ábrázoljuk egy számmal. Ez egy kényelmes kritérium két vektor kollinearitásához.

Tétel 2.3. Három vektor akkor és csak akkor lineárisan függ egysíkú.

◄ Ha három a, b, c vektor lineárisan függő, akkor a 2.1. Tétel szerint az egyik, például a, a többiek lineáris kombinációja: a = βb + γс. Kombináljuk a b és c vektorok origóját az A pontban. Ekkor a βb, γс vektoroknak közös origójuk lesz az A pontban és annak mentén. a paralelogramma szabály szerint összegük az azok. az a vektor egy A és origójú vektor lesz vége, amely a komponensvektorokra épített paralelogramma csúcsa. Így minden vektor ugyanabban a síkban van, azaz egy síkban.

Legyenek a, b, c vektorok egysíkúak. Ha ezen vektorok egyike nulla, akkor nyilvánvalóan a többi vektor lineáris kombinációja. Elég, ha egy lineáris kombináció összes együtthatóját nullával egyenlőnek vesszük. Ezért feltételezhetjük, hogy mindhárom vektor nem nulla. Összeegyeztethető elindult ezeknek a vektoroknak egy közös O pontban. Legyenek végeik rendre A, B, C pontok (2.1. ábra). A C ponton keresztül párhuzamos egyeneseket húzunk az O, A és O, B pontpárokon átmenő egyenesekkel. A metszéspontokat A" és B"-ként jelölve egy OA"CB" paralelogrammát kapunk, ezért OC" = OA" + OB". Az OA" vektor és a nullától eltérő vektor a = OA kollineárisak, ezért ezek közül az elsőt úgy kaphatjuk meg, hogy a másodikat megszorozzuk egy α:OA" = αOA valós számmal. Hasonlóképpen, OB" = βOB, β ∈ R. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy OC" = α OA + βOB, azaz a c vektor a és b vektorok lineáris kombinációja. A 2.1. Tétel szerint az a, b, c vektorok lineárisan függenek egymástól.

Tétel 2.4. Bármely négy vektor lineárisan függ.

◄ A bizonyítást ugyanazon séma szerint hajtjuk végre, mint a 2.3. Tételben. Tekintsünk tetszőleges négy a, b, c és d vektort. Ha a négy vektor közül az egyik nulla, vagy van köztük két kollineáris vektor, vagy a négy vektor közül három koplanáris, akkor ez a négy vektor lineárisan függ. Például, ha a és b vektorok kollineárisak, akkor a lineáris kombinációjukat αa + βb = 0 nem nulla együtthatókkal állíthatjuk elő, majd a maradék két vektort hozzáadjuk ehhez a kombinációhoz, együtthatóként nullákat véve. Négy 0-val egyenlő vektor lineáris kombinációját kapjuk, amelyben nullától eltérő együtthatók vannak.

Feltételezhetjük tehát, hogy a kiválasztott négy vektor között egyetlen vektor sem nulla, nincs kettő kollineáris, és nincs három egysíkú. Közös kezdetüknek válasszuk az O pontot, ekkor az a, b, c, d vektorok végei néhány A, B, C, D pont lesz (2.2. ábra). A D ponton keresztül három, az OBC, OCA, OAB síkkal párhuzamos síkot rajzolunk, és legyen A", B", C" e síkok metszéspontja az OA, OB, OS egyenesekkel. Kapunk egy paralelepipedon OA" C "B" C" B"DA", és a, b, c vektorok fekszenek az O csúcsból kilépő élein. Mivel az OC"DC" négyszög paralelogramma, akkor OD = OC" + OC". Az OC" szakasz viszont egy OA"C"B átlós paralelogramma, tehát OC" = OA" + OB" és OD = OA" + OB" + OC" .

Továbbra is meg kell jegyezni, hogy az OA ≠ 0 és OA" , OB ≠ 0 és OB", OC ≠ 0 és OC" vektorpárok kollineárisak, és ezért lehetséges az α, β, γ együtthatók kiválasztása úgy, hogy OA" = αOA, OB" = βOB és OC" = γOC. Végül azt kapjuk, hogy OD = αOA + βOB + γOC. Következésképpen az OD vektor a másik három vektoron keresztül fejeződik ki, és a 2.1. Tétel szerint mind a négy vektor lineárisan függ.

1. definíció. A vektorok lineáris kombinációja ezen vektorok és skalárok szorzatának összege
:

2. definíció. Vektoros rendszer
lineárisan függő rendszernek nevezzük, ha a lineáris kombinációjuk (2.8) eltűnik:

és a számok között
van legalább egy, ami különbözik a nullától.

3. definíció. Vektorok
lineárisan függetlennek nevezzük, ha lineáris kombinációjuk (2.8) csak abban az esetben tűnik el, ha minden szám.

Ezekből a meghatározásokból a következő következtetések vonhatók le.

Következmény 1. Egy lineárisan függő vektorrendszerben legalább egy vektor kifejezhető a többiek lineáris kombinációjaként.

Bizonyíték. Teljesüljön (2.9) és a határozottság kedvéért legyen az együttható
. Akkor nálunk van:
. Vegyük észre, hogy fordítva is igaz.

Következmény 2. Ha a vektorok rendszere
nulla vektort tartalmaz, akkor ez a rendszer (feltétlenül) lineárisan függő - a bizonyíték nyilvánvaló.

Következmény 3. Ha között n vektorok
Bármi k(
) vektorok lineárisan függenek, akkor ennyi n vektorok lineárisan függőek (a bizonyítást elhagyjuk).

2 0 . Két, három és négy vektor lineáris kombinációi. Tekintsük a vektorok lineáris függésének és függetlenségének kérdéseit egyenesen, síkon és térben. Mutassuk be a megfelelő tételeket.

1. tétel. Ahhoz, hogy két vektor lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy kollineárisak legyenek.

Szükségesség. Hagyjuk a vektorokat És lineárisan függő. Ez azt jelenti, hogy lineáris kombinációjuk
=0 és (a határozottság kedvéért)
. Ez az egyenlőséget jelenti
, és (egy vektor számmal való szorzásának definíciója szerint) vektorok És kollineáris.

Megfelelőség. Hagyjuk a vektorokat És kollineáris ( ║) (feltételezzük, hogy eltérnek a nulla vektortól; különben lineáris függőségük nyilvánvaló).

A (2.7) tétel alapján (lásd 2.1. §, 2 0. tétel) akkor
oly módon, hogy
, vagy
– a lineáris kombináció egyenlő nullával, az együttható pedig at egyenlő 1 – vektorokkal És lineárisan függő.

Ebből a tételből a következő következmény következik.

Következmény. Ha a vektorok És nem kollineárisak, akkor lineárisan függetlenek.

2. tétel. Ahhoz, hogy három vektor lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy egy síkban legyenek.

Szükségesség. Hagyjuk a vektorokat ,És lineárisan függő. Mutassuk meg, hogy egy síkban vannak.

A vektorok lineáris függésének definíciójából a számok létezése következik
És úgy, hogy a lineáris kombináció
, és ezzel egyidejűleg (hogy pontos legyek)
. Ekkor ebből az egyenlőségből ki tudjuk fejezni a vektort :=
, vagyis a vektor egyenlő egy paralelogramma átlójával, amelyet ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán lévő vektorokra építettünk (2.6. ábra). Ez azt jelenti, hogy a vektorok ,És ugyanabban a síkban fekszenek.

Megfelelőség. Hagyjuk a vektorokat ,És egysíkú. Mutassuk meg, hogy lineárisan függenek egymástól.

Zárjuk ki bármely vektorpár kollinearitási esetét (mert akkor ez a pár lineárisan függ, és a 3. következmény szerint (lásd 1 0. bekezdés) mindhárom vektor lineárisan függ). Megjegyzendő, hogy ez a feltételezés azt is kizárja, hogy e három között nulla vektor létezik.

Mozgassunk három síkbeli vektort egy síkba, és hozzuk őket egy közös origóba. A vektor végén keresztül rajzoljunk a vektorokkal párhuzamos vonalakat És ; megkapjuk a vektorokat És (2.7. ábra) - létüket az biztosítja, hogy a vektorok És vektorok, amelyek feltételezés szerint nem kollineárisak. Ebből következik, hogy a vektor =+. Az egyenlőség átírása a (–1) alakba ++=0, arra a következtetésre jutunk, hogy a vektorok ,És lineárisan függő.

A bizonyított tételből két következmény következik.

Következmény 1. Hadd És nem kollineáris vektorok, vektor – tetszőleges, a vektorok által meghatározott síkban fekvő És , vektor. Aztán vannak számok És oly módon, hogy

=+. (2.10)

Következmény 2. Ha a vektorok ,És nem egysíkúak, akkor lineárisan függetlenek.

3. tétel. Bármely négy vektor lineárisan függ.

A bizonyítást mellőzzük; némi módosítással lemásolja a 2. tétel bizonyítását. Adjunk egy következményt ebből a tételből.

Következmény. Minden nem egysíkú vektorhoz ,,és bármilyen vektor
És oly módon, hogy

. (2.11)

Megjegyzés. A (háromdimenziós) térben lévő vektorok esetében a lineáris függés és függetlenség fogalma, amint az a fenti 1-3. tételből következik, egyszerű geometriai jelentéssel bír.

Legyen két lineárisan függő vektor És . Ebben az esetben az egyik a második lineáris kombinációja, vagyis egyszerűen egy számszerű tényezővel különbözik tőle (például
). Geometriailag ez azt jelenti, hogy mindkét vektor egy közös egyenesen van; irányuk lehet azonos vagy ellentétes (2.8. ábra xx).

Ha két vektor egymáshoz képest szöget zár be (2.9. ábra xx), akkor ebben az esetben lehetetlen az egyiket úgy megszerezni, hogy a másikat megszorozzuk egy számmal - az ilyen vektorok lineárisan függetlenek. Ezért két vektor lineáris függetlensége És azt jelenti, hogy ezek a vektorok nem fektethetők egy egyenesre.

Nézzük meg három vektor lineáris függésének és függetlenségének geometriai jelentését.

Hagyjuk a vektorokat ,És lineárisan függőek, és legyen (hogy specifikus legyen) a vektor vektorok lineáris kombinációja És , azaz a vektorokat tartalmazó síkban található És . Ez azt jelenti, hogy a vektorok ,És ugyanabban a síkban fekszenek. Ennek fordítva is igaz: ha a vektorok ,És ugyanabban a síkban fekszenek, akkor lineárisan függenek.

Így a vektorok ,És akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha nem fekszenek ugyanabban a síkban.

3 0 . Az alap fogalma. A lineáris és vektoralgebra egyik legfontosabb fogalma a bázis fogalma. Mutassunk be néhány definíciót.

1. definíció. Egy vektorpárt rendezettnek nevezünk, ha meg van adva, hogy ennek a párnak melyik vektorát tekintjük elsőnek és melyiket másodiknak.

2. definíció. Rendelt pár ,a nem kollineáris vektorokat bázisnak nevezzük az adott vektorok által meghatározott síkon.

1. tétel. Bármilyen vektor a síkon vektorok alaprendszerének lineáris kombinációjaként ábrázolható ,:

(2.12)

és ez az ábrázolás az egyetlen.

Bizonyíték. Hagyjuk a vektorokat És alapot képeznek. Akkor bármilyen vektor formában ábrázolható
.

Az egyediség bizonyításához tegyük fel, hogy van még egy dekompozíció
. Ekkor = 0, és a különbségek közül legalább egy különbözik nullától. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a vektorok És lineárisan függő, azaz kollineáris; ez ellentmond annak az állításának, hogy ezek képezik alapot.

De akkor csak bomlás van.

3. definíció. A vektorok hármasát rendezettnek nevezzük, ha meg van adva, hogy melyik vektor tekinthető elsőnek, melyik a második és melyik a harmadik.

4. definíció. A nem egysíkú vektorok rendezett hármasát térbeli bázisnak nevezzük.

A dekompozíció és az egyediség tétele itt is érvényes.

2. tétel. Bármilyen vektor az alapvektorrendszer lineáris kombinációjaként ábrázolható ,,:

(2.13)

és ez az ábrázolás egyedi (a tétel bizonyítását mellőzzük).

A (2.12) és (2.13) bővítésekben a mennyiségek vektorkoordinátáknak nevezzük adott alapon (pontosabban affin koordinátákkal).

Fix alapon
És
tudsz írni
.

Például ha az alapot adott
és ez adott
, akkor ez azt jelenti, hogy létezik reprezentáció (dekompozíció)
.

4 0 . Lineáris műveletek vektorokon koordináta formában. A bázis bevezetése lehetővé teszi, hogy a vektorokon végzett lineáris műveleteket lecseréljék a számokra - ezeknek a vektoroknak a koordinátáira - végzett szokásos lineáris műveletekre.

Adjunk némi alapot
. Nyilvánvalóan a vektorkoordináták megadása ezen a bázison teljesen meghatározza magát a vektort. A következő javaslatok érvényesek:

a) két vektor
És
akkor és csak akkor egyenlők, ha a megfelelő koordinátáik egyenlőek:

b) vektor szorzásakor
számonként koordinátáit megszorozzuk ezzel a számmal:

; (2.15)

c) vektorok összeadásakor a megfelelő koordinátáikat hozzáadjuk:

Ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyítását mellőzzük; A b) tulajdonságot csak példaként bizonyítsuk. Nekünk van

==

Megjegyzés. A térben (a síkon) végtelenül sok bázist választhatsz.

Adjunk példát az egyik bázisból a másikba való átmenetre, és hozzunk létre kapcsolatokat a különböző bázisok vektorkoordinátái között.

1. példa. Az alaprendszerben
három vektort adunk:
,
És
. Alapban ,,vektor bomlása van. Keresse meg a vektor koordinátáit az alapban
.

Megoldás. Bővítéseink vannak:
,
,
; ennélfogva,
=
+2
+
= =
, vagyis
az alapban
.

2. példa. Engedj be valami alapot
négy vektort adnak meg a koordinátái:
,
,
És
.

Nézze meg, hogy a vektorok kialakulnak-e
alapon; ha a válasz pozitív, keresse meg a vektor dekompozícióját ezen az alapon.

Megoldás. 1) vektorok képeznek bázist, ha lineárisan függetlenek. Készítsünk vektorok lineáris kombinációját
(
), és megtudja, miben
És nullára megy:
=0. Nekünk van:

=
+
+
=

A vektorok egyenlőségét koordináta alakban definiálva a következő (lineáris homogén algebrai) egyenletrendszert kapjuk:
;
;
, melynek meghatározója
=1
, vagyis a rendszernek (csak) triviális megoldása van
. Ez a vektorok lineáris függetlenségét jelenti
és ezért alapot képeznek.

2) bontsa ki a vektort ezen az alapon. Nekünk van: =
vagy koordináta formában.

Továbblépve a vektorok koordinátaformájú egyenlőségére, lineáris inhomogén algebrai egyenletrendszert kapunk:
;
;
. Megoldva (például a Cramer-szabály segítségével) a következőket kapjuk:
,
,
és (
)
. Megvan a vektorbontás az alapban
:=.

5 0 . Vektor vetítése egy tengelyre. A vetületek tulajdonságai. Legyen valami tengely l, azaz egy egyenes, amelyen egy irányt választunk, és legyen adott valamilyen vektor Határozzuk meg a vektorvetítés fogalmát tengelyenként l.

Meghatározás. Vektoros vetítés tengelyenként l ennek a vektornak a modulusának és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatát nevezzük lés vektor (2.10. ábra):

. (2.17)

Ennek a definíciónak a következménye az az állítás, hogy az egyenlő vektoroknak egyenlő vetületei vannak (ugyanazon a tengelyen).

Jegyezzük meg a vetületek tulajdonságait.

1) vektorok összegének vetítése valamilyen tengelyre l egyenlő a vektorok tagjainak ugyanazon tengelyre vetített vetületeinek összegével:

2) a skalár szorzatának vetülete egy vektorral egyenlő ennek a skalárnak a szorzatával, amelyet a vektor ugyanarra a tengelyre vetítenek:

=
. (2.19)

Következmény. A vektorok lineáris kombinációjának a tengelyre vetítése megegyezik a vetületeik lineáris kombinációjával:

A tulajdonságok bizonyításait mellőzzük.

6 0 . Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben.Egy vektor felbontása a tengelyek egységvektoraiban. Válasszunk három egymásra merőleges egységvektort bázisnak; speciális jelöléseket vezetünk be számukra
. Azáltal, hogy kezdetüket egy pontra helyezik O, ezek mentén fogunk irányítani (az ortsnak megfelelően
) koordinátatengelyek Ökör,Oyés O z(azt a tengelyt, amelynek pozitív iránya, origója és hosszegysége kiválasztott, koordinátatengelynek nevezzük).

Meghatározás. Három, egymásra merőleges koordinátatengelyből álló rendezett rendszert, amelyeknek közös origója és közös hosszegysége van, térben derékszögű derékszögű koordinátarendszernek nevezzük.

Tengely Ökör az úgynevezett abszcissza tengely, Oy– ordináta tengely uO z – tengelyes applikátor.

Foglalkozzunk egy tetszőleges vektor bázis szempontjából történő kiterjesztésével
. A tételből (lásd 2.2. § 3 0. bekezdés, (2.13)) az következik, hogy
egyedileg bővíthető a bázis felett
(itt a koordináták kijelölése helyett
használat
):

. (2.21)

B (2,21)
esszencia (derékszögű) vektor koordinátái . A derékszögű koordináták jelentését a következő tétel határozza meg.

Tétel. Derékszögű derékszögű koordináták
vektor ennek a vektornak a tengelyre vetületei Ökör,Oyés O z.

Bizonyíték. Helyezzük el a vektort a koordinátarendszer origójához - pont O. Akkor a vége egy bizonyos ponttal egybeesik
.

Rajzoljuk át a pontot
három, a koordinátasíkkal párhuzamos sík Oyz,OxzÉs Oxy(2.11. ábra xx). Ekkor kapjuk:

. (2.22)

A (2.22)-ben a vektorok
És
vektorkomponenseknek nevezzük
a tengelyek mentén Ökör,Oyés O z.

Engedd át
És a vektor által alkotott szögek rendre vannak feltüntetve ortákkal
. Ezután az összetevőkre a következő képleteket kapjuk:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

A (2.21), (2.22) (2.23) értékekből a következőket találjuk:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

– koordináták
vektor ennek a vektornak vannak vetületei a koordinátatengelyekre Ökör,Oyés O z illetőleg.

Megjegyzés. Számok
a vektor irány koszinuszainak nevezzük .

Vektor modul (téglalap alakú paralelepipedon átlója) a következő képlettel számítható ki:

. (2.24)

A (2.23) és (2.24) képletekből következik, hogy az iránykoszinuszokat a következő képletekkel lehet kiszámítani:

=
;
=
;
=
. (2.25)

A (2.25)-ben szereplő egyenlőségek mindkét oldalát megemelve, és a kapott egyenlőség bal és jobb oldalát tagonként összeadva a képlethez jutunk:

– nem akármelyik három szög alkot egy bizonyos irányt a térben, hanem csak azok, amelyek koszinuszait a (2.26) reláció kapcsolja össze.

7 0 . Sugárvektor és pontkoordináták.Vektor meghatározása a kezdete és a vége alapján. Vezessünk be egy definíciót.

Meghatározás. A sugárvektor (jelölve ) az origót összekötő vektor O ezzel a ponttal (2.12. ábra xx):

. (2.27)

A tér bármely pontja megfelel egy bizonyos sugárvektornak (és fordítva). Így a térbeli pontokat a vektoralgebrában sugárvektoraik ábrázolják.

Nyilvánvalóan a koordináták
pontokat M sugárvektorának vetületei
koordináta tengelyeken:

(2.28’)

és így,

(2.28)

– egy pont sugárvektora olyan vektor, amelynek a koordinátatengelyekre vetületei megegyeznek a pont koordinátáival. Ez két bejegyzéshez vezet:
És
.

Képleteket kapunk a vektorvetítések kiszámításához
kezdőpontjának koordinátái szerint
és a végpont
.

Rajzoljuk meg a sugárvektorokat
és vektor
(2.13. ábra). Ezt értjük

=
=(2.29)

– a vektor vetületei a koordináta egységvektorokra megegyeznek a vektor végének és elejének megfelelő koordinátái közötti különbségekkel.

8 0 . Néhány probléma derékszögű koordinátákkal.

1) vektorok kollinearitásának feltételei . A tételből (lásd §2.1, 2 0 bekezdés, (2.7) képlet) az következik, hogy a vektorok kollinearitása És szükséges és elegendő ahhoz, hogy a következő összefüggés fennálljon: =. Ebből a vektoregyenlőségből három egyenlőséget kapunk koordináta alakban:, ami magában foglalja a vektorok koordináta alakban való kollinearitásának feltételét:

(2.30)

– a vektorok kollinearitásáért És szükséges és elégséges, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

2) pontok közötti távolság . A (2.29) ábrázolásból az következik, hogy a távolság
pontok között
És
képlet határozza meg

=
=. (2.31)

3) szegmens felosztása adott arányban . Legyenek pontok megadva
És
és hozzáállás
. Meg kell találni
– pont koordináták M (2.14. ábra).

A vektorok kollinearitási feltételéből a következőket kapjuk:
, ahol
És

. (2.32)

A (2.32)-ből koordináta alakban kapjuk:

A (2.32’) képletekből képleteket kaphatunk a szakasz felezőpontjának koordinátáinak kiszámításához
, feltételezve
:

Megjegyzés. Megszámoljuk a szegmenseket
És
pozitív vagy negatív attól függően, hogy irányuk egybeesik-e a kezdettől fogva lévő iránnyal
szegmens a végéig
, vagy nem egyezik. Ezután a (2.32) – (2.32”) képletek segítségével megtalálhatja a szakaszt elválasztó pont koordinátáit
külsőleg, vagyis oly módon, hogy az elválasztó pont M a szegmens folytatása
, és nem benne. Ugyanakkor természetesen
.

4) gömbfelületi egyenlet . Hozzunk létre egyenletet egy gömbfelületre - a pontok geometriai helyére
, egyenlő távolságra valamilyen rögzített középpontból – egy pontból
. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben
és figyelembe véve a (2.31) képletet

A (2.33) egyenlet a kívánt gömbfelület egyenlete.

1. feladat. Nézze meg, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e. A vektorrendszert a rendszer mátrixa adja meg, melynek oszlopai a vektorok koordinátáiból állnak.

.

Megoldás. Legyen a lineáris kombináció egyenlő nullával. Miután ezt az egyenlőséget koordinátákkal írtuk fel, a következő egyenletrendszert kapjuk:

.

Az ilyen egyenletrendszert háromszögnek nevezzük. Csak egy megoldása van . Ezért a vektorok lineárisan független.

2. feladat. Nézze meg, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e.

.

Megoldás. Vektorok lineárisan függetlenek (lásd 1. feladat). Bizonyítsuk be, hogy a vektor vektorok lineáris kombinációja . Vektor kiterjesztési együtthatók egyenletrendszerből határozzuk meg

.

Ez a rendszer, akárcsak egy háromszögletű, egyedi megoldással rendelkezik.

Ezért a vektorok rendszere lineárisan függő.

Megjegyzés. Az 1. feladattal azonos típusú mátrixokat nevezzük háromszög alakú és a 2. feladatban – lépcsős háromszögletű . Egy vektorrendszer lineáris függésének kérdése könnyen megoldható, ha ezen vektorok koordinátáiból álló mátrix lépcsős háromszög alakú. Ha a mátrixnak nincs speciális formája, akkor használja elemi karakterlánc-konverziók , megőrizve az oszlopok közötti lineáris kapcsolatokat, lépcsős háromszög alakúra redukálható.

Elemi karakterlánc-konverziók mátrixok (EPS) a mátrixon a következő műveleteket nevezzük:

1) vonalak átrendezése;

2) egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;

3) újabb karakterlánc hozzáadása egy karakterlánchoz, megszorozva egy tetszőleges számmal.

3. feladat. Keresse meg a maximális lineárisan független alrendszert, és számítsa ki a vektorrendszer rangját!

.

Megoldás. Az EPS-t használó rendszer mátrixát redukáljuk lépés-háromszög alakra. Az eljárás magyarázatához a transzformálandó mátrix számával ellátott sort a szimbólummal jelöljük. A nyíl utáni oszlop jelzi a konvertálás alatt álló mátrix sorain azokat a műveleteket, amelyeket végre kell hajtani az új mátrix sorainak megszerzéséhez.

.

Nyilvánvaló, hogy a kapott mátrix első két oszlopa lineárisan független, a harmadik oszlop ezek lineáris kombinációja, a negyedik pedig nem függ az első kettőtől. Vektorok alapnak nevezzük. Maximálisan lineárisan független alrendszert alkotnak a rendszerben , és a rendszer rangja három.

Alap, koordináták

4. feladat. Keresse meg az ezen az alapon lévő vektorok alapját és koordinátáit azon geometriai vektorok halmazán, amelyek koordinátái kielégítik a feltételt .

Megoldás. A halmaz az origón áthaladó sík. Egy tetszőleges bázis egy síkon két nem kollineáris vektorból áll. A kiválasztott bázisban lévő vektorok koordinátáit a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával határozzuk meg.

Van egy másik módja ennek a probléma megoldásának, amikor a koordináták segítségével megtalálhatja az alapot.

Koordináták A terek nem koordináták a síkon, mivel a reláció összefügg , vagyis nem függetlenek. A független változók és (ezeket szabadnak nevezzük) egyedileg definiálnak egy vektort a síkon, ezért koordinátákként választhatók a -ben. Aztán az alap szabad változók halmazainak megfelelő vektorokból áll És , vagyis .

5. feladat. Keresse meg az ezen a bázison lévő vektorok bázisát és koordinátáit azon a térbeli vektorok halmazán, amelyek páratlan koordinátái egyenlők egymással.

Megoldás. Válasszunk az előző feladathoz hasonlóan a térbeli koordinátákat.

Mert , majd szabad változók alapján egyedileg határozzák meg a vektort, és ezért koordináták. A megfelelő bázis vektorokból áll.

6. feladat. Keresse meg a vektorok alapját és koordinátáit ezen a bázison az alak összes mátrixának halmazán , Ahol – tetszőleges számok.

Megoldás. Minden mátrix egyedileg ábrázolható a következő formában:

Ez az összefüggés a vektor kiterjesztése a bázishoz képest
koordinátákkal .

7. feladat. Határozzuk meg egy vektorrendszer lineáris burkának méretét és alapját!

.

Megoldás. Az EPS segítségével a mátrixot a rendszervektorok koordinátáiból lépés-háromszög alakúra alakítjuk.

.

Oszlopok az utolsó mátrixok lineárisan függetlenek, és az oszlopok lineárisan kifejezve rajtuk keresztül. Ezért a vektorok alapot képeznek , És .

Megjegyzés. Alap be félreérthetően van kiválasztva. Például vektorok alapot is képeznek .

Más szóval, egy vektorcsoport lineáris függése azt jelenti, hogy van közöttük olyan vektor, amelyet a csoport más vektorainak lineáris kombinációjával lehet ábrázolni.

Mondjuk. Akkor

Ezért a vektor x lineárisan függ ennek a csoportnak a vektoraitól.

Vektorok x, y, ..., z lineárisnak nevezzük független vektorok, ha a (0) egyenlőségből az következik

α=β= ...= γ=0.

Ez azt jelenti, hogy a vektorcsoportok lineárisan függetlenek, ha egyetlen vektor sem ábrázolható más vektorok lineáris kombinációjával ebben a csoportban.

Vektorok lineáris függésének meghatározása

Legyen megadva m n rendű karakterláncvektor:

A Gauss-féle kivételt követően a (2) mátrixot felső háromszög alakúra redukáljuk. Az utolsó oszlop elemei csak a sorok átrendezése esetén változnak. M eltávolítási lépés után a következőket kapjuk:

Ahol én 1 , én 2 , ..., én m - a sorok lehetséges permutációjával kapott sorindexek. Figyelembe véve a sorindexekből kapott sorokat, kizárjuk azokat, amelyek a nulla sorvektornak felelnek meg. A fennmaradó vonalak lineárisan független vektorokat alkotnak. Vegye figyelembe, hogy a (2) mátrix összeállítása során a sorvektorok sorrendjének megváltoztatásával egy másik lineárisan független vektorcsoportot kaphat. De az altér, amelyet a két vektorcsoport alkot, egybeesik.