لبه های یک منشور چهار گوش منظم. منشور مثلثی همه فرمول ها و مسائل مثال

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی را درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

در برنامه درسی مدرسه برای یک دوره استریومتری، مطالعه اشکال سه بعدی معمولاً با یک جسم هندسی ساده - چند وجهی یک منشور - آغاز می شود. نقش پایه های آن توسط 2 چندضلعی مساوی که در صفحات موازی قرار دارند انجام می شود. یک مورد خاص یک منشور چهار گوش منظم است. پایه های آن 2 چهار ضلعی منظم یکسان است که اضلاع بر آنها عمود هستند و شکل متوازی الاضلاع دارند (یا مستطیل، اگر منشور متمایل نباشد).

منشور چگونه به نظر می رسد؟

منشور چهار گوش منتظم یک شش ضلعی است که پایه های آن 2 مربع است و وجوه جانبی آن با مستطیل نشان داده می شود. نام دیگر این شکل هندسی یک متوازی الاضلاع مستقیم است.

طرحی که منشور چهار گوش را نشان می دهد در زیر نشان داده شده است.

در تصویر هم می توانید ببینید مهمترین عناصر تشکیل دهنده یک جسم هندسی. این شامل:

گاهی اوقات در مسائل هندسه می توانید با مفهوم مقطع مواجه شوید. تعریف به این صورت خواهد بود: یک بخش تمام نقاط یک بدنه حجمی متعلق به یک صفحه برش است. بخش می تواند عمود باشد (لبه های شکل را با زاویه 90 درجه قطع می کند). برای یک منشور مستطیلی، یک مقطع مورب نیز در نظر گرفته می شود (حداکثر تعداد مقاطع قابل ساخت 2 است)، که از 2 لبه و مورب های پایه عبور می کند.

اگر برش به گونه ای ترسیم شود که صفحه برش با پایه ها یا وجه های جانبی موازی نباشد، نتیجه یک منشور کوتاه است.

برای یافتن عناصر منشوری کاهش یافته از روابط و فرمول های مختلفی استفاده می شود. برخی از آنها از دوره پلان سنجی شناخته شده اند (به عنوان مثال، برای یافتن مساحت پایه یک منشور، کافی است فرمول مساحت یک مربع را به یاد بیاورید).

مساحت و حجم

برای تعیین حجم یک منشور با استفاده از فرمول، باید مساحت پایه و ارتفاع آن را بدانید:

V = Sbas h

از آنجایی که قاعده منشور چهار وجهی منظم مربعی با ضلع است آ،می توانید فرمول را به شکل دقیق تری بنویسید:

V = a²·h

اگر در مورد یک مکعب صحبت می کنیم - یک منشور منظم با طول، عرض و ارتفاع برابر، حجم به صورت زیر محاسبه می شود:

برای درک چگونگی پیدا کردن سطح جانبی یک منشور، باید توسعه آن را تصور کنید.

از نقاشی می توان دریافت که سطح جانبی از 4 مستطیل مساوی تشکیل شده است. مساحت آن به عنوان حاصل ضرب محیط پایه و ارتفاع شکل محاسبه می شود:

ساید = Posn h

با در نظر گرفتن اینکه محیط مربع برابر است با P = 4a،فرمول به شکل زیر است:

ساید = 4ah

برای مکعب:

سمت = 4a²

برای محاسبه سطح کل منشور، باید 2 ناحیه پایه را به سطح جانبی اضافه کنید:

Sfull = Side + 2Smain

در رابطه با یک منشور منظم چهار گوش، فرمول به نظر می رسد:

Stotal = 4a h + 2a²

برای مساحت یک مکعب:

Sfull = 6a²

با دانستن حجم یا سطح، می توانید عناصر تکی یک جسم هندسی را محاسبه کنید.

یافتن عناصر منشور

اغلب مشکلاتی وجود دارد که در آن حجم داده می شود یا مقدار سطح جانبی مشخص می شود، جایی که لازم است طول ضلع پایه یا ارتفاع تعیین شود. در چنین مواردی، فرمول ها را می توان استخراج کرد:

• طول ضلع پایه: a = سمت / 4h = √(V / h);
• ارتفاع یا طول دنده کناری: h = کناری / 4a = V / a²؛
• مساحت پایه: Sbas = V / h;
• ناحیه صورت جانبی: سمت gr = کناری / 4.

برای تعیین مساحت قسمت مورب، باید طول قطر و ارتفاع شکل را بدانید. برای یک مربع d = a√2.از این رو:

Sdiag = ah√2

برای محاسبه قطر منشور از فرمول استفاده کنید:

dprize = √(2a² + h²)

برای درک نحوه اعمال روابط داده شده، می توانید چندین کار ساده را تمرین و حل کنید.

نمونه هایی از مشکلات با راه حل ها

در اینجا برخی از وظایف موجود در امتحانات نهایی دولتی در ریاضیات آورده شده است.

تمرین 1.

ماسه در جعبه ای به شکل یک منشور چهار گوش معمولی ریخته می شود. ارتفاع تراز آن 10 سانتی متر است، اگر آن را در ظرفی به همان شکل اما با پایه دوبرابر بلندتر منتقل کنید، سطح ماسه چقدر خواهد بود؟

باید به شرح زیر استدلال شود. مقدار ماسه ظرف اول و دوم تغییر نکرده است یعنی حجم آن در آنها یکسان است. می توانید طول پایه را با نشان دهید آ. در این حالت، برای جعبه اول حجم ماده به صورت زیر خواهد بود:

V1 = ha2 = 10a2

برای جعبه دوم، طول پایه است 2a، اما ارتفاع سطح ماسه مشخص نیست:

V2 = h (2a)² = 4 هکتار مربع

از آنجا که V1 = V2، می توانیم عبارات را معادل سازی کنیم:

10a² = 4 هکتار مربع

پس از کاهش هر دو طرف معادله a2، به دست می آید:

در نتیجه، سطح شن و ماسه جدید خواهد بود h = 10 / 4 = 2.5سانتی متر.

وظیفه 2.

ABCDA1B1C1D1 یک منشور صحیح است. مشخص است که BD = AB1 = 6√2. کل سطح بدن را پیدا کنید.

برای سهولت در درک عناصر شناخته شده، می توانید یک شکل بکشید.

از آنجایی که ما در مورد یک منشور منظم صحبت می کنیم، می توانیم نتیجه بگیریم که در قاعده مربعی با قطر 6√2 وجود دارد. مورب وجه جانبی هم اندازه است، بنابراین وجه جانبی هم شکل مربعی برابر با قاعده دارد. معلوم می شود که هر سه بعد - طول، عرض و ارتفاع - برابر هستند. می توان نتیجه گرفت که ABCDA1B1C1D1 یک مکعب است.

طول هر لبه از طریق یک مورب مشخص تعیین می شود:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

مساحت کل با استفاده از فرمول یک مکعب بدست می آید:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

وظیفه 3.

اتاق در حال بازسازی است. مشخص است که کف آن به شکل مربع به مساحت 9 متر مربع است. ارتفاع اتاق 2.5 متر است. اگر 1 متر مربع 50 روبل هزینه داشته باشد، کمترین هزینه کاغذ دیواری اتاق چیست؟

از آنجایی که کف و سقف مربع، یعنی چهار گوش منظم و دیوارهای آن عمود بر سطوح افقی هستند، می‌توان نتیجه گرفت که یک منشور منظم است. تعیین مساحت سطح جانبی آن ضروری است.

طول اتاق است a = √9 = 3متر

منطقه با کاغذ دیواری پوشانده می شود ساید = 4 3 2.5 = 30 متر مربع.

کمترین هزینه کاغذ دیواری برای این اتاق خواهد بود 50·30 = 1500روبل

بنابراین، برای حل مسائل مربوط به یک منشور مستطیلی، کافی است بتوانیم مساحت و محیط مربع و مستطیل را محاسبه کنیم و همچنین فرمول های یافتن حجم و سطح را بدانیم.

چگونه مساحت یک مکعب را پیدا کنیم

تعریف.

این یک شش ضلعی است که پایه های آن دو مربع مساوی و وجه های جانبی آن مستطیل های مساوی هستند.

دنده کناری- ضلع مشترک دو وجه جانبی مجاور است

ارتفاع منشور- این یک بخش عمود بر پایه منشور است

منشور مورب- پاره ای که دو رأس پایه ها را به هم متصل می کند که به یک صورت تعلق ندارند

صفحه مورب- صفحه ای که از مورب منشور و لبه های جانبی آن عبور می کند

بخش مورب- مرزهای تقاطع منشور و صفحه مورب. سطح مقطع مورب یک منشور چهار گوش منتظم یک مستطیل است

مقطع عمود بر هم (قطع متعامد)- این محل تقاطع یک منشور و صفحه ای است که عمود بر لبه های جانبی آن کشیده شده است.

عناصر یک منشور چهار گوش منظم

شکل دو منشور چهار گوش منظم را نشان می دهد که با حروف مربوطه نشان داده می شوند:

• پایه های ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 مساوی و موازی با یکدیگر هستند.
• وجه های جانبی AA 1 D 1 D، AA 1 B 1 B، BB 1 C 1 C و CC 1 D 1 D، که هر کدام یک مستطیل هستند
• سطح جانبی - مجموع مساحت تمام وجوه جانبی منشور
• سطح کل - مجموع مساحت تمام پایه ها و وجوه جانبی (مجموع مساحت سطح جانبی و پایه ها)
• دنده های جانبی AA 1، BB 1، CC 1 و DD 1.
• مورب B 1 D
• مورب پایه BD
• مقطع مورب BB 1 D 1 D
• مقطع عمود بر A 2 B 2 C 2 D 2.

خواص یک منشور چهار گوش منتظم

• پایه ها دو مربع مساوی هستند
• پایه ها موازی یکدیگر هستند
• وجه های جانبی مستطیل هستند
• لبه های کناری با یکدیگر برابر هستند
• وجوه جانبی بر پایه ها عمود هستند
• دنده های جانبی موازی با یکدیگر و مساوی هستند
• مقطع عمود بر تمام دنده های جانبی و موازی با پایه ها
• زوایای مقطع عمود - مستقیم
• سطح مقطع مورب یک منشور چهار گوش منتظم یک مستطیل است
• عمود بر (قطع متعامد) موازی با پایه ها

فرمول یک منشور چهار گوش منظم

دستورالعمل برای حل مشکلات

هنگام حل مشکلات در مورد موضوع " منشور چهار گوش منظم" یعنی که:

منشور صحیح- منشوری که در قاعده آن یک چند ضلعی منتظم قرار دارد و لبه های جانبی آن عمود بر صفحات قاعده است. یعنی یک منشور چهار گوش منظم در قاعده خود قرار دارد مربع. (ویژگی های یک منشور چهار گوش منظم را در بالا ببینید) توجه داشته باشید. این بخشی از یک درس با مسائل هندسه است (بخش استریومتری - منشور). در اینجا مشکلاتی وجود دارد که حل آنها دشوار است. اگر نیاز به حل یک مشکل هندسه دارید که اینجا نیست، در مورد آن در انجمن بنویسید. برای نشان دادن عمل استخراج جذر در حل مسائل از نماد استفاده می شود√ .

وظیفه.

در منشور چهار گوش منتظم مساحت قاعده 144 سانتی متر مربع و ارتفاع آن 14 سانتی متر است قطر منشور و سطح کل را پیدا کنید.

راه حل.
چهارضلعی منظم مربع است.
بر این اساس، ضلع پایه برابر خواهد بود

√144 = 12 سانتی متر.
از جایی که قطر قاعده یک منشور مستطیلی منظم برابر خواهد بود
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

مورب یک منشور منظم با قطر قاعده و ارتفاع منشور مثلث قائم الزاویه ای تشکیل می دهد. بر این اساس، طبق قضیه فیثاغورث، قطر یک منشور چهار گوش منتظم برابر با:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 سانتی متر

پاسخ: 22 سانتی متر

وظیفه

سطح کل یک منشور چهار گوش منتظم را در صورتی تعیین کنید که قطر آن 5 سانتی متر و قطر وجه جانبی آن 4 سانتی متر باشد.

راه حل.
از آنجایی که پایه یک منشور چهار گوش منتظم مربع است، ضلع قاعده (که با a مشخص می شود) را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا می کنیم:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

ارتفاع وجه جانبی (که با h نشان داده می شود) برابر خواهد بود با:

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

مساحت کل برابر با مجموع سطح جانبی و دو برابر مساحت پایه خواهد بود

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 سانتی متر مربع.

پاسخ: 25 + 10√7 ≈ 51.46 سانتی متر مربع.

منشور مثلثی یک جامد سه بعدی است که از اتصال مستطیل ها و مثلث ها تشکیل می شود. در این درس یاد خواهید گرفت که چگونه اندازه داخل (حجم) و بیرون (مساحت سطح) یک منشور مثلثی را پیدا کنید.

منشور مثلثی پنج ضلعی است که توسط دو صفحه موازی تشکیل شده است که در آن دو مثلث قرار دارند که دو وجه از یک منشور را تشکیل می دهند و سه وجه باقیمانده متوازی الاضلاع هستند که از اضلاع مثلث ها تشکیل شده اند.

عناصر یک منشور مثلثی

مثلث های ABC و A 1 B 1 C 1 هستند پایه های منشوری .

چهار ضلعی A 1 B 1 BA، B 1 BCC 1 و A 1 C 1 CA هستند وجوه جانبی منشور .

کناره های صورت ها هستند دنده های منشوری(A 1 B 1، A 1 C 1، C 1 B 1، AA 1، CC 1، BB 1، AB، BC، AC)، یک منشور مثلثی در مجموع دارای 9 وجه است.

ارتفاع یک منشور قسمت عمودی است که دو وجه منشور را به هم متصل می کند (در شکل h است).

مورب منشور قطعه ای است که انتهای آن در دو رأس منشور است که به یک وجه تعلق ندارند. برای یک منشور مثلثی نمی توان چنین قطری را رسم کرد.

منطقه پایه مساحت وجه مثلثی منشور است.

مجموع مساحت وجوه چهارگوش منشور است.

انواع منشورهای مثلثی

دو نوع منشور مثلثی وجود دارد: مستقیم و مایل.

یک منشور مستقیم دارای وجوه جانبی مستطیلی است و یک منشور مایل دارای وجوه جانبی متوازی الاضلاع است (شکل را ببینید)

منشوری که لبه های کناری آن بر صفحات قاعده عمود باشد خط مستقیم می گویند.

منشوری که لبه های کناری آن به صفحات پایه ها متمایل باشد، مایل نامیده می شود.

فرمول های اساسی برای محاسبه منشور مثلثی

حجم یک منشور مثلثی

برای یافتن حجم یک منشور مثلثی، باید مساحت پایه آن را در ارتفاع منشور ضرب کنید.

حجم منشور = سطح پایه x ارتفاع

V=S پایه ساعت

سطح جانبی منشور

برای پیدا کردن سطح جانبی یک منشور مثلثی، باید محیط قاعده آن را در ارتفاع آن ضرب کنید.

سطح جانبی یک منشور مثلثی = محیط پایه x ارتفاع

سمت S = P اصلی ساعت

سطح کل منشور

برای پیدا کردن سطح کل یک منشور، باید سطح پایه و سطح جانبی آن را اضافه کنید.

از آنجایی که S سمت = P اصلی. h، سپس دریافت می کنیم:

S دور کامل = P پایه h+2S پایه

منشور صحیح - یک منشور مستقیم که قاعده آن یک چندضلعی منتظم است.

خواص منشور:

پایه های بالایی و پایینی منشور چند ضلعی های مساوی هستند.
وجوه جانبی منشور به شکل متوازی الاضلاع است.
لبه های جانبی منشور موازی و مساوی هستند.

نکته: هنگام محاسبه منشور مثلثی باید به واحدهای استفاده شده توجه کرد. به عنوان مثال، اگر مساحت پایه بر حسب سانتی متر 2 نشان داده شود، ارتفاع باید بر حسب سانتی متر و حجم آن بر حسب سانتی متر 3 بیان شود. اگر مساحت پایه بر حسب میلی‌متر 2 باشد، ارتفاع باید بر حسب میلی‌متر و حجم آن بر حسب میلی‌متر 3 و غیره بیان شود.

نمونه منشور

در این مثال:
- ABC و DEF پایه های مثلثی منشور را تشکیل می دهند
- ABED، BCFE و ACFD وجه های جانبی مستطیلی هستند
- لبه های جانبی DA، EB و FC با ارتفاع منشور مطابقت دارند.
- نقاط A، B، C، D، E، F رئوس منشور هستند.

مسائل مربوط به محاسبه منشور مثلثی

مشکل 1. قاعده منشور مثلثی قائم الزاویه یک مثلث قائم الزاویه با پایه های 6 و 8 است، لبه کناری آن 5 است. حجم منشور را بیابید.
راه حل:حجم یک منشور مستقیم برابر با V = Sh است که S مساحت پایه و h لبه کناری است. مساحت پایه در این حالت مساحت یک مثلث قائم الزاویه است (مساحت آن برابر با نصف مساحت مستطیل با اضلاع 6 و 8 است). بنابراین، حجم برابر است با:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

وظیفه 2.

یک صفحه موازی با لبه جانبی از طریق خط وسط قاعده منشور مثلثی کشیده شده است. حجم منشور مثلثی برش 5 است. حجم منشور اصلی را بیابید.

راه حل:

حجم منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع: V = S پایه h.

مثلثی که در پایه منشور اصلی قرار دارد شبیه مثلثی است که در پایه منشور برش قرار دارد. ضریب شباهت 2 است، زیرا بخش از طریق خط وسط کشیده شده است (ابعاد خطی مثلث بزرگتر دو برابر ابعاد خطی مثلث کوچکتر است). مشخص است که مساحت های شکل های مشابه به عنوان مربع ضریب شباهت به هم مرتبط هستند، یعنی S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .

مساحت پایه کل منشور 4 برابر بیشتر از مساحت پایه منشور برش است. ارتفاع هر دو منشور یکسان است، بنابراین حجم کل منشور 4 برابر حجم منشور برش است.

بنابراین، حجم مورد نیاز 20 است.