Oscilacije i talasi. Harmonične oscilacije Formule za određivanje amplitude oscilacija

4.2. Koncepti i definicije odjeljka “oscilacije i valovi”

Jednadžba harmonijskih vibracija i njeno rješenje:

, x=Acos(ω 0t+α ) ,

A– amplituda oscilacija;

α – početna faza oscilacija.

Period oscilovanja materijalne tačke koja osciluje pod dejstvom elastične sile:

Gdje m– masa materijalne tačke;

k– koeficijent krutosti.

Period oscilovanja matematičkog klatna:

Gdje l– dužina klatna;

g= 9,8 m/s 2 – ubrzanje slobodnog pada.

Amplituda vibracija dobijena dodavanjem dvije jednako usmjerene harmonijske vibracije:

Gdje A 1 i A 2 – amplitude komponenti vibracija;

φ 1 i φ 2 su početne faze komponenti oscilacija.

Početna faza oscilacija dobijena sabiranjem dvije jednako usmjerene harmonijske oscilacije:

.

Jednadžba prigušenih oscilacija i njeno rješenje:

, ,

– frekvencija prigušenih oscilacija,

ovdje je ω 0 prirodna frekvencija oscilacija.

Logaritamski dekrement prigušenja:

gdje je β koeficijent slabljenja;

– period prigušenih oscilacija.

Faktor kvaliteta oscilatornog sistema:

gdje je θ logaritamski dekrement slabljenja

Jednadžba prisilnih oscilacija i njeno stacionarno rješenje:

, x=A cos (ω t-φ ),

Gdje F 0 – amplitudna vrijednost sile;

– amplituda prigušenih oscilacija;

φ= – početna faza.

Rezonantna frekvencija:

,

gdje je ω 0 – prirodna ciklička frekvencija oscilacija;

β je koeficijent slabljenja.

Prigušene elektromagnetne oscilacije u kolu koje se sastoji od kapacitivnostiC, induktivnostLi otporR:

,

Gdje q– naboj na kondenzatoru;

q m– amplitudna vrijednost naboja na kondenzatoru;

β = R/2L– koeficijent slabljenja,

Evo R– otpor kola;

L– induktivnost zavojnice;

– ciklička frekvencija oscilacija;

ovdje ω 0 – vlastita frekvencija oscilacija;

α – početna faza oscilacija.

Period elektromagnetnih oscilacija:

,

Gdje WITH– kapacitet kondenzatora;

L– induktivnost zavojnice;

R– otpor kola.

Ako je otpor kola mali, tada ( R/2L) 2 <<1/L.C., zatim period oscilacije:

talasna dužina:

Gdje v – brzina širenja talasa;

T– period oscilovanja.

Jednačina ravnih talasa:

ξ =A cos (ω t-kx),

Gdje A- amplituda;

ω – ciklična frekvencija;

– talasni broj.

Jednačina sfernog talasa:

,

Gdje A- amplituda;

ω – ciklična frekvencija;

k– talasni broj;

r– udaljenost od centra talasa do razmatrane tačke u medijumu.

? Slobodne harmonijske oscilacije u kolu

Idealno kolo je električni krug koji se sastoji od kondenzatora spojenog u seriju sa kapacitivnošću WITH i induktori L. Prema harmonijskom zakonu, napon na pločama kondenzatora i struja u induktoru će se promijeniti.

? Harmonski oscilator. Opruga, fizička i matematička klatna, njihovi periodi oscilovanja

Harmonični oscilator je svaki fizički sistem koji osciluje. Klasični oscilatori - opružna, fizička i matematička klatna. Opružno klatno - masa masa m, okačen na potpuno elastičnu oprugu i vrši harmonijske oscilacije pod djelovanjem elastične sile. T= . Fizičko klatno je kruto tijelo proizvoljnog oblika koje pod utjecajem gravitacije oscilira oko horizontalne ose koja ne prolazi kroz njegovo težište. T= . Matematičko klatno je izolovani sistem koji se sastoji od materijalne tačke sa masom m, okačen na nerastegljivu bestežinsku nit dužine L, i osciliraju pod uticajem gravitacije. T= .

? Slobodne neprigušene mehaničke vibracije (jednačina, brzina, ubrzanje, energija). Grafički prikaz harmonijskih vibracija.

Oscilacije se nazivaju slobodnim ako nastaju zbog prvobitno prenesene energije u naknadnom odsustvu vanjskih utjecaja na oscilatorni sistem. Vrijednost se mijenja prema zakonu sinusa ili kosinusa. , S- pomeranje iz ravnotežnog položaja, A– amplituda, w 0 - ciklična frekvencija, – početna faza oscilacija. Brzina, ubrzanje. Puna energija - E= . Grafički - korištenjem sinusnog ili kosinusnog vala.

? Koncept oscilatornih procesa. Harmonične oscilacije i njihove karakteristike. Period, amplituda, frekvencija i faza oscilacija. Grafički prikaz harmonijskih vibracija.

Periodični procesi koji se ponavljaju tokom vremena nazivaju se oscilatornim. Periodične oscilacije, u kojima se koordinata tijela mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa, nazivaju se harmonijskim. Period je vrijeme jedne oscilacije. Amplituda je maksimalni pomak tačke od njenog ravnotežnog položaja. Frekvencija je broj kompletnih oscilacija u jedinici vremena. Faza je količina ispod predznaka sinusa ili kosinusa. jednadžba: , Evo S- veličina koja karakteriše stanje oscilirajućeg sistema - ciklična frekvencija. Grafički - korištenjem sinusnog ili kosinusnog vala.

? Prigušene oscilacije. Diferencijalna jednačina ovih oscilacija. Dekrement logaritamskog prigušenja, vrijeme relaksacije, faktor kvalitete.

Oscilacije čija se amplituda vremenom smanjuje, na primjer, zbog trenja. jednadžba: , Evo S- veličina koja karakteriše stanje oscilirajućeg sistema, - ciklička frekvencija, - koeficijent prigušenja. Dekrement logaritamskog prigušenja, gdje N– broj dovršenih oscilacija tokom smanjenja amplitude u N jednom. Vrijeme relaksacije t - tokom kojeg se amplituda smanjuje za e puta. Faktor kvaliteta Q= .

? Neprigušene prisilne oscilacije. Diferencijalna jednačina ovih oscilacija. Šta je rezonancija? Amplituda i faza prisilnih oscilacija.

Ako se gubitak energije oscilovanja, koji dovodi do njihovog prigušenja, potpuno nadoknadi, uspostavljaju se neprigušene oscilacije. jednadžba: . Ovdje je desna strana vanjski utjecaj koji se mijenja po harmonijskom zakonu. Ako se prirodna frekvencija oscilacija sistema poklapa sa vanjskom, dolazi do rezonancije - oštrog povećanja amplitude sistema. Amplituda , .

? Opišite zbrajanje vibracija istog smjera i iste frekvencije, međusobno okomite vibracije. Šta su ritmovi?

Ovdje je amplituda rezultujuće oscilacije koja je rezultat zbrajanja dvije harmonijske oscilacije istog smjera i iste frekvencije A– amplitude, j – početne faze. Početna faza rezultirajuće oscilacije . Međusobno okomite oscilacije - jednadžba putanje , Evo A I IN amplitude dodatnih oscilacija, j-fazna razlika.

? Opisati relaksacijske oscilacije; samooscilacije.

Relaksacija - samooscilacije, koje se po obliku oštro razlikuju od harmonijskih, zbog značajne disipacije energije u samooscilirajućim sistemima (trenje u mehaničkim sistemima). Samooscilacije su neprigušene oscilacije koje podržavaju vanjski izvori energije u odsustvu vanjske promjenjive sile. Razlika od prisilnih je u tome što su frekvencija i amplituda samooscilacija određene osobinama samog oscilatornog sistema. Razlikuju se od slobodnih oscilacija - razlikuju se po nezavisnosti amplitude od vremena i od početnog kratkotrajnog uticaja koji pobuđuje proces oscilovanja. Primjer samooscilirajućeg sistema je sat.

? Talasi (osnovni pojmovi). Uzdužni i poprečni talasi. Stojeći talas. Talasna dužina, njen odnos sa periodom i frekvencijom.

Proces širenja vibracija u prostoru naziva se talas. Smjer u kojem val prenosi energiju vibracija je smjer u kojem se val kreće. Longitudinalno - oscilacije čestica medija se dešavaju u pravcu širenja talasa. Poprečno - vibracije čestica medija se javljaju okomito na pravac prostiranja talasa. Stojeći talas nastaje superpozicijom dva putujuća talasa koji se šire jedan prema drugom istim frekvencijama i amplitudama, au slučaju poprečnih talasa, istom polarizacijom. Talasna dužina je udaljenost koju talas pređe u jednom periodu. (talasna dužina, v- brzina talasa, T- period oscilacije)

? Princip superpozicije (preklapanja) talasa. Grupna brzina i njen odnos sa faznom brzinom.

Princip superpozicije - kada se nekoliko valova širi u linearnom mediju, svaki se širi kao da nema drugih valova, a rezultirajući pomak čestice medija u bilo kojem trenutku jednak je geometrijskom zbiru pomaka koje čestice primaju dok učestvuju u svakom od konstitutivnih talasnih procesa. Grupna brzina je brzina kretanja grupe talasa koji formiraju lokalizovani talasni paket u svakom trenutku u prostoru. Brzina kretanja valne faze je fazna brzina. U neraspršenom okruženju oni se poklapaju.

? Elektromagnetski talas i njegova svojstva. Energija elektromagnetnih talasa.

Elektromagnetski talas – elektromagnetne oscilacije koje se šire u prostoru. Eksperimentalno dobijeno od Hertz-a 1880. Svojstva - može se širiti u mediju i vakuumu, u vakuumu jednakom c, u medijima manje, poprečno, E I B međusobno okomite i okomite na pravac širenja. Intenzitet raste sa povećanjem ubrzanja zračeće naelektrisane čestice, pod određenim uslovima javljaju se tipična svojstva talasa - difrakcija itd. .

Optika

Osnovne formule optike

Brzina svjetlosti u mediju:

Gdje c– brzina svjetlosti u vakuumu;

n– indeks prelamanja medija.

Dužina putanje optičkog svetlosnog talasa:

L = ns,

Gdje s– geometrijska dužina putanje svjetlosnog vala u mediju s indeksom prelamanja n.

Optička razlika puteva između dva svjetlosna talasa:

∆ = L 1 – L 2 .

Ovisnost razlike faza o optičkoj razlici putanje svjetlosnih valova:

gde je λ talasna dužina svetlosti.

Uslov za maksimalno pojačanje svetlosti tokom smetnji:

∆ = kλ ( = 0, 1, 2, …) .

Uvjet za maksimalno slabljenje svjetla:

Optička razlika u putanji svjetlosnih valova koja nastaje kada se monokromatsko svjetlo reflektira od tankog filma:

∆ = 2d ,

Gdje d– debljina filma;

n– indeks prelamanja filma;

I i– ugao prelamanja svetlosti u filmu.

Radijus svjetlosti Njutnovi prstenovi u reflektiranoj svjetlosti:

r k = , (k = 1, 2, 3, …),

Gdje k– broj zvona;

R– radijus zakrivljenosti.

Radijus Newtonovih tamnih prstenova u reflektiranoj svjetlosti:

r k = .

Ugao φ otklona zraka, koji odgovara maksimumu (svjetlosna traka) tokom difrakcije za jedan prorez, određuje se iz uvjeta

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

Gdje a– širina utora;

k– redni broj maksimuma.

Ugaoφodstupanje zraka, koje odgovara maksimumu (svetlosni pojas) tokom difrakcije svjetlosti na difrakcijskoj rešetki, određuje se iz uvjeta

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

Gdje d– period difrakcione rešetke.

Rezolucija difrakcione rešetke:

R= = kN,

gdje je ∆λ najmanja razlika u valnim dužinama dvije susjedne spektralne linije (λ i λ+∆λ), na kojoj se ove linije mogu zasebno vidjeti u spektru dobivenom ovom rešetkom;

N– ukupan broj proreza za rešetku.

Wulf–Braggova formula:

2d sin θ = κ λ,

gdje je θ ugao grebanja (ugao između smjera paralelnog snopa rendgenskog zračenja koje pada na kristal i atomske ravni u kristalu);

d je udaljenost između atomskih ravnina kristala.

Brewsterov zakon:

tan ε B=n 21 ,

gdje je ε B– upadni ugao pod kojim je snop reflektovan od dielektrika potpuno polarizovan;

n 21 – relativni indeks prelamanja druge sredine u odnosu na prvu.

Malusov zakon:

ja = ja 0 cos 2 α ,

Gdje I 0 – intenzitet ravni polarizovane svetlosti koja pada na analizator;

I– intenzitet ovog svjetla nakon analizatora;

α je ugao između smjera oscilacija električnog vektora svjetlosti koja pada na analizator i ravni propustljivosti analizatora (ako se oscilacije električnog vektora upadne svjetlosti poklapaju sa ovom ravninom, tada analizator ovu svjetlost prenosi bez slabljenje).

Ugao rotacije ravnine polarizacije monokromatske svjetlosti pri prolasku kroz optički aktivnu tvar:

a) φ = αd(u čvrstim materijama),

Gdje α – konstanta rotacije;

d– dužina putanje koju pređe svjetlost u optički aktivnoj tvari;

b) φ = [α]pd(u rješenjima),

Gdje [α] – specifična rotacija;

str– masena koncentracija optički aktivne tvari u otopini.

Lagani pritisak pri normalnom upadu na površinu:

,

Gdje Ona– energetsko osvjetljenje (zračenje);

ω – zapreminska gustina energije zračenja;

ρ – koeficijent refleksije.

4.2. Koncepti i definicije odjeljka „optika“.

? Interferencija talasa. Koherencija. Maksimalni i minimalni uslovi.

Interferencija je međusobno jačanje ili slabljenje koherentnih talasa kada su superponirani (koherentni - imaju istu dužinu i konstantnu faznu razliku u tački njihove superpozicije).

Maximum ;

minimum .

Ovdje je D razlika optičkog puta, l je talasna dužina.

? Huygens-Fresnel princip. Fenomen difrakcije. Difrakcija proreza, difrakciona rešetka.

Huygens-Fresnelov princip - svaka tačka u prostoru do koje je talas koji se širi u datom trenutku vremena postaje izvor elementarnih koherentnih talasa. Difrakcija je savijanje talasa oko prepreka, ako je veličina prepreke uporediva sa talasnom dužinom, odstupanje svetlosti od pravolinijskog širenja. Difrakcija proreza je u paralelnim zracima. Ravni val pada na prepreku; difrakcijski uzorak se opaža na ekranu koji se nalazi u fokalnoj ravni sabirne leće postavljene na putu svjetlosti koja prolazi kroz prepreku. Ekran proizvodi "difrakcionu sliku" udaljenog izvora svjetlosti. Difrakciona rešetka je sistem paralelnih proreza jednake širine, koji leže u istoj ravni, razdvojenih neprozirnim prostorima jednake širine. Koristi se za podjelu svjetlosti u spektar i mjerenje valnih dužina.

? Disperzija svjetlosti (normalna i abnormalna). Bouguerov zakon. Značenje koeficijenta apsorpcije.

Disperzija svjetlosti - ovisnost apsolutnog indeksa prelamanja tvari n o frekvenciji ν (ili talasnoj dužini λ) svjetlosti koja pada na supstancu (). Brzina svjetlosti u vakuumu ne ovisi o frekvenciji, tako da nema disperzije u vakuumu. Normalna disperzija svjetlosti - ako indeks loma monotono raste sa povećanjem frekvencije (smanjuje se sa povećanjem talasne dužine). Anomalna disperzija - ako se indeks loma monotono smanjuje sa povećanjem frekvencije (povećava se sa povećanjem talasne dužine). Posljedica disperzije je razlaganje bijele svjetlosti u spektar kada se ona prelama u supstanci. Apsorpcija svjetlosti u supstanciji opisana je Bouguerovim zakonom

I 0 i I– intenzitet ravnog monohromatskog svetlosnog talasa na ulazu i izlazu sloja apsorbujuće supstance debljine X, a je koeficijent apsorpcije, zavisi od talasne dužine i različit je za različite supstance.

? Kako se zove polarizacija talasa? Dobivanje polarizovanih talasa. Malusov zakon.

Polarizacija se sastoji od sticanja preferencijalne orijentacije pravca oscilacija u poprečnim talasima. Uređenost u orijentaciji vektora jačine električnog i magnetskog polja elektromagnetnog talasa u ravni okomitoj na pravac prostiranja svetlosnog snopa. E , B - okomito. Prirodno svjetlo može se pretvoriti u polarizirano svjetlo pomoću polarizatora. Malusov zakon ( I 0 – prolazi kroz analizator, I– prolazi kroz polarizator).

? Dualizam čestica-talas. De Broljeva hipoteza.

Istorijski gledano, dvije teorije svjetlosti su bile iznesene: korpuskularno - svijetleća tijela emituju korpuskularne čestice (dokazi - zračenje crnog tijela, fotoelektrični efekat) i val - svjetlosno tijelo uzrokuje elastične vibracije u okolini, šireći se poput zvučnih valova u zraku (dokazi - fenomeni interferencije, difrakcije, polarizacije svjetlosti). Broglieova hipoteza - svojstva čestica i talasa svojstvena su ne samo fotonima, već i česticama koje imaju masu mirovanja - elektronima, protonima, neutronima, atomima, molekulima. ? Foto efekat. Ajnštajnova jednačina.

Fotoelektrični efekat je pojava interakcije svjetlosti s materijom, uslijed koje se energija fotona prenosi na elektrone tvari. jednadžba: (energija fotona se troši na radnu funkciju elektrona i dajući kinetičku energiju elektronu)

Period.

Period T Vremenski period tokom kojeg sistem napravi jednu potpunu oscilaciju naziva se:

N- broj kompletnih oscilacija po vremenu t.

Frekvencija.

Frekvencija ν - broj oscilacija u jedinici vremena:

Jedinica frekvencije je 1 herc (Hz) = 1 s -1

Ciklična frekvencija:

Jednačina harmonične vibracije:

x- pomeranje tela iz položaja. X m- amplituda, odnosno maksimalni pomak, (ω t+ φ 0) je faza oscilovanja, Ψ 0 je njena početna faza.

Brzina.

Kada je φ 0 = 0:

Ubrzanje.

Kada je φ 0 = 0:

Besplatne vibracije.

Slobodne vibracije su one koje se javljaju u mehaničkom sistemu (oscilatoru) sa jednim odstupanjem od njegovog ravnotežnog položaja, imaju prirodnu frekvenciju ω 0, određenu samo parametrima sistema, i opadaju tokom vremena zbog prisustva trenja.

Matematičko klatno.

Učestalost:

l- dužina klatna, g- ubrzanje gravitacije.

Klatno ima maksimalnu kinetičku energiju u trenutku kada prođe ravnotežni položaj:

Opružno klatno.

Učestalost:

k- krutost opruge, m- masa tereta.

Klatno ima maksimalnu potencijalnu energiju pri maksimalnom pomaku:

Prisilne vibracije.

Prisilne oscilacije su one koje se javljaju u oscilatornom sistemu (oscilatoru) pod uticajem spoljašnje sile koja se periodično menja.

Rezonancija.

Rezonancija - oštro povećanje amplitude X m prisilnih oscilacija kada se frekvencija ω pokretačke sile poklapa sa frekvencijom ω 0 prirodnih oscilacija sistema.

Talasi.

Talasi su vibracije materije (mehaničke) ili polja (elektromagnetne) koje se šire kroz prostor tokom vremena.

Brzina talasa.

Brzina širenja talasa υ je brzina prenosa energije vibracija. U ovom slučaju, čestice medija osciliraju oko ravnotežnog položaja, umjesto da se kreću s valom.

Talasna dužina.

Talasna dužina λ je udaljenost preko koje se oscilacija širi u jednom periodu:

Jedinica za talasnu dužinu je 1 metar (m).

Talasna frekvencija:

Jedinica frekvencije talasa je 1 herc (Hz).

Teme kodifikatora Jedinstvenog državnog ispita: harmonijske vibracije; amplituda, period, frekvencija, faza oscilacija; slobodne vibracije, prisilne vibracije, rezonancija.

Oscilacije - To su promjene stanja sistema koje se ponavljaju tokom vremena. Koncept oscilacija pokriva veoma širok spektar pojava.

Vibracije mehaničkih sistema, odn mehaničke vibracije- to je mehaničko kretanje tijela ili sistema tijela, koje se ponavlja u vremenu i dešava se u blizini ravnotežnog položaja. Ravnotežna pozicija je stanje sistema u kojem može ostati neograničeno bez iskusenja vanjskih utjecaja.

Na primjer, ako se klatno skrene i pusti, ono će početi oscilirati. Položaj ravnoteže je položaj klatna u odsustvu odstupanja. Klatno, ako se ne ometa, može ostati u ovom položaju koliko god želite. Kako klatno oscilira, ono mnogo puta prolazi kroz svoj ravnotežni položaj.

Odmah nakon otpuštanja otpuštenog klatna ono je počelo da se kreće, prošlo ravnotežni položaj, dostiglo suprotni krajnji položaj, tu se na trenutak zaustavilo, krenulo u suprotnom smeru, ponovo prošlo ravnotežni položaj i vratilo se nazad. Jedno se dogodilo puni zamah. Zatim će se ovaj proces periodično ponavljati.

Amplituda oscilacije tijela je veličina njegovog najvećeg odstupanja od ravnotežnog položaja.

Period oscilacije - ovo je vrijeme jedne potpune oscilacije. Možemo reći da tokom perioda tijelo pređe put od četiri amplitude.

Frekvencija oscilovanja je recipročna vrijednost perioda: . Frekvencija se mjeri u hercima (Hz) i pokazuje koliko se potpunih oscilacija dešava u jednoj sekundi.

Harmonične vibracije.

Pretpostavit ćemo da je položaj oscilirajućeg tijela određen jednom koordinatom. Položaj ravnoteže odgovara vrijednosti . Glavni zadatak mehanike u ovom slučaju je pronaći funkciju koja daje koordinate tijela u bilo kojem trenutku.

Za matematički opis oscilacija prirodno je koristiti periodične funkcije. Postoji mnogo takvih funkcija, ali dvije od njih - sinus i kosinus - su najvažnije. Imaju mnoga dobra svojstva i usko su povezani sa širokim spektrom fizičkih pojava.

Budući da se sinusne i kosinusne funkcije dobivaju jedna od druge pomicanjem argumenta za , možemo se ograničiti samo na jednu od njih. Za određenost ćemo koristiti kosinus.

Harmonične vibracije- to su oscilacije u kojima koordinate zavise od vremena prema harmonijskom zakonu:

(1)

Hajde da saznamo značenje količina uključenih u ovu formulu.

Pozitivna vrijednost je najveća vrijednost modula koordinate (pošto je maksimalna vrijednost kosinusnog modula jednaka jedinici), odnosno najveće odstupanje od ravnotežnog položaja. Dakle - amplituda oscilacija.

Poziva se kosinusni argument faza oklevanje. Vrijednost jednaka vrijednosti faze na naziva se početna faza. Početna faza odgovara početnoj koordinati tijela: .

Količina se zove ciklička frekvencija. Nađimo njegovu vezu sa periodom i frekvencijom oscilacije. Jedna potpuna oscilacija odgovara prirastu faze jednakom radijanima: , odakle

(2)

(3)

Ciklična frekvencija se mjeri u rad/s (radijanima po sekundi).

U skladu sa izrazima (2) i (3) dobijamo još dva oblika pisanja harmonijskog zakona (1):

Grafikon funkcije (1), koji izražava zavisnost koordinate od vremena tokom harmonijskih oscilacija, prikazan je na Sl. 1 .

Harmonski zakon tipa (1) je najopštije prirode. Reagira, na primjer, na situacije u kojima su dvije početne radnje istovremeno izvršene na klatno: ono je odbijeno za određenu količinu i data mu je određena početna brzina. Postoje dva važna posebna slučaja kada jedna od ovih radnji nije izvršena.

Neka se klatno otkloni, ali početna brzina nije prijavljena (opušteno je bez početne brzine). Jasno je da u ovom slučaju, dakle, možemo staviti . Dobijamo kosinusni zakon:

Grafikon harmonijskih oscilacija u ovom slučaju prikazan je na sl. 2.

Rice. 2. Zakon kosinusa

Pretpostavimo sada da klatno nije odbijeno, već mu je udarom prenesena početna brzina iz ravnotežnog položaja. U ovom slučaju, tako da možete staviti . Dobijamo zakon sinusa:

Grafikon oscilovanja je prikazan na sl. 3.

Rice. 3. Zakon sinusa

Jednačina harmonijskih vibracija.

Vratimo se opštem harmonijskom zakonu (1). Razlikujemo ovu jednakost:

. (4)

Sada diferenciramo rezultirajuću jednakost (4):

. (5)

Uporedimo izraz (1) za koordinatu i izraz (5) za projekciju ubrzanja. Vidimo da se projekcija ubrzanja razlikuje od koordinata samo za faktor:

. (6)

Ovaj omjer se zove harmonijska jednačina. Takođe se može prepisati u ovom obliku:

. (7)

Sa matematičke tačke gledišta, jednačina (7) je diferencijalna jednadžba. Rješenja diferencijalnih jednadžbi su funkcije (ne brojevi, kao u običnoj algebri).
Dakle, može se dokazati da:

Rješenje jednadžbe (7) je bilo koja funkcija oblika (1) sa proizvoljnim ;

Nijedna druga funkcija nije rješenje ove jednačine.

Drugim riječima, relacije (6), (7) opisuju harmonijske oscilacije sa cikličnom frekvencijom i samo njih. Dvije konstante se određuju iz početnih uvjeta - iz početnih vrijednosti koordinate i brzine.

Opružno klatno.

Opružno klatno je opterećenje pričvršćeno na oprugu koja može oscilirati u horizontalnom ili okomitom smjeru.

Nađimo period malih horizontalnih oscilacija opružnog klatna (slika 4). Oscilacije će biti male ako je količina deformacije opruge mnogo manja od njenih dimenzija. Za male deformacije možemo koristiti Hookeov zakon. To će dovesti do toga da oscilacije budu harmonične.

Zanemarujemo trenje. Opterećenje ima masu i krutost opruge je jednaka .

Koordinata odgovara ravnotežnom položaju u kojem opruga nije deformisana. Posljedično, veličina deformacije opruge jednaka je modulu koordinata opterećenja.

Rice. 4. Opružno klatno

U horizontalnom smjeru na opterećenje djeluje samo elastična sila opruge. Drugi Newtonov zakon za opterećenje u projekciji na osu ima oblik:

. (8)

Ako (opterećenje je pomaknuto udesno, kao na slici), tada je elastična sila usmjerena u suprotnom smjeru, i . Obrnuto, ako , Tada . Znaci i stalno su suprotni, pa se Hookeov zakon može napisati na sljedeći način:

Tada relacija (8) poprima oblik:

Dobili smo jednadžbu harmonijskih oscilacija oblika (6), u kojoj

Ciklična frekvencija oscilovanja opružnog klatna je dakle jednaka:

. (9)

Odavde i iz odnosa nalazimo period horizontalnih oscilacija opružnog klatna:

. (10)

Ako okačite teret na oprugu, dobit ćete opružno klatno koje oscilira u vertikalnom smjeru. Može se pokazati da u ovom slučaju formula (10) vrijedi za period oscilovanja.

Matematičko klatno.

Matematičko klatno je malo tijelo okačeno na bestežinski nerastegljivi konac (slika 5). Matematičko klatno može oscilirati u vertikalnoj ravni u polju gravitacije.

Rice. 5. Matematičko klatno

Nađimo period malih oscilacija matematičkog klatna. Dužina konca je . Otpor zraka zanemarujemo.

Zapišimo drugi Newtonov zakon za klatno:

i projektovati ga na osu:

Ako klatno zauzme položaj kao na slici (tj.), tada:

Ako je klatno na drugoj strani ravnotežnog položaja (tj.), tada:

Dakle, za bilo koji položaj klatna imamo:

. (11)

Kada klatno miruje u ravnotežnom položaju, jednakost je zadovoljena. Za male oscilacije, kada su odstupanja klatna od ravnotežnog položaja mala (u poređenju sa dužinom niti), približna jednakost je zadovoljena. Koristimo ga u formuli (11):

Ovo je jednadžba harmonijskih oscilacija oblika (6), u kojoj

Stoga je ciklična frekvencija oscilacija matematičkog klatna jednaka:

. (12)

Otuda period oscilovanja matematičkog klatna:

. (13)

Imajte na umu da formula (13) ne uključuje masu tereta. Za razliku od opružnog klatna, period oscilovanja matematičkog klatna ne zavisi od njegove mase.

Slobodne i prisilne vibracije.

Kažu da sistem radi slobodne vibracije, ako se jednom ukloni iz ravnotežnog položaja i potom prepusti samome sebi. Nema periodičnih eksternih
U ovom slučaju sistem ne doživljava nikakve uticaje, niti postoje unutrašnji izvori energije koji podržavaju oscilacije u sistemu.

Oscilacije opruge i matematičkog klatna o kojima se govorilo su primjeri slobodnih oscilacija.

Frekvencija kojom se javljaju slobodne vibracije naziva se prirodna frekvencija oscilatorni sistem. Dakle, formule (9) i (12) daju prirodne (ciklične) frekvencije oscilacija opruge i matematičkog klatna.

U idealiziranoj situaciji u odsustvu trenja, slobodne oscilacije su neprigušene, odnosno imaju konstantnu amplitudu i traju neograničeno. U realnim oscilatornim sistemima trenje je uvek prisutno, pa slobodne vibracije postepeno odumiru (slika 6).

Prisilne vibracije- to su oscilacije koje vrši sistem pod uticajem spoljne sile koja se periodično menja tokom vremena (tzv. pokretačka sila).

Pretpostavimo da je prirodna frekvencija oscilacija sistema jednaka , a pokretačka sila zavisi od vremena prema harmonijskom zakonu:

Tokom nekog vremena uspostavljaju se prisilne oscilacije: sistem pravi složeno kretanje, koje je superpozicija prinudnih i slobodnih oscilacija. Slobodne oscilacije postepeno odumiru, a u stabilnom stanju sistem vrši prisilne oscilacije, koje se takođe ispostavljaju harmonijskim. Frekvencija stabilnih prisilnih oscilacija poklapa se sa frekvencijom
sila prisiljavanja (spoljna sila, takoreći, nameće svoju frekvenciju sistemu).

Amplituda uspostavljenih prinudnih oscilacija zavisi od frekvencije pokretačke sile. Grafikon ove zavisnosti je prikazan na Sl. 7.

Rice. 7. Rezonancija

Vidimo da se rezonancija javlja u blizini frekvencije - fenomen povećanja amplitude prisilnih oscilacija. Rezonantna frekvencija je približno jednaka prirodnoj frekvenciji oscilacija sistema: , a ta jednakost se ispunjava točnije što je trenje u sistemu manje. U odsustvu trenja, rezonantna frekvencija se poklapa sa prirodnom frekvencijom oscilacija, a amplituda oscilacija raste do beskonačnosti na .

Harmonične oscilacije se javljaju prema zakonu:

x = A cos(ω t + φ 0),

Gdje x– pomicanje čestice iz ravnotežnog položaja, A– amplituda oscilacija, ω – kružna frekvencija, φ 0 – početna faza, t- vrijeme.

Period oscilacije T = .

Brzina oscilirajuće čestice:

υ = = – Aω sin(ω t + φ 0),

ubrzanje a = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Kinetička energija čestice koja prolazi kroz oscilatorno kretanje: E k = =
sin 2 (ω t+ φ 0).

Potencijalna energija:

E n=
cos 2 (ω t + φ 0).

Periodi oscilacija klatna

– proljeće T =
,

Gdje m– masa tereta, k– koeficijent krutosti opruge,

– matematički T = ,

Gdje l– dužina ovjesa, g- ubrzanje gravitacije,

– fizički T =
,

Gdje I– moment inercije klatna u odnosu na osu koja prolazi kroz tačku ovjesa, m– masa klatna, l– udaljenost od tačke ovjesa do centra mase.

Smanjena dužina fizičkog klatna nalazi se iz uslova: l np = ,

Oznake su iste kao i za fizičko klatno.

Kada se dodaju dvije harmonijske oscilacije iste frekvencije i jednog smjera, dobija se harmonijska oscilacija iste frekvencije sa amplitudom:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

i početna faza: φ = arktan
.

Gdje A 1 , A 2 – amplitude, φ 1, φ 2 – početne faze sklopljenih oscilacija.

Putanja rezultirajućeg kretanja kada se zbrajaju međusobno okomite oscilacije iste frekvencije:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

Prigušene oscilacije nastaju prema zakonu:

x = A 0 e - β t cos(ω t + φ 0),

gdje je β koeficijent prigušenja, značenje preostalih parametara je isto kao i za harmonijske oscilacije, A 0 – početna amplituda. U trenutku t amplituda vibracije:

A = A 0 e - β t .

Logaritamski dekrement prigušenja naziva se:

λ = log
= β T,

Gdje T– period oscilovanja: T = .

Faktor kvaliteta oscilatornog sistema naziva se:

Jednačina ravnog putujućeg talasa ima oblik:

y = y 0 cos ω( t ± ),

Gdje at– pomicanje oscilirajuće veličine iz ravnotežnog položaja, at 0 – amplituda, ω – ugaona frekvencija, t- vrijeme, X– koordinata duž koje se talas širi, υ – brzina prostiranja talasa.

Znak “+” odgovara talasu koji se širi prema osi X, znak “–” odgovara talasu koji se širi duž ose X.

Talasna dužina se naziva njenim prostornim periodom:

λ = υ T,

Gdje υ – brzina širenja talasa, T– period propagirajućih oscilacija.

Talasna jednačina se može napisati:

y = y 0 cos 2π (+).

Stajni val se opisuje jednadžbom:

y = (2y 0cos ) cos ω t.

Amplituda stojećeg talasa je data u zagradama. Tačke sa maksimalnom amplitudom nazivaju se antičvorovi,

x n = n ,

tačke sa nultom amplitudom - čvorovi,

x y = ( n + ) .

Primjeri rješavanja problema

Problem 20

Amplituda harmonijskih oscilacija je 50 mm, period je 4 s i početna faza . a) Zapišite jednačinu ove oscilacije; b) naći pomak oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja na t=0 i at t= 1,5 s; c) nacrtajte grafik ovog kretanja.

Rješenje

Jednačina oscilovanja je zapisana kao x = a cos( t+  0).

Prema uslovu je poznat period oscilovanja. Preko njega možemo izraziti kružnu frekvenciju  = . Preostali parametri su poznati:

A) x= 0,05cos( t + ).

b) Offset x at t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

At t= 1,5 s

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 m.

V ) graf funkcije x=0,05cos ( t + ) kao što slijedi:

Odredimo položaj nekoliko tačaka. Poznato X 1 (0) i X 2 (1.5), kao i period oscilovanja. Dakle, kroz  t= 4 s vrijednost X ponavlja, a nakon  t = 2 s mijenja znak. Između maksimuma i minimuma u sredini je 0.

Problem 21

Tačka vrši harmonijsku oscilaciju. Period oscilovanja je 2 s, amplituda je 50 mm, početna faza je nula. Odrediti brzinu tačke u trenutku kada je njen pomak od ravnotežnog položaja 25 mm.

Rješenje

1 način. Zapisujemo jednačinu oscilacije tačke:

x= 0,05 cos t, jer  = =.

Pronalaženje brzine u trenutku t:

υ = = – 0,05 cos t.

Nalazimo trenutak u vremenu kada je pomak 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos t 1 ,

dakle cos  t 1 = ,  t 1 = . Ovu vrijednost zamjenjujemo u izraz za brzinu:

υ = – 0,05  sin = – 0,05  = 0,136 m/s.

Metoda 2. Ukupna energija oscilatornog kretanja:

E =
,

Gdje A– amplituda,  – kružna frekvencija, m – masa čestica.

U svakom trenutku se sastoji od potencijalne i kinetičke energije tačke

E k = , E n = , Ali k = m 2, što znači E n =
.

Zapišimo zakon održanja energije:

= +
,

odavde dobijamo: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Problem 22

Amplituda harmonijskih oscilacija materijalne tačke A= 2 cm, ukupna energija E= 3∙10 -7 J. Pri kom pomaku iz ravnotežnog položaja sila djeluje na oscilirajuću tačku F = 2,25∙10 -5 N?

Rješenje

Ukupna energija tačke koja vrši harmonijske oscilacije jednaka je: E =
. (13)

Modul elastične sile se izražava kroz pomicanje tačaka iz ravnotežnog položaja x na sljedeći način:

F = k x (14)

Formula (13) uključuje masu m i kružna frekvencija , au (14) – koeficijent krutosti k. Ali kružna frekvencija je povezana sa m I k:

 2 = ,

odavde k = m 2 i F = m 2 x. Pošto se izrazio m 2 iz relacije (13) dobijamo: m 2 = , F = x.

Odakle dobijamo izraz za pomak x: x = .

Zamjena brojčanih vrijednosti daje:

x =
= 1,5∙10 -2 m = 1,5 cm.

Problem 23

Tačka učestvuje u dve oscilacije sa istim periodima i početnim fazama. Amplitude oscilacija A 1 = 3 cm i A 2 = 4 cm Odrediti amplitudu rezultujuće vibracije ako: 1) se vibracije javljaju u jednom pravcu; 2) vibracije su međusobno okomite.

Rješenje

Ako se oscilacije javljaju u jednom smjeru, tada se amplituda rezultirajuće oscilacije određuje kao:

Gdje A 1 i A 2 – amplitude sabranih oscilacija,  1 i  2 – početne faze. Prema uslovu, početne faze su iste, što znači  2 –  1 = 0, a cos 0 = 1.

dakle:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 cm.

Ako su oscilacije međusobno okomite, tada će jednadžba rezultujućeg gibanja biti:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

Pošto je po uslovu  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, jednačina će biti zapisana kao:
=0,

ili
=0,

ili
.

Rezultirajući odnos između x I at može se prikazati na grafikonu. Grafikon pokazuje da će rezultat biti oscilacija tačke na pravoj liniji MN. Amplituda ove oscilacije je određena kao: A =
= 5 cm.

Problem 24

Period prigušenih oscilacija T=4 s, logaritamski dekrement prigušenja  = 1,6, početna faza je nula. Pomicanje tačke na t = jednako 4,5 cm 1) Napišite jednačinu ove vibracije; 2) Napravi grafik ovog kretanja za dva perioda.

Rješenje

Jednačina prigušenih oscilacija sa nultom početnom fazom ima oblik:

x = A 0 e -  t cos2 .

Nema dovoljno početnih vrijednosti amplitude za zamjenu numeričkih vrijednosti A 0 i koeficijent slabljenja .

Koeficijent slabljenja može se odrediti iz relacije za logaritamski dekrement slabljenja:

 = T.

Dakle  = = = 0,4 s -1 .

Početna amplituda se može odrediti zamjenom drugog uvjeta:

4,5 cm = A 0
cos 2 =A 0
cos = A 0
.

Odavde nalazimo:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Konačna jednačina kretanja je:

x = 0,0775
trošak.

Problem 25

Koliki je logaritamski dekrement prigušenja matematičkog klatna, ako je za t = 1 min amplituda oscilacija smanjena za polovicu? Dužina klatna l = 1 m.

Rješenje

Logaritamski dekrement prigušenja može se naći iz relacije: =  T,

gdje je  koeficijent slabljenja, T– period oscilovanja. Prirodna kružna frekvencija matematičkog klatna:

 0 =
= 3,13 s -1 .

Koeficijent prigušenja oscilacija može se odrediti iz uslova: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1 .

Od <<  0 , то в формуле  =
može se zanemariti u poređenju sa  0 i period oscilovanja se može odrediti formulom: T = = 2c.

Zamjenjujemo  i T u izraz za dekrement logaritamskog prigušenja i dobijamo:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Problem 26

Jednačina neprigušenih oscilacija data je u obliku x= 4 sin600  t cm.

Odrediti pomak od ravnotežnog položaja točke koja se nalazi na udaljenosti l= 75 cm od izvora vibracije, kroz t= 0,01 s nakon početka oscilovanja. Brzina širenja oscilacije υ = 300 m/s.

Rješenje

Zapišimo jednačinu talasa koji se širi iz datog izvora: x= 0,04 sin 600 ( t– ).

Pronalazimo fazu talasa u datom trenutku na datom mestu:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

sin 4,5 = sin = 1.

Dakle, pomak tačke x= 0,04 m, tj. na daljinu l =75 cm od izvora u trenutku t= 0,01 s maksimalnog pomaka tačke.

Bibliografija

Volkenshtein V.S.. Zbirka zadataka za opšti kurs fizike. – Sankt Peterburg: SpetsLit, 2001.

Savelyev I.V.. Zbirka pitanja i zadataka iz opšte fizike. – M.: Nauka, 1998.

Svaki pokret koji se periodično ponavlja naziva se oscilatornim. Stoga se ovisnosti koordinata i brzine tijela o vremenu za vrijeme oscilacija opisuju periodičnim funkcijama vremena. U školskom predmetu fizike razmatraju se vibracije u kojima su zavisnosti i brzine tijela trigonometrijske funkcije , ili njihova kombinacija, gdje je određeni broj. Takve oscilacije se nazivaju harmonijske (funkcije I često se nazivaju harmonijske funkcije). Za rješavanje zadataka o oscilacijama uključenih u program Jedinstvenog državnog ispita iz fizike, potrebno je znati definicije glavnih karakteristika oscilatornog kretanja: amplituda, period, frekvencija, kružna (ili ciklička) frekvencija i faza oscilacija. Dajemo ove definicije i povežimo navedene veličine sa parametrima zavisnosti koordinata tela od vremena, koje se u slučaju harmonijskih oscilacija uvek mogu predstaviti u obliku

gdje , i su neki brojevi.

Amplituda oscilacija je maksimalno odstupanje tijela koje oscilira od njegovog ravnotežnog položaja. Budući da su maksimalne i minimalne vrijednosti kosinusa u (11.1) jednake ±1, amplituda oscilacija tijela koje oscilira (11.1) jednaka je . Period oscilovanja je minimalno vrijeme nakon kojeg se kretanje tijela ponavlja. Za zavisnost (11.1), period se može postaviti iz sljedećih razmatranja. Kosinus je periodična funkcija s periodom. Dakle, kretanje se potpuno ponavlja kroz takvu vrijednost da . Odavde dobijamo

Kružna (ili ciklična) frekvencija oscilacija je broj oscilacija koje se izvode u jedinici vremena. Iz formule (11.3) zaključujemo da je kružna frekvencija veličina iz formule (11.1).

Faza oscilovanja je argument trigonometrijske funkcije koja opisuje ovisnost koordinate o vremenu. Iz formule (11.1) vidimo da je faza oscilacija tijela, čije je kretanje opisano zavisnošću (11.1), jednaka . Vrijednost faze oscilovanja u trenutku = 0 naziva se početna faza. Za zavisnost (11.1) početna faza oscilacija je jednaka . Očigledno, početna faza oscilacija zavisi od izbora vremenske referentne tačke (moment = 0), koja je uvek uslovna. Promjenom ishodišta vremena, početna faza oscilacija uvijek se može „učiniti“ jednakom nuli, a sinus u formuli (11.1) se „pretvoriti“ u kosinus ili obrnuto.

Program Jedinstvenog državnog ispita uključuje i poznavanje formula za učestalost oscilacija opruge i matematičkog klatna. Opružnim klatnom obično se naziva tijelo koje može oscilirati na glatkoj horizontalnoj površini pod djelovanjem opruge, čiji je drugi kraj fiksiran (lijeva slika). Matematičko klatno je masivno tijelo čije se dimenzije mogu zanemariti, koje oscilira na dugoj, bestežinskoj i nerastezljivoj niti (desna slika). Naziv ovog sistema, "matematičko klatno", dobio je zbog činjenice da predstavlja apstraktno matematički model stvarnog ( fizički) klatno. Potrebno je zapamtiti formule za period (ili frekvenciju) oscilacija opruge i matematičkog klatna. Za opružno klatno

gdje je dužina niti, je ubrzanje gravitacije. Razmotrimo primjenu ovih definicija i zakona na primjeru rješavanja problema.

Da biste pronašli cikličku frekvenciju oscilacija opterećenja u zadatak 11.1.1 Nađimo prvo period oscilacije, a zatim koristimo formulu (11.2). Kako je 10 m 28 s 628 s, a za to vrijeme teret oscilira 100 puta, period oscilovanja tereta je 6,28 s. Stoga je ciklična frekvencija oscilacija 1 s -1 (odgovor 2 ). IN problem 11.1.2 opterećenje je napravilo 60 oscilacija za 600 s, pa je frekvencija oscilacija 0,1 s -1 (odgovor 1 ).

Da biste razumjeli udaljenost koju će teret prijeći za 2,5 perioda ( problem 11.1.3), pratimo njegovo kretanje. Nakon određenog perioda, opterećenje će se vratiti na tačku maksimalnog otklona, ​​dovršavajući potpunu oscilaciju. Stoga će za to vrijeme teret preći put jednaku četiri amplitude: do ravnotežnog položaja - jedna amplituda, od ravnotežnog položaja do tačke maksimalnog odstupanja u drugom smjeru - druga, natrag u ravnotežni položaj - treći, od ravnotežnog položaja do početne tačke – četvrti. Tokom drugog perioda, opterećenje će ponovo proći kroz četiri amplitude, a tokom preostale polovine perioda - dve amplitude. Dakle, pređeni put je jednak deset amplituda (odgovor 4 ).

Količina kretanja tijela je udaljenost od početne do završne točke. Preko 2,5 perioda u zadatak 11.1.4 tijelo će imati vremena da izvrši dvije pune i pola pune oscilacije, tj. će biti na maksimalnom odstupanju, ali na drugoj strani ravnotežnog položaja. Stoga je veličina pomaka jednaka dvije amplitude (odgovor 3 ).

Po definiciji, faza osciliranja je argument trigonometrijske funkcije koja opisuje ovisnost koordinata oscilirajućeg tijela o vremenu. Stoga je tačan odgovor problem 11.1.5 - 3 .

Period je vrijeme potpune oscilacije. To znači da povratak tijela u istu tačku iz koje se tijelo počelo kretati ne znači da je prošao period: tijelo se mora vratiti u istu tačku istom brzinom. Na primjer, tijelo, koje je započelo oscilacije iz ravnotežnog položaja, imat će vremena da maksimalno odstupi u jednom smjeru, vrati se nazad, maksimalno odstupi u drugom smjeru i ponovo se vrati nazad. Dakle, tokom perioda telo će imati vremena da dva puta odstupi za maksimalnu količinu od ravnotežnog položaja i vrati se nazad. Posljedično, prijelaz iz ravnotežnog položaja do tačke maksimalnog odstupanja ( problem 11.1.6) tijelo provede četvrtinu menstruacije (odgovor 3 ).

Harmonične oscilacije su one kod kojih se ovisnost koordinata tijela koje oscilira o vremenu opisuje trigonometrijskom (sinusnom ili kosinusnom) funkcijom vremena. IN zadatak 11.1.7 ovo su funkcije i , uprkos činjenici da su parametri uključeni u njih označeni kao 2 i 2 . Funkcija je trigonometrijska funkcija kvadrata vremena. Stoga su vibracije samo količina i harmonične (odgovor 4 ).

Tokom harmonijskih vibracija, brzina tijela se mijenja u skladu sa zakonom , gdje je amplituda oscilacija brzine (vremenska referentna tačka je odabrana tako da je početna faza oscilacija jednaka nuli). Odavde nalazimo zavisnost kinetičke energije tijela o vremenu
(problem 11.1.8). Koristeći dalje dobro poznatu trigonometrijsku formulu, dobijamo

Iz ove formule proizilazi da se kinetička energija tijela mijenja tokom harmonijskih oscilacija također po harmonijskom zakonu, ali sa dvostrukom frekvencijom (odgovor 2 ).

Iza odnosa između kinetičke energije tereta i potencijalne energije opruge ( problem 11.1.9) je lako pratiti iz sljedećih razmatranja. Kada se tijelo maksimalno odmakne od ravnotežnog položaja, brzina tijela je nula, pa je stoga potencijalna energija opruge veća od kinetičke energije tereta. Naprotiv, kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj, potencijalna energija opruge je nula, pa je stoga kinetička energija veća od potencijalne energije. Dakle, između prolaska ravnotežnog položaja i maksimalnog otklona, ​​kinetička i potencijalna energija se uspoređuju jednom. A pošto tokom perioda telo pređe četiri puta iz ravnotežnog položaja do maksimalnog otklona ili nazad, tada se tokom perioda kinetička energija tereta i potencijalna energija opruge upoređuju jedna s drugom četiri puta (odgovor 2 ).

Amplituda fluktuacija brzine ( zadatak 11.1.10) je najlakše pronaći koristeći zakon održanja energije. U tački maksimalnog otklona energija oscilatornog sistema jednaka je potencijalnoj energiji opruge , gdje je koeficijent krutosti opruge, amplituda vibracije. Prilikom prolaska kroz ravnotežni položaj, energija tijela jednaka je kinetičkoj energiji , gdje je masa tijela, je brzina tijela pri prolasku kroz ravnotežni položaj, što je najveća brzina tijela tokom procesa oscilovanja i, prema tome, predstavlja amplitudu oscilacija brzine. Izjednačavajući ove energije, nalazimo

(odgovor 4 ).

Iz formule (11.5) zaključujemo ( problem 11.2.2), da njegov period ne zavisi od mase matematičkog klatna, a sa povećanjem dužine za 4 puta, period oscilovanja se povećava za 2 puta (odgovor 1 ).

Sat je oscilatorni proces koji se koristi za mjerenje vremenskih intervala ( problem 11.2.3). Reči „sat je u žurbi“ znače da je period ovog procesa kraći nego što bi trebalo da bude. Stoga, da bi se razjasnio napredak ovih časovnika, potrebno je povećati period procesa. Prema formuli (11.5), da bi se povećao period oscilovanja matematičkog klatna, potrebno je povećati njegovu dužinu (odgovor 3 ).

Da biste pronašli amplitudu oscilacija u problem 11.2.4, potrebno je zavisnost koordinata tijela o vremenu predstaviti u obliku jedne trigonometrijske funkcije. Za funkciju datu u uvjetu, to se može učiniti uvođenjem dodatnog kuta. Množenje i dijeljenje ove funkcije sa i koristeći formulu za sabiranje trigonometrijskih funkcija, dobijamo

gdje je ugao takav da . Iz ove formule slijedi da je amplituda oscilacija tijela (odgovor 4 ).