Fazodagi chiziqlar va tekisliklarning xossalari. Kosmosdagi to'g'ri chiziqlar va tekisliklar

Dastlabki mulohazalar

1. Stereometriyada barcha nuqtalari bir tekislikda yotmaydigan geometrik jismlar va fazoviy figuralar o'rganiladi. Fazoviy figuralar rasmda ko'zga taxminan bir xil taassurot qoldiradigan chizmalar yordamida tasvirlangan. Ushbu chizmalar raqamlarning geometrik xususiyatlaridan kelib chiqqan holda ma'lum qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.
Samolyotda fazoviy figuralarni tasvirlash usullaridan biri keyinroq ko'rsatiladi (§ 54-66).

BIRINCHI BOB To'g'ri va tekisliklar

I. SAVOLOTNING JOYINI ANIQLASH

2. Samolyot tasviri. Kundalik hayotda sirti geometrik tekislikka o'xshab ketadigan ko'plab ob'ektlar to'rtburchaklar shakliga ega: kitobning bog'lanishi, deraza oynasi, stol yuzasi va boshqalar. Bundan tashqari, agar biz ushbu ob'ektlarga qarasak. burchak va uzoq masofadan ular bizga parallelogramm shakliga ega bo'lib ko'rinadi. Shuning uchun chizmada tekislikni parallelogramm 1 sifatida tasvirlash odatiy holdir. Bu tekislik odatda bitta harf bilan belgilanadi, masalan, "tekislik M" (1-rasm).

1 Samolyotning ko'rsatilgan tasviri bilan bir qatorda, 15-17 chizmalarda va hokazolarda ham mumkin.
(Muharrir eslatmasi)

3. Samolyotning asosiy xususiyatlari. Dalilsiz qabul qilingan, ya'ni aksioma bo'lgan tekislikning quyidagi xossalarini ko'rsatamiz:

1) Agar chiziqdagi ikkita nuqta tekislikka tegishli bo'lsa, bu chiziqdagi har bir nuqta tekislikka tegishlidir.

2) Agar ikkita tekislikning umumiy nuqtasi bo'lsa, ular shu nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi.

3) Bitta to'g'rida yotmaydigan har qanday uchta nuqta orqali tekislik o'tkazilishi mumkin va faqat bitta.

4. Oqibatlari. Oxirgi jumladan quyidagi xulosalar chiqarish mumkin:

1) To'g'ri chiziq va uning tashqarisidagi nuqta orqali siz tekislikni (va faqat bitta) chizishingiz mumkin. Haqiqatan ham, chiziqdan tashqarida joylashgan nuqta, bu chiziqdagi ikkita nuqta bilan birgalikda, tekislik (va bittasi) o'tkaziladigan uchta nuqtani tashkil qiladi.

2) Ikkita kesishuvchi chiziqlar orqali siz tekislikni (va faqat bitta) chizishingiz mumkin. Haqiqatan ham, kesishish nuqtasini va har bir chiziqda yana bitta nuqtani olib, biz uchta nuqtaga ega bo'lamiz, ular orqali biz tekislikni (va bundan tashqari, bitta) chizishimiz mumkin.

3) Ikki parallel chiziq orqali faqat bitta tekislik o'tkazilishi mumkin. Darhaqiqat, parallel chiziqlar, ta'rifiga ko'ra, bir tekislikda yotadi; bu tekislik o'ziga xosdir, chunki ko'pi bilan bitta tekislik parallel bo'lganlardan biri va boshqasining biron bir nuqtasi orqali o'tkazilishi mumkin.

5. Tekislikning to'g'ri chiziq atrofida aylanishi. Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali cheksiz sonli tekisliklarni chizish mumkin.

Darhaqiqat, bizga to'g'ri chiziq berilsin A (2-rasm).

Undan tashqarida A nuqtani olaylik. A nuqta va to'g'ri chiziq orqali A bitta tekislikdan o'tadi (§4). Uni M tekislik deb ataymiz. M tekislikdan tashqarida yangi B nuqtani oling. B nuqta va to'g'ri chiziq orqali A o'z navbatida samolyotdan o'tadi. Uni N tekislik deb ataymiz. U M bilan mos kela olmaydi, chunki u M tekislikka tegishli bo'lmagan B nuqtasini o'z ichiga oladi. Keyin fazoda M va N tekisliklardan tashqari yana bir yangi C nuqtani olishimiz mumkin. C nuqta va to'g'ri chiziq orqali. A yangi samolyot o'tadi. Uni P deb ataymiz. U M tekislikka ham, N tekislikka ham to‘g‘ri kelmaydi, chunki u M tekislikka ham, N tekislikka ham tegishli bo‘lmagan C nuqtani o‘z ichiga oladi. Kosmosda tobora ko‘proq yangi nuqtalarni olishda davom etsak, biz ko‘proq narsani olamiz. va bu yo'lda yana ko'p yangi nuqtalar va bu chiziqdan o'tadigan yangi samolyotlar A . Bunday samolyotlar son-sanoqsiz bo'ladi. Bu tekisliklarning barchasini to'g'ri chiziq atrofida aylanadigan bir tekislikning turli pozitsiyalari deb hisoblash mumkin A .

Demak, biz tekislikning yana bir xususiyatini ifodalashimiz mumkin: tekislik bu tekislikda yotgan har qanday to'g'ri chiziq atrofida aylanishi mumkin.

6. Kosmosda qurilish bilan bog'liq muammolar. Planimetriyada qilingan barcha konstruktsiyalar chizma asboblari yordamida bir tekislikda amalga oshirildi. Kosmosdagi konstruktsiyalar uchun chizma asboblari yaroqsiz bo'lib qoladi, chunki kosmosda raqamlarni chizish mumkin emas. Bundan tashqari, kosmosda qurishda yana bir yangi element - tekislik paydo bo'ladi, uni kosmosda tekislikda to'g'ri chiziq qurish kabi oddiy vositalar bilan amalga oshirish mumkin emas.

Shuning uchun fazoda qurishda u yoki bu qurilishni amalga oshirish nimani anglatishini va xususan, kosmosda tekislikni qurish nimani anglatishini aniq aniqlash kerak. Kosmosdagi barcha inshootlarda biz quyidagilarni qabul qilamiz:

1) uning fazodagi o‘rnini belgilovchi elementlar topilsa, tekislik qurish mumkinligi (§ 3 va 4), ya’ni berilgan uchta nuqtadan, chiziqdan va uning tashqarisidagi nuqtadan o‘tuvchi tekislik qurishimiz mumkin. ikkita kesishuvchi yoki ikkita parallel chiziq;

2) agar kesishgan ikkita tekislik berilgan bo'lsa, ularning kesishish chizig'i ham beriladi, ya'ni ikkita tekislikning kesishish chizig'ini topishimiz mumkin;

3) fazoda tekislik berilgan bo'lsa, unda planimetriyada bajarilgan barcha konstruktsiyalarni unda amalga oshirishimiz mumkin.

Kosmosda har qanday qurilishni amalga oshirish, uni hozirgina ko'rsatilgan asosiy konstruktsiyalarning cheklangan soniga kamaytirishni anglatadi. Ushbu asosiy vazifalar yordamida yanada murakkab muammolarni hal qilish mumkin.

Ushbu jumlalar stereometriyada qurilish bilan bog'liq muammolarni hal qiladi.

7. Kosmosda qurilish muammosiga misol.
Vazifa. Berilgan chiziqning kesishish nuqtasini toping A (3-rasm) berilgan R tekislik bilan.

P tekislikdagi qandaydir A nuqtani olaylik. A nuqta va to'g'ri chiziq orqali A Q tekislikni chizamiz. U P tekislikni ma'lum bir to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tadi b . Q tekisligida biz chiziqlar kesishuvining C nuqtasini topamiz A Va b . Bu nuqta biz izlayotgan nuqta bo'ladi. To'g'ri bo'lsa A Va b parallel bo'lib chiqsa, muammoning yechimi bo'lmaydi.

40. Stereometriyaning asosiy tushunchalari.

Kosmosdagi asosiy geometrik figuralar nuqta, to'g'ri chiziq va tekislikdir. 116-rasmda turli xil raqamlar ko'rsatilgan

bo'sh joy. Kosmosda bir nechta geometrik figuralarning birlashishi ham geometrik figuradir, 117-rasmda bu raqam ikkita tetraedrdan iborat.

Samolyotlar kichik yunoncha harflar bilan belgilanadi:

118-rasmda a tekislik, a to'g'ri chiziqlar va A, B va C nuqtalar ko'rsatilgan. A nuqta va a to'g'ri chiziq a tekislikda yotadi yoki unga tegishli deyiladi. B va C nuqtalari va 6-chiziq haqida, ular a tekislikda yotmaydi yoki unga tegishli emas.

Asosiy geometrik figuraning - tekislikning kiritilishi bizni aksiomalar tizimini kengaytirishga majbur qiladi. Fazodagi tekisliklarning asosiy xossalarini ifodalovchi aksiomalarni sanab o'tamiz. Ushbu aksiomalar qo'llanmada C harfi bilan belgilangan.

Qanday tekislik bo'lishidan qat'iy nazar, bu tekislikka tegishli bo'lgan nuqtalar va unga tegishli bo'lmagan nuqtalar mavjud.

118-rasmda A nuqta a tekislikka tegishli, lekin B va C nuqtalar unga tegishli emas.

Ikki xil tekislikning umumiy nuqtasi bo'lsa, ular to'g'ri chiziqda kesishadi.

119-rasmda ikki xil a va P tekisliklari umumiy A nuqtaga ega, ya’ni aksiomaga ko’ra bu tekisliklarning har biriga tegishli to’g’ri chiziq mavjud. Bundan tashqari, agar biron bir nuqta ikkala tekislikka tegishli bo'lsa, u a to'g'ri chiziqqa tegishlidir. Bu holda a va tekisliklar a to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi deyiladi.

Agar ikki xil chiziqning umumiy nuqtasi bo'lsa, ular orqali tekislik o'tkazilishi mumkin va faqat bitta.

120-rasmda umumiy O nuqtaga ega bo'lgan ikki xil to'g'ri chiziq a ko'rsatilgan, ya'ni aksioma bo'yicha a va to'g'ri chiziqlarni o'z ichiga olgan a tekislik mavjud.Bundan tashqari, xuddi shu aksioma bo'yicha a tekislik yagonadir.

Ushbu uchta aksioma I bobda muhokama qilingan planimetriya aksiomalarini to'ldiradi. Ularning barchasi birgalikda geometriya aksiomalari tizimidir.

Ushbu aksiomalardan foydalanib, stereometriyaning dastlabki bir necha teoremalarini isbotlash mumkin.

T.2.1. To'g'ri chiziq va uning ustida yotmagan nuqta orqali siz tekislikni chizishingiz mumkin va faqat bitta.

T.2.2. Agar chiziqning ikkita nuqtasi tekislikka tegishli bo'lsa, unda butun chiziq shu tekislikka tegishlidir.

T.2.3. Bir to'g'rida yotmaydigan uchta nuqta orqali tekislik chizish mumkin va faqat bitta.

Misol 1. Berilgan tekislik a. a tekislikda yotmaydigan va uni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq mavjudligini isbotlang.

Yechim. A tekislikdagi A nuqtani olaylik, uni C aksiomasi bo'yicha bajarish mumkin. Xuddi shu aksiomaga ko'ra, a tekislikka tegishli bo'lmagan B nuqta mavjud. A va B nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin (aksioma). To'g'ri chiziq a tekislikda yotmaydi va uni kesib o'tadi (A nuqtada).

Fazodagi ikkita chiziq bir tekislikda yotsa va kesishmasa, parallel bo'ladi.

Kosmosdagi ikkita to'g'ri chiziq kesishadi, agar ular ikkalasi ham yotadigan tekislik bo'lmasa.

Chiziqlarni kesib o'tish belgisi. Agar ikkita chiziqdan biri ma'lum bir tekislikda yotsa, ikkinchi chiziq esa bu tekislikni birinchi chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtada kesib o'tsa, u holda bu chiziqlar kesishadi.

Tekislik va tekislikka tegishli bo'lmagan chiziq, agar ularning umumiy nuqtalari bo'lmasa, parallel bo'ladi.

Chiziq va tekislik orasidagi parallellik belgisi. Agar tekislikka tegishli bo'lmagan chiziq tekislikka tegishli bo'lgan har qanday chiziqqa parallel bo'lsa, u ham tekislikka parallel bo'ladi.

Tekislik va tekislikka parallel chiziq xossalari:

1) agar tekislik boshqa tekislikka parallel chiziqni o'z ichiga olsa va bu tekislikni kesib o'tsa, u holda tekisliklarning kesishish chizig'i shu chiziqqa parallel bo'ladi;

2) agar kesishuvchi tekisliklar ikkita parallel chiziqning har biri orqali o'tkazilsa, ularning kesishish chizig'i bu chiziqlarga parallel bo'ladi.

Ikki tekislik parallel bo'ladi, agar ularning umumiy nuqtalari bo'lmasa.

Tekisliklarning parallellik belgisi, agar bitta tekislikning ikkita kesishgan chizig'i mos ravishda boshqa tekislikning ikkita kesishuvchi chizig'iga parallel bo'lsa, bu tekisliklar parallel bo'ladi.

Agar tekislikka tegishli har qanday chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, chiziq tekislikka perpendikulyar hisoblanadi.

Chiziq va tekislikning perpendikulyarligi belgisi: agar chiziq tekislikda yotgan ikkita kesishuvchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda tekislikka perpendikulyar bo'ladi.

Tekislikka perpendikulyar chiziq xossalari.

1) agar ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan biri tekislikka perpendikulyar boʻlsa, ikkinchi chiziq shu tekislikka perpendikulyar;

2) ikkita parallel tekislikdan biriga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq ikkinchi tekislikka ham perpendikulyar.

Samolyotlarning perpendikulyarligi belgisi. Agar tekislikda boshqa tekislikka perpendikulyar bo'lsa, u o'sha tekislikka perpendikulyar bo'ladi.

Tekislikni kesib o'tuvchi, lekin unga perpendikulyar bo'lmagan to'g'ri chiziq tekislikka moyil deyiladi.

Uchta perpendikulyar teorema. Tekislikda yotgan toʻgʻri chiziq qiya chiziqqa perpendikulyar boʻlishi uchun uning shu qiya chiziqning tekislikka proyeksiyasiga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarli.

1-rasmda to'g'ri chiziq mavjud b− tekislikka moyil, tekis c- bu qiya tekislikning proyeksiyasi va buyon A┴ Bilan, Bu a┴ b

Nishab va tekislik orasidagi burchak - bu qiya va uning tekislikka proyeksiyasi orasidagi burchak. 2-rasmda to'g'ri chiziq mavjud b- tekislikka moyil, tekis a bu qiya tekislikning tekislikka proyeksiyasi, a - bu qiya tekislik orasidagi burchak.

Ikki burchakli burchak ikki tekislikning kesishishidan hosil bo'ladi. Ikki tekislikning kesishishi natijasida olingan to'g'ri chiziq dihedral burchak qirrasi deb ataladi. Umumiy qirrali ikkita yarim tekislik ikki burchakli burchak yuzlari deb ataladi.

Chegarasi ikki burchakli burchakning chetiga toʻgʻri keladigan va ikki burchakli burchakni ikkita teng burchakka ajratuvchi yarim tekislik bissektrisa tekisligi deyiladi.

Dihedral burchak mos keladigan chiziqli burchak bilan o'lchanadi. Dihedral burchakning chiziqli burchagi har bir yuzda chetga chizilgan perpendikulyarlar orasidagi burchakdir.

Prizma

Ikki yuzi teng bo'lgan ko'pburchak n- parallel tekisliklarda yotgan kvadratlar, qolganlari n yuzlar parallelogrammlar, deyiladi n- uglerod prizmasi.

Ikki n- kvadratlar prizma asoslari, parallelogrammalar yon yuzlari. Yuzlarning yon tomonlari prizmaning chetlari, qirralarning uchlari esa prizmaning uchlari deyiladi.

Prizmaning balandligi prizma asoslari orasidagi perpendikulyar segmentdir.

Prizma diagonali - bu asoslarning bir yuzida yotmaydigan ikkita uchini tutashtiruvchi segment.

To'g'ri prizma - yon qirralari asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan prizma (3-rasm).

Qiya prizma - yon qovurg'alari asoslar tekisliklariga qiya bo'lgan prizma (4-rasm).

h balandlikdagi prizmaning hajmi va sirt maydoni quyidagi formulalar yordamida topiladi:

To'g'ri prizmaning lateral sirt maydoni formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.

Hajmi va sirt maydoni qiya prizmani (4-rasm) ham boshqacha hisoblash mumkin: bu erda DPNK l chetiga perpendikulyar kesma.

Muntazam prizma - asosi muntazam ko'pburchak bo'lgan to'g'ri prizma.

Parallelepiped - bu barcha yuzlari parallelogramm bo'lgan prizma.

Yon qirralari asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan parallelepiped to'g'ri parallelepiped deyiladi.

To'g'ri to'rtburchak parallelepiped asosi to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepipeddir.

Kuboid diagonalining xossasi

To'rtburchaklar parallelepiped diagonalining kvadrati uning uch o'lchamining kvadratlari yig'indisiga teng: d² = a² + b² + c², qaerda a,b,c- bir tepadan chiqadigan qirralarning uzunligi, d- parallelepipedning diagonali (3-rasm).

To'rtburchaklar parallelepipedning hajmi formuladan foydalanib topiladi V = abc.

Kub - qirralari teng bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped. Kubning barcha yuzlari kvadratdir.

Kenarli kubning hajmi, sirt maydoni va diagonali quyidagi formulalar yordamida topiladi:

V = a³, S = 6a² d² = 3 a².

Piramida

Bir yuzi ko'pburchak, qolgan yuzlari umumiy uchi bo'lgan uchburchaklar bo'lgan ko'pburchak piramida deyiladi. Ko'pburchak piramidaning asosi, uchburchaklar esa yon yuzlar deb ataladi.

Piramidaning balandligi - bu piramidaning tepasidan poydevor tekisligiga chizilgan perpendikulyar segment.

Agar piramidaning barcha lateral qirralari bir xil burchak ostida poydevor tekisligiga teng yoki moyil bo'lsa, u holda balandlik chegaralangan doira markaziga tushadi.

Agar piramidaning yon yuzlari poydevor tekisligiga bir xil burchak ostida qiya bo'lsa (poydevordagi dihedral burchaklar teng bo'lsa), u holda balandlik chizilgan doira markaziga tushadi.

Piramida, agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va balandligi piramida poydevorida yotgan ko'pburchakning chizilgan va aylanasi markaziga to'g'ri keladigan bo'lsa, u muntazam deyiladi. Muntazam piramidaning lateral yuzining cho'qqisidan chizilgan balandligi apotema deyiladi.

Masalan, 5-rasmda muntazam uchburchak piramida ko'rsatilgan SABC(tetraedr): AB= Miloddan avvalgi= A.C.= a, OD = r- uchburchak ichiga chizilgan aylana radiusi ABC, O.A.=R- uchburchak atrofida aylana radiusi ABC, SO=h- balandlik

piramidalar, SD = l- apotem, - lateral moyillik burchagi

qovurg'alar S.A. taglik tekisligiga, - yon yuzning moyillik burchagi SBC piramida asosining tekisligiga.

Uchburchak piramidaga tetraedr deyiladi. Tetraedr, agar uning barcha qirralari teng bo'lsa, muntazam deyiladi.

Piramidaning hajmi va uning sirt maydoni quyidagi formulalar yordamida topiladi:

Qayerda h- piramidaning balandligi.

Muntazam piramidaning lateral yuzasi formula bo'yicha topiladi, bu erda piramidaning apothemi.

Kesilgan piramida - bu ko'pburchak bo'lib, uning uchlari piramida asosining uchlari va uning kesimining uchlari piramida poydevoriga parallel bo'lgan tekislikdir. Kesilgan piramidaning asoslari o'xshash ko'pburchaklardir.

Kesilgan piramidaning hajmi formula bo'yicha topiladi , bu yerda va asoslar maydonlari, h - kesilgan piramidaning balandligi.

Oddiy ko'p yuzli

Muntazam ko'pburchak - bu qavariq ko'pburchak bo'lib, uning barcha yuzlari ko'pburchakning har bir uchida bir xil miqdordagi tomonlari va bir xil miqdordagi qirralari yaqinlashadi.

Muntazam ko'pburchakning yuzlari teng qirrali uchburchaklar, kvadratlar yoki oddiy beshburchaklar bo'lishi mumkin.

Agar muntazam ko'pburchakning yuzlari muntazam uchburchaklar bo'lsa, unda mos keladigan ko'pburchaklar muntazam tetraedr (uning 4 ta yuzi bor), muntazam oktaedr (uning 8 ta yuzi bor), muntazam ikosahedr (20 ta yuzi bor).

Agar muntazam ko'pburchakning kvadrat yuzlari bo'lsa, u holda ko'pburchak kub yoki olti yuzli (6 ta yuzga ega) deb ataladi.

Agar muntazam ko'pburchakning muntazam beshburchak yuzlari bo'lsa, u holda ko'pburchak dodekaedr deb ataladi (uning 12 ta yuzi bor).

Silindr

Silindr - bu to'rtburchakni uning bir tomoni atrofida aylantirish natijasida olingan figura.

6-rasmda to'g'ri chiziq aylanish o'qi; - balandlik, l- shakllantirish; A B C D- to'rtburchakni a atrofida aylantirish natijasida olingan silindrning eksenel kesimi . Tsilindrning hajmi va sirt maydoni quyidagi formulalar yordamida topiladi:

, , , , Qayerda R- tayanch radiusi, h- balandlik, l- silindrning generatori.

Konus

Konus - bu to'g'ri burchakli uchburchakni uning oyoqlaridan biri atrofida aylantirish natijasida olingan figura. 7-rasmda to'g'ri chiziq mavjud O.B.- aylanish o'qi; O.B. = h- balandlik, l- generator; D ABC- to'g'ri burchakli uchburchakni aylantirish natijasida olingan konusning eksenel kesimi OBC oyoq atrofida O.B..

Samolyot.

Ta'rif. Tekislikka perpendikulyar nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uning deyiladi normal vektor, va belgilangan.

Ta'rif. Koeffitsientlari bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo'lgan shakldagi tekis tenglama deyiladi. tekislikning umumiy tenglamasi.

Teorema. Tenglama nuqtadan o'tuvchi va normal vektorga ega bo'lgan tekislikni belgilaydi.

Ta'rif. Tekislik tenglamasini ko'rish

Qayerda – ixtiyoriy nolga teng bo‘lmagan haqiqiy sonlar chaqiriladi tekislikning segmentlardagi tenglamasi.

Teorema. Tekislikning segmentlardagi tenglamasi bo'lsin. Keyin uning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalari.

Ta'rif. Tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi normallashtirilgan yoki normal tekislik tenglamasi, agar

Va .

Teorema. Tekislikning normal tenglamasini ko'rinishda yozish mumkin, bu erda boshlang'ich nuqtadan berilgan tekislikgacha bo'lgan masofa va uning normal vektorining yo'nalish kosinuslari bo'ladi. ).

Ta'rif. Normallashtiruvchi omil tekislikning umumiy tenglamasi son deyiladi – bu yerda belgi erkin atama belgisiga qarama-qarshi tanlangan D.

Teorema. Tekislik umumiy tenglamasining normallashtiruvchi omili bo'lsin. Keyin tenglama - berilgan tekislikning normallashtirilgan tenglamasi.

Teorema. Masofa d nuqtadan samolyotga .

Ikki tekislikning nisbiy holati.

Ikki tekislik bir-biriga mos tushadi, parallel yoki to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi.

Teorema. Tekisliklar umumiy tenglamalar bilan aniqlansin: . Keyin:

1) agar , keyin samolyotlar mos keladi;

2) agar , keyin tekisliklar parallel;

3) agar yoki, u holda tekisliklar tenglamasi tenglamalar tizimi bo'lgan to'g'ri chiziq bo'ylab kesishsa: .

Teorema. Ikki tekislikning normal vektorlari bo'lsin, u holda bu tekisliklar orasidagi ikkita burchakdan biri ga teng:.

Natija. Mayli ,berilgan ikkita tekislikning normal vektorlari. Agar nuqta mahsuloti bo'lsa, berilgan tekisliklar perpendikulyar bo'ladi.

Teorema. Koordinatalar fazosidagi uch xil nuqtaning koordinatalari berilgan bo‘lsin:

Keyin tenglama –- bu uch nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi.

Teorema. Ikki kesishuvchi tekislikning umumiy tenglamalari berilgan bo'lsin: va. Keyin:

– o'tkir ikki burchakli burchakning bissektrisa tekisligi tenglamasi, bu tekisliklarning kesishmasidan hosil bo'lgan;

– o'tmas dihedral burchakning bissektrisa tekisligi tenglamasi.

Samolyotlar to'plami va to'plami.

Ta'rif. Bir qator samolyotlar deb ataladigan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan barcha tekisliklar to'plamidir ligament markazi.

Teorema. Bitta umumiy nuqtasi bo'lgan uchta tekislik bo'lsin.U holda bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy real parametrlar tenglamasi bo'ladi. tekislik to'plami tenglamasi.

Teorema. Bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy real parametrlar tenglamasi tekisliklar to'plamining to'plam markazi bilan tenglamasi nuqtada.

Teorema. Uchta tekislikning umumiy tenglamalari keltirilsin:

Ularning mos keladigan normal vektorlari. Berilgan uchta tekislik bitta nuqtada kesishishi uchun ularning normal vektorlarining aralash mahsuloti nolga teng boʻlmasligi zarur va yetarli:

Bunday holda, ularning yagona umumiy nuqtasining koordinatalari tenglamalar tizimining yagona echimi hisoblanadi:

Ta'rif. Bir qator samolyotlar bir xil toʻgʻri chiziq boʻylab kesishuvchi barcha tekisliklar toʻplami boʻlib, nurning oʻqi deb ataladi.

Teorema. To'g'ri chiziqda kesishgan ikkita tekislik bo'lsin. Keyin tenglama, bu erda bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy real parametrlar, tekisliklar qalami tenglamasi nur o'qi bilan

STREYT.

Ta'rif. Berilgan chiziqqa to'g'ri keladigan nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uning deyiladi hidoyat vektori, va belgilanadi

Teorema. to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi fazoda: bu yerda berilgan chiziqning ixtiyoriy qo'zg'almas nuqtasining koordinatalari, berilgan chiziqning ixtiyoriy yo'nalish vektorining mos keladigan koordinatalari, parametrdir.

Natija. Quyidagi tenglamalar sistemasi fazodagi chiziq tenglamasi va deyiladi chiziqning kanonik tenglamasi kosmosda: bu erda berilgan chiziqning ixtiyoriy qo'zg'almas nuqtasining koordinatalari, berilgan chiziqning ixtiyoriy yo'nalish vektorining mos keladigan koordinatalari.

Ta'rif. Shaklning kanonik chiziq tenglamasi - chaqirdi ikki xil berilgan nuqtadan oʻtuvchi chiziqning kanonik tenglamasi

Ikki chiziqning fazodagi nisbiy holati.

Kosmosda ikkita chiziqning joylashishining 4 ta mumkin bo'lgan holati mavjud. Chiziqlar mos kelishi, parallel bo'lishi, bir nuqtada kesishishi yoki kesishishi mumkin.

Teorema. Ikki qatorning kanonik tenglamalari keltirilsin:

ularning yo'nalish vektorlari qayerda va mos ravishda to'g'ri chiziqlarda yotgan ixtiyoriy qo'zg'almas nuqtalar. Keyin:

Va ;

va tengliklardan kamida bittasi qanoatlanmaydi

;

, ya'ni.

4) to'g'ri kesishganlar, agar , ya'ni.

Teorema. Mayli

- parametrik tenglamalar bilan aniqlangan fazoda ikkita ixtiyoriy to'g'ri chiziq. Keyin:

1) tenglamalar sistemasi bo'lsa

noyob yechimga ega: chiziqlar bir nuqtada kesishadi;

2) agar tenglamalar sistemasi yechimlari bo'lmasa, u holda chiziqlar kesishgan yoki parallel.

3) agar tenglamalar sistemasi bir nechta yechimga ega bo'lsa, unda chiziqlar bir-biriga mos tushadi.

Kosmosdagi ikkita to'g'ri chiziq orasidagi masofa.

Teorema.(Ikki parallel chiziq orasidagi masofa formulasi.): Ikki parallel chiziq orasidagi masofa

Ularning umumiy yo'nalish vektori qayerda, bu chiziqlardagi nuqtalarni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

yoki

Teorema.(Ikki kesishuvchi chiziq orasidagi masofa formulasi.): Ikki kesishuvchi chiziq orasidagi masofa

formula yordamida hisoblash mumkin:

Qayerda – yo‘nalish vektorlarining aralash mahsulotining moduli Va va vektor, – yo'nalish vektorlarining vektor mahsulotining moduli.

Teorema. Ikkita kesishuvchi tekislik tenglamalari bo'lsin. Keyin quyidagi tenglamalar tizimi bu tekisliklar kesishgan to'g'ri chiziq tenglamasidir: . Ushbu chiziqning yo'nalishi vektori vektor bo'lishi mumkin , Qayerda ,– bu tekisliklarning normal vektorlari.

Teorema. Chiziqning kanonik tenglamasi berilgan bo'lsin: , Qayerda. Keyin quyidagi tenglamalar tizimi ikkita tekislikning kesishishi bilan aniqlangan berilgan chiziq tenglamasidir: .

Teorema. Nuqtadan tushgan perpendikulyar tenglama bevosita kabi ko'rinadi vektor ko'paytmaning koordinatalari bu erda va bu chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalari. Perpendikulyar uzunligini formuladan foydalanib topish mumkin:

Teorema. Ikki egri chiziqning umumiy perpendikulyar tenglamasi: Qayerda.

To'g'ri chiziq va tekislikning fazodagi o'zaro o'rni.

Kosmosda va tekislikda chiziqning nisbiy joylashuvining uchta mumkin bo'lgan holati mavjud:

Teorema. Tekislik umumiy tenglama bilan, chiziq esa kanonik yoki parametrik tenglamalar bilan berilsin yoki, bu yerda vektor tekislikning normal vektori - chiziqning ixtiyoriy qo'zg'almas nuqtasining koordinatalari va chiziqning ixtiyoriy yo'naltiruvchi vektorining mos keladigan koordinatalari. Keyin:

1) agar boʻlsa, toʻgʻri chiziq tekislikni koordinatalarini tenglamalar sistemasidan topish mumkin boʻlgan nuqtada kesib oʻtadi.

2) va bo'lsa, chiziq tekislikda yotadi;

3) va bo'lsa, chiziq tekislikka parallel bo'ladi.

Natija. Agar (*) sistemaning yagona yechimi bo'lsa, u holda to'g'ri chiziq tekislikni kesib o'tadi; agar sistemaning (*) yechimlari bo'lmasa, u holda chiziq tekislikka parallel; agar (*) sistemaning cheksiz ko'p yechimlari bo'lsa, to'g'ri chiziq tekislikda yotadi.

Oddiy muammolarni hal qilish.

Vazifa №1 :

Vektorlarga parallel nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing

Kerakli tekislikning normal vektorini topamiz:

= =

Samolyotning normal vektori sifatida vektorni olishimiz mumkin, keyin tekislikning umumiy tenglamasi quyidagi shaklni oladi:

ni topish uchun ushbu tenglamada tekislikka tegishli nuqtaning koordinatalarini almashtirish kerak.

Vazifa №2 :

Kubning ikki yuzi tekisliklarda yotadi va bu kub hajmini hisoblang.

Samolyotlar parallel ekanligi ko'rinib turibdi. Kub chetining uzunligi tekisliklar orasidagi masofadir. Birinchi tekislikdagi ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz: uni topamiz.

Tekisliklar orasidagi masofani nuqtadan ikkinchi tekislikgacha bo'lgan masofa sifatida topamiz:

Shunday qilib, kubning hajmi () ga teng

Vazifa №3 :

Piramida yuzlari va uning uchlari orasidagi burchakni toping

Samolyotlar orasidagi burchak bu tekisliklarga normal vektorlar orasidagi burchakdir. Tekislikning normal vektorini topamiz: [,];

, yoki

Xuddi shunday

Vazifa №4 :

Chiziqning kanonik tenglamasini tuzing .

Shunday qilib,

Vektor chiziqqa perpendikulyar, shuning uchun

Shunday qilib, chiziqning kanonik tenglamasi shaklni oladi.

Vazifa №5 :

Chiziqlar orasidagi masofani toping

Va .

Chiziqlar parallel, chunki ularning yo'nalish vektorlari teng. Nuqtaga ruxsat bering birinchi qatorga tegishli, nuqta esa ikkinchi chiziqda yotadi. Vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammning maydonini topamiz.

[,];

Kerakli masofa - bu nuqtadan tushirilgan parallelogramm balandligi:

Vazifa №6 :

Chiziqlar orasidagi eng qisqa masofani hisoblang:

Keling, bu egri chiziqlarni ko'rsatamiz, ya'ni. bir tekislikka tegishli bo'lmagan vektorlar: ≠ 0.

1 usul:

Ikkinchi chiziq orqali biz birinchi chiziqqa parallel tekislikni chizamiz. Kerakli tekislik uchun unga tegishli vektorlar va nuqtalar ma'lum. Samolyotning normal vektori vektorlarning o'zaro ko'paytmasi va shuning uchun .

Demak, tekislikning normal vektori sifatida vektorni olishimiz mumkin, shuning uchun tekislikning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: nuqta tekislikka tegishli ekanligini bilib, biz tenglamani yozamiz:

Kerakli masofa - birinchi to'g'ri chiziq nuqtasidan tekislikgacha bo'lgan bu masofa quyidagi formula bo'yicha topiladi:

13.

2-usul:

Vektorlardan foydalanib, biz parallelepipedni quramiz.

Kerakli masofa - vektorlar asosida qurilgan, nuqtadan poydevoriga tushirilgan parallelepipedning balandligi.

Javob: 13 birlik.

Vazifa №7 :

Nuqtaning tekislikka proyeksiyasini toping

Tekislikning normal vektori to'g'ri chiziqning yo'nalish vektoridir:

Chiziqning kesishish nuqtasini topamiz

va samolyotlar:

.

Tenglamaga tekisliklarni qo'yib, topamiz va keyin

Izoh. Tekislikka nisbatan nuqtaga simmetrik nuqtani topish uchun (oldingi masalaga o'xshash) nuqtaning tekislikka proyeksiyasini topish kerak, so'ngra, formulalar yordamida ma'lum boshi va o'rtasi bo'lgan segmentni ko'rib chiqing.

Vazifa №8 :

Nuqtadan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar tenglamani toping .

1 usul:

2-usul:

Keling, muammoni ikkinchi yo'l bilan hal qilaylik:

Tekislik berilgan chiziqqa perpendikulyar, shuning uchun chiziqning yo'nalish vektori tekislikning normal vektori hisoblanadi. Tekislikning normal vektorini va tekislikdagi nuqtani bilib, uning tenglamasini yozamiz:

Tekislikning kesishish nuqtasi va parametrik yozilgan chiziq topilsin:

,

Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq uchun tenglama tuzamiz va:

.

Javob: .

Xuddi shu tarzda quyidagi muammolarni hal qilish mumkin:

Vazifa №9 :

To'g'ri chiziqqa nisbatan nuqtaga simmetrik nuqta toping .

Vazifa №10 :

Cho'qqilari bo'lgan uchburchak berilgan Cho'qqidan yon tomonga tushirilgan balandlik tenglamasini toping.

Yechish jarayoni avvalgi muammolarga butunlay o'xshaydi.

Javob: .

Vazifa №11 :

Ikki chiziqqa umumiy perpendikulyar tenglamani toping:.

0.

Tekislik nuqtadan o'tishini hisobga olib, bu tekislikning tenglamasini yozamiz:

Nuqta tegishli, shuning uchun tekislikning tenglamasi quyidagi shaklni oladi.

Javob:

Vazifa №12 :

Nuqtadan o`tuvchi va chiziqlarni kesib o`tuvchi chiziq tenglamasini yozing .

Birinchi chiziq nuqtadan o'tadi va yo'nalish vektoriga ega; ikkinchisi nuqtadan o'tadi va yo'nalish vektoriga ega

Keling, bu chiziqlar qiyshiq ekanligini ko'rsatamiz; buning uchun biz chiziqlari vektorlarning koordinatalari bo'lgan determinant tuzamiz, ,vektorlar bir tekislikka tegishli emas.

Nuqta va birinchi to‘g‘ri chiziq orqali tekislik chizamiz:

Tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin, u holda vektorlar koplanar bo'ladi. Tekis tenglama quyidagi ko'rinishga ega:.

Xuddi shunday, nuqta va ikkinchi to'g'ri chiziqdan o'tadigan tekislik uchun tenglama tuzamiz: 0.

Kerakli to'g'ri chiziq tekisliklarning kesishishi, ya'ni....

Ushbu mavzuni o'rgangandan so'ng ta'lim natijasi - kirish qismida ko'rsatilgan komponentlar, ikki darajadagi kompetensiyalar (bilish, qodir bo'lish, o'zlashtirish) to'plamini shakllantirish: chegara va yuqori. Chegara darajasi “qoniqarli” bahoga, yuqori daraja esa ish topshiriqlarini himoya qilish natijalariga ko‘ra “yaxshi” yoki “a’lo” bahoga to‘g‘ri keladi.

Ushbu komponentlarni mustaqil ravishda tashxislash uchun sizga quyidagi vazifalar taklif etiladi.

KIRISH

1-bob. Kosmosdagi tekislik

1 Chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasi

1 Chiziqning fazoda joylashishining turli holatlari

2 To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak

XULOSA

FOYDALANILGAN MANBALAR RO'YXATI

KIRISH

X, y, z koordinatalariga nisbatan birinchi darajali har qanday tenglama

By + Cz +D = 0

tekislikni belgilaydi va aksincha: har qanday tekislik tenglama bilan ifodalanishi mumkin, bu tekislikning tenglamasi deb ataladi.

Tekislikka ortogonal n (A, B, C) vektori tekislikning normal vektori deyiladi. Tenglamada A, B, C koeffitsientlari bir vaqtda 0 ga teng emas.Tenglamaning maxsus holatlari.

D = 0, Ax+By+Cz = 0 - tekislik koordinatadan o'tadi.

C = 0, Ax+By+D = 0 - tekislik Oz o'qiga parallel.

C = D = 0, Ax + By = 0 - tekislik Oz o'qi orqali o'tadi.

B = C = 0, Ax + D = 0 - tekislik Oyz tekisligiga parallel.

Koordinata tekisliklari tenglamalari: x = 0, y = 0, z = 0.

Kosmosdagi to'g'ri chiziqni belgilash mumkin:

) ikkita tekislikning kesishish chizig'i sifatida, ya'ni. tenglamalar tizimi:

A 1 x+B 1 y+C 1 z + D 1= 0, A 2 x+B 2 y+C 2 z + D 2 = 0;

) uning ikki nuqtasi bo'yicha M 1(x 1, y 1, z 1) va M 2(x 2, y 2, z 2), u holda ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamalar bilan beriladi:

=;

) M nuqta 1(x 1, y 1, z 1), unga tegishli va vektor a (m, n, p), unga kollinear. Keyin to'g'ri chiziq tenglamalar bilan aniqlanadi:

Tenglamalar chiziqning kanonik tenglamalari deyiladi.

a vektori chiziqning yo'naltiruvchi vektori deyiladi.

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini har bir nisbatni t parametriga tenglashtirib olamiz:

X 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + nuqta.

Tizimni x va y noma'lumlar uchun chiziqli tenglamalar tizimi sifatida yechish, biz to'g'ri chiziqning proyeksiyalardagi tenglamalariga yoki to'g'ri chiziqning qisqartirilgan tenglamalariga kelamiz:

Mz + a, y = nz + b

Har bir tenglamadan z ni topib, olingan qiymatlarni tenglashtirib, tenglamalardan kanonik tenglamalarga o'tishingiz mumkin:

Umumiy tenglamalardan (3.2) kanonik tenglamalarga boshqa yo'l bilan o'tishingiz mumkin, agar siz ushbu chiziqda biron bir nuqta va uning yo'nalishi vektori n = ni topsangiz, bu erda n. 1(A 1,B 1, C 1) va n 2(A 2,B 2, C 2) - berilgan tekisliklarning normal vektorlari. Agar (3.4) tenglamalardagi m, n yoki p maxrajlaridan biri nolga teng bo'lib chiqsa, unda mos keladigan kasrning numeratori nolga teng bo'lishi kerak, ya'ni. tizimi

tizimiga tengdir ; bunday to'g'ri chiziq Ox o'qiga perpendikulyar.

Tizim x = x sistemaga ekvivalentdir 1,y = y 1; to'g'ri chiziq Oz o'qiga parallel.

Kurs ishining maqsadi:fazodagi to‘g‘ri chiziqlar va tekisliklarni o‘rganish.

Kurs ishining maqsadlari:fazodagi tekislikni, uning tenglamasini ko'rib chiqing, shuningdek, fazodagi tekislikni ko'rib chiqing.

Kurs ishining tuzilishi:kirish, 2 bob, xulosa, foydalanilgan manbalar ro'yxati.

1-bob. Kosmosdagi tekislik

.1 To'g'ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi

Q tekislik umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsin: Ax+By+Cz+D=0, to'g'ri chiziq L parametrik ko'rinishda: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, keyin L to‘g‘ri chiziq bilan Q tekislikning kesishish nuqtasini topish uchun to‘g‘ri chiziq nuqtasi tekislikda yotadigan t parametrining qiymatini topish kerak. Tekislik tenglamasiga x, y, z qiymatlarni qo‘yib, t ni ifodalab, hosil bo‘ladi.

Agar chiziq va tekislik parallel bo'lmasa, t qiymati yagona bo'ladi.

Chiziq va tekislikning parallellik va perpendikulyarlik shartlari

L to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing:

va samolyot?:

L chiziq va samolyot? :

a) yo'nalish vektori to'g'ri bo'lgandagina bir-biriga perpendikulyar va normal vektor samolyotlar kollinear, ya'ni.

b) bir-biriga parallel, agar va faqat vektorlar bo'lsa Va perpendikulyar, ya'ni.

va Am + Bn + Sr = 0.

.2 To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak

Burchak ?tekislikning normal vektori orasida va to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori formula bo'yicha hisoblanadi:

Samolyotlar to'plami

Berilgan L toʻgʻri chiziqdan oʻtuvchi barcha tekisliklar toʻplami tekisliklar toʻplami, L toʻgʻri chiziq esa toʻplamning oʻqi deyiladi. Nur o'qi tenglamalar bilan berilgan bo'lsin

Tizim a'zosining ikkinchi tenglamasini doimiyga ko'paytiramiz va uni birinchi tenglamaga qo'shamiz:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Bu tenglama x, y, z ga nisbatan birinchi darajaga ega va shuning uchun har qanday raqamli qiymat uchun ?tekislikni belgilaydi. Bu tenglama ikkita tenglamaning natijasi bo'lgani uchun, bu tenglamalarni qanoatlantiradigan nuqtaning koordinatalari ham bu tenglamani qanoatlantiradi. Shuning uchun, har qanday raqamli qiymat uchun ?Bu tenglama berilgan chiziqdan o'tuvchi tekislikning tenglamasidir. Olingan tenglama tekisliklar qalami tenglamasi.

Misol.M nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozing 1(2, -3, 4) to'g'ri chiziqlarga parallel

Yechim.Berilgan M1 nuqtadan o‘tuvchi tekisliklar to‘dasining tenglamasini yozamiz :

A (x - 2) + B (y + 3) + C(z - 4) = 0.

Kerakli tekislik ushbu chiziqlarga parallel bo'lishi kerakligi sababli, uning normal vektori yo'nalish vektorlariga perpendikulyar bo'lishi kerak. bu to'g'ri chiziqlar. Shuning uchun N vektor sifatida vektorlarning vektor mahsulotini olishimiz mumkin:

Shunday qilib, A = 4, B = 30, C = - 8. A, B, C ning topilgan qiymatlarini tekisliklarni ulash tenglamasiga almashtirib, biz hosil bo'lamiz.

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 yoki 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

Misol.Chiziqning kesishish nuqtasini toping va tekislik 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Yechim.Ushbu chiziq tenglamalarini parametrik shaklda yozamiz:

Bu ifodalarni x, y, z o‘rniga tekislik tenglamasiga qo‘yaylik:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Chiziqning parametrik tenglamalarida t = 1 ni almashtiramiz. olamiz

Demak, to’g’ri chiziq va tekislik M(3, 2, 7) nuqtada kesishadi.

Misol.Burchakni toping ?to'g'ri chiziq o'rtasida va tekislik 4x-2y-2z+7=0. Yechim.Biz (3.20) formulani qo'llaymiz. Chunki

Bu

Demak,? = 30°.

Kosmosdagi to'g'ri chiziq cheksizdir, shuning uchun uni segment sifatida belgilash qulayroqdir. Evklid geometriyasining maktab kursidan aksioma ma'lum: "kosmosdagi ikkita nuqta orqali siz to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin va bundan tashqari, faqat bitta." Demak, diagrammadagi to'g'ri chiziq nuqtalarning ikkita frontal va ikkita gorizontal proyeksiyalari bilan aniqlanishi mumkin. Ammo to'g'ri chiziq to'g'ri chiziq (va egri chiziq emas) bo'lganligi sababli, biz bu nuqtalarni to'g'ri chiziq segmenti bilan bog'lashimiz va to'g'ri chiziqning frontal va gorizontal proyeksiyalarini olishimiz mumkin (13-rasm).

Qarama-qarshi tomondan isbot: V va H proyeksiya tekisliklarida ikkita a" b" va ab proyeksiyalari berilgan (14-rasm). Ular orqali V va H proyeksiyalar tekisliklariga perpendikulyar tekisliklar o'tkazamiz (14-rasm), tekisliklarning kesishish chizig'i AB to'g'ri chiziq bo'ladi.

.1 Chiziqning fazoda joylashishining turli holatlari

Biz ko'rib chiqqan hollarda chiziqlar V, H, W proyeksiyalar tekisliklariga parallel ham, perpendikulyar ham bo'lmagan. Ko'pchilik chiziqlar fazoda aynan shu pozitsiyani egallaydi va ular umumiy holatdagi to'g'ri chiziqlar deyiladi. Ular ko'tarilish yoki pasayish bo'lishi mumkin (buni o'zingiz aniqlang).

Shaklda. 17-rasmda uchta proyeksiya bilan aniqlangan umumiy holatda to'g'ri chiziq ko'rsatilgan. Keling, muhim xususiyatlarga ega bo'lgan chiziqlar oilasini ko'rib chiqaylik - har qanday proyeksiya tekisligiga parallel chiziqlar.

Shaklda. 17-rasmda uchta proyeksiya bilan aniqlangan umumiy holatda to'g'ri chiziq ko'rsatilgan.

Keling, muhim xususiyatlarga ega bo'lgan chiziqlar oilasini ko'rib chiqaylik - har qanday proyeksiya tekisligiga parallel chiziqlar.

a) Gorizontal to'g'ri chiziq (aks holda - gorizontal, to'g'ri chiziq gorizontal daraja). Bu gorizontal proyeksiya tekisligiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqning nomi. Uning kosmosdagi va diagrammadagi tasviri rasmda ko'rsatilgan. 18.

Gorizontal chiziqni "shaxsan" diagrammasida tanib olish oson: uning frontal proyeksiyasi har doim OX o'qiga parallel. Gorizontalning eng muhim xususiyatlari quyidagicha ifodalanadi:

Gorizontalda frontal proyeksiya OX o'qiga parallel, gorizontal esa haqiqiy o'lchamni aks ettiradi. Yo'l davomida diagrammadagi gorizontal chiziqning gorizontal proyeksiyasi uning V tekislikka (burchak b) va W (y) tekisligiga moyillik burchagini aniqlash imkonini beradi - 18-rasm.

b) frontal to'g'ri chiziq (frontal, frontal sathning to'g'ri chizig'i) proyeksiyalarning frontal tekisligiga parallel to'g'ri chiziq. Biz uni vizual tasvir bilan tasvirlamaymiz, balki uning diagrammalarini ko'rsatamiz (19-rasm).

Frontal diagramma uning gorizontal va profil proyeksiyalari mos ravishda X va Z o'qlariga parallel bo'lishi va frontal proyeksiyaning o'zboshimchalik bilan joylashganligi va frontalning tabiiy hajmini ko'rsatishi bilan tavsiflanadi. Yo'l davomida diagrammada to'g'ri chiziqning proyeksiyalarning gorizontal (a) va profil (y) tekisliklariga moyillik burchaklari ko'rsatilgan. Shunday qilib, yana:

Old tomondan - gorizontal proyeksiya OX o'qiga parallel, frontal esa haqiqiy o'lchamni aks ettiradi.

c) Profil to'g'ri chiziq. Shubhasiz, bu proyeksiyalarning profil tekisligiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqdir (20-rasm). Bundan tashqari, ko'rinib turibdiki, profil to'g'ri chiziqning tabiiy o'lchami proyeksiyalar profil tekisligida (a"b" proyeksiyasi - 20-rasm) mavjud va bu erda uning H (a) va tekisliklarga moyillik burchaklarini ko'rish mumkin. V (b).

Keyingi qatorlar oilasi, garchi darajali chiziqlar kabi muhim bo'lmasa ham, proyeksiya chiziqlaridir.

Proyeksiyalovchi tekisliklarga perpendikulyar to'g'ri chiziqlar proyeksiyalovchi deyiladi (proyeksiyalovchi nurlarga o'xshash - 21-rasm).

AB pl. H - tekis gorizontal proyeksiyalovchi; pl. V - to'g'ri old proyeksiya; kvadrat. W - tekis profilni loyihalash.

2.2 To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak

tekis burchakli uchburchak

To'g'ri uchburchak usuli

Umumiy holatda bo'lgan to'g'ri chiziq, yuqorida aytib o'tganimizdek, proyeksiya tekisliklariga biron bir ixtiyoriy burchak ostida moyil bo'ladi.

To'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak to'g'ri chiziq tomonidan yaratilgan burchak va uning shu tekislikka proyeksiyasi bilan aniqlanadi (22-rasm). Burchak a AB segmentining kvadratga moyillik burchagini aniqlaydi. N. Rasmdan. 22: Ab1 |1pl. N; Bb1 = Bb - Aa = Z rasm. 22

ABb1 to'g'ri burchakli uchburchakda Ab1 oyog'i ab gorizontal proyeksiyasiga teng; va boshqa oyoq Bb1 kvadratdan A va B nuqtalarining masofalari farqiga teng. H. Agar ab to‘g‘rining gorizontal proyeksiyasiga B nuqtadan perpendikulyar o‘tkazsak va unga Z qiymatni chizsak, u holda a nuqtani hosil bo‘lgan b0 nuqta bilan tutashtirib, segmentning natural qiymatiga teng ab0 gipotenuzasiga erishamiz. AB. Diagrammada u quyidagicha ko'rinadi (23-rasm):

To'g'ri chiziqning proektsiyalarning frontal tekisligiga moyillik burchagi (b) xuddi shunday aniqlanadi - rasm. 24.

E'tibor bering: chiziqning gorizontal proyeksiyasi bo'yicha qurishda biz yordamchi chiziqqa Z qiymatini qo'yamiz; frontal proyeksiyada chizilganda - Y qiymati.

Ko'rib chiqilgan usul to'g'ri burchakli uchburchak deb ataladi. Uning yordami bilan siz bizni qiziqtirgan har qanday segmentning tabiiy o'lchamini, shuningdek, proyeksiya tekisliklariga moyillik burchaklarini aniqlashingiz mumkin.

Chiziqlarning o'zaro joylashishi

Ilgari biz nuqta chiziqqa tegishlimi degan savolni ko'rib chiqdik: agar nuqta chiziqqa tegishli bo'lsa, u holda uning proyeksiyalari chiziqning bir xil proyeksiyalarida yotadi (a'zolik qoidasi, 14-rasmga qarang). Maktab geometriya kursidan eslaylik: ikkita chiziq bir nuqtada kesishadi (yoki: agar ikkita chiziq bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, ular shu nuqtada kesishadi).

Diagrammadagi kesishuvchi chiziqlarning proyeksiyalari aniq xususiyatga ega: kesishish nuqtasining proyeksiyalari bir xil ulanish chizig'ida yotadi (25-rasm). Haqiqatan ham: K nuqta ham AB, ham CD ga tegishli; diagrammada k" nuqta k nuqta bilan bir xil bog'lanish chizig'ida yotadi.

AB va CD to'g'ridan-to'g'ri chiziqlar - kesishadi

Kosmosdagi ikkita chiziqning keyingi mumkin bo'lgan o'zaro joylashishi chiziqlar kesishishidir. Bu chiziqlar parallel bo'lmaganda, lekin kesishmasa ham mumkin. Bunday to'g'ri chiziqlar har doim ikkita parallel tekislikka o'ralgan bo'lishi mumkin (26-rasm). Bu ikkita kesishuvchi chiziq, albatta, ikkita parallel tekislikda yotadi, degani emas; lekin ular orqali faqat ikkita parallel tekislik o'tkazish mumkin.

Ikkita kesishuvchi chiziqning proyeksiyalari kesishishi mumkin, lekin ularning kesishish nuqtalari bir xil tutashtiruvchi chiziqda yotmaydi (27-rasm).

Yo'l davomida biz raqobatdosh nuqtalar masalasini hal qilamiz (27-rasm). Gorizontal proyeksiyada biz ikkita nuqtani (e,f) ko'ramiz va frontal proyeksiyada ular bittaga (e"f") qo'shiladi va qaysi nuqta ko'rinadigan va qaysi biri ko'rinmasligi aniq emas (raqobat nuqtalari) .

Frontal proyeksiyalari bir-biriga to'g'ri keladigan ikkita nuqta frontal raqobatlashuvchi deyiladi.

Biz ilgari xuddi shunday holatni ko'rib chiqdik (11-rasm), "ikki nuqtaning o'zaro pozitsiyasi" mavzusini o'rganayotganda. Shuning uchun biz qoidani qo'llaymiz:

Ikki raqobatdosh nuqtadan koordinatasi kattaroq bo'lgan nuqta ko'rinadigan hisoblanadi.

Rasmdan. 27 ko'rinib turibdiki, E (e) nuqtaning gorizontal proyeksiyasi OX o'qidan f nuqtadan uzoqroqda joylashgan. Demak, “e” nuqtaning “Y” koordinatasi f nuqtadan katta; shuning uchun E nuqta ko'rinadigan bo'ladi. Frontal proyeksiyada f" nuqta ko'rinmas deb qavs ichida joylashgan.

Yana bir natija: e nuqta ab to'g'ri chiziq proyeksiyasiga tegishli, ya'ni frontal proyeksiyada a"b" to'g'ri chiziq c"d" to'g'ri chiziqning "tepasida" joylashgan.

Parallel chiziqlar

Diagrammadagi parallel chiziqlarni ko'rish orqali aniqlash oson, chunki bir xil nomdagi ikkita parallel chiziqlarning proyeksiyalari parallel.

E'tibor bering: ular bir xil nomga ega! Bular. frontal proyeksiyalar bir-biriga parallel, gorizontallari esa bir-biriga parallel (29-rasm).

Isbot: 28-rasmda fazoda ikkita parallel AB va CD chiziqlar berilgan. Ular orqali Q va T proyeksiyalovchi tekisliklarni o'tkazamiz - ular parallel bo'lib chiqadi (chunki bir tekislikning ikkita kesishgan chizig'i boshqa tekislikning ikkita kesishuvchi chizig'iga parallel bo'lsa, bunday tekisliklar parallel bo'ladi).

30a diagrammada parallel chiziqlar, 30b diagrammada kesishuvchi chiziqlar berilgan, garchi ikkala holatda ham frontal va gorizontal proyeksiyalar o'zaro parallel bo'lsa.

Biroq, uchinchi proektsiyalarni qurishga murojaat qilmasdan, ikkita profil chizig'ining nisbiy o'rnini aniqlashingiz mumkin bo'lgan texnika mavjud. Buning uchun 30-rasmda ko'rsatilganidek, proyeksiyalar uchlarini yordamchi to'g'ri chiziqlar bilan bog'lash kifoya. Agar bu to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtalari bir xil bog'lanish chizig'ida yotganligi aniqlansa - profil to'g'ri chiziqlar. bir-biriga parallel - rasm. Z0a. Agar bo'lmasa, kesma to'g'ri chiziqlar (306-rasm).

To'g'ri chiziqlar joylashuvining alohida holatlari:

To'g'ri burchakli proyeksiyalar

Agar ikkita umumiy chiziq toʻgʻri burchak ostida kesishsa, ularning proyeksiyalari 90° ga teng boʻlmagan burchak hosil qiladi (31-rasm).

Va ikkita parallel tekislik uchinchisi bilan kesishganda, kesishmada parallel chiziqlar olinadi, u holda ab va cd gorizontal proyeksiyalari parallel bo'ladi.

Agar amalni takrorlab, AB va CD to’g’ri chiziqlarni proyeksiyalarning frontal tekisligiga proyeksiya qilsak, xuddi shunday natijaga erishamiz.

Maxsus holat frontal va gorizontal proyeksiyalar bilan aniqlangan ikkita profilli to'g'ri chiziq bilan ifodalanadi (30-rasm). Yuqorida aytib o'tilganidek, profil chiziqlari uchun frontal va gorizontal proyeksiyalar o'zaro parallel, ammo bu xususiyatga asoslanib, uchinchi proyeksiyani qurmasdan turib, ikkita profil chizig'ining parallelligini baholash mumkin emas.

Vazifa. BC oyog‘i MN to‘g‘ri chiziqda yotgan ABC teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakni tuzing (34-rasm).

Yechim. Diagrammadan ko'rinib turibdiki, MN to'g'ri chiziq gorizontal chiziqdir. Va shartga ko'ra, kerakli uchburchak to'g'ri burchakli.

To'g'ri burchak proyeksiyasi xossasidan foydalanamiz va perpendikulyar HA proyeksiyasini mn “a” nuqtadan tushiramiz (to'g'ri burchagimiz H kvadratiga buzilmagan holda proyeksiyalangan) - rasm. 35.

Segmentning oxiridan to'g'ri burchak ostida chizilgan yordamchi chiziq sifatida biz chiziqning gorizontal proyeksiyasining bir qismini, ya'ni bm dan foydalanamiz (36-rasm). Unga frontal proyeksiyadan olingan Z koordinatalaridagi farqning qiymatini chizamiz va “a” nuqtasini hosil bo'lgan segmentning oxiri bilan bog'laymiz. Biz AB oyog'ining haqiqiy hajmini olamiz (ab ; ab).

31 va 32-rasmlarda umumiy holatdagi ikkita toʻgʻri chiziq oʻzaro 90° burchak hosil qilgan (32-rasmda bu toʻgʻri chiziqlar bir xil P tekislikda yotadi). Ko'rib turganingizdek, diagrammalarda to'g'ri chiziqlarning proyeksiyalaridan hosil bo'lgan burchak 90 ° ga teng emas.

To'g'ri burchak proyeksiyasini quyidagi sabablarga ko'ra alohida masala sifatida ko'rib chiqamiz:

To'g'ri burchakning tomonlaridan biri har qanday proyeksiya tekisligiga parallel bo'lsa, to'g'ri burchak bu tekislikka buzilmagan holda proyeksiyalanadi (33-rasm).

Biz bu fikrni isbotlamaymiz (o'zingiz ishlang), lekin ushbu qoidadan kelib chiqadigan afzalliklarni ko'rib chiqamiz.

Avvalo shuni ta'kidlaymizki, shartga ko'ra, to'g'ri burchakning tomonlaridan biri har qanday proyeksiya tekisligiga parallel bo'ladi, shuning uchun tomonlardan biri frontal yoki gorizontal (ehtimol profilli to'g'ri chiziq) bo'ladi. 33.

Diagrammadagi frontal va gorizontalni "ko'rish orqali" tanib olish oson (proyeksiyalardan biri OX o'qiga parallel bo'lishi shart) yoki kerak bo'lganda uni osongina qurish mumkin. Bundan tashqari, frontal va gorizontal eng muhim xususiyatga ega: ularning proektsiyalaridan biri, albatta, aks ettiradi.

A'zolik qoidasidan foydalanib, aloqa chizig'i yordamida b" nuqtaning frontal proyeksiyasini topamiz. Endi bizda AB (a"b";ab) oyog'i bor.

BC oyog'ini MN tomoniga qo'yish uchun avval AB segmentining haqiqiy hajmini aniqlash kerak (a d ; ab). Buning uchun biz allaqachon o'rganilgan to'g'ri burchakli uchburchak qoidasidan foydalanamiz.

XULOSA

Fazodagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamalari

To'g'ri chiziq tenglamasini ikki tekislikning kesishish chizig'i tenglamasi deb hisoblash mumkin. Yuqorida muhokama qilinganidek, vektor ko'rinishidagi tekislik tenglama bilan aniqlanishi mumkin:

× + D = 0, bu erda

Oddiy tekislik; - radius - tekislikdagi ixtiyoriy nuqtaning vektori.

Kosmosda ikkita tekislik berilgan bo'lsin: × +D 1= 0 va × +D 2= 0, normal vektorlar koordinatalariga ega: (A 1,B 1, C 1), (A 2,B 2, C 2); (x, y, z). Keyin vektor ko'rinishidagi chiziqning umumiy tenglamalari:

Koordinatali to'g'ri chiziqning umumiy tenglamalari:

Buning uchun chiziqning ixtiyoriy nuqtasini va m, n, p sonlarini topish kerak.Bu holda chiziqning yo'nalishi vektorini berilgan tekisliklarga normal vektorlarning vektor ko'paytmasi sifatida topish mumkin.

Kosmosdagi tekislik tenglamasi

Berilgan nuqta bo'lsin va nolga teng bo'lmagan vektor (ya'ni , Qayerda

shartiga ko'ra normal vektor hisoblanadi.

Agar , , , ..., keyin tenglama shaklga aylantirish mumkin . Raqamlar , Va , Va

Mayli - samolyotda biron bir nuqta, - tekislikka perpendikulyar vektor. Keyin tenglama bu tekislikning tenglamasi.

Imkoniyatlar , ; tekislik tenglamasida tekislikka perpendikulyar vektorning koordinatalari.

Agar tekislik tenglamasi vektor uzunligiga teng songa bo'linsa , keyin tekislik tenglamasini normal shaklda olamiz.

Nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi va nolga teng bo'lmagan vektorga perpendikulyar, shaklga ega .

Birinchi darajali har qanday tenglama koordinatalar bilan vektorga perpendikulyar bo'lgan koordinatali fazoda bitta tekislikni belgilaydi.

Tenglama nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi va nolga teng bo'lmagan vektorga perpendikulyar.

Har bir samolyot to'rtburchaklar koordinatalar tizimida belgilangan , , shakl tenglamasi.

koeffitsientlar orasida bo'lishi sharti bilan , , nolga teng bo'lmaganlar mavjud, u kosmosdagi tekislikni to'rtburchaklar koordinatalar tizimida belgilaydi. Kosmosdagi tekislik to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ko'rsatilgan , , shakl tenglamasi , sharti bilan.

Buning aksi ham to'g'ri: shaklning tenglamasi shartiga ko'ra to'rtburchaklar koordinatalar tizimida fazodagi tekislikni aniqlaydi.

Qayerda , , , , ,

Kosmosdagi tekislik tenglama bilan berilgan , Qayerda , , , haqiqiy sonlar va , , bir vaqtning o'zida 0 ga teng emas va vektorning koordinatalarini tashkil qiladi , bu tekislikka perpendikulyar va normal vektor deb ataladi.

Berilgan nuqta bo'lsin va nolga teng bo'lmagan vektor (ya'ni ). Keyin tekislikning vektor tenglamasi , Qayerda - tekislikning ixtiyoriy nuqtasi) shaklini oladi - nuqta va normal vektor bo'yicha tekislik tenglamasi.

Har bir birinchi darajali tenglama shartiga ko'ra to'rtburchaklar koordinatalar tizimida aniqlaydi vektor bo'lgan yagona tekislik normal vektor hisoblanadi.

Agar , , , , keyin tenglama shaklga aylantirish mumkin . Raqamlar , Va tekislik o'qlarda kesib tashlaydigan segmentlarning uzunliklariga teng , Va mos ravishda. Shuning uchun tenglama tekislikning "segmentlarda" tenglamasi deyiladi.

FOYDALANILGAN MANBALAR RO'YXATI

1.Stereometriya. Kosmosda geometriya. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryjik V.I.

2.Aleksandrov P. S. Analitik geometriya va chiziqli algebra kursi. - Fizika-matematika adabiyoti bosh tahririyati, 2000.- 512 b.

.Beklemishev D.V. Analitik geometriya va chiziqli algebra kursi, 2005. - 304 b.

.Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitik geometriya: Darslik. universitetlar uchun. - 7-nashr, ster., 2004. - 224 b. - (Oliy matematika va matematik fizika kursi.)

.Efimov N.V. Analitik geometriya bo'yicha qisqa kurs: Darslik. nafaqa. - 13-nashr, stereot. -, 2005. - 240 b.

.Kanatnikov A.N., Krischenko A.P. Analitik geometriya. -2-nashr. -, 2000, 388 b. (Texnika universitetida matematika ser.

.Kadomtsev SB. Analitik geometriya va chiziqli algebra, 2003. - 160 b.

.Fedorchuk V.V. Analitik geometriya va chiziqli algebra kursi: Darslik. nafaqa, 2000. - 328 p.

.Analitik geometriya (E.V. Troitskiyning ma'ruza matnlari, 1-kurs, 1999/2000) - 118 b.

.Bortakovskiy, A.S. Misol va masalalarda analitik geometriya: Darslik. Foyda / A.S. Bortakovskiy, A.V. Panteleev. - Yuqori maktab, 2005. - 496 b.: kasal. - ("Amaliy matematika" seriyasi).

.Morozova E.A., Sklyarenko E.G. Analitik geometriya. Uslubiy qo'llanma 2004. - 103 b.

."Oliy matematika" kursi uchun uslubiy ko'rsatmalar va ish dasturi - 55 b.