Hamma narsaning o'z chegarasi bor. Matematikada qo'g'irchoqlar uchun cheklovlar: tushuntirish, nazariya, echimlar misollari

Bilingki, har kimda har xil "jarohat",
Bilingki, har kimning har xil "qo'rqinchli" bor.
Qo'ng'iroq minorangizdan hukm qilmang
Qancha qavatli ekanligi noma'lum.

Chegaralarga qaramang
Miyangiz bilan chegaralarni o'ylab topmang.
Dahshatli tushda nimani orzu qilmaysiz?
Ba'zilar uchun bu odatiy narsa.

Bilingki, har kimning har xil “kerak”i bor.
Bilingki, har kimning "qiyinchiligi" har xil.
Biroq, do'zax g'oyasi
Umumlashtirish va solishtirish mumkin emas.

Bilingki, haqiqat boshqacha,
Va laganda xizmat qiladigan narsa emas.
Taqdirlari qo'rqinchli bo'lganlarga diqqat bilan qarang,
Bu eng kuchli odamlar.

Seni eslamayman dema...
Men hamma narsani eslayman, kuniga ko'p marta
Men telefon raqamini takrorlayman
Lekin men sizga hech qachon qo'ng'iroq qilmayman.
Yuragim yorilib ketayotgandek tuyuldi
Va yolg'iz kunlar chegarasida

Ular mening qalbimdagi ufqdan tashqariga chiqdilar.
Sevgi bor edi, sevgi bor edi, bor edi!
Va bu iboraga qo'shadigan hech narsa yo'q.
Bizning sehrli qal'amiz yonib ketdi
Va u bizni eslashimiz uchun kul qoldirmadi.
Men hamma narsani eslayman va gullagan bog'ni eslayman,
Va barglar orqali - har tomondan nurlar,
Go'yo oq, oq qo'ng'iroq minorasidan
Qalbingizda - eshitasiz - sokin jiringlamoqda.
Sevgi ketdi va qaytib kelmaydi,
Va uni abadiy sog'inmaslik uchun,
Ko'zlaringiz ikki g'amgin quyoshga o'xshaydi
Ular mening qalbimdagi ufqdan tashqariga chiqdilar.

Baxtga intilish yana muvaffaqiyatsiz...
Va yomg'irli oqshom, tashqarida g'amgin ...
Bolaligimda esa... bulochkaga murabbo yoyibman
Va, albatta, baxtli, ahmoqona baxtli ...

Glamur, etiket, olmos, jakuzi...
Endi, baxtdan tashqari, "Hammasi inklyuziv" taqdirida.
Va bolaligimda men kungaboqar urug'ini iste'mol qilardim,
Va baxtning chegarasi yo'qdek tuyuldi ...

Biz masxarabozlarga juda o'xshab qoldik...
Hamma tashqaridan kulgan bo'yanishda...
Bolalikda esa... faqat quyosh osmondan o'tib ketgan
Va baxtli yurak juda tabassum qildi ...

Zolushkadagi grechka kabi odamlarni tanlaymiz...
Sizga kerak bo'lgan har bir kishi bilan bog'laning... Zararli bo'lmaganlar pechkaga borishadi ...
Bolalikda esa musaffo osmon bizga ishonardi...
Yangi non hididan quvonch qayerda?

Va endi do'stlikni ham sotib olish mumkin ...
Biz buni qildik ... Biz mo'yna va teri dunyosida yashayapmiz ...
Va bolalikda ular mongreni yomg'irdan qutqardilar ...
Va baxt berish orqali ular buni qabul qilishdi.

Yillar davomida biz samimiylik va sezgirlikni yo'qotdik ...
Biz o'zimiz chegaralar va ramkalarni o'ylab topdik ...
Sizda bulochka va bir banka olcha murabbosi bormi?
Shunday qilib, do'zax kabi baxtli bo'ling!

Men senga qarayman va seni hali ham sevishimni tushunaman. Bu sevgi oxirgi yillardagi surunkali kasallikdir. Bu shunday chidab bo'lmas og'riq keltiradiki, men o'zimni butunlay notanish odamlarga tashlab, ularga aldanishga harakat qilaman, ular bilan birdan bu quchoqlarda men, ajinlar egalarining fikriga ko'ra, umuman mavjud bo'lmagan og'riq qoldiruvchi vositani topaman. Meni aldanayotganimni tushunaman, lekin baribir quchoqlashda davom etaman – aks holda o‘zimni o‘ldirolmayman, og‘riyapti, qiynayapti, kechalari uxlashga yo‘l qo‘ymaydi, shuning uchun men derazada o‘tiraman va, yana bir daqiqadan so'ng, illyuziyalar qiynoqlaridan yurakni yirtib yuboraman. Yordam uchun siz bilan bog'lanishim kerakmi? Foydasiz. Siz mening sevgim haqida bilasiz, lekin sizga kerak emas, "og'zingiz aytilmagan his-tuyg'ularga to'la". Biz bir xil mas'uliyatsizlik to'ridamiz, lekin bir-birimizga yordam bera olmaymiz. Qo‘llaringizni ingichka oq iplar va tayoqchalarga o‘rab, kimning yordamini Xudo biladi, degan umidda haqiqat chegarasidan tashqariga qaraysiz. O‘rtamizda birgina farq bor: sizga bo‘lgan muhabbatim meni oyog‘imdan yiqitib yuborishiga sal qoldi, sizning birovga bo‘lgan muhabbatingiz esa aldamchi bo‘lsa-da, sizni kutish bilan yondiradi va tiriltiradi. Men endi senga qarashni istamayman, sen bo'lish ehtimolini yuragimdan haydab chiqaraman, lekin bu uni yanada og'riqli qiladi. Shunday qilib, u shivirlab azob-uqubatlarni boshdan kechiradi, shuningdek, kimning yordamini Xudo biladi deb umid qiladi. Vaqt?..

Sizning hayotingiz butunlay yolg'on, porno, kundalik hayot, Internetga qaramlik va uyali telefon qulligi. Xo'sh, men haq emasmanmi? Ayting-chi, siz hech qachon g'ayrioddiy ish qilganmisiz? Hech qachon. Va qila olmaysiz. Nega bilasizmi? Chunki bularning barchasi sizning konfor zonangizdan tashqarida. Siz bunga to'lasiz. Polipropilen paketdagi kabi. Siz go'sht bo'laklarisiz, kundalik hayot va ish chegaralari bilan siqilgan. Yoki men xato qilyapmanmi? Balki men adashayotgandirman? Meni toʻgʻrilang.
Masalan, mobil telefoningizni birinchi uchrashgan odamga bera olasizmi? A? Qiyin savol. Siz hozir kompyuteringizda vintni formatlay olasizmi? Soqovmi? O'zingni xafa qildingmi? Nega buni qilmayotganingizni bilasizmi? Chunki bu o'z joniga qasd qilish bilan barobar. Siz usiz mavjud emassiz.

Limitlar barcha matematika talabalariga juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi. Cheklovni hal qilish uchun, ba'zida siz juda ko'p hiyla-nayranglardan foydalanishingiz va turli xil echim usullaridan ma'lum bir misol uchun mos keladiganini tanlashingiz kerak.

Ushbu maqolada biz sizning imkoniyatlaringiz chegaralarini tushunishga yoki nazorat chegaralarini tushunishga yordam bermaymiz, lekin biz savolga javob berishga harakat qilamiz: oliy matematikada chegaralarni qanday tushunish kerak? Tushunish tajriba bilan birga keladi, shuning uchun biz tushuntirishlar bilan chegaralarni hal qilishning bir nechta batafsil misollarini keltiramiz.

Matematikada limit tushunchasi

Birinchi savol: bu chegara nima va nimaning chegarasi? Raqamli ketma-ketliklar va funksiyalarning chegaralari haqida gapirish mumkin. Bizni funktsiyaning chegarasi tushunchasi qiziqtiradi, chunki o'quvchilar ko'p uchraydigan narsa. Lekin birinchi navbatda, chegaraning eng umumiy ta'rifi:

Aytaylik, o'zgaruvchan qiymat bor. Agar o'zgarish jarayonida bu qiymat cheksiz ravishda ma'lum bir raqamga yaqinlashsa a , Bu a - bu qiymatning chegarasi.

Muayyan intervalda aniqlangan funksiya uchun f(x)=y bunday raqam chegara deb ataladi A , bu funksiya qachonga intiladi X , ma'lum bir nuqtaga moyil A . Nuqta A funksiya aniqlangan intervalga tegishli.

Bu og'ir tuyuladi, lekin u juda oddiy yozilgan:

Lim- ingliz tilidan chegara- chegara.

Chegarani aniqlashning geometrik tushuntirishi ham mavjud, ammo bu erda biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, chunki biz masalaning nazariy tomoniga emas, balki amaliy tomoniga ko'proq qiziqamiz. Buni aytganda X ba'zi qiymatga intiladi, bu o'zgaruvchining raqam qiymatini olmasligini, lekin unga cheksiz yaqinlashishini bildiradi.

Keling, aniq bir misol keltiraylik. Vazifa chegarani topishdir.

Ushbu misolni hal qilish uchun biz qiymatni almashtiramiz x=3 funksiyaga aylanadi. Biz olamiz:

Aytgancha, agar siz qiziqsangiz, ushbu mavzu bo'yicha alohida maqolani o'qing.

Misollarda X har qanday qiymatga moyil bo'lishi mumkin. Bu har qanday raqam yoki cheksizlik bo'lishi mumkin. Mana bir misol qachon X cheksizlikka intiladi:

Intuitiv ravishda, maxrajdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, funktsiya shunchalik kichikroq qiymatga ega bo'ladi. Shunday qilib, cheksiz o'sish bilan X ma'nosi 1/x kamayadi va nolga yaqinlashadi.

Ko'rib turganingizdek, chegarani hal qilish uchun siz faqat funktsiyaga intiladigan qiymatni almashtirishingiz kerak. X . Biroq, bu eng oddiy holat. Ko'pincha chegarani topish unchalik aniq emas. Chegaralar ichida turning noaniqliklari mavjud 0/0 yoki cheksizlik/cheksizlik . Bunday hollarda nima qilish kerak? Fokuslarga murojaat qiling!

Ichidagi noaniqliklar

Infinity/infinity shaklining noaniqligi

Cheklov bo'lsin:

Funktsiyada cheksizlikni almashtirishga harakat qilsak, biz sonda ham, maxrajda ham cheksizlikka ega bo'lamiz. Umuman olganda, bunday noaniqliklarni hal qilishda san'atning ma'lum bir elementi borligini aytish kerak: siz noaniqlik yo'qolishi uchun funktsiyani qanday o'zgartirishingiz mumkinligini payqashingiz kerak. Bizning holatlarimizda biz hisoblagich va maxrajni ajratamiz X oliy darajadagi. Nima bo'ladi?

Yuqorida muhokama qilingan misoldan bilamizki, maxrajda x ni o'z ichiga olgan atamalar nolga moyil bo'ladi. Keyin chegaraning yechimi:

Turdagi noaniqliklarni hal qilish uchun cheksizlik/cheksizlik son va maxrajni ga bo'ling X eng yuqori darajada.

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud

Boshqa turdagi noaniqlik: 0/0

Har doimgidek, funktsiyaga qiymatlarni almashtirish x=-1 beradi 0 son va maxrajda. Biroz diqqat bilan qarasangiz, hisoblagichda kvadrat tenglama borligini sezasiz. Keling, ildizlarni topamiz va yozamiz:

Keling, kamaytiramiz va olamiz:

Shunday qilib, agar siz noaniqlik turiga duch kelsangiz 0/0 – son va maxrajni ko‘paytiruvchi.

Misollarni echishni osonlashtirish uchun biz ba'zi funktsiyalar chegaralari bilan jadvalni taqdim etamiz:

L'Hopital qoidasi ichida

Ikkala turdagi noaniqlikni bartaraf etishning yana bir kuchli usuli. Usulning mohiyati nimada?

Agar chegarada noaniqlik mavjud bo'lsa, noaniqlik yo'qolguncha pay va maxrajning hosilasini oling.

L'Hopital qoidasi quyidagicha ko'rinadi:

Muhim nuqta : ayiruvchi va maxrajning hosilalari boʻluvchi va ayiruvchi oʻrniga turish chegarasi mavjud boʻlishi kerak.

Va endi - haqiqiy misol:

Oddiy noaniqlik mavjud 0/0 . Numerator va maxrajning hosilalarini olaylik:

Voila, noaniqlik tez va oqlangan tarzda hal qilinadi.

Umid qilamizki, siz ushbu ma'lumotni amalda qo'llay olasiz va "Oliy matematikada chegaralarni qanday hal qilish kerak" degan savolga javob topasiz. Agar siz ketma-ketlik chegarasini yoki nuqtadagi funktsiya chegarasini hisoblashingiz kerak bo'lsa va bu ish uchun mutlaqo vaqt yo'q bo'lsa, tez va batafsil yechim uchun professional talabalar xizmatiga murojaat qiling.



U yigirma sakkiz yil, yigirma sakkiz yil qish,

U bitta sirni saqladi va oilada namunali er edi.
Hammasi odatdagidek: xotinim kechki ovqat tayyorlayotgan edi...
Ammo birdan yomon narsa yuz berdi: u sirni esladi.
Hammayoqni sho'rvasining shov-shuvi va nordon hidiga, ertalab kuyovimning noroziligiga,
U hamma narsani mayda-chuydasigacha esladi, xuddi kechagidek...
...U deraza yonida o'tirdi va yumshoq ajoyib oy nuri
O'zining go'zal siluetini rangpar ranglarda bo'yadi ...
Iplar yelkadan oqib o'tdi, ko'kragiga ilon kabi sirpandi ...
Va u o'yladi: "Bir kun kelib unga uylanaman!"
U hamma narsani eng mayda-chuydasigacha esladi: chiziqlarning burmalari, lablarining yumshoqligi...
Va uning oddiy nutqlarining issiqligi va deraza tashqarisidagi ulkan eman daraxti.
Qo'llarning chigallashishi... Badanlarning birlashishi... Qo'ng'ir sochlarning kaskadi...
Va u uni g'azablanish darajasiga qadar, ko'z yoshlarini qanday xohladi!
Vahimali iqrorlar oqimi, u ularni qulog'imga qanday pichirladi!
Quloq ustidagi kulgili jingalak nafas olishdan titraydi ...
U tundek nam ko'zlari bilan unga qaradi.
Bu so'zlar sharobdek mast edi: "Men seni yaxshi ko'raman ... Menga qiz bering ..."
Ertalab u xotirjamlikni yo'qotdi: u shovqin-suron qildi, keyin zerikdi ...
Keyin qo‘li bilan yuzini berkitib, kursiga o‘tirdi va jim qoldi.
Xotin har doimgidek to‘ng‘illadi. U qochib ketgan oshni tanbeh qildi...
Va u qariganda yillar unga mos kelmasligini ta'kidladi.
Xuddi oq rang va bo'yalgan sochlarning tolalari unga mos kelmaydi.
Va yigirma sakkiz yil davomida hamma narsa jiddiy emas edi ...
Birdan u o‘rnidan sakrab turdi-da, paltosini qo‘liga oldi-da, shlyapa va paypog‘ini ham unutdi.
Yigirma sakkiz yil hammasi bir xil emas... Yigirma sakkizta qishning hammasi g‘amgin.
O'sha uyni topdim. Uyda eman daraxti bor. U zinadan o‘qdek yugurdi...
Qaniydi, sovuq lablardagi titroqni, jirkanch qo‘rqoqlikni esa — uzoqroqda to‘xtatsam!
Choy ichib, ro‘molga o‘ralayotgandir...
Va uning go'zal ko'zlaridan sokin bir qayg'u oqadi ...
Yoki u to'qishni boshlagandir? Yoki dantel bilan to'qish mumkinmi?
Unga aytadigan ko'p narsa bor! Va asosiysi aytish - kechirasiz ...
Eshikni ochdi... Ko‘zlarida savol bor edi. U yana yigirma yoshda edi...
Jigarrang sochlar kaskadi... Yurakka tanish siluet...
Quloq tepasida bir oz jingalak bor ... Xuddi ko'p yillar oldingi kabi - xuddi shunday ...
— Adashmadingizmi? "Yo'q, men qila olmadim ... Siz Anyamisiz?" Vera. Uning qizi…”
"Va Anya?" - "Onam endi yo'q ... Siz kimsiz?" U orqasiga o'girildi:
“Men uning oldiga yigirma sakkiz yil bordim...” - U sizni kutayotgan edi... Yigirma besh...
Qanday boshim aylanib ketdi... Qanday qilib yuragim ko'ksimga bostirib kirdi!
Va u ibodat bilan uning so'zlarini esladi: "Ketmang!"
U egilib qoldi. U zo'rg'a uzoqlashdi. Qo'llarning bir-biriga bog'lanishi... Badanlarning birlashishi...
Men seni yaxshi ko'raman... Menga qiz ber... Lekin u qizini juda xohlardi.
Qanday g'alati. Anya endi yo‘q... Yig‘ladim... Uni sukunatga tashladim: “Men seni ko‘p, ko‘p yillar sevaman... Sen yolg‘iz...”

P.S. SEVGIGA G'amxo'rlik qiling - bu sizning baxtingizning asosidir...



Juda tez-tez kechiradigan va juda uzoq vaqt chidagan ayol ko'pincha kutilmaganda va abadiy tark etadi!