Koordinatalar yordamida tomonlar uchun tenglamalarni yozing. Analitik geometriyadan masalalar yechishni qanday o'rganish mumkin? Samolyotdagi uchburchak bilan bog'liq odatiy muammo

Geometriyada ko'pincha "uchburchakning uchi" tushunchasi ko'rib chiqiladi. Bu berilgan figuraning ikki tomonining kesishish nuqtasi. Ushbu kontseptsiya deyarli har bir muammoda paydo bo'ladi, shuning uchun uni batafsilroq ko'rib chiqish mantiqan.

Uchburchakning uchini aniqlash

Uchburchakda tomonlar kesishadigan uchta burchakni tashkil etadigan uchta nuqta mavjud. Ular cho'qqilar deb ataladi va ular joylashgan tomonlari uchburchakning tomonlari deb ataladi.

Guruch. 1. Uchburchakdagi cho'qqi.

Uchburchaklardagi uchlari bosh harflar bilan ko'rsatilgan. Shuning uchun, ko'pincha matematikada tomonlar tomonlarga kiradigan cho'qqilarning nomlaridan keyin ikkita bosh lotin harflari bilan belgilanadi. Masalan, AB tomoni uchburchakning A va B uchlarini tutashtiruvchi tomonidir.

Guruch. 2. Uchburchakda uchlarini belgilash.

Kontseptsiyaning o'ziga xos xususiyatlari

Agar biz tekislikda o'zboshimchalik bilan yo'naltirilgan uchburchakni oladigan bo'lsak, unda amalda uning geometrik xususiyatlarini ushbu raqamning uchlari koordinatalari orqali ifodalash juda qulaydir. Shunday qilib, uchburchakning A cho'qqisini ma'lum raqamli parametrlari A(x; y) bilan nuqta sifatida ifodalash mumkin.

Uchburchak cho'qqilarining koordinatalarini bilib, siz medianalarning kesishish nuqtalarini, rasmning bir tomoniga tushirilgan balandlik uzunligini va uchburchakning maydonini topishingiz mumkin.

Buning uchun dekart koordinatalar sistemasida tasvirlangan vektorlarning xossalaridan foydalaniladi, chunki uchburchak tomonining uzunligi vektor uzunligi orqali ushbu rasmning tegishli uchlari joylashgan nuqtalar orqali aniqlanadi.

Uchburchakning tepasidan foydalanish

Uchburchakning har qanday tepasi uchun siz ko'rib chiqilayotgan shaklning ichki burchagiga qo'shni bo'lgan burchakni topishingiz mumkin. Buning uchun siz uchburchakning bir tomonini kengaytirishingiz kerak bo'ladi. Har bir tepada ikkita tomon borligi sababli, har bir tepada ikkita tashqi burchak mavjud. Tashqi burchak uchburchakning unga qoʻshni boʻlmagan ikkita ichki burchaklarining yigʻindisiga teng.

Guruch. 3. Uchburchakning tashqi burchagi xossasi.

Agar siz bir tepada ikkita tashqi burchakni qursangiz, ular vertikal kabi teng bo'ladi.

Biz nimani o'rgandik?

Har xil turdagi uchburchaklarni ko'rib chiqishda muhim geometriya tushunchalaridan biri bu tepalikdir. Bu berilgan geometrik figuraning burchagining ikki tomoni kesishgan nuqtadir. Lotin alifbosining bosh harflaridan biri bilan belgilanadi. Uchburchakning cho'qqisini x va y koordinatalari bilan ifodalash mumkin, bu uchburchakning yon uzunligini vektor uzunligi sifatida aniqlashga yordam beradi.

Mavzu bo'yicha test

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.2. Qabul qilingan umumiy baholar: 153.

BobV. SAVOLOTDAGI ANALITIK GENEOMETRIYA

VA kosmosda

Bo'lim "Teklik va fazoda analitik geometriya" mavzusida muhokama qilinadigan vazifalarni o'z ichiga oladi: tekislikda va fazoda to'g'ri chiziqlarning turli tenglamalarini tuzish; tekislikdagi, to'g'ri chiziqlar, to'g'ri chiziq va tekislik, fazodagi tekisliklarning o'zaro o'rnini aniqlash; ikkinchi tartibli egri chiziqlar tasviri. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu bo'limda iqtisodiy mazmundagi muammolar keltirilgan bo'lib, ularni hal qilishda analitik geometriyadan tekislikdagi ma'lumotlardan foydalaniladi.

Analitik geometriya masalalarini yechishda quyidagi mualliflarning darsliklaridan foydalanish maqsadga muvofiq: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. V.I. tomonidan yozilgan. Malykhina, chunki Ushbu adabiyotda ushbu mavzu bo'yicha mustaqil ta'lim uchun foydalanish mumkin bo'lgan kengroq vazifalar mavjud. Analitik geometriyani iqtisodiy masalalarni hal qilishda qo'llash o'quv nashrlarida M.S. Krass va V.I. Ermakova.

Muammo 5.1. Uchburchakning uchlari koordinatalari berilganABC . Kerakli

a) uchburchak tomonlari tenglamalarini yozing;

b) uchburchakning uchidan chizilgan balandlik tenglamasini yozingBILAN yon tomongaAB va uning uzunligini toping;

v) uchburchakning uchidan chizilgan medianasining tenglamasini yozingIN yon tomongaAC ;

d) uchburchakning burchaklarini toping va uning turini o'rnating (to'rtburchak, o'tkir, o'tmas);

e) uchburchak tomonlarining uzunliklarini toping va uning turini aniqlang (masshtabli, teng yonli, teng yonli);

e) uchburchakning og'irlik markazining koordinatalarini (medianalarining kesishish nuqtasi) toping.ABC ;

g) uchburchakning ortosentri (balandliklarning kesishish nuqtasi) koordinatalarini toping.ABC .

Yechimning a) – c) nuqtalarining har biri uchun koordinatalar sistemasida chizmalar tuzing. Rasmlarda vazifaning nuqtalariga mos keladigan chiziqlar va nuqtalarni belgilang.

5.1-misol

Uchburchakning uchlari koordinatalari berilganABC : . a) uchburchak tomonlari tenglamalarini yozish kerak; b) uchburchakning uchidan chizilgan balandlik tenglamasini yozing BILAN yon tomongaAB va uning uzunligini toping; v) uchburchakning uchidan chizilgan medianasining tenglamasini yozingIN yon tomongaAC ; d) uchburchak tomonlarining uzunliklarini toping va uning turini aniqlang (masshtabli, teng yonli, teng yonli); e) uchburchakning burchaklarini toping va uning turini o'rnating (to'rtburchak, o'tkir, o'tmas); e) uchburchakning og'irlik markazining koordinatalarini (medianalarining kesishish nuqtasi) toping. ABC ; g) uchburchakning ortosentri (balandliklarning kesishish nuqtasi) koordinatalarini toping.ABC .

Yechim

A) Uchburchakning har bir tomoni uchun kerakli to‘g‘rilar ustida joylashgan ikkita nuqtaning koordinatalari ma’lum, ya’ni uchburchak tomonlari tenglamalari berilgan ikkita nuqtadan o‘tuvchi chiziqlar tenglamalaridir.

,

Qayerda
Va
nuqtalarning tegishli koordinatalari.

Shunday qilib, (5.1) formulaga to'g'ri chiziqlarga to'g'ri keladigan nuqtalarning koordinatalarini almashtirib, hosil bo'ladi.

,
,
,

qayerdan transformatsiyalardan so'ng tomonlar tenglamalarini yozamiz

Shaklda. 7 biz uchburchakning tegishli tomonlarini tasvirlaymiz
Streyt.

Javob:

b) Mayli
– cho‘qqidan chizilgan balandlik yon tomonga
. Chunki
nuqtadan o'tadi vektorga perpendikulyar
, keyin quyidagi formula yordamida to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz

Qayerda
- kerakli chiziqqa perpendikulyar vektorning koordinatalari;
– bu chiziqqa tegishli nuqtaning koordinatalari. Chiziqga perpendikulyar vektorning koordinatalarini toping
, va (5.2) formulaga almashtiring

,
,

.

Balandligi uzunligini toping CH nuqtadan masofa sifatida to'g'ri chiziqqa

,

Qayerda
- to'g'ri chiziq tenglamasi
,
- nuqta koordinatalari .

Oldingi paragrafda u topilgan

Ma'lumotlarni formulaga (5.3) almashtirib, biz olamiz

,

Shaklda. 8 uchburchak va topilgan balandlikni chizing CH.

Javob: .

R hisoblanadi. 8

V) median
uchburchak
tomonni ajratadi
ikkita teng qismga, ya'ni. nuqta segmentning o'rta nuqtasidir
. Bunga asoslanib, siz koordinatalarni topishingiz mumkin
ball

, ,

Qayerda
Va
Va , qaysi formulalarni (5.4) o'rniga qo'yib, olamiz

;
.

Median tenglama
uchburchak
Uni nuqtalardan o'tuvchi chiziq tenglamasi sifatida yozamiz
Va
(5.1) formula bo'yicha

,

.

Javob:(9-rasm).

R hisoblanadi. 9

G) Biz uchburchak tomonlarining uzunliklarini mos keladigan vektorlarning uzunligi sifatida topamiz, ya'ni.

,
,
.

Partiyalar
Va
uchburchak
teng, ya'ni uchburchak asosi bilan teng yon tomonli
.

Javob: uchburchak
asosi bilan teng yon tomonli
;

,
.

d) Uchburchakning burchaklari
berilgan uchburchakning tegishli uchlaridan chiqadigan vektorlar orasidagi burchaklarni topamiz, ya'ni.

,
,
.

Uchburchak asosi bo'lgan teng yonli bo'lgani uchun
, Bu

,

(4.4) formuladan foydalanib vektorlar orasidagi burchaklarni hisoblaymiz, bu vektorlarning skalyar mahsulotini talab qiladi
,
.

Burchaklarni hisoblash uchun zarur bo'lgan vektorlarning koordinatalari va kattaliklarini topamiz

,
;

,
,
.

Topilgan ma'lumotlarni (4.4) formulaga almashtirib, olamiz

,

Topilgan barcha burchaklarning kosinuslari musbat bo'lgani uchun uchburchak
o'tkir burchakli.

Javob: uchburchak
o'tkir burchakli;

,
,
.

e) Mayli

, keyin koordinatalar
ball
formulalar yordamida topish mumkin (5.5)

, ,

Qayerda
,
Va
- mos ravishda nuqtalarning koordinatalari , Va , shuning uchun,

,
.

Javob:
- uchburchakning og'irlik markazi
.

va) Mayli - uchburchakning ortomarkazi
. Nuqtaning koordinatalarini toping uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasining koordinatalari sifatida. Balandlik tenglamasi
da topilgan b). Balandlik tenglamasini topamiz
:

,
,

.

Chunki
, keyin tizimning yechimi

nuqtaning koordinatalari hisoblanadi , biz qaerdan topamiz
.

Javob:
- uchburchakning ortomarkazi
.

Muammo 5.2. Korxonada ba'zi mahsulotlarni ishlab chiqarishda doimiy xarajatlar hisoblanadiF V 0 surtish. mahsulot birligiga, daromad bilanR 0 surtish. ishlab chiqarilgan mahsulot birligiga. Foyda funksiyasini yaratingP (q ) (q

Variantlarga mos keladigan muammo holati uchun ma'lumotlar:

5.2-misol

Korxonada ba'zi mahsulotlarni ishlab chiqarishda doimiy xarajatlar hisoblanadi
surtish. oyiga, o'zgaruvchan xarajatlar -
surtish. mahsulot birligiga, daromad bilan
surtish. ishlab chiqarilgan mahsulot birligiga. Foyda funksiyasini yaratingP (q ) (q - ishlab chiqarilgan mahsulot miqdori); uning grafigini tuzing va zararsizlik nuqtasini aniqlang.

Yechim

Chiqarilgandan keyin umumiy ishlab chiqarish xarajatlarini hisoblaylik q ba'zi mahsulotlarning birliklari

Agar sotilgan bo'lsa q ishlab chiqarish birliklari, keyin umumiy daromad bo'ladi

Jami daromad va jami xarajatlarning olingan funksiyalariga asoslanib, foyda funksiyasini topamiz

,

.

Zarafsizlik nuqtasi - foyda nolga teng bo'lgan nuqta yoki umumiy xarajatlar umumiy daromadga teng bo'lgan nuqta

,

,

uni qayerdan topamiz?

- beziyon.

Foyda funksiyasining grafigini (10-rasm) chizish uchun yana bitta nuqta topamiz

Javob: foyda funktsiyasi
, beziyon
.

Muammo 5.3. Muayyan mahsulotga bo'lgan talab va taklif qonunlari mos ravishda tenglamalar bilan belgilanadip = p D (q ), p = p S (q ), Qayerdap - mahsulot narxi;q - tovarlar miqdori. Talab faqat mahsulotning bozordagi narxi bilan belgilanadi, deb faraz qilinadip BILAN , va taklif faqat narx bo'yichap S yetkazib beruvchilar tomonidan qabul qilingan. Kerakli

a) bozor muvozanat nuqtasini aniqlash;

b) teng soliq kiritilgandan keyingi muvozanat nuqtasit . Narxning oshishi va muvozanatli sotish hajmining pasayishini aniqlash;

c) subsidiya topishs tomonidan sotilishining oshishiga olib keladiq 0 birliklar asl nusxaga nisbatan (a) bandida belgilangan);

d) narxga mutanosib va ​​teng soliq joriy etishda yangi muvozanat nuqtasi va davlat daromadini toping.N %;

e) teng bo'lgan minimal narxni belgilashda davlat ortiqcha mablag'ni sotib olishga qancha pul sarflashini aniqlash p 0 .

Har bir yechim nuqtasi uchun koordinatalar tizimida chizma tuzing. Rasmda vazifa nuqtasiga mos keladigan chiziqlar va nuqtalarni belgilang.

Variantlarga mos keladigan muammo holati uchun ma'lumotlar:

Analitik geometriyadan masalalar yechishni qanday o'rganish mumkin?
Samolyotdagi uchburchak bilan bog'liq odatiy muammo

Bu dars tekislik geometriyasi va fazo geometriyasi o'rtasidagi ekvatorga yaqinlashish bo'yicha yaratilgan. Hozirgi vaqtda to'plangan ma'lumotlarni tizimlashtirish va juda muhim savolga javob berish zarurati mavjud: analitik geometriyadagi masalalarni yechishni qanday o'rganish kerak? Qiyinchilik shundaki, siz geometriya bo'yicha cheksiz ko'p muammolarni o'ylab topishingiz mumkin va hech qanday darslik juda ko'p va xilma-xil misollarni o'z ichiga olmaydi. U emas funktsiyaning hosilasi beshta farqlash qoidalari, jadval va bir nechta texnikalar bilan ....

Yechim bor! Men qandaydir ulug'vor texnikani ishlab chiqqanim haqida baland ovozda gapirmayman, ammo mening fikrimcha, ko'rib chiqilayotgan muammoga samarali yondashuv mavjud, bu hatto to'liq qo'g'irchoqqa ham yaxshi va ajoyib natijalarga erishishga imkon beradi. Hech bo'lmaganda, geometrik muammolarni hal qilishning umumiy algoritmi mening boshimda juda aniq shakllandi.

NIMALARNI BILISHINGIZ KERAK VA QOLISh
geometriya masalalarini muvaffaqiyatli yechish uchun?

Bundan qochishning iloji yo'q - tugmalarni burningiz bilan tasodifiy urmaslik uchun siz analitik geometriya asoslarini o'zlashtirishingiz kerak. Shuning uchun, agar siz geometriyani o'rganishni endi boshlagan bo'lsangiz yoki uni butunlay unutgan bo'lsangiz, darsni boshlang Dummies uchun vektorlar. Vektorlar va ular bilan harakatlardan tashqari, siz tekis geometriyaning asosiy tushunchalarini bilishingiz kerak, xususan, tekislikdagi chiziq tenglamasi Va . Kosmosning geometriyasi maqolalarda keltirilgan Tekislik tenglamasi, Fazodagi chiziq tenglamalari, To'g'ri chiziq va tekislik bo'yicha asosiy masalalar va boshqa ba'zi darslar. Ikkinchi tartibning egri chiziqlari va fazoviy yuzalari bir-biridan bir oz ajralib turadi va ular bilan bog'liq muammolar unchalik ko'p emas.

Faraz qilaylik, talaba analitik geometriyaning eng oddiy masalalarini yechish bo‘yicha boshlang‘ich bilim va ko‘nikmalarga ega bo‘lgan. Ammo bu shunday bo'ladi: siz muammoning bayonotini o'qiysiz va ... siz hamma narsani butunlay yopishni xohlaysiz, uni uzoq burchakka tashlab, yomon tush kabi unutasiz. Bundan tashqari, bu sizning malakangiz darajasiga bog'liq emas, vaqti-vaqti bilan men o'zim yechimi aniq bo'lmagan vazifalarga duch kelaman. Bunday hollarda nima qilish kerak? Siz tushunmaydigan vazifadan qo'rqishning hojati yo'q!

Birinchidan, o'rnatilishi kerak - Bu "tekis" yoki fazoviy muammomi? Misol uchun, agar shart ikkita koordinatali vektorlarni o'z ichiga olsa, unda, albatta, bu tekislikning geometriyasi. Va agar o'qituvchi minnatdor tinglovchiga piramidani yuklagan bo'lsa, unda fazoning geometriyasi aniq. Birinchi qadamning natijalari allaqachon juda yaxshi, chunki biz bu vazifa uchun keraksiz juda ko'p ma'lumotni kesib tashladik!

Ikkinchi. Vaziyat odatda sizni qandaydir geometrik shakl bilan bog'laydi. Darhaqiqat, tug'ilgan universitetingizning koridorlari bo'ylab yuring va siz juda ko'p tashvishli yuzlarni ko'rasiz.

"Yassi" muammolarda, aniq nuqtalar va chiziqlar haqida gapirmasa ham, eng mashhur raqam uchburchakdir. Biz buni batafsil tahlil qilamiz. Keyin parallelogramma keladi va to'rtburchaklar, kvadrat, romb, doira va boshqa shakllar kamroq tarqalgan.

Fazoviy masalalarda bir xil tekis figuralar + tekisliklarning o'zlari va parallelepipedli umumiy uchburchak piramidalar uchishi mumkin.

Ikkinchi savol - Bu raqam haqida hamma narsani bilasizmi? Faraz qilaylik, shart teng yonli uchburchak haqida gapiradi va siz uning qanday uchburchak ekanligini juda noaniq eslaysiz. Biz maktab darsligini ochamiz va teng yonli uchburchak haqida o'qiymiz. Nima qilish kerak... doktor romb dedi, bu romb degani. Analitik geometriya analitik geometriyadir, lekin masala raqamlarning geometrik xossalari bilan hal qilinadi, bizga maktab o'quv dasturidan ma'lum. Agar siz uchburchak burchaklarining yig'indisi nima ekanligini bilmasangiz, siz uzoq vaqt azob chekishingiz mumkin.

Uchinchi. DOIMA chizmaga amal qilishga harakat qiling(qoralama/tugatish nusxasida/aqliy jihatdan), hatto shart talab qilmasa ham. "Yassi" masalalarda Evklidning o'zi o'lchagich va qalam olishni buyurgan - bu nafaqat vaziyatni tushunish uchun, balki o'zini o'zi sinab ko'rish uchun ham. Bunday holda, eng qulay o'lchov 1 birlik = 1 sm (2 daftar katakchasi). Beparvo talabalar va matematiklarning qabrlarida aylanayotgani haqida gapirmaylik - bunday masalalarda xato qilish deyarli mumkin emas. Fazoviy vazifalar uchun biz sxematik chizmani bajaramiz, bu ham vaziyatni tahlil qilishga yordam beradi.

Chizma yoki sxematik chizma ko'pincha muammoni hal qilish yo'lini darhol ko'rishga imkon beradi. Albatta, buning uchun siz geometriya asoslarini bilishingiz va geometrik shakllarning xususiyatlarini tushunishingiz kerak (oldingi xatboshiga qarang).

To'rtinchi. Yechim algoritmini ishlab chiqish. Ko'pgina geometriya masalalari ko'p bosqichli, shuning uchun yechim va uning dizayni nuqtalarga bo'linish uchun juda qulaydir. Ko'pincha algoritm shartni o'qiganingizdan yoki chizmani tugatgandan so'ng darhol yodga keladi. Qiyinchiliklar bo'lsa, biz vazifaning SAVOLidan boshlaymiz. Masalan, "siz to'g'ri chiziq qurishingiz kerak ..." shartiga ko'ra. Bu erda eng mantiqiy savol: "Ushbu to'g'ri chiziqni qurish uchun nimani bilish kifoya?" Aytaylik, "biz nuqtani bilamiz, biz yo'nalish vektorini bilishimiz kerak". Biz quyidagi savolni beramiz: “Ushbu yo'nalish vektorini qanday topish mumkin? Qayerda?" va hokazo.

Ba'zida "xato" bor - muammo hal etilmadi va shu. To'xtashning sabablari quyidagilar bo'lishi mumkin:

- Asosiy bilimlarda jiddiy bo'shliq. Boshqacha qilib aytganda, siz juda oddiy narsani bilmaysiz va/yoki ko'rmaysiz.

– Geometrik figuralarning xossalarini bilmaslik.

- Vazifa qiyin edi. Ha, shunday bo'ladi. Soatlab bug‘lanib, ro‘molchada ko‘z yosh yig‘ishdan foyda yo‘q. O'qituvchingizdan, kursdoshlaringizdan maslahat so'rang yoki forumda savol bering. Bundan tashqari, uning bayonotini aniqroq qilish yaxshiroqdir - yechimning siz tushunmaydigan qismi haqida. "Muammoni qanday hal qilish kerak?" Ko'rinishidagi qichqiriq. unchalik yaxshi ko'rinmaydi... va, eng avvalo, o'z obro'ingiz uchun.

Beshinchi bosqich. Biz qaror qilamiz-tekshiramiz, qaror qilamiz-tekshiramiz, qaror qilamiz-tekshiramiz-javob beramiz. Vazifaning har bir nuqtasini tekshirish foydalidir tugagandan so'ng darhol. Bu xatoni darhol aniqlashga yordam beradi. Tabiiyki, hech kim butun muammoni tezda hal qilishni taqiqlamaydi, lekin hamma narsani qayta yozish xavfi mavjud (ko'pincha bir necha sahifalar).

Bu, ehtimol, muammolarni hal qilishda kuzatilishi kerak bo'lgan barcha asosiy fikrlardir.

Darsning amaliy qismi tekis geometriyadan keltirilgan. Faqat ikkita misol bo'ladi, lekin bu etarli emas =)

Keling, kichik ilmiy ishimda ko'rib chiqqan algoritm mavzusini ko'rib chiqaylik:

1-misol

Parallelogrammaning uchta uchi berilgan. Yuqorini toping.

Keling, tushunishni boshlaylik:

Birinchi qadam: Gap "tekis" muammo haqida ketayotgani aniq.

Ikkinchi qadam: Muammo parallelogramma bilan bog'liq. Bu parallelogrammni hamma eslaydimi? Tabassum qilishning hojati yo'q, ko'p odamlar 30-40-50 va undan ko'p yoshda ta'lim oladilar, shuning uchun hatto oddiy faktlarni ham xotiradan o'chirib tashlash mumkin. Paralelogrammaning ta'rifi darsning 3-misolida keltirilgan Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari.

Uchinchi qadam: Keling, uchta ma'lum cho'qqini belgilagan chizma tuzamiz. Qizig'i shundaki, kerakli nuqtani darhol qurish qiyin emas:

Uni qurish, albatta, yaxshi, lekin yechim analitik tarzda shakllantirilishi kerak.

To'rtinchi qadam: Yechim algoritmini ishlab chiqish. Aqlga keladigan birinchi narsa, nuqtani chiziqlarning kesishishi sifatida topish mumkin. Biz ularning tenglamalarini bilmaymiz, shuning uchun biz bu masalani hal qilishimiz kerak:

1) Qarama-qarshi tomonlar parallel. Ballar bo'yicha Bu tomonlarning yo'nalish vektorini topamiz. Bu sinfda muhokama qilingan eng oddiy muammo. Dummies uchun vektorlar.

Eslatma: "tomonni o'z ichiga olgan chiziq tenglamasi" deyish to'g'riroq, ammo bu erda va bundan keyin qisqachalik uchun "tomon tenglamasi", "tomonning yo'nalishi vektori" va hokazo iboralarni ishlataman.

3) Qarama-qarshi tomonlar parallel. Nuqtalardan foydalanib, bu tomonlarning yo'nalish vektorini topamiz.

4) Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz

1-2 va 3-4-bandlarda biz bir xil masalani ikki marta hal qildik, darvoqe, bu darsning 3-misolida muhokama qilingan. Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar. Uzunroq yo'lni bosib o'tish mumkin edi - avval chiziqlar tenglamalarini toping va shundan keyingina yo'nalish vektorlarini "chiqarib oling".

5) Endi chiziqlar tenglamalari ma'lum. Tegishli chiziqli tenglamalar tizimini tuzish va yechishgina qoladi (shu darsning № 4, 5 misollariga qarang). Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar).

Gap topildi.

Vazifa juda oddiy va uning echimi aniq, ammo qisqaroq yo'l bor!

Ikkinchi yechim:

Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi. Men nuqtani belgilab qo'ydim, lekin chizmani chalkashtirmaslik uchun diagonallarning o'zini chizmadim.

Yon nuqta uchun tenglama tuzamiz:

Tekshirish uchun siz aqliy ravishda yoki qoralamada har bir nuqtaning koordinatalarini hosil bo'lgan tenglamaga almashtirishingiz kerak. Endi qiyalikni topamiz. Buning uchun umumiy tenglamani qiyalik koeffitsientli tenglama shaklida qayta yozamiz:

Shunday qilib, nishab:

Xuddi shunday, tomonlarning tenglamalarini topamiz. Xuddi shu narsani tasvirlashda men unchalik ma'no ko'rmayapman, shuning uchun men darhol yakuniy natijani beraman:

2) Tomonning uzunligini toping. Bu sinfda yoritilgan eng oddiy masala. Dummies uchun vektorlar. Ballar uchun formuladan foydalanamiz:

Xuddi shu formuladan foydalanib, boshqa tomonlarning uzunliklarini topish oson. Tekshirish oddiy o'lchagich bilan juda tez amalga oshirilishi mumkin.

Biz formuladan foydalanamiz .

Vektorlarni topamiz:

Shunday qilib:

Aytgancha, yo'lda biz tomonlarning uzunligini topdik.

Natijada:

Xo'sh, bu haqiqatga o'xshaydi; ishonchli bo'lish uchun burchakka transportyorni biriktirishingiz mumkin.

Diqqat! Uchburchakning burchagini to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak bilan aralashtirmang. Uchburchakning burchagi to'g'ridan-to'g'ri bo'lishi mumkin, ammo to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak mumkin emas (maqolaning oxirgi xatboshiga qarang). Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar). Biroq, uchburchakning burchagini topish uchun siz yuqoridagi darsdagi formulalardan ham foydalanishingiz mumkin, ammo pürüzlülüğü bu formulalar har doim o'tkir burchakni beradi. Ularning yordami bilan men bu muammoni qoralamada hal qildim va natijaga erishdim. Va oxirgi nusxada men qo'shimcha uzrlarni yozishim kerak edi, ya'ni .

4) To‘g‘ri chiziqqa parallel nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘rining tenglamasini yozing.

Darsning 2-misolida batafsil muhokama qilingan standart vazifa Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar. Chiziqning umumiy tenglamasidan Keling, yo'naltiruvchi vektorni chiqaramiz. Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Uchburchakning balandligini qanday topish mumkin?

5) Balandlik uchun tenglama tuzamiz va uning uzunligini topamiz.

Qattiq ta'riflardan qochishning iloji yo'q, shuning uchun siz maktab darsligidan o'g'irlashingiz kerak bo'ladi:

Uchburchak balandligi uchburchakning tepasidan qarama-qarshi tomonini o'z ichiga olgan chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyar deyiladi.

Ya'ni, cho'qqidan yon tomonga chizilgan perpendikulyar uchun tenglama tuzish kerak. Bu vazifa darsning 6, 7-sonli misollarida muhokama qilinadi Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar. Tenglamadan. normal vektorni olib tashlang. Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida balandlik tenglamasini tuzamiz:

E'tibor bering, biz nuqta koordinatalarini bilmaymiz.

Ba'zan balandlik tenglamasi perpendikulyar chiziqlarning burchak koeffitsientlari nisbatidan topiladi: . Bunday holda, u holda: . Nuqta va burchak koeffitsienti yordamida balandlik tenglamasini tuzamiz (dars boshiga qarang). Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi):

Balandlik uzunligini ikki yo'l bilan topish mumkin.

Aylanma yo'l bor:

a) toping - balandlik va tomonning kesishish nuqtasi;
b) ikkita ma'lum nuqtadan foydalanib, segment uzunligini toping.

Ammo sinfda Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofaning qulay formulasi ko'rib chiqildi. Nuqta ma'lum: , chiziq tenglamasi ham ma'lum: , Shunday qilib:

6) Uchburchakning maydonini hisoblang. Kosmosda uchburchakning maydoni an'anaviy ravishda hisoblab chiqiladi vektorlarning vektor mahsuloti, lekin bu erda bizga tekislikdagi uchburchak berilgan. Biz maktab formulasidan foydalanamiz:
- Uchburchakning maydoni uning poydevori va balandligi ko'paytmasining yarmiga teng.

Ushbu holatda:

Uchburchakning medianasini qanday topish mumkin?

7) Mediana uchun tenglama tuzamiz.

Uchburchakning medianasi uchburchakning uchini qarama-qarshi tomonining o'rtasi bilan bog'laydigan segment deyiladi.

a) nuqta - tomonning o'rtasini toping. Biz foydalanamiz segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalar. Segment uchlarining koordinatalari ma'lum: , keyin o'rtaning koordinatalari:

Shunday qilib:

Median tenglamani nuqtama-nuqta tuzamiz :

Tenglamani tekshirish uchun unga nuqtalarning koordinatalarini qo'yish kerak.

8) Balandlik va mediananing kesishish nuqtasini toping. Menimcha, hamma allaqachon figurali uchishning ushbu elementini yiqilmasdan qanday bajarishni o'rgangan: