Skayar argumentning vektor funksiyasi. Haqiqat vektori yordamida funktsiyani ko'rsatish To'liq ikkilik daraxt yordamida belgilash

Skayar argumentning vektor funksiyasi qiymatlari to‘plami 0 nuqtada umumiy koordinataga keltirilsin. Dekart koordinata tizimining kelib chiqishini shu nuqtaga moslashtiramiz. Keyin har qanday vektor uchun birlik vektorlarga kengaytirilishi mumkin

Shunday qilib, skalar argumentning vektor funksiyasini ko'rsatish uchta skalyar funksiyani ko'rsatishni anglatadi Argumentning qiymati o'zgarganda, vektorning oxiri fazodagi egri chiziqni tasvirlaydi, bu vektor godografi deb ataladi.

uchun yaqin qiymat bo'lsin Keyin vektor funksiyaning skalyar argumentga hosilasi deyiladi

№ 17 Egri chiziqli harakatdagi nuqtaning tezligi va tezlashishi

Tezlik

Tezlik moddiy nuqta harakatining xarakteristikasi sifatida kiritilgan. Tezlik - bu ma'lum bir vaqtda harakat tezligi (tezlik vektori kattaligi) va uning yo'nalishi (tezlik vektori yo'nalishi) bilan tavsiflanadigan vektor miqdori. Moddiy nuqta qandaydir egri chiziqli traektoriya bo‘ylab harakatlansin va t vaqt momentida u radius vektor r0 ga to‘g‘ri keladi (1-rasm). Qisqa vaqt oralig'ida Dt nuqta Ds bo'ylab sayohat qiladi va bir vaqtning o'zida elementar (cheksiz) Dr siljishini oladi.

O'rtacha tezlik vektori nuqta radius vektorining Dr ortishining Dt vaqt oralig'iga nisbati deyiladi:

O'rtacha tezlik vektorining yo'nalishi Dr yo'nalishiga to'g'ri keladi. Dt ning cheksiz pasayishi bilan o'rtacha tezlik v oniy tezlik deb ataladigan qiymatga intiladi:

Bu shuni anglatadiki, v lahzali tezlik vektor kattalik bo'lib, u harakatlanuvchi nuqta radius vektorining vaqtga nisbatan birinchi hosilasiga teng. Chunki chegarada sekant tangensga to'g'ri keladi, keyin tezlik vektori v harakat yo'nalishi bo'yicha traektoriyaga tangens yo'naltiriladi (2-rasm).

2-rasm

Dt kamayishi bilan Ds tobora |Dr| ga yaqinlashadi, shuning uchun lahzali tezlik moduli

Bu shuni anglatadiki, oniy tezlikning mutlaq qiymati vaqtga nisbatan yo'lning birinchi hosilasiga teng:

Noto'g'ri harakat bilan, lahzali tezlik moduli turli vaqtlarda farq qiladi. Bunday holda, skalyar kattalikdan foydalaning - notekis harakatning o'rtacha tezligi:

Agar ds=vdt ifodasini t dan t+Dt gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ida integrallasak ((2) formulaga qarang), Dt vaqt ichida nuqta bosib o‘tgan yo‘l uzunligini topamiz:

Bir tekis harakatda lahzali tezlikning son qiymati doimiy; Keyin (3) ifoda shaklni oladi

t1 dan t2 gacha bo'lgan vaqt oralig'ida nuqta bosib o'tgan yo'lning uzunligi integral bilan beriladi.

TEZLASH

Noto'g'ri haydashda tez-tez vaqt o'tishi bilan tezlik qanchalik tez o'zgarishini bilish kerak. Tezlikning kattaligi va yo'nalishi bo'yicha o'zgarish tezligini tavsiflovchi fizik miqdor tezlanish deyiladi. Tekislik harakati - ko'rib chiqilayotgan tizimning har bir nuqtasining traektoriyalari bir tekislikda joylashgan harakatni ko'rib chiqaylik. V vektor A nuqtaning t vaqtdagi tezligi bo'lsin. Dt vaqt ichida nuqta B pozitsiyasiga o'tdi va kattaligi va yo'nalishi bo'yicha v dan farq qiluvchi va v1 + Dv ga teng tezlikni oldi. v1 vektorni A nuqtaga o'tkazamiz va Dv ni topamiz (1-rasm).

t dan t+Dt gacha bo‘lgan oraliqda notekis harakatning o‘rtacha tezlanishi Dv tezlik o‘zgarishining Dt vaqt oralig‘iga nisbatiga teng vektor kattalikdir:

Moddiy nuqtaning t vaqtda bir lahzali tezlashishi a (tezlanishi) vektor kattalik bo'ladi:

vaqtga nisbatan tezlikning birinchi hosilasiga teng.

Dv vektorini ikkita komponentga ajratamiz. Buning uchun A nuqtadan (1-rasm) v tezlik yo'nalishi bo'yicha moduli v1 ga teng bo'lgan AD vektorini chizamiz. Shubhasiz, Dvt ga teng bo'lgan CD vektor tezlikning Dt moduli bo'yicha vaqt o'zgarishini aniqlaydi: Dvt=v1-v. DV vektorning ikkinchi komponenti Dvn tezlikning Dt vaqt davomida yo'nalish bo'yicha o'zgarishini tavsiflaydi.

Tezlanishning tangensial komponenti:

ya'ni tezlik modulining vaqtiga nisbatan birinchi hosilaga teng bo'lib, shu bilan moduldagi tezlikning o'zgarish tezligini aniqlaydi.

Biz tezlashtirishning ikkinchi komponentini qidirmoqdamiz. Faraz qilamizki, B nuqta A nuqtaga juda yaqin, shuning uchun DS ni AB akkordasidan bir oz farq qiladigan r radiusli aylana yoyi deb hisoblash mumkin. AOB uchburchagi EAD uchburchagiga o'xshaydi, undan Dvn/AB=v1/r kelib chiqadi, lekin AB=vDt bo'lgani uchun u holda

Dt→0 chegarasida v1→v ni olamiz.

Chunki v1→v, EAD burchagi nolga intiladi va shundan beri EAD uchburchagi teng yonli bo'lsa, u holda v va Dvn orasidagi ADE burchagi to'g'ri burchakka moyil bo'ladi. Binobarin, Dt→0 da Dvn va v vektorlari o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi. Chunki tezlik vektori tangensial ravishda traektoriyaga yo'naltiriladi, so'ngra tezlik vektoriga perpendikulyar Dvn vektor nuqta traektoriyasining egrilik markaziga yo'naltiriladi. Tezlashtirishning ikkinchi komponenti, teng

tezlanishning normal komponenti deyiladi va uning egrilik markaziga traektoriyaga (normal deb ataladi) tangensiga perpendikulyar to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltiriladi (shuning uchun uni markazga yo'naltiruvchi tezlanish ham deyiladi).

Jismning umumiy tezlanishi tangensial va normal komponentlarning geometrik yig'indisidir (2-rasm):

Bu shuni anglatadiki, tezlanishning tangensial komponenti tezlikning mutlaq qiymatdagi o'zgarish tezligining xarakteristikasi (traektoriyaga tangensial yo'naltirilgan), tezlanishning normal komponenti esa tezlikning yo'nalishi (to'g'ri yo'naltirilgan) tezligining xarakteristikasidir. traektoriyaning egrilik markazi). Tezlanishning tangensial va normal komponentlariga qarab harakatni quyidagicha tasniflash mumkin:

1)at=0, an=0 - to'g'ri chiziqli bir tekis harakat;

2)at=an=const, a=0 - to'g'ri chiziqli bir tekis harakat. Ushbu turdagi harakat bilan

Agar boshlang'ich vaqt t1 = 0 va boshlang'ich tezlik v1 = v0 bo'lsa, u holda t2=t va v2 = v belgilab, a=(v-v0)/t ni olamiz, undan

Ushbu formulani noldan ixtiyoriy t vaqt momenti oralig'ida birlashtirib, biz bir xil o'zgaruvchan harakatda nuqta bosib o'tgan yo'l uzunligini aniqlaymiz.

3)at=f(t), an=0 - tezlanish oʻzgaruvchan toʻgʻri chiziqli harakat;

4)aτ=0, an=const. aτ=0 bo'lganda tezlik mutlaq qiymatda o'zgarmaydi, balki yo'nalishi bo'yicha o'zgaradi. An=v2/r formuladan egrilik radiusi doimiy bo'lishi kerakligi kelib chiqadi. Shuning uchun aylanma harakat bir xil, bir xil egri chiziqli harakat;

5)aτ=0, an≠0 bir tekis egri chiziqli harakat;

6)aτ=const, an≠0 - egri chiziqli bir tekis harakat;

7)aτ=f(t), an≠0 - tezlanish o‘zgaruvchan bo‘lgan egri chiziqli harakat.

No 18 Tangens tekislik va sirtga normal tenglamalar

Ta'rif. Ikki o‘zgaruvchining z =f(x,y) funksiyasi D sohada berilgan bo‘lsin, M0(x0;y0) D sohasining ichki nuqtasi, M(x0+Dx;y+Dy) nuqta bo‘lsin. D "qo'shni" M0.

Funktsiyaning to'liq o'sishini ko'rib chiqing:

Agar Dz quyidagicha ifodalansa:

Bu erda A, B doimiylar (Dx, Dy dan mustaqil), - M va M0 orasidagi masofa, a(D x,Dy) - Dx 0, Dy 0 da cheksiz kichik; u holda z =f(x,y) funksiya M0 nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi va ifoda

z =f(x;y) funksiyaning M0 nuqtadagi to‘liq differentsiali deyiladi.

1.1 teorema. Agar M0 nuqtada z =f(x;y) differensiallansa, u holda

Isbot

(1.16) da Dx, Dy ixtiyoriy cheksiz kichik sonlar bo‘lgani uchun Dy =0, Dx≠0, Dx 0 ni olishimiz mumkin, keyin

shundan keyin (1.16) dan kelib chiqadi

Xuddi shunday, bu ham isbotlangan

va teorema 1.1. isbotlangan.

Eslatma: M0 nuqtadagi z =f(x,y) ning differentsialligi qisman hosilalarning mavjudligini bildiradi. Qarama-qarshi bayonot noto'g'ri (M0 nuqtada qisman hosilalarning mavjudligi M0 nuqtasida differentsiallikni anglatmaydi).

Natijada 1.1 teoremani hisobga olgan holda (1.18) formula quyidagi shaklni oladi:

Natija. M0 nuqtada differentsiallanuvchi funksiya bu nuqtada uzluksizdir (chunki (1.17) dan Dx 0, Dy 0 uchun: Dz 0, z(M) z(M0)) dan kelib chiqadi.

Eslatma: Xuddi shunday, uch yoki undan ortiq o'zgaruvchilar uchun. (1.17) ifoda quyidagi shaklda bo'ladi:

Qisman hosilalarning geometrik ma'nosidan (1.3-rasm) foydalanib, sirtga teginish tekisligi p-kassining quyidagi tenglamasini (1.24) olishimiz mumkin: z =f(x,y) nuqtada C0(x0,y0,z0), z0=z(M):

(1.24) va (1.21) taqqoslashdan biz ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining to'liq differentsialining geometrik ma'nosini olamiz:

C nuqta tangens tekislik bo'ylab C0 nuqtadan nuqtaga harakat qilganda ilova z ning o'sishi

qayerdan (1.24).

Normal Ln ning sirtga tenglamasi: C0 nuqtadagi z = f(x,y) C0 dan tangens tekislikka perpendikulyar o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi sifatida olinadi:

№ 19 Yo'nalishli hosila. Gradient

Funktsiya qaysidir sohada berilgan bo'lsin va davr . Yo'nalishi kosinuslar bo'lgan nuqtadan vektor chizamiz . Vektorda, uning boshidan masofada, bir nuqtani ko'rib chiqing, ya'ni. .

Funktsiya deb faraz qilamiz va uning birinchi tartibli qisman hosilalari sohada uzluksizdir.

at nisbati chegarasi funksiyaning hosilasi deyiladi nuqtada vektor yo'nalishi bo'yicha va belgilanadi, ya'ni. .

Funktsiyaning hosilasini topish ma'lum bir nuqtada vektor yo'nalishi bo'yicha formuladan foydalaning:

Qayerda – vektorning yo‘nalish kosinuslari , ular formulalar bo'yicha hisoblanadi:
.

Muayyan hududning har bir nuqtasida funktsiya belgilansin .

Koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari ushbu funktsiyaning tegishli nuqtadagi qisman hosilalarining qiymatlari bo'lgan vektorga funktsiyaning gradienti deyiladi. va belgilangan yoki (“nabla u” ni o‘qing): .

Bunday holda, ular mintaqada gradientlarning vektor maydoni aniqlanganligini aytishadi.

Funksiyaning gradientini topish uchun ma'lum bir nuqtada formuladan foydalaning: .

No 22 noaniq integralning asosiy xossalari

Noaniq integral

bu yerda F f funksiyaning anti hosilasi (interval bo'yicha); C ixtiyoriy doimiydir.

Asosiy xususiyatlar

1.

2.

3. Agar Bu

24)

25)

28)

Bu usul integral heterojen funksiyalarning mahsuloti yoki koeffitsienti bo'lgan hollarda qo'llaniladi. Bunda V’(x) oson integrasiyalanuvchi qism sifatida qabul qilinadi.

29)

32) Ratsional kasrni oddiy kasrlarga ajratish.

Har qanday to'g'ri ratsional kasr
birinchi - to'rtinchi turdagi oddiy ratsional kasrlarning cheklangan soni yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Parchalanish uchun
maxrajni oddiy kasrlarga kengaytirish kerak Qm(x) chiziqli va kvadrat omillarga ajrating, buning uchun siz tenglamani echishingiz kerak:

- (5)

Teorema.To'g'ri ratsional kasr
, Qayerda
, oddiy kasrlar yig'indisiga noyob tarzda parchalanishi mumkin:

- (6)

(A 1 , A 2 , …, A k , B 1 , B 2 , …, B 1 , M 1 , N 1 , M 2 , M 2 , …, M s , N s – baʼzi haqiqiy sonlar).

33) To'g'ri kasrni maxrajning murakkab ildizlari bo'lgan oddiy kasrlarga ajratish

Muammoni shakllantirish. Noaniq integralni toping

1 . Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

Ayrim va maxrajning darajalarini solishtiramiz.

Agar integral noto'g'ri ratsional kasr bo'lsa, ya'ni. numerator darajasin maxraj kuchidan katta yoki tengm , keyin birinchi navbatda ratsional funktsiyaning sonini maxrajga bo'lish orqali butun qismini tanlaymiz:

Bu erda ko'phad ga va darajaga bo'linishning qoldig'idirPk(x) kamroq darajaQm

2 . To'g'ri ratsional kasrni kengaytiramiz

elementar kasrlarga.

Agar uning maxraji oddiy murakkab ildizlarga ega bo'lsa, ya'ni.

keyin kengayish shaklga ega bo'ladi

3 . Noaniq koeffitsientlarni hisoblash uchun,A1,A2,A3...B1,B1,B3... biz identifikatsiyaning o'ng tomonidagi kasrni umumiy maxrajga keltiramiz, shundan so'ng biz bir xil kuchlarda koeffitsientlarni tenglashtiramiz.X chap va o'ngdagi numeratorlarda. Keling, tizimni olamiz 2 S bilan tenglamalar 2 S noma'lum, bu noyob yechimga ega.

4 Shaklning elementar kasrlarini birlashtiramiz

47) Agar l → 0 ko‘rinishdagi integral yig‘indining chekli I chegarasi mavjud bo‘lsa va u nuqtalarni tanlash usuliga bog‘liq bo‘lmasa p i, segmentni bo‘lish usuli, u holda bu chegara f funktsiyaning aniq integrali deb ataladi. x) segment ustida va quyidagicha belgilanadi:

Bunda f (x) funksiya ga integrallash mumkin deyiladi. a va b raqamlari integrasiyaning quyi va yuqori chegaralari deyiladi, mos ravishda f (x) integrand, x integrasiya o‘zgaruvchisi. Shuni ta'kidlash kerakki, qaysi harf aniq integralning integral o'zgaruvchisini bildirishi muhim emas.

chunki bunday turdagi yozuvlarni o'zgartirish integral yig'indining harakatiga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi. Belgilanishi va terminologiyasi o'xshashligiga qaramay, aniq va noaniq integrallar farqlanadi

48) Aniq integral mavjudligi haqidagi teorema

Kesmani x1,x2,x3 nuqtalar orqali qismlarga ajratamiz... shunday

i-bo'lakning uzunligini deltaX bilan va shu uzunliklarning maksimali bilan belgilaymiz.

Keling, har bir segmentda ma'lum bir nuqtani o'zboshimchalik bilan tanlaymiz, shunda (u "o'rta nuqta" deb ataladi) va tuzamiz.

integral yig'indi deb ataladigan miqdor

Endi chegarani topamiz

Ta'rif. Agar u mavjud bo'lsa va unga bog'liq bo'lmasa

a) segmentni qismlarga va dan bo'lish usuli

b) o'rta nuqtani tanlash usuli;

f(x) funksiyaning segment ustidagi aniq integralidir.

f(x) funksiya bu holda intervalda integrallanuvchi deyiladi. a va b miqdorlar mos ravishda integratsiyaning quyi va yuqori chegaralari deyiladi.

50) Aniq integralning asosiy xossalari

1) Agar integrallash oralig'i cheklangan sonli qisman intervallarga bo'linsa, u holda oraliqda olingan aniq integral uning barcha qisman oraliqlarida olingan aniq integrallar yig'indisiga teng bo'ladi.

2) o'rtacha qiymat teoremasi.

y = f(x) funksiya ,m=min f(x) va M=max f(x) oraliqlarida integrallanuvchi bo‘lsin, u holda shunday son mavjud bo‘ladi.

Natija.

Agar y = f(x) funksiya oraliqda uzluksiz bo'lsa, unda shunday son mavjud.

3) Integrallash chegaralarini qayta tartibga solishda aniq integral o'z belgisini teskari tomonga o'zgartiradi.

4) Integrallash chegaralari bir xil bo’lgan aniq integral nolga teng.

5) Funksional modulning integratsiyasi

Agar f(x) funksiya integrallansa, uning moduli ham intervalda integrallanadi.

6)Tengsizlikning integrasiyasi

Agar f(x) va q(x) intervalda integrallansa va x ga tegishli bo'lsa

Bu

7) Chiziqlilik

Doimiy omilni aniq integral belgisidan tashqari olish mumkin

agar f(x) mavjud bo'lsa va oraliqda integrallansa, A=const

Agar y=f(x) funksiya intervalda uzluksiz bo‘lsa va F(x) uning (F’(x)=f(x)) dagi har qanday antiderivativi bo‘lsa, formula o‘rinli bo‘ladi.

Uzluksiz funksiyaning integralini hisoblash uchun x=a(t) almashtirish amalga oshirilsin.

1) x=a(t) funksiya va uning hosilasi x’=a’(t) ga tegishli t uchun uzluksizdir.

2) x=a(t) funksiyaning t nuqtadagi qiymatlari to‘plami segmentga tegishli

3) A a(c)=a va a(v)=b

f(x) funksiya intervalda uzluksiz va x=b da cheksiz uzilishga ega bo'lsin. Agar chegara mavjud bo'lsa, u ikkinchi turdagi noto'g'ri integral deb ataladi va bilan belgilanadi.

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra,

Agar o'ng tomonda chegara mavjud bo'lsa, unda noto'g'ri integral birlashadi. Belgilangan chegara mavjud bo'lmasa yoki cheksiz bo'lsa, ular integral deb aytishadi farqlanadi.

Ta'rif 1. Agar skayarning ruxsat etilgan qiymatlar oralig'idagi har bir qiymati r vektorining ma'lum bir qiymatiga to'g'ri kelsa, g vektori t skalar argumentining vektor funksiyasi deb ataladi.Buni quyidagicha yozamiz: Agar vektor r bo'lsa. skalyar argumentning funksiyasi t bo‘lsa, r vektorning x, y, z koordinatalari ham t argumentining funksiyalari bo‘ladi: Skayar argumentning vektor funksiyasi. Godografiya. Skayar argumentning vektor funksiyasining chegarasi va uzluksizligi.. Aksincha, agar g vektorning koordinatalari t% funktsiya bo'lsa, u holda g vektorining o'zi t ning funksiyasi bo'ladi: Shunday qilib, r(f) vektor funksiyasini ko'rsatish. y(t), z(t) uchta skalyar funksiyani belgilashga ekvivalent. Ta’rif 2. Skayar argumentning r(t) vektor funksiyasining godografi skalyar t o‘zgarganda, r(f) vektorning boshi bo‘lganda r(*) vektorning oxirini tavsiflovchi nuqtalar lokusudir. fazoda sobit O nuqtaga joylashtirilgan (I-rasm). Mo'ylov vektori r = g (*) harakati uchun godograf - rasm. 1 yonish nuqtasi bu nuqtaning o'zi L traektoriyasi bo'ladi. Bu nuqtaning tezlik godografi v = v(J) qandaydir boshqa L\ chiziq bo'ladi (2-rasm). Demak, agar moddiy nuqta aylana bo'ylab doimiy tezlik bilan |v| harakat qilsa = const, u holda uning tezligi godografi ham markazi 0\ nuqtada va radiusi |v| ga teng bo'lgan doiradir. 1-misol. r = ti + t\ + t\ vektorining godografini tuzing. Yechim. 1. Bu konstruksiyani nuqta-nuqta bajarib, jadval tuzish mumkin: 3-rasm 2i Siz ham shunday qilishingiz mumkin. V vektorning koordinatalarini x, y, z bilan belgilab, biz Hts ga ega bo'lamiz Va bu tenglamalardan kalit 1Y parametrdir y - z = x1 sirtlarning tenglamalarini olamiz, L kesishish chizig'i godografni aniqlaydi. z() vektorining (3-rasm). D> Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar. Vektorlarning godograflarini tuzing: r = skalar argument t vektor funksiyasi t argumentining qiymatining qaysidir qo‘shnisida aniqlansin, bundan tashqari, xuddi shu qiymat uchun kengaytma 1. A doimiy vektori chegarasi deyiladi. vektor r(t) da, agar har qanday e > 0 uchun b > 0 mavjud bo‘lsa, 11-shartni qanoatlantiradigan barcha t ph uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.An’anaviy analizda bo‘lgani kabi, limr(0=A. 4-rasm geometrik jihatdan, demak, vektor) sifatida t -* to vektorga Va uzunligi va yo'nalishi bo'yicha ham intiladi (4-rasm). Ta'rif 2. a(£) vektor t -» da cheksiz kichik deyiladi, agar a(£) ning t -* to da chegarasi bo'lsa va bu chegara nolga teng bo'lsa: Skayar argumentning vektor funksiyasi. Godografiya. Skalar argumentning vektor funksiyasining chegarasi va uzluksizligi yoki bir xil bo'lgan har qanday e uchun 6 > 0 mavjud bo'lib, shartni qondirish uchun hamma t F uchun |a(£)| misol 1. t -* 0 uchun vektor cheksiz qizil vektor ekanligini ko'rsating. Bizda aniq ko'rinib turibdiki, agar har qanday e 0 uchun biz 6 = ~ ni olamiz, u holda -0| da belgilaymiz |. Ta'rifga ko'ra, bu a(t) t 0 da cheksiz vektor ekanligini bildiradi. r mustaqil yechish uchun 1> masalalar.Vektor modulining chegarasi, agar oxirgi chegara bo'lsa, uning chegarasi moduliga teng ekanligini ko'rsating. mavjud. . r(*) vektor funksiyasi A chegarasiga ega bo‘lishi uchun r(skayar argumentning Vektor funksiyasi ko‘rinishida ifodalanishi mumkinligi zarur va yetarli ekanligini isbotlang. Godograf. A ning vektor funksiyasining chegarasi va uzluksizligi. skalyar argument de a( t) - vektorni t -* t0 uchun cheksiz harakatlantiring 14. a+ b(*) vektor funksiyasi t = t0 uchun uzluksiz. Bundan kelib chiqadimi a(t) va b( vektorlari. J) t - dan ? gacha ham uzluksizdir 15. Agar a( uzluksiz vektor funksiyalar bo‘lsa, ularning skalyar ko‘paytmasi (a(*),b(f)) va vektor ko‘paytmasi |a(f),b(t) ekanligini isbotlang. )] ham uzluksizdir.

2-misol. Misol uchun, uchta o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing f(X,da,z), quyidagi haqiqat jadvaliga ega:

O'zgaruvchan qiymatlar vektorlarining leksikografik tartibi bilan  X n ular o'tkazib yuborilishi mumkin va funktsiya o'zi tomonidan to'liq ko'rsatiladi haqiqat qiymatlari vektori f= (10110110).

Matritsa usuli

Gap shundaki, o'zgaruvchilar juda ko'p  X n ikki qismga bo‘linadi  da m Va  z n–m shunday qilib, vektorning barcha mumkin bo'lgan haqiqat qiymatlari  da m matritsa qatorlari va vektorning barcha mumkin bo'lgan haqiqat qiymatlari bo'ylab chiziladi  z n - m- ustunlar bo'yicha. Funktsiya haqiqat qiymatlari f har bir to'plamda   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n) chiziqning kesishmasidan hosil bo'lgan hujayralarga joylashtiriladi ( 1 , ...,  m) va ustun ( m+ 1 ,...,  n).

Yuqorida muhokama qilingan 2-misolda, o'zgaruvchilarni bo'lishda ( x, y, z) kichik to'plamlarga ( X) va ( y, z) matritsa quyidagi shaklni oladi:

	y,z

Matritsa usulining muhim xususiyati o'zgaruvchilarning to'liq to'plamidir  X n, qo'shni (vertikal va gorizontal) hujayralarga mos keladigan, bir koordinatada farqlanadi.

To'liq ikkilik daraxt yordamida belgilash

Tavsif uchun n- mahalliy funktsiya f( X n) ikkilik daraxtning balandlik xususiyatidan foydalaniladi n, bu undagi har bir marjon cho'qqisi ma'lum vektor qiymatlari to'plamiga birma-bir mos kelishidan iborat.  X n. Shunga ko'ra, bu osilgan cho'qqiga funktsiya ushbu to'plamdagi bir xil haqiqat qiymatini belgilash mumkin f. Misol tariqasida (1.3-rasm) yuqorida muhokama qilingan uchlik funktsiyaning ikkilik daraxti yordamida vazifani taqdim etamiz. f =(10110110).

Daraxtning osilgan uchlariga tayinlangan raqamlarning birinchi qatori to'plamning leksikografik raqamini, ikkinchisi - to'plamning o'zini, uchinchisi - undagi funktsiyaning qiymatini bildiradi.

Foydalanish vazifasin - o'lchov birligi kubiIN n

Ustkilardan beri IN n shuningdek, barcha to'plamlar to'plamiga birma-bir ko'rsatilishi mumkin  X n, Bu n- mahalliy funktsiya f(X n) uning haqiqat qiymatlarini kubning mos keladigan uchlariga belgilash orqali aniqlanishi mumkin IN n . 1.4-rasmda funktsiya sozlamalari ko'rsatilgan f= (10110110) Kubada IN 3. Haqiqat qiymatlari kubning uchlariga tayinlangan.

Ta'rif . Mantiq algebrasi mantiqiy konstantalar va oʻzgaruvchilar toʻplamini ularga kiritilgan mantiqiy bogʻlovchilar bilan birga nomlang.

Formula vazifasi

Mantiqiy algebra funktsiyalari analitik ifodalar sifatida ko'rsatilishi mumkin.

Ta'rif. Mayli X― mantiqiy algebrada qo'llaniladigan o'zgaruvchilar va konstantalar alifbosi, F― barcha elementar funksiyalar uchun belgilar toʻplami va ularning oʻzgaruvchilar soni 2 dan ortiq boʻlgan umumlashtirishlari.

X, F ustidagi formula(mantiqiy algebra formulasi) formaning barcha yozuvlarini chaqiramiz:

A) X, Qayerda X X;

b)  F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 ,F 1 F 2 ,F 1 F 2 , Qayerda F 1 , F 2 - formulalar tugadi X, F;

V) h(F 1 , … ,F n ), Qayerda n > 2, F 1 ,… ,F n- formulalar tugadi X,F, h ― dan umumlashtirilgan chegara funksiyasining belgisi F .

Ta'rifdan kelib chiqadiki, ikki o'rinli elementar funktsiyalar uchun argumentlar orasiga funktsional belgi qo'yiladigan infiks belgisi qo'llaniladi; inkor va umumlashtirilgan funktsiyalar uchun belgining prefiks shakli qo'llaniladi, unda funktsional belgi qo'llaniladi. argumentlar ro'yxatidan oldin qo'yiladi.

3-misol.

1. Ifodalar X(daz); ( x, y, z  u) mantiq algebrasining formulalaridir, chunki ular yuqorida berilgan ta'rifga javob beradi.

2. Ifoda  X (da z) mantiqiy algebra formulasi emas, chunki  amali noto‘g‘ri qo‘llanilgan .

Ta'rif. F formula bo'yicha bajarilgan funktsiya, o'zgaruvchilar qiymatlarini o'rniga qo'yish orqali olingan funksiya F. Uni belgilaylik f(F).

4-misol. Formulani ko'rib chiqing F=xy (Xz). Amalga oshirilgan funktsiyaning haqiqat jadvalini qurish uchun mantiqiy bog'lovchilarning kuchini hisobga olgan holda mantiqiy ko'paytirishni ketma-ket bajarish kerak. xy, keyin ma'no ( Xz), keyin olingan haqiqat qiymatlarini modul 2 qo'shing. Harakatlar natijasi jadvalda ko'rsatilgan:

				X z

Funktsiyalarning formulali ko'rinishi funktsiyalarning ko'p xususiyatlarini apriori baholashga imkon beradi. Formulali vazifadan haqiqat jadvaliga o'tish har doim haqiqat qiymatlarini formulaga kiritilgan elementar funktsiyalarga ketma-ket almashtirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Teskari o'tish noaniq, chunki bir xil funktsiya turli formulalar bilan ifodalanishi mumkin. Bu alohida ko'rib chiqishni talab qiladi.

va uning farqlanishi.

Fazoviy egri chiziqni aniqlashning eng oddiy usullaridan biri vektor tenglamasini belgilashdir:

Qayerda egri nuqtaning radius vektori va - nuqta o'rnini belgilovchi parametr.

Bu. o'zgaruvchan vektor skalyar funksiya mavjud . Matematik analizda bunday funksiyalar skalyar argumentning vektor funksiyalari deb ataladi.

Parchalanish birlik vektorlari yordamida (1) tenglama quyidagi shaklda berilishi mumkin:

Ushbu kengayish egri chiziqning parametrik tenglamasiga o'tish imkonini beradi:

Boshqacha qilib aytganda, vektor funktsiyani ko'rsatish uchta skalyarni ko'rsatishga teng.

Ushbu egri chiziqni aniqlaydigan vektor funksiyasiga (1) nisbatan egri chiziqning o'zi bu funktsiyaning godografi deb ataladi. Koordinatalarning kelib chiqishi bu holda godografning qutbi deb ataladi.

Hozir ruxsat bering
Va
- (1) tenglama bilan aniqlangan egri chiziqning nuqtalari. Bundan tashqari
, A
Bu nuqtalarning radius vektorlari bo'ladi

Va
.

Vektor
vektor funksiyaning o'sishi deb ataladi
, o'sishga mos keladi
uning argumenti va bilan belgilanadi
,

Vektor funksiyasi
uzluksiz funksiya bo‘ladi , Agar

.

ning hosilasini topish uchun
quyidagicha davom etaylik -

.

Endi yo'nalishni belgilaymiz
. Bu aniq bilan mos keladi
va da
bilan bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan
va qachon
- qarama-qarshi yo'nalishda. Lekin birinchi holatda
va ikkinchisida
Bu. vektor har doim sekant godograf bo'ylab yo'naltirilgan
yuqoriga .

Agar biz kengaytirishdan foydalansak Va orts tomonidan, keyin

Bu yerdan (*) ga bo'linadi
va chegaraga borish
Uchun
olamiz

(4) ga asoslanib, quyidagi formulalar to'g'ri ekanligini ko'rsatish mumkin:

(5)

(6)

- skalyar funksiya.

Isbot (7).

Keling, ba'zi xususiyatlarni ko'rib chiqaylik
. Avvalo, uning modulini topamiz:

.

Chunki u holda godograf yoyni to'g'rilanadigan deb hisoblaymiz
- akkord uzunligi, va
- yoy uzunligi. Shunung uchun

Bu. skalyar argumentning vektor funksiyasi hosilasi moduli xuddi shu argumentga nisbatan godograf yoyi hosilasiga teng.

Xulosa 1. Agar - o'sish yo'nalishi bo'yicha godografga tangensial yo'naltirilgan birlik vektor , Bu

Xulosa 2. Agar vektor funksiyaning argumenti sifatida godograf yoyi uzunligi qabul qilinsa. , Bu

(chunki
)

Bu. godograf yoyi uzunligi bo'yicha vektor funksiyasining hosilasi yoy uzunligini oshirishga yo'naltirilgan godografga tangensning birlik vektoriga teng.

Xulosa 3. Agar vektor funksiyaning godografi nuqtaning traektoriyasi sifatida qaralsa va - harakat vaqti sifatida, ma'lum bir vaqtdan boshlab hisoblanadi , Bu
kattaligi va yo'nalishi bo'yicha harakat tezligi vektoriga to'g'ri keladi
.

Aslida, tezlikning skalyar qiymati vaqtga nisbatan yo'l hosilasiga teng:

Bundan tashqari, vektor o'sish yo'nalishiga mos keladigan harakat yo'nalishi bo'yicha traektoriyaga tangensial yo'naltirilgan , ya'ni. yo'nalishiga mos keladi .

Bu.
.

Keling, endi ko'rib chiqaylik
uzunligi doimiy bo'lgan,
, ya'ni.

(*)
Qayerda

Farqlash (*), biz quyidagilarni topamiz:

Bular.

Xususan, birlik yo'nalishi bo'yicha har qanday o'zgaruvchining vektorining hosilasi Har doim
.

Hozir ruxsat bering
nuqtalarga chizilgan birlik sharining radiuslari orasidagi burchak
Va
godograf
. Keyin akkord uzunligi
uchburchakdan
teng bo'ladi

Birlik o'zgaruvchan vektorning hosilasining kattaligi bu vektorning aylanish burchak tezligiga teng.

Skayar funksiyalarga kelsak, vektor funksiyaning differentsiali quyidagicha yoziladi

Lekin shunga qaramay

Fazoviy egri chiziqning egriligi.

Hamrohlik qiluvchi uchburchak.

Xulosa 2 ga ko'ra, uchun formulasini yozishimiz mumkin:

Yo'nalishni o'zgartirish , fazoviy egri chiziqqa tangensning o'zgarishi bilan bog'liq, egri chiziqning egriligini tavsiflaydi. Fazoviy egri chiziqning egriligining o'lchovi sifatida, tekislik egri chizig'ida bo'lgani kabi, qo'shnilik burchagining yoy uzunligiga nisbati chegarasi olinadi, bunda

egrilik,
qo'shnilik burchagi,
yoy uzunligi.

Boshqa tomondan,
birlik vektor va uning hosilaviy vektori unga perpendikulyar va uning moduli
Farqlash tomonidan va kirish
yo'nalishi bilan birlik vektor , topamiz:

Vektor
fazoviy egri chiziqning egrilik vektori. Uning tangens yo'nalishiga perpendikulyar yo'nalishi fazo egri chizig'ining normal yo'nalishidir. Ammo fazoviy egri chiziq istalgan nuqtada cheksiz ko'p normallarga ega bo'lib, ularning barchasi egri chiziqning ma'lum nuqtasidan o'tuvchi va ma'lum nuqtadagi tangensga perpendikulyar bo'lgan tekislikda yotadi. Bu tekislik fazoviy egri chiziqning normal tekisligi deyiladi.

Ta'rif. Egri chiziqning egrilik vektori berilgan nuqtaga yo'naltirilgan egri chiziqning normali fazoviy egri chiziqning asosiy normasi hisoblanadi. Bu.
birlik asosiy normal vektor.

Endi uchinchi birlik vektorini tuzamiz ko'ndalang mahsulotga teng Va

Vektor , shu qatorda; shu bilan birga ham perpendikulyar bular. oddiy tekislikda yotadi. Uning yo'nalishi ma'lum bir nuqtada fazoviy egri chiziqning binormal yo'nalishi deb ataladi. Vektor
Va o'zaro perpendikulyar birlik vektorlari uchligini tashkil qiladi, ularning yo'nalishi nuqtaning fazoviy egri chiziqdagi holatiga bog'liq va nuqtadan nuqtaga o'zgaradi. Bu vektorlar deb atalmishni hosil qiladi. fazoviy egri chiziqning hamroh trihedri (Frenet trihedron). Vektor
Va birlik vektorlari kabi to'g'ri uchlikni hosil qiladi
to'g'ri koordinatalar tizimida.

Juftlikda olingan
egri chiziqning bir xil nuqtasidan o'tuvchi va unga hamroh bo'lgan uchburchakning yuzlarini tashkil etuvchi uchta tekislikni aniqlang. Qayerda Va tebranuvchi tekislikni aniqlang (ma'lum bir nuqtaga yaqin joylashgan egri chiziqning yoyi yuqori tartibli aniqlikdagi tebranuvchi tekislikdagi tekislik egri yoyidir);

Va - tekislash tekisligi;

Va - oddiy samolyot.

Tangens, normal va binormal tenglamalar.

Hamrohlik qiluvchi uchburchak tekisliklarining tenglamalari.

Bilish
Va , yoki har qanday birlik bo'lmagan vektorlar ularga mos keladi T, N Va B Keling, ushbu bo'limda keltirilgan tenglamalarni chiqaramiz.

Buning uchun to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasida

va berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasida

uchun olish
egri chiziqda tanlangan nuqtaning koordinatalari, uchun
yoki mos ravishda uchun
vektorlarning koordinatalarini oling
yoki
, bu kerakli chiziqning yo'nalishini yoki kerakli tekislikka normalni belgilaydi:

yoki - tangens yoki oddiy tekislik uchun,

yoki - asosiy normal va tekislash tekisligi uchun,

yoki - binormal va oskulyar tekislik uchun.

Agar egri chiziq vektor tenglamasi bilan berilgan bo'lsa
yoki
keyin vektor uchun
tangensial yo'naltirilgan holda olinishi mumkin

Topmoq
Va avval parchalanishni topamiz
vektorlar bo'yicha
Ilgari (Xulosa 1) biz buni topdik
bo'yicha farqlash , biz olamiz:

Lekin, chunki

Keling, vektoriy ko'paytiraylik Va

(*)

Har bir vektor uchun (*) asosida , binormal yo'nalishga ega bo'lgan holda, biz vektorni olishimiz mumkin

Ammo keyin, uchun
ularning vektor mahsulotini olishimiz mumkin:

Bu. ixtiyoriy egri chiziqning istalgan nuqtasida biz uchburchakning barcha elementlarini aniqlashimiz mumkin.

Misol. Istalgan nuqtada o'ng spiralga teginish, normal va binormal tenglama.

Tangent

Uy normal

Binormal

Depozit fayllaridan yuklab oling

DIFFERENTSIAL GEOMETRIYA

I. SKALAR ARGUMENTNING VEKTOR FUNKSIYASI

Vektor funksiyasi (1.1 ta'rif), uni ko'rsatish usullari.

Radius vektor va godograf, parametrik godograf spetsifikatsiyasi.

Vektor funksiyaning hosilasi (1.6 ta'rif).

Vektor funksiya hosilasining geometrik ma'nosi.

Vektor funksiyalarni differentsiallash qoidalari.

1.1. VEKTOR FUNKSIYALARNING TA'RIFI

Ta'rif 1.1Agar skaler argumentning har bir qiymatimos keladigan vektor
uch o'lchamli bo'shliq R 3 , keyin ular X to'plamda skalyar argumentning vektor funktsiyasi (yoki vektor funktsiyasi) berilganligini aytishadi.t .

Agar kosmosda bo'lsa R 3 Dekart koordinata tizimi aniqlanganHAQIDA xyz , keyin vazifa vektor - funksiya bo'ladi
,
uchta skalyar funksiyani belgilashga tengX( t ), y ( t ), z ( t ) - vektor koordinatalari:

= { x ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

yoki, (1.2)

Qayerda
— koordinata birliklari vektorlari.

1.2. RADIUS VEKTORNING HODOGRAFI OLIB FAZON CHIZIQ

Ta'rif 1.2 Agar barcha vektorlarning boshi bo'lsa,koordinata boshiga joylashtirilsa, ular radius vektorlari deyiladi.

Ta'rif 1.3 Radius vektorlari uchlarining geometrik joylashuvi bo'lgan chiziq , , vektor funksiyaning godografi deb ataladi va ularning umumiy boshlanishi godograf qutbidir.

Agar parametr t vaqt, va harakatlanuvchi nuqtaning radius vektori, u holda funksiyaning godografi harakatlanuvchi nuqtaning traektoriyasidir.

Godograf tenglama vektor (1.2) yoki parametrik shaklda yozilishi mumkin:

(1.3)

Xususan, vektor funktsiyasi bo'lsaargumentning o'zgarishi bilan faqat uning moduli o'zgaradi, lekin yo'nalish o'zgarmaydi (), keyin bunday vektor funktsiyasining godografi koordinatadan kelib chiqadigan to'g'ri chiziqli nur bo'ladi; faqat vektorning yo'nalishi o'zgarsa, lekin uning kattaligi o'zgarishsiz qolsa (
), u holda vektor funksiyasining godografi markazi qutbda va radiusi vektorning doimiy moduliga teng bo'lgan sharda joylashgan egri chiziq bo'ladi.

1-rasm.

1.3. VEKTOR-FUNKSIYALARNING CHEKORI, UZLIKLIGI VA HOSILASI

Ta'rif 1. 4 Vektor vektor funksiyaning chegarasi deyiladida
, Agar

. (1.4)

Ta'rif 1.5 Vektor funksiyasi deyiladi bir nuqtada uzluksizt 0, agar u shu nuqtada vektor funksiyasining qiymatiga teng chegaraga ega bo'lsa:

. (1.5)

Ta'rif 1.6Vektor funksiyaning hosilasi nuqtada t vektor funktsiyaning o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi
da
:

(1.6)

1.4. VEKTOR FUNKSIYANI BIRINCHI HOSILASINING GEOMETRIK VA MEXANIK MA'NOSI.

Skayar argumentning vektor funksiyasining birinchi hosilasining geometrik ma'nosi shundaki, bu hosila godografga tangensial yo'naltirilgan yangi vektordir:
. Keling, ko'rsataylik.

2-rasm

Ko'rib chiqilayotgan vektor funksiyaning godografi istalgan nuqtada tangensga ega bo'lgan uzluksiz chiziq deb faraz qilamiz.

Keling, dalil keltiraylik t o'sish, keyin geometrik nisbat
qandaydir vektor hisoblanadi
, MM sekantida yotgan. Bu vektor aylanib vektorga aylanganda
, tangens ustida yotib, oshirishga qaratilgant . Shunday qilib vektor

(1.7)

ortib borayotgan parametr yo'nalishiga yo'naltirilgan birlik tangens vektori bo'ladit .

Shuning uchun vektor
nuqtadagi egri chiziqqa teguvchi yo'nalish vektori sifatida qabul qilinishi mumkin ), (yoki
) va tangens tenglamani quyidagi shaklda yozing:

(1.8)

Agar t – vaqt, va — nuqtaning radius vektori
, uch o'lchamli kosmosda harakatlanuvchi, keyin taxminanmunosabat segmentdagi nuqtaning o'rtacha tezligi deb ataladi [t; t+t].

Mexanik tuyg'uvektor funksiyaning birinchi hosilasi shuki, bu hosila M nuqtaning momentdagi tezligini ifodalaydit :

Vektor funksiyalarni differentsiallash qoidalari

1-qoidani vektorlarni ayirish va vektorni songa bo'lish qoidalaridan foydalanib isbotlaymiz:

Qolgan qoidalarning isboti 1-qoidaga va vektorlar bilan ishlash qoidalariga asoslanadi.

1.1-misol: vektor funksiya berilgan.Uning godografini tuzing va ixtiyoriy nuqtadagi tangensi uchun tenglama tuzing.

Yechim. Har qanday nuqta uchun ( x , y , z ) godograf vektor - bizda mavjud funktsiyalar:x = aost ; y = asint ; z = bt va shuning uchun har qanday uchun
tenglik amal qiladix 2 + y 2 = a 2 , va generatrix o'qga parallel Oz. Agar parametr t vaqt sifatida talqin qilinadi, so'ngra aylana bo'ylab bir tekis harakat bilan radius vektorining uchining tekislikka proyeksiyasi.Oksi uning o'qga proyeksiyasiOz tezlikda bir tekis va to'g'ri chiziqli harakat qiladib . Boshqacha qilib aytganda, vektor funktsiyaning godograf nuqtasining ilovasi uning proyeksiyasining tekislikka burilish burchagiga mutanosib ravishda o'sadi.Oksi . Shuning uchun kerakli godograf 3-rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'ladi va u spiral chiziq deb ataladi. Godografga (spiral chiziq) tegishlarni topish uchun vektor funksiyaning hosilasini topamiz.

Yechim. Chunki, keyin