Pifagor teoremasining tarixi. Teoremaning isboti

Maktab o‘quv dasturida o‘rganilayotgan Pifagor teoremasining tarixi bilan qiziquvchilarni 1940 yilda oddiy ko‘rinadigan bu teoremaning uch yuz yetmishta isboti bilan kitobning nashr etilishi kabi fakt ham qiziqtiradi. Ammo u turli davrlardagi ko'plab matematik va faylasuflarning ongini qiziqtirdi. Ginnesning rekordlar kitobida u maksimal isbotlar soniga ega teorema sifatida qayd etilgan.

Pifagor teoremasining tarixi

Pifagor nomi bilan bog'liq bo'lgan teorema buyuk faylasuf tug'ilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan. Shunday qilib, Misrda inshootlarni qurishda besh ming yil oldin to'g'ri burchakli uchburchakning nisbati hisobga olingan. Bobil matnlarida Pifagor tug'ilishidan 1200 yil oldin to'g'ri burchakli uchburchakning bir xil nisbati qayd etilgan.

Savol tug'iladi, unda nega tarix Pifagor teoremasining kelib chiqishi unga tegishli deb aytadi? Faqat bitta javob bo'lishi mumkin - u uchburchakda tomonlar nisbatini isbotladi. U tajriba bilan o'rnatilgan nisbat va gipotenuzani oddiygina ishlatganlar bir necha asr oldin qilmagan ishni qildi.

Pifagor hayotidan

Bo'lajak buyuk olim, matematik, faylasuf miloddan avvalgi 570 yilda Samos orolida tug'ilgan. Tarixiy hujjatlarda qimmatbaho tosh o'ymakorligi bo'lgan Pifagorning otasi haqida ma'lumotlar saqlanib qolgan, ammo uning onasi haqida hech qanday ma'lumot yo'q. Tug'ilgan bola haqida ular bolaligidan musiqa va she'riyatga ishtiyoqini namoyon etgan g'ayrioddiy bola ekanligini aytishdi. Tarixchilar orasida yosh Pifagorlarning o'qituvchilari sifatida Germodamas va Siroslik Feresidlar bor. Birinchisi bolani muzalar olamiga kiritdi, ikkinchisi faylasuf va italyan falsafa maktabining asoschisi bo'lib, yigitning nigohini logotipga qaratdi.

Pifagor 22 yoshida (miloddan avvalgi 548 yil) Misrliklarning tili va dinini oʻrganish uchun Navkratisga boradi. Keyinchalik, uning yo'li Memfisda bo'lib, u erda ruhoniylar tufayli, ularning ajoyib sinovlaridan o'tib, u Misr geometriyasini tushundi, bu, ehtimol, qiziquvchan yigitni Pifagor teoremasini isbotlashga undadi. Keyinchalik tarix bu nomni teoremaga beradi.

Bobil shohining asirligi

Pifagor Hellasga uyiga ketayotib, Bobil shohi tomonidan qo'lga olinadi. Ammo asirlikda bo'lish intiluvchan matematikning qiziquvchan ongiga foyda keltirdi, u ko'p narsalarni o'rganishi kerak edi. Darhaqiqat, o'sha yillarda Bobilda matematika Misrga qaraganda ancha rivojlangan edi. U o'n ikki yil davomida matematika, geometriya va sehrni o'rgandi. Va, ehtimol, uchburchak tomonlari nisbati va teoremaning ochilish tarixini isbotlashda Bobil geometriyasi ishtirok etgan. Buning uchun Pifagorda yetarli bilim va vaqt bor edi. Ammo bu Bobilda sodir bo'lganligini hujjatli tasdiqlash yoki rad etish yo'q.

Miloddan avvalgi 530 yilda. Pifagor asirlikdan o'z vataniga qochib ketadi va u erda zolim Polikrat saroyida yarim qul maqomida yashaydi. Pifagor bunday hayotdan qoniqmaydi va u Samos g'orlariga nafaqaga chiqadi va keyin o'sha paytda Kroton yunon koloniyasi joylashgan Italiyaning janubiga boradi.

Yashirin monastir tartibi

Bu mustamlaka negizida Pifagor bir vaqtning o'zida diniy ittifoq va ilmiy jamiyat bo'lgan yashirin monastir ordeni tashkil qilgan. Bu jamiyatning o'ziga xos turmush tarzini kuzatish to'g'risida gapiradigan o'z ustavi bor edi.

Pifagor Xudoni tushunish uchun inson algebra va geometriya kabi fanlarni bilishi, astronomiyani bilishi va musiqani tushunishi kerak, deb ta'kidlagan. Tadqiqot ishi raqamlar va falsafaning mistik tomonlarini bilishga olib keldi. Shuni ta'kidlash kerakki, o'sha paytda Pifagor tomonidan targ'ib qilingan tamoyillar hozirgi vaqtda taqlid qilishda ma'noga ega.

Pifagor shogirdlari tomonidan qilingan ko'plab kashfiyotlar unga tegishli edi. Biroq, qisqacha aytganda, o'sha davrning qadimgi tarixchilari va biograflari tomonidan Pifagor teoremasini yaratish tarixi bevosita ushbu faylasuf, mutafakkir va matematik nomi bilan bog'liq.

Pifagor ta'limotlari

Ehtimol, teorema va Pifagor nomi o'rtasidagi bog'liqlik g'oyasiga buyuk yunonning hayotimizdagi barcha hodisalar oyoqlari va gipotenuzasi bilan mashhur uchburchakda shifrlanganligi haqidagi bayonoti sabab bo'lgan. Va bu uchburchak barcha paydo bo'lgan muammolarni hal qilish uchun "kalit" dir. Buyuk faylasuf aytdiki, siz uchburchakni ko'rishingiz kerak, shunda muammoning uchdan ikki qismi hal qilingan deb hisoblashingiz mumkin.

Pifagor o'z ta'limoti haqida faqat o'z shogirdlariga og'zaki, hech qanday qayd qilmasdan, sir saqlagan holda gapirgan. Afsuski, eng buyuk faylasufning ta'limoti bugungi kungacha saqlanib qolgani yo'q. Undan bir narsa sizib chiqdi, ammo ma'lum bo'lgan narsaning qanchalik haqiqat va qanchalik yolg'on ekanligini aytish mumkin emas. Pifagor teoremasining tarixi bilan ham hamma narsa aniq emas. Matematika tarixchilari Pifagorning muallifligiga shubha qilishadi, ularning fikriga ko'ra, teorema uning tug'ilishidan ko'p asrlar oldin ishlatilgan.

Pifagor teoremasi

Bu g'alati tuyulishi mumkin, ammo Pifagorning o'zi tomonidan teoremani tasdiqlovchi tarixiy faktlar yo'q - arxivlarda ham, boshqa manbalarda ham yo'q. Zamonaviy versiyada u Evklidning o'zidan boshqa hech kimga tegishli emas deb ishoniladi.

Miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklar tomonidan yozilgan Berlin muzeyida saqlanadigan papirusda kashf etgan eng buyuk matematika tarixchilaridan biri Morits Kantorning dalillari mavjud. e. tenglik, o'qiydi: 3² + 4² = 5².

Pifagor teoremasining qisqacha tarixi

Evklidning "Prinsiplari" teoremasining formulasi tarjimada zamonaviy talqindagi kabi eshitiladi. Uning o'qishida hech qanday yangilik yo'q: to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning kvadrati to'g'ri burchakka ulashgan tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng. Hindiston va Xitoyning qadimgi sivilizatsiyalari teoremadan foydalanganligi "Chjou - bi suan jin" risolasi bilan tasdiqlangan. Unda Misr uchburchagi haqidagi ma'lumotlar mavjud bo'lib, u tomonlar nisbatini 3:4:5 deb ta'riflaydi.

Yana bir xitoy matematik kitobi "Chu Pei" ham qiziqroq bo'lib, unda Pifagor uchburchagi ham Basharaning hind geometriyasi chizmalariga to'g'ri keladigan tushuntirishlar va chizmalar bilan to'g'ri keladi. Uchburchakning o'zi haqida kitobda aytilishicha, agar to'g'ri burchakni uning tarkibiy qismlariga ajratish mumkin bo'lsa, u holda tomonlarning uchlarini bog'laydigan chiziq beshga teng bo'ladi, agar poydevor uchga va balandligi to'rtga teng bo'lsa. .

Miloddan avvalgi 7-5-asrlarga oid hind risolasi "Sulva Sutra". e., Misr uchburchagi yordamida to'g'ri burchakni qurish haqida gapiradi.

Teoremaning isboti

O'rta asrlarda talabalar teoremani isbotlashni juda qiyin deb hisoblashgan. Zaif o‘quvchilar isbotning ma’nosini tushunmay, teoremalarni yoddan o‘rgandilar. Shu munosabat bilan ular "eshaklar" laqabini oldilar, chunki Pifagor teoremasi ular uchun eshak uchun ko'prik kabi engib bo'lmas to'siq edi. O'rta asrlarda talabalar ushbu teorema mavzusiga oid hazil-mutoyiba oyatlarini o'ylab topishdi.

Pifagor teoremasini eng oson yo'l bilan isbotlash uchun, isbotda maydonlar tushunchasidan foydalanmasdan, shunchaki uning tomonlarini o'lchash kerak. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning uzunligi c, va unga qo'shni a va b, natijada biz tenglamani olamiz: a 2 + b 2 = c 2. Ushbu bayonot, yuqorida aytib o'tilganidek, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash orqali tasdiqlanadi.

Agar biz teoremani isbotlashni uchburchakning yon tomonlarida qurilgan to'rtburchaklar maydonini hisobga olgan holda boshlasak, butun shaklning maydonini aniqlashimiz mumkin. Bu tomoni (a+b) bo'lgan kvadratning maydoniga, boshqa tomondan, to'rtta uchburchak va ichki kvadrat maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.

Pifagor teoremasining amaliy ahamiyati shundan iboratki, uning yordamida segmentlarning uzunliklarini o‘lchamasdan topish mumkin. Tuzilmalarni qurishda masofalar, tayanchlar va nurlarni joylashtirish hisoblab chiqiladi, tortishish markazlari aniqlanadi. Pifagor teoremasi barcha zamonaviy texnologiyalarda ham qo'llaniladi. Ular 3D-6D o'lchamdagi filmlarni yaratishda teoremani unutmadilar, bu erda biz o'rganib qolgan uchta o'lchovdan tashqari: balandlik, uzunlik, kenglik, vaqt, hid va ta'm hisobga olinadi. Ta'm va hidlar teorema bilan qanday bog'liq, deb so'rayapsizmi? Hammasi juda oddiy - filmni ko'rsatayotganda, auditoriyaga qayerda va qanday hid va ta'mni yo'naltirish kerakligini hisoblashingiz kerak.

Bu faqat boshlanishi. Yangi texnologiyalarni kashf qilish va yaratish uchun cheksiz imkoniyatlar qiziquvchan aqllarni kutmoqda.

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim va fan vazirligi

Munitsipal ta'lim muassasasi

Leboterskiy asosiy o'rta maktabi

Tomsk viloyati, Chainskiy tumani

ANTRACT

ushbu mavzu bo'yicha: Pifagor va uning teoremasi

Bajarildi:

8-sinf o'quvchilari

Pchelkina Irina

Makarova Nadejda

Nazoratchi:

Stasenko V.K.,

matematika o'qituvchisi

Kirish……………………………………………………………………………………………….. 3

1. Pifagor tarjimai holidan…………………………………………………………………..3

2. Pifagor va pifagorchilar……………………………………………………………………. …4

3. Teoremaning yaratilish tarixidan…………………………………………….. ..5

4. Teoremaning oltita isboti………………………………………….6.

4.1. Qadimgi Xitoy dalillari………………………………… 6

4.2. J.Gardfildning isboti ………………………………… 7.

4.3 Eng qadimgi dalil .....................................................

4.4. Eng oddiy dalil…………………………………………… 9

4.5 Qadimgilarning isboti………………………………10

4.6. Evklid isboti………………………………………..11.

5. Pifagor teoremasining qo‘llanilishi ………………………………………………………… 12

5.1. Nazariy masalalar……………………………………………..13

5.2. Amaliy masalalar (eski) ………………………………… 14

Xulosa…………………………………………………………………………………15

Adabiyotlar………………………………………………………… 16

KIRISH

Bu o'quv yilida biz qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lgan qiziqarli teorema bilan tanishdik:

"To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yig'indisiga teng."

Ushbu bayonotning kashfiyoti odatda qadimgi yunon faylasufi va matematigi Pifagorga (miloddan avvalgi 6-asr) tegishli. Ammo qadimgi qo'lyozmalarni o'rganish shuni ko'rsatdiki, bu bayonot Pifagor tug'ilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan.

Nima uchun bu holatda u Pifagor nomi bilan bog'liq ekanligiga qiziqdik.

Tadqiqotimizning maqsadi Pifagor kimligini va uning bu teorema bilan qanday aloqasi borligini aniqlash edi. Teorema tarixini o'rganib, biz quyidagilarni aniqlashga qaror qildik:

o Bu teoremaning boshqa isbotlari bormi?

o Bu teoremaning odamlar hayotida qanday ahamiyati bor?

o Matematika rivojlanishida Pifagor qanday rol o'ynadi?

1. Pifagorning tarjimai holidan

Samoslik Pifagor - buyuk yunon olimi. Uning ismi har bir maktab o'quvchisiga tanish. Agar sizdan bitta qadimgi matematik nomini so'rashsa, ko'pchilik Pifagorni ismini aytadi. Uning shuhrati Pifagor teoremasi nomi bilan bog'liq. Bu teorema qadimgi Bobilda Pifagordan 1200 yil avval, undan 2000 yil oldin Misrda tomonlari 3, 4, 5 boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak maʼlum boʻlganligini hozir bilsak ham, biz uni hozirgacha ushbu qadimgi olim nomi bilan atayapmiz.

Pifagorning hayoti haqida deyarli hech narsa ma'lum emas, lekin ko'plab afsonalar uning nomi bilan bog'liq.

Pifagor miloddan avvalgi 570 yilda tug'ilgan. e Samos orolida. Pifagorning otasi qimmatbaho toshlarni kesuvchi Mnesarx edi. Mnesarx, Apuleyning so'zlariga ko'ra, "hunarmandlar orasida qimmatbaho toshlarni kesish san'ati bilan mashhur edi", lekin boylikdan ko'ra shuhrat qozondi. Pifagorning onasining ismi saqlanmagan.

Pifagor chiroyli ko'rinishga ega edi, uzun soqolli va boshida oltin diadema bor edi. Pifagor - bu ism emas, balki faylasuf yunon orakuli kabi doimo to'g'ri va ishonchli gapirgani uchun olgan taxallusdir. (Pifagor - "nutq bilan ishontiruvchi".)

Yosh Pifagorlarning o'qituvchilari orasida oqsoqol Germodamantus va Siroslik Feresidlar ham bor edi (garchi Pifagorning birinchi o'qituvchilari Germodamant va Feresidlar ekanligiga qat'iy ishonch yo'q). Yosh Pifagor kun bo'yi oqsoqol Germodamantning oyoqlari ostida sitara ohangini va Gomerning heksametrlarini tinglab o'tkazdi. Pifagor butun umri davomida buyuk Gomer musiqasi va she'riyatiga bo'lgan ishtiyoqini saqlab qoldi. Va tan olingan donishmand bo'lib, ko'plab shogirdlar bilan o'ralgan Pifagor kunni Gomerning qo'shiqlaridan birini kuylashdan boshladi.

Ferasid faylasuf boʻlib, italyan falsafa maktabining asoschisi hisoblangan. Shunday qilib, agar Hermodamant yosh Pifagorni muzalar doirasiga kiritgan bo'lsa, Feresid o'z fikrini logotipga aylantirdi. Fertsid Pifagorning nigohini tabiatga qaratdi va unga tabiatdagi birinchi va asosiy ustozini ko'rishni maslahat berdi.

Qanday bo'lmasin, yosh Pifagorning notinch tasavvurlari juda tez orada kichkina Samosda tor bo'lib qoldi va u Miletga yo'l oldi va u erda boshqa olim - Thales bilan uchrashdi. Thales unga Pifagor qilgan bilim uchun Misrga borishni maslahat berdi.

Miloddan avvalgi 550 yilda. e Pifagor qaror qabul qiladi va Misrga ketadi. Shunday qilib, Pifagor oldida noma'lum mamlakat va noma'lum madaniyat ochiladi. Bu mamlakatda Pifagorni ko'p hayratda qoldirdi va hayratda qoldirdi va misrliklar hayotini ba'zi kuzatishlardan so'ng, Pifagor ruhoniylar tabaqasi tomonidan himoyalangan bilimga yo'l din orqali ekanligini tushundi.

Misrlik bolalar bilan birga u, qora jingalak soqolli etuk Ellin, ohaktosh plitalariga o'tirdi. Ammo kichikroq o'rtoqlaridan farqli o'laroq, soqolli Ellinning quloqlari uning orqa tomonida emas edi va boshi tik turdi. Tez orada Pifagor sinfdoshlarini ortda qoldirdi. Ammo ulamolar maktabi yashirin ilm yo'lidagi birinchi qadam edi.

Misrda o'n bir yillik o'qishdan so'ng, Pifagor o'z vataniga boradi va u erda yo'lda Bobil asirligida qoladi. U yerda Misrdan ko'ra rivojlangan Bobil ilmi bilan tanishadi. Bobilliklar chiziqli, kvadrat va ayrim turdagi kubik tenglamalarni yecha olganlar. Ular Pifagor teoremasini Pifagordan 1000 yil oldin muvaffaqiyatli qo'llashgan. Asirlikdan qutulib, u yerda hukm surgan zo‘ravonlik va zulm muhiti tufayli vatanida uzoq qola olmadi. U Krotonga (Italiya shimolidagi yunon mustamlakasi) ko'chib o'tishga qaror qildi.

Krotonda Pifagor hayotidagi eng shonli davr boshlandi. U erda u diniy-axloqiy birodarlik yoki yashirin monastir tartibini o'rnatdi, uning a'zolari Pifagorcha hayot tarzini olib borishlari shart edi.

2. Pifagor va pifagorchilar

Pifagorlar Apennin yarim orolining janubidagi yunon koloniyasida diniy va axloqiy birodarlikni, masalan, keyinchalik Pifagor ittifoqi deb ataladigan monastir ordeni tashkil qildi. Ittifoq a'zolari ma'lum tamoyillarga amal qilishlari kerak edi: birinchidan, go'zal va ulug'vorlikka intilish, ikkinchidan, foydali bo'lish, uchinchidan, yuqori zavq olishga intilish.

Pifagor o'z shogirdlariga vasiyat qilgan axloqiy va axloqiy qoidalar tizimi Pifagorchilarning o'ziga xos axloq kodeksiga to'plangan "Oltin"

she'rlar" antik davr, o'rta asrlar va Uyg'onish davrida juda mashhur bo'lgan. Pifagor sinflari tizimi uchta bo'limdan iborat edi:

· raqamlarni o'rgatish - arifmetika,

· raqamlarni o'rgatish - geometriya;

· Olam tuzilishi haqidagi ta’limotlar – astronomiya.

Pifagor asos solgan ta'lim tizimi ko'p asrlar davom etdi.

Pifagorchilar Xudo raqamlarni dunyo tartibining asosiga qo'ygan deb o'rgatishgan. Xudo birlikdir, dunyo esa ko'plikdir va qarama-qarshiliklardan iborat. Qarama-qarshiliklarni birlikka olib keladigan va hamma narsani koinotga bog'laydigan narsa uyg'unlikdir. Uyg'unlik ilohiydir va sonli ifodalarda yotadi. Kimki uyg'unlikni oxirigacha o'rgansa, o'zi ilohiy va o'lmas bo'ladi.

Pifagorchilarning ta'limotida musiqa, uyg'unlik va raqamlar chambarchas bog'liq edi. Unda matematika va raqamli tasavvuf hayoliy aralashdi. Pifagorlar son hamma narsaning mohiyati va koinot raqamlar va ularning munosabatlarining uyg'un tizimi ekanligiga ishongan.

Pifagor maktabi geometriyaga fan xarakterini berish uchun ko'p ish qildi. Pifagor usulining asosiy xususiyati geometriyani arifmetika bilan birlashtirish edi.

Pifagor mutanosibliklar va progressiyalar va, ehtimol, raqamlarning o'xshashligi bilan ko'p shug'ullangan, chunki u muammoni hal qilishda ishtirok etgan: “Ikki raqamni hisobga olib, uchinchisini tuzing, hajmi bo'yicha ma'lumotlardan biriga teng va ikkinchisiga o'xshash. ”

Pifagor va uning shogirdlari ko'pburchak, do'stona, mukammal sonlar tushunchasini kiritdilar va ularning xususiyatlarini o'rgandilar. Pifagor hisob amaliyoti sifatida arifmetikaga qiziqmasdi va u "arifmetikani savdogarning manfaatlaridan ustun qo'yishini" g'urur bilan e'lon qildi.

Pifagor birinchilardan bo'lib Yer sharsimon shaklga ega ekanligiga va Olamning markazi ekanligiga, Quyosh, Oy va sayyoralar o'zgarmas yulduzlarning kundalik harakatidan farq qiladigan o'z harakati borligiga ishongan.

Nikolay Kopernik Pifagorchilarning Yer harakati haqidagi ta'limotini o'zining geliotsentrik ta'limotining tarixdan oldingi davri sifatida qabul qildi. Jamoat Kopernik tizimini "soxta Pifagor ta'limoti" deb e'lon qilgani ajablanarli emas.

Pifagor maktabida o'quvchilarning kashfiyotlari o'qituvchiga tegishli edi, shuning uchun Pifagorning o'zi nima qilganini va uning shogirdlari nima qilganini aniqlash deyarli mumkin emas.

Uchinchi ming yillikdan beri Pifagor Ittifoqi atrofida bahslar davom etmoqda, ammo hali ham umumiy konsensus yo'q. Pifagorchilar ko'plab ramzlar va belgilarga ega bo'lib, ular amrlarning bir turi edi: masalan, "tarozidan o'tmang", ya'ni. adolatni buzmaslik; "Olovni pichoq bilan qo'zg'atmang", ya'ni g'azablangan odamlarni haqoratli so'zlar bilan xafa qilmang.

Lekin asosiy Pifagor ramzi hisoblanadi

salomatlik belgisi va identifikatsiya belgisi -

pentagram yoki Pifagor yulduzi edi -

diagonallardan tashkil topgan yulduz beshburchak

oddiy beshburchak.

Pifagor ligasi a'zolari Yunonistonning ko'plab shaharlarining aholisi edi.

Pifagorchilar ham ayollarni o'z jamiyatiga qabul qildilar. Uyushma yigirma yildan ortiq gullab-yashnadi, keyin uning a'zolarini ta'qib qilish boshlandi, ko'plab talabalar o'ldirildi.

Pifagorning o'limi haqida turli xil afsonalar mavjud edi. Ammo Pifagor va uning shogirdlarining ta'limoti yashashda davom etdi.

3. Pifagor teoremasi tarixidan

Endi bu teoremani Pifagor kashf qilmagani ma'lum. Biroq, ba'zilar birinchi bo'lib Pifagorning to'liq isbotini bergan deb hisoblashadi, boshqalari esa bu xizmatni inkor etadilar. Ba'zilar Evklid o'zining "Elementlar" ning birinchi kitobida keltirgan dalilni Pifagorga tegishli. Boshqa tomondan, Prokl Elementlardagi dalil Evklidning o'ziga tegishli ekanligini ta'kidlaydi.

Ko'rib turganimizdek, matematika tarixida Pifagorning hayoti va uning matematik faoliyati haqida ishonchli aniq ma'lumotlar deyarli saqlanib qolmagan. Ammo afsona bizga teoremaning ochilishi bilan bog'liq bevosita vaziyatlarni ham aytib beradi. Ko'pchilik nemis yozuvchisi Chamissoning sonetini biladi:

Biz Pifagor teoremasining tarixiy sharhini shu bilan boshlaymiz qadimgi Xitoy. Bu erda Chu-pei matematik kitobi alohida e'tiborni tortadi. Ushbu asar 3, 4 va 5 tomonlari bo'lgan Pifagor uchburchagi haqida gapiradi:

"Agar to'g'ri burchak uning tarkibiy qismlariga ajralsa, uning tomonlari uchlarini bog'laydigan chiziq 5 ga teng bo'ladi, poydevori 3 va balandligi 4 bo'lsa." .

Ularning qurilish usulini takrorlash juda oson. Keling, 12 m uzunlikdagi arqonni olib, unga 3 m masofada rangli chiziqni bog'laymiz. bir chetidan, ikkinchisidan 4 metr.

To'g'ri burchak 3 va 4 metr uzunlikdagi tomonlar orasiga o'ralgan bo'ladi. Xuddi shu kitobda Basharaning hind geometriyasining chizmalaridan biriga to'g'ri keladigan rasm taklif qilingan.

Kantor(eng yirik nemis matematika tarixchisi) 3² + 4² = 5² tengligi miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklarga ma'lum bo'lgan deb hisoblaydi. e., qirol Amenemhat I davrida (Berlin muzeyining 6619-papirusiga ko'ra).

Kantorning fikricha, arpedonaptlar yoki “arqon tortuvchilar” tomonlari 3, 4 va 5 boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchaklar yordamida toʻgʻri burchaklar yasagan.

Bobilliklar Pifagor teoremasi haqida biroz ko'proq bilishgan. Hammurapi davriga oid bir matnda, ya'ni. miloddan avvalgi 2000 yilga kelib, to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasining taxminiy hisobi berilgan; bundan xulosa qilishimiz mumkinki, Mesopotamiyada ular hech bo'lmaganda ba'zi hollarda to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan hisob-kitoblarni amalga oshirishga muvaffaq bo'lishgan.

Hindu geometriyasi kult bilan chambarchas bog'liq edi. Gipotenuza teoremasining kvadrati Hindistonda miloddan avvalgi 8-asrda ma'lum bo'lgan bo'lishi mumkin. Sof marosim retseptlari bilan bir qatorda, Sulvasutralar deb ataladigan geometrik teologik tabiatga ega asarlar ham mavjud. Miloddan avvalgi 4-5-asrlarga oid bu yozuvlarda tomonlari 15, 36, 39 boʻlgan uchburchak yordamida toʻgʻri burchak yasashga duch kelamiz.

O'rta asrlarda Pifagor teoremasi imkon qadar katta bo'lmasa, hech bo'lmaganda yaxshi matematik bilimlarning chegarasini aniqladi. Bugungi kunda maktab o'quvchilari tomonidan ba'zan o'zgartiriladigan Pifagor teoremasining xarakterli chizmasi, masalan, xalat kiygan professor yoki shlyapa kiygan odam, o'sha kunlarda ko'pincha matematikaning ramzi sifatida ishlatilgan.

Xulosa qilib aytganda, biz yunon, lotin va nemis tillaridan tarjima qilingan Pifagor teoremasining turli formulalarini taqdim etamiz.

Evklid Bu teorema (so'zma-so'z tarjimasi):

"To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakni o'z ichiga olgan tomonning kvadrati to'g'ri burchakni o'rab turgan tomonlarning kvadratlariga tengdir."

Arab matnining lotincha tarjimasi Annaricia(miloddan avvalgi 900-yillar), Gerxard tomonidan yaratilgan Cremona(12-asr) o'qiydi (tarjima qilingan):

"Har bir to'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakni o'rab turgan tomonda hosil bo'lgan kvadrat to'g'ri burchakni o'rab turgan ikki tomonda hosil bo'lgan ikkita kvadrat yig'indisiga teng."

Culmonensis geometriyasida (taxminan 1400) teorema quyidagicha o'qiladi (tarjimada):

“Shunday qilib, kvadratning uzunligi bo'ylab o'lchanadigan maydoni, uning ikki tomoni bo'ylab to'g'ri burchakka tutashgan holda o'lchanadigan ikkita kvadratning maydoni kabi kattadir.

Evklidning "Prinsiplari" ruscha tarjimasida Pifagor teoremasi quyidagicha ifodalangan:

"To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning kvadrati to'g'ri burchakni o'z ichiga olgan tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng."

Ko'rib turganingizdek, turli mamlakatlarda va turli tillarda bizga tanish bo'lgan teoremani shakllantirishning turli xil versiyalari mavjud. Turli vaqtlarda va turli tillarda yaratilgan ular bitta matematik qonunning mohiyatini aks ettiradi, uning isboti ham bir nechta variantlarga ega.

4. Pifagor teoremasini isbotlashning oltita usuli

4.1. Qadimgi Xitoy dalillari

Qadimgi Xitoy rasmida oyoqlari bo'lgan to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchak ko'rsatilgan a , b va gipotenuza Bilan Ularning tashqi konturi yon tomoni bilan kvadrat hosil qiladigan tarzda yotqizilgan a + b, ichki qismi esa yon tomoni bo'lgan kvadratdir Bilan, gipotenuzaga qurilgan

a 2 + 2ab +b 2 = c 2 + 2ab

a 2 + b 2 = c 2

4.2. J. Xardfildning isboti (1882)

Ikkita teng to‘g‘ri burchakli uchburchakni shunday joylashtiramizki, ulardan birining oyog‘i ikkinchisining davomi bo‘lsin.

Ko'rib chiqilayotgan trapezoidning maydoni asoslar va balandlikning yarmi yig'indisining ko'paytmasi sifatida topiladi.

Boshqa tomondan, trapezoidning maydoni hosil bo'lgan uchburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng:

Ushbu iboralarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

yoki 2 = bilan a 2 + b 2

4.3. Eng qadimgi dalil

(Bhaskara asarlaridan birida mavjud).

ABCD tomoni ABE to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga teng bo'lgan kvadrat bo'lsin (AB = c, BE = a,

CK BE = a, DL CK, AM DL bo'lsin

DABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

KL = LM = ME = EK = a-b degan ma'noni anglatadi.

4.4. Buning isboti oddiy

4.5. Qadimgi hindlarning isboti [ 2]

Yon tomoni (a+b) bo'lgan kvadratni a) rasmdagi kabi yoki b) rasmdagi kabi qismlarga bo'lish mumkin. Bu qismlar aniq 1,2,3,4 ikkala rasmda ham bir xil. Va agar teng (maydonlar) dan tenglar ayirilsa, tenglar qoladi, ya'ni. c 2 = a 2 + b 2 .

Biroq, bu fikrga tegishli bo'lgan qadimgi hindular odatda buni yozmaganlar, faqat bitta so'z bilan birga kelganlar:

Qarang!

4.6. Evklidning isboti

Ikki ming yil davomida Pifagor teoremasining eng keng tarqalgan isboti Evklidning isboti edi. Bu uning mashhur "Principles" kitobida joylashgan.

Evklid BN balandligini to'g'ri burchak cho'qqisidan gipotenuzaga tushirdi va uning davomi gipotenuzada tugallangan kvadratni ikkita to'rtburchakga bo'lishini isbotladi, ularning maydonlari yon tomonlarida qurilgan tegishli kvadratlarning maydonlariga teng.

Ushbu teoremani isbotlash uchun chizilgan rasm hazil bilan "Pifagor shimi" deb ataladi. Uzoq vaqt davomida u matematika fanining ramzlaridan biri hisoblangan.

O'rta asrlar talabalari Pifagor teoremasining isbotini juda qiyin deb bilishgan va uni Dons asinorum - eshak ko'prigi yoki elefuga - "kambag'allarning parvozi" deb atashgan, chunki jiddiy matematik tayyorgarlikka ega bo'lmagan ba'zi "kambag'al" talabalar geometriyadan qochishgan. Teoremalarni tushunmasdan yod olgan, shuning uchun ham “eshaklar” laqabini olgan zaif o‘quvchilar Pifagor teoremasini yengib o‘ta olmadilar, bu esa ular uchun yengib bo‘lmas ko‘prik bo‘lib xizmat qildi. Pifagor teoremasiga hamroh boʻlgan chizmalar tufayli talabalar uni “shamol tegirmoni” deb ham atagan, “Pifagor shimi har tomondan teng” kabi sheʼrlar yozgan va multfilmlar chizgan.

5. Pifagor teoremasining qo‘llanilishi.

5.1. Nazariy va zamonaviy muammolar

1. Rombning perimetri 68 sm, diagonallaridan biri 30 sm.Rombning ikkinchi diagonalining uzunligini toping.

2. KMR to‘g‘ri burchakli uchburchakning KR gipotenuzasi sm ga, MR oyog‘i esa 4 sm ga teng RS medianasini toping.

3. To'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlarida kvadratlar qurilgan va

S 1 -S 2 =112 sm 2, S 3 =400 sm 2. Uchburchakning perimetrini toping.

4. Berilgan ABC uchburchak, burchak C=90 0, CD AB, AC=15 sm, AD=9 sm.

AB ni toping.

5.2. Eski amaliy muammolar

5. Mastni mahkamlash uchun siz o'rnatishingiz kerak

4 ta kabel. Har bir kabelning bir uchi 12 m balandlikda, ikkinchisi esa mastdan 5 m masofada erga biriktirilishi kerak. Mastni mahkamlash uchun 50 m kabel etarlimi?

6. XII asr hind matematigi Bxaskara muammosi

“Daryo bo‘yida yolg‘iz terak o‘sib chiqdi.

To'satdan kuchli shamol uning tanasini sindirdi.

Bechora terak qulab tushdi. Va burchak to'g'ri

Daryo oqimi bilan uning magistrallari shakllangan.

Endi o'sha joyda daryo borligini eslang

Uning kengligi bor-yo'g'i to'rt fut edi.

Tepasi daryoning chetiga egilib turardi.

Magistraldan atigi uch fut qoldi,

Iltimos, menga tez orada ayting:

Terakning bo‘yi qancha?”

7. Leonti Magnitskiyning "Arifmetika" darsligidan muammo [ 19]

“Agar biron bir odam tasodifan devorga narvon qursa, devorning balandligi 117 fut bo'ladi va siz 125 fut uzunlikdagi narvonni topasiz.

Va u pastki uchini devordan himoya qilish uchun zinapoyalarni necha to'xtashda ekish kerakligini bilmoqchi."

8. Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" muammosi

“Yeri 1 zhang = 10 chi boʻlgan suv ombori bor. Uning markazida suvdan 1 chi ga chiqib turgan qamish bor. Agar qamishni qirgʻoqqa qarab tortsangiz, u shunchaki tegib qoladi.

Savol tug'iladi: suvning chuqurligi va qamishning uzunligi qancha?

Xulosa

Pifagor teoremasi shu qadar mashhurki, bu haqda eshitmagan odamni tasavvur qilish qiyin. Biz bir qator tarixiy-matematik manbalarni, jumladan, Internetdagi ma’lumotlarni o‘rganib chiqdik va Pifagor teoremasi nafaqat o‘z tarixi, balki hayotda va fanda muhim o‘rin tutgani uchun ham qiziq ekanligini ko‘rdik. Buni ushbu teorema matnining turli talqinlari va ushbu ishda keltirilgan isbotlash usullari dalolat beradi.

Demak, Pifagor teoremasi geometriyaning asosiy va, aytish mumkinki, eng muhim teoremalaridan biridir. Uning ahamiyati shundaki, geometriyaning aksariyat teoremalarini undan yoki uning yordami bilan chiqarish mumkin. Pifagor teoremasi ham diqqatga sazovordir, chunki u o'z-o'zidan aniq emas. Masalan, teng yonli uchburchakning xossalarini bevosita chizmada ko'rish mumkin. Ammo to‘g‘ri burchakli uchburchakka qanchalik qaramang, uning tomonlari o‘rtasida oddiy munosabat borligini hech qachon ko‘rmaysiz: c 2 =a 2 +b 2. Shuning uchun vizualizatsiya ko'pincha buni isbotlash uchun ishlatiladi.

Pifagorning xizmati shundaki, u bu teoremani to'liq ilmiy isbotlagan.

Xotirasi tasodifan bu teoremada saqlanib qolmagan olimning shaxsiyati qiziq. Pifagor musiqa va raqamlar uyg'unligiga, ezgulik va adolatga, bilim va sog'lom turmush tarziga qaratilgan ajoyib notiq, o'qituvchi va tarbiyachi, o'z maktabining tashkilotchisi. U biz, uzoq avlodlar uchun namuna bo'lishi mumkin.

Adabiyot va internet manbalari:

1. G.I. Glazer VII - VIII sinflarda matematika tarixi, o'qituvchilar uchun qo'llanma, - M: Prosveshchenie 1982 yil.

2. I.Ya. Dempan, N.Ya. Vilenkin "Matematika darsligining sahifalarida" 5-6-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma, Moskva, Ta'lim 1989 yil.

3. I.G. Zenkevich "Matematika darsining estetikasi", M.: Ta'lim 1981 yil.

4. Voitikova N.V. "Pifagor teoremasi" kurs ishi, Anjero-Sudzhensk, 1999 yil.

5. V. Litsman.Pifagor teoremasi, M. 1960 yil.

6. A.V. Voloshinov "Pifagor" M. 1993 yil.

7. L. F. Pichurin “Algebra darsligi sahifalari ortida” M. 1990 yil.

8. A. N. Zemlyakov “10-sinfda geometriya” M. 1986 yil.

9. V. V. Afanasyev “Matematik masalalarni yechish jarayonida talabalarning ijodiy faoliyatini shakllantirish” Yaroslavl 1996 yil.

10. P. I. Oltinov “Testlar. Geometriya 7-9 sinflar.” M. 1998 yil.

11. "Matematika" gazetasi 17/1996.

12. "Matematika" gazetasi 3/1997.

13. N. P. Antonov, M. Ya. Vygodskiy, V. V Nikitin, A. I. Sankin “Elementar matematikadan masalalar to‘plami”. M. 1963 yil.

14. G. V. Dorofeev, M. K. Potapov, N. X. Rozov “Matematika bo’yicha qo’llanma”. M. 1973 yil

15. A.I.Shchetnikov “Son va kattalik haqidagi Pifagor ta’limoti”. Novosibirsk, 1997 yil.

16. “Haqiqiy sonlar. Irratsional ifodalar” 8-sinf. Tomsk universiteti nashriyoti. Tomsk - 1997 yil.

17. M.S. Atanasyan "Geometriya" 7-9 sinflar. M: “Ma’rifat”, 1991 yil

18. www.moy pifagor.narod.ru/

19. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

20. http://ru.wikipedia.org/wiki/Pifagor_teoremasi

21. http://th-pif.narod.ru/history.htm

Van der Vaerdenning so'zlariga ko'ra, umumiy shakldagi nisbat Bobilda miloddan avvalgi 18-asrda ma'lum bo'lgan bo'lishi mumkin. e.

Miloddan avvalgi 400 yillar atrofida. Miloddan avvalgi, Proklusga ko'ra, Platon algebra va geometriyani birlashtirgan Pifagor uchliklarini topish usulini bergan. Miloddan avvalgi 300 yillar atrofida. e. Pifagor teoremasining eng qadimgi aksiomatik isboti Evklidning elementlarida paydo bo'lgan.

Formulyatsiyalar

Asosiy formulada algebraik operatsiyalar mavjud - uzunliklari teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakda a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b), va gipotenuzaning uzunligi c (\displaystyle c), quyidagi munosabat qanoatlantiriladi:

.

Shaklning maydoni tushunchasiga murojaat qilgan holda, ekvivalent geometrik formula ham mumkin: to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni gipotenuzada qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng. oyoqlar. Teorema Evklid elementlarida shu shaklda tuzilgan.

Qarama-qarshi Pifagor teoremasi- tomonlarning uzunliklari o'zaro bog'liqlik bilan bog'liq bo'lgan har qanday uchburchakning to'rtburchakligi haqidagi bayonot a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Natijada, ijobiy raqamlarning har uchligi uchun a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Va c (\displaystyle c), shu kabi a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), oyoqlari bilan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b) va gipotenuza c (\displaystyle c).

Isbot

Ilmiy adabiyotlarda Pifagor teoremasining kamida 400 ta isboti qayd etilgan, bu uning geometriya uchun fundamental ahamiyati va natijaning elementar tabiati bilan izohlanadi. Isbotlarning asosiy yo'nalishlari quyidagilardir: uchburchak elementlari o'rtasidagi munosabatlardan algebraik foydalanish (masalan, o'xshashlikning mashhur usuli), sohalar usuli, shuningdek, turli xil ekzotik isbotlar (masalan, differentsial tenglamalar yordamida) mavjud.

Shu kabi uchburchaklar orqali

Evklidning klassik isboti gipotenuza ustidagi kvadratni oyoqlar ustidagi kvadratlar bilan to'g'ri burchak balandligi bo'yicha kesish natijasida hosil bo'lgan to'rtburchaklar orasidagi maydonlar tengligini o'rnatishga qaratilgan.

Isbot uchun ishlatiladigan konstruktsiya quyidagicha: to'g'ri burchakli to'g'ri burchakli uchburchak uchun C (\displaystyle C), oyoq ustidagi kvadratlar va gipotenuzaning ustidagi kvadratlar A B I K (\displaystyle ABIK) balandligi qurilmoqda CH va uni davom ettiruvchi nur s (\displaystyle s), gipotenuzaning ustidagi kvadratni ikkita to'rtburchakga bo'lish va . Dalil to'rtburchak maydonlarining tengligini o'rnatishga qaratilgan A H J K (\displaystyle AHJK) oyoq ustidagi kvadrat bilan A C (\displaystyle AC); gipotenuzaning ustidagi kvadratni tashkil etuvchi ikkinchi to'rtburchak va boshqa oyoq ustidagi to'rtburchaklar maydonlarining tengligi xuddi shunday tarzda o'rnatiladi.

To'rtburchak maydonlarining tengligi A H J K (\displaystyle AHJK) Va A C E D (\displaystyle ACED) uchburchaklarning mos kelishi orqali o'rnatiladi △ A C K ​​(\displaystyle \uchburchak ACK) Va △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), ularning har birining maydoni kvadratlar maydonining yarmiga teng A H J K (\displaystyle AHJK) Va A C E D (\displaystyle ACED) Shunga ko'ra, quyidagi xususiyat bilan bog'liq holda: uchburchakning maydoni, agar raqamlar umumiy tomoniga ega bo'lsa, to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng, va uchburchakning umumiy tomoniga bo'lgan balandligi boshqa tomoni bo'lsa. to'rtburchak. Uchburchaklarning mos kelishi ikki tomonning (kvadratlarning tomonlari) va ular orasidagi burchakning (to'g'ri burchak va burchakdan tashkil topgan) tengligidan kelib chiqadi. A (\displaystyle A).

Shunday qilib, dalil gipotenuza ustidagi kvadratning maydoni to'rtburchaklardan tashkil topganligini aniqlaydi. A H J K (\displaystyle AHJK) Va B H J I (\displaystyle BHJI), oyoq ustidagi kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng.

Leonardo da Vinchining isboti

Hudud usuli Leonardo da Vinchi tomonidan topilgan dalilni ham o'z ichiga oladi. To'g'ri burchakli uchburchak berilsin △ A B C (\displaystyle \uchburchak ABC) to'g'ri burchak bilan C (\displaystyle C) va kvadratlar A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Va A B H J (\displaystyle ABHJ)(rasmga qarang). Yon tomonda bu dalilda HJ (\displaystyle HJ) ikkinchisining tashqi tomonida bir-biriga mos keladigan uchburchak qurilgan △ A B C (\displaystyle \uchburchak ABC), bundan tashqari, gipotenuzaga nisbatan ham, unga nisbatan balandlikka nisbatan ham aks etadi (ya'ni, J I = B C (\displaystyle JI=BC) Va H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Streyt C I (\displaystyle CI) gipotenuzada qurilgan kvadratni ikkita teng qismga ajratadi, chunki uchburchaklar △ A B C (\displaystyle \uchburchak ABC) Va △ J H I (\displaystyle \uchburchak JHI) qurilishda teng. Dalil to'rtburchaklarning mos kelishini o'rnatadi C A J I (\displaystyle CAJI) Va D A B G (\displaystyle DABG), ularning har birining maydoni, bir tomondan, oyoqlardagi kvadratlarning yarmi va dastlabki uchburchakning maydoni yig'indisiga teng, boshqa tomondan, yarmi gipotenuzadagi kvadrat maydoni va asl uchburchakning maydoni. Hammasi bo'lib, oyoqlar ustidagi kvadratlar maydonlarining yarmi yig'indisi gipotenuza ustidagi kvadrat maydonining yarmiga teng, bu Pifagor teoremasining geometrik formulasiga teng.

Infinitesimal usuli bilan isbotlash

Differensial tenglamalar texnikasidan foydalangan holda bir nechta dalillar mavjud. Xususan, Hardy oyoqlarning cheksiz o'sishidan foydalangan holda dalil bilan hisoblangan a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b) va gipotenuza c (\displaystyle c), va asl to'rtburchak bilan o'xshashlikni saqlab qolish, ya'ni quyidagi differentsial munosabatlarning bajarilishini ta'minlash:

d a d c = c a (\ displaystyle (\ frac (da) (dc)) = (\ frac (c) (a))), d b d c = c b (\ displaystyle (\ frac (db) (dc)) = (\ frac (c) (b))).

O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, ulardan differentsial tenglama olinadi c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), uning integratsiyasi munosabatni beradi c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Dastlabki shartlarni qo'llash a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) konstantani 0 deb belgilaydi, bu teoremaning bayonini beradi.

Yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik uchburchak tomonlari va o'sishlar orasidagi chiziqli proportsionallik tufayli paydo bo'ladi, yig'indisi esa turli oyoqlarning o'sishidan mustaqil hissalar bilan bog'liq.

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

Uch tomondan o'xshash geometrik shakllar

Pifagor teoremasining muhim geometrik umumlashmasi Evklid tomonidan elementlarda berilgan, yon tomonlardagi kvadratlar maydonlaridan o'zboshimchalik bilan o'xshash geometrik figuralar maydoniga o'tgan: oyoqlarda qurilgan bunday raqamlarning maydonlarining yig'indisi teng bo'ladi. gipotenuzada qurilgan shunga o'xshash figuraning maydoni.

Ushbu umumlashtirishning asosiy g'oyasi shundan iboratki, bunday geometrik figuraning maydoni uning har qanday chiziqli o'lchamlari kvadratiga va, xususan, har qanday tomon uzunligining kvadratiga proportsionaldir. Shuning uchun, maydonlar bilan o'xshash raqamlar uchun A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) Va C (\displaystyle C), uzunliklari bilan oyoqlarda qurilgan a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b) va gipotenuza c (\displaystyle c) Shunga ko'ra, quyidagi munosabatlar mavjud:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2))))=(\frac (C)(c^(2)))\,\O‘ng strelka \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)C).

Chunki Pifagor teoremasiga ko'ra a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), keyin bajarildi.

Bundan tashqari, agar Pifagor teoremasini qo'llamasdan isbotlash mumkin bo'lsa, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlaridagi uchta o'xshash geometrik figuralarning maydonlari munosabatni qanoatlantiradi. A + B = C (\display uslubi A+B=C), keyin Evklidning umumlashtirish isbotining teskarisini ishlatib, Pifagor teoremasining isbotini olish mumkin. Misol uchun, agar gipotenuzada biz maydonga ega bo'lgan boshlang'ich uchburchakka mos keladigan to'g'ri burchakli uchburchak quramiz. C (\displaystyle C), va yon tomonlarida - maydonlari bo'lgan ikkita o'xshash to'g'ri burchakli uchburchaklar A (\displaystyle A) Va B (\displaystyle B), keyin tomonlardagi uchburchaklar dastlabki uchburchakni balandligiga bo'lish natijasida hosil bo'ladi, ya'ni uchburchaklarning ikkita kichik maydonining yig'indisi uchinchisining maydoniga teng, shuning uchun A + B = C (\display uslubi A+B=C) va shunga o'xshash raqamlar uchun munosabatni qo'llash orqali Pifagor teoremasi olinadi.

Kosinus teoremasi

Pifagor teoremasi ixtiyoriy uchburchakda tomonlarning uzunliklarini bog'laydigan umumiy kosinus teoremasining maxsus holatidir:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ th = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

tomonlar orasidagi burchak qayerda a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b). Agar burchak 90 ° bo'lsa, u holda cos ⁡ th = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), va formula odatdagi Pifagor teoremasiga soddalashtiriladi.

Erkin uchburchak

Pifagor teoremasini faqat tomonlarning uzunliklari nisbati asosida ishlaydigan ixtiyoriy uchburchakka umumlashtirish mavjud bo'lib, uni birinchi marta Sabiya astronomi Sobit ibn Qurra o'rnatgan deb ishoniladi. Unda tomonlari bo'lgan ixtiyoriy uchburchak uchun unga yon tomonida asosi bo'lgan teng yonli uchburchak mos keladi. c (\displaystyle c), yon tomoniga qarama-qarshi bo'lgan asl uchburchakning tepasiga to'g'ri keladigan cho'qqi c (\displaystyle c) va burchakka teng asosdagi burchaklar th (\displaystyle \theta), qarama-qarshi tomon c (\displaystyle c). Natijada, asl uchburchakka o'xshash ikkita uchburchak hosil bo'ladi: birinchisi - tomonlari bilan a (\displaystyle a), chizilgan teng yonli uchburchakning undan eng uzoq tomoni va r (\displaystyle r)- yon qismlar c (\displaystyle c); ikkinchisi - yon tomondan unga nosimmetrik tarzda b (\displaystyle b) tomoni bilan s (\displaystyle s)- tomonning mos keladigan qismi c (\displaystyle c). Natijada, quyidagi munosabatlar qondiriladi:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

da Pifagor teoremasiga degeneratsiya th = p / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). O'zaro bog'liqlik hosil bo'lgan uchburchaklarning o'xshashligining natijasidir:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c)) (b))=(\frac (b)(s))\,\O‘ng strelka \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Maydonlar haqidagi Pappus teoremasi

Evklid bo'lmagan geometriya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining aksiomalaridan kelib chiqqan va Evklid bo'lmagan geometriya uchun haqiqiy emas - Pifagor teoremasining bajarilishi Evklid parallelizmi postulatiga ekvivalentdir.

Evklid bo'lmagan geometriyada to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari o'rtasidagi munosabatlar Pifagor teoremasidan boshqacha shaklda bo'lishi shart. Masalan, sferik geometriyada to‘g‘ri burchakli uchburchakning birlik sharning oktantini tutashgan uch tomoni ham uzunlikka ega. p / 2 (\displaystyle \pi /2), bu Pifagor teoremasiga ziddir.

Bundan tashqari, Pifagor teoremasi giperbolik va elliptik geometriyada to'g'ri bo'ladi, agar uchburchakning to'rtburchaklar bo'lishi talabi uchburchakning ikki burchagi yig'indisi uchinchisiga teng bo'lishi sharti bilan almashtirilsa.

Sferik geometriya

Radiusli shardagi har qanday to'g'ri burchakli uchburchak uchun R (\displaystyle R)(masalan, uchburchakdagi burchak to'g'ri bo'lsa) tomonlari bilan a , b , c (\displaystyle a,b,c) tomonlar o'rtasidagi munosabatlar:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\o'ng)=\cos \left((\frac) (a)(R))\o'ng)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\o'ng)).

Bu tenglikni barcha sferik uchburchaklar uchun amal qiladigan sferik kosinus teoremasining maxsus holati sifatida olish mumkin:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ g (\displaystyle \cos \left((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Qayerda ch (\displaystyle \operator nomi (ch) )- giperbolik kosin. Ushbu formula barcha uchburchaklar uchun amal qiladigan giperbolik kosinus teoremasining maxsus holatidir:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b - sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ g (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operator nomi (sh) a\cdot \operator nomi (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Qayerda g (\displaystyle \gamma)- uchi yon tomonga qarama-qarshi bo'lgan burchak c (\displaystyle c).

Giperbolik kosinus uchun Teylor seriyasidan foydalanish ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2/2 (\displaystyle \operator nomi (ch) x\taxminan 1+x^(2)/2)) shuni ko'rsatish mumkinki, agar giperbolik uchburchak kamaysa (ya'ni qachon a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Va c (\displaystyle c) nolga moyil bo'ladi), keyin to'g'ri burchakli uchburchakdagi giperbolik munosabatlar klassik Pifagor teoremasining munosabatiga yaqinlashadi.

Ilova

Ikki o'lchovli to'rtburchaklar tizimlarda masofa

Pifagor teoremasining eng muhim qo'llanilishi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi ikki nuqta orasidagi masofani aniqlashdir: masofa s (\displaystyle s) koordinatali nuqtalar o'rtasida (a , b) (\displaystyle (a,b)) Va (c , d) (\displaystyle (c,d)) teng:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Kompleks sonlar uchun Pifagor teoremasi kompleks sonning modulini topishning tabiiy formulasini beradi - uchun z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) uzunligiga teng

Samoslik Pifagor insoniyatning eng ko‘zga ko‘ringan ziyolilaridan biri sifatida tarixga kirdi. Unda juda ko'p g'ayrioddiy narsalar bor va taqdirning o'zi unga hayotda alohida yo'l tayyorlaganga o'xshaydi.

Pifagor o'zining diniy va falsafiy maktabini yaratdi va eng buyuk matematiklardan biri sifatida mashhur bo'ldi. Uning aql-zakovati va aql-zakovati u yashagan davrdan yuzlab yillar oldinda edi.

Samoslik Pifagor

Pifagorning qisqacha tarjimai holi

Albatta, Pifagorning qisqacha tarjimai holi bizga bu noyob shaxsni to'liq ochib berish imkoniyatini bermaydi, lekin biz hali ham uning hayotining asosiy daqiqalarini ta'kidlaymiz.

Bolalik va yoshlik

Pifagorning aniq tug'ilgan sanasi noma'lum. Tarixchilar uni 586-569 yillarda tug'ilgan deb taxmin qilishadi. Miloddan avvalgi Yunonistonning Samos orolida (shuning uchun uning laqabi - "Samos"). Bir afsonaga ko'ra, Pifagorning ota-onasi o'g'lining buyuk donishmand va o'qituvchi bo'lishini bashorat qilishgan.

Pifagorning otasi Mnesarx, onasi esa Parfeniya edi. Oila boshlig'i qimmatbaho toshlarni qayta ishlash bilan shug'ullangan, shuning uchun oila juda boy edi.

Tarbiya va ta'lim

Pifagor erta yoshdayoq turli fan va san'atga qiziqish ko'rsatdi. Uning birinchi ustozi Germodamant deb atalgan. U bo'lajak olimda musiqa, rasm va grammatika asoslarini qo'ydi, shuningdek, Gomerning "Odissey" va "Iliada" dan parchalarni yod olishga majbur qildi.

Pifagor 18 yoshga to'lganda, u ko'proq bilim va tajriba orttirish uchun Rossiyaga borishga qaror qildi. Bu uning tarjimai holidagi jiddiy qadam edi, ammo bu amalga oshmadi. Pifagor Misrga kira olmadi, chunki u yunonlar uchun yopiq edi.

Lesbos orolida to'xtab, Pifagor fizika, tibbiyot, dialektika va boshqa fanlarni Siros Feresidlaridan o'rganishni boshladi. Orolda bir necha yil yashagach, u Gretsiyada birinchi falsafiy maktabni tashkil etgan mashhur faylasuf Fales hali ham yashayotgan Miletga tashrif buyurishni xohladi.

Tez orada Pifagor o'z davrining eng bilimli va mashhur kishilaridan biriga aylanadi. Biroq, bir muncha vaqt o'tgach, Fors urushi boshlanganligi sababli, adibning tarjimai holida keskin o'zgarishlar yuz beradi.

Pifagor Bobil asirligiga tushib, uzoq vaqt asirlikda yashaydi.

Tasavvuf va uyga qaytish

Bobilda astrologiya va tasavvuf keng tarqalganligi sababli Pifagor turli xil sirli marosimlar, urf-odatlar va g'ayritabiiy hodisalarni o'rganishga berilib ketdi. Pifagorning butun tarjimai holi uning e'tiborini tortgan har xil izlanishlar va echimlarga to'la.

10 yildan ko'proq vaqt davomida asirlikda bo'lib, u kutilmaganda o'rgangan yunonlarning donoligi haqida bilgan Fors shohining shaxsan ozodligini oladi.

Ozod bo'lgach, Pifagor darhol vataniga qaytib, o'z vatandoshlariga olgan bilimlari haqida gapirib berdi.

Pifagor maktabi

O'zining keng bilimi, doimiy va notiqlik mahorati tufayli u tezda Gretsiya aholisi orasida shon-sharaf va e'tirofga erishadi.

Pifagorning nutqlarida har doim ko'p odamlar faylasufning donoligiga hayratda qoladilar va unda deyarli xudoni ko'radilar.

Pifagor tarjimai holidagi asosiy nuqtalardan biri uning o‘ziga xos dunyoqarash tamoyillari asosida maktab yaratganligidir. U shunday deb nomlangan: Pifagorchilar maktabi, ya'ni Pifagor izdoshlari.

Uning o‘ziga xos ta’lim usuli ham bor edi. Misol uchun, o'quvchilarga dars paytida gaplashish taqiqlangan va ularga hech qanday savol berish taqiqlangan.

Buning sharofati bilan o‘quvchilarda kamtarlik, muloyimlik va sabr-toqatni tarbiyalash mumkin edi.

Bu narsalar zamonaviy odamga g'alati tuyulishi mumkin, ammo unutmasligimiz kerakki, Pifagor davrida bu tushunchaning o'zi bizning tushunchamizda maktab oddiygina mavjud emas edi.

Matematika

Pifagor tibbiyot, siyosat va san'atdan tashqari matematika bilan ham juda jiddiy shug'ullangan. U taraqqiyotga katta hissa qo'shishga muvaffaq bo'ldi.

Hozirgacha butun dunyo maktablarida eng mashhur teorema Pifagor teoremasi hisoblanadi: a 2 + b 2 =c 2. Har bir maktab o'quvchisi "Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir" deb eslaydi.

Bundan tashqari, "Pifagor jadvali" mavjud bo'lib, uning yordamida raqamlarni ko'paytirish mumkin edi. Aslida, bu bir oz boshqacha shaklda bo'lgan zamonaviy ko'paytirish jadvali.

Pifagorlarning numerologiyasi

Pifagorning tarjimai holida diqqatga sazovor narsa bor: u butun hayoti davomida raqamlarga juda qiziqqan. Ularning yordami bilan u narsa va hodisalarning mohiyatini, hayot va o'limni, azob-uqubatlarni, baxtni va mavjudlikning boshqa muhim masalalarini tushunishga harakat qildi.

U 9 ​​raqamini doimiylik, 8 raqamini o'lim bilan bog'lagan, shuningdek, raqamlar kvadratiga katta e'tibor bergan. Shu ma'noda, mukammal raqam 10 edi. Pifagor o'nni Kosmosning ramzi deb atagan.

Pifagorchilar birinchi bo'lib raqamlarni juft va toqlarga bo'lishdi. Juft sonlar, matematikaga ko‘ra, ayollik, toq sonlar esa erkaklik tamoyiliga ega edi.

Ilm-fan bo'lmagan o'sha kunlarda odamlar hayot va dunyo tartibini qo'llaridan kelgancha o'rgandilar. Pifagor o‘z davrining buyuk farzandi kabi bu va boshqa savollarga figura va raqamlar yordamida javob topishga harakat qilgan.

Falsafiy ta'lim

Pifagor ta'limotlarini ikki toifaga bo'lish mumkin:

• Ilmiy yondashuv
• Diniylik va tasavvuf

Afsuski, Pifagorning barcha asarlari saqlanib qolmagan. Va buning hammasi, chunki olim amaliy ravishda hech qanday eslatma olmagan, bilimlarni o'z talabalariga og'zaki ravishda uzatmagan.

Pifagor olim va faylasuf bo'lishidan tashqari, uni haqli ravishda diniy novator deb atash mumkin. Bunda Lev Tolstoy unga biroz o'xshardi (biz uni alohida maqolada e'lon qildik).

Pifagor vegetarian bo'lgan va o'z izdoshlarini bunga undagan. U talabalarga hayvonlardan olingan taomlarni iste'mol qilishga ruxsat bermagan, spirtli ichimliklar ichishni, yomon so'zlarni ishlatishni va odobsiz xatti-harakatlarni taqiqlagan.

Shunisi qiziqki, Pifagor faqat yuzaki bilim olishga intilgan oddiy odamlarga dars bermagan. U faqat tanlangan va ma'rifatli shaxslarni ko'rganlarni shogird sifatida qabul qildi.

Shahsiy hayot

Pifagorning tarjimai holini o'rganar ekan, uning shaxsiy hayotiga vaqti yo'q degan noto'g'ri taassurot paydo bo'lishi mumkin. Biroq, bu mutlaqo to'g'ri emas.

Pifagor 60 yoshda bo'lganida, o'zining chiqishlaridan birida u Feana ismli go'zal qizni uchratdi.

Ular turmush qurishdi va bu nikohdan bir o'g'il va bir qiz tug'ildi. Shunday qilib, taniqli yunon oilaviy odam edi.

O'lim

Ajablanarlisi shundaki, biograflarning hech biri buyuk faylasuf va matematikning qanday vafot etganini aniq ayta olmaydi. Uning o'limining uchta versiyasi mavjud.

Birinchisiga ko'ra, Pifagorni o'qitishdan bosh tortgan shogirdlaridan biri o'ldirgan. Qotil g‘azab bilan olimning akademiyasiga o‘t qo‘ydi va shu yerda vafot etdi.

Ikkinchi versiyada aytilishicha, yong'in paytida olimning izdoshlari uni o'limdan qutqarmoqchi bo'lib, o'z tanalaridan ko'prik yaratishgan.

Ammo Pifagor o'limining eng keng tarqalgan versiyasi uning Metapontus shahridagi qurolli to'qnashuv paytida o'limi deb hisoblanadi.

Buyuk olim 80 yildan ortiq yashab, miloddan avvalgi 490 yilda vafot etgan. e. O'zining uzoq umri davomida u juda ko'p ishlarni amalga oshirdi va u haqli ravishda tarixdagi eng ko'zga ko'ringan aqllardan biri hisoblanadi.

Agar sizga Pifagorning tarjimai holi yoqqan bo'lsa, uni ijtimoiy tarmoqlarda baham ko'ring. Do'stlaringizga bu daho haqida xabar bering.

Agar sizga qisqacha tarjimai hollar yoqsa va oddiygina - obuna bo'lishni unutmang veb-sayt. Biz bilan har doim qiziqarli!

Sizga berilgan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak ekanligiga ishonch hosil qiling, chunki Pifagor teoremasi faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun amal qiladi. To'g'ri uchburchaklarda uchta burchakdan biri har doim 90 daraja.

• To'g'ri burchakli uchburchakdagi to'g'ri burchak qiya burchaklarni ifodalovchi egri chiziq belgisi bilan emas, balki kvadrat belgisi bilan ko'rsatilgan.

Uchburchakning tomonlarini belgilang. Oyoqlarni "a" va "b" (oyoqlari to'g'ri burchak ostida kesishgan tomonlar) va gipotenuzani "c" deb belgilang (gipotenuza - to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotgan to'g'ri burchakli uchburchakning eng katta tomoni).

Uchburchakning qaysi tomonini topmoqchi ekanligingizni aniqlang. Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchakning istalgan tomonini topishga imkon beradi (agar boshqa ikki tomoni ma'lum bo'lsa). Qaysi tomonni (a, b, c) topish kerakligini aniqlang.

• Masalan, 5 ga teng gipotenuza berilgan va 3 ga teng oyoq berilgan. Bunday holda, ikkinchi oyoqni topish kerak. Bu misolga keyinroq qaytamiz.
• Agar qolgan ikki tomon noma'lum bo'lsa, Pifagor teoremasini qo'llash uchun noma'lum tomonlardan birining uzunligini topishingiz kerak. Buning uchun asosiy trigonometrik funktsiyalardan foydalaning (agar sizga qiyshiq burchaklardan birining qiymati berilsa).

Sizga berilgan qiymatlarni (yoki siz topgan qiymatlarni) a 2 + b 2 = c 2 formulasiga almashtiring. Esda tutingki, a va b oyoqlar, c esa gipotenuzadir.

• Bizning misolimizda yozing: 3² + b² = 5².

Har bir ma'lum tomonni kvadratga aylantiring. Yoki vakolatlarni qoldiring - keyinroq raqamlarni kvadratga qo'yishingiz mumkin.

• Bizning misolimizda yozing: 9 + b² = 25.

Noma'lum tomonni tenglamaning bir tomonida ajratib oling. Buning uchun ma'lum qiymatlarni tenglamaning boshqa tomoniga o'tkazing. Agar siz gipotenuzani topsangiz, u holda Pifagor teoremasida u allaqachon tenglamaning bir tomonida izolyatsiya qilingan (shuning uchun siz hech narsa qilishingiz shart emas).

• Bizning misolimizda noma'lum b² ni ajratib olish uchun tenglamaning o'ng tomoniga 9 ni o'tkazing. Siz b² = 16 ni olasiz.

Tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini oling. Bu bosqichda tenglamaning bir tomonida noma'lum (kvadrat), ikkinchi tomonida esa noma'lum atama (son) mavjud.

• Bizning misolimizda, b² = 16. Tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini oling va b = 4 ni oling. Demak, ikkinchi oyog'i teng bo'ladi. 4 .

Kundalik hayotingizda Pifagor teoremasidan foydalaning, chunki u keng ko'lamli amaliy vaziyatlarda qo'llanilishi mumkin. Buni amalga oshirish uchun kundalik hayotda to'g'ri uchburchaklarni tan olishni o'rganing - ikkita ob'ekt (yoki chiziqlar) to'g'ri burchak ostida kesishgan va uchinchi ob'ekt (yoki chiziq) birinchi ikkita ob'ektning (yoki) tepalarini (diagonal ravishda) bog'laydigan har qanday vaziyatda. chiziqlar), siz noma'lum tomonni topish uchun Pifagor teoremasidan foydalanishingiz mumkin (agar boshqa ikki tomon ma'lum bo'lsa).

• Misol: binoga suyanib turgan zinapoya berilgan. Zinapoyaning pastki qismi devor tagidan 5 metr masofada joylashgan. Zinapoyaning yuqori qismi erdan 20 metr (devorga) joylashgan. Zinapoyaning uzunligi qancha?
  • "Devorning tagidan 5 metr" degani a = 5; "Yerdan 20 metr masofada joylashgan" degani b = 20 (ya'ni sizga to'g'ri burchakli uchburchakning ikkita oyog'i berilgan, chunki binoning devori va Yer yuzasi to'g'ri burchak ostida kesishadi). Zinapoyaning uzunligi noma'lum bo'lgan gipotenuzaning uzunligi.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. Shunday qilib, narvonning taxminiy uzunligi 20,6 metr.