7 va 3 raqamlari x2 tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Tenglama

Algebra 7-sinf

№14 dars

02.10.18

“Tenglama va uning ildizlari” mavzusi

Darsning maqsadi: o'rganilgan materialni birlashtirish va tizimlashtirish.

Dars maqsadlari: “Tenglama” mavzusi bo‘yicha asosiy bilim va ko‘nikmalarni takrorlash, tizimlashtirish va mustahkamlash; chiziqli tenglamaning ildizlari soni haqidagi savolni ko'rib chiqing.

Materialni tahlil qilish, umumlashtirish, intellektual, ijodiy va tadqiqot qobiliyatlarini rivojlantirish.

Muloqot ko'nikmalarini, tinglovchilar oldida nutq so'zlash, tashabbus ko'rsatish va o'z nuqtai nazarini himoya qilish qobiliyatini rivojlantiring va o'zini-o'zi etarli darajada hurmat qiling.

Dars rejasi:

ITashkiliy vaqt.
IIBilimlarni yangilash.

A) Uy vazifasini tekshirish.

B) O‘rganilganlarni takrorlash (juft bo‘lib so‘roq).

C) Matematik diktant (tenglama shaklida yoziladi).
IIIAsosiy qism. O'rganilayotgan materialni tushuntirish va mustahkamlash.
A) Tenglama ildizlarini aniqlashga oid amaliy ish.
B) Ishni tahlil qilish. Xulosa.
C) Mustaqil ish.
D) Natijalarni muhokama qilish. Ishni baholash.
IVUy vazifasi.
VDam olish. Reflektsiya.

Darslar davomida

O'qituvchining kirish nutqi.

Bugun darsda biz “Tenglama va uning ildizlari” mavzusi bilan tanishuvimizni davom ettiramiz. Chiziqli tenglamalarni echishda yuzaga kelishi mumkin bo'lgan vaziyatlarni ko'rib chiqamiz va matematik modellashtirish misollarini takrorlaymiz. Dars davomida siz turli xil ishlarni bajarasiz, shundan so'ng siz o'zingizning ishingizni va sinfdoshlaringizning ishini baholashingiz kerak bo'ladi. Sizga muvaffaqiyatlar tilayman!

I Tashkiliy vaqt.

Yo'qlarni belgilang, keyingi ish uchun sinfni tashkil qiling.

II Bilimlarni yangilash.

Og'zaki ish:

A) Uy vazifasini tekshirish (doskada)

B) Juftlikda o'zaro so'rov - "Menga aytaman - men sizga aytaman" o'yini:

Tenglama nima deb ataladi?

“Tenglamani yechish” nimani anglatadi?

Tenglamaning ildizi nima?

Qaysi tenglama chiziqli deb ataladi?

Qo'shish qanday tarkibiy qismlardan iborat?

Farqning tarkibiy qismlari qanday?

Noma'lum atamani qanday topish mumkin?

Noma'lum minuendni qanday topish mumkin?

Noma'lum subtraendni qanday topish mumkin?

Noma'lum multiplikatorni qanday topish mumkin?

Noma'lum bo'luvchini qanday topish mumkin?

Noma'lum dividendni qanday topish mumkin?

Javoblarni jamoaviy muhokama qilish, sinfdoshlar tomonidan javoblarni baholash (nazorat ro'yxatiga kiriting).

B) Matematik diktant.

Talabalar daftarlarda ishlaydi. Doskada ikkita talaba bor.

Mashq qilish. Uni tenglama sifatida yozing:

35 soni 7 dan x marta kichik.

X va 7 raqamlari orasidagi farqning uch karra ko'paytmasi 12 ga teng.

X va 3 dan 8 ga ko'paytmasi 19 dan katta.

X va 6 sonlarining yarmi yig'indisi ularning mahsulotiga teng.

46 soni x dan 21 ga katta.

X sonining uchdan bir qismi 8 sonidan 16 ga kichik.

Doskada va daftarda ishlarning bajarilishini tekshirish:

(35 x = 7; x = =)

3(x – 7) = 12; x – 7 = 12: 3; x – 7 = 4; x = 11)

3x – 8 = 19; (3x = 19 + 8; 3x = 27; x = 9)

(x + 6): 2 = 6x; (0,5x + 3 = 6x; 5,5x = 3; x = 3: 5,5; x =)

46 – x = 21; (x = 46 – 21; x = 25)

x + 16 = 8; (x = 8 – 16; x = -8; x = -24)

Natijalarni muhokama qilish va o'z-o'zini baholash (nazorat ro'yxatiga kiriting).

III Asosiy qism. Yangi materialni tushuntirish.

Tenglamani yechsangiz, do'stim,
Siz uning umurtqasini topishingiz kerak.
Harfning ma'nosini tekshirish oson.
Uni tenglamaga ehtiyotkorlik bilan almashtiring.
Haqiqiy tenglikka erishsangiz,
Bu asosiy qiymat o'sha soat deb ataladi.

A) Savol: Sizningcha, chiziqli tenglama nechta ildizga ega bo'lishi mumkin?

Mashq qilish. Raqamlar -3 ekanligini aniqlang; 0; 7; Tenglamalarning 1 ta ildizi:

5x + 28 = 3; 2) 3x - 5 = 3x + 9; 3) 2x + 6 +2x = 6 +4x?

Sinf bilan bir vaqtda uchta o'quvchi vazifani doskada bajaradi (2-tenglamalar) va 3) - doskaning ko'rinmas tomonidan).

Natijalarni qanday tushuntirish mumkin?

B) Tenglamalarni yechish orqali farazlarimizni tekshiramiz.

7x + 28 = 7; 7x = 7 – 28; 7x = - 21; x = -3

3x-5 = 3x +9; 3x – 3x = 9 + 5; 0x = 14; ildizlari yo'q

2x + 6 +2x = 6 +4x; 2x + 2x – 4x = 6 – 6; 0x = 0; har qanday son tenglamaning ildizidir.

Xulosa. Chiziqli tenglamaning ildizlari soniax =buning koeffitsientlari qiymatlariga bog'liqaVab:

Agar a ≠0 bo'lsa, u holda ildiz bir x = ;

Agara = 0, b≠0, - ildizlari yo'q;

Agara = 0, b= 0, - cheksiz ko'p ildizlar mavjud.

C) Mustaqil ish (ikkita talaba doskada ishlaydi):

a o'zgaruvchisi uchun shunday qiymatni tanlang. bunda ax = 13 tenglama musbat ildizga, manfiy ildizga ega.

a o'zgaruvchisi uchun tenglama ax = 0 bo'ladigan qiymatni tanlang

a) bitta ildizga ega;

b) cheksiz sonli ildizlarga ega;

c) ildizlarga ega emas.

D) Doskadagi topshiriqlarni tahlil qilish, keyin juftlikda o`zaro test o`tkazish (uy vazifasiga tayyorgarlik). Darslik 27-28-bet, 113 (a,b), 114-son, 118-son (1 maqola)

IV Uy vazifasi: Darslikning 6-bandi (ta'riflarni o'rganing), 113-son (c, d), № 118 (2 band) hal qiling.

V Reflektsiya

Gapni davom ettiring:

Bugun darsda...
Endi bilaman…
Mening darsimda ...

Dam olish

Dars edi...
Menga ayniqsa sinfdoshlarimning javoblari yoqdi...
Sinfdagi ishim orqali men ...

Tenglik tushunchasini, ya'ni ularning turlaridan biri - sonli tenglikni o'rganib chiqqanimizdan so'ng yana bir muhim tur - tenglamalarga o'tishimiz mumkin. Ushbu material doirasida biz tenglama va uning ildizi nima ekanligini tushuntiramiz, asosiy ta'riflarni tuzamiz va tenglamalar va ularning ildizlarini topishga turli xil misollar keltiramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tenglama tushunchasi

Odatda, tenglama tushunchasi maktab algebra kursining eng boshida o'qitiladi. Keyin u quyidagicha aniqlanadi:

Ta'rif 1

Tenglama topilishi kerak bo'lgan noma'lum sonli tenglikni chaqirish kerak.

Noma'lumlarni kichik lotin harflarida, masalan, t, r, m va boshqalar bilan belgilash odatiy holdir, lekin ko'pincha x, y, z ishlatiladi. Boshqacha qilib aytganda, tenglama uning yozilish shakli bilan belgilanadi, ya'ni ma'lum bir shaklga tushirilgandagina tenglik tenglama bo'ladi - unda harf, topilishi kerak bo'lgan qiymat bo'lishi kerak.

Keling, eng oddiy tenglamalarga bir nechta misollar keltiraylik. Bular x = 5, y = 6 va hokazo ko'rinishdagi tengliklar bo'lishi mumkin, shuningdek, arifmetik amallarni o'z ichiga oladi, masalan, x + 7 = 38, z - 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Qavslar tushunchasi o'rganilgandan so'ng qavsli tenglamalar tushunchasi paydo bo'ladi. Bularga 7 · (x - 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x - 8)) = 3 va boshqalar kiradi. Topilishi kerak bo'lgan harf bir necha marta, lekin bir necha marta paydo bo'lishi mumkin, masalan , masalan, x + 2 + 4 · x - 2 - x = 10 tenglamasida. Shuningdek, noma'lumlar nafaqat chapda, balki o'ngda yoki bir vaqtning o'zida ikkala qismda ham joylashishi mumkin, masalan, x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 yoki 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Bundan tashqari, talabalar butun sonlar, reallar, ratsionallar, natural sonlar, shuningdek, logarifmlar, ildizlar va darajalar tushunchalari bilan tanishgandan so'ng, ushbu ob'ektlarning barchasini o'z ichiga olgan yangi tenglamalar paydo bo'ladi. Biz bunday iboralarning misollariga alohida maqola bag'ishladik.

7-sinf o'quv dasturida o'zgaruvchilar tushunchasi birinchi marta paydo bo'ladi. Bular turli ma'nolarni olishi mumkin bo'lgan harflardir (batafsil ma'lumot uchun raqamli, harfli va o'zgaruvchan iboralar haqidagi maqolaga qarang). Ushbu kontseptsiyaga asoslanib, biz tenglamani qayta belgilashimiz mumkin:

Ta'rif 2

Tenglama qiymatini hisoblash kerak bo'lgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglik.

Ya'ni, masalan, x + 3 = 6 x + 7 ifodasi x o'zgaruvchisi bilan tenglama, 3 y - 1 + y = 0 esa y o'zgaruvchisi bilan tenglamadir.

Bitta tenglama bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lishi mumkin, lekin ikkita yoki undan ko'p. Ular mos ravishda ikki, uchta o'zgaruvchili va hokazo tenglamalar deb ataladi. Keling, ta'rifni yozamiz:

Ta'rif 3

Ikki (uch, to'rt yoki undan ortiq) o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalar mos keladigan noma'lum sonlarni o'z ichiga olgan tenglamalardir.

Masalan, 3, 7 · x + 0, 6 = 1 ko'rinishdagi tenglik bitta x o'zgaruvchili tenglama, x - z = 5 esa ikkita x va z o'zgaruvchili tenglamadir. Uch o'zgaruvchiga ega tenglamaga misol sifatida x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 bo'lishi mumkin.

Tenglamaning ildizi

Tenglama haqida gapirganda, darhol uning ildizi tushunchasini aniqlash zarurati tug'iladi. Keling, bu nimani anglatishini tushuntirishga harakat qilaylik.

1-misol

Bizga bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ma'lum bir tenglama berilgan. Agar noma'lum harf o'rniga raqam qo'ysak, tenglama raqamli tenglikka aylanadi - rost yoki noto'g'ri. Demak, agar a + 1 = 5 tenglamada harfni 2 raqami bilan almashtirsak, tenglik noto'g'ri bo'ladi va 4 bo'lsa, to'g'ri tenglik 4 + 1 = 5 bo'ladi.

Bizni o'zgaruvchi haqiqiy tenglikka aylantiradigan aniq qiymatlar qiziqtiradi. Ular ildizlar yoki eritmalar deb ataladi. Keling, ta'rifni yozamiz.

Ta'rif 4

Tenglamaning ildizi Ular berilgan tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi o'zgaruvchining qiymatini chaqiradilar.

Ildizni yechim deb ham atash mumkin yoki aksincha - bu ikkala tushuncha ham bir xil ma'noni anglatadi.

2-misol

Ushbu ta'rifni aniqlashtirish uchun bir misol keltiramiz. Yuqorida a + 1 = 5 tenglamasini berdik. Ta'rifga ko'ra, bu holda ildiz 4 bo'ladi, chunki harf o'rniga u to'g'ri raqamli tenglikni beradi va ikkitasi yechim bo'lmaydi, chunki u noto'g'ri 2 + 1 = 5 tengligiga mos keladi.

Bitta tenglamaning nechta ildizi bo'lishi mumkin? Har bir tenglamaning ildizi bormi? Keling, bu savollarga javob beraylik.

Bitta ildizga ega bo'lmagan tenglamalar ham mavjud. Misol 0 x = 5 bo'lishi mumkin. Biz unga cheksiz sonli turli xil raqamlarni qo'yishimiz mumkin, lekin ularning hech biri uni haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 0 ga ko'paytirish har doim 0 ni beradi.

Bir nechta ildizga ega bo'lgan tenglamalar ham mavjud. Ular chekli yoki cheksiz miqdordagi ildizlarga ega bo'lishi mumkin.

3-misol

Demak, x − 2 = 4 tenglamada faqat bitta ildiz bor - oltita, x 2 = 9 da ikkita ildiz - uchta va minus uchta, x da (x - 1) · (x - 2) = 0 uchta ildiz - nol, bir va ikkita, x=x tenglamada cheksiz ko'p ildiz mavjud.

Keling, tenglamaning ildizlarini qanday to'g'ri yozishni tushuntiramiz. Agar ular yo'q bo'lsa, biz yozamiz: "tenglamaning ildizlari yo'q". Bunday holda siz bo'sh to'plamning ∅ belgisini ham ko'rsatishingiz mumkin. Agar ildizlar bo'lsa, biz ularni vergul bilan ajratamiz yoki ularni jingalak qavslar ichiga olgan holda to'plamning elementlari sifatida ko'rsatamiz. Shunday qilib, agar har qanday tenglama uchta ildizga ega bo'lsa - 2, 1 va 5, biz yozamiz - 2, 1, 5 yoki (- 2, 1, 5).

Ildizlarni oddiy tenglik shaklida yozishga ruxsat beriladi. Demak, tenglamadagi noma’lum y harfi bilan belgilansa, ildizlari 2 va 7 bo‘lsa, u holda y = 2 va y = 7 ni yozamiz. Ba'zan harflarga pastki belgilar qo'shiladi, masalan, x 1 = 3, x 2 = 5. Shu tarzda biz ildizlarning raqamlariga ishora qilamiz. Agar tenglamaning cheksiz sonli yechimlari bo'lsa, u holda javobni sonli interval sifatida yozamiz yoki umumiy qabul qilingan yozuvlardan foydalanamiz: natural sonlar to'plami N, butun sonlar - Z, haqiqiy sonlar - R. Aytaylik, agar tenglamaning yechimi istalgan butun son bo‘lishini yozish kerak bo‘lsa, u holda x ∈ Z ni, birdan to‘qqizgacha bo‘lgan har qanday haqiqiy son bo‘lsa, y ∈ 1, 9 ni yozamiz.

Agar tenglama ikki, uchta yoki undan ko'p ildizga ega bo'lsa, biz, qoida tariqasida, ildizlar haqida emas, balki tenglamaning echimlari haqida gapiramiz. Bir necha o'zgaruvchili tenglamaning yechimi ta'rifini tuzamiz.

Ta'rif 5

Ikki, uch yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamaning yechimi berilgan tenglamani to'g'ri raqamli tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchilarning ikki, uch yoki undan ortiq qiymatlari hisoblanadi.

Keling, ta'rifni misollar bilan tushuntiramiz.

4-misol

Aytaylik, bizda x + y = 7 ifodasi bor, bu ikki o'zgaruvchiga ega tenglama. Birinchisining o‘rniga bittasini, ikkinchisining o‘rniga ikkitasini qo‘yaylik. Biz noto'g'ri tenglikni olamiz, ya'ni bu juft qiymatlar ushbu tenglamaning yechimi bo'lmaydi. Agar biz 3 va 4 juftlikni olsak, u holda tenglik to'g'ri bo'ladi, demak biz yechim topdik.

Bunday tenglamalarning ildizlari bo'lmasligi yoki ularning cheksiz soni ham bo'lishi mumkin. Ikki, uch, to'rt yoki undan ortiq qiymatlarni yozish kerak bo'lsa, ularni qavs ichida vergul bilan ajratib yozamiz. Ya'ni, yuqoridagi misolda javob (3, 4) kabi ko'rinadi.

Amalda, siz ko'pincha bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan shug'ullanishingiz kerak. Biz ularni echish algoritmini tenglamalarni echishga bag'ishlangan maqolada batafsil ko'rib chiqamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

\(2x+1=x+4\) javobni topamiz: \(x=3\). Agar siz X o'rniga uchlikni almashtirsangiz, chap va o'ngda bir xil qiymatlarni olasiz:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

Va uchtadan boshqa hech qanday raqam bizga bunday tenglikni bermaydi. Bu \(3\) soni tenglamaning yagona ildizi ekanligini bildiradi.

Yana bir bor: ildiz X EMAS!X o'zgaruvchidir , A ildiz sondir , bu tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradi (yuqoridagi misolda uchta). Va tenglamalarni yechishda biz ushbu noma'lum raqamni (yoki raqamlarni) qidiramiz.

Misol : \(5\) \(x^(2)-2x-15=0\) tenglamaning ildizimi?
Yechim : X o‘rniga \(5\) ni qo‘yaylik:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

Tenglikning ikkala tomonida bir xil qiymatlar (nol) mavjud, ya'ni 5 haqiqatan ham ildiz.

Mathak: Sinovlarda siz ildizlarni to'g'ri topganingizni shu tarzda tekshirishingiz mumkin.

Misol : \(0, \pm1, \pm2\) raqamlardan qaysi biri \(2x^(2)+15x+22=0\) ning ildizi hisoblanadi?
Yechim : Har bir raqamni almashtirish orqali tekshiramiz:

tekshiring \(0\):	\(2\cdot0^(2)+15\cdot0+22=0\)
	\(0+0+22=0\)
	\(22=0\) - mos kelmadi, demak \(0\) mos emas
tekshiring \(1\):	\(2\cdot1^(2)+15\cdot1+22=0\)
	\(2+15+22=0\)
	\(39=0\) - yana birlashmadi, ya'ni \(1\) ildiz emas
tekshiring \(-1\):	\(2\cdot(-1)^(2)+15\cdot(-1)+22=0\)
	\(2-15+22=0\)
	\(9=0\) - yana tenglik noto'g'ri, \(-1\) tomonidan ham
tekshiring \(2\):	\(2\cdot2^(2)+15\cdot2+22=0\)
	\(2\cdot4+30+22=0\)
	\(60=0\) - va yana bir xil emas, \(2\) ham mos emas
tekshiring \(-2\):	\(2\cdot(-2)^(2)+15\cdot(-2)+22=0\)
	\(2\cdot4-30+22=0\)
	\(0=0\) - birlashtirilgan, ya'ni \(-2\) tenglamaning ildizi

Shubhasiz, barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni sinab ko'rish orqali tenglamalarni echish aqldan ozishdir, chunki cheksiz sonli raqamlar mavjud. Shuning uchun ildizlarni topishning maxsus usullari ishlab chiqilgan. Shunday qilib, masalan, uchun yolg'iz o'zi kifoya, Uchun - formulalar allaqachon ishlatilgan va hokazo. Har bir tenglama turi o'z uslubiga ega.

Tez-tez beriladigan savollarga javoblar

Savol: Tenglamaning ildizi nolga teng bo'lishi mumkinmi?
Javob: Ha albatta. Masalan, \(3x=0\) tenglama bitta ildizga ega - nolga teng. Siz almashtirish orqali tekshirishingiz mumkin.

Savol: Qachon tenglamaning ildizi yo'q?
Javob: Tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan x uchun qiymatlar bo'lmasa, tenglamaning ildizlari bo'lmasligi mumkin. Buning yorqin misoli tenglama bo'lishi mumkin \(0\cdot x=5\). Bu tenglamaning ildizlari yo'q, chunki X ning qiymati bu erda rol o'ynamaydi (nolga ko'paytirish tufayli) - baribir, chap tomon har doim nolga teng bo'ladi. Va nol beshga teng emas. Bu hech qanday ildiz yo'qligini anglatadi.

Savol: Bu tenglamaning ildizi qandaydir berilgan songa (masalan, uchta) teng bo'lishi uchun tenglama qanday yaratiladi?
Javob: keyin paydo bo'ladi.

Savol: “Tenglamaning kichikroq ildizini toping” nimani anglatadi?
Javob: Bu siz tenglamani yechishingiz va javob sifatida uning kichikroq ildizini ko'rsatishingiz kerakligini anglatadi. Masalan, \(x^2-5x-6=0\) tenglama ikkita ildizga ega: \(x_1=-1\) va \(x_2=6\). Eng kichik ildiz: \(-1\). Bunga javoban yozishingiz kerak bo'ladi. Agar ular kattaroq ildiz haqida so'rasalar, unda \(6\) yozishlari kerak edi.

Bu unga kiritilgan harflarning har qanday ma'nosi uchun emas, balki faqat ba'zilari uchun to'g'ri. Bundan tashqari, tenglama harflar bilan ko'rsatilgan noma'lum raqamlarni o'z ichiga olgan tenglik deb aytishimiz mumkin.

Masalan, tenglik 10 - x= 2 tenglama, chunki u faqat qachon amal qiladi x= 8. Tenglik x 2 = 49 - ikki qiymat uchun amal qiladigan tenglama x, ya'ni qachon x= +7 va x= -7, chunki (+7) 2 = 49 va (-7) 2 = 49.

Agar o'rniga x uning qiymatini almashtiring, keyin tenglama o'ziga xoslikka aylanadi. kabi o'zgaruvchilar x, faqat ma'lum qiymatlar uchun tenglamani o'ziga xoslikka aylantiradiganlar deyiladi noma'lum tenglamalar Ular odatda lotin alifbosining oxirgi harflari bilan belgilanadi x, y Va z.

Har qanday tenglamaning chap va o'ng tomonlari bor. = belgisining chap tomonidagi ifoda deyiladi tenglamaning chap tomoni, va o'ngdagisi tenglamaning o'ng tomoni. Tenglamani tashkil etuvchi raqamlar va algebraik ifodalar deyiladi tenglama shartlari:

Tenglamaning ildizlari

Tenglamaning ildizi- bu raqam tenglamaga almashtirilganda haqiqiy tenglikni hosil qiladi. Tenglama faqat bitta ildizga ega bo'lishi mumkin, bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin yoki umuman ildiz bo'lmasligi mumkin.

Masalan, tenglamaning ildizi

10 - x = 2

8 raqami va tenglama

x 2 = 49

ikkita ildiz - +7 va -7.

Tenglamani yechish uning barcha ildizlarini topish yoki ularning mavjud emasligini isbotlash demakdir.

Tenglamalar turlari

Bundan tashqari raqamli barcha ma'lum miqdorlar raqamlar bilan ko'rsatilgan yuqorida berilgan tenglamalarga o'xshash tenglamalar ham mavjud alifbo tenglamalar, unda noma'lumlarni bildiruvchi harflardan tashqari, ma'lum (yoki ma'lum bo'lgan) miqdorlarni bildiruvchi harflar ham mavjud.

x - a = b + c
3x+ c = 2 a + 5

Noma’lumlar soniga ko‘ra tenglamalar 1 ta noma’lum, 2 ta noma’lum va 3 va undan ortiq noma’lumli tenglamalarga bo‘linadi.

7x + 2 = 35 - 2x- bitta noma'lum tenglama
3x + y = 8x - 2y- ikkita noma'lumli tenglama

Tengliklar haqida umumiy tasavvurga ega bo'lgach va ularning turlaridan biri - sonli tengliklar bilan tanishib, siz amaliy nuqtai nazardan juda muhim bo'lgan tenglikning yana bir turi - tenglamalar haqida gapirishni boshlashingiz mumkin. Ushbu maqolada biz ko'rib chiqamiz tenglama nima, va tenglamaning ildizi deb ataladigan narsa. Bu erda biz tegishli ta'riflarni beramiz, shuningdek, tenglamalar va ularning ildizlariga turli misollar keltiramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Tenglama nima?

Tenglamalarga maqsadli kirish odatda 2-sinfda matematika darslarida boshlanadi. Ayni paytda quyidagilar berilgan tenglama ta'rifi:

Ta'rif.

Tenglama topilishi kerak bo'lgan noma'lum sonni o'z ichiga olgan tenglik.

Tenglamalardagi noma'lum raqamlar odatda kichik lotin harflari yordamida belgilanadi, masalan, p, t, u va boshqalar, lekin ko'pincha x, y va z harflari ishlatiladi.

Shunday qilib, tenglama yozuv shakli nuqtai nazaridan aniqlanadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, tenglik belgilangan yozish qoidalariga bo'ysunadigan tenglamadir - unda qiymatini topish kerak bo'lgan harf mavjud.

Keling, eng birinchi va eng oddiy tenglamalarga misollar keltiraylik. X=8, y=3 va hokazo ko‘rinishdagi tenglamalardan boshlaylik. Raqamlar va harflar bilan birga arifmetik belgilarni o'z ichiga olgan tenglamalar biroz murakkabroq ko'rinadi, masalan, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Tenglamalarning xilma-xilligi tanish bo'lgandan keyin ko'payadi - qavsli tenglamalar paydo bo'la boshlaydi, masalan, 2·(x−1)=18 va x+3·(x+2·(x−2))=3. Tenglamada noma'lum harf bir necha marta paydo bo'lishi mumkin, masalan, x+3+3·x−2−x=9, shuningdek, harflar tenglamaning chap tomonida, o'ng tomonida yoki ikkala tomonida ham bo'lishi mumkin. tenglama, masalan, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 yoki 3·x−4=2·(x+12) .

Keyinchalik natural sonlarni o'rgangach, butun son, ratsional, haqiqiy sonlar bilan tanishadi, yangi matematik ob'ektlar: darajalar, ildizlar, logarifmlar va boshqalar o'rganiladi, shu bilan birga bu narsalarni o'z ichiga olgan yangi turdagi tenglamalar paydo bo'ladi. Ularning misollarini maqolada ko'rish mumkin tenglamalarning asosiy turlari maktabda o'qish.

7-sinfda ba'zi bir aniq raqamlarni anglatuvchi harflar bilan bir qatorda, ular turli qiymatlarni olishi mumkin bo'lgan harflarni ko'rib chiqishni boshlaydilar, ular o'zgaruvchilar deb ataladi (maqolaga qarang). Shu bilan birga, tenglama ta'rifiga "o'zgaruvchan" so'zi kiritiladi va u quyidagicha bo'ladi:

Ta'rif.

Tenglama qiymati topilishi kerak bo'lgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglik deyiladi.

Masalan, x+3=6·x+7 tenglama x o‘zgaruvchili tenglama, 3·z−1+z=0 esa z o‘zgaruvchili tenglamadir.

Xuddi shu 7-sinfda algebra darslarida biz bir emas, ikki xil noma’lum o‘zgaruvchidan iborat tenglamalarga duch kelamiz. Ular ikkita o'zgaruvchidagi tenglamalar deb ataladi. Kelajakda tenglamalarda uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining mavjudligiga ruxsat beriladi.

Ta'rif.

Bir, ikki, uch va boshqalar bilan tenglamalar. o'zgaruvchilar- bu tenglamalar, ularning yozilishida mos ravishda bir, ikki, uch, ... noma'lum o'zgaruvchilar.

Masalan, 3.2 x+0.5=1 tenglama bitta x oʻzgaruvchili tenglama boʻlsa, oʻz navbatida x−y=3 koʻrinishdagi tenglama ikkita x va y oʻzgaruvchili tenglamadir. Yana bir misol: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Ko'rinib turibdiki, bunday tenglama uchta noma'lum o'zgaruvchilar x, y va z bo'lgan tenglamadir.

Tenglamaning ildizi nima?

Tenglamaning ta'rifi bu tenglamaning ildizini aniqlash bilan bevosita bog'liq. Keling, tenglamaning ildizi nima ekanligini tushunishga yordam beradigan ba'zi mulohazalarni bajaraylik.

Aytaylik, bizda bitta harfli (o'zgaruvchi) tenglama bor. Agar ushbu tenglamaning kiritilishiga kiritilgan harf o'rniga ma'lum bir raqam almashtirilsa, u holda tenglama raqamli tenglikka aylanadi. Bundan tashqari, hosil bo'lgan tenglik to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Masalan, a+1=5 tenglamadagi a harfi o‘rniga 2 raqamini qo‘ysangiz, 2+1=5 noto‘g‘ri sonli tenglikni olasiz. Agar bu tenglamada a o‘rniga 4 raqamini qo‘ysak, 4+1=5 to‘g‘ri tenglikni olamiz.

Amalda, aksariyat hollarda, tenglamaga almashtirilishi to'g'ri tenglikni beradigan o'zgaruvchining qiymatlariga qiziqish uyg'otadi; bu qiymatlar ushbu tenglamaning ildizlari yoki echimlari deb ataladi.

Ta'rif.

Tenglamaning ildizi- bu harfning (o'zgaruvchining) qiymati, uning o'rniga tenglama to'g'ri raqamli tenglikka aylanadi.

E'tibor bering, bir o'zgaruvchidagi tenglamaning ildizi tenglamaning yechimi deb ham ataladi. Boshqacha qilib aytganda, tenglamaning yechimi va tenglamaning ildizi bir xil narsadir.

Keling, ushbu ta'rifni misol bilan tushuntiramiz. Buning uchun yuqorida yozilgan a+1=5 tenglamaga qaytaylik. Tenglama ildizining berilgan ta'rifiga ko'ra, 4 raqami bu tenglamaning ildizi hisoblanadi, chunki bu raqamni a harfi o'rniga qo'yganda biz 4+1=5 to'g'ri tenglikni olamiz va 2 raqami uning emas. ildiz, chunki u 2+1= 5 ko'rinishdagi noto'g'ri tenglikka mos keladi.

Shu o‘rinda bir qancha tabiiy savollar tug‘iladi: “Har qanday tenglamaning ildizi bormi, berilgan tenglamaning nechta ildizi bor?”. Biz ularga javob beramiz.

Ildizlari bo'lgan tenglamalar ham, ildizlari bo'lmagan tenglamalar ham mavjud. Masalan, x+1=5 tenglamaning ildizi 4, lekin 0 x=5 tenglamaning ildizi yo‘q, chunki bu tenglamada x o‘zgaruvchisi o‘rniga qaysi sonni qo‘ymaylik, 0=5 noto‘g‘ri tenglikni olamiz. .

Tenglamaning ildizlari soniga kelsak, ma'lum chekli sonli (bir, ikki, uch va hokazo) ildizlari bo'lgan tenglamalar ham, cheksiz sonli ildizlarga ega bo'lgan tenglamalar ham mavjud. Masalan, x−2=4 tenglamaning bitta ildizi 6, x 2 =9 tenglamaning ildizlari ikkita −3 va 3 son, x·(x−1)·(x−2)=0 tenglama. ning uchta ildizi 0, 1 va 2 bo‘lib, x=x tenglamaning yechimi istalgan son, ya’ni cheksiz sonli ildizga ega.

Tenglamaning ildizlari uchun qabul qilingan belgi haqida bir necha so'z aytish kerak. Agar tenglamaning ildizlari bo'lmasa, ular odatda "tenglamaning ildizlari yo'q" deb yozadilar yoki bo'sh to'plam belgisini ishlatadilar ∅. Agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular vergul bilan ajratiladi yoki shunday yoziladi to'plamning elementlari jingalak qavs ichida. Misol uchun, agar tenglamaning ildizlari −1, 2 va 4 raqamlari bo'lsa, u holda −1, 2, 4 yoki (−1, 2, 4) ni yozing. Tenglamaning ildizlarini oddiy tenglik shaklida yozish ham joiz. Misol uchun, agar tenglama x harfini o'z ichiga olsa va bu tenglamaning ildizlari 3 va 5 raqamlari bo'lsa, u holda siz x=3, x=5 yozishingiz mumkin va x 1 =3, x 2 =5 ko'pincha qo'shiladi. o'zgaruvchiga, xuddi tenglamaning raqamlar ildizlarini ko'rsatgandek. Tenglamaning cheksiz ildizlar to'plami odatda ko'rinishda yoziladi, agar iloji bo'lsa, N natural sonlar, Z butun sonlar va R haqiqiy sonlar to'plamining yozuvi ham qo'llaniladi. Misol uchun, agar x o'zgaruvchisi bo'lgan tenglamaning ildizi istalgan butun son bo'lsa, u holda yozing va y o'zgaruvchili tenglamaning ildizlari 1 dan 9 gacha bo'lgan har qanday haqiqiy son bo'lsa, yozing.

Ikki, uch yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega tenglamalar uchun, qoida tariqasida, "tenglamaning ildizi" atamasi ishlatilmaydi, bu hollarda ular "tenglamaning yechimi" deb aytiladi. Bir necha o'zgaruvchili tenglamalarni yechish nima deyiladi? Keling, tegishli ta'rifni beraylik.

Ta'rif.

Ikki, uch va boshqalar bilan tenglamani yechish. o'zgaruvchilar juft, uchta va boshqalar deb ataladi. o'zgaruvchilarning qiymatlari, bu tenglamani to'g'ri raqamli tenglikka aylantiradi.

Keling, tushuntirish misollarini ko'rsataylik. Ikki o‘zgaruvchili x+y=7 tenglamani ko‘rib chiqaylik. X o‘rniga 1 raqamini, y o‘rniga 2 raqamini qo‘ysak, 1+2=7 tenglikka ega bo‘lamiz. Shubhasiz, bu noto'g'ri, shuning uchun x=1, y=2 qiymatlari juftligi yozma tenglamaning yechimi emas. Agar biz x=4, y=3 juft qiymatlarni olsak, tenglamaga almashtirilgandan so'ng 4+3=7 to'g'ri tenglikka erishamiz, shuning uchun bu o'zgaruvchan qiymatlar juftligi ta'rifiga ko'ra yechimdir. x+y=7 tenglamaga.

Bir oʻzgaruvchili tenglamalar kabi bir nechta oʻzgaruvchili tenglamalar ildizlari boʻlmasligi, chekli sonli yoki cheksiz sonli ildizlarga ega boʻlishi mumkin.

Juftlik, uchlik, to'rtlik va boshqalar. O'zgaruvchilarning qiymatlari ko'pincha qisqacha yoziladi, ularning qiymatlari qavslar ichida vergul bilan ajratiladi. Bunday holda, qavs ichidagi yozilgan raqamlar alifbo tartibidagi o'zgaruvchilarga mos keladi. Oldingi x+y=7 tenglamaga qaytgan holda bu fikrga aniqlik kiritamiz. Bu tenglamaning yechimini x=4, y=3 qisqacha (4, 3) shaklida yozish mumkin.

Maktab matematika, algebra va tahlilning boshlanishi kursida eng katta e'tibor bir o'zgaruvchili tenglamalarning ildizlarini topishga qaratilgan. Ushbu jarayonning qoidalarini maqolada batafsil ko'rib chiqamiz. tenglamalarni yechish.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Matematika. 2 sinf Darslik umumiy ta'lim uchun muassasalar, adj bilan. elektron uchun tashuvchi. Soat 14 da 1-qism / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova va boshqalar] - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 2012. - 96 b.: kasal. - (Rossiya maktabi). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: darslik 7-sinf uchun umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 17-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 240 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2009. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-021134-5.