Uch vektor tizimi bog'liqmi? Chiziqli bog'liqlik va mustaqillik, xossalari, chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish, misollar va echimlar.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi

Har xil muammolarni hal qilishda, qoida tariqasida, bitta vektor bilan emas, balki bir xil o'lchamdagi vektorlarning ma'lum bir to'plami bilan shug'ullanish kerak. Bunday agregatlar deyiladi vektorlar tizimi va belgilang

Ta'rif.Vektorlarning chiziqli birikmasi shakl vektori deb ataladi

har qanday haqiqiy raqamlar qayerda. Vektor shuningdek vektorlar bilan chiziqli ifodalangan yoki bu vektorlarda parchalangan deyiladi.

Masalan, uchta vektor berilsin: , , . Ularning mos ravishda 2, 3 va 4 koeffitsientlari bilan chiziqli birikmasi vektor hisoblanadi

Ta'rif. Vektorlar tizimining barcha mumkin bo'lgan chiziqli birikmalari to'plamiga ushbu tizimning chiziqli oralig'i deyiladi.

Ta'rif. Nolga teng bo'lmagan vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli bog'liq, agar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud bo'lsa, ma'lum bir tizimning ko'rsatilgan raqamlar bilan chiziqli birikmasi nol vektoriga teng bo'ladi:

Agar berilgan vektorlar sistemasi uchun oxirgi tenglik faqat uchun mumkin bo'lsa, u holda bu vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli mustaqil.

Masalan, ikkita vektorli sistema chiziqli mustaqil; ikki vektorli sistema va chiziqli bog'liq, chunki .

Vektorlar sistemasi (19) chiziqli bog'liq bo'lsin. Koeffitsient bo'lgan atamani yig'indisi (20) bilan tanlaymiz va uni qolgan shartlar orqali ifodalaymiz:

Ushbu tenglikdan ko'rinib turibdiki, chiziqli bog'liq tizimning vektorlaridan biri (19) ushbu tizimning boshqa vektorlari bilan ifodalangan (yoki uning qolgan vektorlari bo'yicha kengaytirilgan) bo'lib chiqdi.

Chiziqli qaram vektor sistemaning xossalari

1. Bitta nolga teng vektordan iborat sistema chiziqli mustaqildir.

2. Nol vektorni o'z ichiga olgan tizim har doim chiziqli bog'liqdir.

3. Bir nechta vektorni o'z ichiga olgan tizim chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlarida boshqalari bilan chiziqli ifodalangan kamida bitta vektor bo'lsa.

Tekislikdagi ikki o'lchovli vektorlar holatida chiziqli munosabatlarning geometrik ma'nosi: bir vektor boshqasi orqali ifodalanganda, bizda, ya'ni. bu vektorlar kollinear yoki bir xil bo'lib, parallel chiziqlar ustida joylashgan.

Uch vektorning chiziqli bog'liqligining fazoviy holatida ular bir tekislikka parallel, ya'ni. o'xshash. Ushbu vektorlarning uzunliklarini mos keladigan omillar bilan "to'g'rilash" kifoya qiladi, shunda ulardan biri qolgan ikkitasining yig'indisiga aylanadi yoki ular orqali ifodalanadi.

Teorema. Kosmosda vektorlarni o'z ichiga olgan har qanday tizim ga lineer bog'liqdir.

Misol. Vektorlarning chiziqli bog'liqligini aniqlang.

Yechim. Keling, vektor tengligini yarataylik. Ustun vektor shaklida yozamiz, biz olamiz

Shunday qilib, muammo tizimni hal qilish uchun qisqartirildi

Tizimni Gauss usuli yordamida yechamiz:

Natijada biz tenglamalar tizimini olamiz:

cheksiz ko'p echimlarga ega, ular orasida nolga teng bo'lmagan bitta bo'lishi aniq, shuning uchun vektorlar chiziqli bog'liqdir.

Ushbu maqolada biz quyidagilarni ko'rib chiqamiz:

• kollinear vektorlar nima;
• vektorlarning kollinearligi uchun qanday shartlar mavjud;
• kollinear vektorlarning qanday xossalari mavjudligi;
• kollinear vektorlarning chiziqli bog'liqligi nima.

Ta'rif 1

Kollinear vektorlar bir chiziqqa parallel yoki bir chiziqda yotuvchi vektorlardir.

1-misol

Vektorlarning kollinearligi shartlari

Quyidagi shartlardan biri to‘g‘ri bo‘lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi:

• shart 1 . a va b vektorlar, agar a = l b bo'lgan l soni bo'lsa, kollinear;
• shart 2 . a va b vektorlari teng koordinata nisbatlari bilan kollineardir:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• shart 3 . a va b vektorlari o'zaro ko'paytma va nol vektor teng bo'lsa, kollinear bo'ladi:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Eslatma 1

2-shart vektor koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, qo'llanilmaydi.

Eslatma 2

3-shart faqat fazoda ko'rsatilgan vektorlarga nisbatan qo'llaniladi.

Vektorlarning kollinearligini o'rganish masalalariga misollar

1-misol

a = (1; 3) va b = (2; 1) vektorlarini kollinearlik uchun tekshiramiz.

Qanday hal qilish kerak?

Bunda 2-kollinearlik shartidan foydalanish zarur. Berilgan vektorlar uchun u quyidagicha ko'rinadi:

Tenglik noto'g'ri. Bundan a va b vektorlar kollinear emas degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Javob : a | | b

2-misol

Vektorlar kollinear bo'lishi uchun a = (1; 2) va b = (- 1; m) vektorning qanday m qiymati kerak?

Qanday hal qilish kerak?

Ikkinchi kollinearlik shartidan foydalanib, vektorlar, agar ularning koordinatalari proportsional bo'lsa, kollinear bo'ladi:

Bu m = - 2 ekanligini ko'rsatadi.

Javob: m = - 2.

Vektorli sistemalarning chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligi mezonlari

Teorema

Vektor fazodagi vektorlar sistemasi, sistemaning vektorlaridan biri shu sistemaning qolgan vektorlari bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan taqdirdagina chiziqli bog'liq bo'ladi.

Isbot

Sistema e 1, e 2, bo'lsin. . . , e n chiziqli bog'liqdir. Bu sistemaning nol vektoriga teng chiziqli birikmasini yozamiz:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0

unda kombinatsiya koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng emas.

a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, bo'lsin. . . , n.

Tenglikning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ajratamiz:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Belgilaymiz:

A k - 1 a m, bu erda m ∈ 1, 2,. . . , k - 1, k + 1, n

Unday bo `lsa:

b 1 e 1 + . . . + b k - 1 e k - 1 + b k + 1 e k + 1 +. . . + b n e n = 0

yoki e k = (- b 1) e 1 + . . . + (- b k - 1) e k - 1 + (- b k + 1) e k + 1 + . . . + (- b n) e n

Bundan kelib chiqadiki, tizim vektorlaridan biri tizimning barcha boshqa vektorlari orqali ifodalanadi. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (va hokazo).

Adekvatlik

Vektorlardan biri tizimning barcha boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalansin:

e k = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n

e k vektorini ushbu tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz:

0 = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 - e k + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n

e k vektorining koeffitsienti - 1 ≠ 0 ga teng bo'lganligi uchun e 1, e 2, vektorlar sistemasi orqali nolning notrivial tasvirini olamiz. . . , e n va bu, o'z navbatida, bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liqligini bildiradi. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (va hokazo).

Natija:

• Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil hisoblanadi, agar uning vektorlaridan hech biri tizimning boshqa barcha vektorlari bilan ifodalana olmasa.
• Nol vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari

1. 2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun quyidagi shart bajariladi: ikkita chiziqli bog'liq vektor kollineardir. Ikki kollinear vektor chiziqli bog'liqdir.
2. 3 o'lchovli vektorlar uchun quyidagi shart bajariladi: uchta chiziqli bog'liq vektor koplanardir. (3 koplanar vektor chiziqli bog'liq).
3. n o'lchovli vektorlar uchun quyidagi shart bajariladi: n + 1 vektorlar doimo chiziqli bog'liqdir.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi yoki chiziqli mustaqilligi bilan bog'liq masalalarni yechish misollari

3-misol

a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiramiz.

Yechim. Vektorlar chiziqli bog'liqdir, chunki vektorlarning o'lchamlari vektorlar sonidan kamroq.

4-misol

a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiramiz.

Yechim. Biz chiziqli birikma nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektor tenglamani chiziqli shaklda yozamiz:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ushbu tizimni Gauss usuli yordamida hal qilamiz:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2-qatordan biz 1-ni, 3-chidan 1-ni ayiramiz:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1-qatordan 2-ni ayirib, 3-chi qatorga 2-ni qoʻshamiz:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Yechimdan kelib chiqadiki, tizim ko'plab echimlarga ega. Bu shuni anglatadiki, x 1, x 2, x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lib, ular uchun a, b, c chiziqli birikmasi nol vektorga teng. Shuning uchun a, b, c vektorlar chiziqli bog'liq. ​​​​​​​

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Yechim. Biz tenglamalar tizimining umumiy yechimini qidiramiz

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauss usuli. Buning uchun biz ushbu bir hil tizimni koordinatalarda yozamiz:

Tizim matritsasi

Ruxsat etilgan tizim quyidagi shaklga ega: (r A = 2, n= 3). Tizim kooperativ va noaniq. Uning umumiy yechimi ( x 2 - erkin o'zgaruvchi): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o =. Masalan, nolga teng bo'lmagan xususiy yechimning mavjudligi vektorlar ekanligini ko'rsatadi a 1 , a 2 , a 3 chiziqli bog'liq.

2-misol.

Berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqmi yoki chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Yechim. Bir jinsli tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

yoki kengaytirilgan shaklda (koordinatalar bo'yicha)

Tizim bir hil. Agar u degenerativ bo'lmasa, unda o'ziga xos echim bor. Bir hil tizimda nol (arzimas) yechim mavjud. Bu shuni anglatadiki, bu holda vektorlar tizimi mustaqildir. Agar tizim buzilgan bo'lsa, u nolga teng bo'lmagan echimlarga ega va shuning uchun u bog'liqdir.

Biz tizimni degeneratsiya uchun tekshiramiz:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Tizim degenerativ emas va shuning uchun vektorlar a 1 , a 2 , a 3 chiziqli mustaqil.

Vazifalar. Berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqmi yoki chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq bo‘lishini isbotlang, agar u quyidagilardan iborat bo‘lsa:

a) ikkita teng vektor;

b) ikkita proportsional vektor.

Mayli L – maydon ustidagi chiziqli fazo R . Mayli A1, a2, …, an (*) dan chekli vektorlar sistemasi L . Vektor IN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× An (16) deyiladi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki ular vektor deb aytishadi IN vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.

Ta'rif 14. Vektorlar sistemasi (*) deyiladi Lineer bog'liq , agar a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lsa, a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0. Agar a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi Lineer mustaqil.

Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.

10. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Bu 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Mayli A1 = L×a2. Keyin 1 × A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning qolgan vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.

Þ (*) chiziqli bog'liq bo'lsin. Keyin a1, a2, …, an koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, ular uchun a1 × A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin mavjud A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Shunday qilib, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasidir.

Ü Vektorlardan biri (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Buni birinchi vektor deb taxmin qilishimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2+ … + milliard A N, demak (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard A N= 0 , ya'ni (*) chiziqli bog'liqdir.

Izoh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligini aniqlashimiz mumkin.

Ta'rif 15. Vektor tizimi A1, a2, …, an , … (**) deyiladi Lineer bog'liq, Agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarning cheklangan sonining chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi Lineer mustaqil.

40. Cheklangan vektorlar sistemasi, agar uning vektorlaridan birortasini qolgan vektorlari bilan chiziqli ifodalab bo‘lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

50. Agar vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.

60. Agar berilgan vektorlar sistemasining ba'zi bir quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda butun tizim ham chiziqli bog'liqdir.

Ikki vektor sistemasi berilsin A1, a2, …, an , … (16) va V1, V2, …, Vs, … (17). Agar (16) sistemaning har bir vektorini (17) sistemaning chekli sonli vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, (17) sistema (16) orqali chiziqli ifodalangan deyiladi.

Ta'rif 16. Ikki vektorli tizim deyiladi Ekvivalent , agar ularning har biri ikkinchisi orqali chiziqli ifodalangan bo'lsa.

Teorema 9 (asosiy chiziqli bog'liqlik teoremasi).

Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin – vektorlarning ikkita chekli tizimi L . Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisi orqali chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda N£ s.

Isbot. Keling, shunday da'vo qilaylik N> S. Teorema shartlariga ko'ra

(21)

Tizim chiziqli mustaqil bo'lgani uchun tenglik (18) Û X1=x2=…=xN= 0. Bu yerda vektorlarning ifodalarini almashtiramiz: …+=0 (19). Shuning uchun (20). (18), (19) va (20) shartlar aniq ekvivalentdir. Lekin (18) faqat qachon qanoatlantiriladi X1=x2=…=xN= 0.(20) tenglik qachon to'g'ri bo'lishini topamiz. Agar uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa, u shubhasiz haqiqatdir. Ularni nolga tenglashtirib, (21) sistemani olamiz. Ushbu tizim nolga ega bo'lgani uchun, u holda

qo'shma Tenglamalar soni noma'lumlar sonidan ko'p bo'lganligi sababli, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Shuning uchun u nolga teng bo'lmagan qiymatga ega X10, x20, …, xN0. Bu qiymatlar uchun tenglik (18) to'g'ri bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid keladi. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Demak, N£ s.

Natija. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi chekli va chiziqli mustaqil bo'lsa, ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Ta'rif 17. Vektor sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi Chiziqli fazo L , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shganda L , bu tizimga kiritilmagan, chiziqli bog'liq bo'ladi.

Teorema 10. dan vektorlarning har qanday ikkita chekli maksimal chiziqli mustaqil tizimi L Bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Isbot vektorlarning har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil tizimi ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .

Fazoviy vektorlarning har qanday chiziqli mustaqil sistemasini isbotlash oson L bu fazodagi vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimiga kengaytirilishi mumkin.

Misollar:

1. Barcha kollinear geometrik vektorlar to'plamida bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqildir.

2. Barcha koplanar geometrik vektorlar to'plamida har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.

3. Uch o'lchovli Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari to'plamida uchta koplanar bo'lmagan vektorlardan iborat har qanday sistema maksimal chiziqli mustaqildir.

4. Barcha ko'phadlar to'plamida darajalar dan yuqori emas N Haqiqiy (murakkab) koeffitsientlar bilan, polinomlar tizimi 1, x, x2, … , xn Maksimal chiziqli mustaqil.

5. Haqiqiy (murakkab) koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamida maksimal chiziqli mustaqil sistemaga misollar keltiriladi.

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, ...

6. O‘lchov matritsalari to‘plami M´ N chiziqli fazodir (buni tekshiring). Bu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil tizimga misol matritsa sistemasidir E11= , E12 =, …, EMn = .

Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin C1, c2, …, qarang (*). (*) dan vektorlar quyi tizimi deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil Quyi tizim Tizimlar ( *) , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga ushbu tizimning boshqa vektorini qo'shganda, u chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar tizim (*) chekli bo'lsa, uning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimlarining har qandayida bir xil miqdordagi vektorlar mavjud. (O'zingiz isbotlang). Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi Daraja Bu tizim. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi.
Vektorlar asoslari. Affin koordinata tizimi

Auditoriyada shokoladli arava bor va bugun har bir tashrif buyuruvchi shirin juftlik – chiziqli algebra bilan analitik geometriyani oladi. Ushbu maqola bir vaqtning o'zida oliy matematikaning ikkita bo'limiga to'xtalib o'tadi va biz ular bir o'ramda qanday birga mavjudligini ko'rib chiqamiz. Tanaffus qiling, Twix yeying! ...Jin ursin, qanaqa safsata. Garchi, yaxshi, men gol urmayman, oxir-oqibat, siz o'qishga ijobiy munosabatda bo'lishingiz kerak.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi, chiziqli vektor mustaqilligi, vektorlar asosi va boshqa atamalar nafaqat geometrik talqinga, balki, birinchi navbatda, algebraik ma'noga ega. Chiziqli algebra nuqtai nazaridan "vektor" tushunchasi har doim ham biz tekislikda yoki kosmosda tasvirlashimiz mumkin bo'lgan "oddiy" vektor emas. Dalil izlashning hojati yo'q, besh o'lchovli fazoning vektorini chizishga harakat qiling . Yoki men Gismeteo-ga borgan ob-havo vektori: mos ravishda harorat va atmosfera bosimi. Misol, albatta, vektor fazosining xususiyatlari nuqtai nazaridan noto'g'ri, ammo shunga qaramay, hech kim bu parametrlarni vektor sifatida rasmiylashtirishni taqiqlamaydi. Kuz nafasi...

Yo'q, men sizni nazariya, chiziqli vektor bo'shliqlari bilan zeriktirmoqchi emasman, vazifa shu tushunish ta'riflar va teoremalar. Yangi atamalar (chiziqli bog'liqlik, mustaqillik, chiziqli birikma, bazis va boshqalar) algebraik nuqtai nazardan barcha vektorlarga tegishli, ammo geometrik misollar keltiriladi. Shunday qilib, hamma narsa sodda, tushunarli va tushunarli. Analitik geometriya masalalari bilan bir qatorda biz ba'zi tipik algebra masalalarini ham ko'rib chiqamiz. Materialni o'zlashtirish uchun darslar bilan tanishish tavsiya etiladi Dummies uchun vektorlar Va Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Tekis vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Tekislik asosi va afin koordinatalar tizimi

Keling, kompyuter stolining tekisligini ko'rib chiqaylik (shunchaki stol, choyshab, pol, ship, sizga yoqadigan narsa). Vazifa quyidagi harakatlardan iborat bo'ladi:

1) Samolyot asosini tanlang. Taxminan aytganda, stol usti uzunligi va kengligiga ega, shuning uchun asosni qurish uchun ikkita vektor kerak bo'lishi intuitivdir. Bitta vektor etarli emas, uchta vektor juda ko'p.

2) Tanlangan asosga asoslanadi koordinatalar tizimini o'rnatish(koordinatalar panjarasi) jadvaldagi barcha ob'ektlarga koordinatalarni belgilash uchun.

Hayron bo'lmang, dastlab tushuntirishlar barmoqlarda bo'ladi. Bundan tashqari, sizniki. Iltimos, joylashtiring chap ko'rsatkich barmog'i stol usti chetida, shunda u monitorga qaraydi. Bu vektor bo'ladi. Endi joy o'ng kichik barmoq stolning chetida xuddi shu tarzda - monitor ekraniga yo'naltirilgan bo'lishi uchun. Bu vektor bo'ladi. Tabassum qiling, siz ajoyib ko'rinasiz! Vektorlar haqida nima deyishimiz mumkin? Ma'lumotlar vektorlari kollinear, bu degani chiziqli bir-biri orqali ifodalanadi:
, yaxshi yoki aksincha: , bu yerda qandaydir son noldan farq qiladi.

Ushbu harakatning rasmini sinfda ko'rishingiz mumkin. Dummies uchun vektorlar, bu erda vektorni songa ko'paytirish qoidasini tushuntirdim.

Barmoqlaringiz kompyuter stolining tekisligiga asos soladimi? Shubhasiz. Kollinear vektorlar bo'ylab oldinga va orqaga harakatlanadi yolg'iz yo'nalish va tekislikning uzunligi va kengligi bor.

Bunday vektorlar deyiladi chiziqli bog'liq.

Malumot: "Chiziqli", "chiziqli" so'zlari matematik tenglamalar va ifodalarda kvadratlar, kublar, boshqa darajalar, logarifmlar, sinuslar va boshqalar mavjud emasligini anglatadi. Faqat chiziqli (1-darajali) ifodalar va bog'liqliklar mavjud.

Ikki tekis vektor chiziqli bog'liq agar ular kollinear bo'lsa.

Barmoqlaringizni stol ustida kesib o'ting, shunda ular o'rtasida 0 yoki 180 darajadan boshqa burchak bo'lsin. Ikki tekis vektorchiziqli Yo'q agar ular o'zaro bog'liq bo'lmasa, bog'liq. Shunday qilib, asos olinadi. Asos turli uzunlikdagi perpendikulyar bo'lmagan vektorlar bilan "qiyshiq" bo'lib chiqqanidan xijolat bo'lishning hojati yo'q. Tez orada biz uni qurish uchun nafaqat 90 graduslik burchak, balki teng uzunlikdagi birlik vektorlari ham mos kelishini ko'ramiz.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l asosida kengaytiriladi:
, haqiqiy sonlar qayerda. Raqamlar chaqiriladi vektor koordinatalari shu asosda.

Bu ham aytiladi vektorsifatida taqdim etilgan chiziqli birikma bazis vektorlari. Ya'ni, ifoda deyiladi vektor parchalanishiasosida yoki chiziqli birikma bazis vektorlari.

Masalan, vektor tekislikning ortonormal asosi bo'ylab parchalanadi yoki vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi, deyishimiz mumkin.

Keling, shakllantiramiz asosning ta'rifi rasmiy ravishda: Samolyotning asosi chiziqli mustaqil (kollinear bo'lmagan) vektorlar juftligi deyiladi, , unda har qanday tekislik vektori bazis vektorlarining chiziqli birikmasidir.

Ta'rifning muhim nuqtasi - vektorlarning olinishi ma'lum bir tartibda. Bazalar - bu ikkita butunlay boshqa asoslar! Ular aytganidek, o'ng qo'lning kichik barmog'i o'rniga chap qo'lning kichik barmog'ini almashtira olmaysiz.

Biz asosni aniqladik, lekin koordinatalar panjarasini o'rnatish va kompyuter stolidagi har bir elementga koordinatalarni belgilash etarli emas. Nega bu etarli emas? Vektorlar erkin va butun tekislikda aylanib yuradi. Xo'sh, qanday qilib yovvoyi dam olish kunlaridan qolgan stoldagi kichik iflos joylarga koordinatalarni belgilash mumkin? Boshlanish nuqtasi kerak. Va bunday diqqatga sazovor joy hamma uchun tanish nuqta - koordinatalarning kelib chiqishi. Keling, koordinatalar tizimini tushunamiz:

Men “maktab” tizimidan boshlayman. Kirish darsida allaqachon Dummies uchun vektorlar Men to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va ortonormal asos o'rtasidagi ba'zi farqlarni ta'kidladim. Mana standart rasm:

Ular haqida gapirganda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, keyin ko'pincha ular kelib chiqishi, koordinata o'qlari va o'qlar bo'ylab masshtabni anglatadi. Qidiruv tizimiga “to‘rtburchaklar koordinatalar tizimi” so‘zini yozib ko‘ring va ko‘p manbalar sizga 5-6-sinfdan tanish bo‘lgan koordinata o‘qlari va nuqtalarni tekislikda qanday chizish haqida ma’lumot berishini ko‘rasiz.

Boshqa tomondan, to'rtburchaklar koordinatalar tizimini ortonormal asos nuqtai nazaridan to'liq aniqlash mumkin ko'rinadi. Va bu deyarli to'g'ri. Matn quyidagicha:

kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchaklar tekislik koordinatalari tizimi . Ya'ni to'rtburchaklar koordinatalar tizimi albatta bitta nuqta va ikkita birlik ortogonal vektor bilan aniqlanadi. Shuning uchun siz yuqorida men bergan chizmani ko'rasiz - geometrik masalalarda vektor va koordinata o'qlari ko'pincha (lekin har doim ham emas) chiziladi.

Menimcha, hamma nuqta (kelib chiqishi) va ortonormal asosdan foydalanishni tushunadi Samolyotdagi HAR QANDAY NOKTA va samolyotdagi HAR QANDAY VEKTOR koordinatalarini belgilash mumkin. Majoziy ma'noda aytganda, "samolyotdagi hamma narsani raqamlash mumkin".

Koordinata vektorlari birlik bo'lishi kerakmi? Yo'q, ular o'zboshimchalik bilan nolga teng bo'lmagan uzunlikka ega bo'lishi mumkin. Nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy uzunlikdagi nuqta va ikkita ortogonal vektorni ko'rib chiqing:

Bunday asos deyiladi ortogonal. Vektorlar bilan koordinatalarning kelib chiqishi koordinatalar panjarasi bilan belgilanadi va tekislikning istalgan nuqtasi, har qanday vektor berilgan asosda o'z koordinatalariga ega. Masalan, yoki. Aniq noqulaylik shundaki, koordinata vektorlari umuman birlikdan tashqari turli uzunliklarga ega. Agar uzunliklar birlikka teng bo'lsa, u holda odatiy ortonormal asos olinadi.

! Eslatma : ortogonal asosda, shuningdek pastda tekislik va fazoning affin asoslarida o'qlar bo'ylab birliklar ko'rib chiqiladi. SHARTLI. Misol uchun, x o'qi bo'ylab bir birlik 4 sm, ordinata o'qi bo'ylab bitta birlik 2 sm ni o'z ichiga oladi.Bu ma'lumot, agar kerak bo'lsa, "nostandart" koordinatalarni "odatiy santimetrlarimiz" ga aylantirish uchun etarli.

Va aslida allaqachon javob berilgan ikkinchi savol, asosiy vektorlar orasidagi burchak 90 darajaga teng bo'lishi kerakmi? Yo'q! Ta'rifda aytilganidek, asosiy vektorlar bo'lishi kerak faqat kollinear emas. Shunga ko'ra, burchak 0 va 180 darajadan tashqari har qanday narsa bo'lishi mumkin.

Samolyotdagi nuqta chaqirildi kelib chiqishi, Va kollinear bo'lmagan vektorlar, , oʻrnating afin tekislik koordinata tizimi :

Ba'zan bunday koordinatalar tizimi deyiladi qiyshiq tizimi. Misol sifatida, chizma nuqtalar va vektorlarni ko'rsatadi:

Siz tushunganingizdek, affin koordinata tizimi bundan ham qulayroq emas, biz darsning ikkinchi qismida muhokama qilgan vektorlar va segmentlarning uzunliklari formulalari unda ishlamaydi. Dummies uchun vektorlar, bilan bog'liq ko'plab mazali formulalar vektorlarning skalyar mahsuloti. Ammo vektorlarni qo'shish va vektorni raqamga ko'paytirish qoidalari, ushbu munosabatda segmentni bo'lish formulalari, shuningdek, biz yaqinda ko'rib chiqadigan boshqa muammolar turlari haqiqiydir.

Xulosa shuki, affin koordinatalar sistemasining eng qulay maxsus holati Dekart to'rtburchaklar sistemasidir. Shuning uchun siz uni tez-tez ko'rishingiz kerak, azizim. ...Ammo, bu hayotda hamma narsa nisbiy - qiyshiq burchak (yoki boshqasi, masalan, qutbli) koordinatalar tizimi. Va gumanoidlar bunday tizimlarni yoqtirishi mumkin =)

Keling, amaliy qismga o'tamiz. Ushbu darsdagi barcha masalalar to'rtburchaklar koordinatalar tizimi uchun ham, umumiy affin holati uchun ham amal qiladi. Bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, barcha materiallar hatto maktab o'quvchisi uchun ham mavjud.

Tekis vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Oddiy narsa. Ikki tekis vektor uchun kollinear edi, ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'lishi zarur va etarli Asosan, bu aniq munosabatlarning koordinatali koordinatali tafsilotidir.

1-misol

a) vektorlarning kollinear ekanligini tekshiring .
b) Vektorlar asosni tashkil qiladimi? ?

Yechim:
a) vektorlar mavjudligini aniqlaylik mutanosiblik koeffitsienti, shundayki tengliklar qondiriladi:

Men sizga, albatta, amalda juda yaxshi ishlaydigan ushbu qoidani qo'llashning "axloqsiz" versiyasi haqida gapirib beraman. G'oya darhol proportsiyani tuzish va uning to'g'riligini tekshirishdir:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalarining nisbatlaridan proporsiya tuzamiz:

Keling, qisqartiramiz:
, shuning uchun mos keladigan koordinatalar proportsionaldir, shuning uchun

O'zaro munosabatlar boshqa yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin; bu ekvivalent variant:

O'z-o'zini sinab ko'rish uchun siz kollinear vektorlarning bir-biri orqali chiziqli ifodalanganligidan foydalanishingiz mumkin. Bunday holda, tenglik sodir bo'ladi . Ularning haqiqiyligini vektorlar bilan elementar operatsiyalar orqali osongina tekshirish mumkin:

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Biz vektorlarni kollinearlik uchun tekshiramiz . Keling, tizim yarataylik:

Birinchi tenglamadan kelib chiqadiki , ikkinchi tenglamadan shunday degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, vektorlarning mos keladigan koordinatalari proportsional emas.

Xulosa: vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Yechimning soddalashtirilgan versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalaridan proporsiya yasaymiz :
, ya'ni bu vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Odatda bu variant sharhlovchilar tomonidan rad etilmaydi, lekin ba'zi koordinatalar nolga teng bo'lgan hollarda muammo paydo bo'ladi. Mana bunday: . Yoki shunday: . Yoki shunday: . Bu erda qanday qilib mutanosiblik bilan ishlash mumkin? (haqiqatan ham, siz nolga bo'linmaysiz). Shuning uchun men soddalashtirilgan yechimni "foppish" deb atadim.

Javob: a) , b) shakl.

O'zingizning yechimingiz uchun kichik ijodiy misol:

2-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar ular o'zaro bog'liq bo'ladimi?

Namuna eritmasida parametr nisbat orqali topiladi.

Vektorlarni kollinearlikni tekshirishning nafis algebraik usuli mavjud.Keling, bilimlarimizni tizimlashtirib, uni beshinchi nuqta sifatida qo‘shamiz:

Ikki tekis vektor uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:

2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar kollinear emas;

+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng.

Mos ravishda, quyidagi qarama-qarshi gaplar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli bog'liq;
2) vektorlar asos hosil qilmaydi;
3) vektorlar kollinear;
4) vektorlar bir-biri orqali chiziqli ifodalanishi mumkin;
+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng.

Haqiqatan ham, umid qilamanki, siz allaqachon duch kelgan barcha shartlar va bayonotlarni tushunasiz.

Keling, yangi, beshinchi nuqtani batafsil ko'rib chiqaylik: ikkita tekis vektor Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular kollinear bo'ladi.:. Bu xususiyatni qo'llash uchun, albatta, qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak determinantlarni toping.

Keling, qaror qilaylik Ikkinchi usulda 1-misol:

a) vektorlar koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi.

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Vektor koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Javob: a) , b) shakl.

Bu proportsional yechimga qaraganda ancha ixcham va chiroyli ko'rinadi.

Ko'rib chiqilgan material yordamida faqat vektorlarning kollinearligini o'rnatish, balki segmentlar va to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlash mumkin. Keling, aniq geometrik shakllar bilan bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

3-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak parallelogramm ekanligini isbotlang.

Isbot: Muammoda chizma yaratishning hojati yo'q, chunki yechim faqat analitik bo'ladi. Keling, parallelogramma ta'rifini eslaylik:
Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

Shunday qilib, isbotlash kerak:
1) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va;
2) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va .

Biz isbotlaymiz:

1) vektorlarni toping:

2) vektorlarni toping:

Natijada bir xil vektor ("maktab bo'yicha" - teng vektorlar). Kollinearlik juda aniq, ammo qarorni tartibga solish bilan aniq rasmiylashtirish yaxshiroqdir. Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi va .

Xulosa: To'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel, ya'ni ta'rifi bo'yicha parallelogramma. Q.E.D.

Yana yaxshi va turli raqamlar:

4-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak trapesiya ekanligini isbotlang.

Dalilni yanada qat'iy shakllantirish uchun, albatta, trapezoidning ta'rifini olish yaxshiroqdir, lekin uning qanday ko'rinishini eslab qolish kifoya.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan vazifadir. Dars oxirida to'liq yechim.

Va endi asta-sekin samolyotdan kosmosga o'tish vaqti keldi:

Kosmik vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Qoida juda o'xshash. Ikki fazo vektori kollinear boʻlishi uchun ularning mos koordinatalari proportsional boʻlishi zarur va yetarlidir..

5-misol

Quyidagi fazo vektorlari kollinear ekanligini aniqlang:

A) ;
b)
V)

Yechim:
a) vektorlarning tegishli koordinatalari uchun proporsionallik koeffitsienti mavjudligini tekshiramiz:

Tizimda yechim yo'q, ya'ni vektorlar kollinear emas.

"Soddalashtirilgan" nisbatni tekshirish orqali rasmiylashtiriladi. Ushbu holatda:
- mos keladigan koordinatalar proportsional emas, ya'ni vektorlar kollinear emas.

Javob: vektorlar kollinear emas.

b-c) Bular mustaqil qaror qabul qilish nuqtalari. Buni ikki usulda sinab ko'ring.

Uchinchi tartibli determinant orqali fazoviy vektorlarni kollinearlikni tekshirish usuli mavjud; bu usul maqolada yoritilgan. Vektorlarning vektor mahsuloti.

Samolyot holatiga o'xshab, ko'rib chiqilgan asboblar fazoviy segmentlar va to'g'ri chiziqlarning parallelligini o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

Ikkinchi bo'limga xush kelibsiz:

Uch o'lchovli fazoda vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Fazoviy asos va affin koordinatalar tizimi

Samolyotda biz ko'rib chiqqan ko'plab naqshlar kosmos uchun amal qiladi. Men nazariy eslatmalarni minimallashtirishga harakat qildim, chunki ma'lumotlarning asosiy ulushi allaqachon chaynalgan. Biroq, kirish qismini diqqat bilan o'qib chiqishingizni tavsiya qilaman, chunki yangi atamalar va tushunchalar paydo bo'ladi.

Endi kompyuter stolining tekisligi o'rniga biz uch o'lchamli fazoni o'rganamiz. Birinchidan, uning asosini yarataylik. Kimdir hozir uyda, kimdir tashqarida, lekin har qanday holatda biz uchta o'lchovdan qochib qutula olmaymiz: kenglik, uzunlik va balandlik. Shuning uchun, asosni qurish uchun uchta fazoviy vektor kerak bo'ladi. Bir yoki ikkita vektor etarli emas, to'rtinchisi ortiqcha.

Va yana barmoqlarimizga isinamiz. Iltimos, qo'lingizni yuqoriga ko'taring va uni turli yo'nalishlarda yoying bosh barmog'i, ko'rsatkich va o'rta barmoq. Bu vektorlar bo'ladi, ular turli yo'nalishlarga qaraydilar, turli uzunliklarga ega va o'zaro turli burchaklarga ega. Tabriklaymiz, uch o'lchamli makonning asosi tayyor! Aytgancha, buni o'qituvchilarga ko'rsatishning hojati yo'q, barmoqlaringizni qanchalik burishingizdan qat'i nazar, lekin ta'riflardan qutulib bo'lmaydi =)

Keyin o'zimizga muhim savol beraylik: har qanday uchta vektor uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi?? Iltimos, uchta barmog'ingizni kompyuter stolining yuqori qismiga mahkam bosing. Nima sodir bo `LDI? Uch vektor bir xil tekislikda joylashgan va, taxminan, biz o'lchamlardan birini - balandlikni yo'qotdik. Bunday vektorlar o'xshash va, ko'rinib turibdiki, uch o'lchovli makonning asosi yaratilmagan.

Shuni ta'kidlash kerakki, koplanar vektorlar bir tekislikda yotishi shart emas, ular parallel tekisliklarda bo'lishi mumkin (faqat barmoqlaringiz bilan buni qilmang, buni faqat Salvador Dali qilgan =)).

Ta'rif: vektorlar deyiladi o'xshash, agar ular parallel bo'lgan tekislik mavjud bo'lsa. Bu erda shuni qo'shish mantiqan to'g'riki, agar bunday tekislik mavjud bo'lmasa, vektorlar koplanar bo'lmaydi.

Uchta koplanar vektor har doim chiziqli bog'liqdir, ya'ni ular bir-biri orqali chiziqli tarzda ifodalanadi. Oddiylik uchun, keling, ular bir tekislikda yotishlarini yana bir bor tasavvur qilaylik. Birinchidan, vektorlar faqat koplanar emas, ular kollinear ham bo'lishi mumkin, keyin har qanday vektor har qanday vektor orqali ifodalanishi mumkin. Ikkinchi holda, masalan, vektorlar kollinear bo'lmasa, uchinchi vektor ular orqali o'ziga xos tarzda ifodalanadi: (va nima uchun oldingi bo'limdagi materiallardan taxmin qilish oson).

Qarama-qarshilik ham to'g'ri: uchta koplanar bo'lmagan vektor har doim chiziqli mustaqildir, ya'ni ular hech qanday tarzda bir-biri orqali ifodalanmaydi. Va, shubhasiz, faqat bunday vektorlar uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qilishi mumkin.

Ta'rif: Uch o'lchovli fazoning asosi chiziqli mustaqil (komplanar bo'lmagan) vektorlarning uch karrali deb ataladi, ma'lum bir tartibda olinadi, va fazoning istalgan vektori yagona yo'l berilgan asosda parchalanadi, bu asosda vektorning koordinatalari bu erda

Eslatib o'taman, vektor ko'rinishda ifodalangan deb ham aytishimiz mumkin chiziqli birikma bazis vektorlari.

Koordinatalar tizimi tushunchasi xuddi tekis holatdagi kabi kiritilgan; bitta nuqta va har qanday uchta chiziqli mustaqil vektor etarli:

kelib chiqishi, Va tekis bo'lmagan vektorlar, ma'lum bir tartibda olinadi, oʻrnating uch o'lchovli fazoning affin koordinata tizimi :

Albatta, koordinatalar tarmog'i "qiyshiq" va noqulay, ammo baribir qurilgan koordinatalar tizimi bizga imkon beradi albatta har qanday vektorning koordinatalarini va fazodagi istalgan nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Bir tekislikka o'xshab, men aytib o'tgan ba'zi formulalar fazoning affin koordinata tizimida ishlamaydi.

Affin koordinatalar tizimining eng tanish va qulay maxsus holati, hamma taxmin qilganidek to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi:

Kosmosdagi nuqta deyiladi kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi . Tanish rasm:

Amaliy vazifalarga o'tishdan oldin, keling, yana ma'lumotlarni tizimlashtiramiz:

Uch fazo vektori uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli mustaqil;
2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar koplanar emas;
4) vektorlarni bir-biri orqali chiziqli ifodalash mumkin emas;
5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant noldan farq qiladi.

Menimcha, qarama-qarshi bayonotlar tushunarli.

Fazoviy vektorlarning chiziqli bog'liqligi/mustaqilligi an'anaviy tarzda determinant yordamida tekshiriladi (5-band). Qolgan amaliy topshiriqlar aniq algebraik xususiyatga ega bo'ladi. Geometriya tayoqchasini osib, chiziqli algebraning beysbol tayoqchasini ishlatish vaqti keldi:

Kosmosning uchta vektori Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular koplanar hisoblanadi: .

Men sizning e'tiboringizni kichik texnik nuancega qaratmoqchiman: vektorlarning koordinatalarini nafaqat ustunlar, balki satrlarda ham yozish mumkin (shuning uchun determinantning qiymati o'zgarmaydi - determinantlarning xususiyatlariga qarang). Ammo ustunlarda bu ancha yaxshi, chunki u ba'zi amaliy muammolarni hal qilish uchun foydaliroqdir.

Determinantlarni hisoblash usullarini biroz unutgan yoki ular haqida umuman tushunmaydigan o'quvchilar uchun men eng qadimgi darslarimdan birini tavsiya qilaman: Determinantni qanday hisoblash mumkin?

6-misol

Quyidagi vektorlar uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring:

Yechim: Aslida, butun yechim determinantni hisoblashdan iborat.

a) Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz (birinchi satrda determinant ochiladi):

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil (komplanar emas) va uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

Javob: bu vektorlar asosni tashkil qiladi

b) Bu mustaqil qaror qabul qilish nuqtasi. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bundan tashqari, ijodiy vazifalar mavjud:

7-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar koplanar bo'ladi?

Yechim: Vektorlar koordinatali bo'ladi, agar ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa:

Asosan, determinant bilan tenglamani echishingiz kerak. Biz jerboasdagi uçurtmalar kabi nolga tushamiz - ikkinchi qatordagi determinantni ochib, darhol kamchiliklardan xalos bo'lish yaxshidir:

Biz qo'shimcha soddalashtirishlarni amalga oshiramiz va masalani eng oddiy chiziqli tenglamaga keltiramiz:

Javob: da

Bu yerda tekshirish oson; buning uchun siz olingan qiymatni asl determinantga almashtirishingiz va , yana oching.

Xulosa qilib aytganda, tabiatan ko'proq algebraik bo'lgan va an'anaviy ravishda chiziqli algebra kursiga kiritilgan yana bir tipik masalani ko'rib chiqamiz. Bu shunchalik keng tarqalganki, u o'z mavzusiga loyiqdir:

3 vektor uch o'lchovli fazoning asosini tashkil etishini isbotlang
va shu asosda 4-vektorning koordinatalarini toping

8-misol

Vektorlar berilgan. Vektorlar uch o‘lchamli fazoda asos tashkil etishini ko‘rsating va shu asosda vektorning koordinatalarini toping.

Yechim: Birinchidan, shart bilan shug'ullanamiz. Shartga ko'ra, to'rtta vektor berilgan va siz ko'rib turganingizdek, ular allaqachon biron bir asosda koordinatalarga ega. Bu asos nima ekanligi bizni qiziqtirmaydi. Va quyidagi narsa qiziq: uchta vektor yangi asos bo'lishi mumkin. Va birinchi bosqich 6-misolning yechimiga to'liq mos keladi; vektorlarning haqiqatan ham chiziqli mustaqilligini tekshirish kerak:

Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil bo'lib, uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

! Muhim : vektor koordinatalari Majburiy yozib qo'ying ustunlarga determinant, satrlarda emas. Aks holda, keyingi yechim algoritmida chalkashlik bo'ladi.