Tenglamaning ildizlari bormi va nechta? Qaysi tenglamaning ildizi yo'q? Tenglamalarga misollar

Matematikada tenglamalarni yechish alohida o'rin tutadi. Bu jarayondan oldin ko'p soatlik nazariyani o'rganish o'tkaziladi, bu vaqt davomida talaba tenglamalarni yechish, ularning turini aniqlashni o'rganadi va to'liq avtomatlashtirish ko'nikmalariga ega bo'ladi. Biroq, ildizlarni qidirish har doim ham mantiqiy emas, chunki ular mavjud bo'lmasligi mumkin. Ildizlarni topish uchun maxsus texnikalar mavjud. Ushbu maqolada biz asosiy funktsiyalarni, ularning ta'rif sohalarini, shuningdek ularning ildizlari etishmayotgan holatlarni tahlil qilamiz.

Qaysi tenglamaning ildizi yo'q?

Agar tenglama bir xil to'g'ri bo'lgan x haqiqiy argumentlar bo'lmasa, tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Mutaxassis bo'lmagan kishi uchun bu formula, ko'pgina matematik teoremalar va formulalar kabi, juda noaniq va mavhum ko'rinadi, ammo bu nazariy jihatdan. Amalda, hamma narsa juda oddiy bo'ladi. Masalan: 0 * x = -53 tenglamaning yechimi yo'q, chunki nolga tenglamasi noldan boshqa narsani beradigan x raqami yo'q.

Endi biz tenglamalarning eng asosiy turlarini ko'rib chiqamiz.

1. Chiziqli tenglama

Tenglama chiziqli deyiladi, agar uning o'ng va chap tomonlari chiziqli funksiyalar sifatida ifodalansa: ax + b = cx + d yoki umumlashtirilgan kx + b = 0. Bu erda a, b, c, d ma'lum sonlar, x esa - noma'lum miqdor. Qaysi tenglamaning ildizi yo'q? Chiziqli tenglamalarga misollar quyidagi rasmda keltirilgan.

Asosan, chiziqli tenglamalar oddiygina son qismini bir qismga va x tarkibini boshqasiga o'tkazish orqali hal qilinadi. Natijada mx = n ko'rinishdagi tenglama hosil bo'ladi, bu erda m va n sonlar, x esa noma'lum. X ni topish uchun ikkala tomonni m ga bo'lish kifoya. Keyin x = n/m. Ko'pgina chiziqli tenglamalar faqat bitta ildizga ega, ammo ildizlar cheksiz ko'p yoki umuman bo'lmagan holatlar mavjud. m = 0 va n = 0 bo'lganda, tenglama 0 * x = 0 ko'rinishini oladi. Bunday tenglamaning yechimi mutlaqo istalgan son bo'ladi.

Biroq, qanday tenglamaning ildizi yo'q?

m = 0 va n = 0 uchun tenglama haqiqiy sonlar to'plamida ildizlarga ega emas. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - bu tenglamalarning ildizlari yo'q.

2. Kvadrat tenglama

Kvadrat tenglama a = 0 uchun ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglamadir. Eng keng tarqalgan yechim diskriminant orqali. Kvadrat tenglamaning diskriminantini topish formulasi: D = b 2 - 4 * a * c. Keyin ikkita ildiz bor x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 uchun tenglama ikkita ildizga ega, D = 0 uchun esa bitta ildizga ega. Lekin qaysi kvadrat tenglamaning ildizi yo'q? Kvadrat tenglamaning ildizlari sonini kuzatishning eng oson usuli bu parabola bo'lgan funktsiyaning grafigini chizishdir. a > 0 uchun shoxlar yuqoriga yo'naltiriladi, a uchun< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Bundan tashqari, diskriminantni hisoblamasdan, ildizlar sonini vizual tarzda aniqlashingiz mumkin. Buning uchun parabolaning cho'qqisini topib, shoxlari qaysi tomonga yo'naltirilganligini aniqlash kerak. Tepalikning x koordinatasini quyidagi formula yordamida aniqlash mumkin: x 0 = -b / 2a. Bunday holda, cho'qqining y koordinatasi oddiy tenglamaga x 0 qiymatini almashtirish orqali topiladi.

X 2 - 8x + 72 = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q, chunki uning manfiy diskriminanti D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Bu shuni anglatadiki, parabola x o'qiga tegmaydi va funktsiya hech qachon 0 qiymatini olmaydi, shuning uchun tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.

3. Trigonometrik tenglamalar

Trigonometrik funktsiyalar trigonometrik doirada ko'rib chiqiladi, lekin dekart koordinatalar tizimida ham ifodalanishi mumkin. Ushbu maqolada biz ikkita asosiy trigonometrik funktsiyani va ularning tenglamalarini ko'rib chiqamiz: sinx va cosx. Bu funksiyalar radiusi 1, |sinx| bilan trigonometrik doira hosil qilganligi uchun va |cosx| 1 dan katta bo'lishi mumkin emas. Xo'sh, qaysi sinx tenglamaning ildizi yo'q? Quyidagi rasmda ko'rsatilgan sinx funksiyasining grafigini ko'rib chiqing.

Funktsiya simmetrik ekanligini va takrorlanish davri 2pi ekanligini ko'ramiz. Shunga asoslanib aytishimiz mumkinki, bu funksiyaning maksimal qiymati 1, minimali esa -1 bo'lishi mumkin. Masalan, cosx = 5 ifodasi ildizga ega bo'lmaydi, chunki uning mutlaq qiymati birdan katta.

Bu trigonometrik tenglamalarning eng oddiy misolidir. Aslida, ularni hal qilish juda ko'p sahifalarni olishi mumkin, buning oxirida siz noto'g'ri formuladan foydalanganingizni tushunasiz va barchasini qaytadan boshlashingiz kerak. Ba'zan, agar siz ildizlarni to'g'ri topsangiz ham, OD bo'yicha cheklovlarni hisobga olishni unutishingiz mumkin, shuning uchun javobda qo'shimcha ildiz yoki interval paydo bo'ladi va butun javob xatoga aylanadi. Shuning uchun, barcha cheklovlarga qat'iy rioya qiling, chunki barcha ildizlar vazifa doirasiga to'g'ri kelmaydi.

4. Tenglamalar sistemalari

Tenglamalar tizimi jingalak yoki kvadrat qavslar bilan birlashtirilgan tenglamalar to'plamidir. Jingalak qavslar barcha tenglamalar birgalikda bajarilganligini bildiradi. Ya'ni, agar tenglamalarning kamida bittasi ildizga ega bo'lmasa yoki boshqasiga zid bo'lsa, butun tizimning echimi yo'q. Kvadrat qavslar "yoki" so'zini bildiradi. Bu shuni anglatadiki, agar tizim tenglamalaridan kamida bittasi yechimga ega bo'lsa, unda butun tizim yechimga ega.

c tizimining javobi individual tenglamalarning barcha ildizlari to'plamidir. Va jingalak qavsli tizimlar faqat umumiy ildizlarga ega. Tenglamalar tizimlari butunlay boshqa funktsiyalarni o'z ichiga olishi mumkin, shuning uchun bunday murakkablik bizga qaysi tenglamaning ildizlari yo'qligini darhol aytishga imkon bermaydi.

Muammoli kitoblar va darsliklarda tenglamalarning har xil turlari mavjud: ildizlari bo'lganlari va yo'qlari. Birinchidan, agar siz ildizlarni topa olmasangiz, ular umuman yo'q deb o'ylamang. Ehtimol, siz biron bir joyda xatoga yo'l qo'ygan bo'lsangiz, unda siz qaroringizni diqqat bilan ikki marta tekshirishingiz kerak.

Biz eng asosiy tenglamalarni va ularning turlarini ko'rib chiqdik. Endi siz qaysi tenglamaning ildizi yo'qligini ayta olasiz. Aksariyat hollarda buni qilish qiyin emas. Tenglamalarni echishda muvaffaqiyatga erishish uchun faqat diqqat va konsentratsiya kerak. Ko'proq mashq qiling, bu sizga materialni yaxshiroq va tezroq boshqarishga yordam beradi.

Shunday qilib, tenglamaning ildizlari yo'q, agar:

• mx = n chiziqli tenglamada qiymat m = 0 va n = 0;
• kvadrat tenglamada, agar diskriminant noldan kichik bo'lsa;
• cosx = m / sinx = n ko'rinishdagi trigonometrik tenglamada, agar |m| > 0, |n| > 0;
• jingalak qavsli tenglamalar tizimida, agar kamida bitta tenglamaning ildizlari bo'lmasa va kvadrat qavslar bilan, agar barcha tenglamalarning ildizlari bo'lmasa.

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Kvadrat tenglamaning ildizlari(1) formulalar bilan aniqlanadi:
; .
Ushbu formulalarni quyidagicha birlashtirish mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lsa, ikkinchi darajali ko'phadni omillar ko'paytmasi (ko'paytmali) sifatida ko'rsatish mumkin:
.

Keyin biz haqiqiy sonlar deb hisoblaymiz.
Keling, ko'rib chiqaylik kvadrat tenglamaning diskriminanti:
.
Agar diskriminant musbat bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi:
; .
Kvadrat uch a'zoni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita ko'p (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita murakkab konjugat ildizga ega:
;
.
Bu yerda xayoliy birlik, ;
va ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik talqini

Agar siz funktsiyani chizsangiz
,
qaysi parabola bo'lsa, u holda grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari tenglamaning ildizlari bo'ladi.
.
da, grafik x o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi.
Qachon bo'lsa, grafik bir nuqtada x o'qiga tegadi.
Qachon bo'lsa, grafik x o'qini kesib o'tmaydi.

Quyida bunday grafiklarga misollar keltirilgan.

Kvadrat tenglamaga oid foydali formulalar

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

Biz o'zgartirishlarni amalga oshiramiz va (f.1) va (f.3) formulalarni qo'llaymiz:




,
Qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali ko'phadning formulasini quyidagi shaklda oldik:
.
Bu tenglama ekanligini ko'rsatadi

da amalga oshirildi
Va .
Ya'ni va kvadrat tenglamaning ildizlari
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashga misollar

1-misol

(1.1) .

.
Bizning tenglamamiz (1.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bu erdan kvadrat uch a'zoni koeffitsientlarga ajratishni olamiz:

.

y = funksiyaning grafigi 2 x 2 + 7 x + 3 x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abtsissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi:
Va .
Bu nuqtalar dastlabki tenglamaning ildizlari (1.1).

;
;
.

2-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
.
Dastlabki tenglama (2.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant nolga teng bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

Keyin trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.

y = x funksiyaning grafigi 2 - 4 x + 4 bir nuqtada x o'qiga tegadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U bir nuqtada x o'qiga (o'qiga) tegadi:
.
Bu nuqta dastlabki tenglamaning ildizi (2.1). Chunki bu ildiz ikki marta faktorlarga ajratiladi:
,
unda bunday ildiz odatda ko'p deb ataladi. Ya'ni, ular ikkita teng ildiz borligiga ishonishadi:
.

;
.

3-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Dastlabki tenglamani (3.1) qayta yozamiz:
.
(1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant salbiy, . Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U x o'qini (o'qi) kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Haqiqiy ildizlar yo'q. Murakkab ildizlar:
;
;
.

Tenglik tushunchasini, ya'ni ularning turlaridan biri - sonli tenglikni o'rganib chiqqanimizdan so'ng yana bir muhim tur - tenglamalarga o'tishimiz mumkin. Ushbu material doirasida biz tenglama va uning ildizi nima ekanligini tushuntiramiz, asosiy ta'riflarni tuzamiz va tenglamalar va ularning ildizlarini topishga turli xil misollar keltiramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tenglama tushunchasi

Odatda, tenglama tushunchasi maktab algebra kursining eng boshida o'qitiladi. Keyin u quyidagicha aniqlanadi:

Ta'rif 1

Tenglama topilishi kerak bo'lgan noma'lum sonli tenglikni chaqirish kerak.

Noma'lumlarni kichik lotin harflarida, masalan, t, r, m va boshqalar bilan belgilash odatiy holdir, lekin ko'pincha x, y, z ishlatiladi. Boshqacha qilib aytganda, tenglama uning yozilish shakli bilan belgilanadi, ya'ni ma'lum bir shaklga tushirilgandagina tenglik tenglama bo'ladi - unda harf, topilishi kerak bo'lgan qiymat bo'lishi kerak.

Keling, eng oddiy tenglamalarga bir nechta misollar keltiraylik. Bular x = 5, y = 6 va hokazo ko'rinishdagi tengliklar bo'lishi mumkin, shuningdek, arifmetik amallarni o'z ichiga oladi, masalan, x + 7 = 38, z - 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Qavslar tushunchasi o'rganilgandan so'ng qavsli tenglamalar tushunchasi paydo bo'ladi. Bularga 7 · (x - 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x - 8)) = 3 va boshqalar kiradi. Topilishi kerak bo'lgan harf bir necha marta, lekin bir necha marta paydo bo'lishi mumkin, masalan , masalan, x + 2 + 4 · x - 2 - x = 10 tenglamasida. Shuningdek, noma'lumlar nafaqat chapda, balki o'ngda yoki bir vaqtning o'zida ikkala qismda ham joylashishi mumkin, masalan, x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 yoki 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Bundan tashqari, talabalar butun sonlar, reallar, ratsionallar, natural sonlar, shuningdek, logarifmlar, ildizlar va darajalar tushunchalari bilan tanishgandan so'ng, ushbu barcha ob'ektlarni o'z ichiga olgan yangi tenglamalar paydo bo'ladi. Biz bunday iboralarning misollariga alohida maqola bag'ishladik.

7-sinf o'quv dasturida o'zgaruvchilar tushunchasi birinchi marta paydo bo'ladi. Bular turli ma'nolarni olishi mumkin bo'lgan harflardir (batafsil ma'lumot uchun raqamli, harfli va o'zgaruvchan iboralar haqidagi maqolaga qarang). Ushbu kontseptsiyaga asoslanib, biz tenglamani qayta belgilashimiz mumkin:

Ta'rif 2

Tenglama qiymatini hisoblash kerak bo'lgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglik.

Ya'ni, masalan, x + 3 = 6 x + 7 ifodasi x o'zgaruvchisi bilan tenglama, 3 y - 1 + y = 0 esa y o'zgaruvchisi bilan tenglamadir.

Bitta tenglama bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lishi mumkin, lekin ikkita yoki undan ko'p. Ular mos ravishda ikki, uchta o'zgaruvchili va hokazo tenglamalar deb ataladi. Keling, ta'rifni yozamiz:

Ta'rif 3

Ikki (uch, to'rt yoki undan ortiq) o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalar mos keladigan noma'lum sonlarni o'z ichiga olgan tenglamalardir.

Masalan, 3, 7 · x + 0, 6 = 1 ko'rinishdagi tenglik bitta x o'zgaruvchili tenglama, x - z = 5 esa ikkita x va z o'zgaruvchili tenglamadir. Uch o'zgaruvchiga ega tenglamaga misol sifatida x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 bo'lishi mumkin.

Tenglamaning ildizi

Tenglama haqida gapirganda, darhol uning ildizi tushunchasini aniqlash zarurati tug'iladi. Keling, bu nimani anglatishini tushuntirishga harakat qilaylik.

1-misol

Bizga bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ma'lum bir tenglama berilgan. Agar noma'lum harf o'rniga raqam qo'ysak, tenglama raqamli tenglikka aylanadi - rost yoki noto'g'ri. Demak, agar a + 1 = 5 tenglamada harfni 2 raqami bilan almashtirsak, tenglik noto'g'ri bo'ladi va 4 bo'lsa, to'g'ri tenglik 4 + 1 = 5 bo'ladi.

Bizni o'zgaruvchi haqiqiy tenglikka aylantiradigan aniq qiymatlar qiziqtiradi. Ular ildizlar yoki eritmalar deb ataladi. Keling, ta'rifni yozamiz.

Ta'rif 4

Tenglamaning ildizi Ular berilgan tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi o'zgaruvchining qiymatini chaqiradilar.

Ildizni yechim deb ham atash mumkin yoki aksincha - bu ikkala tushuncha ham bir xil ma'noni anglatadi.

2-misol

Ushbu ta'rifni aniqlashtirish uchun bir misol keltiramiz. Yuqorida a + 1 = 5 tenglamasini berdik. Ta'rifga ko'ra, bu holda ildiz 4 bo'ladi, chunki harf o'rniga u to'g'ri raqamli tenglikni beradi va ikkitasi yechim bo'lmaydi, chunki u noto'g'ri 2 + 1 = 5 tengligiga mos keladi.

Bitta tenglamaning nechta ildizi bo'lishi mumkin? Har bir tenglamaning ildizi bormi? Keling, bu savollarga javob beraylik.

Bitta ildizga ega bo'lmagan tenglamalar ham mavjud. Misol 0 x = 5 bo'lishi mumkin. Biz unga cheksiz sonli turli xil raqamlarni qo'yishimiz mumkin, lekin ularning hech biri uni haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 0 ga ko'paytirish har doim 0 ni beradi.

Bir nechta ildizga ega bo'lgan tenglamalar ham mavjud. Ular chekli yoki cheksiz miqdordagi ildizlarga ega bo'lishi mumkin.

3-misol

Demak, x − 2 = 4 tenglamada faqat bitta ildiz bor - oltita, x 2 = 9 da ikkita ildiz - uchta va minus uchta, x da (x - 1) · (x - 2) = 0 uchta ildiz - nol, bir va ikkita, x=x tenglamada cheksiz ko'p ildiz mavjud.

Keling, tenglamaning ildizlarini qanday to'g'ri yozishni tushuntiramiz. Agar ular yo'q bo'lsa, biz yozamiz: "tenglamaning ildizlari yo'q". Bunday holda siz bo'sh to'plamning ∅ belgisini ham ko'rsatishingiz mumkin. Agar ildizlar bo'lsa, biz ularni vergul bilan ajratamiz yoki ularni jingalak qavslar ichiga olgan holda to'plamning elementlari sifatida ko'rsatamiz. Shunday qilib, agar har qanday tenglama uchta ildizga ega bo'lsa - 2, 1 va 5, biz yozamiz - 2, 1, 5 yoki (- 2, 1, 5).

Ildizlarni oddiy tenglik shaklida yozishga ruxsat beriladi. Demak, tenglamadagi noma’lum y harfi bilan belgilansa, ildizlari 2 va 7 bo‘lsa, u holda y = 2 va y = 7 ni yozamiz. Ba'zan harflarga pastki belgilar qo'shiladi, masalan, x 1 = 3, x 2 = 5. Shu tarzda biz ildizlarning raqamlariga ishora qilamiz. Agar tenglamaning cheksiz sonli yechimlari bo'lsa, u holda javobni sonli interval sifatida yozamiz yoki umumiy qabul qilingan yozuvlardan foydalanamiz: natural sonlar to'plami N, butun sonlar - Z, haqiqiy sonlar - R. Aytaylik, agar tenglamaning yechimi istalgan butun son bo‘lishini yozish kerak bo‘lsa, u holda x ∈ Z ni, birdan to‘qqizgacha bo‘lgan har qanday haqiqiy son bo‘lsa, y ∈ 1, 9 ni yozamiz.

Agar tenglama ikki, uchta yoki undan ko'p ildizga ega bo'lsa, biz, qoida tariqasida, ildizlar haqida emas, balki tenglamaning echimlari haqida gapiramiz. Bir necha o'zgaruvchili tenglamaning yechimi ta'rifini tuzamiz.

Ta'rif 5

Ikki, uch yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamaning yechimi berilgan tenglamani to'g'ri raqamli tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchilarning ikki, uch yoki undan ortiq qiymatlari hisoblanadi.

Keling, ta'rifni misollar bilan tushuntiramiz.

4-misol

Aytaylik, bizda x + y = 7 ifodasi bor, bu ikki o'zgaruvchiga ega tenglama. Birinchisining o‘rniga bittasini, ikkinchisining o‘rniga ikkitasini qo‘yaylik. Biz noto'g'ri tenglikni olamiz, ya'ni bu juft qiymatlar ushbu tenglamaning yechimi bo'lmaydi. Agar biz 3 va 4 juftlikni olsak, u holda tenglik to'g'ri bo'ladi, demak biz yechim topdik.

Bunday tenglamalarning ildizlari bo'lmasligi yoki ularning cheksiz soni ham bo'lishi mumkin. Ikki, uch, to'rt yoki undan ortiq qiymatlarni yozish kerak bo'lsa, ularni qavs ichida vergul bilan ajratib yozamiz. Ya'ni, yuqoridagi misolda javob (3, 4) kabi ko'rinadi.

Amalda, siz ko'pincha bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan shug'ullanishingiz kerak. Biz ularni echish algoritmini tenglamalarni echishga bag'ishlangan maqolada batafsil ko'rib chiqamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing