Bessel funktsiyalari. Kurs ishi: Bessel funksiyalari Bessel funksiyasining grafigi

Buyurtmalar.

Garchi $\backslash alfa$ Va $(-\backslash alfa)$ bir xil tenglamalarni yaratadi, ular odatda turli funktsiyalar ularga mos kelishiga rozi bo'lishadi (bu, masalan, Bessel funktsiyasi silliq bo'lishi uchun amalga oshiriladi. $\backslash alfa$).

Bessel funktsiyalari birinchi marta shveytsariyalik matematik Daniel Bernulli tomonidan aniqlangan va Fridrix Bessel sharafiga nomlangan.

Ilovalar

Bessel tenglamasi silindrsimon va sferik koordinatalarda Laplas tenglamasi va Gelmgolts tenglamasining yechimlarini topishda yuzaga keladi. Shuning uchun Bessel funktsiyalari to'lqin tarqalishi, statik potentsiallar va boshqalarga oid ko'plab muammolarni hal qilishda qo'llaniladi, masalan:

• silindrsimon to'lqin o'tkazgichdagi elektromagnit to'lqinlar;
• silindrsimon ob'ektlardagi issiqlik o'tkazuvchanligi;
• yupqa dumaloq membrananing tebranish rejimlari;
• dumaloq teshik bilan diffraktsiya qilingan yorug'likning intensivligini taqsimlash;
• suyuqlik bilan to'ldirilgan va o'z o'qi atrofida aylanadigan silindrdagi zarrachalarning tezligi;
• sferik simmetrik potentsial qutidagi to'lqin funktsiyalari.

Bessel funktsiyalari boshqa muammolarni hal qilishda, masalan, signalni qayta ishlashda ham qo'llaniladi.

Ta'riflar

Yuqoridagi tenglama ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo'lgani uchun uning ikkita chiziqli mustaqil yechimi bo'lishi kerak. Biroq, vaziyatga qarab, ushbu qarorlarning turli xil ta'riflari tanlanadi. Quyida ulardan ba'zilari keltirilgan.

Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari

Belgilangan birinchi turdagi Bessel funktsiyalari $J\_\backslash alfa(x)$, yechimlar nuqtada cheklangan $x=0$ butun yoki manfiy bo'lmagan uchun $\backslash alfa$. Muayyan funktsiyani tanlash va uni normallashtirish uning xususiyatlari bilan belgilanadi. Biz bu funktsiyalarni Teylor seriyasining nolga yaqin kengayishi (yoki butun sonlar uchun umumiy quvvat seriyasi) yordamida aniqlashimiz mumkin. $\backslash alfa$):

$J\_\backslash alpha(x)\; =\; \backslash sum\_(m=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^m)(m!\backslash ,\; \backslash Gamma(m+\backslash alfa+1))\; (\backslash left((\backslash frac()\; x)(2))\backslash o\text{'}ng))^(2m+\backslash alfa)$

Neyman funksiyalari ikkinchi turdagi Bessel funksiyalari deb ham ataladi. Birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalarining chiziqli birikmasi Bessel tenglamasining to'liq yechimidir:

$y(x)\; =\; C\_1\; J\_\backslash alfa(x)\; +\; C\_2\; Y\_\backslash alfa(x).$

Quyida grafik keltirilgan $Y\_\backslash alfa\; (x)$ Uchun $\backslash alfa\; =\; 0$, 1 va 2:

Xususiyatlari

Ortogonallik

Mayli $\backslash mu\_1$ Va $\backslash mu\_2$- Bessel funksiyasining nollari $J\_(\backslash alfa)(x)$. Keyin:

$\backslash int\_(0)^(1)(x\; J\_(\backslash alpha)(\backslash mu\_1\; x)\; J\_(\backslash alpha)(\backslash mu\_2\; x)\; dx)\; =\; \backslash chap\backslash (\; \backslash begin(matritsa)$

0 & \mbox(;)\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\ \frac(1)(2)(J"_(\alpha)(\mu_1))^2 & \mbox(;)\quad \mu_1=\mu_2

\end (matritsa) \o'ng. .

Asimptotiklar

Asimptotik formulalar birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalari uchun ma'lum. Kichik argumentlar uchun va salbiy emas $\backslash alfa$ ular shunday ko'rinadi:

$J\_\backslash alpha(x)\; \backslash o\text{'}ng\; o\text{'}q\; \backslash frac(1)(\backslash Gamma(\backslash alfa+1))\; \backslash left(\backslash frac(x)(2)\; \backslash o\text{'}ng)\; ^\backslash alpha,$

\end (matritsa) \o'ng. ,

$J\_\backslash alpha(z)=\backslash frac((z/2)^\backslash alpha)(\backslash Gamma(\backslash alpha+1))\; ()\_0F\_1\; (\backslash alpha+1;\; -z^2/4).$

Shunday qilib, butun sonlar uchun $\backslash alfa$ Bessel funktsiyasi aniq analitik, va butun bo'lmaganlar uchun - ko'p qiymatli analitik.

Yaratish funktsiyasi

Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari va butun son tartiblari uchun ma'lum bir turdagi funktsiyaning Laurent seriyasining koeffitsientlari orqali taqdimot mavjud, xususan:

$e^(\backslash frac(z)(2)\backslash left(w-\backslash frac(1)(w)\backslash o\text{'}ng))=\backslash sum\_(n=-\backslash infty)^(+\backslash infty)J\_n(z)w^\; n.$

Nisbatlar

Yakobi-G'azab formulasi va tegishli

da hosil qiluvchi omil uchun ifodalarni olamiz $a=1$, $t=e^(i\backslash phi)$:

$e^(iz\backslash sin\backslash phi)=J\_0(z)+2\backslash sum\_(n=1)^\backslash infty\; J\_(2n)(z)\backslash cos(2n\backslash phi)+2i\backslash sum\_(n=1)^\; \backslash infty\; J\_(2n-1)(z)\backslash sin(2n-1)\backslash phi.$

Da $a=1$, $t=yani^(i\backslash phi)$:

$e^(iz\backslash cos\backslash phi)=J\_0(z)+2\backslash sum\_(n=1)^\backslash infty\; i^nJ\_n(z)\backslash cos(n\backslash phi).$

Qo'shish teoremasi

Har qanday butun uchun $n$ va murakkab $z\_1$ Va $z\_2$ amalga oshirildi

$J\_n(z\_1+z\_2)\; =\; \backslash sum\_(k=-\backslash infty)^\backslash infty\; J\_k(z\_1)\; J\_(n-k)(z\_2).$

Integral ifodalar

Har qanday uchun $a$ Va $b$(shu jumladan kompleks) amalga oshiriladi

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^(-at)J\_n(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac(b^n)(\backslash sqrt(a^2+b^2)(\backslash sqrt(a^2+b^2)\; +a)^n).$

Oxirgi formulaning alohida holati ifodadir

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^(-at)J\_0(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sqrt(a^2+b^2)).$

Shuningdek qarang

"Bessel funktsiyalari" maqolasi haqida sharh yozing

Eslatmalar

Adabiyot

• Uotson G. Bessel funktsiyalari nazariyasi. - M.: IL, 1949 yil.
• Bateman G., Erdelyi A. Bessel funktsiyalari, parabolik tsilindr funktsiyalari, ortogonal polinomlar // Oliy transsendental funktsiyalar. T. 2. 2-nashr / Tarjima. ingliz tilidan N. Ya. Vilenkina. - M.: Nauka, 1974. - 296 b.
• Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi usullari. - M.: Nauka, 1973. - 736 b.

Bessel funktsiyalarini tavsiflovchi parcha

- Vera, - dedi grafinya to'ng'ich qiziga murojaat qilib, sevilmaganligi aniq. - Nega hech narsa haqida tasavvuringiz yo'q? Bu yerda o'zingizni joyingiz yo'qdek his qilmayapsizmi? Opalaringga bor, yoki...
Go'zal Vera nafrat bilan jilmayib qo'ydi, shekilli, zarracha haqoratni his qilmagan.
"Agar menga allaqachon aytgan bo'lsangiz, onam, men darhol ketgan bo'lardim", dedi u va xonasiga ketdi.
Ammo divan yonidan o'tib, u ikkita derazada simmetrik tarzda ikkita juftlik o'tirganini payqadi. U to'xtadi va nafrat bilan jilmayib qo'ydi. Sonya unga birinchi marta yozgan she'rlarini ko'chirayotgan Nikolayning yonida o'tirdi. Boris va Natasha boshqa derazada o'tirishdi va Vera ichkariga kirganda jim bo'lishdi. Sonya va Natasha Veraga aybdor va baxtli yuzlar bilan qarashdi.
Bu qizlarga muhabbat bilan qarash qiziqarli va ta'sirli edi, lekin ularni ko'rish Verada yoqimli tuyg'uni uyg'otmagani aniq.
"Men sizdan necha marta so'radim, - dedi u, - mening narsalarimni olmang, sizning o'z xonangiz bor".
U Nikolaydan siyoh idishini oldi.
— Hozir, hozir, — dedi u qalamini hoʻllab.
"Siz hamma narsani noto'g'ri vaqtda qanday qilishni bilasiz", dedi Vera. "Keyin ular yashash xonasiga yugurishdi, shuning uchun hamma sizdan uyaldi."
Garchi uning aytganlari to'liq adolatli bo'lganiga qaramay, hech kim unga javob bermadi va to'rttasi bir-biriga qaradi. U qo‘lida siyoh idishi bilan xonada o‘tirib qoldi.
- Va sizning yoshingizda Natasha va Boris va sizning orangizda qanday sirlar bo'lishi mumkin - bularning barchasi shunchaki bema'nilik!
- Xo'sh, sizga nima qiziq, Vera? – dedi Natasha ohista ohangda.
Aftidan, u o'sha kuni har doimgidan ham mehribon va hammaga mehribonroq edi.
- Juda ahmoq, - dedi Vera, - men sizdan uyalaman. Qanday sirlar bor?...
- Har kimning o'ziga xos sirlari bor. Biz sizga va Bergga tegmaymiz, - dedi Natasha hayajonlanib.
"Menimcha, siz menga tegmaysiz, - dedi Vera, - chunki mening harakatlarimda hech qachon yomon narsa bo'lishi mumkin emas." Ammo men onamga Borisga qanday munosabatda bo'lishingizni aytaman.
"Natalya Ilyinishna menga juda yaxshi munosabatda bo'ladi", dedi Boris. "Men shikoyat qila olmayman", dedi u.
- Qo'ying, Boris, siz shunday diplomatsiz (diplomat so'zi bolalar orasida bu so'zga biriktirilgan alohida ma'noda juda ko'p ishlatilgan); Bu hatto zerikarli, - dedi Natasha xafa, titroq ovoz bilan. - Nega u meni xafa qilyapti? Siz buni hech qachon tushunolmaysiz, - dedi u Veraga yuzlanib, - chunki siz hech qachon hech kimni sevmagansiz; sizda yurak yo'q, siz faqat xonim de Genlissiz (bu taxallusni juda haqoratli hisoblangan Veraga Nikolay bergan) va sizning birinchi zavqingiz boshqalarga muammo tug'dirishdir. "Siz Berg bilan xohlaganingizcha noz-karashma qilasiz", dedi u tezda.
- Ha, men mehmonlar oldida yigitni ta'qib qilishni boshlamayman ...
"Xo'sh, u o'z maqsadiga erishdi," deb aralashdi Nikolay, - u hammaga yoqimsiz narsalarni aytdi, hammani xafa qildi. Keling, bolalar bog'chasiga boraylik.
To‘rttasi qo‘rqib ketgan qushlardek o‘rnidan turib, xonadan chiqib ketishdi.
"Ular menga ba'zi muammolarni aytishdi, lekin men hech kimga hech narsa demadim", dedi Vera.
- Xonim de Genlis! Xonim de Genlis! – eshik ortidan kulgili ovozlar eshitildi.
Hammaga shunday asabiy, noxush ta’sir ko‘rsatgan go‘zal Vera jilmayib qo‘ydi va, shekilli, unga aytilgan gaplardan ta’sirlanmay, oyna oldiga borib, ro‘molini, soch turmagini to‘g‘riladi. Uning chiroyli chehrasiga qarab, u yanada sovuqroq va xotirjamroq bo'ldi shekilli.

Suhbat yashash xonasida davom etdi.
- Oh! chere, - dedi grafinya, - va mening hayotimda tout n”est pas rose. Ko'rmayapmanmi, du train, que nous allons, [hamma narsa atirgul emas. - hayot tarzimizni hisobga olsak,] bizning ahvolimiz bo'lmaydi. Biz uchun uzoq davom etadi! Va "Bularning barchasi klub va uning mehribonligi. Biz qishloqda yashaymiz, biz haqiqatan ham dam olamizmi? Teatrlar, ov va Xudo biladi nima. Lekin men haqimda nima deyishim mumkin! Xo'sh, hammasini qanday tartibga keltirdingiz? Men seni hayratda qoldiraman, Annet, sen yoshingda yolg‘iz aravada, Moskvaga, Sankt-Peterburgga, barcha vazirlarga, barcha zodagonlarga qanday borishni bilasan. Hamma bilan birga men ham hayronman! Xo'sh, bu qanday amalga oshdi? Men buni qanday qilishni bilmayman.
- Oh, jonim! - javob berdi malika Anna Mixaylovna. “Xudo asrasin, beva qolib, qo'llab-quvvatlashsiz va sevgan o'g'lingiz bilan sajda qilish qanchalik qiyinligini bilasiz. "Siz hamma narsani o'rganasiz", dedi u qandaydir mag'rurlik bilan. - Jarayonim menga o'rgatdi. Agar men ushbu eyslardan birini ko'rishim kerak bo'lsa, men eslatma yozaman: "princesse une telle [faloncha malika] falonchini ko'rishni xohlaydi" va men o'zimni kamida ikkita taksida haydaman. Men kerakli narsaga erishgunimcha, uch marta, kamida to'rt marta. Kim men haqimda nima deb o'ylashi menga qiziq emas.
- Xo'sh, Borenka haqida kimdan so'radingiz? – so‘radi grafinya. - Axir sizniki allaqachon qorovul, Nikolushka esa kursant. Bezovta qiladigan hech kim yo'q. Kimdan so'radingiz?
- Shahzoda Vasiliy. U juda yoqimli edi. Endi men hamma narsaga rozi bo'ldim, suverenga xabar berdim, - dedi malika Anna Mixaylovna xursandchilik bilan, maqsadiga erishish uchun boshidan kechirgan barcha xo'rliklarni butunlay unutib.
- U qarib qolganmi, knyaz Vasiliy? – so‘radi grafinya. - Men uni Rumyantsevlardagi teatrlarimizdan beri ko'rmaganman. Va menimcha, u meni unutgan. "Il me faisait la cour, [U mening orqamdan ketayotgan edi", deb esladi grafinya tabassum bilan.
- Hali ham shunday, - deb javob berdi Anna Mixaylovna, - mehribon, maydalangan. Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Yuqori mansab umuman boshini aylantirmadi.] “Siz uchun juda kam ish qila olganimdan afsusdaman, aziz malika”, dedi u menga, “buyurtma”. Yo'q, u yaxshi odam va ajoyib oila a'zosi. Lekin bilasizmi, Natali, mening o'g'limga bo'lgan muhabbatim. Uni baxtli qilish uchun nima qilmaganimni bilmayman. "Va mening ahvolim juda yomon," deb davom etdi Anna Mixaylovna qayg'u bilan va ovozini pasaytirib, - shu qadar yomonki, men hozir eng dahshatli ahvoldaman. Mening ayanchli jarayonim bor narsamni yeydi va harakat qilmayapti. Menda yo'q, tasavvur qila olasizmi, a la lettre [so'zma-so'z], menda bir tiyin ham pul yo'q va men Borisni nima bilan bezashni bilmayman. “U ro'molchani olib yig'lay boshladi. "Menga besh yuz rubl kerak, lekin menda yigirma besh rubllik banknot bor." Men shu holatdaman... Endi mening yagona umidim graf Kirill Vladimirovich Bezuxov. Agar u o'z xudojo'yini qo'llab-quvvatlashni istamasa - axir u Boryani suvga cho'mdirgan - va unga parvarish qilish uchun biror narsa tayinlagan bo'lsa, unda mening barcha muammolarim yo'qoladi: men uni kiyintiradigan hech narsam bo'lmaydi.
Grafinya ko'z yoshlarini to'kib, jimgina nimadir haqida o'yladi.
"Men tez-tez o'ylayman, ehtimol bu gunohdir, - dedi malika, - va men tez-tez o'ylayman: graf Kirill Vladimirovich Bezuxoy yolg'iz yashaydi ... bu juda katta boylik ... va u nima uchun yashaydi? Hayot uning uchun yuk, lekin Borya endigina yashay boshladi.
"U, ehtimol, Borisga biror narsa qoldiradi", dedi grafinya.
- Xudo biladi, marhamat! [aziz do'stim!] Bu boylar va zodagonlar juda xudbin. Ammo men hali ham Boris bilan uning oldiga boraman va unga nima bo'layotganini to'g'ridan-to'g'ri aytib beraman. Ular men haqimda nimani xohlashlarini o'ylasinlar, o'g'limning taqdiri bunga bog'liq bo'lsa, menga umuman ahamiyat bermaydi. - Malika o'rnidan turdi. - Hozir soat ikki, soat to'rtda esa tushlik qilasiz. Menga borishga vaqtim bor.
Va vaqtdan qanday foydalanishni biladigan Sankt-Peterburglik ishbilarmon ayolning texnikasi bilan Anna Mixaylovna o'g'lini chaqirib, u bilan birga zalga chiqdi.
"Alvido, jonim," dedi u o'zini eshikgacha kuzatib kelgan grafinyaga, - menga muvaffaqiyatlar tilang, - dedi u o'g'lidan pichirlab.
- Siz graf Kirill Vladimirovichga tashrif buyuryapsizmi, ma chere? — dedi ovqatxonadan graf ham koridorga chiqib. - Agar u o'zini yaxshi his qilsa, Perni men bilan kechki ovqatga taklif qiling. Axir u menga tashrif buyurdi va bolalar bilan raqsga tushdi. Har holda menga qo'ng'iroq qiling, ma chere. Keling, bugungi kunda Taras o'zini qanday ajratib olishini ko'rib chiqaylik. Uning so'zlariga ko'ra, graf Orlov hech qachon biz kabi kechki ovqatga ega bo'lmagan.

Bessel differensial tenglamasi va haqiqiy son bo'lgan ko'rinishdagi tenglamadir. Bu tenglamaning yagona nuqtasi z = 0 ((7) dagi eng yuqori hosila koeffitsienti x = 0 da yo'qoladi). (5) va (7) ni solishtirib, shunday xulosaga kelamizki, Bessel tenglamasi uchun x = 0 Po(x) funksiyaning ikkinchi darajali noli (m = 2), p\ funksiyaning birinchi tartibli nolidir. (x) va pi (x) funksiyaning nolga teng emas (agar v F 0). Demak, 17-teoremaga ko‘ra (7) tenglamaning umumlashgan darajali qator ko‘rinishidagi yechimi mavjud bo‘lib, bunda a aniqlanadigan xarakterli ko‘rsatkichdir. (8) ifodani tenglama Bessel funksiyalari Differensial tenglama Eylerning G funksiyasi va uning xossalari Bessel funksiyalarining yarim butun indeksli takrorlanish formulalari Bessel funksiyalarining nollari Ortogonallik va norma Neyman (Veber) funksiyalari shaklida qayta yozamiz va bularning hosilalarini topamiz: ifodalarni (7) tenglamaga aylantirib, x ning koeffitsientlarini kuchga nolga tenglashtirib, biz tenglamalar sistemasini olamiz, u holda birinchi tenglamadan (9) shunday xulosa chiqadi, yoki Endi ikkinchi tenglamadan (9) bizni olamiz. birinchi navbatda ishni ko'rib chiqing. (9) sistemaning tenglamasini ak-2" orqali ak ni aniqlashning takroriy formulasini oladigan ko'rinishda qayta yozamiz.) Bu erdan a3 = 0 va umumiy olinganligini hisobga olsak, boshqa tomondan, har bir juft koeffitsient formuladan foydalangan holda oldingi ko'rinishda ifodalanishi mumkin Ushbu formulaning ketma-ket qo'llanilishi a2m orqali ao ifodasini topishga imkon beradi: Keling, koeffitsientlarning topilgan qiymatlarini (8), (10) formulaga almashtiramiz. (10) ning o'ng tomonidagi qator yarim o'qga x > 0 yaqinlashishini tekshirish va u yerdagi funksiya(lar)ni aniqlaydi - Bessel tenglamasining ma'lum bir yechimi Endi a = bo'lganda ikkinchi holatni ko'rib chiqamiz. -u Agar v musbat butun songa teng bo'lmasa, ikkinchi qismli yechimni yozishimiz mumkin, u holda (10) ifodadan v ni -v ga almashtirish orqali olinadi ((7) tenglamada v teng ko'rinadi), (“O () Agar va musbat butun songa teng bo'lsa, u holda (101) yechim o'z kuchini yo'qotadi, chunki ma'lum bir raqamdan boshlab kengaytirish shartlarining maxrajidagi omillardan biri (1(Y)) nolga teng bo'ladi.) o'ng tomondagi qator (10") ham x > 0 ning barcha qiymatlari uchun yaqinlashadi. Yi(x) va y2(x) yechimlari chiziqli mustaqildir. Darhaqiqat, ularning munosabatlari doimiy emas. 12.2. Eylerning G-funksiyasi va uning xossalari. Keyingi ishlar uchun Eylerning G-funksiyasining ba'zi xossalari kerak bo'ladi. U quyidagicha ta riflanadi: Qismlar bo yicha integrallash orqali biz G-funksiya uchun asosiy funksional tenglamani olamiz: Chunki va umuman olganda, Funktsional tenglama (11) yordamida manfiy qiymatlar uchun gamma funksiyani aniqlash mumkinligini ham ko rsatish mumkin. argumentdan. (11) tenglamani G(r) = ko'rinishda yozib, kichik r uchun G(r) ~ £ munosabati amal qilishini qayd etamiz. Xuddi shunday, agar m musbat butun son bo'lsa, u holda -m soniga yaqin p qiymatlari uchun bizda mavjud bo'ladi. Har qanday p uchun D(p) PH 0 ekanligini ko'rsatish mumkin, shuning uchun u barcha qiymatlar uchun uzluksiz bo'ladi. ning p, agar biz Bessel tenglamalarini (7) yechimga qaytarishni qo'ysak. Oq koeffitsienti hozirgacha o'zboshimchalik bilan qolmoqda. Agar v F -p bo'lsa, bu erda n > 0 butun son bo'lsa, bu ifodani (9) koeffitsientlari o'rniga qo'yib, topamiz deb faraz qilsak, (12) qatorga ega bo'lamiz, u Bessel tenglamasining yechimi bo'lgan funktsiyani belgilaydi va deyiladi. Birinchi turdagi va th tartibdagi Bessel funktsiyasi. Seriya a = -u (va butun son emas) holatiga mos keladi va (7) tenglamaning ikkinchi yechimini aniqlaydi, funktsiya bilan chiziqli mustaqil Demak, agar v butun songa teng bo'lmasa (, u holda Jv( funktsiyalari) x) va J-v(x) asosiy yechimlar sistemasini tashkil qiladi Bessel tenglamasi (7) va uning umumiy yechimi bu holda ko'rinishga ega For v uchun butun chiziqli munosabat amal qiladi.Aslida bizda qatorning birinchi n ta hadi yo'qoladi. , chunki a = 1. m = k + n yozuvini kiritib, biz birinchi turdagi nol (n = 0) va birinchi (n = 1) tartibli Bessel funktsiyalari uchun qatorlarni yozamiz: Jb( funktsiyalari x) va J\ (x) (4-rasm) ilovalarda tez-tez uchraydi va ular uchun batafsil jadvallar mavjud 12.4 Bessel funksiyalari uchun takrorlanish formulalari Formuladan to'g'ridan-to'g'ri tekshirish orqali biz amin bo'ldikki, biz aynan bir xil hisobni topamiz. (15) va (16) formulalarning chap tomonidagi hosilalarning hosilalari mos ravishda tengliklarni olamiz.(17) va (18) qo’shib ayirib, ikkita muhim takrorlanuvchi formulaga ega bo’lamiz: Formula (19) shuni ko’rsatadiki, Bessel funksiyalarining hosilalari Bessel funksiyalari orqali ifodalanadi. (20) formuladan kelib chiqadiki, Jv(x) va Jv-\(x) ni bilgan holda (/1/+\(x) ni topish mumkin. Xususan, butun sonlarning barcha Bessel funksiyalari Jo ikkita funksiya orqali ifodalanadi. (x) va J\(x) - Bu erda (14) munosabat foydali bo'lib chiqadi.(20) dan 1/ = 1 uchun, masalan, 12.5 ni topamiz.Yarim butun sonli indeksning Bessel funksiyalari Maxsus sinfni ko'rib chiqaylik. Bessel funksiyasi toq butunning yarmiga teng indeksli.Bu sinf ilovalarda uchraydi va diqqatga sazovorki, ko‘rib chiqilayotgan holatda Bessel funksiyalarini elementar funksiyalar bilan ifodalash mumkin.Shunday qilib, u = I uchun oddiy o‘zgartirishlar orqali. Biz xuddi shunday topamiz, chunki biz qo'lga kiritamiz Bu formulalarning ikkalasi ham ko'rinishda yozilishi mumkin Tenglama Bessel funktsiyalari Differensial tenglama Eylerning G-funktsiyasi va uning xossalari Bessel funktsiyalari uchun yarim butun indeksning takroriy formulalari Bessel funktsiyalarining nollari Ortogonallik va norma Neyman (Veber) funktsiyalari 12. 6. Bessel funksiyalarining nollari Ko‘pgina amaliy masalalarni yechishda Bessel funksiyalarining nollarini taqsimlash haqida tasavvurga ega bo‘lish kerak. Funksiyalarning nollari va J-x^x) mos ravishda sin x va cos x ning nollariga to'g'ri keladi. Ko'rsatish mumkinki, x ning katta qiymatlari uchun asimptotik ko'rinish1* (ham butun son, ham kasr v uchun amal qiladigan narsani solishtiring. Formula (22) argument ortishi bilan Bessel funksiyasi qanday harakat qilishini ko'rsatadi. Bu tebranuvchi funktsiyadir. bu nolga aylanadi va tebranishlar amplitudasi x -» +oo sifatida nolga intiladi.Musbat butun indeksli Bessel funksiyasi nollarining taqsimlanishi, ya'ni tenglama ildizlari quyidagi teorema bilan o'rnatiladi.Teorema. 18. Funksiya murakkab nolga ega emas, lekin real nollarning cheksiz to‘plamiga ega bo‘lib, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik joylashgan bo‘lib, u n = 1,2,... holatda ulardan biri hisoblanadi. funksiya oddiy, x = 0 nuqtadan tashqari, n = 1,2,... mos ravishda n ko‘paytmaning nolga teng 12.7 Bessel funksiyalarining ortogonalligi va normasi Bessel funksiyalarining ortogonalligi Differensial tenglamani ko‘rib chiqing, bunda A qandaydir sonli parametrdir. 0 dan farq qiladi. (23) tenglamaning Jv(\x) Bessel funksiyasi bilan qanoatlantirilishini tekshirish oson. (23) tenglamani ko'rinishda qayta yozamiz va A parametrining istalgan qiymatlarini belgilaymiz. Shunda biz bir xilliklarga ega bo'lamiz. Birinchi o'ziga xoslikni ko'paytiramiz), ikkinchisini -) va birini boshqasidan ayirib, barchani ko'paytiramiz. oxirgi identifikatsiya shartlarini x bo'yicha, shuni ta'kidlaymizki, u ko'rinishda yozilishi mumkin bo'lgan oxirgi identifikatsiyani 0 dan 1 gacha bo'lgan oraliqda x ga integrallash, biz tengliklarga ega bo'lamiz (25) shundan kelib chiqadiki, agar Ai, Ar ning nollari. funktsiya, keyin (25) ning chap tomoni va shuning uchun o'ng tomoni nolga teng, shuning uchun bu ta'rifga ko'ra, funktsiyalar og'irligi p 3 bo'lgan segmentda p (x) = x og'irligi bilan ortogonal ekanligini anglatadi. A|, Ar tenglamaning ildizlari bo'lsin, bunda h qandaydir o'zgarmas son. (28) tenglama matematik fizikada uchraydi va v > -1 uchun u cheksiz miqdordagi musbat ildizlarga ega, lekin murakkab ildizlarga ega emas (ikkita sof xayoliy ildiz mavjud bo'lgan hol bundan mustasno). Tenglikning chap tomonini (25) shaklda yozib, biz Bessel funksiyasining xJu(x) - hji,(x) = 0 chiziqli birikmasining nollariga nisbatan ortogonalligiga ishonch hosil qildik va Bessel funksiyasi. uning hosilasi: (28) tenglamaning ildizlari bu yerda. Bessel funktsiyalari normasi Qiymat 12.8. Neyman (Veber) funksiyalari Bessel tenglamasining har qanday notrivial yechimi silindrsimon funktsiya deyiladi. v butun son bo'lmaganda, funktsiyalar Bessel tenglamasining (7) yechimlarining funktsional tizimini tashkil qiladi. u = n - butun son uchun chiziqli bog'liqlik mavjud.Unga proportsional bo'lmagan Jr\x) yechimni topish uchun shunday qilamiz: butun bo'lmagan son uchun va funksiyani tuzamiz Bu chiziqli birikma. (7) chiziqli bir jinsli tenglamaning yechimlari va shuning uchun o'zi bu tenglamaning yechimidir. (30) ga v -» n kabi chegaraga o'tsak va L'Hopital qoidasidan foydalansak, J/y\(x) funktsiyalarining xarakteristik xususiyatiga ega bo'lamiz (2-turdagi Bessel funktsiyalari) - yakkalikning mavjudligi. koordinatalarning kelib chiqishida (5-rasm) Topilgan yechim Bessel tenglamasi (7) v = n bilan Jn(x) bilan birgalikda tenglamaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi Tenglama Bessel funksiyalari Differensial tenglama Eyler G-funksiyasi va uning xossalari Takrorlanish. Yarim butun indeksli Bessel funksiyalari formulalari Bessel funksiyalarining nollari Ortogonallik va norma Neyman funksiyalari ( Weber) L£(x) funksiya Neyman funksiyasi yoki Veber funksiyasi deb ham ataladi. Uchun etarlicha katta x Shunday qilib, boshlang'ichdan katta masofalarda 1-va 2-turdagi silindrsimon funktsiyalar bir-biriga kosinus va sinus sifatida bog'liq, lekin omil tufayli x ortib borishi bilan parchalanadi. Eksponensial funktsiyalar (Eyler formulalari) bilan o'xshashlik orqali harakatlanuvchi to'lqinlar bilan bog'liq funktsiyalarni beruvchi Jv(x) funktsiyalarning chiziqli birikmasini qurish mumkin. Shunday qilib, biz 3-turdagi Bessel funksiyalariga yoki munosabatlar bilan aniqlangan Hankel funksiyalariga erishamiz Mashqlar Tenglamalarning umumiy yechimini toping: Koshi muammosining yechimini toping: Tenglamalarni integrasiyalash, ko‘rsatilgan joylarda qisman yechimlarni toping: Quyidagilarning umumiy yechimlarini toping. Chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalar Qisman yechimlar turlari Turli o'ng tomonlar uchun doimiy koeffitsientli bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamalar Differensial tenglamalarning o'ng tomoni*) Xarakteristik tenglamaning ildizlari Xususiy yechimlarning turlari 1. 0 raqami xarakteristik tenglamaning ildizi emas. 0 soni ko‘plik xarakteristika tenglamasining ildizi r 2. a soni xarakterli tenglamaning ildizi emas a soni ko‘plikning xarakteristik tenglamasining ildizi r 3. ± “”/3 raqamlari xarakteristik tenglama. ± "/9 raqamlari r 4 koʻpaytmaning xarakteristik tenglamasining ildizlari. a ± i/3 raqamlari xarakteristik tenglamaning ildizlari emas. a ± i/3 raqamlari xarakteristikaning ildizlaridir. ko'plik tenglamasi r *) O'ng tomonning dastlabki uchta turi to'rtinchisining maxsus holatlaridir. Quyidagi chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamalarning qisman yechimlari turini ko‘rsating: Konstantalarni o‘zgartirish usulidan foydalanib, quyidagi tenglamalarni integrallang: Quyidagi Eyler tenglamalarini integrallang: Javoblar.

BESSEL FUNKSIYALARI, 1-turdagi silindrsimon funktsiyalar; aylana va silindrsimon simmetriyaga ega boʻlgan sohalarda koʻrib chiqiladigan fizik jarayonlarni (issiqlik oʻtkazuvchanligi, diffuziya, tebranishlar va boshqalar) oʻrganishda foydalaniladi. Bessel funksiyalari Bessel tenglamasining yechimlaridir.

Bessel funktsiyalari J p tartibli (indeks) p, -∞<р<∞, представляется сходящимся при всех Х рядом

Bu erda G - gamma funksiyasi. X > 0 uchun J p (x) ning grafigi sönümli tebranishlarga ega egri chiziq; J p (x) cheksiz sonli nolga ega; qatorning birinchi hadlari kichik |x| uchun J p (x) ning asimptotik ifodasini beradi; katta x>0 uchun asimptotik ko‘rinish o‘rinli.

p = n + 1/2 tartibli Bessel funktsiyalari, bu erda n - butun son, elementar funktsiyalar orqali ifodalanadi; ayniqsa,

µ n p - tenglamaning musbat ildizlari J p (x) = 0, p > - 1/2, l - qandaydir musbat son, (0, l) oraliqda x vaznli ortogonal tizim hosil qiladi.

J 0 funksiyasi birinchi marta D. Bernulli tomonidan ogʻir zanjirlarning tebranishlariga bagʻishlangan asarida oʻrganilgan (1732). L. Eyler dumaloq membrananing tebranishlari masalasini (1738) ko'rib chiqib, butun qiymatlari p = n bo'lgan Bessel tenglamasiga keldi va J n (x) ifodani x darajasida qator shaklida topdi; keyinchalik u bu ifodani p ning ixtiyoriy qiymatlari holatiga kengaytirdi. F.Bessel sayyoralarning Quyosh atrofidagi harakatini oʻrganish bilan bogʻliq holda (1824) J p (x) funksiyalarini oʻrgandi va J 0 (x), J 1 (x) uchun birinchi jadvallarni tuzdi.

Lit.: Watson G. N. Bessel funktsiyalari nazariyasi. M., 1949. 1-2-qismlar; Lebedev N. N. Maxsus funktsiyalar va ularning qo'llanilishi. 2-nashr. M.; L., 1963; Bateman G., Erdelyi A. Oliy transsendental funktsiyalar. Bessel funksiyalari, parabolik silindr funksiyalari, ortogonal ko‘phadlar. M., 1974 yil.

Bessel yoki silindrsimon funksiyalar Besselning chiziqli differensial tenglamasining yechimlaridir.

Qayerda z- murakkab o'zgaruvchi, ν – parametr, tartib, belgi yoki indeks ixtiyoriy kompleks son ham bo‘lishi mumkin.

Ilovalarda ko'pincha qachon ishni ko'rib chiqish kerak bo'ladi n = n- butun son. Silindrsimon funksiyalar deb quyidagi funksiyalar tushuniladi: Bessel funksiyalari J ν (z), Neyman funksiyalari N ν (z), ko'pincha Weber funktsiyalari deb ataladi Y ν (z) va Hankel funktsiyalari H ν (1) (z), H ν (2) (z). Nomlangan funksiyalar belgilangan
analitik funksiyalardir z. Ko'pincha Bessel funktsiyalari sobit uchun hisobga olinishi kerak z piktogramma funktsiyalari sifatida ν . Bundan tashqari, ular murakkab o'zgaruvchining butun funktsiyalari ν .

Butun funksiya analitik funksiya bo‘lib, uni hamma joyda konvergent Teylor qatori bilan ifodalash mumkin
.

Funktsiyalar o'rtasida J ν (z), N ν (z) yoki Y ν (z), H ν (1) (z), H ν (2) (z) Eyler formulalariga o'xshash bog'liqliklar mavjud:

; .

Fizik nuqtai nazardan garmonik funksiyalar doimiy chastotaning so'nmagan tebranishlarini tavsiflaydi, Bessel funksiyalari esa zaif so'rilgan tebranish jarayonini tavsiflaydi, chastotasi faqat asimptotikada doimiy bo'ladi.

(6.13) tenglamaning umumlashtirilgan darajali qator ko’rinishidagi yechimini izlash
, Qayerda a m Va a- aniqlanadigan koeffitsientlar va parametrning qiymati mos ravishda ikkita qisman echimga ega bo'lamiz:

;
, (6.14)

qaysi da
chiziqli mustaqil va ularning chiziqli birikmasi (6.13) tenglamaning umumiy yechimini tashkil qiladi. Agar n = n, keyin funksiyalar orasida J P (z) Va J -P (z) shaklning chiziqli bog'liqligi mavjud
. uchun (6.13) tenglamaning umumiy yechimini olish n = n va Neyman funksiyasi kiritiladi. Funksiyalar J ν (z) Va N ν (z) har qanday qiymatlar uchun Bessel tenglamasining fundamental chiziqli mustaqil yechimlar tizimini hosil qiladi v, shu jumladan butun sonlar uchun.

Sof xayoliy argumentning Bessel funktsiyalari (o'zgartirilgan Bessel funktsiyalari). Agar shunday deb taxmin qilsak
, Qayerda x haqiqiy o'zgaruvchi bo'lsa, bu qiymatni (6.14) ga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

;
.

Ushbu ifodalarga kiritilgan qatorlar o'zgartirilgan Bessel funktsiyalarini aniqlaydi

;
. (6.15)

(6.14) qatorlar ishorasi bilan almashinib turishi va (6.15) ishorasi boʻyicha doimiy boʻlishi ularning xatti-harakatlaridagi keskin farqni aniqlaydi (6.9 va 6.10-rasmlarga qarang, bunda funksiyalar grafiklari koʻrsatilgan. J n (x) Va I n (x) mos ravishda).

Keyinchalik Bessel funksiyasining argumentini haqiqiy son deb hisoblaymiz X. Bessel funksiyalarini farqlash qoidasi quyidagi takrorlanish munosabati bilan aniqlanadi:
. Xususan, qachon
ekanligini hisobga olgan holda
, biz olamiz:
.

Uchta qo'shni Bessel funktsiyasi munosabat bilan bog'langan

. (6.16)

Shunga o'xshash formulalar o'zgartirilgan Bessel funktsiyalari uchun amal qiladi:

;
.

Argumentning manfiy butun qiymatlari uchun gamma funktsiyasining xatti-harakatlarini hisobga olgan holda (6.15) ta'rifdan shuni ko'rsatish oson. I  n (x) = I n (x) va shuning uchun
.

Yarim butun son belgisi bilan
, Qayerda n butun son, Bessel funktsiyalari elementar funksiyalar orqali ifodalanadi, chunki munosabatlar qanoatlantiriladi.
Va
, bu (6.16) takrorlanish munosabatidan foydalanish imkonini beradi
, va hokazo.

Yarim butun sonli piktogrammaning Bessel funktsiyalari uchun umumiy ifodalar shaklga ega
Va
, bu erda belgi
anglatadi P- orqasidagi ifodani ko'p farqlash va natijani ko'paytirish
har bir farqlashdan keyin.

Keyinchalik farqlash ushbu omilni hisobga olgan holda amalga oshiriladi. Masalan,

Yuqoridagi iboralar yana bir bor Bessel funktsiyalari harakatining tebranish va zaif so'nish xususiyatini ta'kidlaydi.

Bessel funktsiyasining asimptotik xatti-harakatlarini o'rganishda argumentning xatti-harakati uchun turli stsenariylar ko'rib chiqiladi. z va ikona v. Eng qiziqarli va oddiy holat - bu qachon v belgilangan va
. Bu holda, uchun birinchi taxminiy
kabi ko'rinadi

,

va shunga mos ravishda,
.

Bessel funksiyalarining xususiyati shundaki, ular ortib borishi bilan ortadi v bo'shliq
bunda Bessel funksiyasi nolga yaqin.

Bessel funktsiyalarini o'rganishda hosil qiluvchi funktsiyalar muhim rol o'ynaydi. Demak, masalan, funksiyani kengaytirsak
murakkab o'zgaruvchi z va haqiqiy t mohiyatan yagona nuqtaga yaqin joylashgan Loran seriyasiga z = 0, keyin biz olamiz
.

Ishonish
va kompleks sonlarning tengligi shartlarini yozib, amaliyot uchun ikkita muhim kengaytmani olamiz:

bundan kelib chiqadi

;
. (6.17)

Bundan foydalanib
va kosinusning pariteti va sinusning toqligini hisobga olgan holda, bu ifodalarni shaklda yozish mumkin.

;
.

Agar bu ifodalarda almashtirsak yoqilgan
, keyin olamiz

;
.

Ushbu kengaytmalar ularni birinchi bo'lib olgan Yakobi nomi bilan atalgan.

Birinchi tenglikning (6.17) chap va o'ng tomonlarini ko'paytirish
, ikkinchisi esa
va 0 dan integratsiya , biz olamiz:

Ushbu tengliklarni qo'shib, biz har qanday uchun topamiz P:

.

Bessel funksiyasining butun son belgisi bilan integral tasviri sifatida qarash mumkin bo'lgan bu integralga Bessel integrali deyiladi. Da n = 0 bo'lsa, Bessel integrali Parseval integraliga aylanadi:

.

Maxsus belgi uchun v shartiga ko'ra
Puasson formulasi haqiqiydir

.

Qachon ekanligiga ishonch hosil qiling v = 0 Parseval integralini olamiz, u mustaqil ravishda o'quvchiga taklif etiladi.

O'zgartirilgan Bessel funktsiyalari uchun
da
Puasson integral tasviri haqiqiydir

.

Da v = 0 o'zgaruvchan almashtirish yordamida
integral tasvirni olishingiz mumkin

.

Ko'pgina masalalarda Bessel (silindrsimon) funktsiyalari uchun qo'shish teoremalari foydali bo'lib, ulardan eng oddiyi quyidagilardir.

Mayli
- rasmda ko'rsatilgan uchburchakning tomonlari. 6.11, a Va – uning burchaklari yon tomonlarga qarama-qarshi yotadi Va shunday qilib, kosinuslar va sinuslar teoremalariga muvofiq
Va
. Keyin uchun
shaklning parchalanishi mavjud

,

Neyman formulasi deb ataladi, bu erda
- Neyman ramzi.

O'zgartirilgandan beri R  R, r 1  r 1 , r 2  r 2 burchak  va  o'zgarmaydi, u holda yuqoridagi formulani quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

.

 = bo'lganda j shuni hisobga olgan holda J k (x) = j k I k (x), k = 0, 1, 2, …, biz olamiz:

.

Maxsus belgi uchun v uchun qo'shish teoremalari J v (R) Va I v (R) shaklni oladi:

,

.

Silindrsimon funksiyalarning nollari va Furye qatoridagi funksiyalarning kengayishi Bessel. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, Bessel funktsiyalari asosida bazis tizimini qurishda baza yoki ona funksiyasining nollari shkala omilini aniqlaydi. Tenglamani ko'rib chiqing
. Bu tenglamaning ildizlari Bessel funksiyasining nollari deyiladi
va sifatida belgilanadi

Bessel funksiyalarining nollari
Va
kesishgan. Funktsiyalar tizimi ekanligini ko'rsatish mumkin
, Qayerda
–n tenglamaning ildizi
, intervalda ortogonal
og'irlik bilan x, ya'ni.

Indeksga qo'shni Bessel funktsiyalarining nollari interleplanganligi sababli
.

Agar funktsiya f(x) bo'lakcha uzluksiz va har qanday intervalda cheklangan o'zgarishlarga ega ( c, d), 0 shartini qondirish< c < d < a, Va

integral mavjud
, keyin Furye-Bessel seriyasi
, Qayerda
, yaqinlashadi va yig'indiga ega, ya'ni mos keladi
uning uzluksizligining har bir nuqtasida.

Oddiy radiotexnika masalasida Bessel funksiyalaridan foydalanishga misol keltiramiz.

Garmonik modulyatsiya qonuni bilan chastotali modulyatsiyalangan (FM) tebranishlar spektri. Bir lahzali chastotasi ga teng bo'lgan signalning spektrini topamiz, bu erda
- chastotali og'ish,
- tashuvchi chastotasi,
- modulyatsiya chastotasi. Tebranish bosqichidan boshlab
, keyin bizning holatlarimizda
. Munosabat
modulyatsiya indeksi deb ataladi. Quyidagilardan ko'rinib turibdiki, modulyatsiyaning garmonik qonuni ostida FM tebranishlar spektrining tuzilishini aynan shu belgilab beradi.Ixtiyoriy doimiy - boshlang'ich faza.  umumiylikni yo‘qotmasdan nolga tenglashtirilishi mumkin. Shunday qilib, o'rganilayotgan signal quyidagi shaklga ega:

Qayerda
- tebranish amplitudasi.

Taniqli formuladan foydalanib, biz signalimizni shaklga yozamiz

Kengayish (6.17) va qayd etilgan trigonometrik formuladan foydalanib, biz garmonik modulyatsiya qonuni bilan FM tebranishlari spektrining yakuniy ifodasini olamiz:

.

Shunday qilib, o'rganilayotgan signalning spektri diskret xarakterga ega va garmonikalarning amplitudalari soni bilan belgilanadi. n va modulyatsiya indeksi. Bessel funktsiyalari harakatining tebranish xususiyatini hisobga olgan holda, modulyatsiya indeksi o'zgarganda garmoniklarning amplitudalari orasidagi munosabatlar o'zgaradi.

Rasmga murojaat qilish. 6.9, buni qachon ko'rish oson
faqat funktsiyalar nolga teng bo'lmaydi
,
Va
; Shuni eslatib o'tamiz
Va
faqat belgisi bilan farqlanadi. Shunday qilib, qachon

Agar bunga qachon qo'shsak
taxmin qilish mumkin
Va
, keyin biz nihoyat olamiz:

Shuni ta'kidlash kerakki, bir xil amplitudali spektr garmonik modulyatsiya qonuni bilan amplituda modulyatsiyalangan tebranishga ega. Buni tekshirish uchun o'quvchini taklif qilamiz.

Modulyatsiya indeksi ortishi bilan nolga teng bo'lmagan harmoniklar soni ortadi va tebranish spektri kengayadi. Yuqori sifatli FM uzatmalariga katta modulyatsiya indekslari bilan erishish mumkinligi sababli, nima uchun yuqori sifatli stereo eshittirish uzoq va o'rta to'lqinlarda emas, balki VHF diapazonida amalga oshirilishi aniq bo'ladi.

Shaklning Fredholm integral operatori
, yadro qaerda
Bessel funktsiyalari yoki tegishli funktsiyalardir, Bessel konvertatsiyasini belgilaydi. Ushbu transformatsiyaning eng ko'p qo'llaniladigan maxsus holatlaridan biri Hankel transformatsiyasidir

, .

Teskari operator (inversiya formulasi) shaklga ega

.

Bessel konvertatsiyasini qo'llashning boshqa holatlari bilan tanishishingiz mumkin.

Belgilangan birinchi turdagi Bessel funksiyalari butun yoki manfiy bo'lmagan nuqtada chekli bo'lgan yechimlardir. Muayyan funktsiyani tanlash va uni normallashtirish uning xususiyatlari bilan belgilanadi. Ushbu funktsiyalarni Teylor seriyasining nolga yaqin kengayishi (yoki butun son bo'lmagan qiymatlar uchun umumiy quvvat seriyasi) yordamida aniqlash mumkin:

Mana Eylerning gamma funksiyasi, faktorial va butun son bo'lmagan qiymatlarni umumlashtirish. Bessel funktsiyasining grafigi sinusoidga o'xshaydi, uning tebranishlari proportsional ravishda parchalanadi, lekin aslida funktsiyaning nollari davriy ravishda joylashmaydi.

Quyida grafikalar keltirilgan:

Agar butun son bo'lmasa, va funktsiyalari chiziqli mustaqildir va shuning uchun tenglamaning echimi hisoblanadi. Ammo agar u butun son bo'lsa, unda quyidagi munosabat to'g'ri bo'ladi:

5. FFT protsedurasi yordamida davriy signallarning amplitudalari va fazalari spektrini hisoblash;

Mathcad da fayl mavjud

Quvvat spektri har bir chastota uchun amplitudaning kvadrati sifatida hisoblangan quvvatga mos keladi, lekin boshlang'ich faza haqida hech qanday ma'lumotga ega emas. Quvvat spektri dastlabki faza ma'lumotlarini yo'qotganligi sababli, signalning chastotasi va fazaviy ma'lumotlarini aniqlash uchun FFT dan foydalanishga harakat qilish mumkin.

FFT tomonidan taqdim etiladigan dastlabki faza ma'lumotlari vaqt sohasidagi signalning kelib chiqishiga nisbatan fazadir. Shuning uchun, izchillikni olish uchun signalning qaysidir nuqtasidan namuna olishni boshlash kerak

dastlabki bosqich haqida ma'lumot. Sinus qonuniga ko'ra tebranish -90 ° ga teng boshlang'ich fazaga ega. Kosinus qonuniga ko'ra tebranish 0 ° ga teng boshlang'ich fazaga ega. Odatda, signal spektrini tahlil qilishda asosiy qiziqish spektr komponentlari orasidagi fazalar farqini yoki bir vaqtning o'zida olingan ikkita harmonik to'lqinlar orasidagi fazalar farqini o'lchashdir. Ba'zi ilg'or FFT funktsiyalaridan foydalanib, ikkita signal o'rtasidagi fazalar farqini ko'rishingiz mumkin.

Natijada, FFT haqiqiy va xayoliy qismlarga ega bo'lgan murakkab shaklda ikki tomonlama spektr hosil qiladi. Signalning har bir garmonik komponentining amplitudasi va fazasini olish uchun ikki tomonlama spektrni miqyoslash va qutbli shaklga aylantirish kerak. Polar shaklning chastota o'qi ikki tomonlama quvvat spektrining chastota o'qi bilan bir xil.

DFT ko'pincha signal spektrini kuzatish va tahlil qilish uchun ishlatiladi.
Bunday holda, ko'pincha eng qiziqarlisi faqat individual harmonikalarning Ck amplitudalari bo'lib, ularning fazalari emas. Bunday holda, spektr odatda chastotaga nisbatan amplitudaning grafigi sifatida ko'rsatiladi (2-rasm). Ko'pincha chastotalar shkalasi desibellarda baholanadi. Desibellar amplitudalarni o'zi emas, balki ularning nisbatlarini o'lchaydi. Masalan, 20 dB farq amplitudalar farqini 10 marta, 40 dB farq amplitudalarning 100 marta farqini bildiradi. Amplitudalarning 2 marta farqi taxminan 6 dB farqiga to'g'ri keladi. Desibellardagi farqni hisoblash formulasi:

Chastota shkalasi ham ko'pincha logarifmik shkala bo'yicha baholanadi.

Signal spektrini hisoblashdan oldin siz spektr hisoblab chiqiladigan signal segmentini tanlashingiz kerak. Segmentning uzunligi ikki kuchga ega bo'lishi kerak (FFT ishlashi uchun). Aks holda, signal kerakli uzunlikka nol bilan to'ldirilishi kerak. Shundan so'ng, FFT signalning tanlangan qismiga qo'llaniladi. Imkoniyatlar

Spektrni shu tarzda hisoblashda quyidagi kiruvchi ta'sir bo'lishi mumkin. Funksiyani Furye qatoriga kengaytirganda, funksiya davriy, davri FFT kattaligiga teng deb faraz qilamiz. Aynan shunday funktsiyaning spektri hisoblab chiqiladi (biz parcha ajratib olgan emas). Shu bilan birga, bunday funktsiya, albatta, davrlar chegaralarida uzilishlarga ega bo'ladi (axir, dastlabki funktsiya davriy emas edi). Va funktsiyadagi uzilishlar uning spektriga kuchli ta'sir qiladi va uni buzadi.

Ushbu ta'sirni bartaraf etish uchun tortish oynalari deb ataladigan oynalar qo'llaniladi. Ular tahlil qilinadigan hududning chekkalari yaqinidagi funksiyani muammosiz bekor qiladi. Og'irlik oynalari Gaussga o'xshash shaklga ega. Tahlil qilish uchun tanlangan signal bo'limi og'irlik oynasi bilan ko'paytiriladi, bu signal bo'limi "aylanayotganda" funksiyadagi uzilishlarni yo'q qiladi. Virtual aylanish DFT da sodir bo'ladi, chunki DFT algoritmi funktsiyani davriy deb hisoblaydi. Ularning yaratuvchilari nomi bilan atalgan ko'plab tortish oynalari mavjud. Ularning barchasi bir xil shaklga ega va ko'rib chiqilgan spektr buzilishlarini asosan yo'q qiladi. Biz ikkita yaxshi oynaning formulalarini taqdim etamiz: Hamming oynasi va Blackman oynasi (1-rasm):

Bu erda oyna 0 dan N gacha bo'lgan indeksli signalga qo'llaniladi. Hamming oynasi eng ko'p qo'llaniladi. Blackman oynasi ko'rib chiqilgan buzilishlarni bartaraf etishda kuchliroq ta'sirga ega, ammo uning kamchiliklari bor.

Guruch. 1 Xemming (yuqori) va Blackman (pastki) tortish oynalari.

Spektral tahlilning muhim xususiyati shundaki, hech kim yo'q, faqat har qanday signalning to'g'ri spektri mavjud. Spektrni turli FFT o'lchamlari va turli og'irlik oynalari yordamida hisoblash mumkin. Har bir maxsus dastur uchun turli usullardan foydalanish afzalroqdir. FFT o'lchamini tanlash spektrning chastotasi va vaqtini aniqlaydi. Agar biz spektrga parchalanish uchun signalning uzun qismini tanlasak, biz yaxshi chastota aniqligiga ega bo'lamiz, ammo vaqt o'lchamlari yomon (chunki spektr butun FFT namuna olish bo'limida signalning o'rtacha harakatini aks ettiradi). Agar biz spektrga parchalanish uchun signalning qisqa qismini tanlasak, biz o'z vaqtida aniqroq lokalizatsiyaga ega bo'lamiz, lekin chastotada yomon piksellar sonini olamiz (chunki Furye konvertatsiyasida asosiy chastotalar juda kam bo'ladi). Bu spektrni hisoblashda noaniqlik munosabatlarining asosiy printsipi: bir vaqtning o'zida chastota va vaqt bo'yicha spektrning yaxshi ruxsatini olish mumkin emas: bu ruxsatlar teskari proportsionaldir.

Spektral tahlilning yana bir muhim xususiyati shundan iboratki, spektrga parchalanganda biz dastlabki signalni tashkil etgan sinusoidal komponentlarni topmaymiz, faqat dastlabki signalni olish uchun ma'lum bir necha chastotalarda qanday amplitudalarni olishimiz kerakligini bilib olamiz. Boshqacha qilib aytganda, parchalanish "asl signalning chastotalari" bo'yicha emas, balki "FFT algoritmining asosiy chastotalari" bo'yicha amalga oshiriladi. Biroq, odatda (ayniqsa, tortish oynalaridan foydalanganda) bu spektr grafigidan deyarli sezilmaydi, ya'ni spektr grafigi asl signalning chastotalarini etarlicha aks ettiradi.

Guruch. 2. Har xil signallarning fragmentlari (taxminan 800 ball) va bu signallarning uzunroq segmentlarining spektrlari (4096 ball). Yuqoridan pastgacha: pianino notasi, ovoz (qo'shiq aytish), baraban (tepish), simbal (ochiq hi-shlyapa).

6. FFT yordamida impuls signallarining spektral zichligini hisoblash