"pul" moliyaviy vositalarning rentabelligini kuzatishda davom etmoqda. Kvadrat shakllarning inertsiya qonuni

Maydon tepasida K (\displaystyle K) Va e 1 , e 2 , … , e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\nuqtalar,e_(n))- ichida asos L (\displaystyle L).

• Kvadrat shakl, agar uning matritsasining barcha burchak minorlari qat'iy musbat bo'lsa, musbat aniq hisoblanadi.
• Kvadrat shakl manfiy aniq, agar uning matritsasining barcha burchak minorlarining belgilari almashinsa va 1-tartibdagi minor manfiy bo'lsa.

Ikki chiziqli shakl qutbdan musbat aniq kvadratik shaklga barcha nuqta aksiomalarini qanoatlantiradi.

Kanonik ko'rinish

Haqiqiy holat

Bo'lgan holatda K = R (\displaystyle K=\mathbb (R))(haqiqiy sonlar maydoni), har qanday kvadrat shakl uchun uning matritsasi diagonal bo'lgan asos mavjud va shaklning o'zi kanonik ko'rinish(oddiy ko'rinish):

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 - x p + 1 2 - ⋯ - x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) (\displaystyle Q(x) =x_(1)^(2)+\cdots +x_(p)^(2)-x_(p+1)^(2)-\cdots -x_(p+q)^(2),\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*))

Qayerda r (\displaystyle r)- kvadratik shaklning darajasi. Degenerativ bo'lmagan kvadratik shaklda p + q = n (\displaystyle p+q=n), va degeneratsiya holatida - p+q< n {\displaystyle p+q.

Kvadrat shaklni kanonik ko'rinishga keltirish uchun odatda Lagranj usuli yoki ortogonal asos o'zgarishlaridan foydalaniladi va berilgan kvadrat shaklni bir necha usul bilan kanonik shaklga keltirish mumkin.

Raqam q (\displaystyle q)(salbiy shartlar) deyiladi inertsiya indeksi kvadrat shakli va soni berilgan p - q (\displaystyle p-q)(musbat va salbiy atamalar soni orasidagi farq) deyiladi imzo kvadratik shakl. E'tibor bering, ba'zida kvadrat shaklning imzosi juftlikdir (p , q) (\displaystyle (p,q)). Raqamlar p , q , p - q (\displaystyle p,q,p-q) kvadratik shaklning invariantlari, ya'ni. uni kanonik shaklga tushirish usuliga bog'liq emas ( Silvestrning inersiya qonuni).

Murakkab holat

Bo'lgan holatda K = C (\displaystyle K=\mathbb (C))(kompleks sonlar maydoni), har qanday kvadrat shakl uchun shakl kanonik shaklga ega bo'lgan asos mavjud.

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) (\displaystyle Q(x)=x_(1)^(2)+\cdots +x_(r)^(2),\qquad ( **))

Qayerda r (\displaystyle r)- kvadratik shaklning darajasi. Shunday qilib, murakkab holatda (haqiqiy holatdan farqli o'laroq) kvadratik shakl bitta o'zgarmas - darajaga ega va barcha degenerativ bo'lmagan shakllar bir xil kanonik shaklga ega (kvadratlar yig'indisi).

Kvadrat shaklning normal ko'rinishi.

Lagranj teoremasiga ko'ra, har qanday kvadrat shaklni kanonik shaklga keltirish mumkin. Ya'ni, diagonallashtiruvchi (kanonik) asos mavjud bo'lib, unda bu kvadrat shaklning matritsasi diagonal shaklga ega.

Qayerda. Keyin bu asosda kvadrat shakl shaklga ega

Nolga teng bo'lmagan elementlar orasida ijobiy va salbiy elementlar bo'lsin va. Agar kerak bo'lsa, bazis vektorlarining raqamlanishini o'zgartirish orqali siz har doim kvadrat shakldagi diagonal matritsada birinchi elementlar ijobiy, qolganlari manfiy bo'lishini ta'minlashingiz mumkin (agar , matritsaning oxirgi elementlari nolga teng bo'lsa). Natijada (10.17) kvadrat shaklni quyidagi shaklda yozish mumkin

Tizimga muvofiq o'zgaruvchilarni o'zgaruvchilar bilan almashtirish natijasida:

kvadratik shakl (6.18) diagonal shaklni oladi, bunda o'zgaruvchilar kvadratlarining koeffitsientlari bitta, minus bir yoki nolga teng:

bu erda kvadrat shakldagi (10.19) matritsa diagonal shaklga ega

Ta'rif 10.9. Yozish (10.19) chaqiriladi normal ko'rinish kvadratik shakl va kvadratik shakl (10.20) matritsaga ega bo'lgan diagonallashtiruvchi asos deyiladi. normallashtiruvchi asos.

Shunday qilib, kvadrat shaklning normal ko'rinishida (10.19) matritsaning diagonal elementlari (10.20) birlik, minus bir yoki nol bo'lishi mumkin va ular shunday joylashtirilganki, avval birlar, keyin minuslar, so'ngra nollar ( nolga aylantirish holatlari ko'rsatilgan qiymatlar bundan mustasno emas, , ).

Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlangan.

10.3 teorema. Har qanday kvadratik shaklni diagonal matritsa (10.20) bilan normal shaklga (10.19) keltirish mumkin.

Inersiya qonuni kvadrat shakl

Kvadrat shakl turli usullar bilan kanonik shaklga keltirilishi mumkin (Lagranj usuli, ortogonal o'zgartirish usuli yoki Yakobi usuli). Biroq, ma'lum kvadrat shakl uchun kanonik shakllarning xilma-xilligiga qaramay, uning koeffitsientlarining barcha bu kanonik shakllarda o'zgarishsiz qoladigan xususiyatlari mavjud. Biz deb atalmish haqida gapiramiz raqamli invariantlar kvadratik shakl. Kvadrat shaklning son invariantlaridan biri kvadratik shaklning darajasidir.

10.4 teorema ( kvadratik shaklning daraja o'zgarmasligi bo'yicha ) Kvadrat shaklning darajasi degenerativ bo'lmagan chiziqli o'zgarishlarda o'zgarmaydi va uning har qanday kanonik shakllarida nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar soniga teng. Boshqacha qilib aytganda, kvadrat shaklning darajasi kvadratik shakl matritsasining nolga teng bo'lmagan xos qiymatlari soniga teng (ularning ko'pligini hisobga olgan holda).

Ta'rif 10.10. Kvadrat shaklning darajasi deyiladi inertsiya indeksi. Kvadrat shaklning normal ko'rinishidagi (3) musbat va manfiy sonlarning soni () deyiladi. ijobiy Va salbiy indekslar mos ravishda kvadrat shakldagi inertsiya. Bunday holda, ro'yxat chaqiriladi imzo kvadratik shakl.

Ijobiy va manfiy inersiya indekslari kvadratik shaklning son invariantlaridir. Teorema chaqirdi inersiya qonuni.

10.5 teorema ( inersiya qonuni ) .Kvadrat shaklning kanonik shakli (10.17) yagona aniqlangan, ya'ni imzo diagonallashtiruvchi asosni tanlashga bog'liq emas (kvadrat shaklni kanonik shaklga qisqartirish usuliga bog'liq emas).

□ Teorema bayoni shuni anglatadiki, agar bir xil kvadratik shakl ikkita yagona bo'lmagan chiziqli o'zgarishlardan foydalangan holda

turli kanonik shakllarga qisqartirilgan ():

u holda majburiydir, ya'ni ijobiy koeffitsientlar soni ijobiy koeffitsientlar soniga to'g'ri keladi.

Bayonotdan farqli o'laroq, deylik. Transformatsiyalar (10.21) degenerativ bo'lmaganligi sababli, biz ulardan kanonik o'zgaruvchilarni ifodalaymiz:

Shunday vektor topilsinki, mos vektorlar ko'rinishga ega bo'lsin

Buning uchun matritsalarni quyidagi blok shakllarida taqdim etamiz:

bu yerda denotatsiyalar -matritsa, -matritsa, -matritsa, -matritsa.

Matritsalarni blokli tasvirlash natijasida va birinchi tenglamalarni (10.22) va oxirgi tenglamalarni (10.23) olib, chiziqli algebraik tenglamalarning bir hil tizimini tuzamiz:

Olingan tizim tenglamalar va noma'lumlarni o'z ichiga oladi (vektor komponenti ). dan beri, demak, bu sistemada tenglamalar soni noma'lumlar sonidan kam bo'lib, uning cheksiz ko'p yechimlari mavjud bo'lib, ular orasida nolga teng bo'lmagan yechim aniqlanishi mumkin.

Olingan vektorda shakl qiymatlari turli xil belgilarga ega:

bu mumkin emas. Bu noto'g'ri bo'lgan taxmin, ya'ni, degan ma'noni anglatadi.

Bundan kelib chiqadiki, imzo diagonallashtiruvchi asosni tanlashga bog'liq emas. ■

Inersiya qonunining tasviri sifatida uchta o'zgaruvchining kvadratik shakli quyidagicha ekanligini ko'rsatish mumkin:

mos keladigan matritsalar bilan ikkita yagona bo'lmagan chiziqli transformatsiyalar

(birinchi matritsa Lagranj usuliga, ikkinchisi - ortogonal o'zgartirish usuliga to'g'ri keladi) mos ravishda ikki xil kanonik shaklga qisqartiriladi.

Bundan tashqari, ikkala kanonik shakl ham bir xil imzoga ega

6. Aniq va almashinadigan kvadrat shakllar

Kvadrat shakllar ular qabul qilgan qiymatlar to'plamiga qarab turlarga bo'linadi.

Ta'rif 10.11. Kvadrat shakl deyiladi:

ijobiy aniqlik

salbiy ta'riflangan, agar nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uchun: ;

nomusbat aniq (salbiy yarim aniq), agar nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uchun: ;

manfiy bo'lmagan aniq (musbat yarim aniq), agar nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uchun: ;

o'zgaruvchan belgi, nolga teng bo'lmagan vektorlar bo'lsa, :.

Ta'rif 10.12. Ijobiy (salbiy) aniq kvadratik shakllar deyiladi aniq. Ijobiy bo'lmagan (salbiy bo'lmagan) aniq kvadratik shakllar deyiladi doimiy belgi.

Kvadrat shaklning turini kanonik (yoki normal) shaklga qisqartirish orqali osongina aniqlash mumkin. Quyidagi ikkita teorema to'g'ri.

10.6 teorema. Kvadrat shakl kanonik shaklga keltirilsin va imzo ( , ) bo'lsin. Keyin:

Bu ijobiy aniqlik ;

Bu salbiy ta'riflangan ;

Bu ijobiy bo'lmagan aniq ;

Bu salbiy bo'lmagan aniq ;

Bu o'zgaruvchan belgi.). Keyin: hamma uchun inkor bo'lmagan aniqlovchi ;

Bu o'zgaruvchan belgi xos qiymatlar orasida ham ijobiy, ham salbiy mavjud.

Aniqlanishicha, kvadrat shaklning nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlari soni uning darajasiga teng bo'lib, uning yordami bilan degenerativ bo'lmagan transformatsiyani tanlashga bog'liq emas. A(x, x) kanonik shaklga keltiriladi. Aslida, ijobiy va salbiy koeffitsientlar soni ham o'zgarmaydi.

Teorema11.3 (kvadrat shakllarning inertsiya qonuni). Kvadrat shaklning normal shaklidagi musbat va manfiy koeffitsientlar soni kvadratik shaklni normal shaklga keltirish usuliga bog'liq emas.

Kvadrat shaklga ega bo'lsin f daraja r dan n noma'lum x 1 , x 2 , …, x n ikki yo'l bilan normal shaklga tushiriladi, ya'ni

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Buni isbotlash mumkin k = l.

Ta'rif 11.14. Haqiqiy kvadratik shakl kichraytiriladigan normal shakldagi musbat kvadratlar soni deyiladi ijobiy inertsiya indeksi bu shakl; manfiy kvadratlar soni - salbiy inertsiya indeksi, va ularning yig'indisi inertsiya indeksi kvadratik shakl yoki imzo shakllari f.

Agar p- ijobiy inertsiya indeksi; q- salbiy inertsiya indeksi; k = r = p + q- inertsiya indeksi.

Kvadrat shakllarning tasnifi

Kvadrat shaklga ega bo'lsin A(x, x) inertsiya indeksi ga teng k, musbat inersiya indeksi p ga, manfiy inersiya indeksi teng q, Keyin k = p + q.

Bu har qanday kanonik asosda isbotlangan f = {f 1 , f 2 , …, f n) bu kvadrat shakl A(x, x) oddiy shaklga keltirilishi mumkin A(x, x) = + + … + –
– … – , Qayerda  1 ,  2 , …,  n vektor koordinatalari x asosda ( f}.

Kvadrat shakl belgisining zaruriy va yetarli sharti

Bayonot11.1. A(x, x), da ko'rsatilgan n V, edi aniq belgi, zarur va etarli yoki ijobiy inertsiya indeksi p, yoki salbiy inertsiya indeksi q, o'lchamga teng edi n bo'sh joy V.

Bundan tashqari, agar p = n, keyin shakl ijobiy x ≠ 0 A(x, x) > 0).

Agar q = n, keyin shakl salbiy belgilangan (ya'ni har qanday uchun x ≠ 0 A(x, x) < 0).

Kvadrat shakl belgilarining almashinishining zaruriy va yetarli sharti

Bayonot 11.2. Kvadrat shakl uchun A(x, x), da ko'rsatilgan n-o'lchovli vektor fazosi V, edi o'zgaruvchan belgi(ya'ni, shundaylar bor x, y Nima A(x, x) > 0 va A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Kvazial almashinadigan kvadrat shakl uchun zarur va yetarli shart

Bayonot 11.3. Kvadrat shakl uchun A(x, x), da ko'rsatilgan n-o'lchovli vektor fazosi V, edi kvazi-almashinuvchi(ya'ni har qanday vektor uchun x yoki A(x, x) ≥ 0 yoki A(x, x) ≤ 0 va bunday nolga teng bo'lmagan vektor mavjud x, Nima A(x, x) = 0) ikkita munosabatdan biri qondirilishi uchun zarur va yetarli: p < n, q= 0 yoki p = 0, q < n.

Izoh. Ushbu xususiyatlarni qo'llash uchun kvadrat shaklni kanonik shaklga keltirish kerak. Silvestrning belgini aniqlash mezoni 15 buni talab qilmaydi.

Kvadrat shakl haqida tushuncha. Kvadrat shakl matritsasi. Kvadrat shaklning kanonik shakli. Lagrange usuli. Kvadrat shaklning normal ko'rinishi. Kvadrat shaklning darajasi, indeksi va imzosi. Ijobiy aniq kvadrat shakl. Kvadriklar.

Kvadrat shakl tushunchasi: vektor koordinatalarida ikkinchi darajali bir jinsli ko'phad bilan aniqlangan vektor fazodagi funksiya.

dan kvadrat shakl n noma'lumlar yig'indisi bo'lib, uning har bir a'zosi yoki bu noma'lumlardan birining kvadrati yoki ikki xil noma'lumning ko'paytmasi.

Kvadrat matritsa: Matritsa ma'lum asosda kvadrat shakldagi matritsa deb ataladi. Agar maydon xarakteristikasi 2 ga teng bo'lmasa, kvadrat shakldagi matritsa simmetrik, ya'ni, deb taxmin qilishimiz mumkin.

Kvadrat shakldagi matritsani yozing:

Demak,

Vektor matritsa shaklida kvadratik shakl:

Kvadrat shaklning kanonik shakli: Kvadrat shakl kanonik deb ataladi, agar barchasi ya'ni.

Har qanday kvadratik shakl chiziqli transformatsiyalar yordamida kanonik shaklga keltirilishi mumkin. Amalda odatda quyidagi usullar qo'llaniladi.

Lagrange usuli : to'liq kvadratlarni ketma-ket tanlash. Masalan, agar

Keyin shunga o'xshash protsedura kvadratik shakl bilan amalga oshiriladi va hokazo. Agar hamma narsa kvadrat shaklda bo'lmasa, unda dastlabki o'zgartirishdan keyin masala ko'rib chiqilayotgan protseduraga tushadi. Shunday qilib, agar, masalan, biz taxmin qilamiz

Kvadrat shaklning normal shakli: Oddiy kvadrat shakl - bu barcha koeffitsientlar +1 yoki -1 ga teng bo'lgan kanonik kvadratik shakl.

Kvadrat shaklning darajasi, indeksi va imzosi: Kvadrat shakl darajasi A matritsaning darajasi deyiladi A. Noma'lumlarning degenerativ bo'lmagan o'zgarishlarida kvadratik shaklning darajasi o'zgarmaydi.

Salbiy koeffitsientlar soni manfiy shakl indeksi deb ataladi.

Kanonik shakldagi musbat hadlar soni kvadratik shakldagi musbat inersiya indeksi, manfiy hadlar soni esa manfiy indeks deb ataladi. Ijobiy va manfiy indekslar orasidagi farq kvadrat shaklning imzosi deb ataladi

Ijobiy aniq kvadrat shakl: Haqiqiy kvadratik shakl musbat aniq (salbiy aniq) deb ataladi, agar o'zgaruvchilarning bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan har qanday haqiqiy qiymatlari uchun,

Bunday holda, matritsa musbat aniq (salbiy aniq) deb ham ataladi.

Ijobiy aniq (salbiy aniq) shakllar sinfi inkor bo'lmagan (javob. nomusbat) shakllar sinfiga kiradi.

Kvadriklar: Kvadrat - n- o'lchovli gipersurfa n+1-o'lchovli fazo, ikkinchi darajali ko'phadning nollar to'plami sifatida aniqlanadi. Agar siz koordinatalarni kiritsangiz ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (evklid yoki affin fazoda), kvadratning umumiy tenglamasi

Ushbu tenglamani matritsa yozuvida ixchamroq qayta yozish mumkin:

bu erda x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — qator vektori, x T - transpozitsiyalangan vektor, Q- o'lcham matritsasi ( n+1)×( n+1) (uning kamida bitta elementi nolga teng deb taxmin qilinadi), P qator vektoridir va R- doimiy. Haqiqiy yoki murakkab sonlar ustidagi kvadratiklar ko'pincha hisobga olinadi. Ta'rifni proyektiv fazoda kvadratlarga kengaytirish mumkin, pastga qarang.

Umuman olganda, polinom tenglamalar tizimining nollar to'plami algebraik xilma-xillik deb nomlanadi. Shunday qilib, kvadratik ikkinchi darajali (affin yoki proyektiv) algebraik xilma-xillik va 1 kod o'lchovidir.

Tekislik va fazoning o'zgarishi.

Tekislik transformatsiyasining ta'rifi. Harakatni aniqlash. harakat xususiyatlari. Harakatning ikki turi: birinchi turdagi harakat va ikkinchi turdagi harakat. Harakatlarga misollar. Harakatning analitik ifodasi. Tekislik harakatlarining tasnifi (qo'zg'almas nuqtalar va o'zgarmas chiziqlar mavjudligiga qarab). Samolyot harakatlari guruhi.

Tekislik transformatsiyasining ta'rifi: Ta'rifi. Nuqtalar orasidagi masofani saqlaydigan tekislik konvertatsiyasi deyiladi harakat samolyotning (yoki harakati). Tekislik konvertatsiyasi deyiladi affin, agar u bir toʻgʻrida yotgan har qanday uch nuqtani ham bir xil toʻgʻrida yotgan uchta nuqtaga aylantirsa va bir vaqtning oʻzida uch nuqtaning oddiy munosabatini saqlasa.

Harakat ta'rifi: Bu nuqtalar orasidagi masofani saqlaydigan shakl o'zgarishlari. Agar ikkita raqam harakat orqali bir-biriga aniq mos keladigan bo'lsa, unda bu raqamlar bir xil, tengdir.

Harakat xususiyatlari: Tekislikning har bir yo'nalishini saqlaydigan harakati parallel ko'chirish yoki aylanishdir; tekislikning har bir yo'nalishini o'zgartirish harakati eksenel simmetriya yoki sirpanish simmetriyasidir. Harakatlanayotganda to'g'ri chiziq ustida yotgan nuqtalar to'g'ri chiziq ustida yotgan nuqtalarga aylanadi va ularning o'zaro joylashish tartibi saqlanadi. Harakatlanayotganda yarim chiziqlar orasidagi burchaklar saqlanib qoladi.

Ikki turdagi harakatlar: birinchi turdagi harakat va ikkinchi turdagi harakatlar: Birinchi turdagi harakatlar - bu ma'lum bir figuraning asoslari yo'nalishini saqlaydigan harakatlar. Ular doimiy harakatlar orqali amalga oshirilishi mumkin.

Ikkinchi turdagi harakatlar - bu asoslarning yo'nalishini teskari tomonga o'zgartiradigan harakatlar. Ularni doimiy harakatlar bilan amalga oshirish mumkin emas.

Birinchi turdagi harakatlarga to'g'ri chiziq atrofida aylantirish va aylanish, ikkinchi turdagi harakatlarga markaziy va oyna simmetriyalari misol bo'ladi.

Birinchi turdagi harakatlarning istalgan sonining tarkibi birinchi turdagi harakatdir.

Ikkinchi turdagi juft sonli harakatlar tarkibi 1-turdagi harakat, 2-turdagi toq sonli harakatlar tarkibi esa 2-turdagi harakatlardir.

Harakatlarga misollar:Parallel uzatish. Berilgan vektor a bo'lsin. a vektoriga parallel o'tkazish - bu tekislikning o'ziga xaritasi bo'lib, bunda har bir M nuqta M 1 nuqtaga tushiriladi, shuning uchun MM 1 vektor a vektoriga teng bo'ladi.

Parallel tarjima - bu harakat, chunki u masofalarni saqlagan holda tekislikning o'ziga xaritasi hisoblanadi. Ushbu harakatni vizual ravishda butun tekislikning berilgan a vektori yo'nalishi bo'yicha uzunligi bo'yicha siljishi sifatida tasvirlash mumkin.

Aylantirish. Tekislikdagi O nuqtani belgilaymiz ( burilish markazi) va burchakni o'rnating a ( burilish burchagi). Tekislikning O nuqta atrofida a burchak bilan aylanishi - bu tekislikning o'ziga xaritasi bo'lib, bunda har bir M nuqta M 1 nuqtaga tushiriladi, OM = OM 1 va MOM 1 burchagi a ga teng bo'ladi. Bunday holda, O nuqtasi o'z o'rnida qoladi, ya'ni u o'z-o'zidan xaritaga tushiriladi va boshqa barcha nuqtalar O nuqtasi atrofida bir xil yo'nalishda - soat yo'nalishi bo'yicha yoki soat sohasi farqli ravishda aylanadi (rasmda soat miliga teskari aylanish ko'rsatilgan).

Aylanish - bu harakat, chunki u masofalar saqlanib qolgan tekislikning o'ziga xaritasini ifodalaydi.

Harakatning analitik ifodasi: oldingi tasvir koordinatalari bilan nuqta tasviri orasidagi analitik bog`lanish (1) ko`rinishga ega bo`ladi.

Tekislik harakatlarining tasnifi (qo'zg'almas nuqtalar va o'zgarmas chiziqlar mavjudligiga qarab): Ta'rif:

Tekislikdagi nuqta o'zgarmas (qat'iy) hisoblanadi, agar u berilgan transformatsiya ostida o'ziga aylanadi.

Misol: Markaziy simmetriya bilan simmetriya markazining nuqtasi o'zgarmasdir. Burilish paytida aylanish markazining nuqtasi o'zgarmasdir. Eksenel simmetriya bilan o'zgarmas chiziq to'g'ri chiziqdir - simmetriya o'qi o'zgarmas nuqtalarning to'g'ri chizig'idir.

Teorema: Agar harakat bitta o'zgarmas nuqtaga ega bo'lmasa, u kamida bitta o'zgarmas yo'nalishga ega.

Misol: Parallel uzatish. Darhaqiqat, bu yo'nalishga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar o'zgarmas nuqtalardan iborat bo'lmasa-da, bir butun sifatida invariantdir.

Teorema: Agar nur harakatlansa, nur o'ziga aylanadi, u holda bu harakat berilgan nurni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqqa nisbatan bir xil o'zgarish yoki simmetriyadir.

Shuning uchun, o'zgarmas nuqtalar yoki raqamlar mavjudligiga asoslanib, harakatlarni tasniflash mumkin.

Harakat nomi	Invariant nuqtalar	Invariant chiziqlar
Birinchi turdagi harakat.
1. - burilish	(markazda) - 0	Yo'q
2. Identifikatsiyani o'zgartirish	samolyotning barcha nuqtalari	hammasi to'g'ri
3. Markaziy simmetriya	nuqta 0 - markaz	0 nuqtadan o'tadigan barcha chiziqlar
4. Parallel uzatish	Yo'q	hammasi to'g'ri
Ikkinchi turdagi harakat.
5. Eksenel simmetriya.	nuqtalar to'plami	simmetriya o'qi (to'g'ri chiziq) barcha to'g'ri chiziqlar

Samolyot harakati guruhi: Geometriyada raqamlarning o'z-o'zidan tuzilgan guruhlari muhim rol o'ynaydi. Agar ma'lum bir figura tekislikda (yoki kosmosda) bo'lsa, unda biz tekislikning (yoki fazoning) barcha harakatlarining to'plamini ko'rib chiqishimiz mumkin, bunda bu raqam o'ziga aylanadi.

Ushbu to'plam guruhdir. Masalan, teng yonli uchburchak uchun uchburchakni o'ziga aylantiruvchi tekislik harakatlari guruhi 6 ta elementdan iborat: nuqta atrofida burchaklar orqali aylanishlar va uchta to'g'ri chiziq atrofidagi simmetriyalar.

Ular rasmda ko'rsatilgan. 1 qizil chiziqlar bilan. Muntazam uchburchakning o'z-o'zini tekislash guruhining elementlari boshqacha ko'rsatilishi mumkin. Buni tushuntirish uchun, keling, muntazam uchburchakning uchlarini 1, 2, 3 raqamlari bilan raqamlaymiz. Uchburchakning har qanday o'z-o'zini tekislashi 1, 2, 3 nuqtalarni bir xil nuqtalarga oladi, lekin boshqa tartibda olinadi, ya'ni. shartli ravishda quyidagi qavslardan biri shaklida yozilishi mumkin:

bu erda 1, 2, 3 raqamlari ko'rib chiqilayotgan harakat natijasida 1, 2, 3 cho'qqilari kiradigan cho'qqilarning raqamlarini bildiradi.

Proyektiv fazolar va ularning modellari.

Proyektiv fazo tushunchasi va proyektiv fazo modeli. Proyektiv geometriyaning asosiy faktlari. Markazi O nuqtada joylashgan bir qator chiziqlar proyeksiyalovchi tekislikning modelidir. Proyektiv nuqtalar. Kengaytirilgan tekislik proyektiv tekislikning modelidir. Kengaytirilgan uch o'lchovli afin yoki Evklid fazosi proyektiv fazoning modelidir. Parallel dizayndagi tekis va fazoviy figuralarning tasvirlari.

Proyektiv fazo tushunchasi va proyektiv fazo modeli:

Maydon ustidagi proyektiv fazo - berilgan maydon ustidagi qandaydir chiziqli fazoning chiziqlari (bir o'lchovli pastki fazolar) dan iborat bo'shliqdir. To'g'ridan-to'g'ri bo'shliqlar deyiladi nuqta proyektiv fazo. Ushbu ta'rifni ixtiyoriy tanaga umumlashtirish mumkin

Agar u o'lchamga ega bo'lsa, u holda proyektiv fazoning o'lchami raqam deb ataladi va proyektiv fazoning o'zi belgilanadi va bog'lanadi (buni ko'rsatish uchun belgi qabul qilinadi).

O'lchamning vektor fazosidan mos keladigan proyektiv fazoga o'tish deyiladi proyeksiyalash bo'sh joy.

Nuqtalarni bir hil koordinatalar yordamida tasvirlash mumkin.

Proyektiv geometriyaning asosiy faktlari: Proyektiv geometriya geometriyaning proyektiv tekislik va fazolarni o‘rganuvchi bo‘limidir. Proyektiv geometriyaning asosiy xususiyati - bu ko'plab dizaynlarga oqlangan simmetriya qo'shadigan ikkilik printsipi. Proyektiv geometriyani ham sof geometrik nuqtai nazardan, ham analitik (bir hil koordinatalardan foydalangan holda) va salgebraik nuqtai nazardan, proyektiv tekislikni maydon ustidagi struktura sifatida ko'rib chiqish mumkin. Ko'pincha va tarixan, haqiqiy proyektiv tekislik "abadiy chiziq" qo'shilishi bilan Evklid tekisligi hisoblanadi.

Holbuki, Evklid geometriyasi shug'ullanadigan figuralarning xususiyatlari metrik(burchaklar, segmentlar, maydonlarning o'ziga xos qiymatlari) va raqamlarning ekvivalenti ularga teng muvofiqlik(ya'ni, metrik xususiyatlarni saqlab qolgan holda, figuralarni harakat orqali bir-biriga aylantirish mumkin bo'lsa), geometrik figuralarning "chuqur yotuvchi" xususiyatlari harakatga qaraganda ko'proq umumiy turdagi transformatsiyalarda saqlanadi. Proyektiv geometriya sinf bo'yicha o'zgarmas bo'lgan figuralarning xususiyatlarini o'rganish bilan shug'ullanadi proyektiv transformatsiyalar, shuningdek, bu o'zgarishlarning o'zi.

Proyektiv geometriya Evklid geometriyasini to'ldiradi, bu bilan parallel chiziqlar mavjudligi bilan murakkab bo'lgan ko'plab masalalarga chiroyli va oddiy echimlar beradi. Konus kesimlarining proyektiv nazariyasi ayniqsa sodda va nafisdir.

Proyektiv geometriyaning uchta asosiy yondashuvi mavjud: mustaqil aksiomatizatsiya, Evklid geometriyasini to'ldirish va maydon bo'yicha tuzilish.

Aksiomatizatsiya

Proyektiv fazoni boshqa aksiomalar to'plami yordamida aniqlash mumkin.

Coxeter quyidagilarni ta'minlaydi:

1. To'g'ri chiziq bor va unda bo'lmagan nuqta bor.

2. Har bir chiziqda kamida uchta nuqta bor.

3. Ikki nuqta orqali siz aniq bitta to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

4. Agar A, B, C, Va D- turli nuqtalar va AB Va CD kesishadi, keyin A.C. Va BD kesishadi.

5. Agar ABC tekislik bo'lsa, unda tekislikda bo'lmagan kamida bitta nuqta bor ABC.

6. Ikki xil tekislik kamida ikkita nuqtani kesishadi.

7. To'liq to'rtburchakning uchta diagonal nuqtasi kollinear emas.

8. Agar uchta nuqta bir chiziqda bo'lsa X X

Proyektiv tekislik (uchinchi o'lchamsiz) bir oz boshqacha aksiomalar bilan belgilanadi:

1. Ikki nuqta orqali siz aniq bitta to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

2. Har qanday ikkita chiziq kesishadi.

3. To'rtta nuqta bor, ulardan uchtasi to'g'ri kelmaydi.

4. To'liq to'rtburchaklarning uchta diagonal nuqtasi kollinear emas.

5. Agar uchta nuqta bir chiziqda bo'lsa X ph ning proektsiyasiga nisbatan o'zgarmasdir, keyin barcha nuqtalar ustida X ph ga nisbatan invariant.

6. Dezarg teoremasi: Agar ikkita uchburchak nuqta orqali perspektiv bo‘lsa, ular chiziq orqali perspektiv bo‘ladi.

Uchinchi o'lchov mavjudligida Dezarg teoremasini ideal nuqta va chiziq kiritmasdan isbotlash mumkin.

Kengaytirilgan tekislik - proyektiv tekislik modeli: A3 affin fazoda markazi O nuqtada bo'lgan S(O) chiziqlar to'plamini va to'plam markazidan o'tmaydigan P tekislikni olamiz: O 6∈ N. Affin fazodagi chiziqlar to'plami proyektiv tekislikning modelidir. Keling, n tekislik nuqtalari to'plamining S bog'lovchining to'g'ri chiziqlar to'plamiga xaritasini aniqlaylik (Juda, agar sizda bu savol bo'lsa, meni kechiring)

Kengaytirilgan uch o'lchovli afin yoki Evklid fazosi - proektiv fazoning modeli:

Xaritani syurektiv qilish uchun biz affin tekislikni n proyektiv tekislikka rasman uzaytirish jarayonini takrorlaymiz va P tekislikni noto'g'ri nuqtalar to'plami (M∞) bilan to'ldiramiz, shunday qilib: ((M∞)) = P0(O). Xaritada S(O) tekisliklar toʻplamining har bir tekisligining teskari tasviri d tekislikdagi chiziq boʻlgani uchun choʻzilgan tekislikning barcha notoʻgʻri nuqtalari toʻplami: n = Π ∩ (M∞) aniq koʻrinadi. , (M∞), cho'zilgan tekislikning noto'g'ri d∞ chizig'ini ifodalaydi, bu yakka tekislikning teskari tasviri n0: (d∞) = P0(O) (= n0). (I.23) Keling, bu erda va bundan buyon biz oxirgi tenglikni P0(O) = n0 nuqtalar to'plamining tengligi ma'nosida tushunamiz, degan fikrga qo'shilamiz, lekin boshqa tuzilishga ega. Affin tekislikni noto'g'ri chiziq bilan to'ldirish orqali biz xaritalash (I.21) kengaytirilgan tekislikning barcha nuqtalari to'plamida ikkilamchi bo'lishini ta'minladik:

Parallel dizayn paytida tekis va fazoviy figuralarning rasmlari:

Stereometriyada fazoviy figuralar o'rganiladi, lekin chizmada ular tekis figuralar sifatida tasvirlanadi. Samolyotda fazoviy figurani qanday tasvirlash kerak? Odatda geometriyada buning uchun parallel dizayn qo'llaniladi. p qandaydir samolyot bo'lsin, l- uni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq (1-rasm). Ixtiyoriy nuqta orqali A, qatorga tegishli emas l, chiziqqa parallel chiziq chizing l. Bu chiziqning p tekislik bilan kesishgan nuqtasi nuqtaning parallel proyeksiyasi deyiladi A to'g'ri chiziq yo'nalishi bo'yicha p tekislikka l. Uni belgilaylik A". Agar nuqta A qatorga tegishli l, keyin parallel proyeksiya orqali A chiziqning kesishish nuqtasi p tekislikda deb hisoblanadi l samolyot bilan p.

Shunday qilib, har bir nuqta A fazoda uning proyeksiyasi solishtiriladi A" p tekislikka. Bu moslik p tekislikka to'g'ri chiziq yo'nalishi bo'yicha parallel proyeksiya deyiladi. l.

Proyektiv transformatsiyalar guruhi. Muammoni hal qilish uchun dastur.

Tekislikning proyektiv o'zgarishi tushunchasi. Tekislikning proyektiv o'zgarishlariga misollar. Proyektiv transformatsiyalarning xossalari. Gomologiya, gomologiyaning xossalari. Proyektiv transformatsiyalar guruhi.

Tekislikning proyektiv o'zgarishi tushunchasi: Proyektiv transformatsiya tushunchasi markaziy proyeksiya tushunchasini umumlashtiradi. Agar a tekislikning qandaydir a 1 tekislikka markaziy proyeksiyasini bajarsak, u holda a 1 ning a 2 ga, a 2 ning a 3, ... ga proyeksiyasi va nihoyat, qandaydir a tekislik proyeksiyasi amalga oshiriladi. n yana a 1 bo'yicha, u holda barcha bu proyeksiyalarning tarkibi a tekislikning proyektiv o'zgarishi; Bunday zanjirga parallel proyeksiyalarni ham kiritish mumkin.

Proyektiv tekislik o'zgarishlariga misollar: Tugallangan tekislikning proyektiv o'zgarishi - bu uning o'ziga birma-bir xaritalashi, bunda nuqtalarning kollinearligi saqlanib qoladi yoki boshqacha aytganda, har qanday chiziqning tasviri to'g'ri chiziqdir. Har qanday proyektiv transformatsiya markaziy va parallel proyeksiyalar zanjirining tarkibidir. Affin transformatsiya - bu cheksizlikdagi chiziq o'ziga aylanadigan proyektiv transformatsiyaning alohida holati.

Proyektiv o'zgarishlarning xususiyatlari:

Proyektiv o'zgartirish jarayonida to'g'ri chiziqda yotmagan uchta nuqta chiziqda yotmaydigan uchta nuqtaga aylanadi.

Proyektiv transformatsiya paytida ramka ramkaga aylanadi.

Proyektiv transformatsiya paytida chiziq to'g'ri chiziqqa, qalam esa qalamga o'tadi.

Gomologiya, gomologiyaning xossalari:

O'zgarmas nuqtalar chizig'iga ega bo'lgan tekislikning proektiv o'zgarishi, shuning uchun o'zgarmas chiziqlar qalami homologiya deb ataladi.

1. Mos kelmaydigan mos keladigan gomologik nuqtalardan o'tuvchi chiziq o'zgarmas chiziqdir;

2. Bir-biriga to'g'ri kelmaydigan mos keladigan gomologik nuqtalardan o'tadigan chiziqlar bir xil qalamga tegishli bo'lib, uning markazi o'zgarmas nuqtadir.

3. Nuqta, uning tasviri va gomologiya markazi bir xil to'g'ri chiziqda yotadi.

Proyektiv o'zgarishlar guruhi: P 2 proyeksiyalovchi tekislikning o'ziga proyektiv xaritalanishini, ya'ni bu tekislikning proyektiv o'zgarishini (P 2 ' = P 2) ko'rib chiqaylik.

Avvalgidek, P 2 proyektiv tekisligining f 1 va f 2 proyektiv o'zgarishlarining f tarkibi f 1 va f 2 o'zgarishlarning ketma-ket bajarilishi natijasidir: f = f 2 °f 1.

1-teorema: P 2 proyeksiyalovchi tekislikning barcha proyektiv o'zgarishlarining H to'plami proyeksiyalovchi o'zgarishlar tarkibiga nisbatan guruhdir.

Kvadrat shakllarning inertsiya qonuni. Kvadrat shaklning darajasi nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soniga teng ekanligini yuqorida aytib o'tgan edik. Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soni degenerativ bo'lmagan transformatsiyani tanlashga bog'liq emas, uning yordamida shakl kanonik shaklga tushiriladi. Aslida, shaklni kanonik shaklga qisqartirishning har qanday usuli bilan ijobiy va salbiy kanonik koeffitsientlar soni o'zgarmaydi. Bu xossa kvadratik shakllarning inersiya qonuni deyiladi.

Bazadagi shakl matritsa bilan aniqlansin:

, (4.20)

bazisdagi vektorning koordinatalari qayerda e. Faraz qilaylik, bu shakl degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasi yordamida kanonik shaklga keltiriladi.

va nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar bo'lib, bu koeffitsientlarning birinchisi ijobiy va quyidagi koeffitsientlar manfiy bo'lishi uchun raqamlangan:

, , …, , , …, .

Quyidagi degenerativ bo'lmagan koordinata transformatsiyasini ko'rib chiqing:

Ushbu transformatsiya natijasida shakl shaklni oladi

kvadratik shaklning normal shakli deyiladi.

4.5 teorema (kvadrat shakllarning inertsiya qonuni). Kvadrat shaklning normal ko'rinishidagi ijobiy (salbiy) koeffitsientlarga ega bo'lgan atamalar soni shaklni ushbu shaklga qisqartirish usuliga bog'liq emas.

Natija. Ikki kvadratik shakl ekvivalent hisoblanadi, agar shakllarning darajalari teng bo'lsa va musbat va manfiy inertsiya ko'rsatkichlari mos kelsa.

Kvadrat shakllarning tasnifi. Ushbu bo'limda kvadratik shaklning inertsiya indeksi, musbat va manfiy inersiya ko'rsatkichlari tushunchalaridan foydalanib, kvadratik shakl yuqorida sanab o'tilgan turlarning u yoki bu turiga (musbat aniq, manfiy aniq, almashinadigan va kvazi-belgili aniq). Bunday holda, biz kvadrat shaklning inertsiya indeksini ushbu shaklning nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soni (ya'ni uning darajasi), musbat inersiya indeksini musbat kanonik koeffitsientlar soni, manfiy inersiya indeksini manfiy ko'rsatkichlar deb ataymiz. kanonik koeffitsientlar. Ko'rinib turibdiki, musbat va manfiy inertsiya ko'rsatkichlarining yig'indisi inertsiya indeksiga teng. Manfiy va musbat inersiya ko'rsatkichlari munosabat bilan bog'lanadi va juft yoki deyiladi imzo kvadratik shakl.

Demak, kvadratik shaklning inersiya indeksi, musbat va manfiy inersiya ko‘rsatkichlari mos ravishda , va () ga teng bo‘lsin. Oldingi paragrafda har qanday kanonik asosda ushbu shaklni quyidagi oddiy shaklga qisqartirish mumkinligi isbotlangan:

bazisdagi vektorning koordinatalari qayerda.

6-misol Kvadrat shaklning normal shakli va imzosini toping

Bu shaklning kanonik shakli: . Keling, , , ni qo'yaylik. Keyin. Bu kvadrat shaklning normal shakli. Ijobiy inersiya indeksi: , manfiy inersiya indeksi. Demak, kvadrat shaklning imzosi .

4.6 teorema (kvadrat shakl belgisi uchun zarur va etarli shart) n-o‘lchovli chiziqli L fazoda berilgan kvadratik shakl belgi-aniq bo‘lishi uchun yo musbat inersiya ko‘rsatkichi yoki manfiy inersiya ko‘rsatkichi L fazoning o‘lchamiga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. , bo‘lsa, shakl musbat aniqlovchi, agar , u holda shakl salbiy aniqlangan bo‘ladi.

Izoh. Ko'rsatilgan mezon yordamida kvadrat shaklning aniq belgisi masalasiga oydinlik kiritish uchun biz ushbu shaklni uning kanonik shakliga keltirishimiz kerak.

Teorema 4.7 (kvadrat shakl belgilarini almashtirish uchun zarur va etarli shart) Kvadrat shakl almashinib turishi uchun bu shaklning musbat va manfiy inersiya ko‘rsatkichlari noldan farq qilishi zarur va yetarlidir.

Teorema 4.8 (kvadrat shaklning kvazibelgi aniqligi uchun zarur va etarli shart) Shakl kvazibelli aniq bo'lishi uchun quyidagi munosabatlarning bo'lishi zarur va etarli: yo , , yoki , .

Kvadrat shaklning aniq belgisi uchun Silvestr mezoni. Bazisdagi shakl matritsa bilan aniqlansin: va , , …, burchak (asosiy) minorlari va matritsaning determinanti bo'lsin. Quyidagi bayonot haqiqatdir:

4.9 teorema (Silvester mezoni) Kvadrat shakl musbat aniqlovchi bo‘lishi uchun , , …, tengsizliklari zarur va yetarli.

Kvadrat shakl manfiy aniq bo'lishi uchun burchak minorlarining belgilari almashinib turishi zarur va yetarli, va.

Xulosa 1 Kvadrat shakl manfiy aniq bo'lishi uchun barcha juft tartibli burchak minorlari musbat va toq tartibli burchak minorlari manfiy bo'lishi yoki aks holda , , ..., , tengsizliklari qanoatlantirilishi zarur va yetarlidir. .

Xulosa 2 Kvadrat shakl manfiy bo'lmasligi uchun uning matritsasining barcha asosiy (nafaqat burchakli) minorlari manfiy bo'lmasligi zarur va etarli.

Xulosa 3 Kvadrat shakl nomusbat bo‘lishi uchun juft tartibli barcha yetakchi kichiklar manfiy bo‘lmasligi va toq tartibli barcha yetakchi kichiklar nomusbat bo‘lishi zarur va yetarlidir.

Xulosa 4 Kvadrat shakl noaniq (almashinuvchi) bo‘lishi uchun uning matritsasida turli belgilardagi toq tartibli manfiy bosh minor va toq tartibli ikkita yetakchi minor bo‘lishi zarur va yetarlidir.

7-misol Belgining aniqligi uchun kvadrat shakllarni o'rganing:

1) Kvadrat shakldagi matritsa uchun barcha burchak minorlarini toping

Bu holda, yana, faqat burchakli voyaga etmaganlarning qiymatlari bilan javob berish mumkin emas. Keling, barcha katta yoshdagi bolalarni topaylik. Birinchi tartib burchak bo'lmagan asosiy kichiklar 2 va 4. Ikkinchi tartib burchak bo'lmagan asosiy kichiklar , . Hatto tartibning salbiy etakchi kichikligi mavjud. Shuning uchun kvadratik shakl noaniqdir.