Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topish bo'yicha matematikadan yagona davlat imtihonining c2 masalalari. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa I

, "Dars uchun taqdimot" tanlovi

Sinf: 11

Dars uchun taqdimot

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Maqsadlar:

• talabalarning bilim va ko'nikmalarini umumlashtirish va tizimlashtirish;
• tahlil qilish, taqqoslash, xulosa chiqarish ko'nikmalarini rivojlantirish.

Uskunalar:

• multimedia proyektori;
• kompyuter;
• muammoli matnli varaqlar

SINFNING OLISHI

I. Tashkiliy moment

II. Bilimlarni yangilash bosqichi(2-slayd)

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa qanday aniqlanganligini takrorlaymiz

III. Leksiya(3-15 slaydlar)

Ushbu darsda biz nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning turli usullarini ko'rib chiqamiz.

Birinchi usul: bosqichma-bosqich hisoblash

M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofa:
– M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan a to‘g‘ri chiziqda yotgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikka masofaga teng;
– b tekislikda yotgan, M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikgacha bo‘lgan masofaga teng.

Biz quyidagi muammolarni hal qilamiz:

№1. A...D 1 kubida C 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

O 1 N segmentining uzunligi qiymatini hisoblash qoladi.

№2. Barcha qirralari 1 ga teng bo‘lgan A...F 1 muntazam olti burchakli prizmada A nuqtadan DEA 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Keyingi usul: hajm usuli.

Agar ABCM piramidasining hajmi V ga teng bo'lsa, M nuqtadan ∆ABC ni o'z ichiga olgan a tekislikgacha bo'lgan masofa r(M; a) = r(M; ABC) = formula bilan hisoblanadi.
Muammolarni yechishda biz ikki xil usulda ifodalangan bir raqamning hajmlari tengligidan foydalanamiz.

Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:

№3. DABC piramidasining AD cheti ABC asos tekisligiga perpendikulyar. A dan AB, AC va AD qirralarning o'rta nuqtalaridan o'tuvchi tekislikgacha bo'lgan masofani toping, agar.

Muammolarni hal qilishda koordinata usuli M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofani r(M; a) = formulasi yordamida hisoblash mumkin , bu yerda M(x 0; y 0; z 0) va tekislik ax + by + cz + d = 0 tenglama bilan berilgan.

Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:

№4. A...D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar koordinatasini koordinata sistemasining koordinatasini A nuqtada keltiramiz, y o’qi AB chekkasi bo’ylab, x o’qi AD chekkasi bo’ylab, z o’qi AA 1 cheti bo’ylab o’tadi. U holda B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) nuqtalarning koordinatalari.
B, D, C 1 nuqtalardan o'tuvchi tekislik uchun tenglama tuzamiz.

U holda – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Demak, r =

Ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun quyidagi usuldan foydalanish mumkin muammolarni qo'llab-quvvatlash usuli.

Ushbu usulni qo'llash teorema sifatida tuzilgan ma'lum mos yozuvlar muammolaridan foydalanishdan iborat.

Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:

№5. A...D 1 birlik kubida D 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Keling, arizani ko'rib chiqaylik vektor usuli.

№6. A...D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Shunday qilib, biz ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan turli usullarni ko'rib chiqdik. Bir yoki boshqa usulni tanlash muayyan vazifaga va sizning afzalliklaringizga bog'liq.

IV. Guruh ishi

Muammoni turli yo'llar bilan hal qilishga harakat qiling.

№1. A...D 1 kubining cheti ga teng. C cho'qqisidan BDC 1 tekisligigacha bo'lgan masofani toping.

№2. Kenarli ABCD muntazam tetraedrida A nuqtadan BDC tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

№3. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan ABCA 1 B 1 C 1 muntazam uchburchak prizmasida A dan BCA 1 tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

№4. Oddiy to'rtburchakli SABCD piramidasida barcha qirralari 1 ga teng bo'lsa, A dan SCD tekisligigacha bo'lgan masofani toping.

V. Dars xulosasi, uyga vazifa, mulohaza

MATEMATIKA FANIDAN YANGILIK DAVLAT IMTIHNONINING C2 MASALLARI NOKTADAN SOLOLGACHA MASAFNI TOPISH.

Kulikova Anastasiya Yurievna

Matematika fakulteti 5-kurs talabasi. tahlil, algebra va geometriya EI KFU, Rossiya Federatsiyasi, Tatariston Respublikasi, Elabuga

Ganeeva Oygul Rifovna

ilmiy rahbar, t.f.n. ped. fanlar, dotsent EI KFU, Rossiya Federatsiyasi, Tatariston Respublikasi, Elabuga

So'nggi yillarda matematikadan yagona davlat imtihon topshiriqlarida nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash bo'yicha vazifalar paydo bo'ldi. Ushbu maqolada bitta masala misolidan foydalanib, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning turli usullari ko'rib chiqiladi. Turli muammolarni hal qilish uchun eng mos usuldan foydalanish mumkin. Bir usul yordamida muammoni hal qilgandan so'ng, siz boshqa usul yordamida natijaning to'g'riligini tekshirishingiz mumkin.

Ta'rif. Nuqtadan bu nuqtani o‘z ichiga olmagan tekislikgacha bo‘lgan masofa shu nuqtadan berilgan tekislikka o‘tkazilgan perpendikulyar segmentning uzunligidir.

Vazifa. To'rtburchaklar parallelepiped berilgan ABBILAND.A. 1 B 1 C 1 D 1 tomonlari bilan AB=2, Miloddan avvalgi=4, A.A. 1 =6. Nuqtadan masofani toping D samolyotga ACD 1 .

1 yo'l. Foydalanish ta'rifi. masofani toping r( D, ACD 1) nuqtadan D samolyotga ACD 1 (1-rasm).

1-rasm. Birinchi usul

Bajaraylik D.H.⊥AC, shuning uchun uchta perpendikulyar teorema bo'yicha D 1 H⊥AC Va (DD 1 H)⊥AC. Bajaraylik bevosita D.T. perpendikulyar D 1 H. Streyt D.T. samolyotda yotadi DD 1 H, shuning uchun D.T.⊥A.C.. Demak, D.T.⊥ACD 1.

ADC gipotenuzani topamiz AC va balandligi D.H.

To'g'ri uchburchakdan D 1 D.H. gipotenuzani topamiz D 1 H va balandligi D.T.

Javob: .

2-usul.Hajmi usuli (yordamchi piramidadan foydalanish). Bunday turdagi masalani piramidaning balandligini hisoblash masalasiga qisqartirish mumkin, bu erda piramidaning balandligi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan talab qilinadigan masofadir. Bu balandlik kerakli masofa ekanligini isbotlang; bu piramidaning hajmini ikki usulda toping va shu balandlikni ifodalang.

E'tibor bering, bu usul bilan berilgan nuqtadan berilgan tekislikka perpendikulyar qurishning hojati yo'q.

Kuboid - barcha yuzlari to'rtburchaklar bo'lgan parallelepiped.

AB=CD=2, Miloddan avvalgi=AD=4, A.A. 1 =6.

Kerakli masofa balandlik bo'ladi h piramidalar ACD 1 D, yuqoridan tushirildi D asosda ACD 1 (2-rasm).

Keling, piramidaning hajmini hisoblaylik ACD 1 D ikki yo'l.

Hisoblashda birinchi usulda ∆ ni asos qilib olamiz ACD 1 keyin

Ikkinchi usulda hisoblashda ∆ ni asos qilib olamiz ACD, Keyin

Keling, oxirgi ikkita tenglikning o'ng tomonlarini tenglashtiramiz va olamiz

Shakl 2. Ikkinchi usul

To'g'ri uchburchaklardan ACD, QO‘SHISH 1 , CDD 1 Pifagor teoremasi yordamida gipotenuzani toping

ACD

Uchburchakning maydonini hisoblang ACD 1 Heron formulasidan foydalangan holda

Javob: .

3 yo'l. Koordinata usuli.

Bir nuqta berilsin M(x 0 ,y 0 ,z 0) va tekislik α , tenglama bilan berilgan bolta+tomonidan+cz+d To'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimida =0. Nuqtadan masofa M a tekisligiga quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Koordinatalar sistemasini kiritamiz (3-rasm). Bir nuqtada koordinatalarning kelib chiqishi IN;

Streyt AB- eksa X, Streyt Quyosh- eksa y, Streyt BB 1 - eksa z.

Rasm 3. Uchinchi usul

B(0,0,0), A(2,0,0), BILAN(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Mayli ax+tomonidan+ cz+ d=0 – tekislik tenglamasi ACD 1 . Unga nuqtalar koordinatalarini qo'yish A, C, D 1 biz olamiz:

Tekislik tenglamasi ACD 1 shaklni oladi

Javob: .

4 yo'l. Vektor usuli.

Keling, asos bilan tanishtiramiz (4-rasm) , .

4-rasm. To'rtinchi usul

Fazoda ma'lum p tekislik va ixtiyoriy M 0 nuqtani ko'rib chiqaylik. Keling, samolyotni tanlaylik normal vektor birligi n bilan boshi bir nuqtada M 1 ∈ p va M 0 nuqtadan p tekislikgacha bo'lgan masofa p(M 0 ,p) bo'lsin. Keyin (5.5-rasm)

r(M 0 ,p) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

beri |n| = 1.

Agar p tekisligi berilgan bo'lsa uning umumiy tenglamasi bilan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Ax + By + Cz + D = 0, u holda uning normal vektori koordinatali vektor (A; B; C) va biz tanlashimiz mumkin.

(x 0 ; y 0 ; z 0) va (x 1 ; y 1 ; z 1) M 0 va M 1 nuqtalarning koordinatalari bo‘lsin. U holda Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 tengligi o'rinli bo'ladi, chunki M 1 nuqta tekislikka tegishli bo'lib, M 1 M 0 vektorining koordinatalarini topish mumkin: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ). Yozib olish skalyar mahsulot nM 1 M 0 koordinata shaklida va o'zgartirganda (5.8), biz olamiz

chunki Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Demak, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun nuqta koordinatalarini tekislikning umumiy tenglamasiga almashtirib, so'ngra mutlaq qiymatini bo'lish kerak. mos keladigan normal vektor uzunligiga teng bo'lgan normallashtiruvchi omil bilan natija.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik standartlarini etkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.