Vektorlarning chiziqli bog'liqligini qanday aniqlash mumkin. Vektorlar sistemasining chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi

Vektor sistemasi deyiladi chiziqli bog'liq, kamida bittasi noldan farq qiladigan raqamlar mavjud bo'lsa, tenglik https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=" " >.

Agar bu tenglik faqat hammasi bo'lgan holatda bajarilsa, vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli mustaqil.

Teorema. Vektor tizimi bo'ladi chiziqli bog'liq agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsa.

1-misol. Polinom polinomlarning chiziqli birikmasidir https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomlar chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi, chunki polinom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2-misol. Matritsa tizimi, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> chiziqli mustaqil, chunki chiziqli birikma tengdir. nol matritsa faqat https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text bo'lganda /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> chiziqli bog'liq.

Yechim.

Keling, ushbu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini yarataylik https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" balandlik = "22">.

Teng vektorlarning bir xil koordinatalarini tenglashtirib, biz https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> ni olamiz.

Nihoyat, olamiz

Va

Tizim noyob trivial yechimga ega, shuning uchun bu vektorlarning chiziqli birikmasi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lgan taqdirdagina nolga teng bo'ladi. Shuning uchun bu vektorlar sistemasi chiziqli mustaqildir.

4-misol. Vektorlar chiziqli mustaqildir. Vektor tizimlari qanday bo'ladi?

a).;

b).?

Yechim.

a). Keling, chiziqli birikma yasaymiz va uni nolga tenglashtiramiz

Chiziqli fazoda vektorlar bilan amallar xossalaridan foydalanib, oxirgi tenglikni shaklda qayta yozamiz

Vektorlar chiziqli mustaqil bo'lgani uchun at koeffitsientlari nolga teng bo'lishi kerak, ya'ni.gif" width="12" height="23 src=">

Olingan tenglamalar tizimi o'ziga xos trivial yechimga ega .

Tenglikdan beri (*) faqat https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - chiziqli mustaqil;

b). Keling, tenglikni yarataylik https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Shunga o'xshash mulohazalarni qo'llash orqali biz erishamiz

Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish orqali erishamiz

yoki

Oxirgi tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Shunday qilib, bo'lmagan mavjud. tenglikka ega bo'lgan nol koeffitsientlar to'plami (**) . Shuning uchun vektorlar sistemasi - chiziqli bog'liq.

5-misol Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil, vektorlar tizimi esa chiziqli bog'liq..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Tenglikda (***) . Haqiqatan ham, da, tizim chiziqli bog'liq bo'ladi.

Munosabatdan (***) olamiz yoki belgilaylik .

olamiz

Mustaqil hal qilish uchun muammolar (sinfda)

1. Nol vektorni o'z ichiga olgan tizim chiziqli bog'liqdir.

2. Bitta vektordan iborat tizim A, chiziqli bog'liq bo'ladi, agar va faqat, agar, a=0.

3. Ikki vektordan iborat sistema, agar vektorlar proportsional bo'lsa (ya'ni, ulardan biri ikkinchisidan raqamga ko'paytirilsa) chiziqli bog'liqdir.

4. Agar chiziqli bog'liq tizimga vektor qo'shsangiz, siz chiziqli bog'liq tizimga ega bo'lasiz.

5. Agar vektor chiziqli mustaqil tizimdan olib tashlansa, natijada vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'ladi.

6. Agar tizim S chiziqli mustaqil, lekin vektor qo'shilganda chiziqli bog'liq bo'ladi b, keyin vektor b tizim vektorlari orqali chiziqli ifodalangan S.

c). Ikkinchi tartibli matritsalar fazosida , matritsalar tizimi.

10. Vektorlar sistemasi bo'lsin a,b,c vektor fazo chiziqli mustaqildir. Quyidagi vektor sistemalarning chiziqli mustaqilligini isbotlang:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– ixtiyoriy raqam

c).a+b, a+c, b+c.

11. Mayli a,b,c- uchburchak hosil bo'lishi mumkin bo'lgan tekislikdagi uchta vektor. Bu vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladimi?

12. Ikki vektor berilgan a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Yana ikkita to'rt o'lchovli vektorni toping a3 vaa4 shunday qilib, tizim a1,a2,a3,a4 chiziqli mustaqil edi .

Biz tomonidan taqdim etilgan vektorlar ustida chiziqli amallar uchun turli iboralar yaratish imkonini beradi vektor kattaliklari va ushbu operatsiyalar uchun o'rnatilgan xususiyatlar yordamida ularni o'zgartiring.

Berilgan a 1, ..., a n vektorlar to‘plamiga asoslanib, shakl ifodasini yaratish mumkin

bu yerda a 1, ... va n ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Bu ifoda deyiladi vektorlarning chiziqli birikmasi a 1, ..., a n. a i, i = 1, n raqamlari ifodalanadi chiziqli birikma koeffitsientlari. Vektorlar to'plami ham deyiladi vektorlar tizimi.

Kiritilgan vektorlarning chiziqli birikmasi tushunchasi bilan bog'liq holda berilgan a 1, ..., a n vektorlar tizimining chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin bo'lgan vektorlar to'plamini tavsiflash muammosi paydo bo'ladi. Bundan tashqari, vektorning chiziqli birikma shaklida tasviri mavjud bo'lgan shartlar va bunday tasvirning o'ziga xosligi haqida tabiiy savollar mavjud.

Ta'rif 2.1. a 1, ... va n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, a 1 , ... , a n koeffitsientlar to'plami bo'lsa, shunday bo'ladi

a 1 a 1 + ... + a n a n = 0 (2.2)

va bu koeffitsientlarning kamida bittasi nolga teng emas. Belgilangan koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lmasa, vektorlar chaqiriladi chiziqli mustaqil.

Agar a 1 = ... = a n = 0 bo'lsa, u holda, aniqki, a 1 a 1 + ... + a n a n = 0. Buni hisobga olib, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin: a 1, ..., va vektorlar. Agar (2.2) tenglikdan barcha a 1, ..., a n koeffitsientlari nolga teng ekanligi kelib chiqsa, n chiziqli mustaqildir.

Quyidagi teorema yangi tushunchaning nima uchun "bog'liqlik" (yoki "mustaqillik") atamasi deb atalishini tushuntiradi va chiziqli bog'liqlikning oddiy mezonini beradi.

2.1 teorema. a 1, ..., va n, n > 1 vektorlari chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ulardan biri boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.

◄ Zarurlik. Faraz qilaylik, a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liq. Chiziqli bog'liqlikning 2.1 ta'rifiga ko'ra, (2.2) tenglikda chapda kamida bitta nolga teng bo'lmagan koeffitsient mavjud, masalan, a 1. Birinchi atamani tenglikning chap tomonida qoldirib, qolganlarini odatdagidek belgilarini o'zgartirib, o'ng tomonga o'tkazamiz. Olingan tenglikni a 1 ga bo'lib, biz hosil bo'lamiz

a 1 =-a 2 /a 1 ⋅ a 2 - ... - a n /a 1 ⋅ a n

bular. a 1 vektorining qolgan a 2, ..., a n vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi.

Adekvatlik. Masalan, birinchi vektor a 1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin: a 1 = b 2 a 2 + ... + b n a n. Barcha shartlarni o'ng tomondan chapga o'tkazsak, biz 1 - b 2 a 2 - ... - b n a n = 0 ni olamiz, ya'ni. a 1, ..., a n koeffitsientlari a 1 = 1, a 2 = - b 2, ..., a n = - b n vektorlarning chiziqli birikmasi, ga teng nol vektor. Ushbu chiziqli kombinatsiyada barcha koeffitsientlar nolga teng emas. 2.1 ta'rifga ko'ra a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liqdir.

Chiziqli bog'liqlikning ta'rifi va mezoni ikki yoki undan ortiq vektor mavjudligini anglatish uchun tuzilgan. Biroq, bitta vektorning chiziqli bog'liqligi haqida ham gapirish mumkin. Ushbu imkoniyatni amalga oshirish uchun "vektorlar chiziqli bog'liq" o'rniga "vektorlar tizimi chiziqli bog'liq" deb aytishingiz kerak. "Bir vektorli tizim chiziqli bog'liq" iborasi bu bitta vektor nolga teng ekanligini anglatishini tushunish oson (chiziqli kombinatsiyada faqat bitta koeffitsient mavjud va u nolga teng bo'lmasligi kerak).

Chiziqli bog'liqlik tushunchasi oddiy geometrik talqinga ega. Quyidagi uchta bayonot bu talqinni aniqlaydi.

2.2 teorema. Ikki vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular faqat va agar ular kollinear.

◄ Agar a va b vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda ulardan biri, masalan, a, ikkinchisi orqali ifodalanadi, ya'ni. ba'zi haqiqiy sonlar uchun a = lb. 1.7 ta'rifiga ko'ra ishlaydi songa vektorlar, a va b vektorlar kollineardir.

Endi a va b vektorlar kollinear bo'lsin. Agar ularning ikkalasi ham nolga teng bo'lsa, ularning chiziqli bog'liqligi aniq, chunki ularning har qanday chiziqli birikmasi nol vektorga teng. Bu vektorlardan biri 0 ga teng bo'lmasin, masalan b vektori. Vektor uzunliklarining nisbatini l bilan belgilaymiz: l = |a|/|b|. Kollinear vektorlar bo'lishi mumkin bir tomonlama yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan. Ikkinchi holda, biz l belgisini o'zgartiramiz. Keyin, 1.7 ta'rifini tekshirib, a = lb ekanligiga amin bo'lamiz. 2.1 teoremaga ko'ra a va b vektorlar chiziqli bog'liqdir.

Izoh 2.1. Ikki vektorda, chiziqli bog'liqlik mezonini hisobga olgan holda, isbotlangan teoremani quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: ikkita vektor, agar ulardan biri ikkinchisining ko'paytmasi sifatida raqam bilan ifodalangan bo'lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi. Bu ikki vektorning kollinearligi uchun qulay mezondir.

2.3 teorema. Uch vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular bo'lsa o'xshash.

◄ Agar uchta a, b, c vektor chiziqli bogʻliq boʻlsa, 2.1-teoremaga koʻra, ulardan biri, masalan, a, boshqalarning chiziqli birikmasidir: a = bb + gs. b va c vektorlarning kelib chiqishini A nuqtada birlashtiramiz. U holda b, gs vektorlari A nuqtada va bo‘ylab umumiy koordinataga ega bo‘ladi. parallelogramm qoidasiga ko'ra, ularning yig'indisi bular. a vektor kelib chiqishi A bo'lgan vektor bo'ladi va yakun, ya'ni komponent vektorlari asosida qurilgan parallelogrammaning tepasi. Shunday qilib, barcha vektorlar bir tekislikda yotadi, ya'ni koplanar.

a, b, c vektorlar koplanar bo'lsin. Agar ushbu vektorlardan biri nolga teng bo'lsa, u boshqalarining chiziqli birikmasi bo'lishi aniq. Nolga teng chiziqli birikmaning barcha koeffitsientlarini olish kifoya. Shuning uchun biz uchta vektorning barchasi nolga teng emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Mos boshlandi bu vektorlarning umumiy O nuqtasida. Ularning uchlari mos ravishda A, B, C nuqtalar bo'lsin (2.1-rasm). C nuqta orqali O, A va O, B juft nuqtalaridan o'tuvchi chiziqlarga parallel chiziqlar o'tkazamiz. Kesishish nuqtalarini A" va B" deb belgilab, biz OA"CB" parallelogrammini olamiz, shuning uchun OC" = OA" + OB". Vektor OA" va nolga teng bo'lmagan a = OA vektori kollineardir va shuning uchun ulardan birinchisini ikkinchisini a:OA" = aOA haqiqiy songa ko'paytirish orqali olish mumkin. Xuddi shunday, OB" = bOB, b ∈ R. Natijada, OC" = a OA + bOB ekanligini olamiz, ya'ni c vektor a va b vektorlarning chiziqli birikmasidir. 2.1-teoremaga ko'ra, a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.

2.4 teorema. Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.

◄ Biz isbotlashni 2.3-teoremadagi kabi sxema bo'yicha bajaramiz. A, b, c va d ixtiyoriy to'rt vektorni ko'rib chiqaylik. Agar to'rt vektordan biri nolga teng bo'lsa yoki ular orasida ikkita kollinear vektor bo'lsa yoki to'rt vektordan uchtasi koplanar bo'lsa, bu to'rt vektor chiziqli bog'liqdir. Misol uchun, a va b vektorlar kollinear bo'lsa, biz ularning chiziqli birikmasini nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar bilan aa + bb = 0 qilishimiz mumkin va keyin bu kombinatsiyaga qolgan ikkita vektorni qo'shib, nollarni koeffitsient sifatida olamiz. Biz 0 ga teng bo'lgan to'rtta vektorning chiziqli kombinatsiyasini olamiz, unda nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar mavjud.

Shunday qilib, tanlangan to'rtta vektor orasida hech qanday vektor nolga teng emas, ikkitasi kollinear emas va uchtasi koplanar emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Ularning umumiy boshlanishi sifatida O nuqtani tanlaylik.Unda a,b,c,d vektorlarning uchlari ba'zi A,B,C,D nuqtalar bo'ladi (2.2-rasm). D nuqta orqali OBC, OCA, OAB tekisliklarga parallel uchta tekislik o'tkazamiz va bu tekisliklarning mos ravishda OA, OB, OS to'g'ri chiziqlar bilan kesishgan nuqtalari A", B", C" bo'lsin. parallelepiped OA" C "B" C" B"DA" va a, b, c vektorlari uning O cho'qqisidan chiquvchi qirralarida yotadi. OC"DC" to'rtburchak parallelogramm bo'lgani uchun OD = OC" + OC". O'z navbatida, OC" segmenti diagonal parallelogramma OA"C"B", shuning uchun OC" = OA" + OB" va OD = OA" + OB" + OC" .

Shuni ta'kidlash kerakki, OA ≠ 0 va OA" , OB ≠ 0 va OB" , OC ≠ 0 va OC" juft vektorlari kollineardir va shuning uchun a, b, g koeffitsientlarini shunday tanlash mumkinki, OA" = aOA , OB" = bOB va OC" = gOC. Biz nihoyat OD = aOA + bOB + gOC ni olamiz. Binobarin, OD vektori qolgan uchta vektor orqali ifodalanadi va 2.1 teoremaga ko'ra barcha to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.

Ta'rif 1. Vektorlarning chiziqli birikmasi bu vektorlar va skalarlarning ko'paytmalarining yig'indisidir
:

Ta'rif 2. Vektor tizimi
Agar ularning chiziqli birikmasi (2.8) yo'qolsa, chiziqli bog'liq tizim deyiladi:

va raqamlar orasida
noldan farq qiladigan kamida bittasi bor.

Ta'rif 3. Vektorlar
Agar ularning chiziqli birikmasi (2.8) barcha sonlar bo'lgandagina yo'qolsa, chiziqli mustaqil deyiladi.

Ushbu ta'riflardan quyidagi xulosalarni olish mumkin.

Xulosa 1. Chiziqli bog'liq vektorlar tizimida kamida bitta vektor boshqalarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin.

Isbot. (2.9) qanoatlansin va aniqlik uchun koeffitsient bo'lsin
. Keyin bizda:
. E'tibor bering, qarama-qarshilik ham to'g'ri.

Xulosa 2. Agar vektorlar sistemasi
nol vektorni o'z ichiga oladi, keyin bu tizim (majburiy) chiziqli bog'liq - isboti aniq.

Xulosa 3. Agar orasida n vektorlar
har qanday k(
) vektorlar chiziqli bog'liq, keyin hammasi n vektorlar chiziqli bog'liqdir (biz isbotni o'tkazib yuboramiz).

2 0 . Ikki, uch va to'rt vektorning chiziqli birikmalari. To'g'ri chiziq, tekislik va fazoda vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi masalalarini ko'rib chiqamiz. Keling, tegishli teoremalarni keltiraylik.

Teorema 1. Ikki vektor chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ularning kollinear bo'lishi zarur va etarli.

Zaruriyat. Vektorlarga ruxsat bering Va chiziqli bog'liq. Bu ularning chiziqli birikmasini bildiradi
=0 va (aniqlik uchun)
. Bu tenglikni anglatadi
, va (vektorni raqamga ko'paytirish ta'rifi bo'yicha) vektorlar Va kollinear.

Adekvatlik. Vektorlarga ruxsat bering Va qarama-qarshi ( ║) (biz ular nol vektordan farq qiladi deb taxmin qilamiz; aks holda ularning chiziqli bog'liqligi aniq).

Teorema (2.7) bo'yicha (2.1-band, 2 0-bandga qarang).
shu kabi
, yoki
– chiziqli birikma nolga teng, koeffitsient esa at 1 ga teng - vektorlar Va chiziqli bog'liq.

Bu teoremadan quyidagi xulosa kelib chiqadi.

Natija. Agar vektorlar Va kollinear emas, u holda ular chiziqli mustaqildir.

Teorema 2. Uch vektor chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ularning koplanar bo'lishi zarur va etarli.

Zaruriyat. Vektorlarga ruxsat bering ,Va chiziqli bog'liq. Keling, ularning koplanar ekanligini ko'rsataylik.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi ta'rifidan raqamlarning mavjudligi kelib chiqadi
Va shunday chiziqli birikma
, va ayni paytda (aniq bo'lish uchun)
. Keyin bu tenglikdan vektorni ifodalashimiz mumkin :=
, ya'ni vektor bu tenglikning o'ng tomonidagi vektorlar ustida qurilgan parallelogramma diagonaliga teng (2.6-rasm). Bu vektorlar degan ma'noni anglatadi ,Va bir xil tekislikda yotish.

Adekvatlik. Vektorlarga ruxsat bering ,Va o'xshash. Keling, ularning chiziqli bog'liqligini ko'rsataylik.

Keling, har qanday vektor juftining kollinearlik holatini istisno qilaylik (chunki bu juftlik chiziqli bog'liq va 3-chi xulosaga ko'ra (1 0-bandga qarang) uchta vektor ham chiziqli bog'liqdir). E'tibor bering, bu taxmin ushbu uchtasi orasida nol vektor mavjudligini ham istisno qiladi.

Keling, uchta koplanar vektorni bir tekislikka o'tkazamiz va ularni umumiy boshga keltiramiz. Vektorning oxiri orqali vektorlarga parallel chiziqlar chizamiz Va ; vektorlarni olamiz Va (2.7-rasm) - ularning mavjudligi vektorlar mavjudligi bilan ta'minlanadi Va faraz bo'yicha kollinear bo'lmagan vektorlar. Bundan kelib chiqadiki, vektor =+. Bu tenglikni (-1) shaklida qayta yozish ++=0, vektorlar degan xulosaga kelamiz ,Va chiziqli bog'liq.

Tasdiqlangan teoremadan ikkita xulosa kelib chiqadi.

Xulosa 1. Mayli Va kollinear bo'lmagan vektorlar, vektor – ixtiyoriy, vektorlar bilan aniqlangan tekislikda yotgan Va , vektor. Keyin raqamlar bor Va shu kabi

=+. (2.10)

Xulosa 2. Agar vektorlar ,Va koplanar emas, u holda ular chiziqli mustaqildir.

Teorema 3. Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.

Biz dalilni o'tkazib yuboramiz; ba'zi o'zgartirishlar bilan u 2-teoremaning isbotini ko'chiradi. Keling, bu teoremadan xulosa chiqaramiz.

Natija. Har qanday koplanar bo'lmagan vektorlar uchun ,,va har qanday vektor
Va shu kabi

. (2.11)

Izoh. (Uch o'lchovli) fazodagi vektorlar uchun chiziqli bog'liqlik va mustaqillik tushunchalari yuqoridagi 1-3 teoremalardan kelib chiqqan holda oddiy geometrik ma'noga ega.

Ikki chiziqli bog'liq vektor bo'lsin Va . Bunday holda, ulardan biri ikkinchisining chiziqli birikmasidir, ya'ni u shunchaki raqamli omil bilan farq qiladi (masalan,
). Geometrik jihatdan bu ikkala vektor umumiy chiziqda ekanligini anglatadi; ular bir xil yoki qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lishi mumkin (2.8-rasm xx).

Agar ikkita vektor bir-biriga burchak ostida joylashgan bo'lsa (2.9-rasm xx), unda bu holda ikkinchisini raqamga ko'paytirish orqali ulardan birini olish mumkin emas - bunday vektorlar chiziqli mustaqildir. Shuning uchun ikkita vektorning chiziqli mustaqilligi Va bu vektorlarni bitta to'g'ri chiziqqa yotqizish mumkin emasligini bildiradi.

Keling, uchta vektorning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligining geometrik ma'nosini bilib olaylik.

Vektorlarga ruxsat bering ,Va chiziqli bog'liq va vektor (aniq bo'lsin) bo'lsin vektorlarning chiziqli birikmasidir Va , ya'ni vektorlarni o'z ichiga olgan tekislikda joylashgan Va . Bu vektorlar degan ma'noni anglatadi ,Va bir xil tekislikda yotish. Buning aksi ham to'g'ri: vektorlar bo'lsa ,Va bir tekislikda yotadi, keyin ular chiziqli bog'liqdir.

Shunday qilib, vektorlar ,Va bir tekislikda yotmasagina va faqat chiziqli mustaqildir.

3 0 . Baza tushunchasi. Chiziqli va vektor algebrasining eng muhim tushunchalaridan biri bazis tushunchasidir. Keling, ba'zi ta'riflar bilan tanishaylik.

Ta'rif 1. Agar bu juftlikning qaysi vektori birinchi va qaysi biri ikkinchisi ekanligi aniqlansa, bir juft vektor tartibli deyiladi.

Ta'rif 2. Buyurtma qilingan juftlik ,kollinear bo'lmagan vektorlar berilgan vektorlar bilan aniqlangan tekislikdagi bazis deb ataladi.

Teorema 1. Har qanday vektor tekislikda vektorlarning bazis tizimining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin ,:

(2.12)

va bu vakillik yagonadir.

Isbot. Vektorlarga ruxsat bering Va asos hosil qiladi. Keyin har qanday vektor shaklida ifodalanishi mumkin
.

Noyoblikni isbotlash uchun yana bitta parchalanish bor deb taxmin qiling
. Keyin bizda = 0 bor va farqlarning kamida bittasi noldan farq qiladi. Ikkinchisi vektorlar degan ma'noni anglatadi Va chiziqli bog'liq, ya'ni kollinear; bu ular asos tashkil qiladi, degan gapga zid keladi.

Ammo keyin faqat parchalanish mavjud.

Ta'rif 3. Qaysi vektor birinchi, qaysi biri ikkinchi, qaysi biri uchinchi ekanligi ko'rsatilgan bo'lsa, uchlik vektorlar tartibli deyiladi.

Ta'rif 4. Koplanar bo'lmagan vektorlarning tartiblangan uchligi fazoda bazis deb ataladi.

Bu erda parchalanish va yagonalik teoremasi ham amal qiladi.

Teorema 2. Har qanday vektor bazis vektor tizimining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin ,,:

(2.13)

va bu tasvir noyobdir (biz teoremaning isbotini o'tkazib yuboramiz).

Kengaytmalarda (2.12) va (2.13) miqdorlar vektor koordinatalari deyiladi berilgan asosda (aniqrog'i, afin koordinatalari bo'yicha).

Ruxsat etilgan asos bilan
Va
yozishingiz mumkin
.

Misol uchun, agar asos berilgan bo'lsa
va shunday beriladi
, u holda bu vakillik (parchalanish) mavjudligini anglatadi.
.

4 0 . Koordinata shaklidagi vektorlar ustida chiziqli amallar. Bazisning kiritilishi vektorlar ustidagi chiziqli amallarni raqamlar ustidagi oddiy chiziqli amallar - bu vektorlarning koordinatalari bilan almashtirish imkonini beradi.

Bir oz asos berilsin
. Shubhasiz, bu asosda vektor koordinatalarini ko'rsatish vektorning o'zini to'liq aniqlaydi. Quyidagi takliflar amal qiladi:

a) ikkita vektor
Va
Agar ularning tegishli koordinatalari teng bo'lsa, teng bo'ladi:

b) vektorni ko'paytirishda
raqam uchun uning koordinatalari bu raqamga ko'paytiriladi:

; (2.15)

v) vektorlarni qo'shganda, ularning tegishli koordinatalari qo'shiladi:

Biz bu xususiyatlarning dalillarini o'tkazib yuboramiz; b) xossasini faqat misol tariqasida isbotlaylik. Bizda ... bor

==

Izoh. Kosmosda (samolyotda) siz cheksiz ko'p bazalarni tanlashingiz mumkin.

Bir bazisdan ikkinchi bazisga o‘tishga misol keltiramiz va turli bazislarda vektor koordinatalari o‘rtasidagi munosabatlarni o‘rnatamiz.

1-misol. Asosiy tizimda
uchta vektor berilgan:
,
Va
. Asosda ,,vektor parchalanishga ega. Vektor koordinatalarini toping asosda
.

Yechim. Bizda kengaytmalar mavjud:
,
,
; shuning uchun,
=
+2
+
= =
, ya'ni
asosda
.

2-misol. Ba'zi asoslarga ruxsat bering
to'rt vektor ularning koordinatalari bilan berilgan:
,
,
Va
.

Vektorlarning hosil bo'lishini aniqlang
asos; agar javob ijobiy bo'lsa, vektorning parchalanishini toping shu asosda.

Yechim. 1) vektorlar chiziqli mustaqil bo'lsa, asos bo'ladi. Vektorlarning chiziqli birikmasini tuzamiz
(
) va nima ekanligini bilib oling
Va nolga tushadi:
=0. Bizda ... bor:

=
+
+
=

Koordinata shaklida vektorlarning tengligini aniqlab, quyidagi (chiziqli bir hil algebraik) tenglamalar tizimini olamiz:
;
;
, kimning aniqlovchisi
=1
, ya'ni tizimda (faqat) ahamiyatsiz yechim mavjud
. Bu vektorlarning chiziqli mustaqilligini bildiradi
va shuning uchun ular asosni tashkil qiladi.

2) vektorni kengaytiring shu asosda. Bizda ... bor: =
yoki koordinatali shaklda.

Koordinata ko'rinishidagi vektorlarning tengligiga o'tsak, biz chiziqli bir hil bo'lmagan algebraik tenglamalar tizimini olamiz:
;
;
. Uni yechish (masalan, Kramer qoidasi yordamida) biz quyidagilarni olamiz:
,
,
va (
)
. Bizda vektor parchalanishi mavjud asosda
:=.

5 0 . Vektorning o'qga proyeksiyasi. Proyeksiyalarning xossalari. Bir oz eksa bo'lsin l, ya'ni yo'nalishi tanlangan to'g'ri chiziq va qandaydir vektor berilgan bo'lsin Vektor proyeksiyasi tushunchasini aniqlaymiz eksa boshiga l.

Ta'rif. Vektor proyeksiyasi eksa boshiga l bu vektor moduli va o'q orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasi deyiladi l va vektor (2.10-rasm):

. (2.17)

Ushbu ta'rifning natijasi - teng vektorlar teng proyeksiyalarga ega (bir xil o'qda).

Proyeksiyalarning xossalarini qayd qilaylik.

1) vektorlar yig'indisining qandaydir o'qqa proyeksiyasi l vektorlar hadlarining bir xil o'qga proyeksiyalari yig'indisiga teng:

2) vektor bo'yicha skalyar ko'paytmaning proyeksiyasi vektorning bir xil o'qga proyeksiyasi bo'yicha ushbu skayarning ko'paytmasiga teng:

=
. (2.19)

Natija. Vektorlarning chiziqli birikmasining o'qga proyeksiyasi ularning proyeksiyalarining chiziqli birikmasiga teng:

Xususiyatlarning dalillarini o'tkazib yuboramiz.

6 0 . Kosmosdagi to'rtburchaklar dekart koordinatalar tizimi.O'qlarning birlik vektorlarida vektorning parchalanishi. Asos sifatida uchta o'zaro perpendikulyar birlik vektor tanlansin; biz ular uchun maxsus belgilar kiritamiz
. Boshlanishlarini bir nuqtaga qo'yish orqali O, biz ular bo'ylab yo'naltiramiz (orts
) koordinata o'qlari ho'kiz,Oy va O z(musbat yo'nalishi, kelib chiqishi va uzunlik birligi tanlangan o'q koordinata o'qi deb ataladi).

Ta'rif. Boshi umumiy va umumiy uzunlik birligiga ega boʻlgan uchta oʻzaro perpendikulyar koordinata oʻqlaridan iborat tartiblangan sistema fazodagi toʻrtburchak dekart koordinatalar sistemasi deyiladi.

Eksa ho'kiz abscissa o'qi deb ataladi, Oy– ordinat o‘qi uO z – eksa aplikatori.

Keling, ixtiyoriy vektorning bazis nuqtai nazaridan kengayishi bilan shug'ullanamiz
. Teoremadan (2.2-band, 3-band, (2.13) ga qarang) shundan kelib chiqadiki,
asosida noyob tarzda kengaytirilishi mumkin
(bu erda koordinatalarni belgilash o'rniga
foydalanish
):

. (2.21)

B (2,21)
mohiyat (kartezian to'rtburchak) vektor koordinatalari . Dekart koordinatalarining ma'nosi quyidagi teorema bilan belgilanadi.

Teorema. Dekart to'rtburchaklar koordinatalari
vektor bu vektorning mos ravishda o'qdagi proyeksiyalari ho'kiz,Oy va O z.

Isbot. Keling, vektorni joylashtiramiz koordinata tizimining kelib chiqishiga - nuqta O. Keyin uning oxiri qaysidir nuqtaga to'g'ri keladi
.

Keling, nuqta orqali chizamiz
koordinata tekisliklariga parallel uchta tekislik Oyz,Oxz Va Oksi(2.11-rasm xx). Keyin biz olamiz:

. (2.22)

(2.22) da vektorlar
Va
vektor komponentlar deyiladi
eksa bo'ylab ho'kiz,Oy va O z.

O'tkazib yuboring
Va vektor tomonidan hosil qilingan burchaklar mos ravishda ko'rsatilgan orts bilan
. Keyin komponentlar uchun quyidagi formulalarni olamiz:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

(2.21), (2.22) (2.23) dan biz quyidagilarni topamiz:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinatalar
vektor bu vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyalari mavjud ho'kiz,Oy va O z mos ravishda.

Izoh. Raqamlar
vektorning yo'nalish kosinuslari deyiladi .

Vektor moduli (to'rtburchaklar parallelepipedning diagonali) quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

. (2.24)

(2.23) va (2.24) formulalardan kelib chiqadiki, yo'nalish kosinuslarini formulalar yordamida hisoblash mumkin:

=
;
=
;
=
. (2.25)

(2.25) dagi har bir tenglikning ikkala tomonini ko'tarib, hosil bo'lgan tengliklarning chap va o'ng tomonlarini hadlar bo'yicha qo'shib, formulaga kelamiz:

– har qanday uchta burchak fazoda ma’lum bir yo‘nalishni emas, balki faqat kosinuslari munosabat bilan bog‘langan burchaklarni hosil qiladi (2.26).

7 0 . Radius vektori va nuqta koordinatalari.Vektorni boshi va oxiri bo'yicha aniqlash. Keling, ta'rifni kiritaylik.

Ta'rif. Radius vektori (belgilangan ) koordinata boshini bog‘lovchi vektor O bu nuqta bilan (2.12-rasm xx):

. (2.27)

Kosmosdagi har qanday nuqta ma'lum bir radius vektoriga to'g'ri keladi (va aksincha). Shunday qilib, fazodagi nuqtalar vektor algebrasida radius vektorlari bilan ifodalanadi.

Koordinatalar aniq
ball M uning radius vektorining proyeksiyalaridir
koordinata o'qlari bo'yicha:

(2.28’)

va shunday qilib,

(2.28)

– nuqtaning radius vektori koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari shu nuqtaning koordinatalariga teng bo‘lgan vektordir. Bu ikkita yozuvga olib keladi:
Va
.

Vektor proyeksiyalarini hisoblash uchun formulalar olamiz
uning kelib chiqish koordinatalariga ko'ra - nuqta
va yakuniy nuqta
.

Radius vektorlarini chizamiz
va vektor
(2.13-rasm). Biz buni tushunamiz

=
=(2.29)

– vektorning koordinata birlik vektorlariga proyeksiyalari vektor oxiri va boshining mos keladigan koordinatalari orasidagi farqlarga teng.

8 0 . Dekart koordinatalari bilan bog'liq ba'zi masalalar.

1) vektorlarning kollinearligi uchun shartlar . Teoremadan (2.1-band, 2-band 0, formula (2.7) ga qarang) vektorlarning kollinearligi uchun shunday xulosa kelib chiqadi. Va quyidagi munosabatlarni amalga oshirish uchun zarur va yetarlidir: =. Ushbu vektor tengligidan biz koordinata shaklida uchta tenglikni olamiz: bu koordinata shaklidagi vektorlarning kollinearligi shartini bildiradi:

(2.30)

– vektorlarning kollinearligi uchun Va ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'lishi zarur va etarlidir.

2) nuqtalar orasidagi masofa . Vakillikdan (2.29) masofa kelib chiqadi
nuqtalar orasida
Va
formula bilan aniqlanadi

=
=. (2.31)

3) segmentning berilgan nisbatda bo'linishi . Ballar berilsin
Va
va munosabat
. Topish kerak
- nuqta koordinatalari M (2.14-rasm).

Vektorlarning kollinearligi shartidan biz:
, qayerda
Va

. (2.32)

(2.32) dan koordinata shaklida olamiz:

Formulalardan (2.32') biz segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini hisoblash uchun formulalarni olishimiz mumkin.
, faraz qilish
:

Izoh. Biz segmentlarni hisoblaymiz
Va
ularning yo'nalishi boshidanoq yo'nalish bilan mos kelishiga qarab ijobiy yoki salbiy
oxirigacha segment
, yoki mos kelmaydi. Keyin (2.32) – (2.32”) formulalaridan foydalanib, segmentni ajratuvchi nuqtaning koordinatalarini topishingiz mumkin.
tashqi tomondan, ya'ni bo'linish nuqtasi bo'ladigan tarzda M segmentning davomi hisoblanadi
, va uning ichida emas. Shu bilan birga, albatta,
.

4) sferik sirt tenglamasi . Sferik sirt - nuqtalarning geometrik joylashuvi uchun tenglama tuzamiz
, masofada teng masofada ba'zi sobit markazdan - nuqta
. Bu holatda bo'lishi aniq
va (2.31) formulasini hisobga olgan holda

Tenglama (2.33) - kerakli sferik yuzaning tenglamasi.

Vazifa 1. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang. Vektorlar tizimi ustunlari vektorlarning koordinatalaridan iborat bo'lgan tizim matritsasi bilan belgilanadi.

.

Yechim. Chiziqli birikma bo'lsin nolga teng. Ushbu tenglikni koordinatalarda yozib, biz quyidagi tenglamalar tizimini olamiz:

.

Bunday tenglamalar tizimi uchburchak deyiladi. Uning faqat bitta yechimi bor . Shuning uchun vektorlar chiziqli mustaqil.

Vazifa 2. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang.

.

Yechim. Vektorlar chiziqli mustaqildir (1-masalaga qarang). Vektor vektorlarning chiziqli birikmasi ekanligini isbotlaylik . Vektor kengayish koeffitsientlari tenglamalar sistemasidan aniqlanadi

.

Ushbu tizim, uchburchak kabi, o'ziga xos echimga ega.

Shuning uchun vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq.

Izoh. 1-masaladagi kabi turdagi matritsalar deyiladi uchburchak , va 2-muammoda - pog'onali uchburchak . Vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi haqidagi savol, agar bu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan matritsa pog'onali uchburchak bo'lsa, oson hal qilinadi. Agar matritsaning maxsus shakli bo'lmasa, u holda foydalaning elementar string konvertatsiyalari , ustunlar orasidagi chiziqli munosabatlarni saqlab, uni pog'onali uchburchak shaklga qisqartirish mumkin.

Elementar satr konvertatsiyalari matritsalar (EPS) matritsadagi quyidagi amallar deyiladi:

1) chiziqlarni qayta joylashtirish;

2) qatorni nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirish;

3) ixtiyoriy songa ko'paytiriladigan satrga boshqa satr qo'shish.

Vazifa 3. Maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimni toping va vektorlar tizimining darajasini hisoblang

.

Yechim. Keling, EPS yordamida tizimning matritsasini bosqichli uchburchak shaklga keltiraylik. Protsedurani tushuntirish uchun o'zgartiriladigan matritsaning raqami bilan chiziqni belgi bilan belgilaymiz. O'qdan keyingi ustun yangi matritsa satrlarini olish uchun bajarilishi kerak bo'lgan konvertatsiya qilinayotgan matritsa satrlaridagi amallarni bildiradi.

.

Shubhasiz, natijada olingan matritsaning dastlabki ikkita ustuni chiziqli mustaqil, uchinchi ustun ularning chiziqli kombinatsiyasi, to'rtinchisi esa birinchi ikkitasiga bog'liq emas. Vektorlar asosiy deyiladi. Ular tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimini tashkil qiladi , tizimning darajasi esa uchta.

Bazis, koordinatalar

Vazifa 4. Koordinatalari shartni qanoatlantiradigan geometrik vektorlar to‘plamida shu asosdagi vektorlarning bazis va koordinatalarini toping. .

Yechim. Toʻplam koordinatadan oʻtuvchi tekislikdir. Tekislikdagi ixtiyoriy bazis ikkita kollinear bo'lmagan vektordan iborat. Tanlangan asosdagi vektorlarning koordinatalari tegishli chiziqli tenglamalar tizimini yechish orqali aniqlanadi.

Ushbu muammoni hal qilishning yana bir yo'li bor, agar siz koordinatalar yordamida asosni topishingiz mumkin.

Koordinatalar bo'shliqlar tekislikdagi koordinatalar emas, chunki ular munosabat bilan bog'langan , ya'ni ular mustaqil emas. Mustaqil o'zgaruvchilar va (ular erkin deb ataladi) tekislikdagi vektorni yagona aniqlaydi va shuning uchun ularni koordinatalar sifatida tanlash mumkin. Keyin asos erkin o'zgaruvchilar to'plamida yotgan va ularga mos keladigan vektorlardan iborat Va , ya'ni .

Vazifa 5. Fazodagi toq koordinatalari bir-biriga teng bo‘lgan barcha vektorlar to‘plamida shu asosdagi vektorlarning bazis va koordinatalarini toping.

Yechim. Oldingi masalada bo'lgani kabi, fazodagi koordinatalarni tanlaylik.

Chunki , keyin erkin o'zgaruvchilar dan vektorni yagona aniqlang va shuning uchun koordinatalar. Tegishli asos vektorlardan iborat.

Vazifa 6. Shaklning barcha matritsalari to‘plamida shu asosdagi vektorlarning bazis va koordinatalarini toping , Qayerda - ixtiyoriy raqamlar.

Yechim. Har bir matritsa quyidagi shaklda noyob tarzda ifodalanadi:

Bu munosabat vektorning bazisga nisbatan kengayishidir
koordinatalari bilan .

Vazifa 7. Vektorlar sistemasining chiziqli korpusining o‘lchami va asosini toping

.

Yechim. EPS dan foydalanib, biz matritsani tizim vektorlarining koordinatalaridan bosqichli uchburchak shaklga aylantiramiz.

.

Ustunlar oxirgi matritsalar chiziqli mustaqil va ustunlar ular orqali chiziqli ifodalangan. Shuning uchun vektorlar asos hosil qiladi , Va .

Izoh. Asos noaniq tanlanadi. Masalan, vektorlar asosini ham tashkil etadi .

Boshqacha qilib aytganda, vektorlar guruhining chiziqli bog'liqligi ular orasida ushbu guruhdagi boshqa vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan vektor mavjudligini anglatadi.

Aytaylik. Keyin

Shuning uchun vektor x bu guruh vektorlariga chiziqli bog'liq.

Vektorlar x, y, ..., z chiziqli deyiladi mustaqil vektorlar, agar (0) tenglikdan kelib chiqsa

α=β= ...= γ=0.

Ya'ni, vektorlar guruhlari chiziqli mustaqil bo'ladi, agar bu guruhdagi boshqa vektorlarning chiziqli birikmasi bilan hech qanday vektor tasvirlanmasa.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligini aniqlash

n tartibli m satr vektorlari berilsin:

Gaussdan istisno qilib, biz (2) matritsani yuqori uchburchak shakliga keltiramiz. Oxirgi ustunning elementlari faqat satrlar qayta tartiblanganda o'zgaradi. M yo'q qilish bosqichlaridan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

Qayerda i 1 , i 2 , ..., i m - satrlarni mumkin bo'lgan almashtirish orqali olingan qator indekslari. Qator indekslaridan olingan qatorlarni hisobga olsak, biz nol qator vektoriga mos keladiganlarni chiqarib tashlaymiz. Qolgan chiziqlar chiziqli mustaqil vektorlarni hosil qiladi. E'tibor bering, (2) matritsani tuzishda qator vektorlari ketma-ketligini o'zgartirib, siz boshqa chiziqli mustaqil vektorlar guruhini olishingiz mumkin. Ammo bu ikkala vektor guruhini tashkil etuvchi pastki fazo mos keladi.