5-darajali tenglamalarni yechish usullari. Yuqori darajali tenglamalarni yechish

Nashrning boshlanishiga ko'ra, biz bu erda qoldirib ketamiz, matn Yuriy Ignatiyevich tomonidan yozilgan. Va u yaxshi yozilgan va mavzular dolzarb, lekin faqat Muxin kabi Rossiyani shunday chaqiring ...

Kimki xalqqa qarshi kuchga qanday munosabatda bo'lmasin, Rossiya undan yuqori va haqoratga loyiq emas. Hatto Amerikaning NASA agentligining yolg'onchining qobiliyatli foshchisidan ham.

*

O'rtoqga murojaat Muxina Yu.I.

Hurmatli Yuriy Ignatiyevich! Siz ushbu sahifalarga tashrif buyurganingizni bilaman. Shuning uchun men sizga to'g'ridan-to'g'ri murojaat qilaman.

G‘arb yolg‘onlari, Amerika yolg‘onlari, soxta olimlar, liberallar yolg‘onlarini fosh etish yo‘lidagi fidokorona mehnatingizni barchamiz yuqori baholaymiz. Bizga vaqti-vaqti bilan tashlayotgan jiddiy mavzular, xoh meritokratiya, xoh metafizika, xoh milliy tarixga muhabbat, xoh adolatni tiklash haqida o'ylayotganimiz o'zimiz va jamiyatimiz uchun mamnuniyat va manfaat bilan.

Biroq, bizning umumiy Vatanimiz haqidagi ta'riflaringiz hayratlanarli va juda xafa.

Biroq, o'zingiz baho bering: onasini haqorat qila boshlagan, kasal bo'lib qolgan va natijada vaqtincha ishlashni to'xtatgan odamni qanday tavsiflagan bo'lardingiz?

Ammo Rossiya, qanday nomlanishidan qat'i nazar, va hukumat qanchalik yaxshi yoki jirkanch bo'lmasin, Rossiya bizning Vatanimiz. Ona Vatan. Uning uchun bobolarimiz qon to‘kib, jonini fido qilganlar.

Binobarin, uni kuch bilan tenglashtirib qo‘yish ma’naviy yuksaklikni moddiy darajaga, hatto past darajaga tushirish demakdir. Bular. siz butunlay boshqa toifalarni solishtirasiz. Har qanday aqli raso odam uchun qabul qilib bo'lmaydigan narsa.

Sizdan so'rayman, aziz o'rtoq. Muxin, bu haqda jiddiy o'ylab ko'ring.

**

...Va tenglamalar bilan (men buni bilmasdim) vaziyat shunday. Kvadrat tenglamaning ildizlarini qanday topish qadimgi Misrda aniqlangan.

Kub tenglama va to'rtinchi darajali tenglamaning ildizlarini qanday topish mumkinligi XVI asrda kashf etilgan, ammo ular 2016 yilgacha beshinchi darajali tenglamaning ildizlarini topa olmadilar. Va shunchaki oddiy odamlar harakat qilmadilar.

XVI asrda ramziy algebra asoschisi Fransua Vyet beshinchi darajali tenglamalarning ildizlarini topishga harakat qilgan bo‘lsa, XIX asrda zamonaviy oliy algebra asoschisi, fransuz matematigi Evariste Galua 5-darajali tenglamalarning ildizlarini topishga harakat qilgan. beshinchi darajali tenglamalar; undan keyin norvegiyalik matematik Niels Henrik Abel beshinchi darajali tenglamalarning ildizlarini topishga harakat qildi, u oxir-oqibat voz kechdi va beshinchi darajali tenglamani umumiy shaklda yechishning iloji yo'qligini isbotladi.

Biz Vikipediyada Abelning xizmatlari haqida o'qiymiz: "Abel qadimgi muammoni ajoyib o'rganishni yakunladi:5-darajali tenglamani umumiy shaklda (radikallarda) yechish mumkin emasligini isbotladi...

Algebrada Abel tenglamaning ildizini ushbu tenglamaning koeffitsientlari orqali "radikallarda" ifodalash uchun zaruriy shartni topdi. Etarli shartni tez orada Galois topdi, uning yutuqlari Abelning ishiga asoslangan edi.

Abel ildizlarini radikallarda ifodalab bo'lmaydigan 5-darajali tenglamalarga aniq misollar keltirdi va shu bilan qadimgi muammoni asosan yopdi.

Ko'rib turganingizdek, agar ular doimo Puankare teoremasini isbotlashga harakat qilsalar va Perelman boshqa matematiklarga qaraganda muvaffaqiyatliroq bo'lgan bo'lsa, Abeldan keyin matematiklar beshinchi darajali tenglamalarni qabul qilishmagan.

Va 2014 yilda Tomsklik matematik Sergey Zaykov, Kim haqida fotosuratdan u allaqachon yoshga to'lganligini va u haqidagi maqoladagi ma'lumotlarga ko'ra u Tomsk davlat universitetining amaliy matematika va kibernetika fakulteti bitiruvchisi ekanligini, ish jarayonida u beshinchi darajali tenglamalar olingan. Boshi berk? Ha, bu boshi berk ko'cha! Ammo Sergey Zaykov uni buzishni o'z zimmasiga oldi.

Va 2016 yilda u beshinchi darajali tenglamalarni umumiy shaklda yechish yo'llarini topdi! U matematiklar Galua va Abel imkonsiz bo'lgan narsani qildi.

Men Vikipediyada Sergey Zaykov haqida ma'lumot topishga harakat qildim, lekin siz bilan do'zax! Matematik Sergey Zaykov va u beshinchi darajali tenglamalar yechimlarini qanday topgani haqida ma'lumot yo'q!

Vaziyatni yanada qiziqarli qiladigan narsa shundaki, matematiklar uchun Nobel mukofotining o'xshashi bor - Abel mukofoti(Nobel matematiklarga mukofot berishni taqiqlagan va endi ular ularni "fizika" deb atagan matematik najas uchun berishadi).

Bu matematik mukofot o'sha Hobil sharafiga berilgan Zaykov qilgan ishning mumkin emasligini isbotladi. Biroq, ushbu mukofotga o'z-o'zini ko'rsatishga yo'l qo'yilmaydi. Ammo Zaykov yolg'iz matematik va uni bu mukofotga nomzod qilib ko'rsata oladigan tashkilotlar yo'q.

To‘g‘ri, bizda Fanlar akademiyasi bor, lekin akademiklar u yerda matematikani rivojlantirish uchun emas, “pul ishlash” uchun o‘tirishadi. Bu Zaykov u yerda kimga kerak?

Xo'sh, axborot agentliklari uchun Zaykov Perelman emas! Shuning uchun, Zaykovning ommaviy axborot vositalari uchun kashfiyoti sensatsiya emas.

Ha, Poroshenko noto'g'ri eshikni ochdi! Bu haqiqiy sensatsiya!

Tomsk matematigi ikki yuz yil davomida yechilmagan muammoni hal qildi

Algebraning paydo bo'lishi bilan uning asosiy vazifasi algebraik tenglamalarni yechish deb qaraldi. Ikkinchi darajali tenglamaning yechimi Bobil va Qadimgi Misrda ma'lum bo'lgan. Biz maktabda shunday tenglamalardan o'tamiz. x2 + ax + b = 0 tenglamasini va diskriminantni eslaysizmi?

Sergey Zaikov kitob bilan

Uchinchi va toʻrtinchi darajali algebraik tenglamalar yechimi XVI asrda topilgan. Ammo beshinchi darajali tenglamani yechish mumkin emas edi. Lagrange buning sababini topdi. U uchinchi va toʻrtinchi darajali tenglamalarni yechish mumkin boʻlganini, chunki ularni yechilgan tenglamalarga keltirish mumkinligini koʻrsatdi. Uchinchi darajali tenglamani ikkinchi darajali tenglamaga, to'rtinchi darajali tenglamani uchinchi darajali tenglamaga keltirish mumkin. Ammo beshinchi darajali tenglama oltinchi darajali tenglamaga kamayadi, ya'ni murakkabroq, shuning uchun an'anaviy yechim usullari qo'llanilmaydi.

Beshinchi darajali tenglamani yechish masalasi ikki yuz yil oldin, Abel beshinchi darajali barcha tenglamalarni radikallarda, ya'ni bizga maktabdan ma'lum bo'lgan kvadrat, kub va boshqa ildizlarda yechish mumkin emasligini isbotlaganida oldinga siljigan. . Va Galois tez orada, ya'ni ikki yuz yil oldin, beshinchi darajali tenglamalarni radikallarda echish mumkin va qaysi biri mumkin emasligini aniqlash imkonini beradigan mezonni topdi. Gap shundaki, beshinchi darajali tenglamaning radikallarida eriydigan Galois guruhi siklik yoki metatsiklik bo'lishi kerak. Ammo Galois radikallarda yechish mumkin bo'lgan beshinchi darajali tenglamalarni radikallarda yechish yo'lini topa olmadi. Galua nazariyasi juda mashhur, bu haqda ko'plab kitoblar yozilgan.

Shu paytgacha radikallar tomonidan echiladigan beshinchi darajali tenglamalar uchun faqat qisman yechimlar topilgan. Va faqat shu yili Tomsklik matematik Sergey Zaykov ikki yuz yil davomida hal qilib bo'lmaydigan muammoni hal qildi. U "Beshinchi darajali algebraik tenglamalar radikallarda qanday echiladi" kitobini nashr etdi, unda u radikallarda echiladigan beshinchi darajali har qanday tenglamalar uchun yechim usulini ko'rsatdi. Zaykov Tomsk davlat universitetining amaliy matematika va kibernetika fakulteti bitiruvchisi. Biz u bilan intervyu olishga muvaffaq bo'ldik.

— Sergey, nega bu muammoni hal qila boshladingiz?

— Menga matematikaning boshqa bo‘limidagi masalani yechish uchun beshinchi darajali tenglama yechimi kerak edi. Men buni qanday topishni aniqlay boshladim va ularning hammasi ham radikallarda hal qilinmasligini bilib oldim. Keyin men ilmiy adabiyotlardan radikallarda yechish mumkin bo'lgan tenglamalarni echish yo'lini topishga harakat qildim, lekin men faqat qaysi mezonni topdim, qaysi biri echilishi mumkin va qaysi biri yo'q. Men algebrachi emasman, lekin, albatta, FPMK bitiruvchisi sifatida algebraik usullarni ham qo'llashim mumkin. Shuning uchun, 2014 yilda men jiddiy ravishda yechim izlay boshladim va uni o'zim topdim.

Men ikki yil oldin usulni topdim, kitob tayyorladim, unda nafaqat u tasvirlangan, balki beshdan katta kuchlarning ba'zi tenglamalarini echish usullari ham tasvirlangan. Lekin uni nashr etishga pulim yo'q edi. Bu yil men ushbu ishning faqat bir qismini nashr etish osonroq bo'ladi, deb qaror qildim va uning faqat yarmini radikallarda beshinchi darajali tenglamani yechish usuliga bag'ishladim.

Mening maqsadim ma'lum bir tenglamani echishi kerak bo'lgan matematiklar uchun tushunarli bo'lgan ushbu muammoni hal qilish uchun qo'llanma kabi narsalarni nashr etishdir. Shuning uchun men uni soddalashtirdim, ko'plab uzun formulalarni va nazariyaning muhim qismini olib tashladim, yarmidan ko'pini qisqartirdim va faqat kerakli narsani qoldirdim. Shuning uchun men Galois nazariyasi bilan tanish bo'lmagan matematiklar o'zlariga kerakli tenglamani yechishlari mumkin bo'lgan "qo'g'irchoqlar uchun" kitobiga o'xshash narsani o'ylab topdim.

- Buning uchun biz ko'p yillardan beri tanish bo'lgan Vladislav Beresnevga katta rahmat. U kitobning nashr etilishiga homiylik qilgan.

— Bu masalani yechishingiz uchun matematikadan biron-bir mukofot olishingiz mumkinmi? Masalan, siz Hobilni tilga oldingiz. Ammo matematika bo'yicha Nobel mukofotiga o'xshash hisoblangan Abel mukofoti bormi?

"Bu imkoniyatni butunlay inkor etib bo'lmaydi." Lekin siz ham bunga umid qilmasligingiz kerak.

Misol uchun, 2019-yilgi Abel mukofotiga nomzodlar uchun arizalar 15-sentabrgacha tugaydi. Bundan tashqari, o'z-o'zini ko'rsatishga yo'l qo'yilmaydi. Men esa yolg‘iz matematikman. Mening nomzodimni taklif qiladigan tashkilotlar yoki taniqli matematiklar yo'q. Shu bois, mening ishim ushbu mukofotga loyiqmi yoki yo‘qmi, uni Hobil ijodini davom ettirayotganlarga berish shu mukofotning ruhidami, ko‘rib chiqilmaydi. Ammo u taqdim etilgan taqdirda ham, hamma narsa boshqa nomzodlarning ish darajasiga bog'liq.

Kitob Galois nazariyasi bilan tanish bo'lmaganlar uchun mo'ljallangan. Galua nazariyasi asoslari faqat tenglamani yechish uchun zarur bo‘lgan qismidagina berilgan, yechish usuli batafsil bayon qilingan, yechimni soddalashtiruvchi texnikalar ko‘rsatilgan. Kitobning muhim qismi ma'lum bir tenglamani echish misoliga bag'ishlangan. Kitobning sharhlovchilari texnika fanlari doktori Gennadiy Petrovich Agibalov va fizika fanlari doktori. mat. Fanlar, professor Pyotr Andreevich Krylov.

TAYYORLANGAN ANASTASIYA SKIRNEVSKAYA

Barcha yangi video darslardan xabardor bo'lish uchun veb-saytimizning youtube kanaliga o'ting.

Birinchidan, kuchlarning asosiy formulalarini va ularning xususiyatlarini eslaylik.

Raqamning mahsuloti a o'z-o'zidan n marta uchraydi, bu ifodani a … a=a n shaklida yozishimiz mumkin

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Quvvat yoki eksponensial tenglamalar- bu o'zgaruvchilar darajalarda (yoki ko'rsatkichlarda) bo'lgan tenglamalar va asos sondir.

Eksponensial tenglamalarga misollar:

Ushbu misolda 6 raqami asos bo'lib, u har doim pastda va o'zgaruvchidir x daraja yoki ko'rsatkich.

Keling, ko'rsatkichli tenglamalarga ko'proq misollar keltiraylik.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Endi ko'rsatkichli tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz?

Oddiy tenglamani olaylik:

2 x = 2 3

Bu misolni hatto boshingizda ham hal qilish mumkin. Ko'rinib turibdiki, x = 3. Axir, chap va o'ng tomonlar teng bo'lishi uchun x o'rniga 3 raqamini qo'yish kerak.
Keling, ushbu qarorni qanday rasmiylashtirishni ko'rib chiqaylik:

2 x = 2 3
x = 3

Bunday tenglamani yechish uchun biz olib tashladik bir xil asoslar(ya'ni, ikki) va qolganini yozdi, bu darajalar. Biz izlagan javobni oldik.

Endi qarorimizni umumlashtiramiz.

Eksponensial tenglamani yechish algoritmi:
1. Tekshirish kerak xuddi shu tenglamaning o'ng va chapda asoslari bormi. Agar sabablar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish variantlarini qidiramiz.
2. Asoslar bir xil bo‘lgandan keyin, tenglashtirmoq daraja va hosil bo'lgan yangi tenglamani yeching.

Endi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

Keling, oddiy narsadan boshlaylik.

Chap va o'ng tomonlardagi bazalar 2 raqamiga teng, ya'ni biz bazani tashlab, ularning kuchlarini tenglashtirishimiz mumkin.

x+2=4 Eng oddiy tenglama olinadi.
x=4 – 2
x=2
Javob: x=2

Quyidagi misolda siz asoslar boshqacha ekanligini ko'rishingiz mumkin: 3 va 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Birinchidan, to'qqiztasini o'ng tomonga siljiting, biz quyidagilarni olamiz:

Endi siz bir xil asoslarni qilishingiz kerak. Biz 9=32 ekanligini bilamiz. (a n) m = a nm quvvat formulasidan foydalanamiz.

3 3x = (3 2) x+8

Biz 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 ni olamiz

3 3x = 3 2x+16 Endi chap va o'ng tomonlarda asoslar bir xil va uchtaga teng ekanligi aniq bo'ldi, ya'ni biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtirishimiz mumkin.

3x=2x+16 eng oddiy tenglamani olamiz
3x - 2x=16
x=16
Javob: x=16.

Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Avvalo, biz tayanchlarga qaraymiz, ikkita va to'rtinchi bazalar. Va biz ular bir xil bo'lishi kerak. Biz to'rtlikni (a n) m = a nm formulasidan foydalanib o'zgartiramiz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Shuningdek, biz a n a m = a n + m formulasidan foydalanamiz:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tenglamaga qo'shing:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Ammo boshqa 10 va 24 raqamlari bizni bezovta qiladi.Ular bilan nima qilish kerak? Agar siz diqqat bilan qarasangiz, chap tomonda bizda 2 2 marta takrorlanganligini ko'rishingiz mumkin, mana javob - biz qavs ichidan 2 2 marta qo'yishimiz mumkin:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Biz butun tenglamani 6 ga bo'lamiz:

Tasavvur qilaylik 4=2 2:

2 2x = 2 2 asoslar bir xil, biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtiramiz.
2x = 2 eng oddiy tenglamadir. Uni 2 ga bo'ling va biz olamiz
x = 1
Javob: x = 1.

Keling, tenglamani yechamiz:

9 x – 12*3 x +27= 0

Keling, aylantiramiz:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Biz tenglamani olamiz:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bizning asoslarimiz bir xil, uchtaga teng.Ushbu misolda birinchi uchtasi ikkinchisidan (faqat x) ikki marta (2x) darajaga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin. Bunday holda, siz hal qilishingiz mumkin almashtirish usuli. Raqamni eng kichik daraja bilan almashtiramiz:

Keyin 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Tenglamadagi barcha x kuchlarni t bilan almashtiramiz:

t 2 - 12t+27 = 0
Biz kvadrat tenglamani olamiz. Diskriminant orqali yechish orqali biz quyidagilarni olamiz:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

O'zgaruvchiga qaytish x.

t 1 ni oling:
t 1 = 9 = 3 x

Anavi,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Javob: x 1 = 2; x 2 = 1.

Veb-saytda siz o'zingizni qiziqtirgan savollarni QAROR QILIShga yordam berish bo'limida berishingiz mumkin, biz sizga albatta javob beramiz.

Guruhga qo'shiling

Sinf: 9

Asosiy maqsadlar:

1. 1-darajali butun ratsional tenglama tushunchasini mustahkamlang.
2. Yuqori darajali tenglamalarni yechishning asosiy usullarini tuzing (n > 3).
3. Yuqori tartibli tenglamalarni yechishning asosiy usullarini o‘rgatish.
4. Uni yechishning eng samarali usulini aniqlash uchun tenglama turidan foydalanishni o'rganing.

Darsda o'qituvchi tomonidan qo'llaniladigan shakllar, usullar va pedagogik usullar:

• Ma'ruza-seminar o'qitish tizimi (ma'ruzalar - yangi materialni tushuntirish, seminarlar - muammolarni hal qilish).
• Axborot-kommunikatsiya texnologiyalari (frontal so'rov, sinf bilan og'zaki ish).
• Differentsial ta'lim, guruh va individual shakllar.
• O'qitishda tadqiqot usulidan foydalanish har bir o'quvchining matematik apparati va fikrlash qobiliyatini rivojlantirishga qaratilgan.
• Bosma material - darsning individual qisqacha xulosasi (asosiy tushunchalar, formulalar, bayonotlar, diagrammalar yoki jadvallar shaklida ixchamlashtirilgan ma'ruza materiali).

Dars rejasi:

1. Tashkiliy vaqt.
   Bosqichning maqsadi: o`quvchilarni o`quv faoliyatiga jalb etish, dars mazmunini aniqlash.
2. Talabalarning bilimlarini yangilash.
   Bosqichning maqsadi: talabalarning ilgari o'rganilgan mavzular bo'yicha bilimlarini yangilash
3. Yangi mavzuni o'rganish (ma'ruza). Bosqichning maqsadi: yuqori darajali tenglamalarni echishning asosiy usullarini shakllantirish (n > 3)
4. Xulosa qilish.
   Bosqichning maqsadi: darsda o'rganilgan materialdagi asosiy fikrlarni yana bir bor ta'kidlash.
5. Uy vazifasi.
   Bosqichning maqsadi: talabalar uchun uy vazifasini shakllantirish.

Dars xulosasi

1. Tashkiliy moment.

Dars mavzusini shakllantirish: “Yuqori kuchlar tenglamalari. Ularni hal qilish usullari."

2. Talabalar bilimini yangilash.

Nazariy so'rov - suhbat. Nazariyadan ilgari o'rganilgan ba'zi ma'lumotlarni takrorlash. Talabalar asosiy ta'riflarni tuzadilar va kerakli teoremalarni tuzadilar. Ilgari olingan bilimlar darajasini ko'rsatish uchun misollar keltiring.

• Bitta o'zgaruvchili tenglama tushunchasi.
• Tenglamaning ildizi haqida tushuncha, tenglamaning yechimi.
• Bitta o‘zgaruvchili chiziqli tenglama tushunchasi, bitta o‘zgaruvchili kvadrat tenglama tushunchasi.
• Tenglamalarning ekvivalentligi tushunchasi, tenglama-natijalar (tashqi ildizlar tushunchasi), oqibat bilan emas o'tish (ildizlarning yo'qolishi holati).
• Bitta o'zgaruvchili butun ratsional ifoda tushunchasi.
• Butun ratsional tenglama tushunchasi n th daraja. Butun ratsional tenglamaning standart shakli. Qisqartirilgan butun ratsional tenglama.
• Dastlabki tenglamani koeffitsientlarga ajratish yo'li bilan quyi darajali tenglamalar to'plamiga o'tish.
• Polinom haqida tushuncha n dan th daraja x. Bezout teoremasi. Bezout teoremasidan xulosalar. Ildiz teoremalari ( Z-ildizlar va Q-ildizlari) butun koeffitsientli (mos ravishda qisqartirilgan va kamaytirilmagan) butun ratsional tenglamaning.
• Horner sxemasi.

3. Yangi mavzuni o‘rganish.

Biz butun ratsional tenglamani ko'rib chiqamiz n- bitta noma'lum o'zgaruvchiga ega bo'lgan standart shakldagi daraja x:Pn(x)= 0, bu erda P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- polinom n dan th daraja x, a n ≠ 0. Agar a n = 1 bo'lsa, bunday tenglama qisqartirilgan butun sonli ratsional tenglama deyiladi n th daraja. Keling, turli qiymatlar uchun bunday tenglamalarni ko'rib chiqaylik n va ularni hal qilishning asosiy usullarini sanab o'ting.

n= 1 – chiziqli tenglama.

n= 2 – kvadrat tenglama. Diskriminant formulasi. Ildizlarni hisoblash uchun formula. Vyeta teoremasi. To'liq kvadratni tanlash.

n= 3 – kubik tenglama.

Guruhlash usuli.

Misol: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

Shaklning o'zaro kub tenglamasi bolta 3 + bx 2 + bx + a= 0. Bir xil koeffitsientli atamalarni birlashtirib yechamiz.

Misol: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Teorema asosida Z-ildizlarni tanlash. Horner sxemasi. Ushbu usulni qo'llashda shuni ta'kidlash kerakki, bu holda qidiruv cheklangan va biz teoremaga muvofiq ma'lum bir algoritm yordamida ildizlarni tanlaymiz. Z-butun sonli koeffitsientli berilgan butun ratsional tenglamaning ildizlari.

Misol: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Tenglama berilgan. Keling, erkin atamaning bo'luvchilarini yozamiz ( + 1; + 3; + 5; + 15). Keling, Horner sxemasini qo'llaymiz:

	x 3	x 2	x 1	x 0	xulosa
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 - ildiz
	x 2	x 1	x 0

Biz olamiz ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Butun sonli koeffitsientli tenglama. Teorema asosida Q-ildizlarni tanlash. Horner sxemasi. Ushbu usulni qo'llashda shuni ta'kidlash kerakki, bu holda qidiruv chekli va biz ildizlarni ma'lum bir algoritmdan foydalanib, teoremaga muvofiq tanlaymiz. Q-butun koeffitsientli qisqartirilmagan butun sonli ratsional tenglamaning ildizlari.

Misol: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Tenglama qisqartirilmagan. Keling, erkin atamaning bo'luvchilarini yozamiz ( + 1; + 3). Noma'lumning eng yuqori darajasidagi koeffitsientning bo'luvchilarini yozamiz. ( + 1; + 3; + 9) Shunday qilib, biz qadriyatlar orasidan ildizlarni qidiramiz ( + 1; + ; + ; + 3). Keling, Horner sxemasini qo'llaymiz:

	x 3	x 2	x 1	x 0	xulosa
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 - ildiz emas
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 - ildiz emas
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	ildiz
	x 2	x 1	x 0

Biz olamiz ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Q ni tanlashda hisoblash qulayligi uchun - ildizlar O'zgaruvchini o'zgartirish, berilgan tenglamaga o'tish va Z ni tanlash qulay bo'lishi mumkin - ildizlar.

• Agar soxta atama 1 bo'lsa

.

• Shaklni almashtirishdan foydalanishingiz mumkin bo'lsa y = kx

.

Kardano formulasi. Kubik tenglamalarni yechishning universal usuli mavjud - bu Kardano formulasi. Bu formula italyan matematiklari Gerolamo Kardano (1501–1576), Nikolo Tartalya (1500–1557), Scipione del Ferro (1465–1526) nomlari bilan bog‘liq. Bu formula bizning kursimiz doirasidan tashqarida.

n= 4 - to'rtinchi darajali tenglama.

Guruhlash usuli.

Misol: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

O'zgaruvchan almashtirish usuli.

• Shaklning bikvadrat tenglamasi bolta 4 + bx 2 + s = 0 .

Misol: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. O‘zgartirish y = x 2. Bu yerdan y 1 = 4, y 2 = -9. Shunung uchun x 1,2 = + 2 .

• Shaklning to'rtinchi darajali o'zaro tenglamasi bolta 4 + bx 3+c x 2 + bx + a = 0.

Shaklni almashtirish orqali bir xil koeffitsientlar bilan atamalarni birlashtirib hal qilamiz

• bolta 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Shaklning to'rtinchi darajali umumlashtirilgan takroriy tenglamasi bolta 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Umumiy almashtirish. Ba'zi standart almashtirishlar.

3-misol . Umumiy ko'rinishni almashtirish(maxsus tenglama turidan kelib chiqadi).

n = 3.

Butun sonli koeffitsientli tenglama. Q-ildizlarni tanlash n = 3.

Umumiy formula. To'rtinchi darajali tenglamalarni yechishning universal usuli mavjud. Bu formula Ludoviko Ferrari (1522-1565) nomi bilan bog'liq. Bu formula bizning kursimiz doirasidan tashqarida.

n > 5 - beshinchi va undan yuqori darajali tenglamalar.

Butun sonli koeffitsientli tenglama. Teorema asosida Z-ildizlarni tanlash. Horner sxemasi. Algoritm yuqorida muhokama qilinganiga o'xshaydi n = 3.

Butun sonli koeffitsientli tenglama. Q-ildizlarni tanlash teoremaga asoslanadi. Horner sxemasi. Algoritm yuqorida muhokama qilinganiga o'xshaydi n = 3.

Simmetrik tenglamalar. Toq darajadagi har qanday o'zaro tenglama ildizga ega x= -1 va uni omillarga ajratgandan so'ng, biz bitta omil ko'rinishini topamiz ( x+ 1) va ikkinchi omil - bu juft darajadagi o'zaro tenglama (uning darajasi asl tenglamaning darajasidan bir kam). Shaklning ildizi bilan birga har qanday o'zaro juft darajali tenglama x = ph turning ildizini ham o'z ichiga oladi. Ushbu bayonotlardan foydalanib, biz o'rganilayotgan tenglamaning darajasini pasaytirish orqali muammoni hal qilamiz.

O'zgaruvchan almashtirish usuli. Bir xillikdan foydalanish.

Beshinchi darajali (buni italiyalik matematik Paolo Ruffini (1765-1822) va norveg matematigi Niels Henrik Abel (1802-1829) ko'rsatgan) va undan yuqori darajali tenglamalarni yechishning umumiy formulasi yo'q. Frantsuz matematigi Evariste Galois (1811-1832) )).

• Yana bir bor eslaylikki, amalda undan foydalanish mumkin kombinatsiyalar yuqorida sanab o'tilgan usullar. Pastroq darajali tenglamalar to'plamiga o'tish qulay asl tenglamani faktoring.
• Bugungi muhokamamiz doirasidan tashqarida amaliyotda keng qo'llaniladiganlar mavjud. grafik usullar tenglamalarni yechish va taxminiy yechim usullari yuqori darajali tenglamalar.
• Tenglamada R-ildizlari bo'lmagan holatlar mavjud.
Keyin yechim tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi. Buni isbotlash uchun biz ko'rib chiqilayotgan funktsiyalarning monotonlik intervallari bo'yicha harakatlarini tahlil qilamiz. Misol: tenglama x 8 – x 3 + 1 = 0 ning ildizlari yo'q.
• Funksiyalarning monotonlik xususiyatidan foydalanish
. Vazifalarni soddalashtirishga imkon beradigan funktsiyalarning turli xususiyatlaridan foydalanishda vaziyatlar mavjud.
1-misol: Tenglama x 5 + 3x– 4 = 0 bitta ildizga ega x= 1. Tahlil qilinayotgan funktsiyalarning monotonlik xususiyati tufayli boshqa ildizlar mavjud emas.
2-misol: Tenglama x 4 + (x– 1) 4 = 97 ning ildizlari bor x 1 = -2 va x 2 = 3. Monotonlik intervallari bo'yicha mos keladigan funktsiyalarning xatti-harakatlarini tahlil qilib, biz boshqa ildizlar yo'q degan xulosaga kelamiz.

4. Xulosa qilish.

Xulosa: Endi biz yuqori darajadagi turli xil tenglamalarni echishning asosiy usullarini o'zlashtirdik (n > 3). Bizning vazifamiz yuqorida sanab o'tilgan algoritmlardan samarali foydalanishni o'rganishdir. Tenglamaning turiga qarab, biz ma'lum bir holatda hal qilishning qaysi usuli eng samarali ekanligini aniqlashni, shuningdek tanlangan usulni to'g'ri qo'llashni o'rganishimiz kerak.

5. Uyga vazifa.

: 7-band, 164–174-betlar, 33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Ushbu mavzu bo'yicha hisobotlar yoki tezislar uchun mumkin bo'lgan mavzular:

• Kardano formulasi
• Tenglamalarni echishning grafik usuli. Yechimlarga misollar.
• Tenglamalarni taqribiy yechish usullari.

Talabalarning o'rganish va mavzuga qiziqishini tahlil qilish:

Tajriba shuni ko'rsatadiki, o'quvchilarning qiziqishi birinchi navbatda tanlash imkoniyati bilan uyg'onadi Z-ildizlar va Q-Xorner sxemasidan foydalangan holda juda oddiy algoritm yordamida tenglamalarning ildizlari. Talabalarni o'zgaruvchilarni almashtirishning turli standart turlari ham qiziqtiradi, bu esa masala turini sezilarli darajada soddalashtirishi mumkin. Grafik yechim usullari odatda alohida qiziqish uyg'otadi. Bunday holda, siz tenglamalarni echishning grafik usuli yordamida qo'shimcha ravishda muammolarni tahlil qilishingiz mumkin; 3, 4, 5 darajali ko‘phadning grafigining umumiy shaklini muhokama qilish; 3, 4, 5 gradusli tenglamalar ildizlari sonining tegishli grafik ko'rinishi bilan qanday bog'liqligini tahlil qiling. Quyida ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha ma'lumotlarni topishingiz mumkin bo'lgan kitoblar ro'yxati keltirilgan.

Adabiyotlar ro'yxati:

1. Vilenkin N.Ya. va boshqalar.“Algebra. Matematikani chuqur o'rganadigan 9-sinf o'quvchilari uchun darslik» - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 b.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasov Z.F.“Matematika darsligining sahifalari ortida. Arifmetika. Algebra. 10-11 sinflar” – M., Ta’lim, 2008 – 192 b.
3. Vygodskiy M.Ya."Matematika qo'llanmasi" - M., AST, 2010 - 1055 b.
4. Galitskiy M.L.“Algebradan masalalar to‘plami. Matematikani chuqur o'rganadigan 8-9-sinflar uchun darslik» - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 b.
5. Zvavich L.I. va boshqalar.“Algebra va analizning boshlanishi. 8-11 sinflar Matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar uchun qo'llanma" - M., Drofa, 1999 - 352 b.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N."9-sinfda yozma imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun matematika topshiriqlari" - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 p.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Matematikadan bilimlarni tizimlashtirish uchun tematik testlar” 1-qism – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 b.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Matematikadan bilimlarni tizimlashtirish uchun tematik testlar” 2-qism – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 b.
9. Ivanov A.P.“Matematika fanidan test va testlar. Qo'llanma". – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 b.
10. Leibson K.L.“Matematikadan amaliy topshiriqlar to‘plami. 2–9-sinflar qismi” – M., MTSNM, 2009 – 184 b.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebra. 9-sinf maktab darsligi uchun qo'shimcha boblar. Matematika chuqurlashtirilgan maktablar va sinflar o‘quvchilari uchun darslik”. – M., Ta’lim, 2006 – 224 b.
12. Mordkovich A.G."Algebra. Chuqur o'rganish. 8-sinf. Darslik” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 b.
13. Savin A.P."Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati" - M., Pedagogika, 1985 - 352 b.
14. Survillo G.S., Simonov A.S."Matematikani chuqur o'rganish bilan 9-sinf uchun algebra bo'yicha didaktik materiallar" - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 b.
15. Chulkov P.V.“Maktab matematika kursida tenglamalar va tengsizliklar. 1-4-ma'ruzalar" - M., 2006 yil 1 sentyabr - 88 b.
16. Chulkov P.V.“Maktab matematika kursida tenglamalar va tengsizliklar. 5-8-ma'ruzalar" - M., 2009 yil 1 sentyabr - 84 b.

Keling, ko'rib chiqaylik bir o'zgaruvchisi ikkinchisidan yuqori bo'lgan tenglamalarni yechish.

P (x) = 0 tenglamasining darajasi P (x) polinomining darajasi, ya'ni. koeffitsienti nolga teng bo'lmagan uning shartlari vakolatlarining eng kattasi.

Masalan, (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 tenglama beshinchi darajaga ega, chunki qavslarni ochish va shunga o'xshashlarni olib kelish operatsiyalaridan so'ng beshinchi darajaning x 5 - 2x 3 + 3 = 0 ekvivalent tenglamasini olamiz.

Ikkidan yuqori darajali tenglamalarni yechish uchun kerak bo'ladigan qoidalarni eslaylik.

Ko‘phadning ildizlari va uning bo‘luvchilari haqidagi gaplar:

1. n-darajali ko'phadning ildizlari soni n dan oshmaydi va m ko'paytmali ildizlar aynan m marta sodir bo'ladi.

2. Toq darajali polinom kamida bitta haqiqiy ildizga ega.

3. Agar a P(x) ning ildizi bo‘lsa, u holda P n (x) = (x – a) · Q n – 1 (x), bunda Q n – 1 (x) darajali ko‘phad (n – 1) bo‘ladi. .

4.

5. Butun sonli koeffitsientli qisqartirilgan polinom kasrli ratsional ildizlarga ega bo'lishi mumkin emas.

6. Uchinchi darajali polinom uchun

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ikkita narsadan biri mumkin: yoki u uchta binom ko'paytmasiga parchalanadi.

R 3 (x) = a(x – a)(x – b)(x – g), yoki binomial va kvadrat uch a’zoning ko‘paytmasiga parchalanadi R 3 (x) = a(x – a)(x 2) + bx + g ).

7. To'rtinchi darajali har qanday ko'phadni ikkita kvadrat trinomning ko'paytmasiga kengaytirish mumkin.

8. Agar f(x) = g(x) · q(x) koʻphadli q(x) boʻlsa, f(x) koʻphad qoldiqsiz g(x) koʻphadga boʻlinadi. Ko'phadlarni bo'lish uchun "burchakka bo'linish" qoidasi qo'llaniladi.

9. P(x) ko‘phadning binomiga (x – c) bo‘linishi uchun c soni P(x) ning ildizi bo‘lishi zarur va yetarli (Bezout teoremasining xulosasi).

10. Vyeta teoremasi: Agar x 1, x 2, ..., x n koʻphadning haqiqiy ildizlari boʻlsa.

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, u holda quyidagi tengliklar bajariladi:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Yechish misollari

1-misol.

P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 ga (x – 1/3) bo‘linishning qolgan qismini toping.

Yechim.

Bezout teoremasidan kelib chiqqan holda: "Ko'phadning binomiga (x - c) bo'lingan qoldig'i c polinomining qiymatiga tengdir". P(1/3) = 0 ni topamiz. Demak, qoldiq 0 ga teng, 1/3 soni esa ko’phadning ildizidir.

Javob: R = 0.

2-misol.

"Burchak" bilan 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 ga (x + 2) bo'linadi. Qolgan va toʻliq boʻlmagan qismni toping.

Yechim:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 - 2 x

Javob: R = 3; qism: 2x 2 - x.

Yuqori darajali tenglamalarni yechishning asosiy usullari

1. Yangi o'zgaruvchining kiritilishi

Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli bikvadrat tenglamalar misolidan allaqachon tanish. U shundan iboratki, f(x) = 0 tenglamasini yechish uchun yangi o‘zgaruvchi (almashtirish) t = x n yoki t = g(x) kiritiladi va f(x) t orqali ifodalanadi, yangi r tenglama olinadi. (t). Keyin r(t) tenglamani yechib, ildizlari topiladi:

(t 1, t 2, …, t n). Shundan so‘ng q(x) = t 1 , q(x) = t 2, … , q(x) = t n n ta tenglamalar to‘plami olinadi, ulardan dastlabki tenglamaning ildizlari topiladi.

1-misol.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Yechim:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

O'zgartirish (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Teskari almashtirish:

x 2 + x + 1 = 2 yoki x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 yoki x 2 + x = 0;

Javob: Birinchi tenglamadan: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, ikkinchisidan: 0 va -1.

2. Guruhlash va qisqartirilgan ko‘paytirish formulalarini ko‘paytmalarga ajratish

Ushbu usulning asosi ham yangi emas va atamalarni shunday guruhlashdan iboratki, har bir guruh umumiy omilni o'z ichiga oladi. Buning uchun ba'zan ba'zi sun'iy usullardan foydalanish kerak bo'ladi.

1-misol.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Yechim.

Tasavvur qilaylik - 3x 2 = -2x 2 - x 2 va guruh:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 yoki x 2 + x – 3 = 0.

Javob: Birinchi tenglamada ildiz yo'q, ikkinchidan: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan faktorlashtirish

Usulning mohiyati shundan iboratki, dastlabki ko'phad noma'lum koeffitsientlar bilan faktorlarga ajratiladi. Ko'phadlar bir xil darajada koeffitsientlari teng bo'lsa, ularning teng bo'lish xususiyatidan foydalanib, noma'lum kengayish koeffitsientlari topiladi.

1-misol.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Yechim.

3-darajali ko'phadni chiziqli va kvadrat omillar ko'paytmasiga kengaytirish mumkin.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

Tizimni hal qilgandan so'ng:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, ya'ni.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

(x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 tenglamaning ildizlarini topish oson.

Javob: -1; -2.

4. Eng yuqori va erkin koeffitsient yordamida ildiz tanlash usuli

Usul teoremalarni qo'llashga asoslangan:

1) Butun sonli koeffitsientli ko'phadning har bir butun ildizi erkin hadning bo'luvchisi hisoblanadi.

2) Kamaytirilmas kasr p/q (p - butun, q - natural) butun sonli koeffitsientli tenglamaning ildizi bo'lishi uchun p soni a 0 erkin hadining butun bo'luvchisi bo'lishi kerak, va q - etakchi koeffitsientning tabiiy bo'luvchisi.

1-misol.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Yechim:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Shuning uchun p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Bitta ildizni topib, masalan - 2, biz burchak bo'linishi, noaniq koeffitsientlar usuli yoki Horner sxemasi yordamida boshqa ildizlarni topamiz.

Javob: -2; 1/2; 1/3.

Hali ham savollaringiz bormi? Tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

16-asrda matematiklar deyarli tasodifan murakkab raqamlarga qoqilib ketishdi (11-bobga qarang). 18-asrga kelib, murakkab sonlar haqiqiy sonlar maydonining kengayishi hisoblanar edi, lekin ular bilan ishlash baribir paritet xatolarga olib keldi, chunki Leonard E.ning sonlar nazariyasi boʻyicha buyuk ishi “Arifmetik tadqiqotlar” (1801) asarida “Arifmetik tadqiqotlar” (1801) dan foydalanishdan qochdi. "xayoliy raqamlar" deb ataladi. Menimcha, bu ishning eng muhim qismi algebraning fundamental teoremasining birinchi isbotidir. Gauss bu teorema qanchalik muhimligini anglab yetdi va keyingi yillarda bir qancha qo‘shimcha dalillar keltirdi. 1849 yilda u birinchi versiyani qayta ishladi, bu safar murakkab raqamlardan foydalangan. Zamonaviy so'zlar bilan aytganda, haqiqiy yoki murakkab koeffitsientli har qanday chekli ko'pnomli tenglama uchun uning barcha ildizlari haqiqiy yoki kompleks sonlar bo'ladi, deb aytishimiz mumkin. Shunday qilib, biz yuqori tartibli polinom tenglamalarni echish murakkab raqamlarga qaraganda yuqori tartibli raqamlarni yaratishni talab qiladimi, degan uzoq vaqtdan beri savolga salbiy javob olamiz.

O'sha davr algebrasidagi eng murakkab masalalardan biri beshinchi tartibli ko'phadni, kvintikani algebraik usullar bilan, ya'ni chekli sonli algebraik qadamlar yordamida yechish mumkinmi degan savol edi. Hozirgi kunda maktabda kvadrat tenglamalarni yechish formulasini o'rgatadilar va 16-asrdan boshlab uchinchi va to'rtinchi darajali tenglamalarni echishda shunga o'xshash usullar ma'lum (11-bob). Ammo kvintiklar uchun bitta usul topilmadi. Algebraning asosiy teoremasi ijobiy javob istiqboliga egadek tuyulishi mumkin, lekin aslida u yechimlar mavjudligini kafolatlaydi, aniq echimlarni beradigan formulalar mavjudligi haqida hech narsa aytmaydi (taxminiy raqamli va grafik usullar o'sha paytgacha mavjud edi. ). Va keyin fojiali taqdirga ega bo'lgan ikkita matematik daho paydo bo'ldi.

Niels Henrik Abel (1802–1829) Angliya va Shvetsiya bilan uzoq yillik urushlar natijasida vayron boʻlgan Norvegiyadagi kichik bir qishloqda yashovchi katta, kambagʻal oilada tugʻilgan. O‘g‘il bolaga mehribon bo‘lgan domla unga shaxsiy saboq berdi, lekin otasi vafotidan so‘ng, o‘n sakkiz yoshida, yoshligi va sog‘lig‘i zaif bo‘lishiga qaramay, Hobil oilasini boqishga majbur bo‘ldi. 1824 yilda u ilmiy maqolasini nashr etdi, unda u kvintik algebraik usullar bilan echilishi mumkin emasligini aytdi, chunki u haqiqatan ham yuqori darajadagi har qanday ko'phaddir. Abel ushbu maqola uning ilmiy olamiga chiptasi bo'lib xizmat qilishiga ishondi va uni Gettingen universitetidagi Gaussga yubordi. Afsuski, Gauss sahifalarni pichoq bilan kesishga hech qachon erisha olmadi (o'sha kunlarda har qanday o'quvchi buni qilish kerak edi) va maqolani o'qimadi. 1826 yilda Norvegiya hukumati nihoyat Abelga Yevropa bo'ylab sayohat qilish uchun mablag' ajratdi. Gauss bilan shaxsiy muloqot unga katta quvonch keltirmasligidan qo‘rqib, matematik Gettingenga bormaslikka qaror qildi va Berlinga yo‘l oldi. U erda u matematik, me'mor va muhandis Avgust Leopold Krelle (1780-1855) bilan do'st bo'lib, Prussiya Ta'lim vazirligiga matematika masalalari bo'yicha maslahat berdi. Krell sof va amaliy matematika jurnalini yaratish niyatida edi. Shunday qilib, Abel o'z ishini tarqatish imkoniyatiga ega bo'ldi va juda ko'p nashr etdi, ayniqsa Jurnalning dastlabki sonlarida, u darhol juda obro'li va nufuzli ilmiy nashr hisoblana boshladi. Norvegiyalik u erda kvintikani algebraik usullar bilan hal qilib bo'lmasligini isbotlashning kengaytirilgan versiyasini nashr etdi. Va keyin u Parijga jo'nab ketdi. Bu sayohat Abelni juda xafa qildi, chunki u frantsuz matematiklaridan kerakli yordamni deyarli olmadi. U o'sha paytda matematik tahlilning etakchi yoritgichi bo'lgan, ammo juda murakkab xarakterga ega bo'lgan Avgustin Lui Koshi (1789-1857) bilan yaqinlashdi. Abelning o'zi aytganidek, "Koshi aqldan ozgan va bu haqda hech narsa qilib bo'lmaydi, garchi hozirgi vaqtda u matematikada hamma narsaga qodir bo'lgan yagona odam". Agar biz Gauss va Koshidan kelib chiqadigan hurmatsizlik va e'tiborsizlikning namoyon bo'lishini oqlashga harakat qilsak, kvintik ma'lum bir shon-shuhratga erishdi va hurmatli matematiklarning ham, originalistlarning ham e'tiborini tortdi, deb aytishimiz mumkin. Abel Norvegiyaga qaytib keldi va u erda sil kasalligidan ko'proq azob chekdi. U o'z ishini Krelga jo'natishni davom ettirdi, lekin uning obro'si ilm-fan olamida qanchalik mustahkamlanganidan bexabar 1829 yilda vafot etdi. O'limidan ikki kun o'tgach, Abel Berlinda ilmiy lavozimni egallash taklifini oldi.

Abel to'rtinchi tartibdan yuqori bo'lgan har qanday polinomni kvadrat ildizlar, kub ildizlar yoki yuqori tartiblilar kabi radikallar yordamida yechish mumkin emasligini ko'rsatdi. Biroq, maxsus holatlarda bu ko'phadlarni yechish mumkin bo'lgan aniq shartlar va ularni echish usuli Galois tomonidan ishlab chiqilgan. Evariste Galois (1811-1832) qisqa va voqealarga boy hayot kechirdi. U aql bovar qilmaydigan qobiliyatli matematik edi. Galua o'zidan kam iste'dodli deb bilganlarga nisbatan murosasiz edi va shu bilan birga u ijtimoiy adolatsizlikdan nafratlanardi. U Legendrening Geometriya elementlarini (1794 yilda nashr etilgan, bu kitob keyingi yuz yil davomida asosiy darslik bo'lgan) o'qiguncha matematikaga hech qanday qobiliyat ko'rsatmadi. Keyin u Legendre va keyinchalik Abelning qolgan asarlarini tom ma'noda yutib yubordi. Uning g'ayrati, o'ziga ishonchi va murosasizlik o'qituvchilar va imtihonchilar bilan munosabatlarida haqiqatan ham dahshatli oqibatlarga olib keldi. Galois frantsuz matematikasining beshigi bo‘lmish École Polytechnique fakultetiga kirish uchun tanlovda qatnashdi, ammo tayyorgarlik ko‘rmagani uchun imtihondan o‘ta olmadi. Uning iste'dodini tan olgan yangi o'qituvchi bilan uchrashganidan keyin bir muncha vaqt o'zini tuta oldi. 1829 yil mart oyida Galua o'zining eng muhim ishi deb hisoblagan davomli fraktsiyalar haqidagi birinchi maqolasini nashr etdi. U Fanlar akademiyasiga kashfiyotlari haqida xabar yubordi va Koshi ularni taqdim etishga va'da berdi, lekin unutdi. Bundan tashqari, u shunchaki qo'lyozmani yo'qotdi.

Galoisning École Polytechnique ga ikkinchi marta kirmasligi matematik folklorning bir qismiga aylandi. U doimo boshida murakkab matematik g'oyalarni ushlab turishga shunchalik odatlangan ediki, imtihon topshiruvchilarning mayda-chuyda gaplaridan g'azablanardi. Imtihon topshiruvchilar uning tushuntirishlarini tushunishda qiynalganlari uchun u taxtadagi quruq tozalovchi matoni ulardan birining yuziga uloqtirdi. Ko'p o'tmay, otasi cherkov fitnasi natijasida o'z joniga qasd qilib vafot etdi. Uning dafn marosimida deyarli to'polon boshlandi. 1830 yil fevral oyida Galois quyidagi uchta maqolani yozdi va ularni matematika bo'yicha Gran-pri uchun Fanlar akademiyasiga yubordi. Akademiyaning o'sha paytdagi kotibi Jozef Furye ularni o'qimay vafot etdi va uning o'limidan keyin maqolalar uning qog'ozlari orasida topilmadi. Bunday hafsalasi pir bo'lgan sel har qanday odamni ag'darib yuborardi. Galua hokimiyatdagilarga qarshi isyon ko'tardi, chunki ular uning xizmatlarini tan olmadilar va otasini yo'q qildilar. U siyosatga sho'ng'idi va qizg'in respublikachiga aylandi - bu 1830 yilda Frantsiyadagi eng oqilona qaror emas. So'nggi urinishda u mashhur frantsuz fizigi va matematigi Simeon Denis Puassonga (1781-1840) ilmiy maqola yubordi, u qo'shimcha dalillar talab qilib javob berdi.

Bu oxirgi tomchi edi. 1831 yilda Galua ikki marta hibsga olindi - dastlab qirol Lui Filippni o'ldirishga chaqirgani uchun, keyin esa uni himoya qilish uchun - rasmiylar respublika qo'zg'olonidan qo'rqishdi! Bu safar u oʻzi qoʻshilgan tarqatib yuborilgan artilleriya batalonining kiyimini noqonuniy kiyganlikda soxta ayblovlar bilan olti oyga qamoq jazosiga hukm qilindi. Shartli ozodlikka chiqqan u hayotdagi hamma narsa kabi uni jirkanch qiladigan ishni o'z zimmasiga oldi. Uning sodiq do'sti Chevalierga yozgan maktublarida uning ko'ngli seziladi. 1832 yil 29 mayda u sabablari to'liq tushunilmagan duelga chaqiruvni qabul qildi. “Men insofsiz koket qurboni bo'ldim. Mening hayotim ayanchli janjalda so'ndi", deb yozadi u "Barcha respublikachilarga maktub" da. Galoisning eng mashhur asari halokatli dueldan bir kecha oldin chizilgan. Chegaralarda: "Endi vaqtim yo'q, vaqtim yo'q" degan shikoyatlar tarqalgan. U asosiy g'oyani tushunish uchun muhim bo'lmagan oraliq bosqichlarning batafsil tavsifini boshqalarga qoldirishga majbur bo'ldi. U o'z kashfiyotlari asosini - hozirgi Galua teoremasi deb ataladigan narsaning kelib chiqishini qog'ozga tushirishi kerak edi. U Chevalierdan "Jakobi va Gaussga ushbu teoremalarning to'g'riligi to'g'risida emas, balki ularning ahamiyati to'g'risida jamoatchilik fikrini bildirish uchun murojaat qilishni" so'rab, o'z irodasini yakunladi. Erta tongda Galua raqibini kutib olishga ketdi. Ular 25 qadam masofadan otishlari kerak edi. Galois yaralangan va ertasi kuni ertalab kasalxonada vafot etgan. U endigina yigirma yoshda edi.

Galois Lagranj va Koshining ishiga asos solgan, ammo u umumiy uslubni ishlab chiqqan. Bu kvintikani hal qilish sohasida juda muhim yutuq edi. Olim asl tenglamalar yoki grafik talqinlarga kamroq e'tibor qaratdi va ildizlarning o'z tabiati haqida ko'proq o'yladi. Soddalashtirish uchun Galois faqat qaytarilmas kvintikalar deb ataladigan, ya'ni pastki tartibli ko'phadlar ko'rinishida faktorlarga ajratib bo'lmaydiganlarni ko'rib chiqdi (aytganimizdek, to'rtinchi tartibgacha bo'lgan har qanday ko'phadli tenglamalar uchun ularni topish uchun formulalar mavjud. ildizlar). Umuman olganda, ratsional koeffitsientli kamaytirilmaydigan ko'phad ratsional koeffitsientlarga ega bo'lgan oddiyroq ko'phadlarga ajralmaydigan ko'phaddir. Masalan, (x 5 - 1) faktorlarga ajratish mumkin (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), unda qanday (x 5 - 2) Qaytarib bo'lmaydigan. Galoisning maqsadi umumiy qaytarilmas polinom tenglamaning barcha yechimlarini radikallar bo‘yicha topish mumkin bo‘lgan sharoitlarni aniqlash edi.

Yechimning kaliti shundaki, har qanday qaytarilmas algebraik tenglamaning ildizlari mustaqil emas, ular bir-biri bilan ifodalanishi mumkin. Bu munosabatlar barcha mumkin bo'lgan almashtirishlar guruhiga, ya'ni ildiz simmetriyasi deb ataladigan guruhga rasmiylashtirildi - kvintik uchun bu guruh 5 ni o'z ichiga oladi! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 element. Galua nazariyasining matematik algoritmlari juda murakkab va, ehtimol, qisman shu sababli, dastlab tushunish qiyin edi. Ammo abstraktsiya darajasi unga tenglamalarning algebraik yechimlaridan ular bilan bog'langan guruhlarning algebraik tuzilishiga o'tishga imkon bergandan so'ng, Galua bunday guruhlarning xususiyatlariga asoslanib, tenglamaning echilishini bashorat qila oldi. Bundan tashqari, uning nazariyasi bu ildizlarning o'zini topish mumkin bo'lgan usulni ham taqdim etdi. Kvintikaga kelsak, 1846 yilda Galua asarlarining ko'p qismini o'zining Journal of Pure and Applied Mathematics jurnalida nashr etgan matematik Jozef Liouvil (1809-1882) yosh olim "chiroyli teorema"ni isbotlaganini ta'kidladi va buning uchun " Agar asl darajali qaytarilmas tenglama radikallar bo‘yicha echiladigan bo‘lsa, uning barcha ildizlari ulardan istalgan ikkitasining ratsional funksiyalari bo‘lishi zarur va yetarlidir”. Kvintik uchun bu mumkin emasligi sababli, uni radikallar yordamida hal qilib bo'lmaydi.

Uch yil ichida matematik olami o'zining eng yorqin ikkita yangi yulduzini yo'qotdi. O'zaro ayblovlar va qalb izlanishlari davom etdi va Abel va Galua munosib e'tirofga erishdilar, ammo faqat vafotidan keyin. 1829-yilda Karl Yakobi Legendre orqali Abelning “yo‘qolgan” qo‘lyozmasidan xabar topgan va 1830-yilda Norvegiyaning Parijdagi konsuli o‘z vatandoshining maqolasini topishni talab qilganida diplomatik janjal kelib chiqqan. Koshi oxir-oqibat maqolani topdi, faqat akademiya muharrirlari uni yana yo'qotib qo'yishdi! O'sha yili Abel matematika bo'yicha Gran-priga sazovor bo'ldi (Yakobi bilan birgalikda) - lekin u allaqachon o'lgan edi. 1841 yilda uning tarjimai holi nashr etildi. 1846 yilda Liouvil Galoisning ba'zi qo'lyozmalarini nashr qilish uchun tahrir qildi va kirish qismida akademiya Galoisning asarini uning murakkabligi tufayli dastlab rad etganidan afsusdaligini bildirdi - "muallif o'quvchini noma'lum yovvoyi yo'ldan olib borganida taqdimotning ravshanligi haqiqatan ham zarur. hududlar." U davom etadi: “Galua endi yo‘q! Befoyda tanqidga tushib qolmaylik. Kamchiliklarni chetga surib, afzalliklarini ko'rib chiqaylik!" Galua qisqa umrining mevalari bor-yo‘g‘i oltmish sahifaga sig‘adi. École Normale va École Polytechnique nomzodlari uchun matematika jurnali muharriri Galois ishi bo‘yicha quyidagicha izoh berdi: “Yuqori intellektga ega bo‘lgan nomzodni fikrlash darajasi past bo‘lgan imtihonchi o‘tkazib yubordi. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis”.

Avvalo, bu asarning ikkinchi sahifasida hamyoni shu tutatqilar yordamida ochiladigan - yopilish tahdidi bilan ochiladigan qandaydir bir ziqna shahzoda sharafiga ismlar, familiyalar, ijtimoiy mavqei, unvonlari va nafislari tavsifi yuklanmagan. maqtov tugagach. Siz bu yerda matnning o‘zidan uch baravar kattaroq harflar bilan yozilgan, ilm-fanda yuksak mavqega ega bo‘lgan kishilarga, qandaydir dono homiyga qaratilgan hurmatli maqtovlarni ko‘rmaysiz - yigirma yoshga to‘lgan odam uchun majburiy (muqarrar deyman) narsa. biror narsa yozish uchun. Men bu yerda hech kimga ishimdan keladigan barcha yaxshiliklar uchun ularning maslahati va qo'llab-quvvatlashim shart deb aytmayman. Men buni aytmayapman, chunki bu yolg'on bo'lar edi. Jamiyatdagi yoki ilm-fandagi (bu ikki toifadagi odamlar o‘rtasidagi tafovut hozirda deyarli sezilmaydi) birortasini tilga oladigan bo‘lsam, qasam ichamanki, bu minnatdorchilik belgisi bo‘lmaydi. Men bu ikki maqolaning birinchisini juda kech e'lon qilganim va bularning barchasini qamoqxonada yozganim uchun qarzdorman - bu ilmiy fikr yuritish uchun mos deb hisoblanishi qiyin bo'lgan joyda va men ko'pincha o'zimning vazminlikim va o'zimni ushlab turish qobiliyatimga hayratda qolaman. ahmoq va yovuz zoillarga nisbatan qasr. O'ylaymanki, men "zoiles" so'zini nomaqbullikda ayblashdan qo'rqmasdan ishlata olaman, chunki men buni raqiblarim deb atayman. Men bu yerda qanday qilib va ​​nima uchun qamoqqa tashlanganligim haqida yozmoqchi emasman, lekin shuni aytishim kerakki, mening qo‘lyozmalarim ko‘pincha akademiya a’zolarining fayllarida yo‘qolib qolardi, garchi rostini aytganda, men buni tasavvur qila olmayman. Hobilning o'limiga sababchi bo'lgan odamlarning beparvoligi. Menimcha, har kim bu ajoyib matematik bilan solishtirishni xohlaydi. Tenglamalar nazariyasi haqidagi maqolam 1830-yil fevralida Fanlar akademiyasiga yuborilganligini, undan parchalar 1829-yil fevralda yuborilganini aytish kifoya, ammo bularning hech biri chop etilmagan, hattoki qoʻlyozma ham chop etishning iloji boʻlmagan. qaytish.

Galois, nashr etilmagan so'zboshi, 1832 yil