भौतिक बिंदूंच्या प्रणालीच्या वस्तुमानाचे केंद्र. धडा “सेंटर ऑफ मास सिस्टम सेंटर ऑफ मास डेफिनिशन

"वस्तुमानाचे केंद्र" हा शब्द केवळ यांत्रिकी आणि गतीच्या गणनेतच नव्हे तर दैनंदिन जीवनात देखील वापरला जातो. हे इतकेच आहे की दिलेल्या परिस्थितीत निसर्गाचे कोणते नियम प्रकट होतात याचा विचार लोक नेहमी करत नाहीत. उदाहरणार्थ, पेअर स्केटिंगमधील फिगर स्केटर जेव्हा हात धरून फिरतात तेव्हा प्रणालीच्या वस्तुमानाच्या केंद्राचा सक्रियपणे वापर करतात.

जहाजाच्या रचनेत वस्तुमान केंद्राची संकल्पना देखील वापरली जाते. केवळ दोन शरीरेच नव्हे तर त्यापैकी एक मोठी संख्या लक्षात घेणे आवश्यक आहे आणि सर्व काही एकाच भाजकावर आणणे आवश्यक आहे. गणनेतील त्रुटी म्हणजे जहाजाच्या स्थिरतेचा अभाव: एका बाबतीत, ते पाण्यामध्ये जास्त प्रमाणात बुडले जाईल, थोड्याशा लाटांनी बुडण्याचा धोका असेल; आणि दुसऱ्यामध्ये ते समुद्रसपाटीपासून खूप उंच आहेत, ज्यामुळे त्यांच्या बाजूला उलटण्याचा धोका निर्माण होतो. तसे, गणनेद्वारे निर्दिष्ट केल्याप्रमाणे, बोर्डवरील प्रत्येक गोष्ट त्याच्या जागी असणे आवश्यक आहे: सर्वात मोठ्या गोष्टी अगदी तळाशी आहेत.

वस्तुमानाचे केंद्र केवळ खगोलीय पिंड आणि यंत्रणेच्या रचनेच्या संबंधातच नाही तर मायक्रोवर्ल्डच्या कणांच्या "वर्तन" च्या अभ्यासासाठी देखील वापरले जाते. उदाहरणार्थ, त्यापैकी बरेच जण जोड्यांमध्ये जन्माला येतात (इलेक्ट्रॉन-पॉझिट्रॉन). प्रारंभिक रोटेशन धारण करणे आणि आकर्षण/प्रतिकर्षणाच्या नियमांचे पालन करणे, त्यांना वस्तुमानाचे सामान्य केंद्र असलेली प्रणाली मानली जाऊ शकते.

व्याख्या

कणांच्या प्रणालीचा विचार करताना, संपूर्णपणे विचाराधीन प्रणालीची स्थिती आणि गती दर्शविणारा बिंदू शोधणे अनेकदा सोयीचे असते. असा मुद्दा आहे वस्तुमानाचे केंद्र.

जर आपल्याकडे समान वस्तुमानाचे दोन कण असतील तर असा बिंदू त्यांच्या दरम्यान मध्यभागी स्थित आहे.

वस्तुमान समन्वय केंद्र

आपण असे गृहीत धरू की वस्तुमान असलेले दोन भौतिक बिंदू $m_1$ आणि $m_2$ abscissa अक्षावर स्थित आहेत आणि $x_1$ आणि $x_2$ निर्देशांक आहेत. या कणांमधील अंतर ($\Delta x$) इतके आहे:

\[\Delta x=x_2-x_1\left(1\उजवीकडे).\]

व्याख्या

बिंदू C (चित्र 1), या कणांमधील अंतर कणांच्या वस्तुमानाच्या व्यस्त प्रमाणात भागांमध्ये विभागणे म्हणतात. वस्तुमानाचे केंद्रकणांची ही प्रणाली.

आकृती 1 च्या व्याख्येनुसार आमच्याकडे आहे:

\[\frac(l_1)(l_2)=\frac(m_2)(m_1)\left(2\उजवीकडे).\]

जेथे $x_c$ हा वस्तुमानाच्या केंद्राचा समन्वय असतो, तेथे आम्हाला मिळते:

सूत्र (4) वरून आम्हाला मिळते:

अभिव्यक्ती (5) एका अनियंत्रित पद्धतीने स्थित असलेल्या भौतिक बिंदूंच्या संचासाठी सहजपणे सामान्यीकृत केली जाते. या प्रकरणात, वस्तुमानाच्या केंद्राचा abscissa समान आहे:

वस्तुमानाच्या केंद्राच्या ऑर्डिनेट ($y_c$) साठी अभिव्यक्ती आणि त्याचे अर्ज ($z_c$) सारखेच प्राप्त केले जातात:

\ \

सूत्रे (6-8) शरीराच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र निर्धारित करणार्या अभिव्यक्तींशी जुळतात. पृथ्वीच्या मध्यभागी असलेल्या अंतराच्या तुलनेत शरीराची परिमाणे लहान असल्यास, गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र शरीराच्या वस्तुमानाच्या केंद्राशी जुळणारे मानले जाते. बहुतेक समस्यांमध्ये, गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र शरीराच्या वस्तुमानाच्या केंद्राशी जुळते.

जर प्रणालीच्या N भौतिक बिंदूंची स्थिती सदिश स्वरूपात दिली असेल, तर त्रिज्या हा एक सदिश आहे जो वस्तुमानाच्या केंद्राची स्थिती निर्धारित करतो:

\[(\overline(r))_c=\frac(\sum\limits^N_(i=1)(m_i(\overline(r))_i))(\sum\limits^N_(i=1)( m_i))\left(9\उजवीकडे).\]

वस्तुमानाच्या केंद्राची हालचाल

वस्तुमानाच्या केंद्राच्या गतीची अभिव्यक्ती ($(\overline(v))_c=\frac(d(\overline(r))_c)(dt)$) आहे:

\[(\overline(v))_c=\frac(m_1(\overline(v))_1+m_2(\overline(v))_2+\dots +m_n(\overline(v))_n)(m_1+m_2+ \dots +m_n)=\frac(\overline(P))(M)\left(10\उजवीकडे),\]

जेथे $\overline(P)$ हा कण प्रणालीचा एकूण संवेग आहे; प्रणालीचे $M$ वस्तुमान. अभिव्यक्ती (10) प्रकाशाच्या वेगापेक्षा लक्षणीयरीत्या कमी असलेल्या गतींच्या हालचालींसाठी वैध आहे.

जर कणांची प्रणाली बंद असेल, तर त्याच्या भागांच्या क्षणाची बेरीज बदलत नाही. परिणामी, वस्तुमानाच्या केंद्राचा वेग स्थिर असतो. ते म्हणतात की बंद प्रणालीच्या वस्तुमानाचे केंद्र जडत्वाने फिरते, म्हणजे, सरळ आणि एकसमानपणे, आणि ही हालचाल प्रणालीच्या घटक भागांच्या हालचालीपासून स्वतंत्र आहे. बंद प्रणालीमध्ये, अंतर्गत शक्ती कार्य करू शकतात आणि त्यांच्या कृतीच्या परिणामी, सिस्टमच्या काही भागांमध्ये प्रवेग होऊ शकतो. परंतु याचा वस्तुमान केंद्राच्या हालचालीवर परिणाम होत नाही. अंतर्गत शक्तींच्या प्रभावाखाली, वस्तुमानाच्या केंद्राचा वेग बदलत नाही.

उपायांसह समस्यांची उदाहरणे

उदाहरण १

व्यायाम करा.शिरोबिंदू आणि समभुज त्रिकोणाच्या मध्यभागी असलेल्या तीन चेंडूंच्या प्रणालीच्या वस्तुमानाच्या केंद्राचे निर्देशांक लिहा, ज्याची बाजू $b\ (m)$ (चित्र 2) च्या बरोबरीची आहे.

उपाय.समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही अभिव्यक्ती वापरतो जे वस्तुमानाच्या केंद्राचे निर्देशांक निर्धारित करतात:

\ \

अंजीर 2 वरून आपण पाहतो की बिंदूंचे abscissas आहेत:

\[\left\( \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac(b)( 2)

मग वस्तुमानाच्या केंद्राचा abscissa आहे:

चला बिंदूंचे निर्देशांक शोधू.

\[ \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ \ y_2=\frac(b\sqrt(3)) (2); \\ m_3=m,\ \y_3=\frac(b\sqrt(3))(6);; \\ m_4=4m,\ \y_4=0. \end(ॲरे) \left(2.4\उजवे).\]

ऑर्डिनेट $y_2$ शोधण्यासाठी, समभुज त्रिकोणातील उंची किती आहे याची गणना करूया:

समभुज त्रिकोणातील मध्यक हे शिरोबिंदूपासून 2:1 च्या गुणोत्तरामध्ये छेदनबिंदूने विभागलेले आहे हे लक्षात ठेवून आम्हाला $y_3$ ऑर्डिनेट सापडतो, आम्हाला मिळते:

चला वस्तुमानाच्या केंद्राच्या ऑर्डिनेटची गणना करूया:

उत्तर द्या.$x_c=0.6b\ (\rm \ )(\rm m)$; $y_c=\frac(b\sqrt(3)\ )(6)$ m

उदाहरण २

व्यायाम करा.वस्तुमानाच्या केंद्राचा गतीचा नियम लिहा.

उपाय.कणांच्या प्रणालीच्या गतीतील बदलाचा नियम हा वस्तुमानाच्या केंद्राच्या गतीचा नियम आहे. सूत्रावरून:

\[(\overline(v))_c=\frac(\overline(P))(M)\to \overline(P)=M(\overline(v))_c\left(2.1\right)\]

स्थिर वस्तुमान $M$ वर, अभिव्यक्तीच्या दोन्ही बाजू (2.1) भेद करून, आम्हाला मिळते:

\[\frac(d\overline(P))(dt)=M\frac(d(\overline(v))_c)(dt)\left(2.2\right).\]

अभिव्यक्ती (2.2) म्हणजे प्रणालीच्या गतीच्या बदलाचा दर प्रणालीच्या वस्तुमानाच्या गुणाकार आणि त्याच्या वस्तुमानाच्या केंद्राच्या प्रवेगच्या बरोबरीचा आहे. कारण

\[\frac(d\overline(P))(dt)=\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i\left(2.3\right),)\]

अभिव्यक्ती (2.4) च्या अनुषंगाने, आम्ही प्राप्त करतो की प्रणालीच्या वस्तुमानाचे केंद्र त्याच प्रकारे हलते जसे वस्तुमान M चा एक भौतिक बिंदू हलतो जर त्यावर क्रिया करणाऱ्या सर्व बाह्य शक्तींच्या बेरजेइतकी शक्ती असेल तर विचाराधीन प्रणालीमध्ये समाविष्ट केलेले कण. जर $\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i=0,)$ तर वस्तुमानाचे केंद्र एकसमान आणि सरळ रेषेत हलते.

वस्तुमान `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…` सह. यापैकी प्रत्येक भाग एक भौतिक बिंदू मानला जाऊ शकतो. `m_i` वस्तुमान असलेल्या `i`-व्या भौतिक बिंदूच्या अंतराळातील स्थान त्रिज्या - वेक्टर `vecr_i` (चित्र 11) द्वारे निर्धारित केले जाते. शरीराचे वस्तुमान त्याच्या वैयक्तिक भागांच्या वस्तुमानाची बेरीज असते: `m=sum_im_i`. व्याख्येनुसार, शरीराच्या वस्तुमानाचे केंद्र (शरीरांची प्रणाली) हा असा बिंदू `C` आहे, ज्याची त्रिज्या वेक्टर `vecr_c=1/m sum_im_ivecr_i` या सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाते.

हे दर्शविले जाऊ शकते की वस्तुमानाच्या केंद्राची स्थिती शरीराच्या सापेक्ष `O` च्या उत्पत्तीच्या निवडीवर अवलंबून नाही, म्हणजेच वर दिलेली वस्तुमान केंद्राची व्याख्या अस्पष्ट आणि योग्य आहे.

वस्तुमानाचे केंद्र शोधण्याच्या पद्धतींमध्ये न जाता, एकसंध सममितीय शरीराच्या वस्तुमानाचे केंद्र त्यांच्या भौमितिक केंद्रावर किंवा सममितीच्या अक्षावर एका अनियंत्रित त्रिकोणाच्या रूपात स्थित आहे; त्याच्या मध्यकाच्या छेदनबिंदूवर स्थित आहे.

असे दिसून आले की शरीराच्या वस्तुमानाच्या केंद्रामध्ये (किंवा शरीराची प्रणाली) अनेक उल्लेखनीय गुणधर्म आहेत. डायनॅमिक्समध्ये असे दिसून येते की अनियंत्रितपणे फिरणाऱ्या शरीराची गती शरीराच्या वस्तुमानाच्या उत्पादनाच्या आणि त्याच्या वस्तुमानाच्या केंद्राच्या गतीइतकी असते आणि वस्तुमानाचे केंद्र शरीरावर कार्य करणार्या सर्व बाह्य शक्ती लागू केल्याप्रमाणे हलते. वस्तुमानाच्या केंद्रस्थानी, आणि संपूर्ण शरीराचे वस्तुमान त्यात केंद्रित होते.

गुरुत्व मध्यभागी पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रात स्थित असलेल्या शरीराला शरीराच्या सर्व भागांवर कार्य करणाऱ्या सर्व गुरुत्वाकर्षण शक्तींच्या परिणामी अर्जाचा बिंदू म्हणतात. या परिणामास शरीरावर कार्य करणारी गुरुत्वाकर्षण शक्ती म्हणतात. शरीराच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रस्थानी लागू केलेल्या गुरुत्वाकर्षणाच्या शक्तीचा शरीरावर समान प्रभाव पडतो ज्याप्रमाणे गुरुत्वाकर्षणाच्या सर्व शक्ती शरीराच्या वैयक्तिक भागांवर कार्य करतात.

एक मनोरंजक केस म्हणजे जेव्हा शरीराचा आकार पृथ्वीच्या आकारापेक्षा खूपच लहान असतो. मग आपण असे गृहीत धरू शकतो की समांतर गुरुत्वाकर्षण शक्ती शरीराच्या सर्व भागांवर कार्य करतात, म्हणजे शरीर एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रात आहे. समांतर आणि समान निर्देशित बलांमध्ये नेहमीच परिणामी बल असते, जे सिद्ध केले जाऊ शकते. परंतु अंतराळातील शरीराच्या एका विशिष्ट स्थानावर, गुरुत्वाकर्षणाच्या सर्व समांतर शक्तींच्या परिणामी केवळ क्रियेची रेषा सूचित करणे शक्य आहे; त्याच्या कृतीच्या ओळीवर हस्तांतरित केले जाईल. अर्ज बिंदूबद्दल काय?

हे दर्शविले जाऊ शकते की गुरुत्वाकर्षणाच्या एकसमान क्षेत्रात शरीराच्या कोणत्याही स्थितीसाठी, शरीराच्या वैयक्तिक भागांवर कार्य करणाऱ्या सर्व गुरुत्वाकर्षण शक्तींच्या परिणामी क्रियेची रेषा शरीराच्या सापेक्ष स्थिर बिंदूमधून जाते. या टप्प्यावर परिणाम लागू केला जातो आणि बिंदू स्वतःच शरीराच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र असेल.

शरीराच्या सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण केंद्राची स्थिती केवळ शरीराच्या आकारावर आणि शरीरातील वस्तुमानाच्या वितरणावर अवलंबून असते आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या एकसमान क्षेत्रात शरीराच्या स्थितीवर अवलंबून नसते. गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र शरीरातच असावे असे नाही. उदाहरणार्थ, गुरुत्वाकर्षणाच्या एकसमान क्षेत्रातील हूपचे गुरुत्वाकर्षण केंद्र त्याच्या भूमितीय केंद्रावर असते.

पुराव्याशिवाय एक अत्यंत मनोरंजक आणि महत्त्वाची वस्तुस्थिती नोंदवूया. निघाले, गुरुत्वाकर्षणाच्या एकसमान क्षेत्रात, शरीराच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र त्याच्या वस्तुमानाच्या केंद्राशी जुळते.आपण हे लक्षात ठेवूया की गुरुत्वाकर्षण क्षेत्राच्या उपस्थितीची पर्वा न करता शरीराच्या वस्तुमानाचे केंद्र अस्तित्वात आहे आणि आपण केवळ गुरुत्वाकर्षणाच्या उपस्थितीतच गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राबद्दल बोलू शकतो.

शरीराच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राचे स्थान शोधणे आणि म्हणून वस्तुमानाचे केंद्र, शरीराची सममिती लक्षात घेऊन आणि शक्तीच्या क्षणाची संकल्पना वापरणे सोयीचे आहे.

हलक्या रॉडवर (Fig. 12) निश्चित गोळे वस्तुमानmi `m_1=3` kg, `m_2=2` kg, `m_3=6` kg, `m_4=3` kg.कोणत्याही जवळच्या बॉलच्या केंद्रांमधील अंतर `a=10` सेमी आहे गुरुत्वाकर्षण केंद्र आणि संरचनेच्या वस्तुमानाचे केंद्र शोधा.

बॉल्सच्या तुलनेत संरचनेच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राची स्थिती स्पेसमधील रॉडच्या अभिमुखतेवर अवलंबून नाही. समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आकृती 12 मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे, रॉडला क्षैतिज स्थितीत ठेवणे सोयीचे आहे. गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र `L` अंतरावर असू द्या. डाव्या चेंडूच्या मध्यभागी, म्हणजे बिंदू `A` पासून. गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रस्थानी, सर्व गुरुत्वाकर्षण शक्तींचा परिणाम लागू होतो आणि त्याचा `A` अक्षाशी संबंधित क्षण बॉल्सच्या गुरुत्वाकर्षण शक्तींच्या क्षणांच्या बेरजेइतका असतो.

आमच्याकडे आहे: `R=(m_1+m_2+m_3+m_4)g`, `RL=m_2ga+m_3g2a+m_4g3a`.

म्हणून `L=(m_2+2m_3+3m_4)/(m_1+m_2+m_3+m_4) a~~16.4` सेमी.

गुरुत्वाकर्षण केंद्र वस्तुमानाच्या केंद्राशी जुळते आणि डाव्या चेंडूच्या केंद्रापासून `L~~16.4` सेमी अंतरावर `C` बिंदूवर स्थित आहे.

वस्तुमानाचे केंद्र हे शरीराच्या आत स्थित एक भौमितिक बिंदू आहे जे या शरीराच्या वस्तुमानाचे वितरण निर्धारित करते. कोणतेही शरीर विशिष्ट संख्येच्या भौतिक बिंदूंची बेरीज म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते. या प्रकरणात, वस्तुमानाच्या केंद्राची स्थिती त्रिज्या वेक्टर निर्धारित करते.

फॉर्म्युला 1 - वस्तुमान वेक्टरच्या केंद्राची त्रिज्या.

mi हे या बिंदूचे वस्तुमान आहे.

ri हा बिंदूचा त्रिज्या वेक्टर आहे.

जर तुम्ही सर्व भौतिक बिंदूंच्या वस्तुमानांची बेरीज केली तर तुम्हाला संपूर्ण शरीराचे वस्तुमान मिळेल. वस्तुमानाच्या केंद्राची स्थिती शरीराच्या आकारमानावर वस्तुमान वितरणाच्या एकसमानतेमुळे प्रभावित होते. वस्तुमानाचे केंद्र शरीराच्या आत आणि बाहेर दोन्ही ठिकाणी असू शकते. समजा रिंगसाठी, वस्तुमानाचे केंद्र वर्तुळाच्या केंद्रस्थानी आहे. जिथे पदार्थ नाही. सर्वसाधारणपणे, वस्तुमानाचे एकसमान वितरण असलेल्या सममितीय शरीरांसाठी, वस्तुमानाचे केंद्र नेहमी सममितीच्या केंद्रस्थानी किंवा त्याच्या अक्षावर असते.

आकृती 1 - सममितीय शरीराच्या वस्तुमानाचे केंद्र.

जर शरीरावर काही शक्ती लागू केली तर ते हलण्यास सुरवात करेल. टेबलच्या पृष्ठभागावर पडलेल्या अंगठीची कल्पना करा. जर तुम्ही त्यावर जोर लावला आणि फक्त ढकलणे सुरू केले तर ते टेबलच्या पृष्ठभागावर सरकते. परंतु ज्या ठिकाणी शक्ती लागू केली जाते त्यावर हालचालीची दिशा अवलंबून असेल.

जर बल बाहेरील काठापासून मध्यभागी, बाह्य पृष्ठभागाला लंबवत निर्देशित केले असेल तर, बल लागू करण्याच्या दिशेने रिंग टेबलच्या पृष्ठभागावर सरळ रेषेत फिरू लागेल. जर रिंगच्या बाह्य त्रिज्याला स्पर्शिकपणे बल लागू केले तर ते त्याच्या वस्तुमानाच्या केंद्राच्या सापेक्ष फिरण्यास सुरवात करेल. अशाप्रकारे, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की शरीराच्या गतीमध्ये वस्तुमानाच्या केंद्राशी संबंधित अनुवादात्मक आणि रोटेशनल गतीची बेरीज असते. म्हणजेच, वस्तुमानाच्या केंद्रस्थानी असलेल्या आणि संपूर्ण शरीराचे वस्तुमान असलेल्या भौतिक बिंदूच्या हालचालीद्वारे कोणत्याही शरीराच्या हालचालीचे वर्णन केले जाऊ शकते.

आकृती 2 - रिंगची अनुवादात्मक आणि रोटेशनल गती.

गुरुत्वाकर्षण केंद्राची संकल्पना देखील आहे. सर्वसाधारणपणे, वस्तुमानाच्या केंद्रासारखी ही गोष्ट नाही. गुरुत्वाकर्षणाचा केंद्र हा बिंदू आहे ज्याच्या सापेक्ष गुरुत्वाकर्षणाचा एकूण क्षण शून्य आहे. तुम्ही रॉडची कल्पना करत असल्यास, 1 मीटर लांब, 1 सेमी व्यासाचा आणि क्रॉस-सेक्शनमध्ये एकसमान म्हणा. रॉडच्या टोकाला समान वस्तुमानाचे धातूचे गोळे निश्चित केले जातात. मग या रॉडच्या वस्तुमानाचे केंद्र मध्यभागी असेल. जर हा रॉड एकसमान नसलेल्या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रात ठेवला असेल तर गुरुत्वाकर्षण केंद्र अधिक क्षेत्रीय शक्तीकडे हलवले जाईल.

आकृती 3 - एकसमान नसलेल्या आणि एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रात शरीर.

पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर, जिथे गुरुत्वाकर्षण शक्ती एकसमान असते, वस्तुमानाचे केंद्र व्यावहारिकदृष्ट्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राशी जुळते. कोणत्याही स्थिर एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रासाठी, गुरुत्व केंद्र नेहमी वस्तुमानाच्या केंद्राशी एकरूप असेल.

कोणतेही शरीर भौतिक बिंदूंचा संग्रह मानले जाऊ शकते, जे, उदाहरणार्थ, रेणू म्हणून घेतले जाऊ शकते. शरीरात m1, m2, ...mn वस्तुमान असलेले n भौतिक बिंदू असू द्या.

शरीराच्या वस्तुमानाचे केंद्र, n भौतिक बिंदूंचा समावेश असलेल्या बिंदूला (भौमितिक अर्थाने) बिंदू म्हणतात, ज्याची त्रिज्या वेक्टर सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाते:

येथे R1 हा बिंदू क्रमांक i (i = 1, 2, ... n) चा त्रिज्या वेक्टर आहे.

ही व्याख्या असामान्य दिसते, परंतु प्रत्यक्षात ती वस्तुमानाच्या अगदी केंद्राची स्थिती देते, ज्याबद्दल आपल्याला अंतर्ज्ञानी कल्पना आहे. उदाहरणार्थ, रॉडच्या वस्तुमानाचे केंद्र त्याच्या मध्यभागी असेल. वरील सूत्राच्या भाजकामध्ये समाविष्ट असलेल्या सर्व बिंदूंच्या वस्तुमानाच्या बेरीजला शरीराचे वस्तुमान म्हणतात. शरीराचे वजनम्हणतात त्याच्या सर्व बिंदूंच्या वस्तुमानाची बेरीज: m = m1 + m2 + ... + mn.

सममितीय एकसंध शरीरात, CM नेहमी सममितीच्या केंद्रस्थानी असतो किंवा आकृतीमध्ये सममितीचे केंद्र नसल्यास ते सममितीच्या अक्षावर असते. वस्तुमानाचे केंद्र शरीराच्या आत (डिस्क, चौरस, त्रिकोण) आणि त्याच्या बाहेर (रिंग, फ्रेम, चौरस) दोन्ही स्थित असू शकते.

एखाद्या व्यक्तीसाठी, COM ची स्थिती स्वीकारलेल्या पवित्र्यावर अवलंबून असते. अनेक खेळांमध्ये यशाचा महत्त्वाचा घटक म्हणजे संतुलन राखण्याची क्षमता. तर, जिम्नॅस्टिक्स, ॲक्रोबॅटिक्समध्ये

मोठ्या संख्येने घटकांमध्ये विविध प्रकारचे समतोल समाविष्ट असेल. फिगर स्केटिंग आणि स्पीड स्केटिंगमध्ये समतोल राखण्याची क्षमता, जेथे सपोर्टचे क्षेत्रफळ खूपच लहान आहे, ते महत्त्वाचे आहे.

विश्रांतीच्या स्थितीत शरीराच्या समतोलतेच्या अटी म्हणजे एकाचवेळी शक्तींच्या बेरीजच्या शून्याशी समानता आणि शरीरावर कार्य करणाऱ्या शक्तींच्या क्षणांची बेरीज.

रोटेशनचा अक्ष कोणता स्थान व्यापला पाहिजे ते शोधू या जेणेकरून त्यावर निश्चित केलेले शरीर गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रभावाखाली संतुलित राहील. हे करण्यासाठी, चला शरीराचे अनेक लहान तुकडे करू आणि त्यांच्यावर कार्य करणारी गुरुत्वाकर्षण शक्ती काढू.

क्षणांच्या नियमानुसार, समतोल राखण्यासाठी अक्षांबद्दलच्या या सर्व शक्तींच्या क्षणांची बेरीज शून्य असणे आवश्यक आहे.

हे दर्शविले जाऊ शकते की प्रत्येक शरीरासाठी एकच बिंदू असतो जिथे या बिंदूमधून जाणाऱ्या कोणत्याही अक्षांबद्दल गुरुत्वाकर्षणाच्या क्षणांची बेरीज शून्य असते. या बिंदूला गुरुत्वाकर्षण केंद्र म्हणतात (सामान्यतः वस्तुमानाच्या केंद्राशी जुळते).

बॉडी सेंटर ऑफ ग्रॅव्हिटी (CG)म्हणतात शरीराच्या सर्व कणांवर कार्य करणाऱ्या गुरुत्वाकर्षणाच्या क्षणांची बेरीज शून्याइतकी असते.

अशा प्रकारे, गुरुत्वाकर्षण शक्तींमुळे शरीर गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राभोवती फिरू शकत नाही. म्हणून, सर्व गुरुत्वाकर्षण शक्ती या बिंदूवर लागू केलेल्या आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या बळाच्या समान असलेल्या एकाच बलाने बदलल्या जाऊ शकतात.

ॲथलीटच्या शरीराच्या हालचालींचा अभ्यास करण्यासाठी, सामान्य गुरुत्वाकर्षण केंद्र (GCG) हा शब्द अनेकदा वापरला जातो. गुरुत्वाकर्षण केंद्राचे मूलभूत गुणधर्म:

जर शरीर गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रातून जाणाऱ्या अक्षावर स्थिर असेल, तर गुरुत्वाकर्षणाच्या शक्तीमुळे ते फिरू शकत नाही;

गुरुत्वाकर्षणाचा केंद्र म्हणजे गुरुत्वाकर्षणाचा अनुप्रयोग बिंदू;

एकसमान क्षेत्रात, गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र वस्तुमानाच्या केंद्राशी एकरूप होते.

इक्विलिब्रियम म्हणजे शरीराची एक स्थिती ज्यामध्ये ते हवे तितके विश्रांती घेतात. जेव्हा एखादे शरीर त्याच्या समतोल स्थितीपासून विचलित होते, तेव्हा त्यावर कार्य करणारी शक्ती बदलते आणि शक्तींचे संतुलन विस्कळीत होते.

विविध प्रकारचे समतोल (Fig. 9) आहेत. तीन प्रकारचे समतोल वेगळे करण्याची प्रथा आहे: स्थिर, अस्थिर आणि उदासीन.

स्थिर समतोल (Fig. 9, a) हे या वस्तुस्थितीद्वारे दर्शविले जाते की जेव्हा ते विचलित होते तेव्हा शरीर त्याच्या मूळ स्थितीकडे परत येते. या प्रकरणात, शक्ती किंवा शक्तीचे क्षण उद्भवतात, शरीराला त्याच्या मूळ स्थितीकडे परत करण्यास प्रवृत्त करतात. एक उदाहरण म्हणजे वरच्या आधारासह शरीराची स्थिती (उदाहरणार्थ, क्रॉसबारवर टांगलेली), जेव्हा, कोणत्याही विचलनासह, शरीर सुरुवातीच्या स्थितीकडे परत येते.

उदासीन समतोल (Fig. 9, b) हे या वस्तुस्थितीद्वारे दर्शविले जाते की जेव्हा शरीराची स्थिती बदलते तेव्हा कोणतीही शक्ती किंवा शक्तीचे क्षण उद्भवत नाहीत जे शरीराला त्याच्या सुरुवातीच्या स्थितीत परत आणतात किंवा शरीराला त्यातून काढून टाकतात. मानवांमध्ये ही एक दुर्मिळ घटना आहे. स्पेसशिपवरील वजनहीनतेचे एक उदाहरण आहे.

अस्थिर समतोल (Fig. 9, c) जेव्हा शरीराच्या लहान विचलनांसह, शक्ती किंवा शक्तीचे क्षण उद्भवतात जे शरीराला सुरुवातीच्या स्थितीपासून आणखी विचलित करतात. जेव्हा एखादी व्यक्ती अगदी लहान भागाच्या (त्याच्या दोन पायांच्या किंवा अगदी एका पायाच्या क्षेत्रापेक्षा खूपच लहान) आधारावर उभी राहते तेव्हा अशी स्थिती पाहिली जाऊ शकते.

आकृती 9. शरीर संतुलन: स्थिर (a), उदासीन (b), अस्थिर (c)

शरीराच्या समतोलाच्या सूचीबद्ध प्रकारांसह, बायोमेकॅनिक्स दुसर्या प्रकारच्या समतोलाचा विचार करते - मर्यादित-स्थिर. या प्रकारचा समतोल या वस्तुस्थितीद्वारे ओळखला जातो की शरीर त्याच्यापासून विशिष्ट मर्यादेपर्यंत विचलित असताना त्याच्या प्रारंभिक स्थितीकडे परत येऊ शकते, उदाहरणार्थ, समर्थन क्षेत्राच्या सीमेद्वारे निर्धारित केले जाते. विचलन ही मर्यादा ओलांडल्यास, समतोल अस्थिर होते.

मानवी शरीराचे संतुलन सुनिश्चित करण्याचे मुख्य कार्य म्हणजे शरीराच्या GCM चे प्रक्षेपण समर्थन क्षेत्रामध्ये आहे याची खात्री करणे. क्रियाकलापाच्या प्रकारावर (स्थिर स्थिती राखणे, चालणे, धावणे इ.) आणि स्थिरतेची आवश्यकता यावर अवलंबून, सुधारात्मक प्रभावांची वारंवारता आणि गती बदलते, परंतु संतुलन राखण्याच्या प्रक्रिया समान असतात.

मानवी शरीरात वस्तुमानाचे वितरण

बायोमेकॅनिक्सच्या विविध पैलूंसाठी शरीराचे वस्तुमान आणि वैयक्तिक विभागांचे वस्तुमान खूप महत्वाचे आहेत. अनेक खेळांमध्ये, व्यायाम करण्यासाठी योग्य तंत्र विकसित करण्यासाठी वस्तुमानाचे वितरण जाणून घेणे आवश्यक आहे. मानवी शरीराच्या हालचालींचे विश्लेषण करण्यासाठी, विभाजन पद्धत वापरली जाते: ती सशर्तपणे काही विभागांमध्ये विच्छेदित केली जाते. प्रत्येक विभागासाठी, त्याचे वस्तुमान आणि वस्तुमानाच्या केंद्राची स्थिती निर्धारित केली जाते. टेबलमध्ये 1 शरीराच्या अवयवांचे वस्तुमान सापेक्ष एककांमध्ये निर्धारित केले जातात.

तक्ता 1. सापेक्ष एककांमध्ये शरीराच्या अवयवांचे वस्तुमान

बहुतेकदा, वस्तुमान केंद्राच्या संकल्पनेऐवजी, दुसरी संकल्पना वापरली जाते - गुरुत्वाकर्षण केंद्र. गुरुत्वाकर्षणाच्या एकसमान क्षेत्रात, गुरुत्वाकर्षण केंद्र नेहमी वस्तुमानाच्या केंद्राशी जुळते. दुव्याच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राची स्थिती प्रॉक्सिमल जॉइंटच्या अक्षापासून अंतर म्हणून दर्शविली जाते आणि एकक म्हणून घेतलेल्या लिंकच्या लांबीच्या सापेक्ष व्यक्त केली जाते.

टेबलमध्ये आकृती 2 शरीराच्या विविध भागांच्या गुरुत्वाकर्षण केंद्रांची शारीरिक स्थिती दर्शविते.

तक्ता 2. शरीराच्या भागांच्या गुरुत्वाकर्षणाची केंद्रे