पायथागोरियन प्रमेय सादरीकरण सिद्ध करण्याचे मनोरंजक मार्ग. "पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या पद्धती" या विषयावर सादरीकरण

धडा योजना संस्थात्मक क्षण संस्थात्मक बिंदू पुनरावृत्ती पुनरावृत्ती समोसच्या पायथागोरसच्या जीवनाबद्दल संदेश सामोसच्या पायथागोरसच्या जीवनाबद्दल संदेश पायथागोरसच्या प्रमेयाबद्दल ऐतिहासिक माहिती पायथागोरस प्रमेयाबद्दल ऐतिहासिक माहिती प्रमेयावर कार्य प्रमेयावर कार्य प्रमेयावर कार्य करून समस्या सोडवणे प्रमेय वापरून समस्या धड्याचा सारांश धड्याचा सारांश गृहपाठ गृहपाठ

समोस पायथागोरसचा पायथागोरसचा जन्म इ.स.पूर्व ५८० मध्ये झाला. प्राचीन ग्रीसमध्ये सामोस बेटावर, जे आशिया मायनरच्या किनाऱ्यावर एजियन समुद्रात स्थित आहे, म्हणूनच त्याला समोसचा पायथागोरस म्हणतात. दगडी कोरीव काम करणाऱ्याच्या कुटुंबात ज्याला संपत्तीपेक्षा प्रसिद्धी मिळाली. अगदी लहानपणीही, त्याने विलक्षण क्षमता दर्शविली आणि जेव्हा तो मोठा झाला तेव्हा त्या तरुणाची अस्वस्थ कल्पना लहान बेटावर खिळखिळी झाली.

पायथागोरस पायथागोरस मिलेटस शहरात गेला आणि थॅलेसचा विद्यार्थी झाला, जो त्यावेळी ऐंशीच्या दशकात होता. बुद्धिमान शास्त्रज्ञाने त्या तरुणाला इजिप्तला जाण्याचा सल्ला दिला, जिथे त्याने स्वतः एकदा विज्ञानाचा अभ्यास केला होता. पायथागोरसच्या आधी एक अज्ञात देश उघडला. त्याच्या मूळ ग्रीसमध्ये देव लोकांच्या रूपात होते आणि इजिप्शियन देव अर्ध्या मानवाच्या - अर्ध्या प्राण्यांच्या रूपात होते या वस्तुस्थितीमुळे त्याला धक्का बसला. ज्ञान मंदिरांमध्ये केंद्रित होते, तेथे प्रवेश मर्यादित होता.

पायथागोरसला इजिप्शियन संस्कृतीचा सखोल अभ्यास करण्यासाठी अनेक वर्षे लागली इजिप्शियन विज्ञानाच्या शतकानुशतके पुराव्यांशी परिचित होण्यासाठी. जेव्हा पायथागोरसने इजिप्शियन धर्मगुरूंचे विज्ञान समजून घेतले तेव्हा तो तेथे स्वतःची शाळा तयार करण्यासाठी घरी गेला. मंदिरांच्या पलीकडे ज्ञानाचा प्रसार करू इच्छिणाऱ्या पुजाऱ्यांना त्याला जाऊ द्यायचे नव्हते. मोठ्या कष्टाने त्याने हा अडथळा पार केला.

तथापि, घरी जाताना पायथागोरस पकडला गेला आणि बॅबिलोनमध्ये संपला. बॅबिलोनियन लोकांना हुशार लोकांची कदर होती, म्हणून त्याला बॅबिलोनियन ऋषींमध्ये त्याचे स्थान मिळाले. बॅबिलोनियन विज्ञान इजिप्शियन विज्ञानापेक्षा अधिक विकसित होते. सर्वात उल्लेखनीय यश बीजगणितात होते. पायथागोरस बॅबिलोनियन लोकांनी मोजणी करताना स्थानीय संख्या प्रणालीचा शोध लावला आणि वापरला आणि ते रेषीय, चतुर्भुज आणि काही प्रकारचे घन समीकरण सोडविण्यास सक्षम होते. पायथागोरस बॅबिलोनमध्ये सुमारे दहा वर्षे राहिला आणि वयाच्या चाळीसव्या वर्षी तो आपल्या मायदेशी परतला. पण तो सामोस बेटावर फार काळ राहिला नाही. त्यानंतर बेटावर राज्य करणाऱ्या जुलमी पॉलीक्रेट्सचा निषेध म्हणून, तो क्रोटोन शहरात दक्षिण इटलीच्या ग्रीक वसाहतींपैकी एकामध्ये स्थायिक झाला.

तेथे पायथागोरसने अभिजात वर्गाच्या प्रतिनिधींकडून तरुणांची एक गुप्त लीग आयोजित केली. प्रदीर्घ चाचण्यांनंतर त्यांना मोठ्या समारंभांसह या युनियनमध्ये स्वीकारण्यात आले. प्रत्येक प्रवेशकर्त्याने त्याच्या मालमत्तेचा त्याग केला आणि संस्थापकाच्या शिकवणी गुप्त ठेवण्याची शपथ घेतली. पायथागोरियन्स, ज्यांना नंतर म्हटले गेले, त्यांनी गणित, तत्त्वज्ञान आणि नैसर्गिक विज्ञानांचा अभ्यास केला. शाळेत एक हुकूम होता ज्यानुसार सर्व गणिताच्या कामांचे लेखकत्व शिक्षकाला दिले गेले. पायथागोरियन युती गुप्त होती. युनियनचे प्रतीक किंवा ओळख चिन्ह पेंटाग्राम होते - एक पाच-बिंदू असलेला तारा. पेंटाग्रामला दुष्ट आत्म्यांपासून एखाद्या व्यक्तीचे संरक्षण करण्याची क्षमता नियुक्त केली गेली होती.

पायथागोरियन लोकांनी अंकगणित आणि भूमितीमध्ये अनेक महत्त्वाचे शोध लावले. हे देखील ज्ञात आहे की पायथागोरसच्या विद्यार्थ्यांच्या आध्यात्मिक आणि नैतिक विकासाव्यतिरिक्त, तो त्यांच्या शारीरिक विकासाबद्दल चिंतित होता. त्याने केवळ ऑलिम्पिक खेळांमध्ये भाग घेतला नाही आणि दोनदा मुठभेटी जिंकल्या, परंतु त्याने महान ऑलिंपियनच्या आकाशगंगेचे प्रशिक्षण देखील दिले. पायथागोरस या शास्त्रज्ञाने त्याने तयार केलेल्या शाळेसाठी सुमारे चाळीस वर्षे समर्पित केली आणि एका आवृत्तीनुसार, वयाच्या ऐंशीव्या वर्षी लोकप्रिय उठावाच्या वेळी पायथागोरस रस्त्यावरील लढाईत मारला गेला. त्यांच्या मृत्यूनंतर, विद्यार्थ्यांनी त्यांच्या शिक्षकाच्या नावाभोवती अनेक दंतकथा मांडल्या.

बॅबिलोनियन ग्रंथांमध्ये ते पायथागोरसच्या 1200 वर्षांपूर्वी आढळते. वरवर पाहता, त्याचा पुरावा शोधणारा तो पहिला होता. या संदर्भात, खालील नोंद केली गेली: "... जेव्हा त्याला आढळले की काटकोन त्रिकोणामध्ये कर्ण पायांशी संबंधित आहे, तेव्हा त्याने गव्हाच्या पिठाच्या बैलाचा बळी दिला." पायथागोरियन प्रमेयाचा इतिहास पायथागोरियन प्रमेयाचा इतिहास मनोरंजक आहे. जरी हे प्रमेय पायथागोरसच्या नावाशी संबंधित असले तरी ते त्याच्या खूप आधीपासून ज्ञात होते.

प्रमेय काटकोन त्रिकोणामध्ये, कर्णाचा वर्ग पायांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. दिलेले: Δ ABC, C = 90° सिद्ध करा: पुरावा: D cos B लक्षात घेता, आपल्याला मिळते: (1) आणि (2) जोडून, ​​आपल्याला मिळते: cos B विचारात घेतल्यास, आपण प्राप्त करतो: च्या शिरोबिंदूपासून SD ची उंची कमी करू. उजवा कोन

स्लाइड 2

a2+b2=c2 c a b P

स्लाइड 3

पायथागोरसला काटकोन त्रिकोणाचा हा गुणधर्म सापडला नाही; सामान्यीकरण करणारा आणि सिद्ध करणारा तो बहुधा पहिला होता, ज्यायोगे ते अभ्यासाच्या क्षेत्रातून विज्ञानाच्या क्षेत्रात स्थानांतरित केले. त्याने हे कसे केले हे आम्हाला माहित नाही. असे गृहीत धरले जाते की पायथागोरसचा पुरावा मूलभूत नव्हता, परंतु केवळ एक पुष्टीकरण, समद्विभुज काटकोन त्रिकोणापासून सुरू होणाऱ्या अनेक विशिष्ट प्रकारच्या त्रिकोणांवर या मालमत्तेची चाचणी आहे, ज्यासाठी ते स्पष्टपणे अंजीर मधून अनुसरण करते. १.

स्लाइड 4

स्लाइड 5

आकृत्यांच्या समान आकाराच्या संकल्पनेच्या वापरावर आधारित पुरावे.

स्लाइड 6

हे स्पष्ट आहे की जर आपण चौकोनाच्या क्षेत्रफळातून पाय a, b असलेल्या काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ चौपट वजा केले, तर समान क्षेत्रे राहतील, म्हणजे c2 = a2 + b2. तथापि, प्राचीन हिंदू, ज्यांच्याशी हा तर्क आहे, त्यांनी सहसा ते लिहून ठेवले नाही, परंतु रेखाचित्रासोबत फक्त एक शब्द दिला: "बघा!" पायथागोरसने हाच पुरावा दिला असण्याची शक्यता आहे.

स्लाइड 7

अतिरिक्त पुरावा. हे पुरावे पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या आकृत्यांच्या विघटनावर आधारित आहेत ज्यातून कर्णावर बांधलेला चौरस जोडता येतो. आइन्स्टाईनचा पुरावा (चित्र 3) कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे 8 त्रिकोणांमध्ये विघटन करण्यावर आधारित आहे.

स्लाइड 8

अंजीर मध्ये. 4 मध्ये युक्लिड्स एलिमेंट्सवरील मध्ययुगीन बगदाद भाष्यकार अल-नायरीझियाह यांच्या विभाजनाचा वापर करून पायथागोरियन प्रमेयचा पुरावा दर्शवितो. या विभाजनात कर्णावर बांधलेला चौरस 3 त्रिकोण आणि 2 चौकोनात विभागलेला आहे. येथे: ABC काटकोन C असलेला काटकोन त्रिकोण आहे; DE = BF. हे विभाजन वापरून प्रमेय सिद्ध करा. डी ई

स्लाइड 9

पूर्ण करण्याच्या पद्धतीद्वारे पुरावा. या पद्धतीचा सार असा आहे की पायांवर बांधलेल्या चौरसांमध्ये आणि कर्णावर बांधलेल्या चौरसामध्ये समान आकृत्या अशा प्रकारे जोडल्या जातात की समान आकडे मिळतील.

स्लाइड 10

पायथागोरियन प्रमेयाची वैधता AEDFPB आणि ACBNMQ या षटकोनींच्या समान आकारावरून येते. एफ

स्लाइड 11

अंजीर मध्ये. 13 ABC – आयताकृती, C – काटकोन, CM AB, b1 – कर्णावर लेग b चे प्रक्षेपण, a1 – कर्णावर लेग a चे प्रक्षेपण, h – कर्णावर काढलेल्या त्रिकोणाची उंची. ABC हे ACM सारखेच असल्याने, ते b2 = c*b1; (1) ABC हे BCM सारखे आहे या वस्तुस्थितीवरून, ते a2 = c*a1 चे अनुसरण करते. (2) समानता (1) आणि (2) टर्मनुसार टर्म जोडल्यास, आम्हाला a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2 मिळते. b

स्लाइड 12

आकृती 15 मध्ये, तीन काटकोन त्रिकोण एक ट्रॅपेझॉइड बनवतात. म्हणून, या आकृतीचे क्षेत्रफळ आयताकृती ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्रासाठी सूत्र वापरून किंवा तीन त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून शोधले जाऊ शकते. गारफिल्डचा पुरावा.

स्लाइड 13

पायथागोरसचे चरित्र. महान शास्त्रज्ञ पायथागोरसचा जन्म सुमारे 570 ईसापूर्व झाला. सामोस बेटावर. पायथागोरसचे वडील म्नेसार्कस हे रत्न कापणारे होते. पायथागोरसच्या आईचे नाव माहीत नाही. अनेक प्राचीन पुराव्यांनुसार, जन्मलेला मुलगा अतिशय देखणा होता आणि लवकरच त्याने त्याची विलक्षण क्षमता दर्शविली. तरुण पायथागोरसच्या शिक्षकांमध्ये ज्येष्ठ हर्मोडामँटस आणि फेरेसाइड्स ऑफ सायरोस होते. तरुण पायथागोरसने मोठ्या हर्मोच्या पायाशी संपूर्ण दिवस घालवला, सिथारा आणि होमरचे हेक्सामीटर ऐकले. पायथागोरसने आयुष्यभर महान होमरच्या संगीत आणि काव्याची आवड कायम ठेवली. आणि, एक मान्यताप्राप्त ऋषी असल्याने, शिष्यांच्या गर्दीने वेढलेले, पायथागोरसने होमरचे एक गाणे गाऊन दिवसाची सुरुवात केली. फेरेसीडीस एक तत्वज्ञानी होता आणि इटालियन स्कूल ऑफ फिलॉसॉफीचा संस्थापक मानला जात असे. पण तसे होऊ शकते, तरूण पायथागोरसची अस्वस्थ कल्पना थोड्याच वेळात लहान सामोसमध्ये बिघडली आणि तो मिलेटसला गेला, जिथे तो दुसर्या शास्त्रज्ञाला भेटला - थेल्स. थेल्सने त्याला ज्ञानासाठी इजिप्तला जाण्याचा सल्ला दिला, जे पायथागोरसने केले. 548 बीसी मध्ये. पायथागोरस नॅक्रेटिस या सामियन वसाहतीत पोहोचले, जिथे निवारा आणि अन्न शोधण्यासाठी कोणीतरी होते.

स्लाइड 14

इजिप्शियन लोकांच्या भाषा आणि धर्माचा अभ्यास करून, तो मेम्फिसला रवाना झाला. फारोच्या शिफारशीचे पत्र असूनही, धूर्त पुजारी पायथागोरसला त्यांचे रहस्य प्रकट करण्याची घाई करत नव्हते आणि त्याला कठीण चाचण्या देत होते. परंतु, ज्ञानाच्या तृष्णेमुळे पायथागोरसने त्या सर्वांवर मात केली, जरी उत्खननानुसार, इजिप्शियन याजक त्याला फारसे शिकवू शकले नाहीत, कारण त्या वेळी, इजिप्शियन भूमिती हे पूर्णपणे लागू केलेले विज्ञान होते (जमीन मोजण्यासाठी आणि मोजण्यासाठी त्या काळाची गरज पूर्ण करणारे). म्हणून, याजकांनी त्याला दिलेले सर्व काही शिकून, तो त्यांच्यापासून पळून गेला आणि हेलासमध्ये त्याच्या मायदेशी गेला. तथापि, प्रवासाचा काही भाग पूर्ण केल्यावर, पायथागोरसने ओव्हरलँड प्रवासाचा निर्णय घेतला, त्या दरम्यान त्याला बॅबिलोनचा राजा कॅम्बिसेसने पकडले, जो घरी जात होता. बॅबिलोनमधील पायथागोरसच्या जीवनाचे नाटक करण्याची गरज नाही, कारण... महान शासक सायरस सर्व बंदिवानांना सहनशील होता. बॅबिलोनियन गणित निःसंशयपणे इजिप्शियन लोकांपेक्षा अधिक विकसित होते (याचे उदाहरण म्हणजे कॅल्क्युलसची स्थिती प्रणाली) आणि पायथागोरसला बरेच काही शिकायचे होते. पण 530 इ.स.पू. सायरस मध्य आशियातील जमातींविरुद्ध मोहिमेवर गेला. आणि, शहरातील गोंधळाचा फायदा घेत, पायथागोरस त्याच्या मायदेशी पळून गेला.

स्लाइड 15

आणि त्या वेळी सामोसवर जुलमी पॉलीक्रेट्स राज्य करत होते. अर्थात, पायथागोरस न्यायालयीन गुलामाच्या जीवनावर समाधानी नव्हता आणि तो सामोसच्या परिसरातील गुहांमध्ये निवृत्त झाला. पॉलीक्रेट्सच्या अनेक महिन्यांच्या दाव्यांनंतर, पायथागोरस क्रोटनला गेला. क्रोटनमध्ये, पायथागोरसने धार्मिक-नैतिक बंधुत्व किंवा गुप्त मठवासी आदेश ("पायथागोरस") सारखे काहीतरी स्थापित केले, ज्याच्या सदस्यांनी तथाकथित पायथागोरस जीवनशैलीचे नेतृत्व करण्याचे वचन दिले. त्याच वेळी एक धार्मिक संघ, एक राजकीय क्लब आणि एक वैज्ञानिक समाज होता. पायथागोरसने सांगितलेली काही तत्त्वे आजही अनुकरण करण्यायोग्य आहेत, असे म्हटले पाहिजे. ...20 वर्षे झाली. बंधुभावाची कीर्ती जगभर पसरली. एके दिवशी, सायलोन, एक श्रीमंत पण दुष्ट माणूस, पायथागोरसकडे येतो, त्याला दारूच्या नशेत बंधुत्वात सामील व्हायचे होते. नकार मिळाल्यानंतर, सायलॉनने त्याच्या घराच्या जाळपोळीचा फायदा घेऊन पायथागोरसशी लढायला सुरुवात केली. आगीच्या वेळी, पायथागोरसने त्यांच्या स्वत: च्या खर्चावर त्यांच्या शिक्षकाचे प्राण वाचवले, ज्यानंतर पायथागोरस दुःखी झाला आणि लवकरच आत्महत्या केली.

सर्व स्लाइड्स पहा

प्रमेयाचा इतिहास. प्राचीन चीन आपल्या ऐतिहासिक पुनरावलोकनाची सुरुवात प्राचीन चीनपासून करूया. येथे चु-पेई हे गणिताचे पुस्तक विशेष लक्ष वेधून घेते. हा निबंध 3, 4 आणि 5 बाजू असलेल्या पायथागोरियन त्रिकोणाबद्दल बोलतो: चला प्राचीन चीनपासून सुरुवात करूया. येथे चु-पेई हे गणिताचे पुस्तक विशेष लक्ष वेधून घेते. हे काम 3, 4 आणि 5 बाजू असलेल्या पायथागोरियन त्रिकोणाविषयी सांगते: “जर काटकोन त्याच्या घटक भागांमध्ये विघटित झाला तर त्याच्या बाजूंच्या टोकांना जोडणारी रेषा 5 असेल, जेव्हा पाया 3 असेल आणि उंची असेल. ४.” त्याच पुस्तकात, एक रेखाचित्र प्रस्तावित आहे जे बशराच्या हिंदू भूमितीच्या रेखाचित्रांपैकी एकाशी जुळते. त्याच पुस्तकात, एक रेखाचित्र प्रस्तावित आहे जे बशराच्या हिंदू भूमितीच्या रेखाचित्रांपैकी एकाशी जुळते.

बॅबिलोनियन लोकांमध्ये पायथागोरियन प्रमेयाबद्दल काहीसे अधिक माहिती आहे. एका मजकुरात हममुराबीच्या काळातील, म्हणजे 2000 ईसापूर्व. e., काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाची अंदाजे गणना दिली आहे. यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की मेसोपोटेमियामध्ये ते काटकोन त्रिकोणांसह गणना करण्यास सक्षम होते, कमीतकमी काही प्रकरणांमध्ये. इजिप्शियन आणि बॅबिलोनियन लोकांप्रमाणेच हिंदूंमधील भूमितीचा पंथाशी जवळचा संबंध होता. कर्णाच्या चौरसावरील प्रमेय 18 व्या शतकाच्या आसपास भारतात आधीच ज्ञात असण्याची शक्यता आहे. e प्राचीन भारत

कँटर (गणिताचा सर्वात मोठा जर्मन इतिहासकार) मानतो की समानता: 3² + 4² = 5² इजिप्शियन लोकांना 2300 बीसीच्या आसपास आधीच माहित होते. ई., राजा अमेनेमहात पहिला (बर्लिन म्युझियमच्या पॅपिरस 6619 नुसार) कँटोरच्या मते, हार्पेडोनॅप्ट्स किंवा "दोरी ओढणारे" यांनी 3, 4 आणि 5 बाजू असलेल्या काटकोन त्रिकोणांचा वापर करून काटकोन तयार केले. त्यांची पद्धत बांधकाम अतिशय सहजपणे पुनरुत्पादित केले जाऊ शकते. चला 12 मीटर लांब दोरी घेऊ आणि एका टोकापासून 3 मीटर आणि दुसऱ्या टोकापासून 4 मीटर अंतरावर रंगीत पट्टा बांधू. 3 आणि 4 मीटर लांबीच्या बाजूंमध्ये काटकोन बंद केला जाईल.

एकीकडे, इजिप्शियन आणि बॅबिलोनियन गणिताविषयीच्या ज्ञानाच्या सध्याच्या स्तरावर आणि दुसरीकडे, ग्रीक स्त्रोतांच्या गंभीर अभ्यासाच्या आधारावर, व्हॅन डेर वॉर्डन (डच गणितज्ञ) यांनी पुढील निष्कर्ष काढला: “याची योग्यता. थॅलेस, पायथागोरस आणि पायथागोरस यांसारखे पहिले ग्रीक गणितज्ञ हे गणिताचा शोध नसून त्याचे पद्धतशीरीकरण आणि औचित्य आहे. त्यांच्या हातात, अस्पष्ट कल्पनांवर आधारित संगणकीय पाककृती अचूक विज्ञानात बदलल्या."

महान शास्त्रज्ञ पायथागोरसचा जन्म सुमारे 570 ईसापूर्व झाला. सामोस बेटावर. पायथागोरसचे वडील म्नेसार्कस हे रत्न कापणारे होते. पायथागोरसच्या आईचे नाव माहित नाही. अनेक प्राचीन पुराव्यांनुसार, जन्मलेला मुलगा अतिशय देखणा होता आणि लवकरच त्याने त्याची विलक्षण क्षमता दर्शविली. पायथागोरसने आयुष्यभर महान होमरच्या संगीत आणि काव्याची आवड कायम ठेवली. लवकरच, तरुण पायथागोरसची अस्वस्थ कल्पना छोट्या सामोसमध्ये खिळखिळी झाली आणि तो मिलेटसला गेला, जिथे तो दुसर्या शास्त्रज्ञाला भेटला - थेल्स. मग तो प्रवासाला निघतो आणि बॅबिलोनी राजा सायरसने त्याला पकडले. 530 बीसी मध्ये. सायरस मध्य आशियातील जमातींविरुद्ध मोहिमेवर गेला. आणि, शहरातील गोंधळाचा फायदा घेत, पायथागोरस त्याच्या मायदेशी पळून गेला.

आणि त्या वेळी सामोसवर जुलमी पॉलीक्रेट्स राज्य करत होते. पॉलीक्रेट्सच्या अनेक महिन्यांच्या दाव्यांनंतर, पायथागोरस क्रोटनला गेला. क्रोटनमध्ये, पायथागोरसने धार्मिक-नैतिक बंधुत्व किंवा गुप्त मठवासी आदेश ("पायथागोरस") सारखे काहीतरी स्थापित केले, ज्याच्या सदस्यांनी तथाकथित पायथागोरस जीवनशैलीचे नेतृत्व करण्याचे वचन दिले.... 20 वर्षे झाली. बंधुभावाची कीर्ती जगभर पसरली. एके दिवशी, सायलोन, एक श्रीमंत पण दुष्ट माणूस, पायथागोरसकडे येतो, त्याला दारूच्या नशेत बंधुत्वात सामील व्हायचे होते. नकार मिळाल्यानंतर, सायलॉनने त्याच्या घराच्या जाळपोळीचा फायदा घेऊन पायथागोरसशी लढायला सुरुवात केली. आगीच्या वेळी, पायथागोरसने त्यांच्या स्वत: च्या खर्चावर त्यांच्या शिक्षकाचे प्राण वाचवले, ज्यानंतर पायथागोरस दुःखी झाला आणि लवकरच आत्महत्या केली.

पायथागोरियन प्रमेय. काटकोन त्रिकोणामध्ये कर्णाचा वर्ग पायांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. प्रमेयाची इतर सूत्रे. युक्लिडचे प्रमेय सांगते (शाब्दिक भाषांतर): "काटक त्रिकोणामध्ये, काटकोनात पसरलेल्या बाजूचा चौरस काटकोनाला जोडलेल्या बाजूंच्या चौरसाइतका असतो." Geometria Culmonensis (c. 1400) मध्ये, प्रमेयाचे भाषांतर असे वाचते: “एका चौरसाचे क्षेत्रफळ, नंतर, त्याच्या लांब बाजूने मोजले जाते, ते उजव्या बाजूला त्याच्या दोन बाजूंनी मोजलेल्या दोन चौरसाइतके मोठे असते. कोन."

सर्वात सोपा पुरावा. प्रमेयाचा सर्वात सोपा पुरावा समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाच्या सर्वात सोप्या प्रकरणात प्राप्त होतो. किंबहुना, प्रमेयाच्या वैधतेची खात्री पटण्यासाठी समद्विभुज काटकोन त्रिकोणांचे मोजॅक पाहणे पुरेसे आहे. उदाहरणार्थ, ABC त्रिकोणासाठी: कर्ण AC वर बांधलेल्या चौकोनात 4 मूळ त्रिकोण असतात आणि बाजूंना बांधलेल्या चौकोनात दोन असतात.

वजाबाकी पद्धतीने पुरावा. वजाबाकी पद्धतीचा वापर करून आणखी एक पुरावा पाहू. पायथागोरियन प्रमेयाचे परिचित रेखाचित्र एका आयताकृती चौकटीत बंद करूया, ज्याच्या बाजूंच्या दिशा त्रिकोणाच्या पायांच्या दिशांशी जुळतात. आकृतीत दर्शविल्याप्रमाणे आकृतीचे काही विभाग चालू ठेवू, तर आयत अनेक त्रिकोण, आयत आणि चौरसांमध्ये मोडतो. चला प्रथम आयतामधून अनेक भाग काढून टाकू या जेणेकरून कर्णावर बांधलेला चौरसच राहील. हे भाग खालीलप्रमाणे आहेत: 1. त्रिकोण 1, 2, 3, 4; 2. आयत 5; 3. आयत 6 आणि चौरस 8; 4. आयत 7 आणि चौरस 9;

मग आम्ही भाग आयतामधून बाहेर फेकतो जेणेकरून फक्त बाजूंनी बांधलेले चौरसच राहतील. हे भाग असतील: 1. आयत 6 आणि 7; 2. आयत 5; 3. आयत 1 (छायांकित); 4. आयत 2 (छायांकित); आम्हाला फक्त हे दाखवायचे आहे की काढून घेतलेले भाग आकाराने समान आहेत. आकृत्यांच्या व्यवस्थेमुळे हे पाहणे सोपे आहे. आकृतीवरून हे स्पष्ट होते की: 1. आयत 5 स्वतःच्या आकारात समान आहे; 2. चार त्रिकोण 1,2,3,4 दोन आयत 6 आणि 7 च्या आकारात समान आहेत; 3. आयत 6 आणि चौरस 8, एकत्र घेतलेले, आयत 1 (छायांकित); आकारात समान आहेत; 4. चौरस 9 सह आयत 7 आणि आयत 2 (छायांकित); प्रमेय सिद्ध झाले आहे

आईन्स्टाईनचे पुरावे बिंदू E, C आणि F एकाच रेषेवर आहेत; हे कोन ECF च्या डिग्री मापनाच्या साध्या गणनेतून येते (ते उलगडलेले आहे). सीडी EF वर लंब काढलेली आहे. कर्णावर बांधलेल्या चौरसाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजू EF ला छेदत नाहीत तोपर्यंत वरच्या दिशेने वाढवल्या जातात; बाजू EA CD सह छेदत नाही तोपर्यंत वाढविली जाते. त्यानुसार, समान त्रिकोण समान संख्या आहेत.

खरं तर, त्रिकोण ABD आणि BFC दोन बाजूंमध्ये समान आहेत आणि त्यांच्यामधील कोन: FB = AB, BC = BD, आणि त्यांच्यामधील कोन परस्पर लंब बाजू असलेल्या स्थूल कोनांच्या समान आहेत. S ABD = 0.5 S BJLD, त्रिकोण ABD आणि आयत BJLD मध्ये एक समान आधार BD आणि एक समान उंची LD आहे. त्याचप्रमाणे S FBC=0.5 S ABFH (BF-सामान्य आधार, AB-सामान्य उंची). म्हणून, S ABD= S FBC हे लक्षात घेऊन, आमच्याकडे S BJLD= S ABFH आहे. त्याचप्रमाणे, ВСК आणि ACE त्रिकोणांची समानता वापरून तुम्ही AE हा खंड काढला, तर तुम्ही S JCEL = S ACKG हे सिद्ध कराल. तर, S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED, जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे. हा पुरावा युक्लिडने त्याच्या एलिमेंट्समध्ये दिला होता. प्रोक्लस (बायझेंटियम) च्या मते, याचा शोध युक्लिडने स्वतः लावला होता. युक्लिडचा पुरावा एलिमेंट्सच्या पहिल्या पुस्तकाच्या 47 व्या वाक्यात दिला आहे. काटकोन त्रिकोण ABC च्या कर्ण आणि पायांवर, संबंधित वर्ग तयार केले जातात आणि हे सिद्ध होते की आयत BJLD हा वर्ग ABFH च्या बरोबरीचा आहे आणि आयत JCEL हा वर्ग AGKC च्या बरोबरीचा आहे. मग पायांवरील चौरसांच्या क्षेत्रफळाची बेरीज कर्णावरील चौरसाच्या क्षेत्रफळाइतकी असेल.

दुसरे रहस्य म्हणजे समोसच्या पायथागोरसच्या प्रसिद्ध प्रमेयच्या पुराव्याची अचूकपणे अज्ञात संख्या. या कारणास्तव मी एक समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण करण्याचे ठरविले, ज्यामध्ये असे दिसून आले की जुन्या पिढीतील बहुतेक लोक 250 पुराव्यांच्या अस्तित्वाशी सहमत आहेत, जरी मला अतिरिक्त स्त्रोतांकडून माहित आहे की या प्रमेयाचे 350 हून अधिक पुरावे आहेत, जे गिनीज बुक ऑफ रेकॉर्ड्समध्येही त्याची नोंद का झाली! परंतु, अर्थातच, या पुराव्यांमध्ये तुलनेने काही मूलभूत भिन्न कल्पना वापरल्या जातात.

तिसरे रहस्य म्हणजे पायथागोरियन प्रमेय हे आज गणिताचे प्रतीक आहे. चौथे रहस्य - पायथागोरियन प्रमेय - आम्हाला सामान्यीकरणासाठी भरपूर सामग्री प्रदान करते - मानसिक क्रियाकलापांचा सर्वात महत्वाचा प्रकार, सैद्धांतिक विचारांचा आधार, ज्यामध्ये बरेच शास्त्रज्ञ अस्खलित आहेत. येथे आपण हे जोडू शकतो की पायथागोरियन प्रमेयातून आपण इतर प्रमेयांकडे जाऊ शकतो.

पाचवे रहस्य म्हणजे युक्लिडने त्याच्या एलिमेंट्सच्या पहिल्या पुस्तकात दिलेल्या पुराव्याचे श्रेय काही संशोधक पायथागोरसला देतात. दुसरीकडे, प्रोक्लस (५व्या शतकातील गणितज्ञ) यांनी युक्तिवाद केला की मूलद्रव्यांमधील पुरावा युक्लिडचाच होता. परंतु तरीही, पायथागोरसचा पुरावा देण्याची पद्धत आजही अज्ञात आहे.

सहावे रहस्य म्हणजे स्वतः पायथागोरसबद्दलची आख्यायिका, ज्याने हे प्रमेय प्रथम सिद्ध केले. एक आख्यायिका आहे की जेव्हा सामोसच्या पायथागोरसने त्याचे प्रमेय सिद्ध केले तेव्हा त्याने 100 बैलांचा बळी देऊन देवांचे आभार मानले. शास्त्रज्ञाच्या संमोहन क्षमतांबद्दल दंतकथा देखील होत्या: जणू काही तो त्याच्या नजरेने पक्ष्यांच्या उड्डाणाची दिशा बदलू शकतो. त्यांनी असेही सांगितले की हा आश्चर्यकारक माणूस एकाच वेळी वेगवेगळ्या शहरांमध्ये दिसला होता, ज्या दरम्यान अनेक दिवसांचा प्रवास होता. आणि त्याच्याकडे "नशिबाचे चाक" असण्याची शक्यता आहे, ज्याला फिरवून त्याने केवळ भविष्याचा अंदाज लावला नाही, तर घटनांमध्ये आवश्यक असल्यास हस्तक्षेप देखील केला.

वैयक्तिक स्लाइड्सद्वारे सादरीकरणाचे वर्णन:

1 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

KazGASA Auelbekova G.U मधील Lyceum चे शिक्षक. "पायथागोरियन प्रमेय आणि ते सिद्ध करण्याच्या विविध पद्धती." 2016

2 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

उद्दिष्ट: पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याचे विविध मार्ग पाहणे हा मुख्य उद्देश आहे. विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या विकासामध्ये, सर्वसाधारणपणे गणितामध्ये पायथागोरसच्या प्रमेयाचे काय महत्त्व आहे ते दर्शवा.

3 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

पायथागोरसच्या चरित्रातून या आदरणीय प्राचीन ग्रीक बद्दल आता लोकसंख्येला सर्वात जास्त माहिती आहे ते एका वाक्यांशात बसते: "पायथागोरसचे पायघोळ सर्व बाजूंनी समान आहेत." या छेडछाडीचे लेखक पायथागोरसपासून शतकांद्वारे स्पष्टपणे वेगळे आहेत, अन्यथा त्यांनी छेडछाड करण्याचे धाडस केले नसते. कारण पायथागोरस कर्णाचा अजिबात वर्ग नाही, पायांच्या चौरसांच्या बेरजेइतका आहे. हे एक प्रसिद्ध तत्त्वज्ञ आहे. पायथागोरस इसवी सनपूर्व सहाव्या शतकात राहत होता, सुंदर देखावा होता, लांब दाढी घातली होती आणि त्याच्या डोक्यावर सोनेरी डायडेम होता. पायथागोरस हे नाव नाही, परंतु तत्त्ववेत्त्याला मिळालेले टोपणनाव आहे कारण तो नेहमी ग्रीक दैवज्ञांप्रमाणे योग्य आणि खात्रीने बोलत असे. (पायथागोरस - "बोलून मन वळवणारे.") आपल्या भाषणाने त्याने 2,000 विद्यार्थी मिळवले, ज्यांनी, त्यांच्या कुटुंबांसह, एक शाळा-राज्य तयार केले, जेथे पायथागोरसचे कायदे आणि नियम लागू होते. त्यांच्या कामाच्या ओळीला नाव देणारे ते पहिले होते. "तत्वज्ञानी" हा शब्द, "कॉसमॉस" या शब्दाप्रमाणे, पायथागोरसकडून आमच्याकडे आला. त्याच्या तत्वज्ञानात बरेच विश्व आहे. देव, मनुष्य आणि निसर्ग समजून घेण्यासाठी भूमिती, संगीत आणि खगोलशास्त्रासह बीजगणिताचा अभ्यास केला पाहिजे, असे त्यांचे म्हणणे होते. तसे, ही ज्ञानाची पायथागोरियन प्रणाली आहे ज्याला ग्रीकमध्ये "गणित" म्हणतात. कर्ण आणि पाय असलेल्या कुख्यात त्रिकोणासाठी, हे, महान ग्रीकच्या मते, भौमितिक आकृतीपेक्षा जास्त आहे. ही आपल्या जीवनातील सर्व एन्क्रिप्टेड घटनांची "की" आहे. पायथागोरस म्हणाले, निसर्गातील प्रत्येक गोष्ट तीन भागांमध्ये विभागली गेली आहे. म्हणून, कोणत्याही समस्येचे निराकरण करण्यापूर्वी, ते त्रिकोणी आकृतीच्या स्वरूपात प्रस्तुत केले जाणे आवश्यक आहे. "त्रिकोण पहा - आणि समस्या दोन तृतीयांश सोडवली आहे."

4 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

आता पायथागोरियन प्रमेयाची तीन सूत्रे आहेत: 1. काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग पायांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. 2. काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके असते. 3. काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णावर बांधलेला चौरस पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या समतुल्य असतो. पायथागोरियन प्रमेय संभाषणः a, b आणि c अशा a2 + b2 = c2 या धन संख्यांच्या प्रत्येक तिहेरीसाठी, a आणि b आणि कर्ण c सह पाय असलेला काटकोन त्रिकोण अस्तित्वात आहे. आपण

5 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

प्रमेयच्या इतिहासापासून प्रमेयच्या इतिहासापासून काटेकोरपणे सांगायचे तर, प्रमेयाला "पायथागोरस प्रमेय" असे म्हटले जात असले तरी, पायथागोरसने स्वतःच ते शोधले नाही. काटकोन त्रिकोण आणि त्याच्या विशेष गुणधर्मांचा खूप आधी अभ्यास केला गेला होता. या विषयावर दोन ध्रुवीय दृष्टिकोन आहेत. एका आवृत्तीनुसार, पायथागोरस हा प्रमेयाचा संपूर्ण पुरावा शोधणारा पहिला होता. दुसऱ्या मते, पुरावा पायथागोरसच्या लेखकत्वाशी संबंधित नाही. आज आपण कोण बरोबर आणि कोण चूक हे तपासू शकत नाही. काय ज्ञात आहे की पायथागोरसचा पुरावा, जर तो अस्तित्वात असेल तर तो टिकला नाही. तथापि, अशा सूचना आहेत की युक्लिडच्या घटकांमधील प्रसिद्ध पुरावा पायथागोरसचा असू शकतो आणि युक्लिडने तो फक्त रेकॉर्ड केला आहे. आज हे देखील ज्ञात आहे की इजिप्शियन स्त्रोतांमध्ये फारो अमेनेमहत प्रथमच्या काळापासून, राजा हमुराबीच्या कारकिर्दीतील बॅबिलोनियन मातीच्या गोळ्यांवर, प्राचीन भारतीय ग्रंथ "सुल्वा सूत्र" आणि प्राचीन चिनी ग्रंथात काटकोन त्रिकोणाच्या समस्या आढळतात. झोउ-बी सुआन जिन”. जसे आपण पाहू शकतो, प्राचीन काळापासून पायथागोरियन प्रमेयाने गणितज्ञांच्या मनावर कब्जा केला आहे. आज अस्तित्वात असलेल्या सुमारे 500 विविध पुराव्यांद्वारे याची पुष्टी केली जाते. यामध्ये इतर कोणतेही प्रमेय त्याच्याशी स्पर्धा करू शकत नाही. पुराव्याच्या प्रसिद्ध लेखकांपैकी आपण लिओनार्डो दा विंची आणि अमेरिकेचे विसावे अध्यक्ष जेम्स गारफिल्ड आठवू शकतो. हे सर्व गणितासाठी या प्रमेयाच्या अत्यंत महत्त्वाबद्दल बोलते: भूमितीचे बहुतेक प्रमेय त्यातून घेतलेले आहेत किंवा कोणत्या ना कोणत्या प्रकारे त्याच्याशी जोडलेले आहेत. .

6 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

ग्रीक, लॅटिन आणि जर्मनमधून भाषांतरित केलेल्या प्रमेयाची विधाने यूक्लिडमध्ये, हे प्रमेय सांगतात (शब्दशः भाषांतर): “काटक त्रिकोणामध्ये, काटकोनात पसरलेल्या बाजूचा चौरस उजव्या कोनाला जोडलेल्या बाजूंच्या चौरसाइतका असतो. .” गेर्हार्ड ऑफ क्लेमन्स (12 व्या शतकाच्या सुरूवातीस) या अरबी मजकुराचे लॅटिन भाषांतर अन्नैरित्सी (सुमारे 900 बीसी), रशियन भाषेत अनुवादित केले आहे: “प्रत्येक काटकोन त्रिकोणामध्ये, उजव्या कोनावर पसरलेल्या बाजूला तयार केलेला चौरस समान असतो. काटकोनात दोन बाजूंनी बनलेल्या दोन चौरसांची बेरीज." Geometria Culmonensis (c. 1400) मध्ये, प्रमेयाचे भाषांतर असे वाचते: “एका चौरसाचे क्षेत्रफळ, नंतर, त्याच्या लांब बाजूने मोजले जाते, ते उजव्या बाजूला त्याच्या दोन बाजूंनी मोजलेल्या दोन चौरसाइतके मोठे असते. कोन." F. I. Petrushevsky यांनी केलेल्या Euclidean Elements च्या पहिल्या रशियन भाषांतरात, पायथागोरसचे प्रमेय खालील प्रमाणे सांगितले आहे: “काटक त्रिकोणामध्ये, काटकोनाच्या विरुद्ध बाजूचा वर्ग उजव्या बाजूंच्या चौरसांच्या बेरजेइतका असतो. कोन."

7 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

पुराव्यासाठी वापरलेले बांधकाम खालीलप्रमाणे आहे: काटकोन असलेल्या काटकोन त्रिकोणासाठी, पायांच्या वरचे चौरस आणि कर्णाच्या वर एक चौरस, एक उंची आणि त्याला विस्तारणारा एक किरण तयार केला जातो, कर्णाच्या वरच्या चौकोनाचे दोन आयतांमध्ये विभाजन केले जाते. आणि पायाच्या वरच्या चौरसासह आयताच्या क्षेत्रांची समानता, कर्ण असलेल्या चौरस असलेल्या दुसऱ्या आयताच्या क्षेत्रांची समानता आणि दुसऱ्या पायाच्या वरच्या आयताची समानता प्रस्थापित करणे हा पुराव्याचा उद्देश आहे. आयताच्या क्षेत्रांची समानता त्रिकोणांच्या एकरूपतेद्वारे स्थापित केली जाते आणि, त्यातील प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ चौरसांच्या अर्ध्या क्षेत्राच्या बरोबरीचे असते आणि त्यानुसार, खालील गुणधर्मांच्या संबंधात: क्षेत्रफळ आकृत्यांची सामाईक बाजू असल्यास त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आयताच्या अर्ध्या क्षेत्राएवढे असते आणि त्रिकोणाची सामान्य बाजूची उंची ही आयताची दुसरी बाजू असते. त्रिकोणांची एकरूपता दोन बाजूंच्या (चौरसांच्या बाजू) आणि त्यांच्यामधील कोन (काटकोन आणि कोनातून बनलेली) यांच्या समानतेवरून येते. अशा प्रकारे, कर्णाच्या वर असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ, बनलेले आहे हे सिद्ध करते. आयतांचे आणि, पायांच्या वरच्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके आहे. साधा पुरावा

8 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

AJ ही कर्णापर्यंत कमी केलेली उंची आहे. आपण हे सिद्ध करूया की त्याची सातत्य कर्णावर बांधलेल्या चौरसाला दोन आयतांमध्ये विभागते, ज्याचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या संबंधित चौरसांच्या क्षेत्राएवढे आहेत. आयत BJLD चा आकार ABFH वर्गासारखा आहे हे सिद्ध करू. त्रिकोण ABD=BFC (दोन बाजूंना आणि त्यांच्यामधील कोन BF=AB; BC=BD; कोन FBC=कोन ABD).

स्लाइड 9

स्लाइड वर्णन:

S त्रिकोण ABD=1/2 S आयत BJLD, कारण त्रिकोण ABD आणि आयत BJLD मध्ये एक सामान्य बेस BD आणि एक समान उंची LD आहे. त्याचप्रमाणे, S त्रिकोण FBC=1/2 S आयत ABFH(BF-सामान्य आधार, AB-सामान्य उंची). म्हणून, त्रिकोणाचा S ABD =S त्रिकोण FBC च्या लक्षात घेऊन, आपल्याकडे आहे: S BJLD=S ABFH. त्याचप्रमाणे, BCK आणि ACE त्रिकोणांची समानता वापरून, S JCEL=S ACKG हे सिद्ध होते. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. त्रिकोण S=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD हे प्रमेय सिद्ध झाले आहे. ए एल बी डी

10 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

भारतीय गणितज्ञ भास्करीचा पुरावा a in c in a - in c भास्करीची पद्धत खालीलप्रमाणे आहे: कर्ण (c ²) वर बांधलेल्या वर्गाचे क्षेत्रफळ त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून व्यक्त करा (4S = 4·0.5 a b) आणि चौरसाचे क्षेत्रफळ (a – c)². म्हणजेच c ² = 4 · 0.5 a b + (a – c) ² c ² = 2 a b + a ² - 2 a b + b ² c ² = a ² + b ² हे प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

11 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

वॉल्डहेमचा पुरावा a b c a b c वॉल्डहेम हे तथ्य वापरतो की काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या पायांच्या अर्ध्या गुणाइतके असते आणि समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ त्याच्या समांतर पायाच्या आणि त्याच्या उंचीच्या अर्ध्या बेरीजच्या गुणाकाराइतके असते. . आता, प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी, समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ दोन प्रकारे व्यक्त करणे पुरेसे आहे S trapezoid = 0.5(a + b) (a + b) = 0.5 (a + b) ² S trapezoid = 0.5 a b + 0, 5 a b + 0.5 c ² उजव्या बाजूंचे समीकरण केल्यास, आपल्याला 0.5 (a + b) ² = 0.5 a b + 0.5 a b + 0.5 c ² (a + b) ² = a b + а в + с ² а ² + मिळेल. 2 а в + в ² = 2 а в + с ² с ² = а ² + в ² हे प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

12 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

हॉकिन्सचा पुरावा A B C A1 B1 a c D c a c 1. आपण आयताकृती ∆ABC (काटकोन C सह) केंद्राभोवती C बिंदूभोवती 90º ने फिरवू म्हणजे आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे ते A1 B1 C स्थान घेईल. 2. कर्ण B1 A1 बिंदू A1 च्या पलीकडे बिंदू D वर AB रेषेला छेदत नाही तोपर्यंत पुढे चालू ठेवू. B1 D ची उंची ∆B1AB असेल (∟B1DA = 90º पासून). 3. A1AB1B चतुर्भुज विचारात घ्या. एकीकडे, SА1АВ1В = SАА1 + SСВВ1 = 0.5в · в + 0.5а · а=0.5(а² + в²) दुसरीकडे, SA1АВ1В = SA1ВВ1 + SАА1В1 = 0.5 s · ВД + 0.5 s · ВД + 0.5 s = 0.5 s · s · (AD + VD) = 0.5 · s² परिणामी अभिव्यक्तींचे समीकरण केल्यास, आपल्याला 0.5 (a² + b²) = 0.5 c² a² + b² = c² मिळते प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

स्लाइड 13

स्लाइड वर्णन:

भौमितिक पुरावा. (हॉफमनची पद्धत) काटकोन C सह त्रिकोण ABC बनवा. BF=CB, BFCB बांधा BE=AB, BEAB बांधा AD=AC, ADAC बिंदू F, C, D एकाच रेषेशी संबंधित आहेत.

स्लाइड 14

स्लाइड वर्णन:

जसे आपण पाहतो, ADFB आणि ACBE हे चतुर्भुज आकाराने समान आहेत, कारण ABF=ECB. त्रिकोण ADF आणि ACE आकारात समान आहेत. दोन्ही समान चतुर्भुजांमधून त्यांनी सामायिक केलेला त्रिकोण ABC वजा करू या, आणि आपल्याला मिळते: 1/2a2+1/2b 2=1/2c 2 त्यानुसार: a2+ b 2 =c 2 प्रमेय सिद्ध झाला आहे.

15 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

बीजगणितीय पुरावा (मोहलमनची पद्धत) एका बाजूला दिलेल्या आयताचे क्षेत्रफळ 0.5ab आहे, दुसऱ्या बाजूला 0.5pr, जेथे p हा त्रिकोणाचा अर्ध-परिमिती आहे, r ही अंकित वर्तुळाची त्रिज्या आहे (r=0.5 (a+b-c)). एसी

16 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

आमच्याकडे आहे: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) यावरून c2= a2+b2 प्रमेय सिद्ध झाला आहे. एसी

स्लाइड 17

स्लाइड वर्णन:

पायथागोरियन प्रमेयाचा अर्थ पायथागोरियन प्रमेय हे गणिताच्या मुख्य प्रमेयांपैकी एक आहे. या प्रमेयाचे महत्त्व असे आहे की त्याच्या मदतीने भूमितीतील बहुतेक प्रमेये काढता येतात. आधुनिक जगात त्याचे मूल्य देखील मोठे आहे, कारण पायथागोरियन प्रमेय मानवी क्रियाकलापांच्या अनेक शाखांमध्ये वापरला जातो. उदाहरणार्थ, इमारतींच्या छतावर लाइटनिंग रॉड्स बसवण्यासाठी, विशिष्ट वास्तुशास्त्रीय शैलीच्या खिडक्या तयार करण्यासाठी आणि मोबाइल ऑपरेटरच्या अँटेनाच्या उंचीची गणना करण्यासाठी देखील याचा वापर केला जातो. आणि ही या प्रमेयाच्या व्यावहारिक अनुप्रयोगांची संपूर्ण यादी नाही. म्हणूनच पायथागोरियन प्रमेय जाणून घेणे आणि त्याचा अर्थ समजून घेणे खूप महत्वाचे आहे.

18 स्लाइड

स्लाइड वर्णन:

साहित्यात पायथागोरियन प्रमेय. पायथागोरस हा केवळ महान गणितज्ञच नाही तर त्याच्या काळातील एक महान विचारवंत देखील आहे. त्यांच्या काही तात्विक विधानांची ओळख करून घेऊया...

स्लाइड 19

स्लाइड वर्णन:

1. पृथ्वीवरील लोकांमध्ये विचार सर्वांपेक्षा श्रेष्ठ आहे. 2. धान्य मापावर बसू नका (म्हणजे, आळशीपणे जगू नका). 3. निघताना, मागे वळून पाहू नका (म्हणजे, मृत्यूपूर्वी, जीवनाला चिकटून राहू नका). 4. मारलेल्या मार्गावर जाऊ नका (म्हणजे, गर्दीच्या मतांचे अनुसरण करू नका, परंतु समजणाऱ्या मोजक्या लोकांच्या मतांचे अनुसरण करा). 5. तुमच्या घरात गिळंकृत ठेवू नका (म्हणजे, त्यांच्या भाषेत बोलणारे किंवा अनियंत्रित पाहुणे घेऊ नका). 6. जे ओझे उचलतात त्यांच्याबरोबर रहा, जे ओझे टाकतात त्यांच्याबरोबर राहू नका (म्हणजे लोकांना आळशीपणासाठी नव्हे तर सद्गुण, काम करण्यास प्रोत्साहित करा). 7. अंगठीमध्ये प्रतिमा घालू नका (म्हणजे, तुम्ही देवतांचा न्याय कसा करता आणि विचार करता ते लोकांसमोर दाखवू नका).

चेरनोव्ह मॅक्सिम

भूमितीवरील एक प्रकल्प, "पायथागोरियन प्रमेय आणि ते सिद्ध करण्याच्या विविध पद्धती" या विषयावरील सादरीकरणाच्या स्वरूपात डिझाइन केलेले

डाउनलोड करा:

पूर्वावलोकन:

सादरीकरण पूर्वावलोकन वापरण्यासाठी, एक Google खाते तयार करा आणि त्यात लॉग इन करा: https://accounts.google.com

स्लाइड मथळे:

पायथागोरियन प्रमेय आणि ते सिद्ध करण्याच्या विविध पद्धती यांनी पूर्ण केले: चेर्नोव्ह मॅक्सिम 8A

प्रकल्पाचे ध्येय: पायथागोरियन प्रमेय सादर करणे आणि ते सिद्ध करण्याचे वेगवेगळे मार्ग सादर करणे.

इतिहास प्राचीन चिनी पुस्तक झोउ बी झुआन जिंग 3, 4 आणि 5 बाजू असलेल्या पायथागोरियन त्रिकोणाविषयी बोलतो. त्याच पुस्तकात बाशराच्या हिंदू भूमितीच्या रेखाचित्रांपैकी एक रेखाचित्र दिले आहे. मॉरिट्झ कँटर (गणिताचा अग्रगण्य जर्मन इतिहासकार) मानतो की समानता 3² + 4² = 5² इजिप्शियन लोकांना 2300 ईसापूर्व, राजा अमेनेमहत I (बर्लिन म्युझियमच्या पॅपिरस 6619 नुसार) च्या काळात आधीच ज्ञात होती. कँटरच्या मते, हार्पेडोनॅप्ट्स किंवा "दोरी ओढणारे" 3, 4 आणि 5 च्या बाजूंनी काटकोन त्रिकोण वापरून काटकोन तयार करतात. त्यांची बांधकाम पद्धत अगदी सहजपणे पुनरुत्पादित केली जाऊ शकते. चला 12 मीटर लांबीची दोरी घेऊ आणि त्यावर एका टोकापासून 3 मीटर आणि दुसऱ्या टोकापासून 4 मीटर अंतरावर रंगीत पट्टी बांधू. उजवा कोन 3 ते 4 मीटर लांबीच्या बाजूंच्या दरम्यान असेल. हार्पेडोनॅप्टियन्सवर आक्षेप घेतला जाऊ शकतो की जर कोणी वापरला तर त्यांची बांधकाम पद्धत अनावश्यक बनते, उदाहरणार्थ, लाकडी चौकोन, जो सर्व सुतार वापरतात. खरंच, इजिप्शियन रेखाचित्रे ओळखली जातात ज्यामध्ये असे साधन आढळते, उदाहरणार्थ, सुतारकाम कार्यशाळेचे चित्रण करणारी रेखाचित्रे. बॅबिलोनियन लोकांमध्ये पायथागोरियन प्रमेयाबद्दल काहीसे अधिक माहिती आहे. हमुराबीच्या काळातील एक मजकूर, म्हणजे 2000 बीसी, समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाची अंदाजे गणना देते. यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की मेसोपोटेमियामध्ये ते काटकोन त्रिकोणांसह गणना करण्यास सक्षम होते, कमीतकमी काही प्रकरणांमध्ये. एकीकडे, इजिप्शियन आणि बॅबिलोनियन गणिताच्या ज्ञानाच्या सद्य स्तरावर आणि दुसरीकडे, ग्रीक स्त्रोतांच्या गंभीर अभ्यासाच्या आधारावर, व्हॅन डेर वॉर्डन (डच गणितज्ञ) यांनी असा निष्कर्ष काढला की प्रमेयची उच्च संभाव्यता आहे. कर्णाच्या चौकोनावर बॅबिलोनमध्ये आधीच 18 व्या शतकाच्या आसपास ओळखले जात असे. e प्रोक्लसच्या युक्लिडवरील भाष्यानुसार, पायथागोरसने (ज्यांची वर्षे साधारणतः 570-490 बीसी मानली जातात) पायथागोरस त्रिगुण शोधण्यासाठी बीजगणितीय पद्धती वापरल्या. तथापि, प्रोक्लसने 410 ते 485 दरम्यान लिहिले. n e पायथागोरसच्या मृत्यूनंतर 5 शतके असा कोणताही स्पष्ट संदर्भ नाही, असे थॉमस लिटल हिथचे मत होते, पायथागोरस हा प्रमेयाचा लेखक होता. तथापि, जेव्हा प्लुटार्क आणि सिसेरो सारखे लेखक पायथागोरसच्या प्रमेयाबद्दल लिहितात तेव्हा ते असे लिहितात की जणू पायथागोरसचे लेखकत्व सर्वत्र ज्ञात होते आणि त्यात शंका नाही. पायथागोरियन गणिताचा काळ." पौराणिक कथेनुसार, पायथागोरसने त्याच्या प्रमेयाचा शोध एका भव्य मेजवानीने साजरा केला, उत्सव साजरा करण्यासाठी शंभर बैलांची कत्तल केली. सुमारे 400 बीसी. इ.स.पू., प्रोक्लसच्या मते, प्लेटोने बीजगणित आणि भूमिती एकत्र करून पायथागोरियन तिहेरी शोधण्याची पद्धत दिली. सुमारे 300 ईसापूर्व. e पायथागोरियन प्रमेयाचा सर्वात जुना स्वयंसिद्ध पुरावा युक्लिड्स एलिमेंट्समध्ये दिसून आला.

सूत्रीकरण: भौमितिक सूत्रीकरण: सुरुवातीला, प्रमेय खालीलप्रमाणे तयार केला गेला: काटकोन त्रिकोणामध्ये, कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके असते. बीजगणितीय सूत्रीकरण: काटकोन त्रिकोणामध्ये कर्णाच्या लांबीचा वर्ग पायांच्या लांबीच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. म्हणजेच, त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी a आणि b द्वारे दर्शवत आहे आणि पायांची लांबी a आणि b: a2+b2=c2 प्रमेयाची दोन्ही सूत्रे समतुल्य आहेत, परंतु दुसरे सूत्र अधिक प्राथमिक आहे, यासाठी आवश्यक नाही क्षेत्राची संकल्पना. म्हणजेच, क्षेत्राबद्दल काहीही माहिती न घेता आणि काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंच्या फक्त लांबी मोजून दुसरे विधान सत्यापित केले जाऊ शकते.

पुरावे सध्या, या प्रमेयाचे ३६७ पुरावे वैज्ञानिक साहित्यात नोंदवले गेले आहेत. कदाचित, पायथागोरियन प्रमेय हे इतके प्रभावी प्रमाण असलेले एकमेव प्रमेय आहे. अशी विविधता केवळ भूमितीच्या प्रमेयाच्या मूलभूत महत्त्वाद्वारे स्पष्ट केली जाऊ शकते. अर्थात, वैचारिकदृष्ट्या त्या सर्वांना थोड्या वर्गात विभागले जाऊ शकते. त्यापैकी सर्वात प्रसिद्ध: क्षेत्र पद्धतीनुसार पुरावे, स्वयंसिद्ध आणि विदेशी पुरावे (उदाहरणार्थ, भिन्न समीकरणे वापरणे).

समान त्रिकोणांद्वारे बीजगणितीय सूत्रीकरणाचा खालील पुरावा हा थेट स्वयंसिद्ध पुराव्यांपैकी सर्वात सोपा आहे. विशेषतः, ते आकृतीच्या क्षेत्रफळाची संकल्पना वापरत नाही. ABC हा काटकोन C असलेला काटकोन त्रिकोण असू द्या. C वरून उंची काढू आणि त्याचा पाया H ने दर्शवू. त्रिकोण ACH दोन कोनांमध्ये त्रिकोण ABC सारखा आहे. त्याचप्रमाणे CBH त्रिकोण ABC सारखा आहे. नोटेशन सादर केल्याने आम्हाला जे समतुल्य जोडणे आहे ते मिळते, आम्हाला मिळते किंवा जे सिद्ध करण्यासाठी आवश्यक होते

क्षेत्र पद्धतीचा वापर करून पुरावे खालील पुरावे, त्यांच्या स्पष्ट साधेपणा असूनही, इतके सोपे नाहीत. ते सर्व क्षेत्रफळाचे गुणधर्म वापरतात, ज्याचा पुरावा पायथागोरियन प्रमेयाच्या पुराव्यापेक्षा अधिक गुंतागुंतीचा आहे. समानपूरकतेचा पुरावा आकृती 1 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे चार समान काटकोन त्रिकोणांची मांडणी करू या. c बाजू असलेला चौकोन हा चौरस आहे. कारण दोन तीव्र कोनांची बेरीज 90° आहे आणि सरळ कोन 180° आहे. संपूर्ण आकृतीचे क्षेत्रफळ एकीकडे, बाजू (a + b) असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि दुसरीकडे चार त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके असते. आतील चौरसाचे क्षेत्रफळ. Q.E.D. .

युक्लिडचा पुरावा युक्लिडच्या पुराव्याची कल्पना खालीलप्रमाणे आहे: कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे अर्धे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके आहे हे सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करूया आणि नंतर मोठ्या आणि दोन लहान चौरसांचे क्षेत्रफळ समान आहेत. चला डावीकडील रेखाचित्र पाहू. त्यावर आम्ही काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंनी चौकोन तयार केले आणि कर्ण AB वर लंब असलेल्या काटकोन C च्या शिरोबिंदूपासून एक किरण s काढला, तो कर्णावर बांधलेला ABIK वर्ग दोन आयतांमध्ये कापतो - BHJI आणि HAKJ, अनुक्रमे असे दिसून आले की या आयतांचे क्षेत्रफळ संबंधित पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्राइतके समान आहेत. DECA चौरसाचे क्षेत्रफळ हे आयत AHJK च्या क्षेत्रफळाइतके आहे हे सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करूया. हे करण्यासाठी, आम्ही एक सहायक निरीक्षण वापरू: दिलेल्या आयताप्रमाणे समान उंची आणि पाया असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ दिलेल्या आयताच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके आहे. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ पाया आणि उंचीचे अर्धे गुणाकार म्हणून परिभाषित करण्याचा हा परिणाम आहे. या निरीक्षणावरून असे दिसून येते की त्रिकोण ACK चे क्षेत्रफळ त्रिकोण AHK च्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीचे आहे (आकृतीमध्ये दाखवलेले नाही), जे यामधून आयताच्या AHJK च्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके आहे. आता आपण हे सिद्ध करूया की ACK त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ DECA वर्गाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके आहे. यासाठी फक्त एकच गोष्ट करावी लागेल ती म्हणजे त्रिकोण ACK आणि BDA ची समानता सिद्ध करणे (कारण BDA त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ वरील गुणधर्मानुसार चौरसाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके आहे). ही समानता स्पष्ट आहे: त्रिकोण दोन्ही बाजूंना समान आहेत आणि त्यांच्यामधील कोन आहेत. म्हणजे - AB=AK, AD=AC - CAK आणि BAD या कोनांची समानता गतीच्या पद्धतीद्वारे सिद्ध करणे सोपे आहे: आपण त्रिकोण CAK 90° घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरवतो, नंतर हे स्पष्ट आहे की दोन त्रिकोणांच्या संबंधित बाजू प्रश्न जुळेल (वर्गाच्या शिरोबिंदूवरील कोन 90° आहे या वस्तुस्थितीमुळे). वर्ग BCFG आणि आयत BHJI च्या क्षेत्रांच्या समानतेचे कारण पूर्णपणे सारखे आहे. अशा प्रकारे, कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रांनी बनलेले असते हे आम्ही सिद्ध केले. या पुराव्यामागील कल्पना वरील ॲनिमेशनद्वारे स्पष्ट होते. या पुराव्याला "पायथागोरियन पँट" असेही म्हणतात.

लिओनार्डो दा विंचीचा पुरावा पुराव्याचे मुख्य घटक म्हणजे सममिती आणि हालचाल. चला रेखांकनाचा विचार करूया, जसे की सममितीवरून पाहिले जाऊ शकते, विभाग चौरस दोन समान भागांमध्ये कापतो (कारण त्रिकोण समान आहेत). बिंदूभोवती 90-अंश घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरवून, आपण छायांकित आकृत्यांची समानता पाहतो आणि. आता हे स्पष्ट झाले आहे की आपण छायांकित केलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ लहान चौरसांच्या अर्ध्या भागाच्या (पायांवर बांधलेले) आणि मूळ त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके आहे. दुसरीकडे, ते मोठ्या चौरसाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाच्या (कर्णावर बांधलेले) तसेच मूळ त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीचे आहे. अशाप्रकारे, लहान चौरसांच्या क्षेत्रफळाची अर्धी बेरीज मोठ्या चौरसाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची असते आणि म्हणून पायावर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाची बेरीज पायावर बांधलेल्या चौरसाच्या क्षेत्रफळाइतकी असते. कर्ण

पायथागोरियन प्रमेयाचा अर्थ पायथागोरियन प्रमेय हे मुख्य आणि भूमितीचे सर्वात महत्त्वाचे प्रमेय आहे. भूमितीची बहुतेक प्रमेये त्यातून किंवा त्याच्या मदतीने काढता येतात या वस्तुस्थितीत त्याचे महत्त्व आहे.

आपण लक्ष दिल्याबद्दल धन्यवाद!