피타고라스의 정리 제시를 증명하는 흥미로운 방법. "피타고라스 정리를 증명하는 방법"주제 발표
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사모스의 피타고라스 피타고라스는 기원전 580년에 태어났습니다. 고대 그리스에서는 소아시아 해안의 에게해에 위치한 사모스 섬에 있었기 때문에 사모스의 피타고라스라고 불렸습니다. 부보다는 명성을 얻은 석공 가문. 어렸을 때부터 그는 남다른 능력을 보여주었고, 자라면서 청년의 불안한 상상력은 작은 섬에 갇히게 되었다.
피타고라스 피타고라스는 밀레토스 시로 이주하여 당시 80대였던 탈레스의 제자가 되었습니다. 현명한 과학자는 청년에게 한때 과학을 공부했던 이집트로 가라고 조언했습니다. 피타고라스 이전에 알려지지 않은 나라가 열렸습니다. 그는 자신의 고향 그리스에서 신이 사람의 형태이고 이집트 신이 반 인간, 반 동물의 형태라는 사실에 충격을 받았습니다. 지식은 사원에 집중되어 있어 접근이 제한되었습니다.
피타고라스는 수세기에 걸친 이집트 과학의 업적을 알게 되기까지 이집트 문화를 깊이 연구하는 데 수년이 걸렸습니다. 피타고라스는 이집트 성직자들의 과학을 이해한 후 집으로 돌아가 그곳에 자신의 학교를 세웠습니다. 자신의 지식을 사원 너머로 전파하고 싶지 않은 사제들은 그를 놓아주고 싶지 않았습니다. 그는 큰 어려움을 겪으면서 이 장애물을 극복했습니다.
그러나 집으로 가는 길에 피타고라스는 포로가 되어 바빌론에 갇히게 되었습니다. 바빌로니아 사람들은 똑똑한 사람들을 소중히 여겼기 때문에 그는 바빌로니아 현자들 사이에서 자신의 자리를 찾았습니다. 바빌로니아 과학은 이집트 과학보다 더 발전했습니다. 가장 눈에 띄는 성공은 대수학이었습니다. 피타고라스 바빌로니아인들은 계산할 때 위치 수 체계를 발명하고 사용했으며 선형, 2차 및 일부 유형의 3차 방정식을 풀 수 있었습니다. 피타고라스는 바빌론에서 약 10년 동안 살다가 40세에 고국으로 돌아왔습니다. 그러나 그는 사모스 섬에 오래 머물지 않았습니다. 당시 섬을 통치했던 폭군 폴리크라테스에 대한 항의의 표시로 그는 크로토네 시에 있는 남부 이탈리아의 그리스 식민지 중 하나에 정착했습니다.
그곳에서 피타고라스는 귀족 대표들로 구성된 비밀 청년 연맹을 조직했습니다. 그들은 오랜 시련 끝에 성대한 예식을 거쳐 이 연합에 받아들여졌습니다. 각 참가자는 자신의 재산을 포기하고 설립자의 가르침을 비밀로 유지하겠다고 맹세했습니다. 나중에 피타고라스학파라고 불렸던 이들은 수학과 철학, 자연과학을 공부했습니다. 학교에는 모든 수학 작품의 저자가 교사에게 귀속된다는 법령이 있었습니다. 피타고라스 동맹은 비밀이었습니다. 노조의 상징 또는 식별 표시는 다섯개 별인 오각형이었습니다. 오각형에는 악령으로부터 사람을 보호하는 능력이 할당되었습니다.
피타고라스학파는 산술과 기하학에서 많은 중요한 발견을 했습니다. 피타고라스 학생들의 영적, 도덕적 발달 외에도 신체적 발달에도 관심을 기울인 것으로 알려져 있습니다. 그 자신은 올림픽 게임에 참여하고 주먹 싸움에서 두 번 승리했을 뿐만 아니라 위대한 올림픽 선수들의 은하계를 훈련시켰습니다. 피타고라스 과학자는 자신이 만든 학교에 약 40년을 바쳤고, 한 버전에 따르면 80세였습니다. 피타고라스는 민중 봉기 당시 거리의 싸움에서 사망했습니다. 그의 죽음 이후 학생들은 많은 전설로 선생님의 이름을 둘러 쌌습니다.
바빌로니아 문헌에서는 피타고라스보다 1200년 앞서 발견됩니다. 분명히 그는 그 증거를 처음으로 찾은 사람이었습니다. 이와 관련하여 다음과 같은 항목이 작성되었습니다. "... 그는 직각 삼각형에서 빗변이 다리에 해당한다는 것을 발견했을 때 밀 반죽으로 만든 황소를 희생했습니다." 피타고라스 정리의 역사 피타고라스 정리의 역사는 흥미롭습니다. 이 정리는 피타고라스의 이름과 관련이 있지만 그보다 오래 전에 알려졌습니다.
정리 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다. 주어진: Δ ABC, C = 90° 증명: 증명: D cos B를 고려하여 다음을 얻습니다: (1)과 (2)를 더하면 다음을 얻습니다: cos B를 고려하여 다음을 얻습니다: 정점에서 높이 SD를 낮춥니다. 올바른 각도
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a2+b2=c2 c a b P
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피타고라스는 직각 삼각형의 이러한 속성을 발견하지 않았으며 아마도 그것을 일반화하고 증명하여 그것을 실천 분야에서 과학 분야로 옮긴 최초의 사람이었을 것입니다. 우리는 그가 어떻게 그랬는지 모릅니다. 피타고라스의 증명은 근본적인 것이 아니라 이등변 직각 삼각형으로 시작하여 여러 특정 유형의 삼각형에 대한 이 속성에 대한 확인, 테스트일 뿐이라고 가정합니다. 1.
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동일한 크기의 그림 개념을 사용한 증명입니다.
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정사각형의 면적에서 다리 a, b가 있는 직각 삼각형의 면적을 4배로 빼면 동일한 면적이 유지됩니다(예: c2 = a2 + b2). 그러나 이러한 추론이 속한 고대 힌두교인들은 일반적으로 그것을 적지 않고 그림과 함께 "보세요!"라는 한 단어만 첨부했습니다. 피타고라스도 같은 증거를 제시했을 가능성이 높습니다.
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추가 증거. 이러한 증명은 다리에 만들어진 정사각형을 빗변에 만들어진 정사각형을 추가할 수 있는 그림으로 분해하는 것에 기초합니다. 아인슈타인의 증명(그림 3)은 빗변 위에 만들어진 정사각형을 8개의 삼각형으로 분해하는 것에 기초합니다.
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그림에서. 그림 4는 중세 바그다드의 유클리드 원소 주석가인 알-나이리지야(al-Nayriziyah)의 분할을 이용한 피타고라스 정리의 증명을 보여줍니다. 이 분할에서는 빗변 위에 만들어진 정사각형이 삼각형 3개와 사변형 2개로 나누어집니다. 여기서 ABC는 직각 C를 갖는 직각삼각형입니다. DE = BF. 이 분할을 사용하여 정리를 증명하십시오. D E
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완료 방법에 따른 증거. 이 방법의 핵심은 다리에 만들어진 정사각형과 빗변에 만들어진 정사각형에 동일한 숫자를 추가하여 동일한 숫자를 얻는 것입니다.
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피타고라스 정리의 타당성은 육각형 AEDFPB와 ACBNMQ의 동일한 크기에서 비롯됩니다. 에프
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그림에서. 13 ABC – 직사각형, C – 직각, CM AB, b1 – 빗변에 다리 b를 투영한 것, a1 – 빗변에 다리 a를 투영한 것, h – 빗변에 그려진 삼각형의 고도. ABC는 ACM과 유사하므로 b2 = c*b1이 됩니다. (1) ABC가 BCM과 유사하다는 사실로부터 a2 = c*a1이 됩니다. (2) 항별로 등식 (1)과 (2)를 더하면 a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2를 얻습니다. 비
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그림 15에서는 세 개의 직각 삼각형이 사다리꼴을 형성합니다. 따라서 이 그림의 면적은 직사각형 사다리꼴의 면적 공식을 사용하거나 삼각형 세 개 면적의 합으로 구할 수 있습니다. 가필드의 증거.
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피타고라스의 전기. 위대한 과학자 피타고라스는 기원전 570년경에 태어났습니다. 사모스 섬에서. 피타고라스의 아버지는 보석 세공인 므네사르코스(Mnesarchus)였습니다. 피타고라스의 어머니의 이름은 알려져 있지 않습니다. 많은 고대 증언에 따르면, 태어난 소년은 엄청나게 잘생겼고, 곧 그의 비범한 능력을 보여주었다. 젊은 피타고라스의 교사 중에는 시로스의 장로 헤르모다만토스와 페레키데스가 있었습니다. 젊은 피타고라스는 시타라의 멜로디와 호머의 6보격을 들으며 헤르모 장로의 발치에서 하루 종일 보냈습니다. 피타고라스는 평생 동안 위대한 호머의 음악과 시에 대한 열정을 유지했습니다. 그리고 인정받는 현자로서 피타고라스는 많은 제자들에게 둘러싸여 호머의 노래 중 하나를 부르며 하루를 시작했습니다. 페레키데스는 철학자였으며 이탈리아 철학 학교의 창시자로 간주되었습니다. 그러나 그럴지라도 젊은 피타고라스의 불안한 상상력은 곧 작은 사모스에 갇히게되었고 그는 밀레투스로 가서 다른 과학자 인 탈레스를 만났습니다. 탈레스는 피타고라스가 그랬던 것처럼 지식을 얻기 위해 이집트로 가라고 그에게 조언합니다. 기원전 548년. 피타고라스는 사미안 식민지인 나우크라티스에 도착했는데, 그곳에는 피난처와 음식을 찾아줄 사람이 있었습니다.
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이집트인의 언어와 종교를 공부한 후 그는 멤피스로 떠납니다. 파라오의 추천서에도 불구하고 교활한 사제들은 서두르지 않고 피타고라스에게 비밀을 밝히고 그에게 어려운 시험을 제공했습니다. 그러나 지식에 대한 갈증으로 인해 피타고라스는 모든 것을 극복했지만 발굴에 따르면 이집트 사제들은 그에게 많은 것을 가르 칠 수 없었습니다. 그 당시 이집트 기하학은 순전히 응용 과학이었습니다 (토지 계산 및 측정에 대한 당시의 요구를 충족). 그러므로 그는 사제들이 그에게 준 모든 것을 배운 후 그들에게서 도망쳐 헬라스에있는 고향으로 이사했습니다. 그러나 여행의 일부를 마친 피타고라스는 육로 여행을 결정했고 그 동안 집으로 향하던 바빌론 왕 캄비세스에게 붙잡혔습니다. 바빌론에서의 피타고라스의 삶을 극화할 필요는 없습니다. 위대한 통치자 키루스는 모든 포로를 관대했습니다. 바빌로니아 수학은 의심할 여지 없이 이집트 수학보다 더 발전했으며(예: 미적분학의 위치 체계) 피타고라스는 배울 것이 많았습니다. 그러나 기원전 530년. 키루스는 중앙 아시아의 부족들을 상대로 캠페인을 벌였습니다. 그리고 도시의 소동을 이용하여 피타고라스는 고국으로 도망 쳤습니다.
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그리고 그 당시 사모스에서는 폭군 폴리크라테스가 통치했습니다. 물론 피타고라스는 궁정 노예의 삶에 만족하지 못하고 사모스 근처의 동굴로 은퇴했습니다. 폴리크라테스로부터 몇 달간의 주장 끝에 피타고라스는 크로톤으로 이사했습니다. 크로톤에서 피타고라스는 종교적 윤리적 형제단이나 비밀 수도원 조직(“피타고라스”)과 같은 조직을 설립했는데, 그 회원들은 소위 피타고라스 생활 방식을 이끌겠다고 맹세했습니다. 그것은 동시에 종교 연합이자 정치 동아리이자 과학 사회였습니다. 피타고라스가 설파한 원리 중 일부는 지금도 본받을 가치가 있다고 말해야 합니다. ...20년이 지났습니다. 형제애의 명성은 전 세계로 퍼졌습니다. 어느 날, 부자지만 사악한 사일런은 술에 취해 형제단에 합류하고 싶어 피타고라스에 찾아온다. 거절을받은 Cylon은 그의 집 방화를 이용하여 피타고라스와 싸우기 시작합니다. 화재가 발생하는 동안 피타고라스 사람들은 자신의 희생으로 교사의 생명을 구했고 그 후 피타고라스는 슬퍼지고 곧 자살했습니다.
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정리의 역사. 고대 중국 고대 중국부터 역사적 검토를 시작하겠습니다. 여기서는 수학책 추페이(Chu-pei)가 특별한 관심을 끈다. 이 에세이는 변 3, 4, 5가 있는 피타고라스 삼각형에 대해 이야기합니다. 고대 중국부터 시작해 보겠습니다. 여기서는 수학책 추페이(Chu-pei)가 특별한 관심을 끈다. 이 연구에서는 변이 3, 4, 5인 피타고라스 삼각형에 대해 다음과 같이 말합니다. “직각을 구성 요소로 분해하면 밑변이 3이고 높이가 다음과 같을 때 변의 끝을 연결하는 선은 5가 됩니다. 4.” 같은 책에서는 바샤라의 힌두 기하학 그림 중 하나와 일치하는 그림이 제안되었습니다. 같은 책에서는 바샤라의 힌두 기하학 그림 중 하나와 일치하는 그림이 제안되었습니다.
바빌로니아 사람들 사이에는 피타고라스의 정리에 대해 더 많은 것이 알려져 있습니다. 함무라비 시대, 즉 기원전 2000년으로 거슬러 올라가는 한 텍스트에서. 즉, 직각 삼각형의 빗변에 대한 대략적인 계산이 제공됩니다. 이것으로부터 우리는 메소포타미아에서는 적어도 어떤 경우에는 직각 삼각형을 사용하여 계산을 수행할 수 있었다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이집트인과 바빌로니아인처럼 힌두교인의 기하학은 숭배와 밀접하게 연관되어 있었습니다. 빗변의 제곱에 관한 정리는 기원전 18세기경 인도에서 이미 알려졌을 가능성이 매우 높습니다. 이자형. 고대 인도
칸토어(독일의 가장 위대한 수학 역사가)는 평등: 3² + 4² = 5²가 이미 기원전 2300년경 이집트인들에게 알려졌었다고 믿습니다. 즉, 아메넴하트 1세(베를린 박물관의 파피루스 6619에 따르면) 시대에 칸토어에 따르면 하프도냅테스, 즉 "로프 끌어당기는 사람"은 변의 3, 4, 5가 있는 직각 삼각형을 사용하여 직각을 만들었습니다. 구조는 매우 쉽게 재현될 수 있습니다. 길이 12m의 밧줄을 가져다가 한쪽 끝에서 3m, 다른 쪽 끝에서 4m 거리에 컬러 줄무늬를 묶습니다. 직각은 3미터와 4미터 길이의 변 사이에 둘러싸이게 됩니다.
한편으로는 이집트와 바빌로니아 수학에 대한 현재 지식 수준과 다른 한편으로는 그리스 자료에 대한 비판적 연구를 바탕으로 Van der Waerden(네덜란드 수학자)은 다음과 같은 결론을 내렸습니다. 탈레스, 피타고라스, 피타고라스학파와 같은 최초의 그리스 수학자들은 수학의 발견이 아니라 수학의 체계화와 정당화를 이루었습니다. 그들의 손에서는 모호한 아이디어에 기초한 계산 방법이 정확한 과학으로 바뀌었습니다."
위대한 과학자 피타고라스는 기원전 570년경에 태어났습니다. 사모스 섬에서. 피타고라스의 아버지는 보석 세공인 므네사르코스(Mnesarchus)였습니다. 피타고라스의 어머니의 이름은 알려져 있지 않습니다. 많은 고대 증언에 따르면, 태어난 소년은 엄청나게 잘생겼고, 곧 그의 비범한 능력을 보여주었다. 피타고라스는 평생 동안 위대한 호머의 음악과 시에 대한 열정을 유지했습니다. 곧 어린 피타고라스의 불안한 상상력은 작은 사모스에 갇히고 밀레토스로 가서 또 다른 과학자 탈레스를 만났습니다. 그러다가 그는 여행을 하다가 바빌로니아 왕 고레스에게 사로잡히게 됩니다. 기원전 530년. 키루스는 중앙 아시아의 부족들을 상대로 캠페인을 벌였습니다. 그리고 도시의 소동을 이용하여 피타고라스는 고국으로 도망 쳤습니다.
그리고 그 당시 사모스에서는 폭군 폴리크라테스가 통치했습니다. 폴리크라테스로부터 몇 달간의 주장 끝에 피타고라스는 크로톤으로 이사했습니다. 크로톤에서 피타고라스는 종교적 윤리적 형제단이나 비밀 수도원 조직(“피타고라스”) 같은 것을 설립했는데, 그 회원들은 소위 피타고라스 생활 방식을 이끌겠다고 맹세했습니다.... 20년이 지났습니다. 형제애의 명성은 전 세계로 퍼졌습니다. 어느 날, 부자지만 사악한 사일런은 술에 취해 형제단에 합류하고 싶어 피타고라스에 찾아온다. 거절을받은 Cylon은 그의 집 방화를 이용하여 피타고라스와 싸우기 시작합니다. 화재가 발생하는 동안 피타고라스 사람들은 자신의 희생으로 교사의 생명을 구했고 그 후 피타고라스는 슬퍼지고 곧 자살했습니다.
피타고라스의 정리. 직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다. 정리의 다른 공식. 유클리드의 정리는 다음과 같이 말합니다(문자 그대로 번역). "직각삼각형에서 직각을 이루는 변의 제곱은 직각을 둘러싸는 변의 제곱과 같습니다." Geometria Culmonensis(c. 1400)에서 정리의 번역은 다음과 같습니다. “정사각형의 긴 변을 따라 측정한 면적은 오른쪽에 인접한 두 변을 따라 측정한 두 정사각형의 면적만큼 큽니다. 각도."
가장 간단한 증거. 정리의 가장 간단한 증명은 이등변 직각 삼각형의 가장 간단한 경우에서 얻어집니다. 사실, 정리의 타당성을 확신하려면 이등변 직각삼각형의 모자이크를 보는 것만으로도 충분합니다. 예를 들어 삼각형 ABC의 경우 빗변 AC 위에 만들어진 정사각형에는 4개의 원래 삼각형이 포함되고 변에 만들어진 정사각형에는 2개가 포함됩니다.
빼기 방법으로 증명합니다. 뺄셈법을 이용한 또 다른 증명을 살펴보겠습니다. 피타고라스 정리의 친숙한 그림을 직사각형 프레임에 포함시켜 보겠습니다. 그 변의 방향은 삼각형의 다리 방향과 일치합니다. 그림에 표시된 대로 그림의 일부 세그먼트를 계속하고 직사각형은 여러 삼각형, 직사각형 및 정사각형으로 나뉩니다. 먼저 빗변 위에 만들어진 정사각형만 남도록 직사각형에서 여러 부분을 제거해 보겠습니다. 이 부분은 다음과 같습니다: 1. 삼각형 1, 2, 3, 4; 2. 직사각형 5; 3. 직사각형 6 및 정사각형 8; 4. 직사각형 7 및 정사각형 9;
그런 다음 측면에 만들어진 사각형만 남도록 직사각형의 부품을 버렸습니다. 이 부분은 다음과 같습니다: 1. 직사각형 6과 7; 2. 직사각형 5; 3. 직사각형 1(어두운 부분); 4. 직사각형 2(어두운 부분); 우리가 해야 할 일은 떼어낸 부분의 크기가 동일하다는 것을 보여주는 것뿐입니다. 그림의 배열로 인해 쉽게 볼 수 있습니다. 그림에서 다음이 분명합니다. 1. 직사각형 5의 크기는 그 자체와 동일합니다. 2. 네 개의 삼각형 1,2,3,4의 크기는 두 개의 직사각형 6 및 7과 같습니다. 3. 직사각형 6과 정사각형 8을 합치면 직사각형 1(어두운 부분)과 크기가 동일합니다. 4. 직사각형 7과 정사각형 9는 크기가 직사각형 2(어두운 부분)와 동일합니다. 정리가 입증되었습니다.
아인슈타인의 증명 점 E, C, F는 같은 선상에 있습니다. 이는 각도 ECF(펼쳐진 상태)의 각도 측정에 대한 간단한 계산에서 비롯됩니다. CD는 EF에 수직으로 그려집니다. 빗변 위에 만들어진 사각형의 왼쪽과 오른쪽은 EF와 교차할 때까지 위쪽으로 확장됩니다. 측면 EA는 CD와 교차할 때까지 확장됩니다. 따라서 동일한 삼각형은 동일한 번호로 매겨집니다.
실제로 삼각형 ABD와 BFC는 두 변이 동일하고 그 사이의 각도는 FB = AB, BC = BD이며, 그 사이의 각도는 서로 수직인 변이 있는 둔각과 같습니다. S ABD = 0.5 S BJLD, 삼각형 ABD와 직사각형 BJLD는 공통 밑면 BD와 공통 높이 LD를 갖기 때문입니다. 마찬가지로 S FBC=0.5 S ABFH(BF-공통 베이스, AB-공통 높이). 따라서 S ABD= S FBC를 고려하면 S BJLD= S ABFH가 됩니다. 마찬가지로, 삼각형 ВСК와 ACE의 동일성을 사용하여 세그먼트 AE를 그리면 S JCEL = S ACKG임을 증명할 수 있습니다. 따라서 S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED가 입증되어야 합니다. 이 증거는 유클리드(Euclid)의 원소론(Elements)에서 제시되었습니다. Proclus (Byzantium)에 따르면 Euclid 자신이 발명했습니다. 유클리드의 증명은 『원론』 제1권의 문장 47에 나와 있습니다. 직각삼각형 ABC의 빗변과 변에 대응하는 정사각형이 만들어지고 직사각형 BJLD는 정사각형 ABFH와 같고 직사각형 JCEL은 정사각형 AGKC와 같다는 것이 증명됩니다. 그러면 다리의 정사각형 면적의 합은 빗변의 정사각형 면적과 같습니다.
두 번째 미스터리는 유명한 사모스의 피타고라스 정리에 대한 증명의 수가 정확히 알려지지 않았다는 것입니다. 이러한 이유로 나는 사회학적 조사를 수행하기로 결정했습니다. 그 결과 대부분의 노년층이 250개의 증거가 존재한다는 데 동의하는 것으로 나타났습니다. 비록 추가 소스를 통해 이 정리에 대한 350개 이상의 증거가 있다는 것을 알고 있지만, 기네스북에도 오른 이유! 그러나 물론 이러한 증명에는 근본적으로 다른 아이디어가 상대적으로 거의 사용되지 않습니다.
세 번째 비밀은 피타고라스의 정리가 오늘날 수학의 상징이라는 것입니다. 네 번째 비밀인 피타고라스 정리는 우리에게 일반화를 위한 풍부한 자료를 제공합니다. 이는 가장 중요한 유형의 정신 활동이자 많은 과학자들이 능숙하게 사용하는 이론적 사고의 기초입니다. 여기서 우리는 피타고라스의 정리에서 다른 정리로 넘어갈 수 있다는 점을 추가할 수 있습니다.
다섯 번째 비밀은 일부 연구자들이 유클리드가 『원론』의 첫 번째 책에서 제시한 증거를 피타고라스의 탓으로 돌린다는 것입니다. 반면에 프로클로스(5세기 수학자)는 원소의 증명은 유클리드 자신의 것이라고 주장했습니다. 그러나 오늘날에도 피타고라스의 증명 방법은 아직 알려지지 않았습니다.
여섯 번째 비밀은 이 정리를 최초로 증명한 피타고라스 자신에 관한 전설입니다. 사모스의 피타고라스가 자신의 정리를 증명했을 때, 그는 황소 100마리를 제물로 바쳐 신들에게 감사를 표했다는 전설이 있습니다. 과학자의 최면 능력에 관한 전설도 있었습니다. 마치 그가 시선만으로 새의 비행 방향을 바꿀 수 있는 것처럼 말입니다. 그들은 또한 이 놀라운 남자가 여러 도시에서 동시에 목격되었으며 그 사이에 며칠 동안 여행했다고 말했습니다. 그리고 그는 아마도 미래를 예측했을 뿐만 아니라 필요한 경우 사건 과정에 개입하여 회전함으로써 "행운의 바퀴"를 소유했다고 추정됩니다.
개별 슬라이드별 프레젠테이션 설명:
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KazGASA Auelbekova G.U.의 Lyceum 교사. "피타고라스의 정리와 이를 증명하는 다양한 방법." 2016년
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목표: 주요 목표는 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법을 살펴보는 것입니다. 일반적으로 수학 분야에서 과학과 기술의 발전에 피타고라스의 정리가 어떤 의미를 갖는지 보여줍니다.
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피타고라스의 전기에서 현재 이 존경받는 고대 그리스인에 대해 대중이 알고 있는 가장 많은 정보는 "피타고라스의 바지는 모든 면에서 동일합니다."라는 한 문구에 들어있습니다. 이 애타게의 저자는 피타고라스와 수세기에 걸쳐 분명히 분리되어 있습니다. 그렇지 않으면 감히 애타게 할 수 없었을 것입니다. 피타고라스는 빗변의 제곱이 아니기 때문에 다리의 제곱의 합과 같습니다. 이것은 유명한 철학자입니다. 피타고라스는 기원전 6세기에 살았으며 아름다운 외모에 긴 수염을 기르고 머리에는 황금 왕관을 썼습니다. 피타고라스는 이름이 아니라 그리스 신탁처럼 항상 정확하고 설득력 있게 말했기 때문에 철학자가 받은 별명이다. (피타고라스 - "말로 설득력이 있음.") 그의 연설을 통해 그는 2,000명의 학생을 확보했으며, 이들은 가족과 함께 피타고라스의 법률과 규칙이 적용되는 학교 국가를 형성했습니다. 그는 자신의 직업에 처음으로 이름을 붙였습니다. "우주"라는 단어처럼 "철학자"라는 단어는 피타고라스에서 왔습니다. 그의 철학에는 우주적인 내용이 많이 담겨 있습니다. 그는 신, 인간, 자연을 이해하려면 기하학, 음악, 천문학을 포함한 대수학을 공부해야 한다고 주장했습니다. 그건 그렇고, 그리스어로 "수학"이라고 불리는 것은 피타고라스 지식 체계입니다. 빗변과 다리가 있는 악명 높은 삼각형의 경우, 위대한 그리스인에 따르면 이것은 기하학적 인물 이상입니다. 이것이 우리 삶의 모든 암호화된 현상의 "열쇠"입니다. 피타고라스는 자연의 모든 것이 세 부분으로 나누어져 있다고 말했습니다. 따라서 어떤 문제를 해결하기 전에 먼저 삼각형 도형으로 표현해야 합니다. "삼각형을 보세요. 그러면 문제의 3분의 2가 해결되었습니다."
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이제 피타고라스 정리에는 세 가지 공식이 있습니다. 1. 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다. 2. 직각삼각형의 빗변 위에 만들어진 정사각형의 넓이는 다리에 만들어진 정사각형의 넓이의 합과 같습니다. 3. 직각삼각형의 빗변으로 만든 정사각형은 다리로 만든 정사각형과 같습니다. 역 피타고라스 정리: a2 + b2 = c2인 양수 a, b, c의 모든 세 배에 대해 다리 a와 b, 빗변 c가 있는 직각삼각형이 존재합니다. 너
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정리의 역사에서 정리의 역사에서 엄밀히 말하면 그 정리를 '피타고라스의 정리'라고 부르지만 피타고라스 자신이 발견한 것은 아닙니다. 직각삼각형과 그 특별한 성질은 그보다 오래 전부터 연구되었습니다. 이 문제에 대해서는 두 가지 극단적인 관점이 있습니다. 한 버전에 따르면 피타고라스는 정리의 완전한 증거를 최초로 발견했습니다. 다른 사람에 따르면 그 증거는 피타고라스의 저자에 속하지 않습니다. 오늘날에는 더 이상 누가 옳고 그른지 확인할 수 없습니다. 알려진 것은 피타고라스의 증명이 존재했더라도 살아남지 못했다는 것입니다. 그러나 유클리드의 원소론에서 나온 유명한 증명은 피타고라스의 것이고 유클리드는 그것을 기록했을 뿐이라는 제안이 있습니다. 직각 삼각형에 관한 문제는 파라오 아메넴하트 1세(Pharaoh Amenemhat I) 시대의 이집트 자료, 함무라비 왕 통치 시대의 바빌로니아 점토판, 고대 인도 논문 "술바 경(Sulva Sutra)" 및 고대 중국 작품 "에서 발견되는 것으로 알려져 있습니다. 저우비수안진”. 보시다시피 피타고라스의 정리는 고대부터 수학자들의 마음을 사로 잡았습니다. 이는 오늘날 존재하는 약 500가지의 다양한 증거로 확인됩니다. 이것에 있어서는 다른 어떤 정리도 그것과 경쟁할 수 없습니다. 유명한 증명 저자들 중에는 레오나르도 다빈치와 20대 미국 대통령 제임스 가필드가 있습니다. 이 모든 것은 수학에 대한 이 정리의 극도의 중요성을 말해줍니다. 대부분의 기하학 정리는 이 정리에서 파생되거나 어떻게든 연결되어 있습니다. .
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공식화 그리스어, 라틴어 및 독일어에서 번역된 정리 설명 유클리드에서 이 정리는 다음과 같이 명시합니다(문자 그대로 번역). “직각삼각형에서 직각을 이루는 변의 제곱은 직각을 둘러싸는 변의 제곱과 같습니다 .” Gerhard of Clemons(12세기 초)가 작성한 아랍어 텍스트 Annairitsi(BC 900년경)의 라틴어 번역은 러시아어로 번역됩니다. “모든 직각삼각형에서 직각 위로 뻗어 있는 변에 형성된 정사각형은 다음과 같습니다. 직각을 둘러싸는 두 변에 형성된 두 정사각형의 합입니다." Geometria Culmonensis(c. 1400)에서 정리의 번역은 다음과 같습니다. “정사각형의 긴 변을 따라 측정한 면적은 오른쪽에 인접한 두 변을 따라 측정한 두 정사각형의 면적만큼 큽니다. 각도." F. I. Petrushevsky가 작성한 유클리드 요소의 첫 번째 러시아어 번역에서 피타고라스의 정리는 다음과 같이 명시됩니다. “직각 삼각형에서 직각 반대편 변의 제곱은 오른쪽 변의 제곱의 합과 같습니다. 각도."
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증명에 사용되는 구성은 다음과 같습니다. 직각을 갖는 직각삼각형, 다리 위의 정사각형, 빗변 위의 정사각형의 경우 고도와 이를 확장하는 광선이 구성되어 빗변 위의 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나눕니다. 그리고. 증명은 다리 위의 정사각형과 직사각형 면적의 동일성, 빗변과 정사각형을 구성하는 두 번째 직사각형의 면적, 그리고 다른 다리 위의 직사각형 면적의 동일성을 유사한 방식으로 확립하는 것을 목표로 합니다. 직사각형 면적의 동등성은 삼각형의 합동을 통해 확립되며 각 면적은 정사각형 면적의 절반과 같으며 따라서 다음 속성과 관련하여 면적 삼각형의 는 그림에 공통 변이 있고 공통 변에 대한 삼각형의 높이가 직사각형의 다른 변인 경우 직사각형 면적의 절반과 같습니다. 삼각형의 합동은 두 변(사각형의 변)과 그 사이의 각도(직각과 각도로 구성됨)의 동일성에서 따릅니다. 따라서 증거는 빗변 위의 정사각형 영역이 다음과 같이 구성된다는 것을 입증합니다. 는 직사각형의 개수이고, 는 다리 위의 정사각형 면적의 합과 같습니다. 단순 증명
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AJ는 빗변까지 낮아진 높이입니다. 그 연속이 빗변 위에 만들어진 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나누며, 그 면적은 측면에 만들어진 해당 정사각형의 면적과 동일하다는 것을 증명해 보겠습니다. 직사각형 BJLD의 크기가 정사각형 ABFH와 동일하다는 것을 증명해 보겠습니다. 삼각형 ABD=BFC(두 변과 그 사이의 각도 BF=AB; BC=BD; 각도 FBC=각 ABD).
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S 삼각형 ABD=1/2 S 직사각형 BJLD, 왜냐하면 삼각형 ABD와 직사각형 BJLD는 공통 베이스 BD와 공통 높이 LD를 갖습니다. 마찬가지로, S 삼각형 FBC=1/2 S 직사각형 ABFH(BF-공통 베이스, AB-공통 높이). 따라서 삼각형 ABD의 S = 삼각형 FBC의 S를 고려하면 S BJLD=S ABFH가 됩니다. 마찬가지로 삼각형 BCK와 ACE의 동일성을 사용하여 S JCEL=S ACKG임을 증명합니다. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. 삼각형 S=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD 정리가 입증되었습니다. A L B D
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인도 수학자 Bhaskari a in c in a - in in in c Bhaskari의 방법은 다음과 같습니다. 빗변(c ²) 위에 만들어진 사각형의 면적을 삼각형 면적의 합으로 표현합니다(4S = 4· 0.5 a b) 및 정사각형의 면적 (a – c) ². 즉, c ² = 4 · 0.5 a b + (a – c) ² c ² = 2 a b + a ² - 2 a b + b ² c ² = a ² + b ² 정리가 입증되었습니다.
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Waldheim의 증명 a b c a b c Waldheim은 직각 삼각형의 면적이 다리의 곱의 절반이고 사다리꼴의 면적은 평행 밑변과 높이의 합의 절반의 곱과 같다는 사실을 사용합니다. . 이제 정리를 증명하려면 사다리꼴의 면적을 두 가지 방법으로 표현하는 것만으로도 충분합니다. S 사다리꼴 = 0.5(a + b) (a + b) = 0.5 (a + b) ² S 사다리꼴 = 0.5 a b + 0, 5 a b + 0.5 c ² 우변을 동일시하면 0.5 (a + b) ² = 0.5 a b + 0.5 a b + 0.5 c ² (a + b) ² = a b + а в + с ² а ² + 2 а в + в ² = 2 а в + с ² с ² = а ² + в ² 정리가 입증되었습니다.
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호킨스의 증명 A B C A1 B1 a c D c a c 1. 그림과 같이 점 C의 중심을 중심으로 직사각형 ΔABC(직각 C)를 90° 회전시켜 위치 A1 B1 C를 취하도록 하겠습니다. 2. 빗변 B1 A1이 점 A1을 넘어 점 D에서 선 AB와 교차할 때까지 계속해 보겠습니다. 선분 B1 D의 높이는 ΔB1AB입니다(∟B1DA = 90°이므로). 3. 사각형 A1AB1B를 생각해 보세요. 한편으로는 SА1АВ1В = SАА1 + SСВВ1 =0.5в · в + 0.5а · а=0.5(а² + в²) 한편, SA1АВ1В = SA1ВВ1 + SАА1В1 = 0.5 s · ВД + 0.5 s · AD = = 0.5 · s ·(AD + VD) = 0.5 · s² 결과 표현식을 동일시하면 0.5 (a² + b²) = 0.5 c² a² + b² = c²를 얻습니다. 정리가 입증되었습니다.
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기하학적 증명. (호프만 방법) 직각 C를 갖는 삼각형 ABC를 작도합니다. BF=CB, BFCB를 작도합니다. BE=AB, BEAB를 작도합니다. AD=AC, ADAC를 작도합니다. 점 F, C, D는 같은 선에 속합니다.
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보시다시피, 사각형 ADFB와 ACBE의 크기는 동일합니다. ABF=ECB. 삼각형 ADF와 ACE는 크기가 동일합니다. 두 동일한 사변형에서 그들이 공유하는 삼각형 ABC를 빼면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 1/2a2+1/2b 2=1/2c 2 따라서: a2+ b 2 =c 2 정리가 입증되었습니다.
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대수적 증명(Möhlmann의 방법) 주어진 직사각형의 한쪽 면의 면적은 0.5ab이고 다른 쪽 면은 0.5pr입니다. 여기서 p는 삼각형의 반둘레이고, r은 내접원의 반경입니다(r=0.5 (a+b-c)). 에이씨
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0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) c2= a2+b2 정리가 증명되었습니다. 에이씨
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피타고라스 정리의 의미 피타고라스 정리는 당연히 수학의 주요 정리 중 하나입니다. 이 정리의 중요성은 이 정리의 도움으로 기하학의 대부분의 정리를 도출할 수 있다는 것입니다. 피타고라스의 정리는 인간 활동의 여러 분야에서 사용되기 때문에 현대 사회에서의 그 가치도 큽니다. 예를 들어 건물 지붕에 피뢰침을 배치하는 경우, 특정 건축 스타일의 창문을 제작하는 경우, 이동통신사의 안테나 높이를 계산하는 경우에도 사용됩니다. 그리고 이것은 이 정리의 실제 적용 전체 목록이 아닙니다. 그렇기 때문에 피타고라스의 정리를 알고 그 의미를 이해하는 것이 매우 중요합니다.
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문학에서의 피타고라스 정리. 피타고라스는 위대한 수학자일 뿐만 아니라 당대의 위대한 사상가이기도 합니다. 그의 철학적 진술 중 일부를 살펴보겠습니다...
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1. 지구상의 사람들 사이에는 생각이 무엇보다 중요합니다. 2. 곡물 저울 위에 앉지 마십시오(즉, 한가롭게 살지 마십시오). 3. 떠날 때 뒤를 돌아보지 마십시오(즉, 죽기 전에 삶에 집착하지 마십시오). 4. 다져진 길을 걷지 마십시오. 즉, 군중의 의견을 따르지 말고 이해하는 소수의 의견을 따르십시오. 5. 집에 제비를 두지 마십시오(즉, 말을 많이 하거나 언어를 제한하지 않는 손님을 맞이하지 마십시오). 6. 짐을 지는 사람들과 함께 있고, 짐을 버리는 사람들과 함께 있지 마십시오(즉, 사람들에게 게으름을 피우지 말고 미덕과 일을 하도록 격려하십시오). 7. 반지에 이미지를 착용하지 마십시오. 즉, 신에 대해 어떻게 판단하고 생각하는지 사람들 앞에서 과시하지 마십시오.
체르노프 맥심
"피타고라스 정리와 이를 증명하는 다양한 방법"이라는 주제로 프레젠테이션 형식으로 설계된 기하학 프로젝트입니다.
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피타고라스의 정리와 이를 증명하는 다양한 방법 완성자: Chernov Maxim 8A
프로젝트 목표: 피타고라스의 정리를 제시하고 이를 증명하는 다양한 방법을 제시합니다.
역사 고대 중국 책 Zhou Bi Xuan Jing은 변이 3, 4, 5인 피타고라스 삼각형에 대해 이야기합니다. 같은 책은 Bashara의 힌두 기하학 그림 중 하나와 일치하는 그림을 제공합니다. 모리츠 칸토어(독일의 선도적인 수학 역사가)는 평등 3² + 4² = 5²가 이미 기원전 2300년경, 아메넴하트 1세 왕 시대에 이집트인들에게 알려졌었다고 믿습니다(베를린 박물관의 파피루스 6619에 따르면). 칸토어에 따르면, 하프도나프테스 또는 "줄 당기는 사람"은 변의 길이가 3, 4, 5인 직각 삼각형을 사용하여 직각을 만들었습니다. 그들의 구성 방법은 매우 쉽게 재현할 수 있습니다. 길이 12m의 밧줄을 가져다가 한쪽 끝에서 3m, 다른 쪽 끝에서 4m 거리에 컬러 스트립을 묶습니다. 직각은 변 길이가 3~4m 사이입니다. 예를 들어 모든 목수가 사용하는 나무 사각형을 사용하면 그들의 건축 방법이 불필요해진다는 것이 Harpedonaptians에 반대 될 수 있습니다. 실제로, 목공 작업장을 묘사하는 그림과 같이 그러한 도구가 발견되는 이집트 그림이 알려져 있습니다. 바빌로니아 사람들 사이에는 피타고라스의 정리에 대해 더 많은 것이 알려져 있습니다. 함무라비 시대, 즉 기원전 2000년으로 거슬러 올라가는 한 텍스트는 이등변 직각 삼각형의 빗변에 대한 대략적인 계산을 제공합니다. 이것으로부터 우리는 메소포타미아에서는 적어도 어떤 경우에는 직각 삼각형을 사용하여 계산을 수행할 수 있었다는 결론을 내릴 수 있습니다. 한편으로는 이집트와 바빌로니아 수학에 대한 현재 지식 수준과 다른 한편으로는 그리스 자료에 대한 비판적 연구를 바탕으로 Van der Varden(네덜란드 수학자)은 정리가 다음과 같은 가능성이 높다고 결론지었습니다. 빗변의 제곱은 이미 기원전 18세기경 바빌론에서 알려졌습니다. 이자형. 유클리드에 대한 프로클루스의 논평에 따르면, 피타고라스(그의 연도는 일반적으로 기원전 570-490년으로 간주됨)는 피타고라스의 삼중항을 찾기 위해 대수적 방법을 사용했습니다. 그러나 프로클루스는 410년에서 485년 사이에 글을 썼습니다. N. 이자형. 토마스 리틀 히스(Thomas Little Heath)는 피타고라스가 죽은 후 5세기까지 거슬러 올라가서 피타고라스가 정리의 저자라는 명시적인 언급이 없다고 믿었습니다. 하지만 플루타르코스나 키케로 같은 작가들이 피타고라스의 정리에 관해 글을 쓸 때 마치 피타고라스의 저작자가 널리 알려져 있고 의심할 여지가 없는 것처럼 쓴다. 피타고라스 수학의 시대." 전설에 따르면 피타고라스는 자신의 정리를 발견한 것을 축하하기 위해 황소 백 마리를 도살하여 거대한 잔치를 벌였습니다. 기원전 400년경. BC, Proclus에 따르면 플라톤은 대수학과 기하학을 결합하여 피타고라스 삼중항을 찾는 방법을 제공했습니다. 기원전 300년경. 이자형. 피타고라스 정리의 가장 오래된 공리적 증거는 유클리드의 원소에 등장했습니다.
공식: 기하학적 공식: 처음에 정리는 다음과 같이 공식화되었습니다. 직각 삼각형에서 빗변에 만들어진 정사각형의 면적은 다리에 만들어진 정사각형 면적의 합과 같습니다. 대수 공식: 직각 삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다리 길이의 제곱의 합과 같습니다. 즉, 삼각형의 빗변의 길이를 a와 b로 표시하고 다리의 길이를 a와 b로 나타냅니다. a2+b2=c2 정리의 두 공식은 동일하지만 두 번째 공식은 더 기본적이므로 다음을 필요로 하지 않습니다. 면적의 개념. 즉, 두 번째 명제는 넓이에 대해 아무것도 모르고 직각삼각형의 변의 길이만 측정하면 검증할 수 있습니다.
증명 현재 이 정리에 대한 367개의 증명이 과학 문헌에 기록되어 있습니다. 아마도 피타고라스의 정리는 그토록 인상적인 수의 증명을 가진 유일한 정리일 것입니다. 그러한 다양성은 기하학 정리의 근본적인 중요성에 의해서만 설명될 수 있습니다. 물론 개념적으로는 모두 소수의 클래스로 나눌 수 있습니다. 그 중 가장 유명한 것은 면적법에 의한 증명, 공리적이고 이국적인 증명(예: 미분 방정식 사용)입니다.
유사삼각형을 통해 대수적 공식에 대한 다음 증명은 공리로부터 직접 구성된 증명 중 가장 간단한 것입니다. 특히 도형의 넓이 개념을 사용하지 않습니다. ABC를 직각 C를 갖는 직각삼각형이라고 하자. C에서 높이를 그리고 그 밑변을 H로 표시해 보겠습니다. 삼각형 ACH는 두 각도에서 삼각형 ABC와 유사합니다. 마찬가지로 삼각형 CBH는 ABC와 유사합니다. 표기법을 도입함으로써 우리는 동등한 것이 무엇인지 더함으로써 우리는 증명해야 할 것을 얻습니다.
면적법을 사용한 증명 다음 증명은 겉보기 단순함에도 불구하고 전혀 간단하지 않습니다. 모두 넓이의 성질을 이용하는데, 그 증명은 피타고라스 정리 자체의 증명보다 더 복잡합니다. 두 예각의 합은 90°이고 직선각은 180°이기 때문입니다. 전체 그림의 면적은 한편으로는 변(a + b)이 있는 정사각형의 면적과 같고, 다른 한편으로는 네 개의 삼각형의 면적과 내부 광장의 면적. Q.E.D. .
유클리드의 증명 유클리드의 증명 아이디어는 다음과 같습니다: 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적의 절반이 다리에 만들어진 정사각형의 절반 면적의 합과 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 큰 정사각형과 두 개의 작은 정사각형의 면적은 동일합니다. 왼쪽 그림을 볼까요? 그 위에 우리는 직각 삼각형의 변에 정사각형을 구성하고 빗변 AB에 수직인 직각 C의 꼭지점에서 광선 s를 그렸습니다. 빗변 위에 만들어진 정사각형 ABIK를 두 개의 직사각형(BHJI 및 HAKJ)으로 자릅니다. 각기. 이 직사각형의 면적은 해당 다리에 만들어진 정사각형의 면적과 정확히 동일하다는 것이 밝혀졌습니다. 정사각형 DECA의 면적이 직사각형 AHJK의 면적과 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 보조 관찰을 사용합니다. 주어진 직사각형과 높이와 밑변이 동일한 삼각형의 면적은 주어진 직사각형 면적의 절반과 같습니다. 이는 삼각형의 면적을 밑변과 높이의 곱의 절반으로 정의한 결과입니다. 이 관찰에 따르면 삼각형 ACK의 면적은 삼각형 AHK의 면적(그림에는 표시되지 않음)과 같고 이는 결국 직사각형 AHJK 면적의 절반과 같습니다. 이제 삼각형 ACK의 면적이 정사각형 DECA 면적의 절반과 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 수행해야 할 유일한 일은 삼각형 ACK와 BDA의 동등성을 증명하는 것입니다(삼각형 BDA의 면적은 위의 속성에 따라 정사각형 면적의 절반과 같기 때문입니다). 이 평등은 명백합니다. 삼각형은 양쪽이 동일하고 그 사이의 각도도 동일합니다. 즉 - AB=AK, AD=AC - CAK와 BAD 각도의 동일성은 운동 방법으로 쉽게 증명할 수 있습니다. 삼각형 CAK를 시계 반대 방향으로 90° 회전하면 두 삼각형의 해당 변이 다음과 같습니다. 질문은 일치합니다(정사각형 꼭지점의 각도가 90°이기 때문에). 정사각형 BCFG와 직사각형 BHJI의 면적이 동일하다는 이유는 완전히 유사합니다. 따라서 우리는 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적이 다리에 만들어진 정사각형의 면적으로 구성된다는 것을 증명했습니다. 이 증명의 배경이 되는 아이디어는 위의 애니메이션에서 더 자세히 설명됩니다. 이 증명은 '피타고라스 바지'라고도 불립니다.
레오나르도 다빈치의 증명 증명의 주요 요소는 대칭성과 움직임입니다. 대칭에서 볼 수 있듯이 그림을 고려해 보겠습니다. 세그먼트는 사각형을 두 개의 동일한 부분으로 자릅니다(삼각형의 구성이 동일하기 때문에). 점을 중심으로 시계 반대 방향으로 90도 회전을 사용하면 음영 처리된 그림이 동일함을 알 수 있습니다. 이제 우리가 음영 처리한 그림의 면적은 작은 사각형(다리에 만들어진) 면적의 절반과 원래 삼각형 면적의 합과 같다는 것이 분명합니다. 반면에 빗변 위에 만들어진 큰 정사각형의 면적에 원래 삼각형의 면적을 더한 값의 절반과 같습니다. 따라서 작은 정사각형 면적의 합 절반은 큰 정사각형 면적의 절반과 같으므로 다리에 쌓인 정사각형 면적의 합은 다리에 쌓인 정사각형 면적과 같습니다. 빗변.
피타고라스 정리의 의미 피타고라스 정리는 기하학의 주요 정리 중 하나이며 가장 중요한 정리라고 말할 수 있습니다. 그 중요성은 대부분의 기하학 정리가 그것으로부터 또는 그것의 도움으로 추론될 수 있다는 사실에 있습니다.
관심을 가져주셔서 감사합니다!
