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4차원 정육면체를 그리는 프로그램입니다. 일반적인 테서랙트와 n차원 큐브 4차원 큐브 회전

어벤져스 영화의 팬이라면, '테서렉트'라는 단어를 들으면 가장 먼저 떠오르는 것은 무한한 힘을 담고 있는 투명한 큐브 모양의 인피니티 스톤 용기일 것입니다.

Marvel Universe의 팬들에게 Tesseract는 지구뿐만 아니라 다른 행성의 사람들도 미치게 만드는 빛나는 파란색 큐브입니다. 이것이 바로 테서렉트의 극도로 파괴적인 힘으로부터 지구인들을 보호하기 위해 모든 어벤저스가 모인 이유입니다.

그러나 이것은 말해야 합니다: Tesseract는 실제 기하학적 개념, 더 구체적으로 4D에 존재하는 모양입니다. 그냥 어벤저스에 나오는 블루큐브가 아니라... 실제 컨셉이에요.

테서랙트는 4차원 물체이다. 하지만 자세히 설명하기 전에 처음부터 시작해 보겠습니다.

"측정"이란 무엇입니까?

공간에 있는 2차원 또는 3차원 물체를 각각 나타내는 2D와 3D라는 용어는 누구나 들어본 적이 있을 것입니다. 그런데 이 측정값은 무엇입니까?

차원은 단순히 당신이 갈 수 있는 방향이다. 예를 들어, 종이에 선을 그리는 경우 왼쪽/오른쪽(x축) 또는 위/아래(y축)로 이동할 수 있습니다. 그래서 우리는 두 방향으로만 갈 수 있기 때문에 종이가 2차원이라고 말합니다.

3D에는 깊이감이 있습니다.

이제 현실 세계에서는 위에서 언급한 두 방향(왼쪽/오른쪽 및 위/아래) 외에도 "to/from"으로 이동할 수도 있습니다. 결과적으로 3D 공간에 깊이감이 더해집니다. 이것이 바로 우리가 실제 생활이 3차원이라고 말하는 이유입니다.

점은 어떤 방향으로도 움직이지 않기 때문에 0차원을 나타낼 수 있고, 선은 1차원(길이)을 나타내고, 정사각형은 2차원(길이와 너비)을 나타내고, 큐브는 3차원(길이, 너비, 높이)을 나타냅니다. ).

3D 큐브를 가져와 각 면(현재 정사각형)을 큐브로 바꿉니다. 그래서! 당신이 얻는 모양은 정팔포체입니다.

정팔포체란 무엇입니까?

쉽게 말하면 정팔포체는 4차원 공간의 정육면체입니다. 큐브의 4D 아날로그라고 말할 수도 있습니다. 이것은 각 면이 정육면체인 4D 모양입니다.

두 개의 직교 평면을 중심으로 이중 회전을 수행하는 정팔면체의 3D 투영입니다.
이미지: 제이슨 하이세

차원을 개념화하는 간단한 방법은 다음과 같습니다. 정사각형은 2차원입니다. 따라서 각 모서리에는 서로 90도 각도로 연장되는 2개의 선이 있습니다. 큐브는 3D이므로 각 모서리에는 3개의 선이 있습니다. 마찬가지로 정팔포체는 4D 모양이므로 각 모서리에는 4개의 선이 연장되어 있습니다.

정팔포체를 상상하기 어려운 이유는 무엇입니까?

인간으로서 우리는 물체를 3차원으로 시각화하도록 진화했기 때문에 4D, 5D, 6D 등과 같은 추가 차원으로 들어가는 모든 것은 전혀 소개할 수 없기 때문에 우리에게 별 의미가 없습니다. 우리의 뇌는 우주의 4차원을 이해하지 못합니다. 우리는 그것에 대해 생각할 수 없습니다.

그러나 다차원 공간의 개념을 시각화할 수 없다고 해서 그것이 존재할 수 없다는 의미는 아닙니다.

수학적으로 정팔포체는 완벽하게 정확한 모양입니다. 마찬가지로 더 높은 차원, 즉 5D 및 6D의 모든 형태도 수학적으로 그럴듯합니다.

2차원 공간에서 큐브가 6개의 정사각형으로 확장될 수 있는 것처럼, 정팔포체는 3차원 공간에서 8개의 큐브로 확장될 수 있습니다.

놀랍고 이해할 수 없는 일이지 않습니까?

따라서 정팔포체는 어벤져스 영화에서 다투는 반짝이는 파란색 큐브뿐만 아니라 절대적으로 수학적으로 그럴듯한 "실제 개념"입니다.

하이퍼큐브와 플라톤 입체

"벡터" 시스템에서 잘린 정이십면체("축구공") 모델링
각 오각형은 육각형으로 둘러싸여 있습니다.

잘린 정이십면체 12개의 꼭지점을 잘라내어 정오각형 형태의 면을 형성하면 얻을 수 있습니다. 이 경우 새로운 다면체의 꼭짓점 개수는 5배(12×5=60) 증가하고, 20개의 삼각형 면이 정육각형으로 변한다(합계) 얼굴은 20+12=32가 됩니다.), ㅏ 모서리 수는 30+12×5=90으로 증가합니다..

벡터 시스템에서 잘린 정이십면체를 구성하는 단계

4차원 공간의 인물.

--à

--à ?

예를 들어 큐브와 하이퍼큐브가 있다고 가정하겠습니다. 하이퍼큐브에는 24개의 면이 있습니다. 이는 4차원 팔면체가 24개의 꼭지점을 갖는다는 것을 의미합니다. 아니요, 하이퍼큐브에는 8개의 큐브 면이 있습니다. 각각의 꼭지점에는 중심이 있습니다. 이는 4차원 팔면체가 8개의 꼭지점을 가지며 이는 훨씬 더 가볍다는 것을 의미합니다.

4차원 팔면체. 8개의 정사면체와 동일한 사면체로 구성되어 있으며,
각 꼭지점에 4개씩 연결됩니다.

쌀. 시뮬레이션 시도
벡터 시스템의 초구체-초구체

전면-뒷면-왜곡 없는 볼. 또 다른 6개의 볼은 타원체 또는 2차 표면(생성기로 4개의 등고선을 통해) 또는 통과 면(생성기를 통해 처음 정의됨)을 통해 정의될 수 있습니다.

하이퍼스피어를 "구축"하는 추가 기술
- 4차원 공간의 동일한 "축구공"

부록 2

볼록 다면체의 경우 꼭지점, 모서리 및 면의 수와 관련이 있는 속성이 있습니다. 이는 1752년 Leonhard Euler에 의해 입증되었으며 오일러의 정리라고 합니다.

그것을 공식화하기 전에 우리에게 알려진 다면체를 고려하고 다음 표를 작성하십시오. 여기서 B는 주어진 다면체의 꼭지점 수, P-모서리 및 G-면입니다.

다면체 이름
삼각뿔
사각뿔
삼각 프리즘
사각 프리즘
N-석탄 피라미드	N+1	2N	N+1
N-탄소 프리즘	2N	3N	n+2
N-잘린 석탄 피라미드	2N	3N	n+2

이 표에서 선택한 모든 다면체에 대해 B - P + G = 2의 동등성이 유지된다는 것이 즉시 분명해집니다. 이 동등성은 이러한 다면체뿐만 아니라 임의의 볼록 다면체에도 유효하다는 것이 밝혀졌습니다.

오일러의 정리. 모든 볼록 다면체에 대해 등식은 성립합니다.

B - P + G = 2,

여기서 B는 꼭지점의 수, P는 모서리의 수, G는 주어진 다면체의 면의 수입니다.

증거.이러한 동등성을 증명하기 위해 탄성 재료로 만들어진 이 다면체의 표면을 상상해 보십시오. 면 중 하나를 제거(잘라내기)하고 나머지 표면을 평면으로 늘려 보겠습니다. 우리는 더 작은 다각형(다면체의 나머지 면으로 형성된)으로 분할된 다각형(다면체의 제거된 면의 가장자리로 형성됨)을 얻습니다.

측면에 틈이 없는 한 다각형은 변형, 확대, 축소되거나 측면이 구부러질 수도 있습니다. 꼭지점, 모서리 및 면의 수는 변경되지 않습니다.

다각형을 더 작은 다각형으로 분할한 결과가 등식을 충족한다는 것을 증명해 보겠습니다.

(*)B - P + G " = 1,

여기서 B는 정점의 총 개수이고, P는 모서리의 총 개수이고 Г"는 분할에 포함된 다각형의 개수입니다. Г" = Г - 1이라는 것이 분명합니다. 여기서 Г는 주어진 면의 개수입니다. 다면체.

주어진 파티션의 일부 다각형에 대각선을 그리면 동등성(*)이 변하지 않음을 증명해 보겠습니다(그림 5, a). 실제로 이러한 대각선을 그린 후 새 파티션에는 B 꼭지점, P+1 모서리가 있고 다각형 수가 1씩 증가합니다. 그러므로 우리는

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

이 속성을 사용하여 들어오는 다각형을 삼각형으로 분할하는 대각선을 그리고 결과 분할에 대해 동등성의 타당성(*)을 표시합니다(그림 5, b). 이를 위해 외부 가장자리를 순차적으로 제거하여 삼각형 수를 줄입니다. 이 경우 두 가지 경우가 가능합니다.

a) 삼각형을 제거하려면 알파벳우리의 경우에는 갈비뼈 두 개를 제거해야 합니다. AB그리고 기원전;

b) 삼각형을 제거하려면MKN우리의 경우에는 가장자리 하나를 제거해야 합니다.미네소타.

두 경우 모두 동등(*)은 변경되지 않습니다. 예를 들어 첫 번째 경우 삼각형을 제거한 후 그래프는 B - 1개의 정점, P - 2개의 모서리 및 G " - 1개의 다각형으로 구성됩니다.

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

두 번째 경우를 직접 생각해 보십시오.

따라서 하나의 삼각형을 제거해도 동등성(*)은 변경되지 않습니다. 이러한 삼각형 제거 과정을 계속하면 결국 하나의 삼각형으로 구성된 파티션에 도달하게 됩니다. 이러한 분할의 경우 B = 3, P = 3, Г " = 1이므로 B – Р + Г " = 1입니다. 이는 원래 분할에도 동등(*)이 적용됨을 의미하며, 여기서 최종적으로 다음을 얻습니다. 이 분할의 경우 다각형 동등성(*)이 true입니다. 따라서 원래의 볼록 다면체의 경우 등식 B - P + G = 2가 참입니다.

오일러의 관계가 성립하지 않는 다면체의 예는 다음과 같습니다.그림 6에 나와 있습니다. 이 다면체에는 16개의 꼭지점, 32개의 모서리, 16개의 면이 있습니다. 따라서 이 다면체에 대해 등식 B – P + G = 0이 유지됩니다.

부록 3.

필름 큐브 2: 하이퍼큐브(Film Cube 2: Hypercube)는 영화 큐브의 속편인 SF 영화입니다.

8명의 낯선 사람들이 큐브 모양의 방에서 깨어난다. 객실은 4차원 하이퍼큐브 내부에 위치해 있습니다. 방은 '양자 순간이동'을 통해 끊임없이 움직이며, 다음 방으로 올라가면 이전 방으로 돌아갈 가능성이 거의 없습니다. 하이퍼큐브에서는 평행세계가 교차하고, 어떤 방에서는 시간이 다르게 흐르고, 어떤 방은 죽음의 함정이 됩니다.

영화의 줄거리는 첫 번째 부분의 이야기를 대부분 반복하며 이는 일부 캐릭터의 이미지에도 반영됩니다. 하이퍼큐브의 정확한 파괴 시간을 계산한 노벨상 수상자 Rosenzweig는 하이퍼큐브의 방에서 사망합니다..

비판

첫 번째 부분에서 미궁에 갇힌 사람들이 서로를 도우려고 노력했다면, 이 영화에서는 모든 사람이 자신을 위해 나선다. 영화의 이 부분을 이전 부분과 논리적으로 연결하지 않는 불필요한 특수 효과(일명 트랩)가 많이 있습니다. 즉, 영화 큐브 2는 2020-2030년 미래의 일종의 미로이지만 2000년은 아닌 것으로 밝혀졌습니다. 첫 번째 부분에서는 이론적으로 사람이 모든 유형의 함정을 만들 수 있습니다. 두 번째 부분에서 이러한 트랩은 소위 "가상 현실"이라는 일종의 컴퓨터 프로그램입니다.

포인트(±1, ±1, ±1, ±1). 즉, 다음과 같은 집합으로 표현될 수 있습니다.

정팔포체는 8개의 초평면으로 제한되며, 정팔포체 자체와의 교차점은 3차원 면(일반 큐브)을 정의합니다. 평행하지 않은 3D 면의 각 쌍은 교차하여 2D 면(사각형)을 형성합니다. 마지막으로 정팔각형에는 8개의 3D 면, 24개의 2D 면, 32개의 모서리 및 16개의 꼭지점이 있습니다.

예상

2차원 공간으로

이 구조는 상상하기 어렵지만 정팔포체를 2차원이나 3차원 공간에 투영하는 것은 가능하다. 또한 평면에 투영하면 하이퍼큐브의 꼭지점 위치를 쉽게 이해할 수 있습니다. 이러한 방식으로, 다음 예와 같이 정팔포체 내의 공간적 관계를 더 이상 반영하지 않지만 정점 연결 구조를 나타내는 이미지를 얻을 수 있습니다.

세 번째 그림은 구성점을 기준으로 등거리 변환의 정팔면체를 보여줍니다. 이 표현은 병렬 컴퓨팅에서 여러 프로세서를 연결하기 위해 토폴로지 네트워크의 기초로 정팔각형을 사용할 때 유용합니다.

3차원 공간으로

3차원 공간에 대한 정팔각형 투영 중 하나는 두 개의 중첩된 3차원 큐브를 나타내며 해당 정점은 세그먼트로 연결됩니다. 3차원 공간에서는 내부 큐브와 외부 큐브의 크기가 다르지만 4차원 공간에서는 동일한 큐브입니다. 모든 테서랙트 큐브의 동등성을 이해하기 위해 회전하는 테서랙트 모델이 만들어졌습니다.

정팔포체의 가장자리를 따라 있는 6개의 잘린 피라미드는 6개의 동일한 큐브 이미지입니다. 그러나 이러한 큐브는 정사각형(면)이 큐브에 해당하는 것처럼 정팔면체에 해당됩니다. 그러나 실제로 정육면체는 무한한 수의 정사각형으로 분할될 수 있는 것처럼, 정육면체는 무한한 수의 정사각형으로 분할될 수 있고, 정사각형은 무한한 수의 세그먼트로 분할될 수 있습니다.

3차원 공간에 대한 정팔각형의 또 다른 흥미로운 투영은 마름모의 큰 각도에서 반대쪽 꼭지점 쌍을 연결하는 4개의 대각선을 가진 마름모 십이면체입니다. 이 경우 정팔각형의 꼭지점 16개 중 14개가 마름모십이면체의 꼭지점 14개에 투영되고, 나머지 2개의 투영은 중심에서 일치합니다. 3차원 공간에 대한 이러한 투영에서는 모든 1차원, 2차원 및 3차원 측면의 동등성과 평행성이 보존됩니다.

스테레오 쌍

정팔포체의 스테레오 쌍은 3차원 공간에 대한 두 개의 투영으로 묘사됩니다. 이 정팔포체 이미지는 깊이를 4차원으로 표현하기 위해 디자인되었습니다. 각 눈이 이러한 이미지 중 하나만 볼 수 있도록 스테레오 쌍을 보면 정팔포체의 깊이를 재현하는 입체 그림이 나타납니다.

테서랙트 풀기

정팔포체의 표면은 8개의 정육면체로 펼칠 수 있습니다(정육면체의 표면이 6개의 정사각형으로 펼쳐지는 것과 비슷합니다). 261가지의 서로 다른 정팔포체 디자인이 있습니다. 정팔포체의 전개는 연결된 각도를 그래프에 그려서 계산할 수 있습니다.

예술 속의 테서렉트

Edwina A.의 "New Abbott Plain"에서 하이퍼큐브는 내레이터 역할을 합니다.
The Adventures of Jimmy Neutron의 한 에피소드에서 "천재 소년" Jimmy는 Robert Heinlein의 소설 Glory Road(1963)에 나오는 접이식 상자와 동일한 4차원 하이퍼큐브를 발명합니다.
로버트 E. 하인라인(Robert E. Heinlein)은 적어도 세 편의 SF 소설에서 하이퍼큐브를 언급했습니다. "4차원의 집"("청록색이 지은 집")에서 그는 포장되지 않은 정팔포체로 지어진 집이 지진으로 인해 4차원에서 "접혀" "진짜" 정팔포체로 변한 집을 묘사했습니다. .
Heinlein의 소설 Glory Road는 외부보다 내부가 더 큰 초대형 상자를 묘사합니다.
Henry Kuttner의 이야기 "All Tenali Borogov"는 구조가 정팔포체와 유사한 먼 미래의 어린이를 위한 교육 장난감을 설명합니다.
알렉스 갈랜드(Alex Garland)의 소설에서는 하이퍼큐브 자체가 아닌 4차원 하이퍼큐브를 3차원으로 펼치는 것을 '테서렉트'라는 용어가 사용한다. 이는 인지 시스템이 알 수 있는 것보다 더 넓어야 함을 보여주기 위해 고안된 은유입니다.
Cube 2: Hypercube의 줄거리는 "하이퍼큐브", 즉 연결된 큐브 네트워크에 갇힌 8명의 낯선 사람을 중심으로 합니다.
TV 시리즈 안드로메다에서는 테서랙트 생성기를 플롯 장치로 사용합니다. 그들은 주로 공간과 시간을 조작하도록 설계되었습니다.
살바도르 달리()의 “십자가형”(Corpus Hypercubus) 그림.
Nextwave 만화책은 5개의 정팔면체 구역을 포함하는 차량을 묘사합니다.
Voivod Nothingface 앨범의 작곡 중 하나는 "In my hypercube"입니다.
앤서니 피어스(Anthony Pearce)의 소설 루트 큐브(Route Cube)에서는 국제개발협회(International Development Association)의 궤도를 도는 위성 중 하나가 정팔포체라고 불리며 3차원으로 압축되었습니다.
세 번째 시즌의 "Black Hole School" 시리즈에는 "Tesseract"에피소드가 있습니다. 루카스가 비밀 버튼을 누르면 학교가 "수학적 정육면체처럼 모양을 갖추기" 시작합니다.
"tesseract"라는 용어와 그 파생어인 "tesseract"는 Madeleine L'Engle의 이야기 "시간의 주름"에서 찾을 수 있습니다.
TesseracT는 영국의 djent 밴드 이름입니다.
Marvel Cinematic Universe 영화 시리즈에서 Tesseract는 핵심 플롯 요소이자 하이퍼큐브 모양의 우주 인공물입니다.
로버트 셰클리(Robert Sheckley)의 이야기 “미스 마우스와 4차원(Miss Mouse and the Fourth Dimension)”에서 저자와 친분을 맺고 있는 난해한 작가는 자신이 설계한 장치인 다리에 막대가 박혀 있는 공을 몇 시간 동안 쳐다보며 정육면체를 보려고 합니다. 어떤 큐브가 마운트되고 모든 종류의 난해한 기호로 붙여 넣어집니다. 이야기는 Hinton의 작업을 언급합니다.
영화 '퍼스트 어벤저', '어벤저스'에서. 테서렉트 - 우주 전체의 에너지

다른 이름들

16진수 16진수)
옥토코론(영어) 옥타코론)
테트라큐브
4큐브
하이퍼큐브(차원수가 지정되지 않은 경우)

노트

문학

찰스 H. 힌튼. 4차원, 1904. ISBN 0-405-07953-2
마틴 가드너, 수학 카니발, 1977. ISBN 0-394-72349-X
이안 스튜어트(Ian Stewart), 현대 수학의 개념, 1995. ISBN 0-486-28424-7

연결

러시아어로

Transformator4D 프로그램. 4차원 물체(하이퍼큐브 포함)의 3차원 투영 모델 형성.
C++의 소스 코드를 사용하여 정팔포체의 구성과 모든 아핀 변환을 구현하는 프로그램입니다.

영어로

Mushware Limited - tesseract 출력 프로그램( 테서랙트 트레이너, GPLv2와 호환되는 라이센스) 및 4차원 공간의 1인칭 슈팅 게임( 아다낙시스; 그래픽은 주로 3차원적입니다. OS 저장소에 GPL 버전이 있습니다.)

다면체

옳은
(플라톤 고체)

별상십이면체 별상이십이면체 별상이십이면체 별상 다면체 별상 정팔면체

볼록한

아르키메데스 고체	입방팔면체 이십이십이면체 잘린 사면체 잘린 정팔면체 잘린 정십이면체 잘린 정육면체 잘린 정십이면체 마름모육팔면체 마름모십이십이면체 마름모 잘린 육팔면체 마름모 잘린 정이십이면체 스너브 큐브 스너브 정십이면체 잘린 육팔면체 잘린 정육면체 시도십이면체 정다각형 엇각기둥
카탈로니아 시체	마름모십이면체 마름모십이면체 삼원정사면체 사십이면체 오각형십이십면체 삼키십이면체 삼십이십면체 삼각십이십면체 삼각십육십이면체 오각형 이십사면체 오각형 육십이면체 디스다키십이면체 디다키스트리아이면체
완전한 공간 대칭 없이	피라미드 프리즘 쌍각기둥 엇각기둥 조오면체 평행육면체 마름모꼴 프리즘형 잘린 피라미드
오각형십이면체 평행면체

방식,
정리,
이론

다른

테서랙트는 4차원 하이퍼큐브, 즉 4차원 공간의 큐브입니다.
옥스퍼드 사전에 따르면 테서랙트(tesseract)라는 단어는 1888년 Charles Howard Hinton(1853-1907)이 그의 저서 A New Age of Thought에서 만들어 사용했습니다. 나중에 어떤 사람들은 같은 그림을 4차원 큐브인 테트라큐브(그리스어 τετρα - 4)라고 불렀습니다.
유클리드 4차원 공간의 일반적인 정팔포체는 점(±1, ±1, ±1, ±1)의 볼록 껍질로 정의됩니다. 즉, 다음과 같은 집합으로 표현될 수 있습니다.
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = 정팔포체는 8개의 초평면으로 제한됩니다. x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , 교차점 정팔포체 자체를 사용하여 3D 면(일반 큐브)을 정의합니다. 평행하지 않은 3D 면의 각 쌍은 교차하여 2D 면(사각형) 등을 형성합니다. 마지막으로 정팔포체에는 8개의 3D 면, 24개의 2D 면, 32개의 모서리 및 16개의 3D 면이 있습니다. 정점.
인기 있는 설명
3차원 공간을 떠나지 않고 하이퍼큐브가 어떤 모습일지 상상해 봅시다.
1차원 "공간"(선 위)에서 길이 L의 세그먼트 AB를 선택합니다. AB에서 L 거리에 있는 2차원 평면에서 평행한 세그먼트 DC를 그리고 그 끝을 연결합니다. 결과는 정사각형 CDBA입니다. 평면에 대해 이 작업을 반복하면 3차원 큐브 CDBAGHFE를 얻을 수 있습니다. 그리고 4차원(처음 3차원에 수직)의 큐브를 거리 L만큼 이동하여 하이퍼큐브 CDBAGHFEKLJIOPNM을 얻습니다.
1차원 세그먼트 AB는 2차원 정사각형 CDBA의 측면 역할을 하고, 정사각형은 큐브 CDBAGHFE의 측면 역할을 하며, 이는 차례로 4차원 하이퍼큐브의 측면이 됩니다. 직선 부분에는 경계점이 2개 있고, 정사각형에는 꼭지점이 4개 있고, 정육면체에는 8개가 있습니다. 따라서 4차원 하이퍼큐브에는 16개의 꼭지점이 있습니다. 원래 큐브의 꼭지점 8개와 4차원에서 이동된 꼭지점 8개입니다. 여기에는 32개의 모서리가 있습니다. 각각 12개는 원래 큐브의 초기 및 최종 위치를 제공하고 또 다른 8개의 모서리는 4차원으로 이동한 8개의 꼭지점을 "그립니다". 하이퍼큐브의 면에 대해서도 동일한 추론을 할 수 있습니다. 2차원 공간에는 단 하나(정사각형 자체)만 있고, 큐브에는 6개가 있습니다(이동한 정사각형의 면 2개와 측면을 설명하는 4개가 더 있음). 4차원 하이퍼큐브에는 24개의 정사각형 면이 있습니다. 즉 두 위치에 원래 큐브의 12개 정사각형이 있고 12개 모서리에서 12개 정사각형이 있습니다.
정사각형의 변이 4개의 1차원 부분이고, 정육면체의 변(면)이 6개의 2차원 정사각형인 것처럼, "4차원 정육면체"(정사각형)의 경우 변은 8개의 3차원 정육면체입니다. . 정팔각형 큐브의 반대 쌍의 공간(즉, 이러한 큐브가 속하는 3차원 공간)은 평행합니다. 그림에는 CDBAGHFE 및 KLJIOPNM, CDBAKLJI 및 GHFEOPNM, EFBAMNJI 및 GHDCOPLK, CKIAGOME 및 DLJBHPNF 큐브가 있습니다.
비슷한 방식으로 우리는 더 많은 차원의 하이퍼큐브에 대한 추론을 계속할 수 있지만, 4차원 하이퍼큐브가 3차원 공간에 거주하는 우리를 어떻게 찾을지 보는 것이 훨씬 더 흥미롭습니다. 이를 위해 우리는 이미 친숙한 비유 방법을 사용할 것입니다.
와이어 큐브 ABCDHEFG를 가져와 가장자리 측면에서 한쪽 눈으로 살펴 보겠습니다. 우리는 4개의 선(측면 가장자리)으로 연결된 평면(가까운 가장자리와 먼 가장자리)에 두 개의 사각형을 보고 그릴 수 있습니다. 마찬가지로, 3차원 공간의 4차원 하이퍼큐브는 서로 삽입되고 8개의 모서리로 연결된 두 개의 입방체 "상자"처럼 보입니다. 이 경우 "상자" 자체(3차원 면)가 "우리" 공간에 투영되고 이를 연결하는 선이 네 번째 축 방향으로 늘어납니다. 투영이 아닌 공간 이미지로 큐브를 상상해 볼 수도 있습니다.
3차원 큐브가 면의 길이만큼 이동된 정사각형으로 형성되는 것처럼, 4차원으로 이동된 큐브는 하이퍼큐브를 형성합니다. 그것은 8개의 큐브로 제한되어 있으며 관점에서 보면 다소 복잡한 그림처럼 보일 것입니다. 4차원 하이퍼큐브 자체는 무한한 수의 큐브로 구성됩니다. 마치 3차원 큐브가 무한한 수의 평평한 사각형으로 "절단"될 수 있는 것과 같습니다.
3차원 정육면체의 6개 면을 자르면 이를 평면적인 형태로 분해할 수 있습니다. 원래 면의 각 측면에 정사각형이 하나 더 추가되어 반대쪽 면이 추가됩니다. 그리고 4차원 하이퍼큐브의 3차원 개발은 원래 큐브, 그로부터 "성장"하는 6개의 큐브, 그리고 최종 "하이퍼페이스"인 하나 더로 구성됩니다.
정팔포체의 특성은 낮은 차원의 기하학적 도형의 특성이 4차원 공간에서도 연속되는 것을 나타냅니다.

기하학에서 하이퍼큐브- 이것 N정사각형의 차원적 비유( N= 2) 및 큐브( N= 3). 그림의 반대쪽 가장자리에 위치한 평행선 그룹으로 구성되고 서로 직각으로 연결된 닫힌 볼록 그림입니다.

이 수치는 다음으로도 알려져 있습니다. 정팔포체(테서랙트). 정육면체는 정육면체에 속하고 정육면체는 정사각형에 속합니다. 보다 공식적으로, 정팔포체는 경계가 8개의 입방체 셀로 구성된 규칙적인 볼록한 4차원 폴리토프(다면체)로 설명될 수 있습니다.

옥스포드 영어 사전(Oxford English Dictionary)에 따르면, "테서렉트(tesseract)"라는 단어는 1888년 찰스 하워드 힌튼(Charles Howard Hinton)에 의해 만들어졌으며 그의 저서 "사고의 새로운 시대(A New Era of Thought)"에서 사용되었습니다. 이 단어는 4개의 좌표축 형태로 그리스어 "τεσσερες ακτινες"("4개의 광선")에서 파생되었습니다. 또한 일부 출처에서는 동일한 수치가 호출되었습니다. 테트라큐브(테트라큐브).

N차원 하이퍼큐브라고도 불린다. n-큐브.

점은 차원 0의 초입방체입니다. 점을 길이 단위만큼 이동하면 단위 길이의 선분, 즉 차원 1의 초입방체를 얻게 됩니다. 또한 선분을 수직 방향으로 길이 단위만큼 이동하면 세그먼트 방향으로 큐브를 얻습니다 - 차원 2의 하이퍼큐브. 사각형을 사각형 평면에 수직인 방향으로 길이 단위만큼 이동하면 큐브가 얻어집니다 - 차원 3의 하이퍼큐브. 이 프로세스 다양한 차원으로 일반화할 수 있습니다. 예를 들어, 네 번째 차원에서 정육면체를 길이 단위만큼 이동하면 정팔포체가 생성됩니다.

초입방체군은 모든 차원에서 표현될 수 있는 몇 안 되는 정다면체 중 하나입니다.

하이퍼큐브의 요소

차원 하이퍼큐브 N 2개 있다 N"변"(1차원 선에는 2개의 점이 있고, 2차원 정사각형에는 4개의 변이 있고, 3차원 정육면체에는 6개의 면이 있고, 4차원 정육면체에는 8개의 셀이 있습니다). 하이퍼큐브의 꼭지점(점) 수는 2입니다. N(예를 들어 큐브의 경우 - 2 3 꼭지점).

수량 중-경계에 있는 차원 하이퍼큐브 N-큐브는 같음

예를 들어 하이퍼큐브의 경계에는 정육면체 8개, 정사각형 24개, 모서리 32개, 꼭지점 16개가 있습니다.

하이퍼큐브의 요소

n-큐브	이름	꼭지점 (0면)	가장자리 (1면)	가장자리 (2면)	셀 (3면)	(4면)	(5면)	(6면)	(7면)	(8면)
0-큐브	점	1
1큐브	선분	2	1
2큐브	정사각형	4	4	1
3큐브	입방체	8	12	6	1
4큐브	테서렉트	16	32	24	8	1
5큐브	펜터랙트	32	80	80	40	10	1
6큐브	육각형	64	192	240	160	60	12	1
7큐브	헵터랙트	128	448	672	560	280	84	14	1
8큐브	옥터랙트	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9큐브	에너랙트	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

평면에 투영

하이퍼큐브의 형성은 다음과 같은 방식으로 표현될 수 있습니다.

두 점 A와 B를 연결하여 선분 AB를 형성할 수 있습니다.
두 개의 평행 세그먼트 AB와 CD를 연결하여 정사각형 ABCD를 형성할 수 있습니다.
두 개의 평행한 정사각형 ABCD와 EFGH를 연결하여 ABCDEFGH 정육면체를 만들 수 있습니다.
두 개의 병렬 큐브 ABCDEFGH 및 IJKLMNOP을 연결하여 하이퍼큐브 ABCDEFGHIJKLMNOP을 형성할 수 있습니다.

후자의 구조는 시각화하기 쉽지 않지만, 2차원이나 3차원 공간으로의 투영을 묘사하는 것은 가능하다. 더욱이, 2차원 평면에 투영하는 것은 투영된 꼭지점의 위치를 재배열할 수 있게 함으로써 더욱 유용할 수 있습니다. 이 경우, 아래 예와 같이 정팔면체 내 요소의 공간적 관계를 더 이상 반영하지 않지만 꼭지점 연결의 구조를 나타내는 이미지를 얻을 수 있습니다.

첫 번째 그림은 원칙적으로 두 개의 정육면체를 결합하여 정육면체를 형성하는 방법을 보여줍니다. 이 구성표는 두 개의 사각형으로 큐브를 만드는 구성표와 유사합니다. 두 번째 다이어그램은 정팔포체의 모든 가장자리의 길이가 동일함을 보여줍니다. 이 구성표는 또한 서로 연결된 큐브를 찾도록 강요합니다. 세 번째 다이어그램에서 정팔포체의 꼭지점은 바닥점을 기준으로 면을 따른 거리에 따라 위치합니다. 이 방식은 병렬 컴퓨팅을 구성할 때 프로세서를 연결하는 네트워크 토폴로지에 대한 기본 방식으로 사용된다는 점에서 흥미롭습니다. 두 노드 사이의 거리는 4개의 가장자리 길이를 초과하지 않으며 로드 균형을 맞추기 위한 다양한 경로가 있습니다.

예술 속의 하이퍼큐브

하이퍼큐브는 로버트 하인라인(Robert Heinlein)이 "그리고 그는 비뚤어진 집을 지었다"라는 이야기에서 정팔포체 스캔 모양으로 지어진 집을 묘사한 1940년부터 SF 문학에 등장했습니다. 이야기 속 이번 넥스트에서는 이 집이 무너지면서 4차원 정팔면체로 변한다. 이후 하이퍼큐브는 많은 책과 단편 소설에 등장합니다.

영화 큐브 2: 하이퍼큐브는 하이퍼큐브 네트워크에 갇힌 8명의 사람들에 관한 이야기입니다.

살바도르 달리(Salvador Dali)의 그림 "Crucifixion (Corpus Hypercubus)"(1954)은 정팔각형 스캔으로 십자가에 못박힌 예수를 묘사합니다. 이 그림은 뉴욕 메트로폴리탄 미술관에서 볼 수 있습니다.

결론

하이퍼큐브는 가장 단순한 4차원 물체 중 하나로, 4차원의 복잡성과 특이성을 볼 수 있습니다. 그리고 3차원에서는 불가능해 보이는 것이 4차원에서는 가능합니다. 예를 들어 불가능한 도형이 있습니다. 예를 들어, 4차원의 불가능한 삼각형 막대는 직각으로 연결됩니다. 그리고 이 그림은 모든 관점에서 보면 이렇게 보일 것이며, 3차원 공간에서 불가능한 삼각형을 구현하는 것과는 달리 왜곡되지 않을 것입니다(참조.

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