A vonalak és síkok tulajdonságai a térben. Egyenes vonalak és síkok a térben

Előzetes megjegyzések

1. A sztereometriában olyan geometriai testeket és térbeli alakzatokat tanulmányoznak, amelyeknek nem minden pontja van ugyanabban a síkban. A rajzon a térbeli alakokat olyan rajzok segítségével ábrázoltuk, amelyek megközelítőleg ugyanolyan benyomást keltenek a szemre, mint maga az alak. Ezek a rajzok bizonyos szabályok szerint készülnek az ábrák geometriai tulajdonságai alapján.
A térbeli alakok síkon való ábrázolásának egyik módját a későbbiekben ismertetjük (54-66. §).

ELSŐ FEJEZET EGYENES ÉS SÍK

I. A SÍK HELYZETÉNEK MEGHATÁROZÁSA

2. Egy sík képe. A mindennapi életben sok olyan tárgy, amelynek felülete egy geometriai síkra hasonlít, téglalap alakú: könyvkötés, ablaküveg, íróasztal felülete stb. Sőt, ha ezeket a tárgyakat megnézzük egy szögben és nagy távolságból úgy tűnik számunkra, hogy paralelogramma alakúak. Ezért a rajzon a síkot 1 paralelogrammaként szokás ábrázolni. Ezt a síkot általában egy betűvel jelölik, például „M sík” (1. ábra).

1 A sík jelzett képével együtt ez is lehetséges, például a 15-17. rajzokon stb.
(A szerkesztő megjegyzése)

3. A sík alapvető tulajdonságai. Jelöljük a sík következő tulajdonságait, amelyek bizonyítás nélkül elfogadottak, vagyis axiómák:

1) Ha egy egyenes két pontja egy síkhoz tartozik, akkor ezen az egyenesen minden pont a síkhoz tartozik.

2) Ha két síknak van közös pontja, akkor ezen a ponton áthaladó egyenes mentén metszik egymást.

3) Bármely három ponton keresztül, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, sík rajzolható, és csak egy.

4. Következmények. Az utolsó mondatból a következő következtetések vonhatók le:

1) Egy egyenesen és egy azon kívüli ponton keresztül síkot rajzolhat (és csak egyet). Valójában egy egyenesen kívüli pont az ezen az egyenesen lévő két ponttal együtt három pontot alkot, amelyeken keresztül egy síkot (és azon belül egyet) meg lehet húzni.

2) Két egymást metsző vonalon keresztül rajzolhat egy síkot (és csak egyet). Valóban, ha figyelembe vesszük a metszéspontot és még egy pontot minden egyenesen, akkor három pontunk lesz, amelyeken keresztül síkot rajzolhatunk (és ráadásul egyet).

3) Két párhuzamos egyenesen csak egy síkot lehet megrajzolni. Valójában a párhuzamos egyenesek definíció szerint ugyanabban a síkban fekszenek; ez a sík egyedi, hiszen legfeljebb az egyik sík húzható át az egyiken, a másikon pedig egy ponton.

5. A sík egyenes körüli elforgatása. A térben minden egyenesen keresztül végtelen számú síkot rajzolhatunk.

Valóban, adjunk nekünk egy egyenest A (2. ábra).

Vegyünk egy A pontot rajta kívül. Az A ponton és az egyenesen keresztül A egyetlen síkon halad át (§4). Nevezzük M síknak. Vegyünk egy új B pontot az M síkon kívül. A B ponton és az egyenesen át A viszont elhalad a gép mellett. Nevezzük N síknak. Nem eshet egybe M-mel, mivel tartalmazza a B pontot, amely nem tartozik az M síkhoz. Ekkor vehetünk még egy új C pontot a térben az M és N síkon kívül. A C ponton és az egyenesen keresztül A elhalad egy új gép. Nevezzük P-nek. Nem esik egybe sem M-el, sem N-nel, mivel olyan C pontot tartalmaz, amely nem tartozik sem az M, sem az N síkhoz. Folytatva az újabb és újabb pontok felvételét a térben, többet kapunk és több új pont ilyen módon és új síkok haladnak át ezen a vonalon A . Számtalan ilyen gép lesz. Mindezek a síkok egyazon sík különböző pozícióinak tekinthetők, amelyek egy egyenes körül forognak A .

A síknak tehát még egy tulajdonságát ki tudjuk fejezni: egy sík bármely, ebben a síkban fekvő egyenes körül foroghat.

6. Az űrben történő építkezéssel kapcsolatos problémák. Minden planimetriával készült konstrukció egy síkban készült rajzeszközökkel. A térbeli konstrukciókhoz a rajzeszközök alkalmatlanná válnak, mivel lehetetlen figurákat rajzolni a térben. Ezenkívül a térben történő konstrukció során egy másik új elem jelenik meg - egy sík, amelynek a térben való felépítése nem hajtható végre olyan egyszerű eszközökkel, mint egy síkon való egyenes felépítése.

Ezért a térben való építés során pontosan meg kell határozni, hogy mit jelent egy ilyen vagy olyan konstrukció végrehajtása, és különösen, mit jelent egy síkot a térben építeni. Minden térbeli konstrukcióban feltételezzük:

1) hogy egy sík megszerkeszthető, ha megtaláljuk azokat az elemeket, amelyek meghatározzák a térbeli helyzetét (3. és 4. §), azaz három adott ponton, egy egyenesen és egy azon kívüli ponton átmenő síkot szerkeszthetünk. két egymást metsző vagy két párhuzamos egyenes;

2) hogy ha két egymást metsző sík adott, akkor a metszésvonaluk is adott, azaz hogy meg tudjuk találni két sík metszésvonalát;

3) ha egy sík adott a térben, akkor minden olyan konstrukciót végrehajthatunk benne, amit a planimetriában végeztünk.

Bármilyen térbeli konstrukció végrehajtása azt jelenti, hogy az imént jelzett alapkonstrukciók közül véges számúra csökkentjük. Ezen alapfeladatok segítségével összetettebb problémák is megoldhatók.

Ezek a mondatok a sztereometriai konstrukcióval kapcsolatos problémákat oldanak meg.

7. Példa a térben való építés problémájára.
Feladat. Keresse meg egy adott egyenes metszéspontját A (3. ábra) adott R síkkal.

Vegyünk egy A pontot a P síkon. Az A ponton és az egyenesen keresztül A rajzoljuk meg a Q síkot. Egy bizonyos egyenes mentén metszi a P síkot b . A Q síkban megtaláljuk az egyenesek metszéspontjának C pontját A És b . Ez a pont lesz az, amit keresünk. Ha egyenes A És b párhuzamosnak bizonyul, akkor a problémának nem lesz megoldása.

40. A sztereometria alapfogalmai.

A tér fő geometriai alakjai egy pont, egy egyenes és egy sík. A 116. ábra különböző ábrákat mutat be

hely. Több geometriai alakzat térbeli egyesülése is geometriai alakzat, a 117. ábrán az ábra két tetraéderből áll.

A síkokat kis görög betűkkel jelöljük:

A 118. ábra az a síkot, az a egyeneseket, valamint az A, B és C pontokat mutatja. Az A pont és az a egyenes az a síkban fekszik vagy ahhoz tartozik. A B és C pontokról és a 6. egyenesről, hogy nem az a síkban fekszenek, vagy nem tartoznak hozzá.

A geometriai alapfigura - a sík - bevezetése az axiómarendszer bővítésére kényszerít. Soroljuk fel azokat az axiómákat, amelyek a térbeli síkok alapvető tulajdonságait fejezik ki. Ezeket az axiómákat a kézikönyvben C betűvel jelöljük.

Bármi legyen is a sík, vannak pontok, amelyek ehhez a síkhoz tartoznak, és olyan pontok, amelyek nem tartoznak hozzá.

A 118. ábrán az A pont az a síkhoz tartozik, de a B és C pont nem tartozik hozzá.

Ha két különböző síknak van egy közös pontja, akkor egy egyenesben metszik egymást.

A 119. ábrán két különböző a és P síknak van egy közös A pontja, ami azt jelenti, hogy az axióma szerint ezekhez a síkokhoz tartozik egy egyenes. Sőt, ha bármelyik pont mindkét síkhoz tartozik, akkor az a egyeneshez tartozik. Az a és síkok ebben az esetben az a egyenes mentén metszik egymást.

Ha két különböző egyenesnek van közös pontja, akkor sík húzható rajtuk keresztül, és csak egy.

A 120. ábra két különböző a egyenest mutat, amelyeknek közös az O pontja, ami azt jelenti, hogy az axióma szerint van egy a sík, amely a és egyeneseket tartalmazza. Ráadásul ugyanezen axióma szerint az a sík egyedi.

Ez a három axióma kiegészíti a planimetria I. fejezetben tárgyalt axiómáit. Ezek együttesen a geometria axiómáinak rendszerét alkotják.

Ezen axiómák felhasználásával bebizonyíthatjuk a sztereometria első néhány tételét.

T.2.1. Egy egyenes vonalon és egy azon nem fekvő ponton keresztül síkot rajzolhat, és csak egyet.

T.2.2. Ha egy egyenes két pontja egy síkhoz tartozik, akkor az egész egyenes ehhez a síkhoz tartozik.

T.2.3. Három ponton keresztül, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, lehet síkot rajzolni, és csak egyet.

Példa 1. Adott egy sík a. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egyenes, amely nem fekszik az a síkban, és metszi azt.

Megoldás. Vegyük az A pontot az a síkban, ami a C axióma szerint tehető meg. Ugyanezen axióma szerint van olyan B pont, amely nem tartozik az a síkhoz. Az A és B ponton keresztül egyenes vonal húzható (axióma). Az egyenes nem az a síkban fekszik és metszi azt (az A pontban).

Két egyenes a térben párhuzamos, ha egy síkban fekszenek és nem metszik egymást.

Két egyenes a térben metszi egymást, ha nincs olyan sík, amelyben mindketten fekszenek.

A vonalak keresztezésének jele. Ha két egyenes közül az egyik egy bizonyos síkban fekszik, és a másik egyenes egy olyan pontban metszi ezt a síkot, amely nem tartozik az első egyeneshez, akkor ezek az egyenesek metszik egymást.

Egy sík és egy nem a síkhoz tartozó egyenes párhuzamos, ha nincs közös pontjuk.

Az egyenes és a sík párhuzamosságának jele. Ha a síkhoz nem tartozó egyenes párhuzamos bármely, a síkhoz tartozó egyenessel, akkor párhuzamos a síkkal is.

Egy sík és a síkkal párhuzamos egyenes tulajdonságai:

1) ha egy sík egy másik síkkal párhuzamos egyenest tartalmaz, és ezt a síkot metszi, akkor a síkok metszésvonala párhuzamos ezzel az egyenessel;

2) ha metsző síkokat húzunk végig két párhuzamos egyenesen, akkor a metszésvonaluk párhuzamos ezekkel az egyenesekkel.

Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk.

A síkok párhuzamosságának jele, ha az egyik sík két metsző egyenese párhuzamos egy másik sík két metsző egyenesével, akkor ezek a síkok párhuzamosak.

Egy egyenes akkor merőleges egy síkra, ha merőleges a síkhoz tartozó bármely egyenesre.

Egy egyenes és egy sík merőlegességének jele: ha egy egyenes merőleges egy síkban fekvő két metsző egyenesre, akkor merőleges a síkra.

A síkra merőleges egyenes tulajdonságai.

1) ha két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges egy síkra, akkor a másik egyenes erre a síkra merőleges;

2) a két párhuzamos sík egyikére merőleges egyenes a másik síkra is merőleges.

A síkok merőlegességének jele. Ha egy síkban van egy másik síkra merőleges, akkor merőleges erre a síkra.

A síkot metsző, de arra nem merőleges egyenest a síkhoz képest ferde egyenesnek nevezzük.

Három merőleges tétele. Ahhoz, hogy egy síkban fekvő egyenes merőleges legyen egy ferde vonalra, szükséges és elegendő, hogy merőleges legyen ennek a ferde egyenesnek a síkra való vetületére.

Az 1. ábrán egy egyenes vonal látható b− síkba hajló, egyenes c- ennek a ferde síknak a vetülete és mivel A┴ Val vel, Azt a┴ b

A ferde és a sík közötti szög a ferde és a síkra való vetülete közötti szög. A 2. ábrán egy egyenes vonal látható b- síkba hajló, egyenes a ennek a ferde síknak a síkra való vetülete, α a ferde sík és a sík közötti szög.

Két sík metszéspontjából kétszög alakul ki. A két sík metszéspontja eredményeként kapott egyenest diéderes szögélnek nevezzük. Két közös élű félsíkot diéderszög lapjainak nevezünk.

Felezősíknak nevezzük azt a félsíkot, amelynek határa egy kétszög élével esik egybe, és amely a kétszöget két egyenlő szögre osztja.

A diéderszöget a megfelelő lineáris szöggel mérjük. A diéderszög lineáris szöge az egyes lapokra húzott merőlegesek és a perem közötti szög.

Prizma

Egy poliéder, amelynek két lapja egyenlő n- párhuzamos síkban fekvő négyzetek és a többi n lapjai paralelogrammák, ún n- karbon prizma.

Kettő n- a négyzetek a prizma alapjai, a paralelogrammák az oldallapok. A lapok oldalait a prizma éleinek, az élek végeit pedig a prizma csúcsainak nevezzük.

A prizma magassága a prizma alapjai közötti merőleges szakasz.

A prizma átlója olyan szakasz, amely az alapok két csúcsát köti össze, amelyek nem ugyanazon a lapon helyezkednek el.

Az egyenes prizma olyan prizma, amelynek oldalélei merőlegesek az alapok síkjaira (3. ábra).

A ferde prizma olyan prizma, amelynek oldalbordái az alapok síkjaihoz dőlnek (4. ábra).

A h magasságú prizma térfogatát és felületét a következő képletekkel határozzuk meg:

Az egyenes prizma oldalfelülete a képlet segítségével számítható ki.

Térfogat és felület ferde prizma (4. ábra) másképp is számítható: ahol ΔPNK az l élre merőleges metszet.

A szabályos prizma olyan derékszögű prizma, amelynek alapja egy szabályos sokszög.

A paralelepipedon olyan prizma, amelynek minden lapja paralelogramma.

Az a paralelepipedon, amelynek oldalélei merőlegesek az alapok síkjaira, derékszögű paralelepipedonnak nevezzük.

A téglalap alakú paralelepipedon olyan derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja egy téglalap.

Egy téglatest átlójának tulajdonsága

Egy téglalap alakú paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével: d² = a² + b² + c², hol ABC- az egyik csúcsból kilépő élek hossza, d- a paralelepipedon átlója (3. ábra).

A téglalap alakú paralelepipedon térfogatát a képlet segítségével határozzuk meg V = abc.

A kocka egy téglalap alakú, egyenlő élű paralelepipedon. A kocka minden lapja négyzet.

Az éles kocka térfogatát, felületét és átlóját a következő képletekkel határozzuk meg:

V = a³, S = 6a² d² = 3 a².

Piramis

Egy poliédert, amelynek egyik lapja sokszög, a többi lapja pedig közös csúcsú háromszög, piramisnak nevezzük. A sokszöget a piramis alapjának, a háromszögeket pedig oldallapoknak nevezzük.

A gúla magassága egy merőleges szakasz, amelyet a gúla tetejétől az alap síkjához kell húzni.

Ha a gúla minden oldalsó éle egyenlő vagy ferde az alap síkjával azonos szögben, akkor a magasság a körülírt kör közepére esik.

Ha a piramis oldallapjai azonos szögben hajlanak az alap síkjához (az alapnál a kétszögek egyenlőek), akkor a magasság a beírt kör középpontjába esik.

Egy gúlát szabályosnak nevezünk, ha alapja szabályos sokszög, és magassága a gúla alján fekvő sokszög beírt és körülírt körének középpontjába esik. Egy szabályos gúla oldallapjának csúcsából kirajzolt magasságát apotémának nevezzük.

Például az 5. ábra egy szabályos háromszög alakú gúlát mutat SABC(tetraéder): AB= IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.= A.C.= a, OD = r- háromszögbe írt kör sugara ABC, O.A.=R- a háromszögre körülírt kör sugara ABC, ÍGY=h- magasság

piramisok, SD = l- apothem, - az oldalsó dőlésszöge

borda S.A. az alap síkjához, - az oldallap dőlésszöge SBC a piramis alapjának síkjához.

A háromszög alakú piramist tetraédernek nevezzük. A tetraédert szabályosnak nevezzük, ha minden éle egyenlő.

A piramis térfogatát és felületét a következő képletekkel határozzuk meg:

Ahol h- a piramis magassága.

Szabályos piramis oldalfelülete képlettel találjuk meg, ahol a piramis apotémje.

A csonka gúla olyan poliéder, amelynek csúcsai a gúla alapjának csúcsai és a gúla alapjával párhuzamos sík metszetének csúcsai. A csonka piramis alapjai hasonló sokszögek.

A csonka gúla térfogatát a képlet határozza meg , ahol és az alapok területei, h a csonka gúla magassága.

Szabályos poliéder

A szabályos poliéder olyan konvex poliéder, amelynek minden lapja szabályos sokszög, ugyanannyi oldallal, és ugyanannyi él konvergál a poliéder minden csúcsában.

A szabályos poliéder lapjai lehetnek egyenlő oldalú háromszögek, négyzetek vagy szabályos ötszögek.

Ha egy szabályos poliéder lapjai szabályos háromszögek, akkor a megfelelő poliéderek egy szabályos tetraéder (4 lapja van), egy szabályos oktaéder (8 lapja van), egy szabályos ikozaéder (20 lapja van).

Ha egy szabályos poliéder négyzetes lapokkal rendelkezik, akkor a poliédert kockának vagy hatlapnak nevezzük (6 lapja van).

Ha egy szabályos poliéder szabályos ötszögű lapokkal rendelkezik, akkor a poliédert dodekaédernek nevezzük (12 lapja van).

Henger

A henger egy téglalap egyik oldala körüli elforgatásával kapott alakzat.

A 6. ábrán az egyenes a forgástengely; - magasság, l- alakítás; ABCD- egy henger tengelyirányú metszete, amelyet egy téglalap körbeforgatásával kapunk. A henger térfogatát és felületét a következő képletekkel határozzuk meg:

, , , , Ahol R- alapsugár, h- magasság, l- a henger generatrixa.

Kúp

A kúp egy derékszögű háromszög egyik lába körüli elforgatásával kapott alak. A 7. ábrán egy egyenes vonal látható O.B.- forgástengely; O.B. = h- magasság, l- generátor;Δ ABC- derékszögű háromszög elforgatásával kapott kúp tengelyirányú metszete OBC a láb körül O.B..

REPÜLŐGÉP.

Meghatározás. Minden, a síkra merőleges, nullától eltérő vektort annak nevezünk normál vektor, és ki van jelölve.

Meghatározás. Egy olyan alakú síkegyenletet nevezünk, amelyben az együtthatók tetszőleges valós számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nullával. a sík általános egyenlete.

Tétel. Az egyenlet egy ponton áthaladó, normálvektorral rendelkező síkot definiál.

Meghatározás. Tekintse meg a sík egyenletet

Ahol – tetszőleges nullától eltérő valós számokat hívunk a sík egyenlete szakaszokban.

Tétel. Legyen a sík egyenlete szegmensekben. Ezután a koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak koordinátái.

Meghatározás. A sík általános egyenletét ún normalizálva vagy Normál sík egyenlet, ha

És .

Tétel. Egy sík normálegyenlete olyan formában írható fel, ahol az origótól az adott síkig mért távolság, és a normálvektor iránykoszinuszai ).

Meghatározás. Normalizáló tényező a sík általános egyenletét számnak nevezzük – ahol a szabad kifejezés jelével ellentétes jelet választanak D.

Tétel. Legyen a sík általános egyenletének normalizáló tényezője. Ekkor az egyenlet – az adott sík normalizált egyenlete.

Tétel. Távolság d pontból repülni .

Két sík egymáshoz viszonyított helyzete.

Két sík vagy egybeesik, párhuzamos vagy metszi egymást egy egyenesben.

Tétel. Adjuk meg a síkokat általános egyenletekkel: . Akkor:

1) ha , akkor a síkok egybeesnek;

2) ha , akkor a síkok párhuzamosak;

3) ha vagy, akkor a síkok egy egyenes mentén metszik egymást, amelynek egyenlete az egyenletrendszer: .

Tétel. Legyen két sík normálvektora, akkor a két sík közötti szögek egyike egyenlő:.

Következmény. Hadd ,két adott sík normálvektorai. Ha a pontszorzat, akkor a megadott síkok merőlegesek.

Tétel. Adjuk meg a koordinátatér három különböző pontjának koordinátáit:

Aztán az egyenlet –a három ponton áthaladó sík egyenlete.

Tétel. Legyen megadva két egymást metsző sík általános egyenlete: és. Akkor:

– hegyes kétszög felezősíkjának egyenlete, amelyet e síkok metszéspontja alkot;

– tompa kétszög szögfelező síkjának egyenlete.

Repülőköteg és köteg.

Meghatározás. Egy csomó repülőgép az összes olyan sík halmaza, amelyeknek egy közös pontja van, amelyet ún a szalag középpontja.

Tétel. Legyen három sík, amelyeknek egyetlen közös pontja van, ekkor az az egyenlet, ahol tetszőleges valós paraméterek, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nullával, síkköteg egyenlet.

Tétel. Az egyenlet, ahol tetszőleges valós paraméterek, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával síkköteg egyenlete a köteg középpontjával pontban.

Tétel. Adjuk meg három sík általános egyenletét:

a megfelelő normálvektorok. Ahhoz, hogy három adott sík egyetlen pontban metszi egymást, szükséges és elegendő, hogy normálvektoraik vegyes szorzata ne legyen nulla:

Ebben az esetben az egyetlen közös pontjuk koordinátái az egyetlen megoldás az egyenletrendszerre:

Meghatározás. Egy csomó repülőgép az ugyanazon egyenes mentén metsző összes sík halmaza, amelyet a nyaláb tengelyének nevezünk.

Tétel. Legyen két sík, amelyek egy egyenesben metszik egymást. Ekkor az egyenlet, ahol tetszőleges valós paraméterek vannak, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nullával, síkok ceruza egyenlete gerenda tengellyel

EGYENES.

Meghatározás. Bármely nullától eltérő vektort, amely egy adott egyeneshez kollineáris, annak nevezzük útmutató vektor, és van jelölve

Tétel. egy egyenes paraméteres egyenlete térben: ahol egy adott egyenes tetszőleges fix pontjának koordinátái vannak, adott egyenes tetszőleges irányvektorának megfelelő koordinátái, egy paraméter.

Következmény. A következő egyenletrendszer egy térbeli egyenes egyenlete, és ún az egyenes kanonikus egyenleteűrben: ahol egy adott egyenes tetszőleges fix pontjának koordinátái, egy adott egyenes tetszőleges irányvektorának megfelelő koordinátái.

Meghatározás. Az alak kanonikus egyenes egyenlete - hívott két különböző adott ponton átmenő egyenes kanonikus egyenlete

Két vonal egymáshoz viszonyított helyzete a térben.

Két vonal térbeli elhelyezkedésének 4 lehetséges esete van. Az egyenesek egybeeshetnek, lehetnek párhuzamosak, egy pontban metszik egymást vagy metsződhetnek.

Tétel. Legyen megadva két egyenes kanonikus egyenlete:

hol vannak azok irányvektorai és tetszőleges fix pontok, amelyek egyenesen fekszenek, ill. Akkor:

És ;

és legalább az egyik egyenlőség nem teljesül

;

, azaz

4) egyenesen keresztezettek, ha , azaz

Tétel. Hadd

– két tetszőleges egyenes a térben, paraméteres egyenletekkel meghatározott. Akkor:

1) ha az egyenletrendszer

egyedi megoldása van: az egyenesek egy pontban metszik egymást;

2) ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az egyenesek metszenek vagy párhuzamosak.

3) ha egy egyenletrendszernek több megoldása van, akkor az egyenesek egybeesnek.

Két egyenes távolság a térben.

Tétel.(Két párhuzamos egyenes távolságának képlete.): Két párhuzamos egyenes távolsága

Hol van a közös irányvektoruk, ezeken az egyeneseken a pontokat a következő képlettel lehet kiszámítani:

vagy

Tétel.(Két metsző egyenes távolságának képlete.): Két egymást metsző egyenes távolsága

képlettel lehet kiszámítani:

Ahol – irányvektorok vegyes szorzatának modulusa És és vektor, – az irányvektorok vektorszorzatának modulusa.

Tétel. Legyen két egymást metsző sík egyenlete. Ekkor a következő egyenletrendszer annak az egyenesnek az egyenlete, amely mentén ezek a síkok metszik egymást: . Ennek az egyenesnek az irányvektora lehet a vektor , Ahol ,– ezen síkok normálvektorai.

Tétel. Legyen adott egy egyenes kanonikus egyenlete: , Ahol . Ekkor a következő egyenletrendszer egy adott egyenes egyenlete, amelyet két sík metszéspontja határoz meg: .

Tétel. Egy pontból kiesett merőleges egyenlete közvetlenül úgy néz ki, mint a ahol a vektorszorzat koordinátái, és ennek az egyenesnek az irányvektorának koordinátái. A merőleges hosszát a következő képlettel találhatjuk meg:

Tétel. Két ferde egyenes közös merőlegesének egyenlete: Ahol.

Egy egyenes és egy sík egymáshoz viszonyított helyzete a térben.

Egy vonal térbeli és síkbeli relatív helyzetének három lehetséges esete van:

Tétel. Adjuk meg a síkot általános egyenletekkel, az egyenest pedig kanonikus vagy parametrikus egyenletekkel vagy ahol a vektor a sík normálvektora az egyenes tetszőleges fix pontjának koordinátái, és az egyenes tetszőleges irányítóvektorának megfelelő koordinátái. Akkor:

1) ha , akkor az egyenes olyan pontban metszi a síkot, amelynek koordinátái megtalálhatók az egyenletrendszerből

2) ha és, akkor az egyenes a síkon fekszik;

3) ha és, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal.

Következmény. Ha a (*) rendszernek egyedi megoldása van, akkor az egyenes metszi a síkot; ha a (*) rendszernek nincs megoldása, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal; ha a (*) rendszernek végtelen sok megoldása van, akkor az egyenes a síkon fekszik.

Tipikus problémák megoldása.

Feladat №1 :

Írjon fel egyenletet a vektorokkal párhuzamos ponton átmenő síkra!

Keressük meg a kívánt sík normálvektorát:

= =

A sík normálvektoraként felvehetjük a vektort, ekkor a sík általános egyenlete a következő alakot veszi fel:

A megtalálásához ebben az egyenletben le kell cserélni a síkhoz tartozó pont koordinátáit.

Feladat №2 :

A kocka két lapja síkon fekszik, és számítsa ki ennek a kockának a térfogatát.

Nyilvánvaló, hogy a síkok párhuzamosak. A kocka élének hossza a síkok közötti távolság. Válasszunk egy tetszőleges pontot az első síkon: keressük meg.

Határozzuk meg a síkok közötti távolságot a pont és a második sík távolságaként:

Tehát a kocka térfogata egyenlő ()

Feladat №3 :

Határozza meg a piramis lapjai és csúcsai közötti szöget!

A síkok közötti szög a normálvektorok és a síkok közötti szög. Keressük meg a sík normálvektorát: [,];

, vagy

Hasonlóképpen

Feladat №4 :

Állítsa össze az egyenes kanonikus egyenletét! .

Így,

A vektor merőleges az egyenesre, ezért

Tehát az egyenes kanonikus egyenlete a következőt veszi fel.

Feladat №5 :

Keresse meg a vonalak közötti távolságot

És .

A vonalak párhuzamosak, mert irányvektoraik egyenlőek. Legyen a lényeg az első sorhoz tartozik, a pont pedig a második sorban. Keressük meg a vektorokra épített paralelogramma területét.

[,];

A szükséges távolság a paralelogramma ponttól leengedett magassága:

Feladat №6 :

Számítsa ki a vonalak közötti legrövidebb távolságot:

Mutassuk meg, hogy a ferde vonalak, pl. vektorok, amelyek nem tartoznak ugyanabba a síkba: ≠ 0.

1 út:

A második egyenesen keresztül az első egyenessel párhuzamos síkot rajzolunk. A kívánt síkra vonatkozóan ismertek a hozzá tartozó vektorok és pontok. Egy sík normálvektora a vektorok keresztszorzata, és ezért .

Tehát felvehetünk egy vektort a sík normálvektorának, így a sík egyenlete a következő alakot veszi fel: tudva, hogy a pont a síkhoz tartozik, felírjuk az egyenletet:

A szükséges távolság - ezt a távolságot az első egyenes pontjától a síkig a következő képlet határozza meg:

13.

2. módszer:

A vektorok segítségével megszerkesztünk egy paralelepipedont.

A szükséges távolság a ponttól a bázisáig leeresztett paralelepipedon vektorokra épített magassága.

Válasz: 13 egység.

Feladat №7 :

Keresse meg egy pont vetületét egy síkra

A sík normálvektora egy egyenes irányvektora:

Keressük meg az egyenes metszéspontját

és repülőgépek:

.

Az egyenletbe síkokat behelyettesítve megtaláljuk, majd

Megjegyzés. A síkhoz viszonyított pontra szimmetrikus pont kereséséhez (az előző feladathoz hasonlóan) meg kell találni a pont síkra való vetületét, majd figyelembe kell venni az ismert kezdetű és középső szakaszt a,, képletekkel.

Feladat №8 :

Határozzuk meg egy pontból egyenesre ejtett merőleges egyenletét! .

1 út:

2. módszer:

Oldjuk meg a problémát a második módon:

A sík egy adott egyenesre merőleges, így az egyenes irányvektora a sík normálvektora. Ismerve a sík normálvektorát és egy pontját a síkon, felírjuk az egyenletét:

Keressük meg a sík és a paraméteresen felírt egyenes metszéspontját:

,

Készítsünk egyenletet a pontokon átmenő egyenesre, és:

.

Válasz: .

A következő problémák ugyanúgy megoldhatók:

Feladat №9 :

Keressen egy pontra szimmetrikus pontot egy egyeneshez képest .

Feladat №10 :

Adott egy háromszög csúcsokkal Keresse meg a csúcsból oldalra süllyesztett magasság egyenletét!

A megoldási folyamat teljesen hasonló az előző problémákhoz.

Válasz: .

Feladat №11 :

Határozzuk meg egy közös merőleges egyenletét két egyenesre: .

0.

Figyelembe véve, hogy a sík áthalad a ponton, felírjuk ennek a síknak az egyenletét:

A pont hozzátartozik, így a sík egyenlete a következő alakot ölti:.

Válasz:

Feladat №12 :

Írjon egyenletet egy ponton átmenő és az egyeneseket metsző egyenesről! .

Az első egyenes átmegy a ponton, és irányvektora van; a második áthalad a ponton, és irányvektora van

Mutassuk meg, hogy ezek az egyenesek ferdeek; ehhez állítunk össze egy determinánst, amelynek egyenesei a vektorok koordinátái, ,a vektorok nem tartoznak ugyanabba a síkba.

Rajzoljunk egy síkot a ponton és az első egyenesen keresztül:

Legyen a sík tetszőleges pontja, akkor a vektorok egysíkúak. A sík egyenlet alakja:.

Hasonlóképpen egyenletet készítünk a ponton és a második egyenesen áthaladó síkra: 0.

A kívánt egyenes a síkok metszéspontja, azaz....

Az oktatási eredmény a téma tanulmányozása után a bevezetőben megfogalmazott komponensek, a kompetenciák (tudni, tudni, elsajátítani) kialakulása két szinten: küszöb és haladó. A küszöbszint a „kielégítő”, az emelt szint a „jó” vagy a „kiváló” minősítésnek felel meg, az ügyvédés eredményétől függően.

Ezen összetevők önálló diagnosztizálásához a következő feladatokat ajánljuk fel.

BEVEZETÉS

1. fejezet Sík a térben

1 Egy egyenes és egy sík metszéspontja

1 Egy vonal térbeli helyzetének különböző esetei

2 Egy egyenes és egy sík közötti szög

KÖVETKEZTETÉS

A HASZNÁLT FORRÁSOK LISTÁJA

BEVEZETÉS

Bármely elsőfokú egyenlet az x, y, z koordinátákhoz képest

+ Cz + D = 0 szerint

síkot határoz meg, és fordítva: bármely síkot ábrázolhatjuk egy egyenlettel, amelyet a sík egyenletének nevezünk.

A síkra merőleges n (A, B, C) vektort a sík normálvektorának nevezzük. Az egyenletben az A, B, C együtthatók egyszerre nem egyenlők 0-val Az egyenlet speciális esetei

D = 0, Ax+By+Cz = 0 - a sík áthalad az origón.

C = 0, Ax+By+D = 0 - a sík párhuzamos az Oz tengellyel.

C = D = 0, Ax + By = 0 - a sík átmegy az Oz tengelyen.

B = C = 0, Ax + D = 0 - a sík párhuzamos az Oyz-síkkal.

A koordinátasíkok egyenletei: x = 0, y = 0, z = 0.

Megadható egy egyenes a térben:

) mint két sík metszésvonala, azaz. egyenletrendszer:

A 1 x+B 1 y+C 1 z + D 1= 0, A 2 x+B 2 y+C 2 z + D 2 = 0;

) két pontjával M 1(x 1, y 1, z 1) és M 2(x 2, y 2, z 2), akkor a rajtuk áthaladó egyenest az egyenletek adják meg:

=;

) M pont 1(x 1, y 1, z 1), hozzá tartozó, és a vele kollineáris a (m, n, p) vektor. Ezután az egyenest a következő egyenletek határozzák meg:

Az egyenleteket az egyenes kanonikus egyenleteinek nevezzük.

Az a vektort az egyenes irányító vektorának nevezzük.

Egy egyenes paraméteres egyenleteit úgy kapjuk meg, hogy az egyes arányokat a t paraméterrel egyenlővé tesszük:

x 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + pt.

A rendszert mint lineáris egyenletrendszert megoldva az x és y ismeretlenek számára, megkapjuk az egyenes egyenleteit vetületekben vagy az egyenes redukált egyenleteit:

Mz + a, y = nz + b

Az egyenletek közül úgy léphet át a kanonikus egyenletekre, hogy mindegyik egyenletből kikeresi a z-t, és az így kapott értékeket egyenlővé teszi:

A (3.2) általános egyenletekből más módon továbbléphet a kanonikus egyenletekre, ha talál ezen az egyenesen egy pontot és annak irányvektorát n = , ahol n 1(A 1,B 1, C 1) és n 2(A 2,B 2, C 2) - adott síkok normálvektorai. Ha a (3.4) egyenletben az m, n vagy p nevezők egyike nullával egyenlő, akkor a megfelelő tört számlálóját nullára kell állítani, azaz. rendszer

egyenértékű a rendszerrel ; egy ilyen egyenes merőleges az Ox tengelyre.

Rendszer ekvivalens az x = x rendszerrel 1,y = y 1; az egyenes párhuzamos az Óz tengellyel.

A tanfolyami munka célja:tanulmányozza az egyeneseket és a síkokat a térben.

A tanfolyam céljai:tekintsünk egy térbeli síkot, annak egyenletét, és vegyünk egy térbeli síkot is.

A tanfolyam felépítése:bevezetés, 2 fejezet, következtetés, felhasznált források felsorolása.

1. fejezet Sík a térben

.1 Egy egyenes és egy sík metszéspontja

Adjuk meg a Q síkot egy általános egyenlettel: Ax+By+Cz+D=0, az L egyenest pedig paraméteres formában: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, akkor az L egyenes és a Q sík metszéspontjának megtalálásához meg kell találni a t paraméter értékét, amelyen az egyenes pontja a síkon fog elhelyezkedni. Ha az x, y, z értéket behelyettesítjük a sík egyenletébe és kifejezzük t-t, azt kapjuk

A t értéke akkor lesz egyedi, ha az egyenes és a sík nem párhuzamos.

Egyenes és sík párhuzamosságának és merőlegességének feltételei

Tekintsük az L egyenest:

és repülő?:

L vonal és sík? :

a) akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha az irányvektor egyenes és normálvektor a síkok kollineárisak, azaz.

b) akkor és csak akkor párhuzamosak egymással, ha a vektorok És merőleges, azaz.

és Am + Bn + Ср = 0.

.2 Egy egyenes és egy sík közötti szög

Sarok ?a sík normálvektora között és az egyenes irányítóvektora képlettel számolva:

Egy rakás repülőgép

Egy adott L egyenesen átmenő összes sík halmazát síkkötegnek, az L egyenest pedig a köteg tengelyének nevezzük. Adják meg a nyaláb tengelyét az egyenletek

A rendszertag második egyenletét megszorozzuk konstanssal, és hozzáadjuk az első egyenlethez:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Ennek az egyenletnek az első foka van x-hez, y-hoz, z-hez és ezért bármely számértékhez ?síkot határoz meg. Mivel ez az egyenlet két egyenlet következménye, egy pont koordinátái, amelyek ezeket az egyenleteket kielégítik, ezt az egyenletet is kielégítik. Ezért bármilyen számértékre ?Ez az egyenlet egy adott egyenesen áthaladó sík egyenlete. A kapott egyenlet a következő síkok ceruza egyenlete.

Példa.Írja fel az M ponton áthaladó sík egyenletét! 1(2, -3, 4) párhuzamos egyenesekkel

Megoldás.Írjuk fel az egyenletet egy csomó síkra, amelyek egy adott M1 ponton áthaladnak :

A (x - 2) + B (y + 3) + C (z - 4) = 0.

Mivel a kívánt síknak párhuzamosnak kell lennie ezekkel az egyenesekkel, a normálvektorának merőlegesnek kell lennie az irányvektorokra ezeket az egyenes vonalakat. Ezért N vektorként felvehetjük a vektorok vektorszorzatát:

Következésképpen A = 4, B = 30, C = - 8. Az A, B, C talált értékeit behelyettesítve a síkok összekapcsolására szolgáló egyenletbe, megkapjuk

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 vagy 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

Példa.Keresse meg egy egyenes metszéspontját és sík 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Megoldás.Írjuk fel ennek az egyenesnek az egyenleteit paraméteres formában:

Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket x, y, z helyére a sík egyenletébe:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Helyettesítsük be t = 1-et az egyenes paraméteres egyenleteibe. Kapunk

Tehát az egyenes és a sík az M(3, 2, 7) pontban metszi egymást.

Példa.Keresse meg a szöget ?az egyenes között a sík pedig 4x-2y-2z+7=0. Megoldás.Alkalmazzuk a (3.20) képletet. Mert

Hogy

Ennélfogva,? = 30°.

Egy térbeli egyenes végtelen, ezért célszerűbb szakaszként definiálni. Az euklideszi geometria iskolai kurzusából ismert az axióma: „a tér két pontján keresztül lehet egyenest húzni, ráadásul csak egyet”. Következésképpen egy diagramon egy egyenes vonal két frontális és két vízszintes pontvetülettel határozható meg. De mivel az egyenes egyenes egyenes (és nem görbe), ezért jó okkal összeköthetjük ezeket a pontokat egy egyenes szakaszsal, és megkaphatjuk az egyenes frontális és vízszintes vetületét (13. ábra).

Bizonyítás az ellenkezőjéről: a V és H vetületi síkban két a" b" és ab vetület adott (14. ábra). Rajzoljunk át rajtuk síkokat, merőlegesek a V és H vetületek síkjaira (14. ábra), a síkok metszésvonala az AB egyenes lesz.

.1 Egy vonal térbeli helyzetének különböző esetei

Az általunk vizsgált esetekben az egyenesek nem voltak sem párhuzamosak, sem merőlegesek a V, H, W vetületek síkjaira. A legtöbb egyenes pontosan ezt a helyet foglalja el a térben, és ezeket általános helyzetű egyeneseknek nevezzük. Lehetnek emelkedők vagy csökkenőek (találd ki magad).

ábrán. A 17. ábra egy egyenes vonalat mutat általános helyzetben, amelyet három vetület határoz meg. Tekintsünk egy vonalcsaládot, amelyek fontos tulajdonságokkal rendelkeznek - bármely vetületi síkkal párhuzamos egyeneseket.

ábrán. A 17. ábra egy egyenes vonalat mutat általános helyzetben, amelyet három vetület határoz meg.

Tekintsünk egy vonalcsaládot, amelyek fontos tulajdonságokkal rendelkeznek - bármely vetületi síkkal párhuzamos egyeneseket.

a) Vízszintes egyenes (egyébként - vízszintes, egyenes vonal vízszintes szinten). Ez a vízszintes vetítési síkkal párhuzamos egyenes neve. Képét térben és a diagramon a ábra mutatja. 18.

A vízszintes vonal könnyen felismerhető az ábrán „személyesen”: frontális vetülete mindig párhuzamos az OX tengellyel. A vízszintes legfontosabb tulajdonságai a következők:

A vízszintesnél a frontális vetület párhuzamos az OX tengellyel, a vízszintes pedig a tényleges méretet tükrözi. Útközben a vízszintes vonal vízszintes vetülete a diagramon lehetővé teszi annak dőlésszögének meghatározását a V síkkal (b szög) és a W (y) síkkal - 18. ábra.

b) A frontális egyenes (frontális, frontális szint egyenes) a vetületek homloksíkjával párhuzamos egyenes. Nem vizuális képpel illusztráljuk, hanem diagramjait mutatjuk be (19. ábra).

A frontális diagramra jellemző, hogy vízszintes és profilvetületei párhuzamosak az X, illetve Z tengellyel, a frontális vetület pedig tetszőlegesen helyezkedik el és a frontális természetes méretét mutatja. Útközben a diagramon az egyenes dőlésszöge látható a vetületek vízszintes (a) és profilos (y) síkjához képest. Szóval még egyszer:

Elöl - a vízszintes vetítés párhuzamos az OX tengellyel, az elülső pedig a tényleges méretet tükrözi

c) Profilegyenes. Nyilvánvalóan ez a vetületek profilsíkjával párhuzamos egyenes (20. ábra). Az is nyilvánvaló, hogy a szelvényegyenes természetes mérete a vetületek profilsíkján elérhető (a"b" vetület - 20. ábra) és itt láthatók a dőlésszögei a H (a) és a síkokhoz képest. V (b).

A következő vonalcsalád, bár nem olyan fontos, mint a szintvonalak, a vetítő vonalak.

A vetítési síkra merőleges egyeneseket vetítésnek nevezzük (a vetületi sugarak analógiájára – 21. ábra).

AB pl. H - egyenes vízszintesen kiálló pl. V - egyenes elöl kiálló; négyzet. W - egyenes profil-kiálló.

2.2 Egy egyenes és egy sík közötti szög

sík derékszögű háromszög

Derékszögű háromszög módszer

Egy általános helyzetben lévő egyenes, mint már említettük, valamilyen tetszőleges szögben hajlik a vetítési síkokhoz.

Az egyenes és a sík közötti szöget az egyenes által bezárt szög és ennek a síkra való vetülete határozza meg (22. ábra). Az a szög határozza meg az AB szakasz és a négyzet dőlésszögét. N. Fig. 22: Ab1 |1pl. N; Bb1 = Bb - Aa = Z Fig. 22

Az ABb1 derékszögű háromszögben az Ab1 szár egyenlő az ab vízszintes vetülettel; a másik láb pedig Bb1 egyenlő az A és B pontok négyzettől való távolságának különbségével. H. Ha az ab egyenes vízszintes vetületére merőlegest húzunk a B pontból, és ábrázoljuk rajta a Z értéket, akkor az a pontot a kapott b0 ponttal összekötve megkapjuk az ab0 hipotenuszt, amely megegyezik a szakasz természetes értékével. AB. A diagramon így néz ki (23. ábra):

Az egyenes dőlésszögét a (b) vetületek homloksíkjához hasonlóan határozzuk meg - ábra. 24.

Figyelem: a vonal vízszintes vetületére való konstrukciónál a Z értéket a segédvonalon halasztjuk el; frontális vetületen történő ábrázoláskor - az Y érték.

A vizsgált módszert derékszögű háromszögnek nevezzük. Segítségével meghatározhatja bármely számunkra érdekes szegmens természetes méretét, valamint a vetítési síkokhoz viszonyított dőlésszögét.

A vonalak kölcsönös helyzete

Korábban azt a kérdést vizsgáltuk, hogy egy pont egy egyeneshez tartozik-e: ha egy pont egy egyeneshez tartozik, akkor vetületei az egyenes ugyanazon vetületein fekszenek (tagsági szabály, lásd 14. ábra). Egy iskolai geometria tantárgyból ne feledjük: két egyenes egy pontban metszi egymást (vagy: ha két egyenesnek egy közös pontja van, akkor ebben a pontban metszik egymást).

Az ábrán a metszővonalak vetületeinek van egy markáns sajátossága: a metszéspont vetületei ugyanazon a csatlakozási vonalon fekszenek (25. ábra). Valóban: a K pont AB-hoz és CD-hez is tartozik; a diagramon a k" pont ugyanazon a csatlakozási egyenesen van, mint a k pont.

Az AB és CD egyenes vonalak metszik egymást

Két egyenes következő lehetséges kölcsönös elrendezése a térben az, hogy az egyenesek metszik egymást. Ez akkor lehetséges, ha a vonalak nem párhuzamosak, de nem is metszik egymást. Az ilyen egyenesek mindig két párhuzamos síkba zárhatók (26. ábra). Ez nem jelenti azt, hogy két egymást metsző egyenes szükségszerűen két párhuzamos síkban van; de csak hogy két párhuzamos síkot lehet rajtuk keresztül húzni.

Két egymást metsző egyenes vetületei keresztezhetik egymást, de metszéspontjaik nem ugyanazon a csatlakozási vonalon fekszenek (27. ábra).

Útközben megoldjuk a versengő pontok kérdését (27. ábra). A vízszintes vetületen két pontot látunk (e,f), a frontális vetületen pedig egybeolvadnak (e"f"), és nem egyértelmű, hogy melyik pont látható és melyik nem látható (versenyző pontok) .

Két pontot, amelyek frontális vetületei egybeesnek, frontálisan versengőnek nevezzük.

Hasonló esetet vizsgáltunk korábban (11. ábra), amikor a „két pont kölcsönös helyzete” témakört vizsgáltuk. Ezért alkalmazzuk a szabályt:

Két versengő pont közül az tekinthető láthatónak, amelynek koordinátája nagyobb.

ábrából A 27. ábrán látható, hogy az E (e) pont vízszintes vetülete távolabb van az OX tengelytől, mint az f pont. Ezért az „e” pont „Y” koordinátája nagyobb, mint az f ponté; ezért az E pont látható lesz. A frontális vetületen az f" pont láthatatlanként zárójelben van.

Egy másik következmény: az e pont az ab egyenes vetületéhez tartozik, ami azt jelenti, hogy a frontális vetületen az a"b" egyenes a c"d egyenes "felül" helyezkedik el.

Párhuzamos vonalak

A diagramon lévő párhuzamos egyenesek látásból könnyen felismerhetők, mivel két azonos nevű párhuzamos egyenes vetülete párhuzamos.

Figyelem: azonos nevűek! Azok. A frontális vetületek párhuzamosak egymással, a vízszintesek pedig egymással párhuzamosak (29. ábra).

Bizonyítás: a 28. ábrán két párhuzamos AB és CD egyenes van megadva térben. Rajzoljuk át rajtuk a Q és T vetületi síkokat - ezek párhuzamosak lesznek (mert ha egy sík két metsző egyenese párhuzamos egy másik sík két metsző egyenesével, akkor az ilyen síkok párhuzamosak).

A 30a diagramon párhuzamos egyenesek, a 30b diagramon keresztező vonalak vannak megadva, bár mindkét esetben a homlok- és vízszintes vetületek egymással párhuzamosak.

Van azonban egy technika, amellyel két profilvonal egymáshoz viszonyított helyzetét határozhatja meg anélkül, hogy harmadik vetületet kellene létrehoznia. Ehhez elegendő a nyúlványok végeit segédegyenesekkel összekötni, amint az a 30. ábrán látható. Ha kiderül, hogy ezen egyenesek metszéspontjai ugyanazon a csatlakozási vonalon fekszenek - a profilegyenesek egymással párhuzamosan - ábra. Z0a. Ha nem, akkor keresztmetszeti egyenesek (306. ábra).

Az egyenes vonalak helyzetének speciális esetei:

Derékszögű vetületek

Ha két általános egyenes derékszögben metszi egymást, akkor vetületeik nem 90°-os szöget alkotnak (31. ábra).

És mivel amikor két párhuzamos sík metszi egy harmadikat, akkor a metszéspontban párhuzamos egyenesek keletkeznek, akkor az ab és cd vízszintes vetületek párhuzamosak.

Ha megismételjük a műveletet, és az AB és CD egyeneseket a vetületek frontális síkjára vetítjük, akkor ugyanazt az eredményt kapjuk.

Egy speciális esetet két profilegyenes ábrázol, amelyeket frontális és vízszintes vetületek határoznak meg (30. ábra). Mint elhangzott, a profilvonalaknál a homlok- és vízszintes vetületek egymással párhuzamosak, azonban e tulajdonság alapján lehetetlen megítélni két profilvonal párhuzamosságát harmadik vetület készítése nélkül.

Feladat. Szerkesszünk egy ABC egyenlő szárú derékszögű háromszöget, amelynek BC szára az MN egyenesen fekszik (34. ábra).

Megoldás. A diagramból jól látható, hogy az MN egyenes egy vízszintes vonal. És a feltétel szerint a szükséges háromszög derékszögű.

Használjuk ki a derékszög vetületének tulajdonságát, és engedjük le a merőleges HA mn vetületet az „a” pontból (derékszögünket torzítás nélkül vetítjük a H négyzetre) - Fig. 35.

A szakasz végétől merőlegesen húzott segédvonalként a vonal vízszintes vetületének egy részét, nevezetesen bm-t használjuk (36. ábra). Ábrázoljuk rajta a frontális vetületből vett Z koordináták különbségének értékét, és kössük össze az „a” pontot a kapott szakasz végével. Megkapjuk az AB láb tényleges méretét (ab ; ab).

A 31. és 32. ábrán két általános helyzetű egyenes látható, amelyek 90°-os szöget zárnak be egymással (a 32. ábrán ezek az egyenesek ugyanabban a P síkban fekszenek). Amint látható, az ábrákon az egyenesek vetületei által alkotott szög nem egyenlő 90°-kal.

A derékszög vetítését külön kérdésnek tekintjük a következő okból:

Ha a derékszög egyik oldala párhuzamos bármely vetítési síkkal, akkor a derékszög torzítás nélkül erre a síkra vetül (33. ábra).

Ezt nem bizonyítjuk (dolgozza át saját maga), hanem figyelembe vesszük, hogy milyen előnyök származhatnak ebből a szabályból.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy a feltételnek megfelelően a derékszög egyik oldala párhuzamos bármely vetítési síkkal, ezért az egyik oldal frontális vagy vízszintes lesz (esetleg profilegyenes) - 1. ábra. 33.

Az ábrán a frontális és a vízszintes pedig könnyen felismerhető „látásból” (az egyik vetület szükségszerűen párhuzamos az OX tengellyel), vagy szükség esetén könnyen megszerkeszthető. Ezenkívül a frontális és a vízszintes rendelkezik a legfontosabb tulajdonsággal: az egyik vetületük szükségszerűen tükröz

A tagsági szabályt használva megtaláljuk a b" pont frontális vetületét a kommunikációs egyenes segítségével. Most van egy AB lábunk (a"b";ab).

A BC láb MN oldalra helyezéséhez először meg kell határoznia az AB szakasz tényleges méretét (a d ; ab). Ehhez a már tanulmányozott derékszögű háromszög szabályt fogjuk használni.

KÖVETKEZTETÉS

Egyenes térbeli általános egyenletei

Az egyenes egyenlete két sík metszésvonalának egyenletének tekinthető. Amint azt fentebb tárgyaltuk, egy vektor formájú síkot a következő egyenlettel lehet megadni:

× + D = 0, ahol

Sík normál; - a sugár egy tetszőleges pont vektora a síkon.

Legyen két sík adott a térben: × +D 1= 0 és × +D 2= 0, a normálvektorok koordinátái vannak: (A 1,B 1, C 1), (A 2,B 2, C 2); (x, y, z). Ezután az egyenes általános egyenletei vektoros formában:

Egyenes általános egyenletei koordináta alakban:

Ehhez meg kell találni egy tetszőleges pontot az egyenesen és az m, n, p számokat Ebben az esetben az egyenes irányvektora a normálvektorok adott síkokhoz való vektorszorzataként megtalálható.

Egyenlet egy sík térben

Legyen a megadott pont és nem nulla vektor (vagyis , Ahol

tekintettel arra a normálvektor.

Ha , , , ..., akkor az egyenlet formára konvertálható . Számok , És , És

Hadd - Valamelyik pont a gépen, - a síkra merőleges vektor. Aztán az egyenlet ennek a síknak az egyenlete.

Esély , ; a síkegyenletben a síkra merőleges vektor koordinátái.

Ha a sík egyenletét elosztjuk a vektor hosszával megegyező számmal , akkor megkapjuk a sík egyenletét normál alakban.

Egy ponton áthaladó sík egyenlete és merőleges a nullától eltérő vektorra, alakja van .

Bármely elsőfokú egyenlet Egyetlen síkot határoz meg a koordinátatérben, amely merőleges a koordinátákkal rendelkező vektorra.

Az egyenlet a ponton áthaladó sík egyenlete és merőleges egy nem nulla vektorra.

Mindegyik repülőgép derékszögű koordinátarendszerben adjuk meg , , a forma egyenlete .

feltéve, hogy az együtthatók között , , vannak nem nullák, ez egy térbeli síkot határoz meg egy téglalap alakú koordinátarendszerben. A térben lévő sík téglalap alakú koordinátarendszerben van megadva , , a forma egyenlete , feltéve, hogy .

Ennek fordítva is igaz: a forma egyenlete tekintettel arra téglalap alakú koordinátarendszerben határoz meg egy síkot a térben.

Ahol , , , , ,

A tér síkját az egyenlet adja meg , Ahol , , , valós számok, és , , egyidejűleg nem egyenlők 0-val, és alkotják a vektor koordinátáit , merőleges erre a síkra, és normálvektornak nevezzük.

Legyen a megadott pont és nem nulla vektor (vagyis ). Ezután a sík vektoregyenlete , Ahol - a sík tetszőleges pontja) alakot ölt - sík egyenlete pontonként és normálvektoronként.

Minden elsőfokú egyenlet tekintettel arra derékszögű koordinátarendszerben adja meg az egyetlen sík, amelyre a vektor a normálvektor.

Ha , , , , akkor az egyenlet formára konvertálható . Számok , És egyenlő azoknak a szakaszoknak a hosszával, amelyeket a sík a tengelyeken levág , És illetőleg. Ezért az egyenlet a sík egyenlete „szegmensekben”.

A HASZNÁLT FORRÁSOK LISTÁJA

1.Sztereometria. Geometria a térben. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I.

2.Alexandrov P. S. Az analitikai geometria és a lineáris algebra tanfolyama. - Fizikai és matematikai irodalom főszerkesztősége, 2000.- 512 p.

.Beklemisev D.V. Analitikus geometria és lineáris algebra tantárgy, 2005. - 304 p.

.Iljin V. A., Poznyak E. G. Analitikai geometria: Tankönyv. egyetemek számára. - 7. kiadás, ster., 2004. - 224 p. - (Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy.)

.Efimov N.V. Az analitikus geometria rövid kurzusa: Tankönyv. juttatás. - 13. kiadás, sztereot. -, 2005. - 240 p.

.Kanatnikov A.N., Krischenko A.P. Analitikus geometria. -2. kiadás -, 2000, 388 p. (Matematika szak a Műszaki Egyetemen

.Kadomtsev SB. Analitikus geometria és lineáris algebra, 2003. - 160 p.

.Fedorchuk V.V. Az analitikus geometria és a lineáris algebra tanfolyama: Tankönyv. pótlék, 2000. - 328 p.

.Analitikai geometria (E.V. Troitsky előadásjegyzetei, 1. évfolyam, 1999/2000) - 118 p.

.Bortakovszkij, A.S. Analitikus geometria példákban és feladatokban: Tankönyv. Előny / A.S. Bortakovszkij, A.V. Pantelejev. - Magasabb iskola, 2005. - 496 p.: ill. - ("Alkalmazott matematika" sorozat).

.Morozova E.A., Sklyarenko E.G. Analitikus geometria. Módszertani kézikönyv 2004. - 103 p.

.Módszertani utasítások és munkaprogram a „Felső matematika” kurzushoz - 55 p.