Mindennek megvan a maga határa. Határok a matematikában a bábokhoz: magyarázat, elmélet, megoldási példák

Tudd, hogy mindenkinek más a „sérelme”,
Tudd, hogy mindenkinek más az „ijesztő”.
Ne a harangtornyod alapján ítélj
Nem ismert, hogy hány emelet van.

Ne nézd a határokat
Ne találj ki korlátokat az agyaddal.
Miről álmodozna egy rémálomban?
Egyesek számára ez általános dolog.

Tudd, hogy mindenkinek más a "kellene"
Tudd, hogy mindenkinek más a „nehézsége”.
Azonban a pokol gondolata
Lehetetlen általánosítani és összehasonlítani.

Tudd, hogy az igazság más,
És nem azt, amelyet tányéron tálalnak.
Nézze meg közelebbről azokat, akiknek a sorsa ijesztő,
Ezek a legerősebb emberek.

Ne mondd, hogy nem emlékszem rád...
Mindenre emlékszem, naponta sokszor
Ismétlem a telefonszámot
De soha nem foglak hívni.
Úgy éreztem, mindjárt megszakad a szívem
És a magányos napok határán

Lelkemben túlléptek a horizonton.
Volt szerelem, volt szerelem, volt!
És ehhez a mondathoz nincs mit hozzáfűzni.
Varázsvárunk porig égett
És nem hagyott hamut, hogy emlékezzünk ránk.
Mindenre emlékszem, és emlékszem a virágzó kertre,
És a lombozaton keresztül - sugarak minden oldalról,
Mintha egy fehér, fehér harangtoronyból
Lelkedben - hallod - csendes csengés ömlik.
A szerelem elmúlt és soha többé nem tér vissza,
És hogy ne hiányozzon örökre,
A szemed olyan, mint két szomorú nap
Lelkemben túlléptek a horizonton.

A boldogság keresése ismét sikertelen...
És esős este van, kint borongós...
Gyerekként pedig... zsemlét kentem lekvárral
És határozottan boldog, ostobán boldog...

Glamour, etikett, gyémántok, jakuzzi...
Most, a boldogság mellett, az „All inclusive” sorsában,
És gyerekként napraforgómagot ettem,
És úgy tűnt, a boldogságnak nincs határa...

Olyanok lettünk, mint a bohócok...
Mindenki olyan sminket visel, ami kívülről nevet...
És gyerekkorban... csak a nap tört át az égből
És a boldog szív annyit mosolygott...

Olyan embereket választunk, mint a hajdina a Hamupipőkében...
Keressen mindenkit, akire szüksége van... Aki veszteséges, az megy a tűzhelyhez...
És gyermekkorban a tiszta égbolt hitt bennünk...
Hol van az öröm a friss kenyér illatától?

És most a barátság is megvásárolható...
Megcsináltuk... A szőrme és bőr világában élünk...
És gyerekkorukban megmentették a korcsot az esőtől...
És azzal, hogy boldogságot adtak, megkapták.

Az évek során elveszítettük az őszinteségünket és az érzékenységünket...
Mi magunk találtuk ki a határokat és a kereteket...
Van egy zsemle és egy üveg meggylekvár?
Szóval legyél pokolian boldog!

Rád nézek és rájövök, hogy még mindig szeretlek. Ez a szerelem az elmúlt évek krónikus betegsége. Olyan elviselhetetlen fájdalmat okoz, hogy teljesen idegenekre vetem magam, megpróbálva megtéveszteni őket, náluk hirtelen ezekben az ölelésekben találom meg azt a fájdalomcsillapítót, ami a ráncos szívek tulajdonosai szerint egyáltalán nem létezik. Megértem, hogy becsapnak, de továbbra is ölelgetek - másképp nem tudom megölni magam, fáj, kínoz, nem enged éjszaka aludni, ezért ülök az ablakpárkányon és egy másik percben szívszorítóan sikoltozok majd az illúziók kínzásától. Forduljak hozzád segítségért? Hiábavaló. Tudsz a szerelmemről, de nincs rá szükséged, „tele van a szád kimondatlan érzésekkel”. A felelőtlenség ugyanabban a hálójában élünk, de nem tudunk segíteni egymásnak. Körbefonod a kezed a vékony fehér szálak és rudak köré, és valahova a valóság határain túlra tekintesz, remélve, hogy Isten tudja, kinek a segítségét. És csak egy különbség van közöttünk: az irántad érzett szerelmem majdnem ledöntött a lábamról, a valaki iránti szereteted pedig várakozással táplál és feléleszt, bár megtévesztő. Nem akarok többé rád nézni, kiűzöm a lehetőséged a szívemből, de ez még fájdalmasabbá teszi. Így hát suttogva megy végig a szenvedés folyamatán, remélve, hogy Isten tudja kinek a segítségét is. Idő?..

Az életed teljes hazugság, pornó, mindennapi élet, internetfüggőség és mobiltelefon-rabszolgaság. Nos, nincs igazam? Mondd, csináltál valaha valami igazán szokatlant? Soha. És nem teheted. Tudod miért? Mert mindez kívül esik a komfortzónádon. Be vagy csomagolva. Mint egy polipropilén zacskóban. Húsdarabok vagytok, akiket a mindennapi élet és a munka korlátai szorítanak. Vagy tévedek? Lehet, hogy nincs igazam? Javíts ki.
Például odaadhatja-e a mobiltelefonját annak, akivel először találkozik? A? Trükkös kérdés. Meg tudod formázni a csavart a számítógépeden most? Néma? Elszartad magad? Tudod miért nem csinálod ezt? Mert ez egyenlő az öngyilkossággal. Enélkül nem létezel.

A korlátok sok gondot okoznak minden matematikus tanulónak. Egy határ megoldásához időnként rengeteg trükköt kell bevetni, és a sokféle megoldási mód közül pontosan azt kell kiválasztani, amelyik az adott példához illik.

Ebben a cikkben nem segítünk abban, hogy megértse képességei határait, vagy megértse az irányítás korlátait, hanem megpróbáljuk megválaszolni a kérdést: hogyan lehet megérteni a határokat a magasabb matematikában? A megértés tapasztalattal jár, ezért egyúttal több részletes példát is adunk a korlátok megoldására magyarázatokkal.

A határ fogalma a matematikában

Az első kérdés: mi ez a határ és minek a határa? Beszélhetünk a numerikus sorozatok és függvények határairól. Érdekel bennünket a függvény határának fogalma, hiszen ezzel találkoznak leggyakrabban a tanulók. De először a határ legáltalánosabb meghatározása:

Tegyük fel, hogy van valamilyen változó érték. Ha ez az érték a változás folyamatában korlátlanul megközelít egy bizonyos számot a , Azt a – ennek az értéknek a határa.

Egy bizonyos intervallumban meghatározott függvényre f(x)=y az ilyen számot határértéknek nevezzük A , amelyre a függvény hajlamos mikor x , hajlamos egy bizonyos pontra A . Pont A ahhoz az intervallumhoz tartozik, amelyen a függvény definiálva van.

Nehéznek hangzik, de nagyon egyszerűen van leírva:

Lim- angolról határ- limit.

A határérték meghatározásának geometriai magyarázata is van, de itt nem merülünk el az elméletben, mivel minket inkább a gyakorlati, mintsem az elméleti oldala érdekel. Amikor azt mondjuk x valamilyen értékre hajlik, ez azt jelenti, hogy a változó nem veszi fel egy szám értékét, hanem végtelenül közelíti azt.

Mondjunk egy konkrét példát. A feladat a határ megtalálása.

A példa megoldásához behelyettesítjük az értéket x=3 függvénybe. Kapunk:

Egyébként, ha érdekel, olvass el egy külön cikket erről a témáról.

Példákban x hajlamos bármilyen értékre. Bármilyen szám vagy végtelen lehet. Íme egy példa, amikor x a végtelenbe hajlik:

Intuitív módon minél nagyobb a szám a nevezőben, annál kisebb értéket vesz fel a függvény. Tehát korlátlan növekedéssel x jelentése 1/x csökkenni fog és megközelíti a nullát.

Amint látja, a korlát feloldásához csak be kell cserélni a függvénybe a törekedni kívánt értéket x . Ez azonban a legegyszerűbb eset. A határ megtalálása gyakran nem olyan nyilvánvaló. A határokon belül vannak a típus bizonytalanságai 0/0 vagy végtelen/végtelen . Mi a teendő ilyen esetekben? Használd a trükköket!

Bizonytalanságok belül

A végtelen/végtelen alak bizonytalansága

Legyen egy határ:

Ha megpróbáljuk a függvénybe behelyettesíteni a végtelent, akkor a számlálóban és a nevezőben is végtelent kapunk. Általában érdemes elmondani, hogy van egy bizonyos eleme a művészetnek az ilyen bizonytalanságok feloldásában: észre kell venni, hogyan lehet a függvényt úgy átalakítani, hogy a bizonytalanság megszűnjön. Esetünkben a számlálót és a nevezőt elosztjuk vele x felsőfokon. Mi fog történni?

A fentebb már tárgyalt példából tudjuk, hogy a nevezőben x-et tartalmazó kifejezések nullára hajlanak. Akkor a megoldás a határra:

A típusbizonytalanságok feloldásához végtelen/végtelen oszd el a számlálót és a nevezőt ezzel x a legmagasabb fokig.

Apropó! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak

A bizonytalanság másik fajtája: 0/0

Mint mindig, értékek behelyettesítése a függvénybe x=-1 ad 0 a számlálóban és a nevezőben. Nézze meg egy kicsit alaposabban, és észre fogja venni, hogy van egy másodfokú egyenlet a számlálóban. Keressük meg a gyökereket, és írjuk:

Csökkentsük és kapjuk:

Tehát, ha típusbizonytalansággal néz szembe 0/0 – faktorozza a számlálót és a nevezőt.

A példák könnyebb megoldása érdekében bemutatunk egy táblázatot néhány függvény korlátaival:

L'Hopital uralma belül

Egy másik hatékony módszer mindkét típusú bizonytalanság kiküszöbölésére. Mi a módszer lényege?

Ha a határértékben bizonytalanság van, vegye fel a számláló és a nevező deriváltját, amíg a bizonytalanság el nem tűnik.

A L'Hopital szabálya így néz ki:

Fontos pont : az a határ, amelyben a számláló és a nevező helyett a számláló és a nevező deriváltjainak létezniük kell.

És most egy igazi példa:

Jellemző a bizonytalanság 0/0 . Vegyük a számláló és a nevező származékait:

Voila, a bizonytalanság gyorsan és elegánsan feloldódik.

Reméljük, hogy ezeket az információkat hasznosan tudja alkalmazni a gyakorlatban, és megtalálja a választ a „hogyan oldjuk meg a határértékeket a felsőbb matematikában” kérdésre. Ha egy szekvencia határértékét vagy egy függvény határértékét kell kiszámítania egy ponton, és erre a munkára egyáltalán nincs idő, forduljon szakképzett diákszolgálathoz a gyors és részletes megoldásért.



Huszonnyolc hosszú éve volt, és ezen kívül huszonnyolc tél,

Egyet titkolt, és példamutató férj volt a családban.
Minden a szokásosnak tűnt: a feleségem vacsorát készített...
De hirtelen valami rossz történt: eszébe jutott a titok.
A káposztaleves zajára és savanyú illatára, a jegyesem reggeli morogására,
Mindenre a legapróbb részletekig emlékezett, mintha tegnap történt volna...
...Az ablaknál ült, és a lágy csodálatos holdfény
Gyönyörű sziluettjét halvány tónusokra festette...
A szálak átfolytak a vállakon, kígyóként csúsztattak a mellkasra...
És hirtelen arra gondolt: "Egyszer feleségül veszem!"
Mindenre emlékezett a legapróbb részletekig: a vonalak íveire, az ajkak lágyságára...
És az egyszerű beszédeinek melege, és egy hatalmas tölgyfa az ablakon kívül.
Kezek összefonódása... Testek összeolvadása... Barna hajzuhatag...
És mennyire akarta őt az őrületig, a könnyekig!
Remegő vallomások áradata, mennyire a fülembe súgta őket!
Vicces göndör a fül fölött, ami remegett a légzéstől...
Vizes szemekkel nézett rá, mint az éjszaka.
A szavak bódítóak voltak, mint a bor: „Szeretlek... Adj egy lányt...”
Reggelre elvesztette a békét: nyüzsgött, aztán unatkozott...
Aztán kezével eltakarva az arcát, leült egy székre és elhallgatott.
A feleség morogta, mint mindig. Megszidta az elszabadult levest...
És megjegyezte, hogy az évek nem feleltek meg neki, mivel öregedett.
Ahogy a fehér szín és a festett hajszálak sem állnak jól neki.
És huszonnyolc évig minden valahogy nem volt komoly...
Hirtelen felpattant, megragadta a kabátját, és megfeledkezett a kalapjáról és a zoknijáról.
Nem egyforma mind a huszonnyolc év... Mind a huszonnyolc tél melankolikus.
Megtalálta a házat. A házban tölgyfa található. Felszaladt a lépcsőn, mint egy nyíl...
Bárcsak megállíthatnám a hideg ajkak remegését, és az undorító gyávaságot - el!
Valószínűleg most teát iszik, és kendőbe bugyolálja magát...
És szép szeméből csendes szomorúság árad...
Vagy talán elkezdett kötni? Vagy esetleg csipkét szőni?
Annyi mindent lehet neki mondani! És a legfontosabb az, hogy azt mondjam: sajnálom…
Kinyitotta az ajtót... Szemében kérdés volt. Újra húsz éves volt...
Barna hajzuhatag... Szívnek ismerős sziluett...
A fül fölött enyhe göndörség van... Pont mint sok évvel ezelőtt - pontosan ugyanaz...
– Nem tévedsz? „Nem, nem tudtam... Anya vagy?” Vera. Lánya…"
"És Anya?" - "Anya nincs többé... Ki vagy te?" Visszafordult:
"Huszonnyolc évig jártam hozzá..." - Rád várt... Huszonöt...
Milyen szédül... Hogy összeszorult a szívem a mellkasomban!
És imával emlékezett szavaira: „Ne menj el!”
Meggörnyedt. Elindult. Kezek összefonódása... Testek összefonódása...
Szeretlek... Adj egy lányt... De ő nagyon akart egy lányt.
Milyen furcsa. Anya nincs többé... Sírtam... Belevetettem a csendbe: „Sok-sok évig szeretni foglak... Egyedül...”

P.S. VIGYÁZZ A SZERETETRE - ez a boldogságod alapja...



Egy nő, aki nagyon gyakran megbocsát és nagyon sokáig kitart, gyakran váratlanul és örökre távozik!