A Pitagorasz-tétel története. A tétel bizonyítása

Akit érdekel az iskolai tantervben tanulmányozott Pitagorasz-tétel története, az olyan tényre is kíváncsi lesz, mint 1940-ben egy könyv, amely háromszázhetven bizonyítékát tartalmazza ennek az egyszerűnek tűnő tételnek. De sok különböző korszak matematikusát és filozófusát felkeltette az érdeklődés. A Guinness Rekordok Könyvében ez a tétel a maximális számú bizonyítással szerepel.

Pitagorasz-tétel története

A Pythagoras nevéhez kapcsolódó tétel már jóval a nagy filozófus születése előtt ismert volt. Így Egyiptomban az építmények építése során ötezer évvel ezelőtt vették figyelembe a derékszögű háromszög oldalarányát. A babiloni szövegek ugyanezt a képarányt említik egy derékszögű háromszögnek 1200 évvel Pythagoras születése előtt.

Felmerül a kérdés, miért mondja akkor a történelem, hogy a Pitagorasz-tétel eredete az ő tulajdona? Csak egy válasz lehet – bizonyította az oldalak arányát egy háromszögben. Megtette azt, amit évszázadokkal ezelőtt nem tettek meg azok, akik egyszerűen a tapasztalatok alapján megállapított képarányt és hipotenuszt használták.

Pythagoras életéből

A leendő nagy tudós, matematikus, filozófus Szamosz szigetén született ie 570-ben. A történelmi dokumentumok megőriztek információkat Pythagoras édesapjáról, aki drágakőfaragó volt, de anyjáról nincs információ. A megszületett fiúról azt mondták, hogy rendkívüli gyerek volt, aki gyermekkora óta szenvedélyt mutatott a zene és a költészet iránt. A történészek között szerepel Hermodamas és Szírosz Pherecidész, mint a fiatal Pythagoras tanítói. Az első bevezette a fiút a múzsák világába, a második pedig filozófusként és az olasz filozófiai iskola megalapítójaként a logoszra irányította a fiatalember tekintetét.

22 évesen (i. e. 548) Pythagoras Naokratiszba ment, hogy tanulmányozza az egyiptomiak nyelvét és vallását. Utána Memphisben vezetett az útja, ahol a leleményes próbáikon átesett papoknak köszönhetően megértette az egyiptomi geometriát, ami talán arra késztette a kíváncsi fiatalembert, hogy bebizonyítsa a Pitagorasz-tételt. A történelem később ezt a nevet rendeli a tételhez.

Babilon királyának fogsága

Hazafelé Hellászba tartva Pythagorast elfogja Babilon királya. De a fogságban való tartózkodás jót tett a törekvő matematikus érdeklődő elméjének; sokat kellett tanulnia. Valójában azokban az években Babilonban fejlettebb volt a matematika, mint Egyiptomban. Tizenkét évig tanult matematikát, geometriát és mágiát. És talán a babiloni geometria volt az, amely részt vett a háromszög oldalai arányának bizonyításában és a tétel felfedezésének történetében. Pitagorasznak volt ehhez elegendő tudása és ideje. De nincs dokumentum megerősítése vagy cáfolata, hogy ez Babilonban történt.

Kr.e. 530-ban. Pythagoras a fogságból hazájába szökik, ahol a zsarnok, Polikratész udvarában él félig rabszolgaként. Pythagoras nincs megelégedve ezzel az élettel, és visszavonul a szamoszi barlangokba, majd Olaszország déli részébe megy, ahol akkoriban a görög Croton kolónia volt.

Titkos szerzetesrend

E kolónia alapján Pythagoras titkos szerzetesrendet szervezett, amely egyszerre volt vallási szövetség és tudományos társaság. Ennek a társaságnak volt saját chartája, amely egy különleges életmód megfigyeléséről szólt.

Pythagoras azzal érvelt, hogy Isten megértéséhez az embernek ismernie kell olyan tudományokat, mint az algebra és a geometria, ismernie kell a csillagászatot és értenie kell a zenét. A kutatómunka a számok és a filozófia misztikus oldalának ismeretében csapódott le. Meg kell jegyezni, hogy a Pythagoras által akkor hirdetett alapelveknek van értelme a mai utánzásban.

Püthagorasz tanítványainak számos felfedezését neki tulajdonították. Röviden azonban, az ókori történészek és életrajzírók Pythagorean-tételének létrehozásának története közvetlenül kapcsolódik ennek a filozófusnak, gondolkodónak és matematikusnak a nevéhez.

Pythagoras tanításai

Talán a tétel és a Pythagoras neve közötti kapcsolat gondolatát a nagy görög kijelentése indította el, miszerint életünk összes jelensége a hírhedt háromszögben van titkosítva, annak lábaival és hipotenuzusával. És ez a háromszög a „kulcs” minden felmerülő probléma megoldásához. A nagy filozófus azt mondta, hogy látnod kell a háromszöget, akkor úgy gondolhatod, hogy a probléma kétharmada megoldott.

Tanításáról Pythagoras csak szóban beszélt tanítványainak, jegyzetelés nélkül, titokban tartotta. Sajnos a legnagyobb filozófus tanításai a mai napig nem maradtak fenn. Valami kiszivárgott belőle, de nem lehet megmondani, hogy mennyi igaz és mennyi hamis az ismertté váltakból. Még a Pitagorasz-tétel történetében sem minden biztos. A matematikatörténészek kétségbe vonják Pythagoras szerzőségét, véleményük szerint a tételt sok évszázaddal születése előtt használták.

Pitagorasz tétel

Furcsának tűnhet, de nincsenek történelmi tények, amelyek igazolnák magát Pythagoras tételét - sem az archívumban, sem más forrásokban. A modern változatban úgy vélik, hogy nem másé, mint magának Eukleidésznek.

Bizonyítékok vannak az egyik legnagyobb matematikatörténésztől, Moritz Cantortól, aki a berlini múzeumban tárolt papiruszon fedezte fel, amelyet az egyiptomiak írtak le Kr.e. 2300 körül. e. egyenlőség, amely így szól: 3² + 4² = 5².

A Pitagorasz-tétel rövid története

Az euklideszi „Principles” tétel megfogalmazása fordításban ugyanúgy hangzik, mint a modern értelmezésben. Az ő olvasatában nincs újdonság: a derékszöggel ellentétes oldal négyzete egyenlő a derékszöggel szomszédos oldalak négyzeteinek összegével. Azt a tényt, hogy India és Kína ősi civilizációi alkalmazták ezt a tételt, megerősíti a „Zhou - bi suan jin” értekezés. Információkat tartalmaz az egyiptomi háromszögről, amely a képarányt 3:4:5-ben írja le.

Nem kevésbé érdekes egy másik kínai matematikai könyv, a „Chu Pei”, amely szintén megemlíti a Pitagorasz-háromszöget olyan magyarázatokkal és rajzokkal, amelyek egybeesnek Bashara hindu geometria rajzaival. Magáról a háromszögről a könyv azt mondja, hogy ha egy derékszöget fel lehet bontani alkotórészeire, akkor az oldalak végeit összekötő egyenes öttel lesz egyenlő, ha az alap három, a magasság pedig négy. .

„Sulva Sutra” indiai értekezés, amely körülbelül az ie 7-5. századból származik. e., derékszög megalkotásáról beszél az egyiptomi háromszög felhasználásával.

A tétel bizonyítása

A középkorban a diákok túl nehéznek tartották egy tétel bizonyítását. A gyenge tanulók fejből tanulták a tételeket, anélkül, hogy megértették volna a bizonyítás jelentését. E tekintetben a „szamarak” becenevet kapták, mert a Pitagorasz-tétel leküzdhetetlen akadályt jelentett számukra, mint egy híd a szamárnak. A középkorban a diákok humoros verssel álltak elő e tétel témájában.

A Pitagorasz-tétel legegyszerűbb bizonyításához egyszerűen meg kell mérni az oldalait, anélkül, hogy a bizonyításban használnánk a területek fogalmát. A derékszöggel szemközti oldal hossza c, a mellette pedig a és b, ennek eredményeként a következő egyenletet kapjuk: a 2 + b 2 = c 2. Ezt az állítást, mint fentebb említettük, egy derékszögű háromszög oldalainak hosszának mérésével igazoljuk.

Ha a tétel bizonyítását a háromszög oldalaira épített téglalapok területének figyelembevételével kezdjük, meg tudjuk határozni a teljes ábra területét. Ez egyenlő lesz egy (a+b) oldalú négyzet területével, másrészt négy háromszög és a belső négyzet területének összegével.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a2+2ab+b2;

c 2 = a 2 + b 2, amit bizonyítani kellett.

A Pitagorasz-tétel gyakorlati jelentősége abban rejlik, hogy segítségével meg lehet határozni a szakaszok hosszát mérés nélkül. A szerkezetek építése során számítják a távolságokat, a támasztékok és a gerendák elhelyezését, meghatározzák a súlypontokat. A Pitagorasz-tételt minden modern technológiában is alkalmazzák. Nem feledkeztek meg a tételről sem a 3D-6D dimenziós filmek készítésekor, ahol az általunk megszokott három dimenzió mellett: magasság, hossz, szélesség, idő, szag és íz is számításba jön. Kérdezed, hogyan kapcsolódnak az ízek és a szagok a tételhez? Minden nagyon egyszerű - film vetítésekor ki kell számolni, hogy hol és milyen szagokat és ízeket irányítson a nézőtéren.

Ez még csak a kezdet. Az új technológiák felfedezésének és létrehozásának korlátlan lehetősége várja a kíváncsi elméket.

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma

Önkormányzati oktatási intézmény

Lebotersky általános középiskola

Chainsky kerület, Tomszk régió

ABSZTRAKT

ebben a témában: Pythagoras és tétele

Elkészült:

8. osztályos tanulók

Pchelkina Irina

Makarova Nadezhda

Felügyelő:

Stasenko V.K.,

matematika tanár

Bevezetés………………………………………………………………………………………………….. 3

1. Pythagoras életrajzából………………………………………………………………………..3

2. Pitagorasz és a Pythagoreusok………………………………………………………………………. …4

3. A tétel keletkezésének történetéből……………………………………………….. ..5

4. A tétel hat bizonyítása……………………………………………….6

4.1. Ősi kínai bizonyítékok……………………………………… 6

4.2. J. Gardfield bizonyítéka ……………………………………… 7.

4.3 A legrégebbi bizonyíték……………………………………………….. 8.

4.4. A legegyszerűbb bizonyíték……………………………………………… 9

4.5 A régiek bizonyítása…………………………………10

4.6. Euklidész bizonyítása………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. A Pitagorasz-tétel alkalmazása …………………………………………………………… 12

5.1. Elméleti problémák……………………………………………..13

5.2. Gyakorlati problémák (régi) ……………………………………… 14

Következtetés…………………………………………………………………………………15

Hivatkozások……………………………………………………………… 16

BEVEZETÉS

Ebben a tanévben megismerkedtünk egy érdekes tétellel, amely, mint kiderült, ősidők óta ismert:

"Egy derékszögű háromszög hipotenuszára épített négyzet egyenlő a lábakra épített négyzetek összegével."

Ennek az állításnak a felfedezését általában az ókori görög filozófusnak és matematikusnak, Püthagorasznak tulajdonítják (Kr. e. 6. század). De az ősi kéziratok tanulmányozása kimutatta, hogy ez az állítás már jóval Pitagorasz születése előtt ismert volt.

Kíváncsiak voltunk, hogy ebben az esetben miért kapcsolódik Pitagorasz nevéhez.

Kutatásunk célja az volt, hogy megtudjuk, ki volt Püthagorasz, és hogyan viszonyul ehhez a tételhez. Tanulmányozva a tétel történetét, úgy döntöttünk, hogy megtudjuk:

o Vannak más bizonyítások is ennek a tételnek?

o Mi a jelentősége ennek a tételnek az emberek életében?

o Milyen szerepet játszott Pitagorasz a matematika fejlődésében?

1. Pythagoras életrajzából

Szamoszi Pythagoras nagy görög tudós. Nevét minden iskolás ismeri. Ha megkérnek, hogy nevezzen meg egy ókori matematikust, a túlnyomó többség Pythagorast fogja megnevezni. Hírneve a Pitagorasz-tétel nevéhez fűződik. Bár ma már tudjuk, hogy ezt a tételt az ókori Babilonban 1200 évvel Püthagorasz előtt, Egyiptomban pedig 2000 évvel előtte ismerték a 3, 4, 5 oldalú derékszögű háromszöget, mégis ennek az ókori tudósnak a nevén nevezzük.

Pitagorasz életéről szinte semmit sem tudunk megbízhatóan, de számos legenda fűződik nevéhez.

Püthagorasz ie 570-ben született. e Samos szigetén. Pythagoras apja Mnesarchus, drágakővágó volt. Mnesarchus Apuleius szerint „az iparosok körében híres volt drágakövek vágásának művészetéről”, de inkább hírnevet szerzett, mint gazdagságot. Pythagoras anyjának nevét nem őrizték meg.

Pythagoras gyönyörű megjelenésű volt, hosszú szakállt viselt, és arany diadémet a fején. A Pythagoras nem név, hanem becenév, amelyet a filozófus azért kapott, mert mindig helyesen és meggyőzően beszélt, mint egy görög jósda. (Püthagorasz – „beszéddel meggyőző”.)

Az ifjú Pythagoras tanítói között volt az idősebb Hermodamantus és a szírosi Pherecidész (bár nincs határozott bizonyosság, hogy Hermodamantus és Pherecydes voltak Pythagoras első tanítói). Az ifjú Pythagoras egész napokat töltött az idősebb Hermodamantus lábainál, hallgatva a cithara dallamát és Homérosz hexametereit. Pythagoras egész életében megőrizte szenvedélyét a nagy Homérosz zenéje és költészete iránt. És elismert bölcs lévén, tanítványok tömegével körülvéve, Pythagoras Homérosz egyik dalának eléneklésével kezdte a napot.

Pherecydes filozófus volt, és az olasz filozófiai iskola megalapítójának tartották. Így, ha Hermodamant bevezette a fiatal Pythagorast a múzsák körébe, akkor Pherecidész a logosz felé fordult. Pherecydes a természetre irányította Püthagorasz tekintetét, és azt tanácsolta neki, hogy lássa első és fő tanítóját a természetben.

De bárhogy is legyen, a fiatal Pythagoras nyugtalan képzelete nagyon hamar beszorult a kis Samosba, és Milétoszba ment, ahol találkozott egy másik tudóssal - Thalészszel. Thalész azt tanácsolta neki, hogy menjen Egyiptomba tudásért, amit Pythagoras meg is tett.

Kr.e. 550-ben. Pythagoras döntést hoz, és Egyiptomba megy. Tehát egy ismeretlen ország és egy ismeretlen kultúra nyílik meg Pythagoras előtt. Pythagorast nagyon lenyűgözte és meglepte ebben az országban, és az egyiptomiak életének néhány megfigyelése után Pythagoras rájött, hogy a papi kaszt által védett tudáshoz a valláson keresztül vezet az út.

Az egyiptomi fiúkkal együtt ő, egy érett Ellin, fekete göndör szakállal, leült a mészkőlemezekhez. De kisebb bajtársaival ellentétben a szakállas Ellin füle nem volt a hátán, a feje pedig mozdulatlanul állt. Pitagorasz hamarosan messze felülmúlta osztálytársait. De az írástudók iskolája csak az első lépés volt a titkos tudás felé vezető úton.

Tizenegy év egyiptomi tanulás után Pythagoras hazájába megy, ahol útközben babiloni fogságba kerül. Ott ismerkedik meg az egyiptominál fejlettebb babiloni tudománnyal. A babilóniaiak képesek voltak lineáris, másodfokú és bizonyos típusú köbös egyenleteket megoldani. Több mint 1000 évvel Pitagorasz előtt sikeresen alkalmazták a Pitagorasz-tételt. A fogságból megszökött, az ott uralkodó erőszak és zsarnokság légköre miatt nem maradhatott sokáig hazájában. Úgy döntött, hogy Crotonba költözik (egy görög gyarmat Észak-Olaszországban).

Crotonban kezdődött Pythagoras életének legdicsőségesebb időszaka. Ott valami vallási-etikai testvériséget vagy titkos szerzetesrendet hozott létre, amelynek tagjai az úgynevezett pitagoreus életmódot kötelezték.

2. Pythagoras és a pitagoreusok

Pythagoras az Appenninek-félsziget déli részén fekvő görög kolónián vallási és etikai testvériséget szervezett, például szerzetesrendet, amelyet később Pitagorasz Uniónak neveztek el. A szakszervezet tagjainak be kellett tartaniuk bizonyos elveket: egyrészt törekedni kell a szépre és a dicsőségesre, másodszor, hogy hasznosak legyenek, harmadrészt pedig a nagy élvezetre törekedjenek.

Az erkölcsi és etikai szabályok rendszerét, amelyet Pythagoras tanítványaira hagyott, a püthagoreusok sajátos erkölcsi kódexébe gyűjtötte „Arany”

versek”, amelyek az ókor, a középkor és a reneszánsz korszakában igen népszerűek voltak. A Pitagorasz osztályrendszere három részből állt:

· számok tanítása - aritmetika,

· figurák oktatása - geometria,

· tanok az Univerzum felépítéséről – csillagászat.

A Pythagoras által alapított oktatási rendszer hosszú évszázadokig tartott.

A püthagoreusok azt tanították, hogy Isten a számokat tette a világrend alapjául. Isten egység, a világ pedig pluralitás, és ellentétekből áll. Ami ellentéteket hoz az egységbe, és mindent a kozmoszba kapcsol, az a harmónia. A harmónia isteni, és a numerikus kifejezésekben rejlik. Aki a végsőkig tanulmányozza a harmóniát, az istenivé és halhatatlanná válik.

A zene, a harmónia és a számok elválaszthatatlanul összekapcsolódtak a pitagoreusok tanításaiban. A matematika és a numerikus misztika fantasztikusan keveredett benne. Pythagoras úgy vélte, hogy a szám minden dolog lényege, és hogy az Univerzum a számok és kapcsolataik harmonikus rendszere.

A Pitagorasz iskola sokat tett azért, hogy a geometriának tudomány jellegét adja. A Pythagorean módszer fő jellemzője a geometria és az aritmetika kombinációja volt.

Pythagoras sokat foglalkozott az arányokkal és a haladásokkal, és valószínűleg az ábrák hasonlóságával is, mivel a probléma megoldásában az ő nevéhez fűződik: „Adott két ábra alapján készítsünk egy harmadikat, amelynek mérete megegyezik az egyik adattal, és hasonló a másodikhoz. ”

Pythagoras és tanítványai bemutatták a sokszögű, barátságos, tökéletes számok fogalmát, és tanulmányozták tulajdonságaikat. Pythagorast nem érdekelte az aritmetika, mint a számítás gyakorlata, és büszkén jelentette ki, hogy „az aritmetikát a kereskedő érdekei fölé helyezi”.

Pythagoras az elsők között hitte el, hogy a Föld gömb alakú, és az Univerzum középpontja, hogy a Napnak, a Holdnak és a bolygóknak saját mozgásuk van, ami eltér az állócsillagok napi mozgásától.

Nicolaus Kopernikusz a püthagoreusok Föld mozgásáról szóló tanítását heliocentrikus tanítása előtörténetének tekintette. Nem csoda, hogy az egyház a kopernikuszi rendszert „hamis pitagoreusi tannak” nyilvánította.

A Pythagoras iskolában a diákok felfedezéseit a tanárnak tulajdonították, így szinte lehetetlen meghatározni, mit csinált Pitagorasz, és mit csináltak a tanítványai.

A Pythagorean Union körül már harmadik évezred óta folynak viták, de még mindig nincs általános konszenzus. A pythagoreusoknak sok szimbólumuk és jelük volt, amelyek egyfajta parancsolatnak számítottak: például: „ne lépj át a mérlegen”, azaz. ne sértsd meg az igazságszolgáltatást; „Ne kavarj késsel tüzet”, vagyis ne bántsd sértő szavakkal a dühös embereket.

De a fő Pitagorasz-szimbólum az

egészségügyi szimbólum és azonosító jel -

pentagram vagy Pitagorasz csillag volt -

átlók alkotta csillagötszög

szabályos ötszög.

A Pitagorasz Unió tagjai Görögország számos városában éltek.

A püthagoreusok nőket is befogadtak társadalmukba. A szakszervezet több mint húsz évig virágzott, majd megkezdődött tagjai üldözése, sok diákot megöltek.

Magának Pythagorasnak a haláláról sok különböző legenda szólt. De Pythagoras és tanítványai tanításai tovább éltek.

3. A Pitagorasz-tétel történetéből

Ma már ismert, hogy ezt a tételt nem Pitagorasz fedezte fel. Egyesek azonban úgy vélik, hogy Pythagoras volt az, aki először bizonyította teljes mértékben, míg mások tagadják tőle ezt az érdemet. Egyesek Pythagorasnak tulajdonítják azt a bizonyítékot, amelyet Eukleidész az Elemek első könyvében közöl. Másrészt Proklosz azt állítja, hogy az Elemekben található bizonyíték maga Eukleidészé.

Mint látjuk, a matematika története szinte semmilyen megbízható konkrét adatot nem őrzött meg Pythagoras életéről és matematikai tevékenységéről. De a legenda még azokat a közvetlen körülményeket is elárulja, amelyek a tétel felfedezését kísérték. Sokan ismerik Chamisso német regényíró szonettjét:

A Pitagorasz-tétel történeti áttekintését azzal kezdjük ősi Kína. Itt a Chu-pei matematikai könyv vonzza különös figyelmet. Ez a munka a Pitagorasz-háromszögről beszél, amelynek 3, 4 és 5 oldala van:

"Ha egy derékszöget alkotórészeire bontjuk, akkor az oldalainak végeit összekötő vonal 5 lesz, amikor az alap 3 és a magasság 4." .

Nagyon könnyű reprodukálni az építési módjukat. Vegyünk egy 12 m hosszú kötelet, és kössünk rá egy színes csíkot 3 m távolságra. egyik végétől és 4 méterre a másiktól.

A derékszöget 3 és 4 méter hosszú oldalak közé kell zárni. Ugyanebben a könyvben olyan rajzot javasolnak, amely egybeesik Bashara hindu geometriájának egyik rajzával.

Kántor(a legnagyobb német matematikatörténész) úgy véli, hogy a 3² + 4² = 5² egyenlőséget az egyiptomiak már Kr.e. 2300 körül ismerték. e., I. Amenemhat király idejében (a berlini múzeum 6619. számú papirusza szerint).

Cantor szerint a harpedonaptes, vagyis a "kötélhúzók" derékszöget építettek 3, 4 és 5 oldalú derékszögű háromszögek felhasználásával.

A babilóniaiak valamivel többet tudtak a Pitagorasz-tételről. Az egyik szövegben, amely Hammurapi idejére nyúlik vissza, i.e. Kr.e. 2000-re adott egy derékszögű háromszög befogójának hozzávetőleges számítása; ebből arra következtethetünk, hogy Mezopotámiában derékszögű háromszögekkel is tudtak számításokat végezni, legalábbis bizonyos esetekben.

hindu geometria szorosan kapcsolódott a kultuszhoz. Nagyon valószínű, hogy a hipotenusz-tétel négyzetét Indiában már a Kr.e. 8. század körül ismerték. A tisztán rituális előírások mellett vannak geometrikus teológiai jellegű művek is, a Szulvasútrák. Ezekben az időszámításunk előtti 4. vagy 5. századra visszanyúló írásokban találkozunk a derékszög felépítésével egy 15, 36, 39 oldalú háromszög felhasználásával.

A középkorban Pythagoras tétele meghatározta a határt, ha nem is a lehető legnagyobb, de legalább a jó matematikai tudás határát. A Pitagorasz-tétel jellegzetes rajzát, amelyet ma olykor iskolások alakítanak át például köntösbe öltözött professzorrá vagy cilinderes férfivá, akkoriban gyakran használták a matematika szimbólumaként.

Befejezésül bemutatjuk a Pitagorasz-tétel különféle megfogalmazásait görög, latin és német nyelvről lefordítva.

Eukleidész Ez a tétel kimondja (szó szerinti fordítás):

"Egy derékszögű háromszögben a derékszöget átívelő oldal négyzete egyenlő a derékszöget bezáró oldalak négyzetével."

Az arab szöveg latin fordítása Annaricia(Kr. e. 900 körül), Gerhard készítette Cremona(XII. század) így szól (fordítva):

"Minden derékszögű háromszögben a derékszöget átívelő oldalon képzett négyzet egyenlő a derékszöget bezáró két oldalon képzett két négyzet összegével."

A Geometry Culmonensisben (1400 körül) a tétel így hangzik (fordításban):

“Tehát egy négyzet területe a hossza mentén mérve akkora, mint két négyzeté, amelyeket a derékszöggel szomszédos két oldala mentén mérünk.

Az euklideszi „Principles” orosz fordításában a Pitagorasz-tétel a következőképpen hangzik:

"Egy derékszögű háromszögben a derékszöggel ellentétes oldal négyzete egyenlő a derékszöget tartalmazó oldalak négyzeteinek összegével."

Amint láthatja, a különböző országokban és különböző nyelveken a tétel megfogalmazásának különböző változatai vannak, amelyek számunkra ismerősek. Különböző időkben és különböző nyelveken készültek, egy matematikai törvény lényegét tükrözik, melynek bizonyítására is több lehetőség kínálkozik.

4. Hat módszer a Pitagorasz-tétel bizonyítására

4.1. Ősi kínai bizonyítékok

Egy ősi kínai rajzon négy egyforma derékszögű háromszög látható lábakkal a , bés hypotenusa Val velúgy helyezzük el, hogy a külső kontúrjuk négyzetet alkosson az oldalával a + b, a belső pedig egy oldalsó négyzet Val vel, a hipotenúzára épült

a 2 + 2ab +b 2 = c 2 + 2ab

a 2 + b 2 = c 2

4.2. J. Hardfield bizonyítéka (1882)

Rendezzünk két egyenlő derékszögű háromszöget úgy, hogy az egyik szára a másik folytatása legyen.

A vizsgált trapéz területét az alapok összegének felének és a magasságnak a szorzataként kapjuk

Másrészt a trapéz területe egyenlő a kapott háromszögek területének összegével:

Ha ezeket a kifejezéseket egyenlővé tesszük, a következőket kapjuk:

vagy 2 =-vel a 2 + b 2

4.3. A legrégebbi bizonyíték

(Bhaskara egyik művében található).

Legyen ABCD olyan négyzet, amelynek oldala egyenlő az ABE derékszögű háromszög befogójával (AB = c, BE = a,

Legyen CK BE = a, DL CK, AM DL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

jelentése KL = LM = ME = EK = a-b.

4.4. A bizonyíték egyszerű

4.5. Az ősi hinduk bizonyítéka [ 2]

Az (a+b) oldalú négyzet részekre osztható az a) vagy a b) ábrán látható módon. Egyértelmű, hogy részek 1,2,3,4 mindkét képen ugyanaz. És ha az egyenlőből (területek) kivonod az egyenlőket, akkor egyenlők maradnak, pl. c 2 = a 2 + b 2 .

Az ókori hinduk azonban, akikhez ez az okfejtés tartozik, általában nem írták le, hanem csak egy szóval kísérték:

Néz!

4.6. Eukleidész bizonyítéka

Két évezreden keresztül a Pitagorasz-tétel legszélesebb körben használt bizonyítása Eukleidészé volt. Bekerült a híres „Principles” könyvébe.

Euklidész a derékszög csúcsától a befogóig leengedte a BN magasságot, és bebizonyította, hogy ennek folytatása a hipotenuszon elkészült négyzetet két téglalapra osztja, amelyek területei megegyeznek az oldalakra épített megfelelő négyzetek területével.

A tétel bizonyítására használt rajzot tréfásan „Pitagorasz nadrágnak” nevezik. Sokáig a matematikai tudomány egyik szimbólumának számított.

A középkor diákjai nagyon nehéznek tartották a Pitagorasz-tétel bizonyítását, és Dons asinorumnak - szamárhídnak vagy elefuga - a „szegények” repülésének nevezték, mivel néhány „szegény” diák, aki nem rendelkezett komoly matematikai képzettséggel, elmenekült a geometria elől. A gyenge tanulók, akik megjegyezték a tételeket anélkül, hogy megértették volna őket, és ezért „szamárnak” becézték őket, nem tudták felülkerekedni a Pitagorasz-tételen, amely leküzdhetetlen hídként szolgált számukra. A Pitagorasz-tételt kísérő rajzok miatt a hallgatók „szélmalomnak” is nevezték, olyan verseket írtak, mint „A pitagorasz nadrág minden oldalról egyenlő”, és karikatúrákat rajzoltak.

5. A Pitagorasz-tétel alkalmazása.

5.1. Elméleti és modern problémák

1. Egy rombusz kerülete 68 cm, egyik átlója 30 cm. Határozza meg a rombusz másik átlójának hosszát!

2. A KMR derékszögű háromszög KR befogója cm, az MR szár pedig 4 cm. Határozzuk meg az RS mediánt!

3. Egy derékszögű háromszög oldalaira négyzeteket építünk, és

S 1 - S 2 = 112 cm 2 és S 3 = 400 cm 2. Keresse meg a háromszög kerületét!

4. Adott ABC háromszög, C=90 0 szög, CD AB, AC=15 cm, AD=9 cm.

Keresse meg az AB-t.

5.2. Régi gyakorlati problémák

5. Az árboc rögzítéséhez telepítenie kell

4 kábel. Mindegyik kábel egyik végét 12 m magasságban, a másikat a talajra kell rögzíteni az árboctól 5 m távolságra. 50 m kábel elegendő az árboc rögzítéséhez?

6. A 12. századi indiai matematikus, Bhaskara problémája

„Egy magányos nyárfa nőtt a folyó partján.

Hirtelen egy széllökés törte ki a törzsét.

Lehullott a szegény nyár. És a szög megfelelő

A folyó áramlásával törzse kialakult.

Emlékezz most arra, hogy azon a helyen egy folyó van

Csak négy láb széles volt.

A teteje a folyó szélére dőlt.

Már csak három láb maradt a csomagtartóból,

Kérem, mielőbb mondja el:

Milyen magas a nyárfa?"

7. Probléma Leonty Magnitsky "Aritmetika" című tankönyvéből [ 19]

„Ha valaki véletlenül létrát épít a falig, a fal magassága 117 láb, és talál egy 125 láb hosszú létrát.

És azt akarja tudni, hány megállóig vetik a lépcsőt, hogy megvédjék az alsó végét a faltól."

8. Probléma a kínai "Mathematics in Nine Books"-ból

"Van egy tározó, melynek oldala 1 zhang = 10 chi. Ennek közepén van egy nád, amely 1 chi-vel emelkedik ki a vízből. Ha a nádat a part felé húzod, az csak megérinti.

A kérdés az: mekkora a víz mélysége és mekkora a nádas hossza?

Következtetés

A Pitagorasz-tétel annyira híres, hogy nehéz elképzelni olyan embert, aki ne hallott volna róla. Számos történelmi és matematikai forrást tanulmányoztunk, beleértve az internetes információkat is, és láttuk, hogy a Pitagorasz-tétel nemcsak története miatt érdekes, hanem azért is, mert fontos helyet foglal el az életben és a tudományban. Erről tanúskodnak e tétel szövegének különböző értelmezései és bizonyítási módjai, amelyeket jelen munkában adunk meg.

Tehát a Pitagorasz-tétel a geometria egyik fő és, mondhatni, legfontosabb tétele. Jelentősége abban rejlik, hogy a geometria tételeinek nagy része levezethető belőle, illetve segítségével. A Pitagorasz-tétel azért is figyelemre méltó, mert önmagában egyáltalán nem nyilvánvaló. Például egy egyenlő szárú háromszög tulajdonságai közvetlenül láthatók a rajzon. De akármennyire is nézel egy derékszögű háromszöget, soha nem fogod látni, hogy egyszerű kapcsolat van az oldalai között: c 2 =a 2 +b 2. Ezért gyakran használják a vizualizációt ennek bizonyítására.

Pythagoras érdeme az volt, hogy teljes tudományos bizonyítékot adott ennek a tételnek.

Érdekes magának a tudósnak a személyisége, akinek emlékét nem véletlenül őrzi meg ez a tétel. Pythagoras csodálatos szónok, tanár és oktató, iskolájának szervezője, aki a zene és a számok harmóniájára, a jóságra és az igazságosságra, a tudásra és az egészséges életmódra összpontosít. Példaként szolgálhat nekünk, távoli leszármazottaknak.

Irodalom és internetes források:

1. G.I. Glazer A matematika története VII - VIII iskolai osztályokban, kézikönyv tanároknak, - M: Prosveshchenie 1982.

2. I.Ya. Dempan, N.Ya. Vilenkin „A matematika tankönyv lapjai mögött” Kézikönyv 5-6. osztályos tanulóknak, Moszkva, Oktatás 1989.

3. I.G. Zenkevich „Egy matematikaóra esztétikája”, M.: Nevelés 1981.

4. Voitikova N.V. „Pitagorasz-tétel” kurzusmunka, Anzhero-Sudzhensk, 1999.

5. V. Litzman, Pitagorasz-tétel, M. 1960.

6. A.V. Volosinov „Pitagorasz” M. 1993.

7. L. F. Pichurin „Egy algebra tankönyv lapjai mögött” M. 1990.

8. A. N. Zemljakov „Geometria 10. osztályban” M. 1986.

9. V. V. Afanasyev „A tanulók kreatív tevékenységének kialakulása a matematikai problémák megoldásának folyamatában” Yaroslavl 1996.

10. P. I. Altynov „Tesztek. Geometria 7-9 évfolyam.” M. 1998.

11. „Matematika” újság 17/1996.

12. „Matematika” újság 3/1997.

13. N. P. Antonov, M. Ya. Vygodsky, V. V Nikitin, A. I. Sankin „Problémák gyűjteménye az elemi matematikában”. M. 1963.

14. G. V. Dorofejev, M. K. Potapov, N. Kh. Rozov „Matematikai kézikönyv”. M. 1973

15. A. I. Shchetnikov „Pitagorasz-tan a számról és a nagyságról”. Novoszibirszk 1997.

16. „Valós számok. Irracionális kifejezések" 8. osztály. Tomszk Egyetemi Kiadó. Tomszk - 1997.

17. M.S. Atanasyan „geometria” 7-9 évfolyam. M: Felvilágosodás, 1991

18. www.moy pifagor.narod.ru/

19. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

20. http://ru.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_Theorem

21. http://th-pif.narod.ru/history.htm

Van der Waerden szerint nagyon valószínű, hogy az arány általános formában ismert volt Babilonban a Kr. e. 18. század körül. e.

Kr.e. 400 körül. Kr.e. Proklosz szerint Platón módszert adott a Pitagorasz-hármasok megtalálására, az algebra és a geometria kombinálására. Kr.e. 300 körül. e. A Pitagorasz-tétel legrégebbi axiomatikus bizonyítéka Euklidész Elemei című művében jelent meg.

Kiszerelések

Az alapfogalmak algebrai műveleteket tartalmaznak - derékszögű háromszögben, amelyek hossza egyenlő a (\displaystyle a)És b (\displaystyle b), és a hypotenus hossza az c (\displaystyle c), a következő összefüggés teljesül:

.

Egy ekvivalens geometriai megfogalmazás is lehetséges, az ábra területének fogalmához folyamodva: egy derékszögű háromszögben a hipotenuzusra épített négyzet területe megegyezik az ábrán épített négyzetek területeinek összegével. lábak. A tétel ebben a formában van megfogalmazva Eukleidész Elemeiben.

Fordított Pitagorasz-tétel- állítás tetszőleges háromszög derékszögűségére vonatkozóan, amelynek oldalainak hosszát a reláció összefügg a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Következésképpen a pozitív számok minden hármasára a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)És c (\displaystyle c), oly módon, hogy a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), van egy derékszögű háromszög lábakkal a (\displaystyle a)És b (\displaystyle b)és hypotenusa c (\displaystyle c).

Bizonyíték

A Pitagorasz-tételnek legalább 400 bizonyítása van a tudományos irodalomban, amit a geometria szempontjából alapvető jelentősége és az eredmény elemi jellege egyaránt magyaráz. A bizonyítások fő irányai: a háromszög elemei közötti kapcsolatok algebrai használata (például a hasonlóság népszerű módszere), a területek módszere, léteznek különféle egzotikus bizonyítások is (például differenciálegyenletek segítségével).

Hasonló háromszögeken keresztül

Eukleidész klasszikus bizonyítása arra irányul, hogy megállapítsa a téglalapok közötti területegyenlőséget, amelyet úgy alakítanak ki, hogy a befogó feletti négyzetet a lábak feletti négyzetekkel a derékszög magasságával elvágjuk.

A bizonyításhoz használt konstrukció a következő: derékszögű derékszögű háromszögre C (\displaystyle C), négyzetek a lábak felett és és négyzetek a hipotenuzus felett A B I K (\displaystyle ABIK) magasság épül CHés az azt folytató sugár s (\displaystyle s), a befogó feletti négyzetet két téglalapra osztva és . A bizonyítás célja a téglalap területeinek egyenlőségének megállapítása A H J K (\displaystyle AHJK) négyzettel a láb fölött A C (\displaystyle AC); a második téglalap, amely a befogó feletti négyzetet alkotja, és a másik láb feletti téglalap területeinek egyenlősége hasonló módon történik.

Egy téglalap területeinek egyenlősége A H J K (\displaystyle AHJK)És A C E D (\displaystyle ACED) háromszögek egybevágóságán keresztül jön létre △ A C K ​​(\megjelenítési stílus \háromszög ACK)És △ A B D (\megjelenítési stílus \háromszög ABD), amelyek mindegyikének területe egyenlő a négyzetek területének felével A H J K (\displaystyle AHJK)És A C E D (\displaystyle ACED) ennek megfelelően a következő tulajdonsággal kapcsolatban: egy háromszög területe egyenlő a téglalap területének felével, ha az ábráknak közös oldaluk van, és a háromszög közös oldalának magassága a másik oldala a téglalap. A háromszögek egybevágósága a két oldal egyenlőségéből (a négyzetek oldalai) és a köztük lévő szögből (amely derékszögből és egy szögből áll A (\displaystyle A).

Így a bizonyíték azt állapítja meg, hogy egy négyzet területe a hipotenusz felett, téglalapokból áll A H J K (\displaystyle AHJK)És B H J I (\displaystyle BHJI), egyenlő a lábak feletti négyzetek területének összegével.

Leonardo da Vinci bizonyítéka

A területmódszer egy Leonardo da Vinci által talált bizonyítékot is tartalmaz. Legyen adott egy derékszögű háromszög △ A B C (\megjelenítési stílus \háromszög ABC) derékszöggel C (\displaystyle C)és négyzetek A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)És A B H J (\displaystyle ABHJ)(Lásd a képen). Ebben a bizonyításban az oldalon HJ (\displaystyle HJ) ez utóbbinak a külső oldalán egybevágó háromszög van kialakítva △ A B C (\megjelenítési stílus \háromszög ABC), ráadásul mind a hipotenuszhoz, mind a hozzá képesti magassághoz képest tükröződik (vagyis J I = B C (\displaystyle JI=BC)És H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Egyenes C I (\displaystyle CI) a befogóra épített négyzetet két egyenlő részre osztja, hiszen háromszögek △ A B C (\megjelenítési stílus \háromszög ABC)És △ J H I (\megjelenítési stílus \háromszög JHI) felépítésében egyenlő. A bizonyítás megállapítja a négyszögek egybevágóságát C A J I (\displaystyle CAJI)És D A B G (\displaystyle DABG), amelyek mindegyikének területe egyrészt egyenlő a lábakon lévő négyzetek területének felének és az eredeti háromszög területének összegével, másrészt a háromszög felével a hipotenuszon lévő négyzet területe plusz az eredeti háromszög területe. Összességében a lábak feletti négyzetek területének fele egyenlő a hipotenuzus feletti négyzet területének felével, ami megegyezik a Pitagorasz-tétel geometriai megfogalmazásával.

Bizonyítás infinitezimális módszerrel

A differenciálegyenletek technikáját alkalmazó számos bizonyítás létezik. Különösen Hardynak tulajdonítanak egy olyan bizonyítást, amely végtelenül kicsi lábnövekedést használ a (\displaystyle a)És b (\displaystyle b)és hypotenusa c (\displaystyle c), és az eredeti téglalappal való hasonlóság megőrzése, azaz a következő differenciális relációk teljesülésének biztosítása:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

A változók elválasztásának módszerével differenciálegyenletet vezetünk le belőlük c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), amelynek integrálása adja a relációt c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). A kezdeti feltételek alkalmazása a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) az állandót 0-ként határozza meg, ami a tétel kijelentését eredményezi.

A végső képletben a másodfokú függés a háromszög oldalai és a növekmény közötti lineáris arányosság miatt jelenik meg, míg az összeg a különböző lábak növekményéből származó független hozzájárulásokhoz kapcsolódik.

Változatok és általánosítások

Hasonló geometriai formák három oldalon

A Pitagorasz-tétel fontos geometriai általánosítását Eukleidész adta az Elemekben, az oldalakon lévő négyzetek területéről a tetszőleges hasonló geometriai alakzatok területére haladva: a lábakra épített ilyen alakzatok területének összege egyenlő lesz a hipotenuszra épített hasonló alak területe.

Ennek az általánosításnak az a fő gondolata, hogy egy ilyen geometriai alakzat területe arányos bármely lineáris méretének négyzetével, és különösen bármely oldal hosszának négyzetével. Ezért hasonló számadatokhoz területekkel A (\displaystyle A), B (\megjelenítési stílus B)És C (\displaystyle C), hosszúságú lábakra épült a (\displaystyle a)És b (\displaystyle b)és hypotenusa c (\displaystyle c) Ennek megfelelően a következő összefüggés áll fenn:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\jobbra \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Mivel a Pitagorasz-tétel szerint a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), akkor kész.

Ezen túlmenően, ha a Pitagorasz-tétel alkalmazása nélkül be lehet bizonyítani, hogy egy derékszögű háromszög oldalain három hasonló geometriai alakzat területei kielégítik az összefüggést A + B = C (\megjelenítési stílus A+B=C), akkor az euklidészi általánosítás bizonyításának fordítottját használva levezethető a Pitagorasz-tétel bizonyítása. Például, ha a hipotenuszon egy derékszögű háromszöget készítünk, amely egybevágó a kezdeti háromszöggel, amelynek területe C (\displaystyle C), és az oldalakon - két hasonló derékszögű háromszög területekkel A (\displaystyle A)És B (\megjelenítési stílus B), akkor kiderül, hogy az oldalsó háromszögek a kezdeti háromszög magasságával való elosztása eredményeként jönnek létre, vagyis a háromszögek két kisebb területének összege megegyezik a harmadik területével, így A + B = C (\megjelenítési stílus A+B=C)és a relációt hasonló alakokra alkalmazva levezetjük a Pitagorasz-tételt.

Koszinusz tétel

A Pitagorasz-tétel az általánosabb koszinusztétel speciális esete, amely egy tetszőleges háromszög oldalainak hosszát viszonyítja:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

hol van az oldalak közötti szög a (\displaystyle a)És b (\displaystyle b). Ha a szög 90°, akkor cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), és a képlet a szokásos Pitagorasz-tételre egyszerűsödik.

Ingyenes háromszög

Van a Pitagorasz-tétel általánosítása egy tetszőleges háromszögre, amely kizárólag az oldalak hosszának arányán működik, és úgy gondolják, hogy először Thabit ibn Korra szabiai csillagász állapította meg. Ebben egy tetszőleges oldalas háromszöghez illeszkedik egy egyenlő szárú háromszög, amelynek oldala van. c (\displaystyle c), a csúcs egybeesik az eredeti háromszög csúcsával, szemben az oldallal c (\displaystyle c)és az alapnál lévő szögek megegyeznek a szöggel θ (\displaystyle \theta ), ellenkező oldal c (\displaystyle c). Ennek eredményeként két háromszög képződik, hasonlóan az eredetihez: az első - oldalakkal a (\displaystyle a), a beírt egyenlő szárú háromszög tőle legtávolabbi oldala, és r (\displaystyle r)- oldalsó részek c (\displaystyle c); a második - oldalról szimmetrikusan hozzá b (\displaystyle b) az oldalával s (\displaystyle s)- az oldal megfelelő része c (\displaystyle c). Ennek eredményeként a következő összefüggés teljesül:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

Pitagorasz-tételé fajulva at θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). A kapcsolat a kialakult háromszögek hasonlóságának következménye:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Jobbra \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappus tétele a területekről

Nem euklideszi geometria

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria axiómáiból származik, és nem érvényes a nem-euklideszi geometriára – a Pitagorasz-tétel teljesülése ekvivalens az euklideszi párhuzamossági posztulátummal.

A nem euklideszi geometriában a derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolat szükségszerűen a Pitagorasz-tételtől eltérő formában lesz. Például a gömbgeometriában a derékszögű háromszög mindhárom oldala, amely az egységgömb oktánsát határolódik, egy hosszúságú. π / 2 (\displaystyle \pi /2), ami ellentmond a Pitagorasz-tételnek.

Ráadásul a Pitagorasz-tétel érvényes a hiperbolikus és elliptikus geometriában, ha azt a követelményt, hogy a háromszög téglalap alakú, felváltjuk azzal a feltétellel, hogy a háromszög két szögének összege egyenlő legyen a harmadikkal.

Gömb geometria

Bármely derékszögű háromszögre egy sugarú gömbön R (\displaystyle R)(például ha egy háromszögben a szög derékszögű) oldalakkal a , b , c (\displaystyle a,b,c) a felek közötti kapcsolat:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac) (a)(R))\jobbra)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\jobbra)).

Ez az egyenlőség levezethető a gömb-koszinusz tétel speciális eseteként, amely minden gömbháromszögre érvényes:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\megjelenítési stílus \operátornév (ch) c=\operátornév (ch) a\cdot \operátornév (ch) b),

Ahol ch (\megjelenítési stílus \operátornév (ch) )- hiperbolikus koszinusz. Ez a képlet a hiperbolikus koszinusz tétel speciális esete, amely minden háromszögre érvényes:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\megjelenítési stílus \operátornév (ch) c=\operátornév (ch) a\cdot \operátornév (ch) b-\operátornév (sh) a\cdot \operátornév (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Ahol γ (\displaystyle \gamma )- olyan szög, amelynek csúcsa az oldallal ellentétes c (\displaystyle c).

A Taylor sorozat használata a hiperbolikus koszinuszhoz ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\megjelenítési stílus \operátornév (ch) x\kb. 1+x^(2)/2)) kimutatható, hogy ha egy hiperbolikus háromszög csökken (azaz mikor a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)És c (\displaystyle c) nullára hajlamosak), akkor a derékszögű háromszög hiperbolikus relációi megközelítik a klasszikus Pitagorasz-tétel összefüggését.

Alkalmazás

Távolság kétdimenziós téglalap alakú rendszerekben

A Pitagorasz-tétel legfontosabb alkalmazása egy téglalap alakú koordinátarendszer két pontja közötti távolság meghatározása: távolság s (\displaystyle s) koordinátákkal ellátott pontok között (a , b) (\megjelenítési stílus (a,b))És (c , d) (\displaystyle (c,d)) egyenlő:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Komplex számokra a Pitagorasz-tétel természetes képletet ad egy komplex szám modulusának meghatározására - z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) hosszával egyenlő

Szamoszi Pythagoras az emberiség egyik legkiválóbb értelmiségijeként vonult be a történelembe. Sok szokatlan dolog van benne, és úgy tűnik, maga a sors készített neki egy különleges utat az életben.

Pythagoras létrehozta saját vallási és filozófiai iskoláját, és az egyik legnagyobb matematikusként vált híressé. Intelligenciája és intelligenciája több száz évvel megelőzte azt az időt, amelyben élt.

Szamoszi Pythagoras

Pythagoras rövid életrajza

Természetesen Pythagoras rövid életrajza nem ad lehetőséget arra, hogy teljesen felfedjük ezt az egyedülálló személyiséget, de mégis kiemeljük életének főbb pillanatait.

Gyermekkor és fiatalság

Pythagoras pontos születési dátuma nem ismert. A történészek szerint 586-569 között született. Kr. e., a görög Szamosz szigetén (innen a beceneve - „Samos”). Az egyik legenda szerint Pythagoras szülei azt jósolták, hogy fiuk nagy bölcs és oktató lesz.

Pythagoras apját Mnesarchusnak hívták, anyját Partheniának hívták. A családfő drágakövek feldolgozásával foglalkozott, így a család meglehetősen gazdag volt.

Nevelés és oktatás

Pythagoras már kiskorában érdeklődést mutatott a különféle tudományok és művészetek iránt. Első tanárát Hermodamantnak hívták. A leendő tudósban lefektette a zene, a festészet és a nyelvtan alapjait, és arra kényszerítette, hogy memorizálja Homérosz Odüsszeiájának és Iliászának szakaszait.

Amikor Pythagoras betöltötte a 18. életévét, úgy döntött, hogy Oroszországba megy, hogy még több tudást és tapasztalatot szerezzen. Ez komoly lépés volt életrajzában, de nem volt hivatott valóra válni. Pythagoras nem tudott belépni Egyiptomba, mert az el volt zárva a görögök elől.

Leszbosz szigetén megállva Pythagoras fizikát, orvostudományt, dialektikát és más tudományokat kezdett tanulni a szírosi Pherecydestől. Miután több évig a szigeten élt, Milétoszba szeretett volna ellátogatni, ahol még élt a híres filozófus, Thalész, aki Görögország első filozófiai iskoláját alkotta.

Hamarosan Pythagoras korának egyik legműveltebb és leghíresebb emberévé válik. Egy idő után azonban drasztikus változások következnek be a bölcs életrajzában, ahogy a perzsa háború elkezdődött.

Pythagoras babiloni fogságba esik, és sokáig fogságban él.

Miszticizmus és hazatérés

Tekintettel arra, hogy Babilonban népszerű volt az asztrológia és a misztika, Pythagoras a különféle misztikus szentségek, szokások és természetfeletti jelenségek tanulmányozásának rabjává vált. Pythagoras egész életrajza tele van mindenféle kereséssel és megoldással, amelyek annyira felkeltették a figyelmét.

Miután több mint 10 éve volt fogságban, váratlanul személyesen szabadul fel a perzsa királytól, aki első kézből ismerte a tanult görög bölcsességét.

Szabadulása után Pythagoras azonnal visszatért hazájába, hogy elmondja honfitársainak a megszerzett tudást.

Pitagorasz Iskola

Széleskörű tudásának, állandó és szónoki képességeinek köszönhetően gyorsan sikerül hírnevet és elismerést szereznie Görögország lakossága körében.

Pythagoras beszédein mindig sok ember van, akik elképednek a filozófus bölcsességén, és szinte egy istenséget látnak benne.

Pythagoras életrajzának egyik fő pontja az a tény, hogy egy iskolát hozott létre saját világnézeti elvei alapján. Így hívták: a pitagoreusok iskolája, vagyis Pitagorasz követői.

Megvolt a maga tanítási módszere is. Például tilos volt a diákoknak beszélni az órákon, és nem tehettek fel kérdéseket.

Ennek köszönhetően a tanulók szerénységet, szelídséget és türelmet tudtak fejleszteni.

Ezek a dolgok furcsának tűnhetnek egy modern ember számára, de nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy Pythagoras korában maga a fogalom iskoláztatás a mi felfogásunkban egyszerűen nem létezett.

Matematika

Az orvostudomány, a politika és a művészet mellett Pythagoras nagyon komolyan foglalkozott a matematikával. Sikerült jelentősen hozzájárulnia a fejlődéshez.

Eddig a világ iskoláiban a legnépszerűbb tétel a Pitagorasz-tétel volt: a 2 + b 2 =c 2. Minden iskolás emlékszik arra, hogy "a pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő."

Ezen kívül van egy „Pitagorasz-tábla”, amellyel számokat lehetett szorozni. Lényegében ez egy modern szorzótábla, csak kicsit más formában.

Pythagoras számmisztika

Van egy figyelemre méltó dolog Pythagoras életrajzában: egész életében rendkívül érdeklődött a számok iránt. Segítségükkel megpróbálta megérteni a dolgok és jelenségek természetét, az életet és a halált, a szenvedést, a boldogságot és a létezés egyéb fontos kérdéseit.

A 9-es számot az állandósággal, a 8-at a halállal társította, és nagy figyelmet fordított a számok négyzetére is. Ebben az értelemben a tökéletes szám a 10 volt. Pythagoras a tízet a Kozmosz szimbólumának nevezte.

A pitagoreusok voltak az elsők, akik a számokat párosra és páratlanra osztották. A páros számoknak a matematikus szerint női elve volt, a páratlannak pedig férfi elve.

Azokban az időkben, amikor a tudomány mint olyan nem létezett, az emberek a lehető legjobban tanultak az életről és a világrendről. Pitagorasz, akárcsak korának nagy fia, ezekre és más kérdésekre igyekezett figurák és ábrák segítségével választ találni.

Filozófiai tanítás

Pythagoras tanításai két kategóriába sorolhatók:

• Tudományos megközelítés
• Vallásosság és miszticizmus

Sajnos nem minden Pythagoras művét őrizték meg. És mindez azért, mert a tudós gyakorlatilag nem jegyzetelt, szóban átadta a tudást hallgatóinak.

Amellett, hogy Pythagoras tudós és filozófus volt, joggal nevezhető vallási újítónak. Ebben Lev Tolsztoj kicsit hasonlított rá (külön cikkben közöltük).

Pythagoras vegetáriánus volt, és erre buzdította követőit. Nem engedte a diákoknak, hogy állati eredetű ételeket egyenek, megtiltotta az alkoholfogyasztást, a trágár beszédet és az illetlen viselkedést.

Az is érdekes, hogy Pythagoras nem tanított hétköznapi embereket, akik csak felületes tudásra törekedtek. Csak azokat fogadta tanítványnak, akikben kiválasztott és megvilágosodott egyéneket látott.

Magánélet

Pythagoras életrajzát tanulmányozva az a téves benyomás alakulhat ki, hogy nem volt ideje személyes életére. Ez azonban nem egészen igaz.

Amikor Pythagoras körülbelül 60 éves volt, az egyik előadásán találkozott egy gyönyörű Feana nevű lánnyal.

Összeházasodtak, és ebből a házasságból született egy fiú és egy lány. Tehát a kiváló görög családapa volt.

Halál

Meglepő módon egyik életrajzíró sem tudja egyértelműen megmondani, hogyan halt meg a nagy filozófus és matematikus. Halálának három változata létezik.

Az első szerint Pythagorast az egyik tanítványa ölte meg, akit nem volt hajlandó tanítani. A gyilkos haragjában felgyújtotta a tudós Akadémiáját, ahol meghalt.

A második verzió szerint a tűz során a tudós követői, akik meg akarták menteni a haláltól, hidat hoztak létre saját testükből.

De Pythagoras halálának leggyakoribb változata a Metapontus városában zajló fegyveres konfliktus során bekövetkezett halála.

A nagy tudós több mint 80 évet élt, és ie 490-ben halt meg. e. Hosszú élete során sok mindent elért, és joggal tartják a történelem egyik legkiválóbb elméjének.

Ha tetszett Pythagoras életrajza, ossza meg a közösségi hálózatokon. Tájékoztassa barátait erről a zseniről.

Ha általában szereti a rövid életrajzokat, és egyszerűen - feltétlenül iratkozzon fel weboldal. Nálunk mindig érdekes!

Győződjön meg arról, hogy a kapott háromszög derékszögű, mivel a Pitagorasz-tétel csak derékszögű háromszögekre vonatkozik. Derékszögű háromszögekben a három szög egyike mindig 90 fokos.

• A derékszögű háromszög derékszögét egy négyzet ikon jelzi, nem pedig a ferde szögeket ábrázoló görbe.

Jelölje meg a háromszög oldalait. Jelölje meg a lábakat „a” és „b” jelzéssel (a lábak derékszögben metsző oldalak), a hipotenuszt pedig „c”-vel (a hipoténusz a derékszöggel szemben fekvő derékszögű háromszög legnagyobb oldala).

Határozza meg, hogy a háromszög melyik oldalát szeretné megtalálni. A Pitagorasz-tétel lehetővé teszi a derékszögű háromszög bármely oldalának megtalálását (ha a másik két oldal ismert). Határozza meg, melyik oldalt (a, b, c) kell megtalálnia.

• Például adott egy hipotenusz 5, és adott egy láb egyenlő 3. Ebben az esetben meg kell találni a második lábat. Erre a példára később még visszatérünk.
• Ha a másik két oldal ismeretlen, a Pitagorasz-tétel alkalmazásához meg kell találni az egyik ismeretlen oldal hosszát. Ehhez használjon alapvető trigonometrikus függvényeket (ha megadja valamelyik ferde szög értékét).

Helyettesítsd be a kapott értékeket (vagy a talált értékeket) az a 2 + b 2 = c 2 képletbe. Ne feledje, hogy a és b a lábak, és c a hypotenus.

• Példánkban írja be: 3² + b² = 5².

Négyzet alakú minden ismert oldal. Vagy hagyja el a képességeket – később négyzetre emelheti a számokat.

• Példánkban ezt írja be: 9 + b² = 25.

Izolálja le az ismeretlen oldalt az egyenlet egyik oldalán. Ehhez vigye át az ismert értékeket az egyenlet másik oldalára. Ha megtalálta a hipotenuszt, akkor a Pitagorasz-tételben az már el van izolálva az egyenlet egyik oldalán (tehát nem kell semmit tennie).

• Példánkban mozgassa a 9-et az egyenlet jobb oldalára az ismeretlen b² elkülönítéséhez. Kapsz b² = 16-ot.

Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét. Ebben a szakaszban az egyenlet egyik oldalán egy ismeretlen (négyzet), a másik oldalán egy ismeretlen tag (egy szám) található.

• Példánkban b² = 16. Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét, és kapjuk meg, hogy b = 4. Tehát a második láb egyenlő 4 .

Használja a Pitagorasz-tételt a mindennapi életében, mivel gyakorlati helyzetek széles körében alkalmazható. Ehhez tanulja meg felismerni a derékszögű háromszögeket a mindennapi életben - minden olyan helyzetben, amikor két tárgy (vagy vonal) derékszögben metszi egymást, és egy harmadik tárgy (vagy vonal) összeköti (átlósan) az első két tárgy tetejét (ill. sorok), használhatja a Pitagorasz-tételt az ismeretlen oldal megkeresésére (ha a másik két oldal ismert).

• Példa: adott egy épületnek dőlő lépcső. A lépcső alja 5 méterre van a fal alapjától. A lépcső teteje 20 méterre van a talajtól (fel a falon). Mekkora a lépcső hossza?
  • „5 méterrel a fal alapjától” azt jelenti, hogy a = 5; A „földtől 20 méterre található” azt jelenti, hogy b = 20 (azaz kapsz egy derékszögű háromszög két szárát, mivel az épület fala és a Föld felszíne derékszögben metszi egymást). A lépcső hossza a hipotenusz hossza, ami ismeretlen.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Tehát a létra hozzávetőleges hossza az 20,6 méter.