Van-e az egyenletnek gyöke, és hány? Melyik egyenletnek nincs gyöke? Példák egyenletekre

Az egyenletek megoldása a matematikában különleges helyet foglal el. Ezt a folyamatot sok órányi elméleti tanulás előzi meg, amely során a hallgató megtanulja az egyenletek megoldását, típusának meghatározását, és készséget visz a teljes automatizálásra. A gyökerek keresésének azonban nem mindig van értelme, mivel előfordulhat, hogy egyszerűen nem léteznek. Vannak speciális technikák a gyökerek megtalálására. Ebben a cikkben elemezzük a fő funkciókat, azok definíciós területeit, valamint azokat az eseteket, amikor hiányoznak a gyökereik.

Melyik egyenletnek nincs gyöke?

Egy egyenletnek nincs gyökere, ha nincsenek valódi x argumentumok, amelyekre az egyenlet azonosan igaz. Egy nem szakember számára ez a megfogalmazás, mint a legtöbb matematikai tétel és képlet, nagyon homályosnak és elvontnak tűnik, de ez elméletben van. A gyakorlatban minden rendkívül egyszerűvé válik. Például: a 0 * x = -53 egyenletnek nincs megoldása, mivel nincs olyan x szám, amelynek nullával való szorzata mást adna, mint nulla.

Most a legalapvetőbb egyenlettípusokat nézzük meg.

1. Lineáris egyenlet

Egy egyenletet lineárisnak nevezünk, ha jobb és bal oldalát lineáris függvényként ábrázoljuk: ax + b = cx + d vagy általánosított formában kx + b = 0. Ahol a, b, c, d ismert számok, x pedig egy ismeretlen mennyiség. Melyik egyenletnek nincs gyöke? A lineáris egyenletek példáit az alábbi ábra mutatja be.

Alapvetően a lineáris egyenleteket úgy oldják meg, hogy egyszerűen átvisszük a számrészt az egyik részre, és az x tartalmát a másikba. Az eredmény egy mx = n alakú egyenlet, ahol m és n számok, x pedig ismeretlen. Az x megtalálásához csak ossza el mindkét oldalát m-rel. Ekkor x = n/m. A legtöbb lineáris egyenletnek csak egy gyöke van, de vannak esetek, amikor végtelenül sok gyök van, vagy egyáltalán nincs gyök. Ha m = 0 és n = 0, az egyenlet 0 * x = 0 alakot ölt. Egy ilyen egyenlet megoldása teljesen tetszőleges szám lehet.

De melyik egyenletnek nincs gyökere?

Ha m = 0 és n = 0, az egyenletnek nincs gyökere a valós számok halmazában. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - ezeknek az egyenleteknek nincs gyökere.

2. Másodfokú egyenlet

A másodfokú egyenlet az ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ha a = 0. A leggyakoribb megoldás a diszkriminánson keresztül történik. A másodfokú egyenlet diszkriminánsának megkeresésére szolgáló képlet a következő: D = b 2 - 4 * a * c. Ezután két gyök következik x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 esetén az egyenletnek két, D = 0 esetén egy gyöke van. De melyik másodfokú egyenletnek nincs gyökere? A másodfokú egyenlet gyökeinek számát a legegyszerűbben úgy figyelhetjük meg, ha a függvényt ábrázoljuk, amely egy parabola. A > 0 esetén az ágak felfelé, a esetén az ágak irányulnak< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

A gyökerek számát vizuálisan is meghatározhatja a diszkrimináns kiszámítása nélkül. Ehhez meg kell találnia a parabola csúcsát, és meg kell határoznia, hogy az ágak melyik irányba vannak irányítva. A csúcs x koordinátája a következő képlettel határozható meg: x 0 = -b / 2a. Ebben az esetben a csúcs y koordinátáját úgy találjuk meg, hogy az x 0 értéket egyszerűen behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.

Az x 2 - 8x + 72 = 0 másodfokú egyenletnek nincs gyöke, mivel negatív diszkriminánsa van D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Ez azt jelenti, hogy a parabola nem érinti az x tengelyt, és a függvény soha nem vesz fel 0 értéket, ezért az egyenletnek nincs valódi gyökere.

3. Trigonometrikus egyenletek

A trigonometrikus függvényeket trigonometrikus körön tekintjük, de ábrázolhatók derékszögű koordinátarendszerben is. Ebben a cikkben két alapvető trigonometrikus függvényt és azok egyenleteit vizsgáljuk meg: a sinx-et és a cosx-et. Mivel ezek a függvények egy 1 sugarú trigonometrikus kört alkotnak, |sinx| és |cosx| nem lehet nagyobb 1-nél. Tehát melyik sinx egyenletnek nincs gyöke? Tekintsük az alábbi képen látható sinx függvény grafikonját.

Látjuk, hogy a függvény szimmetrikus, és ismétlési periódusa 2pi. Ez alapján elmondhatjuk, hogy ennek a függvénynek a maximális értéke 1, a minimuma pedig -1 lehet. Például a cosx = 5 kifejezésnek nem lesz gyöke, mivel abszolút értéke nagyobb egynél.

Ez a trigonometrikus egyenletek legegyszerűbb példája. Valójában ezek megoldása sok oldalt igénybe vehet, aminek a végén rájössz, hogy rossz képletet használtál, és mindent elölről kell kezdeni. Előfordulhat, hogy még akkor is, ha helyesen találja meg a gyököket, elfelejtheti figyelembe venni az OD korlátozásait, ezért egy extra gyök vagy intervallum jelenik meg a válaszban, és az egész válasz hibává válik. Ezért szigorúan tartsa be az összes korlátozást, mert nem minden gyökér illeszkedik a feladat körébe.

4. Egyenletrendszerek

Az egyenletrendszer göndör vagy szögletes zárójelekkel összekapcsolt egyenletkészlet. A göndör zárójelek azt jelzik, hogy az összes egyenlet együtt fut. Vagyis ha legalább az egyik egyenletnek nincs gyökere, vagy ellentmond egy másiknak, akkor az egész rendszernek nincs megoldása. Szögletes zárójelek jelzik a "vagy" szót. Ez azt jelenti, hogy ha a rendszer legalább egy egyenletének van megoldása, akkor az egész rendszernek van megoldása.

A c rendszer válasza az egyes egyenletek összes gyökének halmaza. A göndör fogszabályzós rendszereknek pedig csak közös gyökerei vannak. Az egyenletrendszerek teljesen különböző függvényeket tartalmazhatnak, így az ilyen összetettség nem teszi lehetővé, hogy azonnal megmondjuk, melyik egyenletnek nincs gyökere.

A problémakönyvekben és a tankönyvekben különböző típusú egyenletek vannak: azok, amelyeknek van gyökere, és amelyeknek nincs. Először is, ha nem találja a gyökereket, ne gondolja, hogy egyáltalán nincsenek ott. Lehet, hogy valahol hibát követett el, akkor csak alaposan meg kell vizsgálnia a döntését.

Megnéztük a legalapvetőbb egyenleteket és azok típusait. Most megtudhatja, hogy melyik egyenletnek nincs gyökere. A legtöbb esetben ezt nem nehéz megtenni. Az egyenletek megoldásának sikere csak odafigyelést és koncentrációt igényel. Gyakorolj többet, ez segít sokkal jobban és gyorsabban eligazodni az anyagban.

Tehát az egyenletnek nincs gyökere, ha:

• az mx = n lineáris egyenletben az érték m = 0 és n = 0;
• másodfokú egyenletben, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla;
• cosx = m / sinx = n alakú trigonometrikus egyenletben, ha |m| > 0, |n| > 0;
• szögletes zárójeles egyenletrendszerben, ha legalább egy egyenletnek nincs gyöke, és szögletes zárójelben, ha minden egyenletnek nincs gyöke.

Tekintsük a másodfokú egyenletet:
(1) .
Másodfokú egyenlet gyökerei(1) a következő képletekkel határozzák meg:
; .
Ezeket a képleteket a következőképpen lehet kombinálni:
.
Ha egy másodfokú egyenlet gyökerei ismertek, akkor egy másodfokú polinom ábrázolható tényezők szorzataként (tényezőként):
.

Ezután feltételezzük, hogy ezek valós számok.
Mérlegeljük másodfokú egyenlet diszkriminánsa:
.
Ha a diszkrimináns pozitív, akkor az (1) másodfokú egyenletnek két különböző valós gyöke van:
; .
Ekkor a másodfokú trinomiális faktorizálása a következőképpen alakul:
.
Ha a diszkrimináns egyenlő nullával, akkor az (1) másodfokú egyenletnek két többszörös (egyenlő) valós gyöke van:
.
Faktorizáció:
.
Ha a diszkrimináns negatív, akkor az (1) másodfokú egyenletnek két összetett konjugált gyöke van:
;
.
Itt van a képzeletbeli egység, ;
és a gyökerek valós és képzeletbeli részei:
; .
Akkor

.

Grafikus értelmezés

Ha ábrázolja a függvényt
,
ami egy parabola, akkor a gráf tengellyel való metszéspontjai lesznek az egyenlet gyökei
.
pontban a grafikon két pontban metszi az x tengelyt (tengelyt).
Amikor , a grafikon egy ponton érinti az x tengelyt.
Amikor , a grafikon nem keresztezi az x tengelyt.

Az alábbiakban példákat mutatunk be ilyen grafikonokra.

Másodfokú egyenletekkel kapcsolatos hasznos képletek

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Másodfokú egyenlet gyökeinek képletének levezetése

Transzformációkat hajtunk végre és alkalmazzuk az (f.1) és (f.3) képleteket:




,
Ahol
; .

Tehát megkaptuk a másodfokú polinom képletét a következő formában:
.
Ez azt mutatja, hogy az egyenlet

órakor előadták
És .
Vagyis és a másodfokú egyenlet gyökerei
.

Példák másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározására

1. példa

(1.1) .

.
Az (1.1) egyenletünkkel összehasonlítva megtaláljuk az együtthatók értékeit:
.
Megtaláljuk a diszkriminánst:
.
Mivel a diszkrimináns pozitív, az egyenletnek két valós gyökere van:
;
;
.

Innen megkapjuk a másodfokú trinom tényezőjét:

.

Az y = függvény grafikonja 2 x 2 + 7 x + 3 két pontban metszi az x tengelyt.

Ábrázoljuk a függvényt
.
Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Két ponton metszi az abszcissza tengelyt (tengelyt):
És .
Ezek a pontok az eredeti (1.1) egyenlet gyökerei.

;
;
.

2. példa

Keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit:
(2.1) .

Írjuk fel a másodfokú egyenletet általános formában:
.
Az eredeti (2.1) egyenlettel összehasonlítva megtaláljuk az együtthatók értékeit:
.
Megtaláljuk a diszkriminánst:
.
Mivel a diszkrimináns nulla, az egyenletnek két többszörös (egyenlő) gyöke van:
;
.

Ekkor a trinomiális faktorizálása a következőképpen alakul:
.

Az y = x függvény grafikonja 2-4 x + 4 egy ponton érinti az x tengelyt.

Ábrázoljuk a függvényt
.
Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Egy ponton érinti az x tengelyt (tengelyt):
.
Ez a pont az eredeti (2.1) egyenlet gyöke. Mivel ez a gyökér kétszeres tényező:
,
akkor az ilyen gyökeret többszörösnek szokták nevezni. Vagyis azt hiszik, hogy két egyenlő gyökér van:
.

;
.

3. példa

Keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit:
(3.1) .

Írjuk fel a másodfokú egyenletet általános formában:
(1) .
Írjuk át az eredeti (3.1) egyenletet:
.
Az (1)-el összehasonlítva megtaláljuk az együtthatók értékeit:
.
Megtaláljuk a diszkriminánst:
.
A diszkrimináns negatív, . Ezért nincsenek valódi gyökerek.

Összetett gyökereket találhat:
;
;

Ábrázoljuk a függvényt
.
Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Nem metszi az x tengelyt (tengelyt). Ezért nincsenek valódi gyökerek.

Nincsenek igazi gyökerek. Összetett gyökerek:
;
;
.

Miután megvizsgáltuk az egyenlőségek fogalmát, nevezetesen egyik típusát - a numerikus egyenlőségeket, akkor áttérhetünk egy másik fontos típusra - az egyenletekre. Ennek az anyagnak a keretein belül elmagyarázzuk, mi az egyenlet és annak gyökere, alapvető definíciókat fogalmazunk meg, és különféle példákat adunk az egyenletekre és azok gyökereinek megtalálására.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az egyenlet fogalma

Az egyenlet fogalmát általában az iskolai algebratanfolyam legelején tanítják. Akkor ez így van definiálva:

1. definíció

Egyenlet ismeretlen számú egyenlőségnek nevezzük, amelyet meg kell találni.

Az ismeretleneket kis latin betűkkel szokás jelölni, például t, r, m stb., de leggyakrabban x, y, z betűket használnak. Más szóval, az egyenletet a rögzítésének formája határozza meg, vagyis az egyenlőség csak akkor lesz egyenlet, ha egy bizonyos formára redukálják - tartalmaznia kell egy betűt, azt az értéket, amelyet meg kell találni.

Adjunk néhány példát a legegyszerűbb egyenletekre. Ezek lehetnek x = 5, y = 6 stb. alakú egyenlőségek, valamint olyanok, amelyek számtani műveleteket tartalmaznak, például x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

A zárójelek fogalmának megismerése után megjelenik a zárójeles egyenletek fogalma. Ezek közé tartozik a 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 stb. A megkeresendő betű többször, de többször is előfordulhat, pl. , például az x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 egyenletben. Az ismeretlenek nemcsak a bal oldalon, hanem a jobb oldalon is elhelyezkedhetnek, vagy mindkét részben egyszerre, például x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 vagy 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Továbbá, miután a tanulók megismerkednek az egész számok, a valós számok, a racionális számok, a természetes számok, valamint a logaritmusok, gyökök és hatványok fogalmaival, új egyenletek jelennek meg, amelyek mindezeket az objektumokat tartalmazzák. Külön cikket szenteltünk az ilyen kifejezések példáinak.

A 7. osztályos tananyagban jelenik meg először a változók fogalma. Ezek olyan betűk, amelyek különböző jelentéseket vehetnek fel (további részletekért lásd a numerikus, betű- és változó kifejezésekről szóló cikket). E koncepció alapján újradefiniálhatjuk az egyenletet:

2. definíció

Az egyenlet egy egyenlőség, amely egy változót tartalmaz, amelynek értékét ki kell számítani.

Azaz például az x + 3 = 6 x + 7 kifejezés egyenlet az x változóval, és 3 y − 1 + y = 0 egyenlet az y változóval.

Egy egyenletnek több változója is lehet, de kettő vagy több is. Ezeket két, három változós stb. egyenleteknek nevezzük. Írjuk le a definíciót:

3. definíció

A két (három, négy vagy több) változót tartalmazó egyenletek olyan egyenletek, amelyek megfelelő számú ismeretlent tartalmaznak.

Például egy 3, 7 · x + 0, 6 = 1 formájú egyenlőség egy x változóval, x − z = 5 pedig két x és z változóval rendelkező egyenlet. Példa egy három változós egyenletre: x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Az egyenlet gyökere

Amikor egy egyenletről beszélünk, azonnal felmerül az igény a gyöke fogalmának meghatározására. Próbáljuk meg elmagyarázni, mit jelent.

1. példa

Adunk egy bizonyos egyenletet, amely egy változót tartalmaz. Ha az ismeretlen betűt számmal helyettesítjük, az egyenlet numerikus egyenlőséggé válik – igaz vagy hamis. Tehát, ha az a + 1 = 5 egyenletben a betűt 2-re cseréljük, akkor az egyenlőség hamis lesz, ha pedig 4, akkor a helyes egyenlőség 4 + 1 = 5 lesz.

Pontosan azok az értékek érdekelnek minket, amelyekkel a változó valódi egyenlőséggé válik. Ezeket gyökereknek vagy megoldásoknak nevezzük. Írjuk le a definíciót.

4. definíció

Az egyenlet gyökere Egy olyan változó értékét hívják, amely egy adott egyenletet valódi egyenlőséggé változtat.

A gyökér nevezhető megoldásnak is, vagy fordítva – mindkét fogalom ugyanazt jelenti.

2. példa

Vegyünk egy példát ennek a definíciónak a tisztázására. Fent megadtuk az a + 1 = 5 egyenletet. A definíció szerint a gyök ebben az esetben 4 lesz, mert betű helyett behelyettesítve a helyes számegyenlőséget adja, a kettő pedig nem lesz megoldás, mivel a 2 + 1 = 5 hibás egyenlőségnek felel meg.

Hány gyöke lehet egy egyenletnek? Minden egyenletnek van gyöke? Válaszoljunk ezekre a kérdésekre.

Léteznek olyan egyenletek is, amelyeknek nincs egyetlen gyökük. Példa erre: 0 x = 5. Végtelen sok különböző számot behelyettesíthetünk bele, de egyikből sem lesz valódi egyenlőség, hiszen 0-val való szorzás mindig 0-t ad.

Vannak olyan egyenletek is, amelyeknek több gyökere van. Véges vagy végtelen számú gyökük lehet.

3. példa

Tehát az x − 2 = 4 egyenletben csak egy gyök van - hat, x 2 = 9-ben két gyök - három és mínusz három, x -ben (x - 1) · (x - 2) = 0 három gyök - nulla, egy és kettő, végtelen sok gyök van az x=x egyenletben.

Most magyarázzuk el, hogyan kell helyesen írni az egyenlet gyökereit. Ha nincsenek, akkor ezt írjuk: „az egyenletnek nincsenek gyökerei”. Ebben az esetben az üres halmaz ∅ előjelét is jelezhetjük. Ha vannak gyökök, akkor azokat vesszővel elválasztva írjuk, vagy egy halmaz elemeként jelöljük, kapcsos zárójelek közé zárva. Tehát, ha bármely egyenletnek három gyöke van - 2, 1 és 5, akkor - 2, 1, 5 vagy (- 2, 1, 5) -t írunk.

A gyököket egyszerű egyenlőségek formájában lehet írni. Tehát, ha az egyenletben az ismeretlent y betűvel jelöljük, és a gyökök 2 és 7, akkor y = 2 és y = 7 értéket írunk. Néha alsó indexeket adnak a betűkhöz, például x 1 = 3, x 2 = 5. Ily módon a gyökök számaira mutatunk. Ha az egyenletnek végtelen számú megoldása van, akkor a választ numerikus intervallumként írjuk le, vagy használjunk általánosan elfogadott jelölést: a természetes számok halmazát N, egész számokat - Z, valós számokat - R jelölünk. Tegyük fel, hogy ha azt kell felírnunk, hogy az egyenlet megoldása tetszőleges egész szám lesz, akkor azt írjuk, hogy x ∈ Z, és ha bármely valós szám egytől kilencig, akkor y ∈ 1, 9.

Ha egy egyenletnek két, három vagy több gyöke van, akkor általában nem gyökökről beszélünk, hanem az egyenlet megoldásairól. Fogalmazzuk meg egy többváltozós egyenlet megoldásának definícióját.

5. definíció

A két, három vagy több változós egyenlet megoldása a változók két, három vagy több értéke, amely az adott egyenletet helyes numerikus egyenlőséggé alakítja.

Magyarázzuk meg a definíciót példákkal.

4. példa

Tegyük fel, hogy megvan az x + y = 7 kifejezés, ami egy két változós egyenlet. Helyettesítsünk egyet az első helyett, és kettőt a második helyett. Helytelen egyenlőséget fogunk kapni, ami azt jelenti, hogy ez az értékpár nem lesz megoldás erre az egyenletre. Ha vesszük a 3 és 4 párost, akkor az egyenlőség igaz lesz, ami azt jelenti, hogy megtaláltuk a megoldást.

Az ilyen egyenleteknek nincs gyöke, vagy végtelen sok. Ha két, három, négy vagy több értéket kell felírnunk, akkor ezeket vesszővel elválasztva, zárójelben írjuk. Vagyis a fenti példában a válasz így fog kinézni (3, 4).

A gyakorlatban leggyakrabban egy változót tartalmazó egyenletekkel kell foglalkozni. Az egyenletek megoldásának szentelt cikkben részletesen megvizsgáljuk a megoldásuk algoritmusát.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt