نوسانات و امواج. نوسانات هارمونیک فرمول هایی برای یافتن دامنه نوسانات

4.2. مفاهیم و تعاریف بخش نوسانات و امواج

معادله ارتعاشات هارمونیک و حل آن:

, x=Acos(ω 0t+α ) ,

آ- دامنه نوسانات؛

α – فاز اولیه نوسانات.

دوره نوسان یک نقطه مادی که تحت اثر نیروی کشسان در حال نوسان است:

جایی که متر- جرم یک نقطه مادی؛

ک– ضریب سختی

دوره نوسان یک آونگ ریاضی:

جایی که ل- طول آونگ؛

g= 9.8 متر بر ثانیه 2 - شتاب سقوط آزاد.

دامنه ارتعاشات به دست آمده از افزودن دو ارتعاش هارمونیک با جهت مساوی:

جایی که آ 1 و آ 2 - دامنه اجزای ارتعاش.

φ 1 و φ 2 فازهای اولیه اجزای نوسانات هستند.

فاز اولیه نوسانات با افزودن دو نوسان هارمونیک مساوی به دست می آید:

.

معادله نوسانات میرا و حل آن:

, ,

- فرکانس نوسانات میرا،

در اینجا ω 0 فرکانس طبیعی نوسانات است.

کاهش میرایی لگاریتمی:

که β ضریب تضعیف است.

- دوره نوسانات میرا شده.

فاکتور کیفیت سیستم نوسانی:

که در آن θ کاهش میرایی لگاریتمی است

معادله نوسانات اجباری و حل حالت پایدار آن:

, x=A cos (ω t-φ ),

جایی که اف 0 - مقدار دامنه نیرو.

- دامنه نوسانات میرا؛

φ= - فاز اولیه.

فرکانس تشدید:

,

که در آن ω 0 - فرکانس چرخه ای طبیعی نوسانات.

β ضریب تضعیف است.

نوسانات الکترومغناطیسی میرایی در مداری متشکل از یک خازنسی، اندوکتانسLو مقاومتآر:

,

جایی که q- شارژ خازن؛

q m- مقدار دامنه بار روی خازن؛

β = آر/2L- ضریب تضعیف

اینجا آر- مقاومت مدار؛

L- اندوکتانس سیم پیچ؛

- فرکانس چرخه ای نوسانات؛

در اینجا ω 0 - فرکانس طبیعی نوسانات.

α – فاز اولیه نوسانات.

دوره نوسانات الکترومغناطیسی:

,

جایی که با- ظرفیت خازن؛

L- اندوکتانس سیم پیچ؛

آر- مقاومت مدار

اگر مقاومت مدار کوچک باشد، پس ( آر/2L) 2 <<1/L.C.، سپس دوره نوسان:

طول موج:

جایی که v –سرعت انتشار موج؛

تی- دوره نوسان.

معادله موج صفحه:

ξ =A cos (ω t-kx)،

جایی که آ- دامنه؛

ω - فرکانس چرخه ای؛

- عدد موج

معادله موج کروی:

,

جایی که آ- دامنه؛

ω - فرکانس چرخه ای؛

ک- عدد موج؛

r– فاصله از مرکز موج تا نقطه در نظر گرفته شده در محیط.

? نوسانات هارمونیک آزاد در مدار

مدار ایده آل یک مدار الکتریکی است که از یک خازن به صورت سری با یک خازن متصل است باو سلف ها L.طبق قانون هارمونیک، ولتاژ روی صفحات خازن و جریان در سلف تغییر می کند.

? نوسان ساز هارمونیک. بهار، آونگ های فیزیکی و ریاضی، دوره های نوسان آنها

نوسان ساز هارمونیک هر سیستم فیزیکی است که نوسان می کند. نوسانگرهای کلاسیک - فنر، آونگ های فیزیکی و ریاضی. آونگ بهار - جرم توده متر، روی یک فنر کاملاً الاستیک معلق است و تحت تأثیر نیروی کشسانی نوسانات هارمونیک انجام می دهد. تی= آونگ فیزیکی بدنه ای صلب با شکل دلخواه است که تحت تأثیر گرانش حول محور افقی که از مرکز ثقل آن عبور نمی کند در نوسان است. تی= آونگ ریاضی یک سیستم جدا شده از یک نقطه مادی با جرم است متر، بر روی یک نخ بی وزن به طول آویزان شده است L، و تحت تأثیر گرانش نوسان می کند. تی= .

? ارتعاشات مکانیکی بدون میرایی (معادله، سرعت، شتاب، انرژی). نمایش گرافیکی ارتعاشات هارمونیک.

نوسانات را آزاد می نامند اگر به دلیل انرژی ارسال شده اولیه در غیاب بعدی تأثیرات خارجی در سیستم نوسانی رخ دهند. مقدار با توجه به قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند. ، اس- جابجایی از موقعیت تعادل، آ– دامنه، w 0 – فرکانس چرخه ای، – فاز اولیه نوسانات. سرعت، شتاب. انرژی کامل - E= به صورت گرافیکی - با استفاده از موج سینوسی یا کسینوس.

? مفهوم فرآیندهای نوسانی. نوسانات هارمونیک و ویژگی های آنها دوره، دامنه، فرکانس و فاز نوسانات. نمایش گرافیکی ارتعاشات هارمونیک.

فرآیندهای دوره ای که در طول زمان تکرار می شوند، نوسانی نامیده می شوند. نوسانات تناوبی که در آنها مختصات یک جسم در طول زمان بر اساس قانون سینوس یا کسینوس تغییر می کند، هارمونیک نامیده می شود. پریود زمان یک نوسان است. دامنه حداکثر جابجایی یک نقطه از موقعیت تعادل آن است. فرکانس تعداد نوسانات کامل در واحد زمان است. فاز کمیت زیر علامت سینوس یا کسینوس است. معادله: ، اینجا اس- کمیتی که وضعیت یک سیستم نوسانی را مشخص می کند - فرکانس چرخه ای. به صورت گرافیکی - با استفاده از موج سینوسی یا کسینوس.

? نوسانات میرا شده. معادله دیفرانسیل این نوسانات. کاهش میرایی لگاریتمی، زمان استراحت، فاکتور کیفیت.

نوساناتی که دامنه آنها به مرور زمان کاهش می یابد، مثلاً در اثر اصطکاک. معادله: ، اینجا اس- کمیتی که وضعیت یک سیستم نوسانی را مشخص می کند - فرکانس چرخه ای - ضریب میرایی. کاهش میرایی لگاریتمی، که در آن ن- تعداد نوسانات تکمیل شده در طول دامنه کاهش می یابد نیک بار. زمان آرامش t - که در طی آن دامنه e بار کاهش می یابد. فاکتور کیفیت Q= .

? نوسانات اجباری میرا نشده. معادله دیفرانسیل این نوسانات. رزونانس چیست؟ دامنه و فاز نوسانات اجباری.

اگر از دست دادن انرژی نوسانی که منجر به میرایی آنها می شود، به طور کامل جبران شود، نوسانات بدون میرا ایجاد می شوند. معادله: . در اینجا سمت راست تأثیر خارجی است که مطابق قانون هارمونیک تغییر می کند. اگر فرکانس طبیعی نوسانات سیستم با نوسانات خارجی مطابقت داشته باشد، رزونانس رخ می دهد - افزایش شدید دامنه سیستم. دامنه , .

? افزودن ارتعاشات هم جهت و یک فرکانس، ارتعاشات متقابل عمود را توصیف کنید. بیت ها چیست؟

دامنه نوسان حاصل از اضافه شدن دو نوسان هارمونیک هم جهت و یک فرکانس در اینجا است. آ– دامنه ها، j – فازهای اولیه. مرحله اولیه نوسان حاصل . نوسانات متقابل عمود بر هم - معادله مسیر ، اینجا آو که دردامنه نوسانات اضافه شده، اختلاف فاز j.

? نوسانات آرامش را شرح دهید. خود نوسانات

آرامش - خود نوسانات، به شدت متفاوت از شکل هارمونیک، به دلیل اتلاف انرژی قابل توجه در سیستم های خود نوسان (اصطکاک در سیستم های مکانیکی). خود نوسانی نوسانات بدون میرا پذیری هستند که توسط منابع انرژی خارجی در غیاب نیروی متغیر خارجی پشتیبانی می شوند. تفاوت با اجباری در این است که فرکانس و دامنه خود نوسانات توسط ویژگی های خود سیستم نوسانی تعیین می شود. آنها با نوسانات آزاد متفاوت هستند - آنها در استقلال دامنه از زمان و از تأثیر کوتاه مدت اولیه که فرآیند نوسان را تحریک می کند، متفاوت هستند. نمونه ای از سیستم های خود نوسانی ساعت است.

? امواج (مفاهیم اساسی). امواج طولی و عرضی. موج ایستاده. طول موج، رابطه آن با دوره و فرکانس.

فرآیند انتشار ارتعاشات در فضا را موج می گویند. جهتی که موج در آن انرژی ارتعاشی را منتقل می کند، جهتی است که موج در آن حرکت می کند. طولی - نوسان ذرات محیط در جهت انتشار موج رخ می دهد. عرضی - ارتعاشات ذرات محیط عمود بر جهت انتشار موج رخ می دهد. یک موج ایستاده از برهم نهی دو موج سیار که به سمت یکدیگر با فرکانس ها و دامنه های یکسان منتشر می شوند و در مورد امواج عرضی، قطبش یکسان تشکیل می شود. طول موج مسافتی است که یک موج در یک دوره طی می کند. (طول موج، v- سرعت موج، تی- دوره نوسان)

? اصل برهم نهی (پوشش) امواج. سرعت گروهی و رابطه آن با سرعت فاز.

اصل برهم نهی - هنگامی که چندین موج در یک محیط خطی منتشر می شوند، هر یک به گونه ای منتشر می شود که گویی هیچ امواج دیگری وجود ندارد و جابجایی حاصل از یک ذره از محیط در هر زمان برابر است با مجموع هندسی جابجایی های ذرات. دریافت در حین شرکت در هر یک از فرآیندهای موجی تشکیل دهنده. سرعت گروهی سرعت حرکت گروهی از امواج است که در هر لحظه در فضا یک بسته موج موضعی را تشکیل می دهند. سرعت حرکت فاز موج، سرعت فاز است. در یک محیط غیر پراکنده آنها منطبق هستند.

? موج الکترومغناطیسی و خواص آن انرژی امواج الکترومغناطیسی

موج الکترومغناطیسی - انتشار نوسانات الکترومغناطیسی در فضا. به طور آزمایشی توسط هرتز در سال 1880 به دست آمد. خواص - می تواند در محیط و خلاء، در خلاء برابر با c، در رسانه کمتر، عرضی، انتشار یابد. E و ب متقابل عمود و عمود بر جهت انتشار. شدت با افزایش شتاب ذره باردار تابشی افزایش می یابد؛ تحت شرایط خاص، خواص موج معمولی ظاهر می شود - پراش و غیره. چگالی انرژی حجمی .

اپتیک

فرمول های اولیه اپتیک

سرعت نور در محیط:

جایی که ج- سرعت نور در خلاء

n- ضریب شکست محیط

طول مسیر موج نور نوری:

L = ns

جایی که س– طول مسیر هندسی یک موج نور در محیطی با ضریب شکست n

تفاوت مسیر نوری بین دو موج نوری:

∆ = L 1 – L 2 .

وابستگی اختلاف فاز به اختلاف نوری در مسیر امواج نور:

که در آن λ طول موج نور است.

شرایط برای حداکثر تقویت نور در هنگام تداخل:

∆ = کλ (= 0، 1، 2، …) .

شرایط برای حداکثر تضعیف نور:

تفاوت نوری در مسیر امواج نور که هنگام بازتاب نور تک رنگ از یک لایه نازک رخ می دهد:

∆ = 2د ,

جایی که د- ضخامت فیلم؛

n- ضریب شکست فیلم؛

من من– زاویه شکست نور در فیلم.

شعاع نور حلقه های نیوتن در نور بازتابی:

r k = ، (k = 1، 2، 3، ...)،

جایی که ک- شماره حلقه؛

آر- شعاع انحنا

شعاع حلقه های تاریک نیوتن در نور بازتابی:

r k = .

زاویه φ انحراف پرتوها، مربوط به حداکثر (باند نور) در حین پراش توسط یک شکاف، از شرایط تعیین می شود.

آ sinφ = (k = 0، 1، 2، 3، …),

جایی که آ- عرض شکاف؛

ک- شماره سریال حداکثر.

گوشهانحراف پرتوها، مربوط به حداکثر (باند نور) در طول پراش نور در یک شبکه پراش، از شرایط تعیین می شود.

د sinφ = (ک = 0, 1, 2, 3, …),

جایی که د- دوره توری پراش.

وضوح توری پراش:

آر= = kN,

که در آن Δλ کوچکترین اختلاف در طول موج دو خط طیفی مجاور (λ و λ+∆λ) است، که در آن این خطوط را می توان به طور جداگانه در طیف به دست آمده توسط این توری مشاهده کرد.

ن- تعداد کل شکاف های توری.

فرمول ولف-براگ:

2dگناه θ = κ λ,

که در آن θ زاویه چرا است (زاویه بین جهت پرتوی موازی پرتو ایکس که بر کریستال فرود می‌آید و صفحه اتمی در کریستال).

دفاصله بین صفحات اتمی کریستال است.

قانون بروستر:

tan ε B=n 21 ,

جایی که ε ب- زاویه تابش که در آن پرتو منعکس شده از دی الکتریک کاملاً قطبی می شود.

n 21 – ضریب شکست نسبی محیط دوم نسبت به اولی.

قانون مالوس:

من = من 0 cos 2 α ,

جایی که من 0 - شدت تابش نور پلاریزه صفحه روی آنالایزر.

من- شدت این نور بعد از آنالایزر.

α زاویه بین جهت نوسانات بردار الکتریکی تابیده شده بر روی آنالایزر و صفحه عبور آنالایزر است (اگر نوسانات بردار الکتریکی نور فرودی با این صفحه منطبق باشد، آنالایزر این نور را بدون تضعیفی).

زاویه چرخش صفحه قطبش نور تک رنگ هنگام عبور از یک ماده فعال نوری:

الف) φ = αd(در جامدات)،

جایی که α - ثابت چرخش؛

د- طول مسیری که نور در یک ماده فعال نوری طی می کند.

ب) φ = [α] pd(در راه حل ها)،

جایی که [α] - چرخش ویژه؛

پ- غلظت جرمی یک ماده فعال نوری در محلول.

فشار سبک در حالت عادی روی سطح:

,

جایی که او- روشنایی انرژی (تابش)؛

ω – چگالی انرژی تابش حجمی؛

ρ – ضریب بازتاب.

4.2. مفاهیم و تعاریف بخش "اپتیک".

? تداخل امواج انسجام. حداکثر و حداقل شرایط.

تداخل عبارت است از تقویت یا تضعیف متقابل امواج منسجم هنگامی که آنها روی هم قرار می گیرند (همدوس - داشتن طول یکسان و اختلاف فاز ثابت در نقطه برهم نهی آنها).

بیشترین ؛

کمترین .

در اینجا D اختلاف مسیر نوری است، l طول موج است.

? اصل هویگنز-فرنل پدیده پراش. پراش شکاف، توری پراش.

اصل هویگنز-فرنل - هر نقطه در فضا که یک موج منتشر کننده در یک لحظه معین از زمان به آن رسیده است، منبع امواج منسجم اولیه می شود. پراش خم شدن امواج به دور موانع است، اگر اندازه مانع با طول موج قابل مقایسه باشد، انحراف نور از انتشار مستقیم است. پراش شکاف در پرتوهای موازی است. یک موج صفحه روی یک مانع می افتد؛ الگوی پراش روی صفحه ای که در صفحه کانونی یک عدسی جمع کننده نصب شده در مسیر عبور نور از مانع قرار دارد مشاهده می شود. صفحه نمایش یک "تصویر پراش" از یک منبع نور دور تولید می کند. توری پراش سیستمی از شکاف های موازی با عرض مساوی است که در یک صفحه قرار دارند و با فضاهای مات با عرض مساوی از هم جدا شده اند. برای تقسیم نور به یک طیف و اندازه گیری طول موج استفاده می شود.

? پراکندگی نور (عادی و غیر طبیعی). قانون بوگر معنی ضریب جذب.

پراکندگی نور - وابستگی ضریب شکست مطلق یک ماده nدر فرکانس ν (یا طول موج λ) نوری که به ماده برخورد می کند (). سرعت نور در خلاء به فرکانس بستگی ندارد، بنابراین در خلاء پراکندگی وجود ندارد. پراکندگی طبیعی نور - اگر ضریب شکست به طور یکنواخت با افزایش فرکانس افزایش یابد (با افزایش طول موج کاهش می یابد). پراکندگی غیرعادی - اگر ضریب شکست با افزایش فرکانس به طور یکنواخت کاهش یابد (با افزایش طول موج افزایش می یابد). پیامد پراکندگی، تجزیه نور سفید به یک طیف در هنگام شکست در یک ماده است. جذب نور در یک ماده توسط قانون بوگر توصیف می شود

من 0 و من- شدت موج نوری تک رنگ صاف در ورودی و خروجی لایه ای از ماده جاذب با ضخامت ایکس a ضریب جذب است، بستگی به طول موج دارد و برای مواد مختلف متفاوت است.

? پلاریزاسیون موج چیست؟ به دست آوردن امواج پلاریزه قانون مالوس

قطبش شامل به دست آوردن جهت گیری ترجیحی جهت نوسانات در امواج عرضی است. نظم در جهت گیری بردارهای شدت میدان الکتریکی و مغناطیسی یک موج الکترومغناطیسی در صفحه ای عمود بر جهت انتشار پرتو نور. E , ب - عمود بر. نور طبیعی را می توان با استفاده از پلاریزه به نور پلاریزه تبدیل کرد. قانون مالوس ( من 0 - از آنالیزور عبور کرد، من- از یک پلاریزه عبور کرد).

? دوگانگی موج-ذره فرضیه دی بروگلی.

از نظر تاریخی، دو نظریه در مورد نور ارائه شده است: جسم نورانی - اجسام نورانی ذرات جسمی ساطع می کنند (شواهد - تابش جسم سیاه، اثر فوتوالکتریک) و موج - جسم درخشان باعث ایجاد ارتعاشات الاستیک در محیط می شود و مانند امواج صوتی در هوا منتشر می شود (شواهد). - پدیده تداخل، پراش، قطبش نور). فرضیه بروگلی - خواص موج ذرات نه تنها برای فوتون ها، بلکه برای ذراتی که دارای جرم استراحت هستند - الکترون ها، پروتون ها، نوترون ها، اتم ها، مولکول ها نیز ذاتی هستند. ? افکت عکس. معادله انیشتین

اثر فوتوالکتریک پدیده برهمکنش نور با ماده است که در نتیجه انرژی فوتون ها به الکترون های ماده منتقل می شود. معادله: (انرژی فوتون صرف عملکرد الکترون و انتقال انرژی جنبشی به الکترون می شود)

دوره زمانی.

دوره زمانی تیدوره زمانی که در طی آن سیستم یک نوسان کامل انجام می دهد را می گویند:

ن- تعداد نوسانات کامل در هر زمان تی.

فرکانس.

فرکانس ν - تعداد نوسانات در واحد زمان:

واحد فرکانس 1 هرتز (هرتز) = 1 ثانیه -1 است

فرکانس چرخه ای:

معادله ارتعاش هارمونیک:

ایکس- جابجایی بدن از موقعیت. X m- دامنه، یعنی حداکثر جابجایی، (ω تی+ φ 0) فاز نوسان است، Ψ 0 فاز اولیه آن است.

سرعت.

وقتی φ 0 = 0:

شتاب.

وقتی φ 0 = 0:

ارتعاشات رایگان

ارتعاشات آزاد ارتعاشاتی هستند که در یک سیستم مکانیکی (نوسان ساز) با یک انحراف از موقعیت تعادل آن رخ می دهند، فرکانس طبیعی ω 0 دارند که فقط با پارامترهای سیستم مشخص می شود و در طول زمان به دلیل وجود اصطکاک تحلیل می روند.

آونگ ریاضی.

فرکانس:

ل- طول آونگ، g- شتاب گرانش

آونگ در لحظه عبور از موقعیت تعادل دارای حداکثر انرژی جنبشی است:

آونگ فنری.

فرکانس:

ک- سفتی فنر، متر- انبوه محموله

آونگ دارای حداکثر انرژی پتانسیل در حداکثر جابجایی است:

ارتعاشات اجباری

نوسانات اجباری آنهایی هستند که در یک سیستم نوسانی (نوسانگر) تحت تأثیر یک نیروی خارجی به طور متناوب در حال تغییر رخ می دهند.

رزونانس.

رزونانس - افزایش شدید دامنه ایکس m نوسانات اجباری زمانی که فرکانس ω نیروی محرکه با فرکانس ω 0 نوسانات طبیعی سیستم منطبق است.

امواج.

امواج ارتعاشات ماده (مکانیکی) یا میدان هایی (الکترومغناطیسی) هستند که در طول زمان در فضا منتشر می شوند.

سرعت موج.

سرعت انتشار موج υ سرعت انتقال انرژی ارتعاشی است. در این حالت، ذرات محیط به جای حرکت با موج، در اطراف موقعیت تعادل نوسان می کنند.

طول موج.

طول موج λ فاصله ای است که نوسان در یک دوره پخش می شود:

واحد طول موج 1 متر (متر) است.

فرکانس موج:

واحد فرکانس موج 1 هرتز (هرتز) است.

موضوعات کد کننده آزمون یکپارچه ایالت: ارتعاشات هارمونیک. دامنه، دوره، فرکانس، فاز نوسانات؛ ارتعاشات آزاد، ارتعاشات اجباری، رزونانس.

نوسانات - اینها تغییراتی در وضعیت سیستم هستند که در طول زمان تکرار می شوند. مفهوم نوسانات طیف بسیار وسیعی از پدیده ها را در بر می گیرد.

ارتعاشات سیستم های مکانیکی یا ارتعاشات مکانیکی- این حرکت مکانیکی یک جسم یا سیستم اجسام است که در زمان قابل تکرار است و در مجاورت موقعیت تعادل رخ می دهد. موقعیت تعادلحالتی از یک سیستم است که می تواند به طور نامحدود بدون تجربه تأثیرات خارجی در آن باقی بماند.

به عنوان مثال، اگر آونگ منحرف شود و آزاد شود، شروع به نوسان می کند. موقعیت تعادل موقعیت آونگ در غیاب انحراف است. آونگ اگر دست نخورده باقی بماند، می تواند تا زمانی که بخواهید در این حالت باقی بماند. هنگامی که آونگ نوسان می کند، بارها از موقعیت تعادل خود عبور می کند.

بلافاصله پس از رها شدن آونگ منحرف شده، شروع به حرکت کرد، از موقعیت تعادل عبور کرد، به موقعیت افراطی مخالف رسید، لحظه ای در آنجا توقف کرد، در جهت مخالف حرکت کرد، دوباره از حالت تعادل عبور کرد و به عقب برگشت. یک اتفاق افتاده است نوسان کامل. سپس این روند به صورت دوره ای تکرار می شود.

دامنه نوسان بدن بزرگی بزرگترین انحراف آن از موقعیت تعادل است.

دوره نوسان - این زمان یک نوسان کامل است. می توان گفت که در طول یک دوره، بدن مسیری با چهار دامنه را طی می کند.

فرکانس نوسان متقابل دوره است: . فرکانس با هرتز (هرتز) اندازه گیری می شود و نشان می دهد که در یک ثانیه چند نوسان کامل رخ می دهد.

ارتعاشات هارمونیک

فرض می کنیم که موقعیت جسم نوسانی توسط یک مختصات مشخص می شود. موقعیت تعادل مربوط به مقدار است. وظیفه اصلی مکانیک در این مورد، یافتن تابعی است که مختصات بدن را در هر زمان می دهد.

برای توصیف ریاضی نوسانات، استفاده از توابع تناوبی طبیعی است. بسیاری از این توابع وجود دارد، اما دو مورد از آنها - سینوس و کسینوس - مهمترین آنها هستند. آنها خواص بسیار خوبی دارند و ارتباط نزدیکی با طیف وسیعی از پدیده های فیزیکی دارند.

از آنجایی که توابع سینوس و کسینوس از یکدیگر با جابجایی آرگومان به دست می‌آیند، می‌توانیم خود را به یکی از آنها محدود کنیم. برای قطعیت از کسینوس استفاده می کنیم.

ارتعاشات هارمونیک- اینها نوساناتی هستند که در آنها مختصات طبق قانون هارمونیک به زمان بستگی دارد:

(1)

بیایید معنای مقادیر موجود در این فرمول را دریابیم.

مقدار مثبت بزرگترین مقدار مدول مختصات است (از آنجایی که حداکثر مقدار مدول کسینوس برابر با واحد است)، یعنی بزرگترین انحراف از موقعیت تعادل. بنابراین - دامنه نوسانات.

آرگومان کسینوس نامیده می شود فازتردید. مقدار برابر با مقدار فاز در فاز اولیه نامیده می شود. فاز اولیه مربوط به مختصات اولیه بدن است: .

کمیت نامیده می شود فرکانس چرخه ای. بیایید ارتباط آن را با دوره نوسان و فرکانس پیدا کنیم. یک نوسان کامل مربوط به افزایش فاز برابر با رادیان است: از کجا

(2)

(3)

فرکانس چرخه ای بر حسب راد بر ثانیه (رادیان در ثانیه) اندازه گیری می شود.

مطابق عبارات (2) و (3)، دو شکل دیگر از نوشتن قانون هارمونیک (1) بدست می آوریم:

نمودار تابع (1) که وابستگی مختصات به زمان را در طول نوسانات هارمونیک بیان می کند، در شکل نشان داده شده است. 1 .

قانون هارمونیک نوع (1) از کلی ترین ماهیت برخوردار است. برای مثال، به موقعیت‌هایی که دو عمل اولیه به طور همزمان روی آونگ انجام می‌شد پاسخ می‌دهد: مقداری منحرف شد و سرعت اولیه مشخصی به آن داده شد. دو مورد خاص مهم وجود دارد که یکی از این اقدامات انجام نشده است.

بگذارید آونگ منحرف شود، اما سرعت اولیه گزارش نشد (بدون سرعت اولیه آزاد شد). واضح است که در این مورد، بنابراین می توانیم قرار دهیم. ما قانون کسینوس را دریافت می کنیم:

نمودار نوسانات هارمونیک در این مورد در شکل نشان داده شده است. 2.

برنج. 2. قانون کسینوس

اکنون فرض می کنیم که آونگ منحرف نشده است، اما سرعت اولیه از موقعیت تعادل در اثر ضربه به آن منتقل شده است. در این مورد، بنابراین شما می توانید قرار دهید. ما قانون سینوس را دریافت می کنیم:

نمودار نوسان در شکل نشان داده شده است. 3.

برنج. 3. قانون سینوس

معادله ارتعاشات هارمونیک.

به قانون کلی هارمونیک (1) برگردیم. بیایید این برابری را متمایز کنیم:

. (4)

اکنون تساوی حاصل (4) را متمایز می کنیم:

. (5)

بیایید عبارت (1) را برای مختصات و عبارت (5) را برای پیش بینی شتاب مقایسه کنیم. می بینیم که پیش بینی شتاب با مختصات فقط با یک عامل متفاوت است:

. (6)

این نسبت نامیده می شود معادله هارمونیک. همچنین می توان آن را به این شکل بازنویسی کرد:

. (7)

از دیدگاه ریاضی معادله (7) است معادله دیفرانسیل. راه حل های معادلات دیفرانسیل توابع هستند (نه اعداد، مانند جبر معمولی).
پس می توان ثابت کرد که:

جواب معادله (7) هر تابعی از شکل (1) با دلخواه است.

هیچ تابع دیگری راه حلی برای این معادله نیست.

به عبارت دیگر، روابط (6)، (7) نوسانات هارمونیک با فرکانس چرخه ای و فقط آنها را توصیف می کند. دو ثابت از شرایط اولیه تعیین می شود - از مقادیر اولیه مختصات و سرعت.

آونگ فنری.

آونگ فنری باری است که به فنری متصل می شود که می تواند در جهت افقی یا عمودی نوسان کند.

اجازه دهید دوره نوسانات افقی کوچک آونگ فنر را پیدا کنیم (شکل 4). اگر میزان تغییر شکل فنر بسیار کمتر از ابعاد آن باشد، نوسانات کوچک خواهند بود. برای تغییر شکل های کوچک می توانیم از قانون هوک استفاده کنیم. این منجر به هارمونیک بودن نوسانات می شود.

ما از اصطکاک غفلت می کنیم. بار دارای جرم است و سختی فنر برابر است.

مختصات مربوط به موقعیت تعادلی است که در آن فنر تغییر شکل نمی دهد. در نتیجه، بزرگی تغییر شکل فنر برابر با مدول مختصات بار است.

برنج. 4. آونگ فنری

در جهت افقی فقط نیروی کشسانی که از فنر وارد می شود بر بار وارد می شود. قانون دوم نیوتن برای باری که بر روی محور قرار می گیرد به شکل زیر است:

. (8)

اگر (مانند شکل، بار به سمت راست منتقل شود)، نیروی کشسان در جهت مخالف هدایت می شود و . برعکس، اگر، پس. علائم و همیشه مخالف هستند، بنابراین قانون هوک را می توان به صورت زیر نوشت:

سپس رابطه (8) به شکل زیر در می آید:

معادله ای از نوسانات هارمونیک به شکل (6) به دست آورده ایم که در آن

بنابراین فرکانس چرخه ای نوسان آونگ فنر برابر است با:

. (9)

از اینجا و از رابطه، دوره نوسانات افقی آونگ فنر را پیدا می کنیم:

. (10)

اگر باری را به فنر آویزان کنید، آونگ فنری به دست می آید که در جهت عمودی نوسان می کند. می توان نشان داد که در این حالت، فرمول (10) برای دوره نوسان معتبر است.

آونگ ریاضی.

آونگ ریاضی جسم کوچکی است که روی یک نخ غیر قابل امتداد بی وزن آویزان شده است (شکل 5). یک آونگ ریاضی می تواند در یک صفحه عمودی در میدان گرانش نوسان کند.

برنج. 5. آونگ ریاضی

بیایید دوره نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی را پیدا کنیم. طول نخ است. ما از مقاومت هوا غافل هستیم.

اجازه دهید قانون دوم نیوتن را برای آونگ بنویسیم:

و آن را بر روی محور پخش کنید:

اگر آونگ در موقعیتی مانند شکل (یعنی) قرار گیرد، آنگاه:

اگر آونگ در طرف دیگر موقعیت تعادل باشد (یعنی)، آنگاه:

بنابراین، برای هر موقعیت آونگ داریم:

. (11)

هنگامی که آونگ در وضعیت تعادل قرار دارد، برابری برآورده می شود. برای نوسانات کوچک، زمانی که انحراف آونگ از موقعیت تعادل کم است (در مقایسه با طول نخ)، برابری تقریبی برآورده می شود. بیایید از آن در فرمول (11) استفاده کنیم:

این معادله ای از نوسانات هارمونیک به شکل (6) است که در آن

بنابراین، فرکانس چرخه ای نوسانات یک آونگ ریاضی برابر است با:

. (12)

از این رو دوره نوسان یک آونگ ریاضی:

. (13)

لطفا توجه داشته باشید که فرمول (13) شامل جرم بار نمی شود. بر خلاف آونگ فنری، دوره نوسان یک آونگ ریاضی به جرم آن بستگی ندارد.

ارتعاشات آزاد و اجباری.

آنها می گویند که سیستم انجام می دهد ارتعاشات رایگان، اگر یک بار از وضعیت تعادل خارج شود و متعاقباً به حال خود رها شود. بدون خارجی دوره ای
در این حالت، سیستم هیچ تاثیری را تجربه نمی کند و هیچ منبع انرژی داخلی وجود ندارد که از نوسانات در سیستم پشتیبانی کند.

نوسانات فنر و آونگ های ریاضی که در بالا مورد بحث قرار گرفت نمونه هایی از نوسانات آزاد هستند.

فرکانس رخ دادن ارتعاشات آزاد نامیده می شود فرکانس طبیعیسیستم نوسانی بنابراین، فرمول های (9) و (12) فرکانس های طبیعی (چرخه ای) نوسانات فنر و آونگ های ریاضی را نشان می دهند.

در یک موقعیت ایده آل در غیاب اصطکاک، نوسانات آزاد میرا نمی شوند، یعنی دامنه ثابتی دارند و به طور نامحدود ادامه می یابند. در سیستم های نوسانی واقعی، اصطکاک همیشه وجود دارد، بنابراین ارتعاشات آزاد به تدریج از بین می روند (شکل 6).

ارتعاشات اجباری- اینها نوساناتی هستند که توسط یک سیستم تحت تأثیر یک نیروی خارجی ایجاد می شود که به طور دوره ای در طول زمان تغییر می کند (به اصطلاح نیروی محرکه).

فرض کنید فرکانس طبیعی نوسانات سیستم برابر است و نیروی محرکه مطابق قانون هارمونیک به زمان بستگی دارد:

با گذشت زمان، نوسانات اجباری ایجاد می شود: سیستم یک حرکت پیچیده را انجام می دهد، که برهم نهی از نوسانات اجباری و آزاد است. نوسانات آزاد به تدریج از بین می روند و در یک حالت ثابت، سیستم نوسانات اجباری را انجام می دهد که آنها نیز هارمونیک هستند. فرکانس نوسانات اجباری حالت پایدار با فرکانس منطبق است
نیروی اجباری (یک نیروی خارجی، همانطور که بود، فرکانس خود را به سیستم تحمیل می کند).

دامنه نوسانات اجباری ایجاد شده به فرکانس نیروی محرکه بستگی دارد. نمودار این وابستگی در شکل نشان داده شده است. 7.

برنج. 7. طنین

ما می بینیم که رزونانس در نزدیکی فرکانس رخ می دهد - پدیده افزایش دامنه نوسانات اجباری. فرکانس تشدید تقریباً برابر با فرکانس طبیعی نوسانات سیستم است: و این برابری با دقت بیشتری برآورده می شود، اصطکاک کمتر در سیستم. در صورت عدم وجود اصطکاک، فرکانس تشدید با فرکانس طبیعی نوسانات منطبق است و دامنه نوسانات تا بی نهایت در .

نوسانات هارمونیک طبق قانون رخ می دهد:

ایکس = آ cos(ω تی + φ 0),

جایی که ایکس- جابجایی ذره از موقعیت تعادل، آ- دامنه نوسانات، ω - فرکانس دایره ای، φ 0 - فاز اولیه، تی- زمان.

دوره نوسان تی = .

سرعت ذره در حال نوسان:

υ = = – آω sin(ω تی + φ 0),

شتاب آ = = –آω 2 cos (ω تی + φ 0).

انرژی جنبشی ذره ای که در حال حرکت نوسانی است: E k = =
گناه 2 (ω تی+ φ 0).

انرژی پتانسیل:

E n=
cos 2 (ω تی + φ 0).

دوره های نوسانات آونگ

- بهار تی =
,

جایی که متر- انبوه محموله، ک- ضریب سختی فنر،

- ریاضی تی = ,

جایی که ل- طول تعلیق، g- شتاب گرانش،

- فیزیکی تی =
,

جایی که من- ممان اینرسی آونگ نسبت به محور عبوری از نقطه تعلیق، متر- جرم آونگ، ل- فاصله از نقطه تعلیق تا مرکز جرم.

طول کاهش یافته یک آونگ فیزیکی از شرایط زیر بدست می آید: ل np = ,

نامگذاری ها مانند آونگ فیزیکی است.

هنگامی که دو نوسان هارمونیک با فرکانس یکسان و یک جهت اضافه می شود، یک نوسان هارمونیک با همان فرکانس با دامنه به دست می آید:

آ = آ 1 2 + آ 2 2 + 2آ 1 آ 2 cos (φ 2 - φ 1)

و فاز اولیه: φ = آرکتان
.

جایی که آ 1 , آ 2 - دامنه، φ 1، φ 2 - فازهای اولیه نوسانات چین خورده.

مسیر حرکت حاصل هنگام اضافه کردن نوسانات متقابل عمود بر یک فرکانس:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = گناه 2 (φ 2 - φ 1).

نوسانات میرایی طبق قانون رخ می دهد:

ایکس = آ 0 ه - β تی cos(ω تی + φ 0),

در جایی که β ضریب میرایی است، معنای پارامترهای باقیمانده مانند نوسانات هارمونیک است. آ 0 - دامنه اولیه. در یک لحظه از زمان تیدامنه ارتعاش:

آ = آ 0 ه - β تی .

کاهش میرایی لگاریتمی نامیده می شود:

λ = ورود
= β تی,

جایی که تی- دوره نوسان: تی = .

ضریب کیفیت یک سیستم نوسانی نامیده می شود:

معادله یک موج در حال حرکت هواپیما به شکل زیر است:

y = y 0 cos ω( تی ± ),

جایی که در- جابجایی کمیت نوسانی از موقعیت تعادل، در 0 - دامنه، ω - فرکانس زاویه ای، تی- زمان، ایکس- مختصاتی که موج در امتداد آن منتشر می شود، υ - سرعت انتشار موج

علامت "+" مربوط به موجی است که در برابر محور منتشر می شود ایکس، علامت "-" مربوط به موجی است که در امتداد محور منتشر می شود ایکس.

طول موج را دوره فضایی آن می نامند:

λ = υ تی,

جایی که υ - سرعت انتشار موج تی- دوره انتشار نوسانات.

معادله موج را می توان نوشت:

y = y 0 cos 2π (+).

یک موج ایستاده با معادله توصیف می شود:

y = (2y 0cos ) cos ω تی

دامنه موج ایستاده در داخل پرانتز قرار دارد. نقاطی با حداکثر دامنه را آنتی گره می نامند.

ایکس n = n ,

نقاط با دامنه صفر - گره ها،

ایکس y = ( n + ) .

نمونه هایی از حل مسئله

مسئله 20

دامنه نوسانات هارمونیک 50 میلی متر، دوره 4 ثانیه و فاز اولیه است. . الف) معادله این نوسان را بنویسید. ب) جابجایی نقطه نوسان را از موقعیت تعادل در پیدا کنید تی=0 و در تی= 1.5 ثانیه؛ ج) نمودار این حرکت را رسم کنید.

راه حل

معادله نوسان به صورت نوشته شده است ایکس = آ cos( تی+  0).

با توجه به شرایط، دوره نوسان مشخص است. از طریق آن می توانیم فرکانس دایره ای  = را بیان کنیم . پارامترهای باقی مانده شناخته شده است:

آ) ایکس= 0.05cos( تی + ).

ب) افست ایکسدر تی= 0.

ایکس 1 = 0.05 cos = 0.05 = 0.0355 متر.

در تی= 1.5 ثانیه

ایکس 2 = 0.05 cos( 1,5 + )= 0.05 cos  = - 0.05 متر.

V ) نمودار یک تابع ایکس=0.05cos ( تی + ) به شرح زیر است:

بیایید موقعیت چند نقطه را تعیین کنیم. شناخته شده ایکس 1 (0) و ایکس 2 (1.5)، و همچنین دوره نوسان. بنابراین، از طریق  تی= مقدار 4 ثانیه ایکستکرار می شود و بعد از  تی = 2 s علامت را تغییر می دهد. بین حداکثر و حداقل در وسط 0 است.

مسئله 21

نقطه یک نوسان هارمونیک انجام می دهد. دوره نوسان 2 ثانیه، دامنه 50 میلی متر، فاز اولیه صفر است. سرعت نقطه را در لحظه ای که جابجایی آن از وضعیت تعادل 25 میلی متر است را بیابید.

راه حل

1 راه. معادله نوسان نقطه را می نویسیم:

ایکس= 0.05 cos تی, زیرا  = =.

یافتن سرعت در لحظه زمان تی:

υ = = – 0,05 cos تی

ما لحظه ای را در زمان پیدا می کنیم که جابجایی 0.025 متر است:

0.025 = 0.05 cos تی 1 ,

از این رو cos  تی 1 = ,  تی 1 = . این مقدار را با عبارت speed جایگزین می کنیم:

υ = – 0.05  گناه = – 0.05  = 0.136 متر بر ثانیه.

روش 2. انرژی کل حرکت نوسانی:

E =
,

جایی که آ- دامنه،  - فرکانس دایره ای، متر – جرم ذرات

در هر لحظه از زمان از انرژی پتانسیل و جنبشی نقطه تشکیل شده است

E k = , E n = ، ولی ک = متر 2 یعنی E n =
.

بیایید قانون بقای انرژی را بنویسیم:

= +
,

از اینجا دریافت می کنیم: آ 2  2 = υ 2 +  2 ایکس 2 ,

υ = 
= 
= 0.136 متر بر ثانیه.

مسئله 22

دامنه نوسانات هارمونیک یک نقطه مادی آ= 2 سانتی متر، انرژی کل E= 3∙10 -7 J. در چه جابجایی از موقعیت تعادل نیرو بر روی نقطه نوسان اثر می کند. اف = 2.25∙10 -5 نیوتن؟

راه حل

انرژی کل نقطه ای که نوسانات هارمونیک انجام می دهد برابر است با: E =
. (13)

مدول نیروی الاستیک از طریق جابجایی نقاط از موقعیت تعادل بیان می شود ایکسبه روش زیر:

اف = k x (14)

فرمول (13) شامل جرم است مترو فرکانس دایره ای ، و در (14) - ضریب سختی ک. اما فرکانس دایره ای مربوط به مترو ک:

 2 = ,

از اینجا ک = متر 2 و F = متر 2 ایکس. بیان کرده است متر 2 از رابطه (13) به دست می آید: متر 2 = , اف = ایکس.

از جایی که عبارت جابجایی را می گیریم ایکس: ایکس = .

با جایگزینی مقادیر عددی به دست می آید:

ایکس =
= 1.5∙10 -2 متر = 1.5 سانتی متر.

مسئله 23

نقطه در دو نوسان با دوره ها و فازهای اولیه یکسان شرکت می کند. دامنه های نوسان آ 1 = 3 سانتی متر و A 2 = 4 سانتی متر دامنه ارتعاش حاصل را بیابید اگر: 1) ارتعاشات در یک جهت رخ دهد. 2) ارتعاشات متقابل عمود هستند.

راه حل

اگر نوسانات در یک جهت رخ دهد، دامنه نوسان حاصل به صورت زیر تعیین می شود:

جایی که آ 1 و آ 2 - دامنه نوسانات اضافه،  1 و  2 - فازهای اولیه. طبق شرط، فازهای اولیه یکسان هستند، یعنی  2 –  1 = 0 و cos 0 = 1.

از این رو:

آ =
=
= آ 1 +آ 2 = 7 سانتی متر

اگر نوسانات متقابل عمود باشند، معادله حرکت حاصل به صورت زیر خواهد بود:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

از آنجایی که با شرط  2 –  1 = 0، cos 0 = 1، sin 0 = 0، معادله به صورت زیر نوشته می شود:
=0,

یا
=0,

یا
.

رابطه حاصل بین ایکسو دررا می توان بر روی نمودار نشان داد. نمودار نشان می دهد که نتیجه نوسان یک نقطه در یک خط مستقیم خواهد بود MN. دامنه این نوسان به صورت زیر تعیین می شود: آ =
= 5 سانتی متر

مسئله 24

دوره نوسانات میرا شده تی= 4 ثانیه، کاهش میرایی لگاریتمی  = 1.6، فاز اولیه صفر است. جابجایی نقطه در تی = برابر 4.5 سانتی متر 1) معادله این ارتعاش را بنویسید. 2) نمودار این حرکت را برای دو دوره بسازید.

راه حل

معادله نوسانات میرا شده با فاز اولیه صفر به شکل زیر است:

ایکس = آ 0 ه -  تی cos2 .

مقادیر دامنه اولیه کافی برای جایگزینی مقادیر عددی وجود ندارد آ 0 و ضریب تضعیف .

ضریب تضعیف را می توان از رابطه کاهش میرایی لگاریتمی تعیین کرد:

 = تی.

بنابراین  = = = 0.4 s -1.

دامنه اولیه را می توان با جایگزینی شرط دوم تعیین کرد:

4.5 سانتی متر = آ 0
cos 2 =A 0
cos = آ 0
.

از اینجا متوجه می شویم:

آ 0 = 4,5∙

(سانتی متر) = 7.75 سانتی متر.

معادله نهایی حرکت این است:

ایکس = 0,0775
هزینه.

مسئله 25

کاهش میرایی لگاریتمی یک آونگ ریاضی چقدر است، اگر برای تی = 1 دقیقه دامنه نوسانات به نصف کاهش یافته است؟ طول آونگ ل = 1 متر

راه حل

کاهش میرایی لگاریتمی را می توان از رابطه: =  پیدا کرد تی,

که در آن  ضریب تضعیف است، تی- دوره نوسان. فرکانس دایره ای طبیعی یک آونگ ریاضی:

 0 =
= 3.13 s -1.

ضریب میرایی نوسان را می توان از شرایط زیر تعیین کرد: آ 0 = آ 0 ه -  تی ,

تی= ln2 = 0.693،

 =
= 0.0116c -1.

از آنجایی که <<  0 , то в формуле  =
را می توان در مقایسه با  0 نادیده گرفت و دوره نوسان را می توان با فرمول تعیین کرد: تی = = 2c.

 و را جایگزین می کنیم تیدر بیان کاهش میرایی لگاریتمی و دریافت می کنیم:

 = تی= 0.0116 s -1 ∙ 2 s = 0.0232.

مسئله 26

معادله نوسانات بدون میرا به شکل داده شده است ایکس= 4 sin600  تیسانتی متر.

جابجایی را از موقعیت تعادل نقطه ای که در دوردست قرار دارد را بیابید ل= 75 سانتی متر از منبع ارتعاش، از طریق تی= 0.01 ثانیه پس از شروع نوسان. سرعت انتشار نوسان υ = 300 متر بر ثانیه

راه حل

اجازه دهید معادله یک موج منتشر شده از منبع داده شده را بنویسیم: ایکس= 0.04 sin 600 ( تی– ).

فاز موج را در یک زمان معین در یک مکان معین پیدا می کنیم:

تی– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0.0075 = 4.5،

sin 4.5 = گناه = 1.

بنابراین، جابجایی نقطه ایکس= 0.04 متر، یعنی در فاصله ل = 75 سانتی متر از منبع در زمان تی= 0.01 ثانیه حداکثر جابجایی نقطه.

کتابشناسی - فهرست کتب

Volkenshtein V.S.. مجموعه مسائل درس عمومی فیزیک. – سن پترزبورگ: SpetsLit، 2001.

ساولیف I.V.. مجموعه سوالات و مسائل فیزیک عمومی. - M.: Nauka، 1998.

هر حرکتی که به صورت دوره ای تکرار شود، نوسانی نامیده می شود. بنابراین، وابستگی مختصات و سرعت یک جسم به زمان در طول نوسانات توسط توابع دوره ای زمان توصیف می شود. در درس فیزیک مدرسه ارتعاشاتی در نظر گرفته می شود که وابستگی ها و سرعت های بدن توابع مثلثاتی هستند. , یا ترکیبی از آنها، جایی که یک عدد مشخص است. به این گونه نوسانات هارمونیک (توابع) می گویند و اغلب توابع هارمونیک نامیده می شود). برای حل مسائل مربوط به نوسانات موجود در برنامه امتحان دولتی واحد در فیزیک، باید تعاریف ویژگی های اصلی حرکت نوسانی را بدانید: دامنه، دوره، فرکانس، فرکانس دایره ای (یا چرخه ای) و فاز نوسانات. اجازه دهید این تعاریف را ارائه دهیم و کمیت های ذکر شده را با پارامترهای وابستگی مختصات بدنه به زمان مرتبط کنیم، که در مورد نوسانات هارمونیک همیشه می توان به شکل نشان داد.

کجا، و تعدادی اعداد هستند.

دامنه نوسانات حداکثر انحراف جسم در حال نوسان از وضعیت تعادل آن است. از آنجایی که حداکثر و حداقل مقدار کسینوس در (11.1) برابر با 1± است، دامنه نوسانات بدنه نوسانی (11.1) برابر است. دوره نوسان حداقل زمانی است که پس از آن حرکت یک جسم تکرار می شود. برای وابستگی (11.1)، دوره را می توان از ملاحظات زیر تنظیم کرد. کسینوس تابع تناوبی با نقطه است. بنابراین، حرکت به طور کامل از طریق یک مقدار تکرار می شود که . از اینجا می گیریم

فرکانس دایره ای (یا چرخه ای) نوسانات تعداد نوسانات انجام شده در واحد زمان است. از فرمول (11.3) نتیجه می گیریم که فرکانس دایره ای کمیت از فرمول (11.1) است.

فاز نوسان آرگومان یک تابع مثلثاتی است که وابستگی مختصات به زمان را توصیف می کند. از فرمول (11.1) می بینیم که فاز نوسانات بدن که حرکت آن با وابستگی (11.1) توصیف شده است، برابر است با . مقدار فاز نوسان در زمان = 0 فاز اولیه نامیده می شود. برای وابستگی (11.1)، فاز اولیه نوسانات برابر است با . بدیهی است که فاز اولیه نوسانات به انتخاب نقطه مرجع زمانی (ممان = 0) بستگی دارد که همیشه مشروط است. با تغییر مبدأ زمان، همیشه می توان فاز اولیه نوسانات را برابر با صفر و سینوس فرمول (11.1) را به کسینوس یا بالعکس تبدیل کرد.

برنامه آزمون دولتی یکپارچه همچنین شامل دانش فرمول های فراوانی نوسانات فنر و آونگ های ریاضی است. آونگ فنری معمولاً جسمی نامیده می شود که می تواند بر روی یک سطح افقی صاف تحت تأثیر فنر نوسان کند که انتهای دوم آن ثابت است (شکل سمت چپ). آونگ ریاضی جسم عظیمی است که می توان ابعاد آن را نادیده گرفت و بر روی یک نخ بلند، بی وزن و غیر قابل امتداد نوسان می کند (شکل سمت راست). نام این سیستم، "آونگ ریاضی" به این دلیل است که یک انتزاعی را نشان می دهد. ریاضیمدل واقعی ( فیزیکی) آونگ. لازم است فرمول های دوره (یا فرکانس) نوسانات فنر و آونگ های ریاضی را به خاطر بسپارید. برای آونگ فنری

جایی که طول نخ است، شتاب گرانش است. بیایید کاربرد این تعاریف و قوانین را با استفاده از مثال حل مسئله در نظر بگیریم.

برای یافتن فرکانس چرخه ای نوسانات بار در وظیفه 11.1.1بیایید ابتدا دوره نوسان را پیدا کنیم و سپس از فرمول (11.2) استفاده کنیم. از آنجایی که 10 متر 28 ثانیه برابر با 628 ثانیه است و در این مدت بار 100 بار نوسان می کند، دوره نوسان بار 6.28 ثانیه است. بنابراین، فرکانس چرخه ای نوسانات 1 ثانیه -1 است (پاسخ 2 ). که در مشکل 11.1.2بار در 600 ثانیه 60 نوسان ایجاد کرد، بنابراین فرکانس نوسان 0.1 ثانیه -1 است (پاسخ 1 ).

برای درک مسافتی که بار در 2.5 دوره طی می کند ( مشکل 11.1.3) حرکت او را دنبال کنیم. پس از یک دوره، بار به نقطه حداکثر انحراف باز می گردد و یک نوسان کامل را تکمیل می کند. بنابراین، در طی این مدت، بار مسافتی معادل چهار دامنه را طی می کند: به موقعیت تعادل - یک دامنه، از موقعیت تعادل تا نقطه حداکثر انحراف در جهت دیگر - دوم، بازگشت به موقعیت تعادل - سوم، از موقعیت تعادل تا نقطه شروع - چهارم. در دوره دوم بار دوباره از چهار دامنه عبور می کند و در نیمه باقی مانده دوره - دو دامنه. بنابراین مسافت طی شده برابر با ده دامنه است (پاسخ 4 ).

مقدار حرکت بدن فاصله از نقطه شروع تا نقطه پایان است. بیش از 2.5 دوره در وظیفه 11.1.4بدن زمان خواهد داشت تا دو نوسان کامل و نیم کامل را انجام دهد، یعنی. در حداکثر انحراف خواهد بود، اما در سمت دیگر موقعیت تعادل. بنابراین، بزرگی جابجایی برابر با دو دامنه است (پاسخ 3 ).

طبق تعریف، فاز نوسان استدلال یک تابع مثلثاتی است که وابستگی مختصات یک جسم در حال نوسان را به زمان توصیف می کند. بنابراین پاسخ صحیح است مشکل 11.1.5 - 3 .

دوره زمان نوسان کامل است. این بدان معنی است که بازگشت یک جسم به همان نقطه ای که بدن از آنجا شروع به حرکت کرده است به این معنی نیست که یک دوره سپری شده است: بدن باید با همان سرعت به همان نقطه برگردد. به عنوان مثال، جسمی که نوسانات خود را از موقعیت تعادل آغاز کرده است، زمان خواهد داشت تا حداکثر در یک جهت منحرف شود، به عقب برگردد، حداکثر در جهت دیگر منحرف شود و دوباره به عقب بازگردد. بنابراین، در طول دوره، بدن زمان خواهد داشت تا دو بار با حداکثر مقدار از وضعیت تعادل منحرف شود و به عقب بازگردد. در نتیجه، عبور از موقعیت تعادل به نقطه حداکثر انحراف ( مشکل 11.1.6) بدن یک چهارم دوره را می گذراند (پاسخ 3 ).

نوسانات هارمونیک آنهایی هستند که در آنها وابستگی مختصات جسم در حال نوسان به زمان توسط تابع مثلثاتی (سینوس یا کسینوس) زمان توصیف می شود. که در وظیفه 11.1.7اینها توابع هستند و علیرغم اینکه پارامترهای موجود در آنها به عنوان 2 و 2 تعیین می شوند. تابع یک تابع مثلثاتی از مجذور زمان است. بنابراین، ارتعاشات فقط کمیت ها و هارمونیک هستند (پاسخ 4 ).

در طول ارتعاشات هارمونیک، سرعت بدن طبق قانون تغییر می کند ، دامنه نوسانات سرعت کجاست (نقطه مرجع زمانی طوری انتخاب می شود که فاز اولیه نوسانات برابر با صفر باشد). از اینجا به وابستگی انرژی جنبشی بدن به زمان پی می بریم
(مشکل 11.1.8). با استفاده از فرمول مثلثاتی معروف، به دست می آوریم

از این فرمول نتیجه می شود که انرژی جنبشی یک جسم در طول نوسانات هارمونیک نیز طبق قانون هارمونیک، اما با فرکانس دو برابر تغییر می کند (پاسخ 2 ).

پشت رابطه بین انرژی جنبشی بار و انرژی پتانسیل فنر ( مشکل 11.1.9) به راحتی می توان از ملاحظات زیر پیروی کرد. هنگامی که بدنه با حداکثر مقدار از موقعیت تعادل منحرف می شود، سرعت جسم صفر است و بنابراین، انرژی پتانسیل فنر از انرژی جنبشی بار بیشتر است. برعکس، وقتی جسم از حالت تعادل عبور می کند، انرژی پتانسیل فنر صفر است و بنابراین انرژی جنبشی از انرژی پتانسیل بیشتر است. بنابراین، بین عبور از موقعیت تعادل و حداکثر انحراف، انرژی جنبشی و پتانسیل یک بار مقایسه می شود. و از آنجایی که در یک دوره، بدن چهار بار از حالت تعادل به حداکثر انحراف یا عقب می گذرد، پس در طول دوره، انرژی جنبشی بار و انرژی پتانسیل فنر چهار برابر با یکدیگر مقایسه می شود (پاسخ 2 ).

دامنه نوسانات سرعت ( وظیفه 11.1.10) با استفاده از قانون بقای انرژی به راحتی پیدا می شود. در نقطه حداکثر انحراف، انرژی سیستم نوسانی برابر با انرژی پتانسیل فنر است. ، جایی که ضریب سختی فنر است، دامنه ارتعاش است. هنگام عبور از موقعیت تعادل، انرژی بدن برابر با انرژی جنبشی است جرم جسم کجاست، سرعت جسم هنگام عبور از موقعیت تعادل است که حداکثر سرعت جسم در طول فرآیند نوسان است و بنابراین نشان دهنده دامنه نوسانات سرعت است. معادل سازی این انرژی ها، متوجه می شویم

(پاسخ 4 ).

از فرمول (11.5) نتیجه می گیریم ( مشکل 11.2.2) که دوره آن به جرم یک آونگ ریاضی بستگی ندارد و با 4 برابر افزایش طول دوره نوسانات 2 برابر می شود (پاسخ 1 ).

ساعت یک فرآیند نوسانی است که برای اندازه گیری فواصل زمانی ( مشکل 11.2.3). کلمات "ساعت عجله دارد" به این معنی است که دوره این روند کمتر از آن چیزی است که باید باشد. بنابراین، برای روشن شدن میزان پیشرفت این ساعت ها، لازم است دوره روند افزایش یابد. طبق فرمول (11.5) برای افزایش دوره نوسان یک آونگ ریاضی باید طول آن را افزایش داد (پاسخ 3 ).

برای یافتن دامنه نوسانات در مشکل 11.2.4، لازم است وابستگی مختصات بدنه به زمان را در قالب یک تابع مثلثاتی منفرد نشان دهیم. برای تابع داده شده در شرط، این کار را می توان با معرفی یک زاویه اضافی انجام داد. ضرب و تقسیم این تابع بر و با استفاده از فرمول اضافه کردن توابع مثلثاتی، دریافت می کنیم

زاویه کجاست که . از این فرمول نتیجه می شود که دامنه نوسانات بدنه است (پاسخ 4 ).