Свойства прямых и плоскостей в пространстве. Прямые и плоскости в пространстве

Предварительные замечания

1. В стереометрии изучаются геометрические тела и пространственные фигуры, не все точки которых лежат в одной плоскости. Пространственные фигуры изображаются на чертеже при помощи рисунков, которые производят на глаз приблизительно такое же впечатление, как и сама фигура. Эти рисунки выполняются по определённым правилам, основанным на геометрических свойствах фигур.
Один из способов изображения пространственных фигур на плоскости будет указан в дальнейшем (§ 54-66).

ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

2. Изображение плоскости. В обыденной жизни многие предметы, поверхность которых напоминает геометрическую плоскость, имеют форму прямоугольника: переплёт книги, оконное стекло, поверхность письменного стола и т. п. При этом если смотреть на эти предметы под углом и с большого расстояния, то они представляются нам имеющими форму параллелограмма. Поэтому принято изображать плоскость на чертеже в виде параллелограмма 1 . Эту плоскость обычно обозначают одной буквой, например "плоскость М" (черт. 1).

1 Наряду с указанным изображением плоскости возможно и такое, как на чертежах 15-17 и др.
(Прим. ред.)

3. Основные свойства плоскости. Укажем следующие свойства плоскости, которые принимаются без доказательства, т. е. являются аксиомами:

1) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой прямой принадлежит плоскости.

2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3) Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

4. Следствия. Из последнего предложения можно вывести следствия:

1) Через прямую и точку вне её можно провести плоскость (и только одну). Действительно, точка вне прямой вместе с какими-нибудь двумя точками этой прямой составляют три точки, через которые можно провести плоскость (и притом одну).

2) Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость (и только одну). Действительно, взяв точку пересечения и ещё по одной точке на каждой прямой, мы будем иметь три точки, через которые можно провести плоскость (и притом одну).

3) Через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость. Действительно, параллельные прямые, по определению, лежат в одной плоскости; эта плоскость единственная, так как через одну из параллельных и какую-нибудь точку другой можно провести не более одной плоскости.

5. Вращение плоскости вокруг прямой. Через каждую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей.

В самом деле, пусть дана прямая а (черт. 2).

Возьмём какую-нибудь точку А вне её. Через точку А и прямую а проходит единственная плоскость (§ 4). Назовём её плоскостью М. Возьмём новую точку В вне плоскости М. Через точку В и прямую а в свою очередь проходит плоскость. Назовём её плоскостью N. Она не может совпадать с М, так как в ней лежит точка В, которая не принадлежит плоскости М. Мы можем далее взять в пространстве ещё новую точку С вне плоскостей М и N. Через точку С и прямую а проходит новая плоскость. Назовём её Р. Она не совпадает ни с М, ни с N, так как в ней находится точка С, не принадлежащая ни плоскости М, ни плоскости N. Продолжая брать в пространстве всё новые и новые точки, мы будем таким путём получать всё новые и новые плоскости, проходящие через данную прямую а . Таких плоскостей будет бесчисленное множество. Все эти плоскости можно рассматривать как различные положения одной и той же плоскости, которая вращается вокруг прямой а .

Мы можем, следовательно, высказать ещё одно свойство плоскости: плоскость может вращаться вокруг всякой прямой, лежащей в этой плоскости.

6. Задачи на построение в пространстве. Все построения, которые делались в планиметрии, выполнялись в одной плоскости при помощи чертёжных инструментов. Для построений в пространстве чертёжные инструменты становятся уже непригодными, так как чертить фигуры в пространстве невозможно. Кроме того, при построениях в пространстве появляется ещё новый элемент - плоскость, построение которой в пространстве нельзя выполнять столь простыми средствами, как построение прямой на плоскости.

Поэтому при построениях в пространстве необходимо точно определить, что значит выполнить то или иное построение и, в частности, что значит построить плоскость в пространстве. Во всех построениях в пространстве мы будем предполагать:

1) что плоскость может быть построена, если найдены элементы, определяющие её положение в пространстве (§ 3 и 4), т. е. что мы умеем построить плоскость, проходящую через три данные точки, через прямую и точку вне её, через две пересекающиеся или две параллельные прямые;

2) что если даны две пересекающиеся плоскости, то дана и линия их пересечения, т. е. что мы умеем найти линию пересечения двух плоскостей;

3) что если в пространстве дана плоскость, то мы можем выполнять в ней все построения, которые выполнялись в планиметрии.

Выполнить какое-либо построение в пространстве - это значит свести его к конечному числу только что указанных основных построений. При помощи этих основных задач можно решать и задачи более сложные.

В этих предложениях и решаются задачи на построение в стереометрии.

7. Пример задачи на построение в пространстве.
Задача. Найти точку пересечения данной прямой а (черт. 3) с данной плоскостью Р.

Возьмём на плоскости Р какую-либо точку А. Через точку А и прямую а проводим плоскость Q. Она пересекает плоскость Р по некоторой прямой b . В плоскости Q находим точку С пересечения прямых а и b . Эта точка и будет искомой. Если прямые а и b окажутся параллельными, то задача не будет иметь решения.

40. Основные понятия стереометрии.

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. На рисунке 116 изображены различные фигуры в

пространстве. Объединение нескольких геометрических фигур в пространстве есть тоже геометрическая фигура, на рисунке 117 фигура состоит из двух тетраэдров.

Плоскости обозначаются строчными греческими буквами:

На рисунке 118 изображены плоскость а, прямые а и и точки А, В и С. Про точку А и прямую а говорят, что они лежат в плоскости а или принадлежат ей. Про точки В и С и прямую 6, что они не лежат в плоскости а или не принадлежат ей.

Введение основной геометрической фигуры - плоскости заставляет расширить систему аксиом. Перечислим аксиомы, которые выражают основные свойства плоскостей в пространстве. Эти аксиомы обозначены в пособии буквой С.

Си Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

На рисунке 118 точка А принадлежит плоскости а, а точки В и С не принадлежат ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

На рисунке 119 две различные плоскости а и Р имеют общую точку А, а значит, по аксиоме существует прямая, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой а. Плоскости а и в этом случае называются пересекающимися по прямой а.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

На рисунке 120 изображены две различные прямые а и имеющие общую точку О, а значит, по аксиоме существует плоскость а, содержащая прямые а и При этом по той же аксиоме плоскость а единственная.

Эти три аксиомы дополняют рассмотренные в главе I аксиомы планиметрии. Все они вместе являются системой аксиом геометрии.

Пользуясь этими аксиомами, можно доказать несколько первых теорем стереометрии.

Т.2.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Т.2.2. Если две точкй прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Т.2.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Пример 1. Дана плоскость а. Доказать, что существует прямая, не лежащая в плоскости а и пересекающая ее.

Решение. Возьмем в плоскости а точку А, что можно сделать по аксиоме Си По той же аксиоме существует точка В, которая плоскости а не принадлежит. Через точки А и В можно провести прямую (аксиома ). Прямая не лежит в плоскости а и пересекает ее (в точке А).

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Две прямые в пространстве скрещиваются, если не существует такой плоскости, в которой они обе лежат.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой и носкости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Плоскость и прямая, не принадлежащая плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, то она параллельна и плоскости.

Свойства плоскости и прямой, параллельной плоскости:

1) если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой;

2) если через каждую из двух параллельных прямых проведены пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения параллельна данным прямым.

Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Свойства прямой, перпендикулярной плоскости.

1) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости;

2) прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

На рисунке 1 прямая b − наклонная к плоскости, прямая c - проекция этой наклонной на плоскость и поскольку а ┴ с , то a ┴ b

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. На рисунке 2 прямая b - наклонная к плоскости, прямая a - проекция этой наклонной на плоскость, α - угол между этой наклонной и плоскостью.

Двугранный угол образуется в результате пересечения двух плоскостей. Прямая, полученная в результате пересечения двух плоскостей, называется ребром двугранного угла. Две полуплоскости с общим ребром называются гранями двугранного угла.

Полуплоскость, граница которой совпадает с ребром двугранного угла и которая делит двугранный угол на два равных угла, называется биссекторной плоскостью.

Двугранный угол измеряется соответствующим линейным углом. Линейным углом двугранного угла называется угол между перпендикулярами, проведенными в каждой грани к ребру.

Призма

Многогранник, две грани которого равные n - угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называется n -угольной призмой.

Два n - угольника являются основаниями призмы, параллелограммы - боковыми гранями. Стороны граней называются ребрами призмы, а концы ребер - вершинами призмы.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани.

Прямой призмой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 3).

Наклонной призмой называется призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований (рис.4).

Объем и площадь поверхности призмы высотыhнаходят по формулам:

Площадь боковой поверхности прямой призмы можно вычислить по формуле .

Объем и площадь поверхности наклонной призмы (рис. 4) можно вычислить также иначе: где ΔPNK - сечение, перпендикулярное ребру l.

Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Параллелепипедом называется призма, все грани которой - параллелограммы.

Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d ² = a ² + b ² + c ², где a,b,c- длины ребер, выходящих из одной вершины, d - диагональ параллелепипеда (рис. 3).

Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле V = abc.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани куба - квадраты.

Объем, площадь поверхности и диагональ куба с ребромa находят по формулам:

V = a ³, S = 6a ² d ² = 3a ².

Пирамида

Многогранник, одна грань которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой. Многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники - боковыми гранями.

Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания.

Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота опускается в центр описанной окружности.

Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то высота опускается в центр вписанной окружности.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.

Например, на рисунке 5 изображена правильная треугольная пирамида SABC (тетраэдр):AB = BC = AC = a , OD = r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , OA =R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC , SO =h - высота

пирамиды, SD = l- апофема, - уголнаклона бокового

ребра SA к плоскости основания, - уголнаклонабоковой грани SBC к плоскости основания пирамиды.

Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.

Объем пирамиды и площадь ее поверхности находят по формулам:

Где h - высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле , где - апофема пирамиды.

Усеченной пирамидой называется многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды − подобные многоугольники.

Объем усеченной пирамидынаходят по формуле , где и - площади оснований, h - высота усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани − правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Грани правильного многогранника могут быть или равносторонними треугольниками, или квадратами, или правильными пятиугольниками.

Если у правильного многогранника грани - правильные треугольники, то соответствующими многогранниками являются правильный тетраэдр (он имеет 4 грани), правильный октаэдр (он имеет 8 граней), правильный икосаэдр (он имеет 20 граней).

Если у правильного многогранника грани - квадраты, то многогранник называется кубом или гексаэдром (он имеет 6 граней).

Если у правильного многогранника грани - правильные пятиугольники, то многогранник называется додекаэдром (он имеет 12 граней).

Цилиндр

Цилиндром называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунке 6 прямая - ось вращения; - высота, l - образующая; ABCD - осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольник а вокруг стороны . Объем и площадь поверхности цилиндра находят по формулам:

, , , , где R- радиус основания, h - высота,l - образующая цилиндра.

Конус

Конусом называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. На рисунке 7 прямая OB - ось вращения; OB = h - высота, l - образующая;ΔABC - осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника OBC вокруг катета OB .

ПЛОСКОСТЬ.

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется её нормальным вектором , и обозначается .

Определение. Уравнение плоскости вида где коэффициенты– произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, называетсяобщим уравнением плоскости.

Теорема. Уравнение определяет плоскость, проходящую через точкуи имеющую нормальный вектор.

Определение. Уравнение плоскости вида

где – произвольные, не равные нулю действительные числа, называетсяуравнением плоскости в отрезках.

Теорема. Пусть – уравнение плоскости в отрезках. Тогда– координаты точек её пересечения с осями координат.

Определение. Общее уравнение плоскости называетсянормированным или нормальным уравнением плоскости, если

и .

Теорема. Нормальное уравнение плоскости может быть записано в виде где – расстояние от начала координат до данной плоскости,– направляющие косинусы её нормального вектора).

Определение. Нормирующим множителем общего уравнения плоскости называется число– где знак выбирается противоположным знаку свободного членаD .

Теорема. Пусть – нормирующий множитель общего уравнения плоскости. Тогда уравнение– является нормированным уравнением данной плоскости.

Теорема. Расстояние d от точки до плоскостиравно.

Взаимное расположение двух плоскостей.

Две плоскости либо совпадают, либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.

Теорема. Пусть плоскости заданы общими уравнениями: . Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельные;

3) если или, то плоскости пересекаются по прямой, уравнением которой служит система уравнений: .

Теорема. Пусть – нормальные векторы двух плоскостей, тогда один из двух углов между данными плоскостями равен:.

Следствие. Пусть ,– нормальные векторы двух данных плоскостей. Если скалярное произведението данные плоскости являются перпендикулярными.

Теорема. Пусть даны координаты трех различных точек координатного пространства:

Тогда уравнение –является уравнением плоскости, проходящей через эти три точки .

Теорема. Пусть даны общие уравнения двух пересекающихся плоскостей: причем. Тогда:

– уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла , образованного пересечением данных плоскостей;

– уравнение биссекторной плоскости тупого двугранного угла .

Связка и пучок плоскостей.

Определение. Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, имеющих одну общую точку, которая называется центром связки .

Теорема. Пусть – три плоскости, имеющие единственную общую точкуТогда уравнениегде– произвольные действительные параметры одновременно не равные нулю, естьуравнение связки плоскостей .

Теорема. Уравнение , гдепроизвольные действительные параметры, одновременно не равные нулю, являетсяуравнением связки плоскостей с центром связки в точке .

Теорема. Пусть даны общие уравнения трех плоскостей:

–их соответствующие нормальные векторы. Для того чтобы три данные плоскости пересекались в единственной точке необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение их нормальных векторов не равнялось нулю:

В этом случае, координаты их единственной общей точки являются единственным решением системы уравнений:

Определение. Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей пересекающихся по одной и той же прямой, называемой осью пучка.

Теорема. Пусть – две плоскости, пересекающиеся по прямой. Тогда уравнение, где– произвольные действительные параметры одновременно не равные нулю, естьуравнение пучка плоскостей с осью пучка

ПРЯМАЯ.

Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой называется ее направляющим вектором , и обозначается

Теорема. параметрическим уравнением прямой в пространстве: где– координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой,– параметр.

Следствие. Следующая система уравнений является уравнением прямой в пространстве и называется каноническим уравнением прямой в пространстве: где – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой.

Определение. Каноническое уравнение прямой вида – называетсяканоническим уравнением прямой, проходящей через две раз­личные данные точки

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Возможны 4 случая расположения двух прямых в пространстве. Прямые могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной точке или быть скрещивающимися.

Теорема. Пусть даны канонические уравнения двух прямых:

где – их направляющие векторы,– произвольные фиксированные точки, лежащие на прямыхсоответственно. Тогда:

и ;

и не выполняется хотя бы одно из равенств

;

, т.е.

4) прямые скрещивающиеся, если , т.е.

Теорема. Пусть

– две произвольные прямые в пространстве, заданные параметрическими уравнениями. Тогда:

1) если система уравнений

имеет единственное решение то прямые пересекаются в одной точке;

2) если система уравнений не имеет решений, то прямые скрещивающиеся или параллельные.

3) если система уравнений имеет более одного решения, то прямые совпадают.

Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

Теорема. (Формула расстояния между двумя параллельными прямыми.): Расстояние между двумя параллельными прямыми

Где – их общий направляющий вектор,– точки на этих прямых, можно вычислить по формуле:

или

Теорема. (Формула расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.): Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

можно вычислить по формуле:

где – модуль смешанного произведения направляющих векторовии вектора,– модуль векторного произведения направляющих векторов.

Теорема. Пусть – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Тогда следующая система уравнений является уравнением прямой линии, по которой пересекаются эти плоскости:. Направляющим вектором этой прямой может служить вектор, где,– нормальные векторы данных плоскостей.

Теорема. Пусть дано каноническое уравнение прямой: , где . Тогда следующая система уравнений является уравнением данной прямой, заданной пересечением двух плоскостей:.

Теорема. Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую имеет видгде – координаты векторного произведения,– координаты направляющего вектора данной прямой. Длину перпендикуляра можно найти по формуле:

Теорема. Уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых имеет вид: где.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Возможны три случая взаимного расположения прямой в пространстве и плоскости:

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением, а прямая задана каноническим или параметрическим уравнениямиили, где вектор – нормальный вектор плоскости– координаты произвольной фиксированной точки прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора прямой. Тогда:

1) если , то прямаяпересекает плоскостьв точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

2) если и, то прямая лежит на плоскости;

3) если и, то прямая параллельна плоскости.

Следствие. Если система (*) имеет единственное решение, то прямая пересекается с плоскостью; если система (*) не имеет решений, то прямая параллельная плоскости; если система (*) имеет бесконечно много решений, то прямая лежит на плоскости.

Решение типовых задач.

Задача №1 :

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам

Найдём нормальный вектор искомой плоскости:

= =

В качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор тогда общее уравнение плоскости примет вид:

Чтобы найти , нужно заменить в этом уравнениикоординатами точки, принадлежащей плоскости.

Задача №2 :

Две грани куба лежат на плоскостях иВычислить объём этого куба.

Очевидно, что плоскости параллельны. Длиной ребра куба является расстояние между плоскостями. Выберем на первой плоскости произвольную точку: пустьнайдём.

Найдём расстояние между плоскостями как расстояние от точки до второй плоскости:

Итак, объём куба равен ()

Задача №3 :

Найти угол между гранями ипирамидыc вершинами

Угол между плоскостями – это угол между нормальными векторами к этим плоскостям. Найдём нормальный векторплоскости:[,];

, или

Аналогично

Задача №4 :

Составить каноническое уравнение прямой .

Итак,

Вектор иперпендикулярны прямой, поэтому,

Итак, каноническое уравнение прямой примет вид .

Задача №5 :

Найти расстояние между прямыми

и .

Прямые параллельны, т.к. их направляющие векторы иравны. Пусть точкапринадлежит первой прямой,a точка лежит на второй прямой. Найдём площадь параллелограмма, построенного на векторахи.

[,];

Искомым расстоянием является высота параллелограмма, опущенная из точки :

Задача №6 :

Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми:

Покажем, что прямые скрещивающиеся, т.е. векторы ,ине принадлежат одной плоскости:≠ 0.

1 способ:

Через вторую прямую проведём плоскость , параллельную первой прямой. Для искомой плоскости известны принадлежащие ей векторыии точка. Нормальный векторплоскостиесть векторное произведение векторови, поэтому.

Итак, в качестве нормального вектора плоскости можно взять векторпоэтому уравнение плоскости примет вид:зная, что точкапринадлежит плоскостинайдёми запишем уравнение:

Искомое расстояние – это расстояние от точки первой прямой до плоскостии находится по формуле:

13.

2 способ:

На векторах ,ипостроим параллелепипед.

Искомое расстояние – это высота параллелепипеда, опущенная из точки , на его основание, построенного на векторахи.

Ответ: 13 единиц.

Задача №7 :

Найти проекцию точки на плоскость

Нормальный вектор плоскости является направляющий вектором прямой:

Найдём точку пересечения прямой

и плоскости:

.

Подставив в уравнение плоскости, найдём, а затем

Замечание. Чтобы найти точку , симметричную точкеотносительно плоскости, нужно (аналогично предыдущей задаче) найти проекциюточкина плоскость, затем рассмотреть отрезокс известными началоми серединой, воспользовавшись формулами,,.

Задача №8 :

Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

1 способ:

2 способ:

Задачу решим вторым способом:

Плоскость перпендикулярна заданной прямой, поэтому направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости. Зная нормальный вектор плоскости и точку на плоскости, запишем её уравнение:

Найдём точку пересечения плоскости и прямой, записанной параметрически:

,

Составим уравнение прямой проходящей через точки и:

.

Ответ: .

Таким же способом можно решить и следующие задачи:

Задача №9 :

Найти точку , симметричную точкеотносительно прямой .

Задача №10 :

Дан треугольник с вершинами Найти, уравнение высоты, опущенной из вершины на сторону.

Ход решения совершенно аналогичен предыдущим задачам.

Ответ: .

Задача №11 :

Найти уравнение общего перпендикуляра к двум прямым: .

0.

Учитывая, что плоскость проходит через точку, запишем уравнение этой плоскости:

Точка принадлежит, поэтому уравнение плоскостипримет вид:.

Ответ:

Задача №12 :

Составить уравнение прямой проходящей через точку и пересекающей прямые .

Первая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор; вторая – проходит через точкуи имеет направляющий вектор

Покажем, что эти прямые являются скрещивающимися, для этого составим определитель, строки которого являются координатами векторов ,,,векторы не принадлежат одной плоскости.

Проведём плоскость через точкуи первую прямую:

Пусть – произвольная точка плоскоститогда векторы,икомпланарны. Уравнение плоскостиимеет вид:.

Аналогично составим уравнение плоскости , проходящей через точкуи вторую прямую:0.

Искомая прямая есть пересечение плоскостей , т.е..

Образовательным результатом после изучения данной темы является сформированность компонент, заявленных во введении, совокупности компетенций (знать, уметь, владеть) на двух уровнях: пороговый и продвинутый. Пороговый уровень соответствует оценке «удовлетворительно», продвинутый уровень соответствует оценкам «хорошо» или «отлично» в зависимости от результатов защиты кейс-заданий.

Для самостоятельной диагностики данных компонент вам предлагаются следующие задания.

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Плоскость в пространстве

1 Точка пересечения прямой с плоскостью

1 Различные случаи положения прямой в пространстве

2 Угол между прямой и плоскостью

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

By + Cz +D = 0

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0. Особые случаи уравнения

D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0;

) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=;

) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений параметру t:

X1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt.

Решая систему как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

Mz + a, y = nz + b

От уравнений можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = , где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x1,y = y1; прямая параллельна оси Oz.

Цель курсовой работы: изучить прямую и плоскость в пространстве.

Задачи курсовой работы: рассмотреть плоскость в пространстве, её уравнение, а также рассмотреть плоскость в пространстве.

Структура курсовой работы: введение, 2 главы, заключение, список использованных источников.

Глава 1. Плоскость в пространстве

.1 Точка пересечения прямой с плоскостью

Пусть плоскость Q задана уравнением общего типа: Ax+By+Cz+D=0, а прямая L в параметрическом виде: x=x1+mt, y=y1+nt, z=z1+pt, тогда чтобы найти точку пересечения прямой L и плоскости Q, нужно найти значение параметра t, при котором точка прямой будет лежать на плоскости. Подставив значение x, y, z, в уравнение плоскости и выразив t, получим

Значение t будет единственным, если прямая и плоскость не параллельны.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Рассмотрим прямую L:

и плоскость ?:

Прямая L и плоскость ?:

а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т. е.

б) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, т. е.

и Am + Bn + Ср = 0.

.2 Угол между прямой и плоскостью

Угол ? между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой вычисляется по формуле:

Пучок плоскостей

Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L, называется пучком плоскостей, а прямая L - осью пучка. Пусть ось пучка задана уравнениями

Почленно умножим второе уравнение системы на постоянную и сложим с первым уравнением:

A1x+B1y+C1z+D1+ ?(A2x+B2y+C2z+D2)=0.

Это уравнение имеет первую степень относительно х, у, z и, следовательно, при любом численном значении ? определяет плоскость. Так как данное уравнение есть следствие двух уравнений, то координаты точки, удовлетворяющие этим уравнениям будут удовлетворять и данному уравнению. Следовательно, при любом численном значении ? данное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую. Полученное уравнение есть уравнение пучка плоскостей .

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1(2, -3, 4) параллельно прямым

Решение. Запишем уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку M1:

А (х - 2) + В (у + 3) + C(z - 4) = 0.

Так как искомая плоскость должна быть параллельна данным прямым, то ее нормальный вектор должен быть перпендикулярен направляющим векторам этих прямых. Поэтому в качестве вектора N можно взять векторное произведение векторов :

Следовательно, А = 4, В = 30, С = - 8. Подставляя найденные значения А, В, С в уравнение связки плоскостей, получим

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 или 2x + 15у - 4z + 57 = 0.

Пример. Найти точку пересечения прямой и плоскости 2х + 3y-2z + 2 = 0.

Решение. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:

Подставим эти выражения для х, у, z в уравнение плоскости:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Подставим t = 1 в параметрические уравнения прямой. Получим

Итак, прямая и плоскость пересекаются в точке М(3, 2, 7).

Пример. Найти угол ? между прямой и плоскостью 4x-2y-2z+7=0.Решение. Применяем формулу (3.20). Так как

то

Следовательно,? = 30°.

Прямая линия в пространстве бесконечна, поэтому задавать ее удобнее отрезком. Из школьного курса Евклидовой геометрии известна аксиома, «через две точки в пространстве можно провести прямую и, притом, только одну». Следовательно, на эпюре прямая может быть задана двумя фронтальными и двумя горизонтальными проекциями точек. Но так как прямая - это прямая (а не кривая), то с полным основанием мы можем соединить эти точки отрезком прямой и получить фронтальную и горизонтальную проекции прямой (рис. 13).

Доказательство от обратного: в плоскостях проекций V и Н заданы две проекции а" b" и ab (рис.14). Проведем через них плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций V и Н (рис.14), линией пересечения плоскостей будет прямая АВ.

.1 Различные случаи положения прямой в пространстве

В рассмотренных нами случаях прямые не были ни параллельными, ни перпендикулярными к плоскостям проекций V, Н, W. Большинство прямых занимает именно такое положение в пространстве и их называют прямыми общего положения. Они могут быть восходящими или нисходящими (разобраться самостоятельно).

На рис. 17 показана прямая общего положения, заданная тремя проекциями. Рассмотрим семейство прямых, обладающих важными свойствами - прямые, параллельные какой-либо плоскости проекци.

На рис. 17 показана прямая общего положения, заданная тремя проекциями.

Рассмотрим семейство прямых, обладающих важными свойствами - прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций.

а) Горизонтальная прямая (иначе - горизонталь, прямая горизонтальною уровня). Так называется прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций. Ее изображение в пространстве и на эпюре показано на рис. 18.

Горизонталь легко узнать на эпюре «в лицо»: ее фронтальная проекция всегда параллельна оси ОХ. Полностью важнейшее свойство горизонтали формулируются так:

У горизонтали - фронтальная проекция параллельна оси ОХ, а горизонтальная отражает натуральную величину. Попутно горизонтальная проекция горизонтали на эпюре позволяет определить угол ее наклона к плоскости V (угол b) и к плоскости W (у) - рис.18.

б) Фронтальная прямая (фронталь, прямая фронтального уровня) - это прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций. Мы не иллюстрируем ее наглядным изображением, а показываем ее эпюр (рис. 19).

Эпюр фронтали характерен тем, что горизонтальная и профильная ее проекции параллельны соответственно осям X и Z, а фронтальная проекция располагается произвольно и показывает натуральную величину фронтали. Попутно на эпюре имеются углы наклона прямой к горизонтальной (а) и профильной (у) плоскостям проекций. Итак, еще раз:

У фронтали - горизонтальная проекция параллельна оси ОХ, а фронтальная отражает натуральную величину

в) Профильная прямая. Очевидно, что это прямая, параллельная профильной плоскости проекций (рис. 20). Очевидно также, что натуральная величина профильной прямой имеется на профильной плоскости проекций (проекция а"b" - рис. 20) и здесь же можно видеть углы ее наклона к плоскостям Н (a) и V (b).

Следующее семейство прямых, хотя и не столь важных, как прямые уровня - это проецирующие прямые.

Прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций, называются проецирующими (по аналогии с проецирующими лучами - рис. 21).

АВ пл. Н - прямая горизонтально-проецирующая;пл. V - прямая фронтально-проецирующая;пл. W - прямая профильно-проецирующая.

2.2 Угол между прямой и плоскостью

плоскость прямая угол треугольник

Метод прямоугольного треугольника

Прямая общего положения, как мы уже говорили, наклонена к плоскостям проекций под некоторым произвольным углом.

Угол между прямой и плоскостью определяется углом, составленным прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 22). Угол a определяет угол наклона отрезка АВ к пл. Н. Из рис. 22: Ab1 |1пл. Н; Вb1 = ВЬ - Аа = Z Рис. 22

В прямоугольном треугольнике AВb1 катет Ab1 равен горизонтальной проекции ab; а другой катет Вb1 равен разности расстояний точек А и В от пл. Н. Если из точки В на горизонтальной проекции прямой ab проведем перпендикуляр и отложим на нем величину Z,то, соединив точку а с полученной точкой b0, получим гипотенузу аb0, равную натуральной величине отрезка АВ. На эпюре это выглядит так (рис. 23):

Аналогично определяется угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b) - рис. 24.

Обратите внимание: при построениях на горизонтальной проекции прямой мы откладываем на вспомогательной прямой величину Z; при построениях на фронтальной проекции - величину Y.

Рассмотренный метод носит название прямоугольного треугольника. С его помощью можно определить натуральную величину любого интересующего нас отрезка, а также углы его наклона к плоскостям проекций.

Взаимное положение прямых

Ранее мы рассмотрели вопрос принадлежности точки прямой: если точка принадлежит прямой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой (правило принадлежности, см. рис. 14). Из школьного курса геометрии вспомним: две прямые пересекаются в одной точке (или: если две прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются в этой точке).

Проекции пересекающихся прямых на эпюре имеют ярко выраженный признак: проекции точки пересечения лежат на одной линии связи (рис. 25). Действительно: точка К принадлежит и АВ, и CD; на эпюре точка k" лежит на одной линии связи с точкой k.

Прямые АВ и CD - пересекаются

Следующее из возможных взаимных расположении двух прямых в пространстве - прямые скрещиваются. Это возможно в случае, когда прямые не параллельны, но и не пересекаются. Такие прямые всегда можно заключить в две параллельные плоскости (рис. 26). Это отнюдь не означает, что две скрещивающиеся прямые обязательно лежат в двух параллельных плоскостях; а лишь то, что через них можно провести две параллельные плоскости.

Проекции двух скрещивающихся прямых могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии связи (рис. 27).

Попутно решим вопрос о конкурирующих точках (рис. 27). На горизонтальной проекции мы видим две точки (е,f), а на фронтальной они сливаются в одну (e"f"), причем не ясно, какая из точек видна, а какая не видна (конкурирующие точки).

Две точки, фронтальные проекции которых совпадают, называются фронтально-конкурирующими.

Подобный случай мы рассматривали ранее (рис. 11), при изучении темы «взаимное расположение двух точек». Поэтому применим правило:

Из двух конкурирующих точек считается видимой та, координата которой больше.

Из рис. 27 видно, что горизонтальная проекция точки Е (е) отстоит от оси ОХ дальше, чем точка f. Следовательно, координата «Y» точки «е» больше, чем у точки f; следовательно, видимой будет точка Е. На фронтальной проекции точка f" заключена в скобки как невидимая.

Еще одно следствие: точка е принадлежит проекции прямой ab, а это значит, что на фронтальной проекции прямая а"Ь" расположена «поверх» прямой c"d".

Параллельные прямые

Параллельные прямые на эпюре легко распознать «в лицо», ибо одноименные проекции двух параллельных прямых - параллельны.

Обратите внимание: одноименные! Т.е. фронтальные проекции параллельны между собой, а горизонтальные - между собой (рис. 29).

Доказательство: на рисунке 28 в пространстве даны две параллельные прямые АВ и CD. Проведем через них проецирующие плоскости Q и Т - они окажутся параллельными (ибо если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны).

На эпюре З0а заданы параллельные прямые, на эпюре 30б прямые скрещивающиеся, хотя и в том, и в другом случае фронтальные и горизонтальные проекции взаимно параллельны.

Существует, однако, прием, с помощью которого можно определить взаимное положение двух профильных прямых, не прибегая к построению третьих проекции. Для этого достаточно соединить концы проекций вспомогательными прямыми, как по казано на рис 30. Если окажется, что точки пересечения этих прямых лежат на одной линии связи - профильные прямые параллельны между собой - рис. З0а. Если нет - профильные прямые скрещивающиеся (рис. 306).

Особые случаи положения прямых:

Проекции прямого угла

Если две прямые общего положения пересекаются пол прямым углом, то их проекции образуют угол, не равный 90° (рис. 31).

А так как при пересечении двух параллельных плоскостей третьей в пересечении получаются параллельные прямые, то горизонтальные проекции ab и cd - параллельны.

Если повторить операцию и спроецировать прямые АВ и CD на фронтальную плоскость проекций, мы получим тот же результат.

Особый случай представляют собой две профильные прямые, заданные фронтальными и горизонтальными проекциями (рис.30). Как было сказано, у профильных прямых фронтальные и горизонтальные проекции взаимно параллельны, однако, по этому признаку нельзя судить о параллельности двух профильных прямых, не построив третьей проекции.

Задача. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, катет ВС которою лежит на прямой MN (рис. 34).

Решение. Из эпюра видно, что прямая MN представляет собой горизонталь. А по условию искомый треугольник - прямоугольный.

Воспользуемся свойством проекции прямого угла и опустим из точки «а» перпендикуляр HА проекцию mn (на пл. Н наш прямой угол проецируется без искажении) - рис. 35.

В качестве вспомогательной прямой, проводимой из конца отрезка под прямым углом к данному, мы используем часть горизонтальной проекции прямой, а именно bm (рис. 36). Отложим на ней величину разности координат Z, взятую с фронтальной проекции, и соединим точку «а» с концом полученного отрезка. Мы получим натуральную величину катета АВ (ab; ab).

На рисунках 31 и 32 показаны две прямые общего положения, образующие между собой угол 90° (на рис. 32 эти прямые лежат в одной плоскости Р). Как видим, на эпюрах угол, образованный проекциями прямых, не равен 90°.

Отдельным вопросом мы рассматриваем проекции прямою угла по следующей причине:

Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажений (рис. 33).

Мы не станем доказывать это положение (проработайте это самостоятельно), а рассмотрим преимущества, которые можно извлечь из этого правила.

Прежде всего, отметим, что по условию одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, следовательно, одна из сторон будет либо фронталью, либо горизонталью (может быть и профильной прямой) - рис. 33.

А фронталь и горизонталь на эпюре легко узнать «в лицо» (одна из проекции обязательно параллельна оси ОХ), или ее можно легко построить при необходимости. Кроме того, у фронили и горизонтали есть важнейшее свойство: одна из их проекции обязательно отражает

Пользуясь правилом принадлежности, найдем фронтальную проекцию точки b" с помощью линии связи. У нас появился катет АВ (a"b";ab).

Чтобы отложить катет ВС на стороне MN, нужно сначала определить натуральную величину отрезка АВ (ad; ab). Для этого воспользуемся уже изученным правилом прямоугольного треугольника.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Общие уравнения прямой в пространстве

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей. Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

×+ D = 0, где

Нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: ×+ D1 = 0 и ×+ D2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z). Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Общие уравнения прямой в координатной форме:

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

Уравнение плоскости в пространстве

Пусть даны точка и ненулевой вектор ( то есть , где

при условииявляется вектором нормали.

Если , , , ..., то уравнение можно преобразовать к виду. Числа , и , и

Пусть - какая-нибудь точка плоскости, - вектор перпендикулярный плоскости. Тогда уравнениеесть уравнение этой плоскости.

Коэффициенты , ; в уравнении плоскости являются координатами вектора, перпендикулярного плоскости.

Если уравнение плоскости разделить на число, равное длине вектора , то получим уравнение плоскости в нормальной форме.

Уравнение плоскости, которая проходит через точку и перпендикулярна ненулевому вектору , имеет вид.

Всякое уравнение первой степени задает в координатном пространстве единственную плоскость, которая перпендикулярна вектору с координатами .

Уравнение является уравнением плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной ненулевому вектору .

Каждая плоскость задается в системе прямоугольных координат , , уравнением вида .

при условии, что среди коэффициентов , , есть ненулевые, задает в пространстве плоскость в системе прямоугольных координат. Плоскость в пространстве задается в системе прямоугольных координат , , уравнением вида , при условии, что .

Верно и обратное утверждение: уравнение вида при условии задает в пространстве плоскость в системе прямоугольных координат.

Где , , , , ,

Плоскость в пространстве задается уравнением , где , , , - действительные числа, причем , , одновременно не равны 0 и составляют координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости и называемого вектором нормали.

Пусть даны точка и ненулевой вектор ( то есть ). Тогда векторное уравнение плоскости , где - произвольная точка плоскости) принимает вид - уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

Каждое уравнение первой степени при условиизадает в прямоугольной системе координат единственную плоскость, для которой вектор является вектором нормали.

Если , , , , то уравнение можно преобразовать к виду. Числа , и равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях , и соответственно. Поэтому уравнение называется уравнением плоскости "в отрезках".

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Стереометрия. Геометрия в пространстве. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.

2.Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - Главная редакция физико-математической литературы, 2000.- 512 с.

.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, 2005. - 304 с.

.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. - 7-е изд., стер., 2004. - 224 с. - (Курс высшей математики и математической физики.)

.Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. - 13-е изд., стереот. -, 2005. - 240 с.

.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. -2-е изд. -, 2000, 388 с (Сер.Математика в техническом университете

.Кадомцев СБ. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, 2003. - 160 с.

.Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие, 2000. - 328 с.

.Аналитическая геометрия (конспект лекций Троицкого Е.В., 1 курс, 1999/2000)- 118 с.

.Бортаковский, А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. Пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. - Высш. шк., 2005. - 496 с: ил. - (Серия «Прикладная математика»).

.Морозова Е.А., Скляренко Е.Г. Аналитическая геометрия. Методическое пособие 2004. - 103 с.

.Методические указания и рабочая программа по курсу «Высшая математика» - 55 с.