Властивості прямих та площин у просторі. Прямі та площини у просторі

Попередні зауваження

1. У стереометрії вивчаються геометричні тіла та просторові фігури, не всі точки яких лежать в одній площині. Просторові фігури зображуються на кресленні за допомогою малюнків, які справляють на око приблизно таке ж враження, як і фігура. Ці малюнки виконуються за певними правилами, що ґрунтуються на геометричних властивостях фігур.
Один із способів зображення просторових фігур на площині буде вказано надалі (§ 54-66).

РОЗДІЛ ПЕРШИЙ ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ

I. ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛОЖЕННЯ ПЛОЩИНИ

2. Зображення площини.У повсякденному житті багато предметів, поверхня яких нагадує геометричну площину, мають форму прямокутника: палітурка книги, шибка, поверхня письмового столу і т. п. При цьому якщо дивитися на ці предмети під кутом і з великої відстані, то вони видаються нам такими, що мають форму паралелограма. Тому прийнято зображати площину на кресленні як паралелограма 1 . Цю площину зазвичай позначають однією літерою, наприклад, "площина М" (чорт. 1).

1 Поряд із зазначеним зображенням площини можливо і таке, як на кресленнях 15-17 та ін.
(Прим. ред.)

3. Основні характеристики поверхні.Вкажемо такі властивості площини, що приймаються без доказу, тобто є аксіомами:

1) Якщо дві точки прямої належать площині, то кожна точка цієї прямої належить площині.

2) Якщо дві площини мають загальну точку, то вони перетинаються прямою, що проходить через цю точку.

3) Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж лише одну.

4. Наслідки.З останньої пропозиції можна вивести наслідки:

1) Через пряму і точку поза нею можна провести площину (і лише одну). Дійсно, точка поза прямою разом з якими-небудь двома точками цієї прямої складають три точки, через які можна провести площину (і до того ж одну).

2) Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину (і тільки одну). Дійсно, взявши точку перетину і ще по одній точці на кожній прямій, ми матимемо три точки, через які можна провести площину (і до того ж одну).

3) Через дві паралельні прямі можна провести лише одну площину. Дійсно, паралельні прямі за визначенням лежать в одній площині; ця площина єдина, тому що через одну з паралельних і якусь точку іншої можна провести не більше однієї площини.

5. Обертання площини навколо прямої. Через кожну пряму в просторі можна провести безліч площин.

Насправді, нехай дана пряма а (чорт. 2).

Візьмемо якусь точку А поза нею. Через точку А та пряму а проходить єдина площина (§ 4). Назвемо її площиною М. Візьмемо нову точку поза площиною М. Через точку В і пряму а своєю чергою проходить площину. Назвемо її площиною N. Вона може співпадати з М, оскільки у ній лежить точка У, яка належить площині М. Ми можемо далі взяти у просторі ще нову точку З поза площин М і N. Через точку З і пряму а проходить нова площина. Назвемо її Р. Вона не збігається ні з М, ні з N, тому що в ній знаходиться точка С, що не належить ні площині М, ні площині N. Продовжуючи брати в просторі все нові й нові точки, ми таким чином отримуватимемо все нові і нові площини, що проходять через цю пряму а . Таких площин буде безліч. Всі ці площини можна розглядати як різні положення однієї і тієї ж площини, що обертається навколо прямої а .

Ми можемо виявити ще одну властивість площини: площина може обертатися навколо будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

6. Завдання на побудову у просторі.Усі побудови, які робилися в планіметрії, виконувалися в одній площині за допомогою креслярських інструментів. Для побудов у просторі креслярські інструменти стають непридатними, оскільки креслити фігури у просторі неможливо. Крім того, при побудовах у просторі з'являється ще новий елемент – площина, побудова якої у просторі не можна виконувати настільки простими засобами, як побудова прямої на площині.

Тому при побудовах у просторі необхідно точно визначити, що означає виконати ту чи іншу побудову та, зокрема, що означає побудувати площину у просторі. У всіх побудовах у просторі ми припускатимемо:

1) що площина може бути побудована, якщо знайдені елементи, що визначають її положення в просторі (§ 3 і 4), тобто що ми вміємо побудувати площину, що проходить через три дані точки, через пряму і точку поза нею, через дві перетинаються або дві паралельні прямі;

2) що якщо дані дві площини, що перетинаються, то дана і лінія їх перетину, тобто що ми вміємо знайти лінію перетину двох площин;

3) якщо в просторі дана площина, то ми можемо виконувати в ній усі побудови, які виконувались у планіметрії.

Виконати якусь побудову в просторі - це означає звести її до кінцевого числа щойно зазначених основних побудов. З допомогою цих основних завдань можна розв'язувати і складніші.

У цих реченнях і вирішуються завдання на побудову у стереометрії.

7. Приклад завдання на побудову у просторі.
Завдання. Знайти точку перетину даної прямої а (чорт. 3) із цією площиною Р.

Візьмемо на площині Р якусь точку А. Через точку А і пряму а проводимо площину Q. Вона перетинає площину Р деякою прямою b . У площині Q знаходимо точку С перетину прямих а і b . Ця точка і буде шуканою. Якщо прямі а і b виявляться паралельними, то завдання не матиме рішення.

40. Основні поняття стереометрії.

Основними геометричними фігурами у просторі є точка, пряма та площина. На малюнку 116 зображені різні фігури в

просторі. Об'єднання кількох геометричних фігур у просторі є також геометрична фігура, малюнку 117 фігура і двох тетраедрів.

Площини позначаються малими грецькими літерами:

На малюнку 118 зображено площину а, прямі а і точки А, В і С. Про точку А і пряму а говорять, що вони лежать у площині а або належать їй. Про точки В і С і пряму 6, що вони не лежать у площині або не належать їй.

Введення основної геометричної фігури – площини змушує розширити систему аксіом. Перерахуємо аксіоми, які виражають основні властивості площин у просторі. Ці аксіоми позначені у посібнику літерою З.

Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.

На малюнку 118 точка А належить площині а, а точки В та С не належать їй.

Якщо дві різні площини мають загальну точку, вони перетинаються по прямий.

На малюнку 119 дві різні площини а і Р мають загальну точку А, отже, по аксіомі існує пряма, що належить кожній із цих площин. У цьому якщо яка-небудь точка належить обом площинам, вона належить прямої а. Площини а і в цьому випадку називаються такими, що перетинаються по прямій а.

Якщо дві різні прямі мають загальну точку, через них можна провести площину, і до того ж лише одну.

На малюнку 120 зображені дві різні прямі і мають загальну точку О, отже, по аксіомі існує площина а, що містить прямі і При цьому за тією ж аксіомі площина єдина.

Ці три аксіоми доповнюють розглянуті у розділі I аксіоми планіметрії. Всі вони є системою аксіом геометрії.

Користуючись цими аксіомами, можна довести кілька перших теорем стереометрії.

Т.2.1. Через пряму і не лежачу на ній точку можна провести площину, і до того ж лише одну.

Т.2.2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

Т.2.3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж лише одну.

Приклад 1. Дано площину а. Довести, що існує пряма, що не лежить у площині та перетинає її.

Рішення. Візьмемо в площині а точку А, що можна зробити за аксіомою Сі За тією ж аксіомою існує точка, яка площині а не належить. Через точки А і можна провести пряму (аксіома ). Пряма не лежить у площині і перетинає її (у точці А).

Дві прямі у просторі паралельні, якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються.

Дві прямі в просторі схрещуються, якщо не існує такої площини, в якій вони лежать обидві.

Ознака прямих, що схрещуються. Якщо одна з двох прямих лежить у деякій і шкарпетці, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, ці прямі схрещуються.

Площина і пряма, що не належить площині, є паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Ознака паралельності прямої та площини. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна до будь-якої прямої, що належить площині, то вона паралельна і площині.

Властивості площини та прямої, паралельної площині:

1) якщо площина містить пряму, паралельну до іншої площини, і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій;

2) якщо через кожну з двох паралельних прямих проведені площини, що перетинаються, то лінія їх перетину паралельна даним прямим.

Дві площини є паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Ознака паралельності площин, якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом пересічним прямим іншою площині, то ці площини паралельні.

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що належить площині.

Ознака перпендикулярності прямої і площини: якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна площині.

Властивості прямої, перпендикулярної площині.

1) якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини;

2) пряма, перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, перпендикулярна до іншої площини.

Ознака перпендикулярності площин. Якщо площина містить перпендикуляр до іншої площини, вона перпендикулярна цій площині.

Пряма площина, що перетинає, але не перпендикулярна до неї, називається похилою до площини.

Теорема про три перпендикуляри. Для того щоб пряма, що лежить у площині, була перпендикулярна похилій, необхідно і достатньо, щоб вона була перпендикулярна до проекції цієї похилої на площину.

На малюнку 1 пряма b− похильна до площини, пряма c- проекція цієї похилої на площину та оскільки а┴ з, то a┴ b

Кутом між похилою та площиною називається кут між похилою та її проекцією на площину. На малюнку 2 пряма b- похильна до площини, пряма a- проекція цієї похилої на площину, α - кут між цією похилою та площиною.

Двогранний кут утворюється внаслідок перетину двох площин. Пряма, отримана внаслідок перетину двох площин, називається ребром двогранного кута. Дві напівплощини із загальним ребром називаються гранями двогранного кута.

Напівплощина, межа якої збігається з ребром двогранного кута і яка ділить двогранний кут на два рівні кути, називається бісекторною площиною.

Двогранний кут вимірюється відповідним лінійним кутом. Лінійним кутом двогранного кута називається кут між перпендикулярами, проведеними у кожній грані до ребра.

Призма

Багатогранник, дві грані якого рівні n- косинці, що лежать у паралельних площинах, а решта nграней - паралелограми, називається n-вугільною призмою.

Два n- косинця є підставами призми, паралелограми – бічними гранями. Сторони граней називаються ребрами призми, а кінці ребер – вершинами призми.

Висотою призми називається відрізок перпендикуляра, укладений між основами призми.

Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не лежать в одній грані.

Прямою призмою називається призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ (рис. 3).

Похилою призмою називається призма, бічні ребра якої є похилими до площин основ (рис.4).

Обсяг і площа поверхні призми висоти знаходять за формулами:

Площу бічної поверхні прямої призми можна обчислити за формулою .

Об'єм та площа поверхніпохилої призми (рис. 4) можна обчислити також інакше: де ΔPNK - перетин, перпендикулярний ребру l.

Правильною призмою називається пряма призма, основою якої є правильний багатокутник.

Паралелепіпедом називається призма, усі грані якої – паралелограми.

Прямим паралелепіпедом називається паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні площинам основ.

Прямокутним паралелепіпедом називається прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Властивість діагоналі прямокутного паралелепіпеда

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів: d² = a² + b² + c², де a, b, c-довжини ребер, що виходять з однієї вершини, d- діагональ паралелепіпеда (рис. 3).

Об'єм прямокутного паралелепіпеда знаходять за формулою V = abc.

Кубом називається прямокутний паралелепіпед з рівними ребрами. Усі грані куба – квадрати.

Об'єм, площа поверхні та діагональ куба з ребромa знаходять за формулами:

V = a³, S = 6a² d² = 3 a².

Піраміда

Багатогранник, одна грань якого – багатокутник, а інші грані – трикутники із загальною вершиною, називається пірамідою. Багатокутник називається основою піраміди, а трикутники – бічними гранями.

Висотою піраміди називається відрізок перпендикуляра, проведеного з вершини піраміди до площини основи.

Якщо всі бічні ребра піраміди рівні або нахилені до площини основи під тим самим кутом, то висота опускається в центр описаного кола.

Якщо бічні грані піраміди нахилені до площини основи під тим самим кутом (двогранні кути при підставі рівні), то висота опускається в центр вписаного кола.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний багатокутник, а висота опускається в центр вписаного та описаного кола багатокутника, що лежить в основі піраміди. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.

Наприклад, на малюнку 5 зображено правильну трикутну піраміду SABC(Тетраедр): AB= BC= AC= a, OD = r- радіус кола, вписаного в трикутник ABC, OA=R- радіус кола, описаного біля трикутника ABC, SO=h- Висота

піраміди, SD = l-апофема, - кут нахилу бокового

ребра SAдо площини основи, - кут наклонабокової грані SBCдо площини основи піраміди.

Трикутна піраміда називається тетраедром. Тетраедр називається правильним, якщо його ребра рівні.

Обсяг піраміди та площа її поверхні знаходять за формулами:

Де h- Висота піраміди.

Площа бічної поверхні правильної пірамідизнаходять за формулою , де – апофема піраміди.

Усіченою пірамідою називається багатогранник, вершинами якого служать вершини основи піраміди та вершини її перерізу площиною, паралельною основі піраміди. Підстави зрізаної піраміди – подібні багатокутники.

Обсяг зрізаної піраміди знаходять за формулою , де і - площі основ, h - висота зрізаної піраміди.

Правильні багатогранники

Правильним багатогранником називається опуклий багатогранник, у якого всі грані - правильні багатокутники з одним і тим самим числом сторін і в кожній вершині багатогранника сходиться те саме число ребер.

Грані правильного багатогранника можуть бути рівносторонніми трикутниками, або квадратами, або правильними п'ятикутниками.

Якщо у правильного багатогранника грані – правильні трикутники, то відповідними багатогранниками є правильний тетраедр (він має 4 грані), правильний октаедр (він має 8 граней), правильний ікосаедр (він має 20 граней).

Якщо у правильного багатогранника грані – квадрати, то багатогранник називається кубом або гексаедром (він має 6 граней).

Якщо у правильного багатогранника грані – правильні п'ятикутники, то багатогранник називається додекаедром (він має 12 граней).

Циліндр

Циліндром називається фігура, отримана в результаті обертання прямокутника навколо однієї з сторін.

На малюнку 6 пряма – вісь обертання; - Висота, l- утворююча; ABCD- осьовий переріз циліндра, отриманого обертанням прямокутника навколо сторони . Об'єм та площа поверхні циліндра знаходять за формулами:

, , , , де R-радіус основи, h- Висота, l- утворює циліндра.

Конус

Конусом називається фігура, отримана внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо одного з катетів. На малюнку 7 пряма OB- вісь обертання; OB = h- Висота, l- утворююча;Δ ABC- осьовий переріз конуса, отриманого обертанням прямокутного трикутника OBCнавколо катета OB.

ПЛОЩІСТЬ.

Визначення.Будь-який ненульовий вектор, перпендикулярний до площини, називається її нормальним вектором, і позначається.

Визначення.Рівняння площини виду де коефіцієнти - довільні дійсні числа, одночасно не рівні нулю, називається загальним рівнянням площини.

Теорема.Рівняння визначає площину, що проходить через точку і має нормальний вектор.

Визначення.Рівняння площини виду

де - довільні, не рівні нулю дійсні числа, називається рівнянням площини у відрізках.

Теорема.Нехай – рівняння площини у відрізках. Тоді координати точок її перетину з осями координат.

Визначення.Загальне рівняння площини називається нормованимабо нормальнимрівнянням площини, якщо

та .

Теорема.Нормальне рівняння площини може бути записане у вигляді де - відстань від початку координат до даної площини, - напрямні косинуси її нормального вектора ).

Визначення. Нормуючим множникомзагального рівняння площини називається число де знак вибирається протилежним знаку вільного члена D.

Теорема.Нехай нормальний множник загального рівняння площини. Тоді рівняння є нормованим рівнянням даної площини.

Теорема.Відстань dвід крапки до площини .

Взаємне розташування двох площин.

Дві площини або збігаються, або є паралельними, або перетинаються прямою.

Теорема.Нехай поверхні задані загальними рівняннями: . Тоді:

1) якщо то площині збігаються;

2) якщо то площини паралельні;

3) якщо або, то площини перетинаються прямою, рівнянням якої служить система рівнянь: .

Теорема.Нехай – нормальні вектори двох площин, тоді один із двох кутів між даними площинами дорівнює:.

Слідство.Нехай ,- Нормальні вектори двох даних площин. Якщо скалярний добуток дані площини є перпендикулярними.

Теорема.Нехай дані координати трьох різних точок координатного простору:

Тоді рівняння –є рівнянням площини, що проходить через ці три точки.

Теорема.Нехай дано загальні рівняння двох площин, що перетинаються: причому. Тоді:

– рівняння бісекторної площини гострого двогранного кута, утвореного перетином даних площин;

– рівняння бісекторної площини тупого двогранного кута.

Зв'язування та пучок площин.

Визначення. Зв'язуванням площинназивається безліч всіх площин, що мають одну загальну точку, яка називається центром зв'язки.

Теорема.Нехай – три площини, що мають єдину загальну точку. Тоді рівняння де – довільні дійсні параметри одночасно не рівні нулю, є рівняння зв'язування площин.

Теорема.Рівняння , де довільні дійсні параметри, одночасно не рівні нулю, є рівнянням зв'язування площин з центром зв'язуванняу точці.

Теорема.Нехай дані загальні рівняння трьох площин:

-їх відповідні нормальні вектори. Для того, щоб три дані площини перетиналися в єдиній точці, необхідно і достатньо, щоб змішаний добуток їх нормальних векторів не дорівнював нулю:

У цьому випадку координати їх єдиної спільної точки є єдиним рішенням системи рівнянь:

Визначення. Пучком площинназивається безліч всіх площин, що перетинаються по одній і тій же прямій, званій віссю пучка.

Теорема.Нехай – дві площини, що перетинаються прямою. Тоді рівняння, де довільні дійсні параметри одночасно не рівні нулю, є рівняння пучка площинз віссю пучка

ПРЯМА.

Визначення.Будь-який ненульовий вектор, колінеарний даної прямої називається її напрямним вектором, і позначається

Теорема. параметричним рівнянням прямоїу просторі: де - координати довільної фіксованої точки даної прямої, - відповідні координати довільного напрямного вектора даної прямої, - параметр.

Слідство.Наступна система рівнянь є рівнянням прямої у просторі і називається канонічним рівнянням прямоїв просторі: де - координати довільної фіксованої точки даної прямої, - відповідні координати довільного напрямного вектора даної прямої.

Визначення.Канонічне рівняння прямого виду - називається канонічним рівнянням прямої, що проходить через дві різні дані точки

Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Можливі 4 випадки розташування двох прямих у просторі. Прямі можуть збігатися, бути паралельними, перетинатися в одній точці або схрещуватися.

Теорема.Нехай дані канонічні рівняння двох прямих:

де - їх напрямні вектори, - довільні фіксовані точки, що лежать на прямих відповідно. Тоді:

і ;

і не виконується хоча б одна з рівностей

;

, тобто.

4) прямі схрещуються, якщо , тобто.

Теорема.Нехай

– дві довільні прямі у просторі, задані параметричними рівняннями. Тоді:

1) якщо система рівнянь

має єдине рішення, то прямі перетинаються в одній точці;

2) якщо система рівнянь немає рішень, то прямі схрещуються чи паралельні.

3) якщо система рівнянь має більше рішення, то прямі збігаються.

Відстань між двома прямими у просторі.

Теорема.(Формула відстані між двома паралельними прямими.): Відстань між двома паралельними прямими

Де – їх загальний напрямний вектор, – точки цих прямих, можна обчислити по формуле:

або

Теорема.(Формула відстані між двома прямими, що схрещуються.): Відстань між двома прямими, що схрещуються.

можна обчислити за такою формулою:

де – модуль змішаного твору напрямних векторів і і вектора, модуль векторного твору напрямних векторів.

Теорема.Нехай – рівняння двох площин, що перетинаються. Тоді наступна система рівнянь є рівнянням прямої лінії, якою перетинаються ці площини: . Напрямний вектор цієї прямої може служити вектор , де ,- Нормальні вектори даних площин.

Теорема.Нехай дано канонічне рівняння прямої: де . Тоді наступна система рівнянь є рівнянням даної прямої, заданої перетином двох площин: .

Теорема.Рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму має вигляд де координати векторного твору, координати напрямного вектора даної прямої. Довжину перпендикуляра можна знайти за формулою:

Теорема.Рівняння загального перпендикуляра двох прямих, що схрещуються, має вигляд: де.

Взаємне розташування прямої та площини у просторі.

Можливі три випадки взаємного розташування прямої у просторі та площині:

Теорема.Нехай площина задана загальним рівнянням, а пряма задана канонічним чи параметричним рівнянням або, де вектор – нормальний вектор площини – координати довільної фіксованої точки прямої, – відповідні координати довільного напрямного вектора прямої. Тоді:

1) якщо , то пряма перетинає площину точки, координати якої можна знайти із системи рівнянь

2) якщо і, то пряма лежить на площині;

3) якщо і, то пряма паралельна площині.

Слідство.Якщо система (*) має єдине рішення, то пряма перетинається із площиною; якщо система (*) немає рішень, то пряма паралельна площині; якщо система (*) має безліч рішень, то пряма лежить на площині.

Вирішення типових завдань.

Завдання №1 :

Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно до векторів.

Знайдемо нормальний вектор площини:

= =

Як нормальний вектор площини можна взяти вектор тоді загальне рівняння площини набуде вигляду:

Щоб знайти , потрібно замінити у цьому рівнянні координатами точки, що належить площині.

Завдання №2 :

Дві грані куба лежать на площинах і обчислити обсяг цього куба.

Очевидно, що площини є паралельними. Довжиною ребра куба є відстань між площинами. Виберемо на першій площині довільну точку: нехай знайдемо.

Знайдемо відстань між площинами як відстань від точки до другої площини:

Отже, об'єм куба дорівнює ()

Завдання №3 :

Знайти кут між гранями іпірамідиc вершинами

Кут між площинами – це кут між нормальними векторами до цих площин. Знайдемо нормальний векторплощини: [,];

, або

Аналогічно

Завдання №4 :

Скласти канонічне рівняння прямої .

Отже,

Вектор іперпендикулярні до прямої, тому,

Отже, канонічне рівняння прямий набуде вигляду.

Завдання №5 :

Знайти відстань між прямими

і .

Прямі паралельні, т.к. їх напрямні вектори ірівні. Нехай крапка належить першій прямій, а точка лежить на другій прямій. Знайдемо площу паралелограма, побудованого на векторах.

[,];

Шуканою відстанню є висота паралелограма, опущена з точки:

Завдання №6 :

Обчислити найкоротшу відстань між прямими:

Покажемо, що прямі схрещуються, тобто. вектори, іні належать одній площині: ≠ 0.

1 спосіб:

Через другу пряму проведемо площину, паралельну першій прямій. Для площини, що шукається, відомі належать їй векториии точка. Нормальний векторплоскостіє векторний твір векторів, тому .

Отже, як нормальний вектор площини можна взяти вектор тому рівняння площини набуде вигляду: знаючи, що точка належить площині найдемо і запишемо рівняння:

Шукана відстань - ця відстань від точки першої прямої до площини знаходиться за формулою:

13.

2 спосіб:

На векторах і побудуємо паралелепіпед.

Шукана відстань - це висота паралелепіпеда, опущена з точки, на його основу, побудованого на векторах.

Відповідь: 13 одиниць.

Завдання №7 :

Знайти проекцію точки на площину

Нормальний вектор площини є напрямним вектором прямої:

Знайдемо точку перетину прямої

та площині:

.

Підставивши в рівняння площині, знайдемо, а потім

Зауваження.Щоб знайти точку , симетричну точці щодо площини, потрібно (аналогічно попередній задачі) знайти проекцію точки на площину, потім розглянути відрізок з відомимипочатками серединою, скориставшись формулами,.

Завдання №8 :

Знайти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .

1 спосіб:

2 спосіб:

Завдання вирішимо другим способом:

Площина перпендикулярна заданої прямої, тому напрямний вектор прямої є нормальним вектором площини. Знаючи нормальний вектор площини та точку на площині, запишемо її рівняння:

Знайдемо точку перетину площини та прямої, записаної параметрично:

,

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки і:

.

Відповідь: .

У такий же спосіб можна вирішити й такі завдання:

Завдання №9 :

Знайти точку , симетричну точці щодо прямої .

Завдання №10 :

Даний трикутник з вершинами Знайти рівняння висоти, опущеної з вершини на бік.

Хід рішення абсолютно аналогічний попереднім завданням.

Відповідь: .

Завдання №11 :

Знайти рівняння загального перпендикуляра до двох прямих: .

0.

Зважаючи на те, що площина проходить через точку, запишемо рівняння цієї площини:

Точка належить, тому рівняння площини набуде вигляду:.

Відповідь:

Завдання №12 :

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і перетинає прямі .

Перша пряма проходить через точку та має напрямний вектор; друга – проходить через крапки має напрямний вектор

Покажемо, що ці прямі є такими, що схрещуються, для цього складемо визначник, рядки якого є координатами векторів ,, вектори не належать одній площині.

Проведемо площину через крапку і першу пряму:

Нехай - довільна точка площини тоді вектори, ікомпланарні. Рівняння площині має вигляд:.

Аналогічно складемо рівняння площини, що проходить через крапку і другу пряму: 0.

Шукана пряма є перетин площин, тобто.

Освітнім результатом після вивчення цієї теми є сформованість компонентів, заявлених у вступі, сукупності компетенцій (знати, вміти, володіти) на двох рівнях: пороговий та просунутий. Пороговий рівень відповідає оцінці «задовільно», просунутий рівень відповідає оцінкам «добре» чи «відмінно» залежно від результатів захисту кейс-задань.

Для самостійної діагностики даних компонентів вам пропонуються наступні завдання.

ВСТУП

Глава 1. Площина у просторі

1 Точка перетину прямої з площиною

1 Різні випадки положення прямої в просторі

2 Кут між прямою та площиною

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Будь-яке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z

By + Cz + D = 0

задає площину і навпаки: будь-яка площина може бути представлена ​​рівнянням, яке називається рівнянням площини.

Вектор n (A, B, C), ортогональна площина, називається нормальним вектором площини. У рівнянні коефіцієнти A, B, C одночасно не дорівнюють 0. Особливі випадки рівняння

D = 0, Ax+By+Cz = 0 – площина проходить через початок координат.

C = 0, Ax+By+D = 0 - площина паралельна осі Oz.

C = D = 0, Ax + By = 0 – площина проходить через вісь Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 - площина паралельна площині Oyz.

Рівняння координатних площин: x=0, y=0, z=0.

Пряма у просторі може бути задана:

) як лінія перетину двох площин, тобто. системою рівнянь:

A 1 x + B 1 y + C 1 z+D 1= 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0;

) двома своїми точками M 1(x 1, y 1, z 1) та M 2(x 2, y 2, z 2), Тоді пряма, через них проходить, задається рівняннями:

=;

) точкою M 1(x 1, y 1, z 1), Що належить, і вектором a (m, n, р), їй колінеарним. Тоді пряма визначається рівняннями:

Рівняння називаються канонічними рівняннями прямою.

Вектор a називається напрямним вектором прямий.

Параметричні рівняння прямий отримаємо, прирівнявши кожне із відношень параметру t:

X 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + Рt.

Вирішуючи систему як систему лінійних рівнянь щодо невідомих x та y, приходимо до рівнянь прямої в проекціях або до наведених рівнянь прямої:

Mz + a, y = nz + b

Від рівнянь можна перейти до канонічних рівнянь, знаходячи z кожного рівняння і прирівнюючи отримані значення:

Від загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічних та інших способів, якщо знайти якусь точку цієї прямої та її напрямний вектор n = , де n 1(A 1, B 1, C 1) та n 2(A 2, B 2, C 2) - нормальні вектори заданих площин. Якщо одне із знаменників m, n чи р у рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник відповідного дробу треба покласти рівним нулю, тобто. система

рівносильна системі ; така пряма перпендикулярна до осі Ох.

Система рівносильна системі x = x 1,y = y 1; пряма паралельна осі Oz.

Ціль курсової роботи:вивчити пряму та площину у просторі.

Завдання курсової роботи:розглянути площину у просторі, її рівняння, і навіть розглянути площину у просторі.

Структура курсової роботи:вступ, 2 розділи, висновок, список використаних джерел.

Глава 1. Площина у просторі

.1 Точка перетину прямої з площиною

Нехай площина Q задана рівнянням загального типу: Ax+By+Cz+D=0, а пряма L у параметричному вигляді x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, тоді щоб знайти точку перетину прямої L і площині Q, потрібно знайти значення параметра t, при якому точка прямої лежатиме на площині. Підставивши значення x, y, z, рівняння площини і виразивши t, отримаємо

Значення t буде єдиним, якщо пряма та площина не паралельні.

Умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини

Розглянемо пряму L:

і площину?

Пряма L і площина? :

а) перпендикулярні один одному тоді і лише тоді, коли напрямний вектор прямий та нормальний вектор площини колінеарні, тобто.

б) паралельні один одному тоді і лише тоді, коли вектори і перпендикулярні, тобто.

і Am + Bn + Ср = 0.

.2 Кут між прямою та площиною

Кут ?між нормальним вектором площини і напрямним вектором прямий обчислюється за такою формулою:

Пучок площин

Сукупність всіх площин, що проходять через задану пряму L називається пучком площин, а пряма L - віссю пучка. Нехай вісь пучка задана рівняннями

Почленно помножимо друге рівняння системи на постійну і складемо з першим рівнянням:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Це рівняння має перший ступінь щодо х, у, z і, отже, за будь-якого чисельного значення ?визначає площину. Так як дане рівняння є наслідок двох рівнянь, то координати точки, що задовольняють цим рівнянням, будуть задовольняти і даному рівнянню. Отже, за будь-якого чисельного значення ?дане рівняння є рівнянням площини, що проходить через задану пряму. Отримане рівняння є рівняння пучка площин.

приклад.Написати рівняння площини, що проходить через точку M 1(2, -3, 4) паралельно прямим

Рішення.Запишемо рівняння зв'язки площин, що проходять через цю точку M1 :

А (х – 2) + В (у + 3) + C (z – 4) = 0.

Оскільки потрібна площина повинна бути паралельна даним прямим, то її нормальний вектор повинен бути перпендикулярним напрямним векторам. цих прямих. Тому як вектор N можна взяти векторний добуток векторів :

Отже, А = 4, В = 30, С = - 8. Підставляючи знайдені значення А, В, З рівняння зв'язки площин, отримаємо

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) = 0 або 2x + 15у - 4z + 57 = 0.

приклад.Знайти точку перетину прямої та площині 2х + 3y-2z + 2 = 0.

Рішення.Запишемо рівняння даної прямої у параметричному вигляді:

Підставимо ці вирази для х, у, z рівняння площини:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Підставимо t = 1 параметричні рівняння прямої. Отримаємо

Отже, пряма та площина перетинаються у точці М(3, 2, 7).

приклад.Знайти кут ?між прямою та площиною 4x-2y-2z+7=0. Рішення.Застосовуємо формулу (3.20). Так як

то

Отже,? = 30 °.

Пряма лінія у просторі нескінченна, тому задавати її зручніше відрізком. Зі шкільного курсу Евклідової геометрії відома аксіома, «через дві точки у просторі можна провести пряму і, до того ж, лише одну». Отже, на епюрі пряма може бути задана двома фронтальними та двома горизонтальними проекціями точок. Але так як пряма - це пряма (а не крива), то з повною основою ми можемо з'єднати ці точки відрізком прямої та отримати фронтальну та горизонтальну проекції прямої (рис. 13).

Доказ від зворотного: у площинах проекцій V та Н задані дві проекції а" b" та ab (рис.14). Проведемо через них площини, перпендикулярні до площин проекцій V і Н (рис.14), лінією перетину площин буде пряма АВ.

.1 Різні випадки положення прямої у просторі

У розглянутих нами випадках прямі були ні паралельними, ні перпендикулярними до площин проекцій V, Н, W. Більшість прямих займає саме таке становище у просторі та його називають прямими загального становища. Вони можуть бути висхідними або низхідними (розібратися самостійно).

На рис. 17 показана пряма загального стану, задана трьома проекціями. Розглянемо сімейство прямих, що мають важливі властивості - прямі, паралельні будь-якій площині проекції.

На рис. 17 показана пряма загального стану, задана трьома проекціями.

Розглянемо сімейство прямих, що мають важливі властивості - прямі, паралельні будь-якій площині проекцій.

а) Горизонтальна пряма (інакше - горизонталь, пряма горизонтального рівня). Так називається пряма, паралельна горизонтальній площині проекцій. Її зображення в просторі та на епюрі показано на рис. 18.

Горизонталь легко впізнати на епюрі "в обличчя": її фронтальна проекція завжди паралельна осі ОХ. Цілком найважливіша властивість горизонталі формулюються так:

У горизонталі - фронтальна проекція паралельна осі ОХ, а горизонтальна відбиває натуральну величину. Принагідно горизонтальна проекція горизонталі на епюрі дозволяє визначити кут її нахилу до площини V (кут b) і до площини W (у) - рис.18.

б) Фронтальна пряма (фронталь, пряма фронтального рівня) – це пряма, паралельна фронтальній площині проекцій. Ми не ілюструємо її наочним зображенням, а показуємо її епюр (рис. 19).

Епюр фронталі характерний тим, що горизонтальна та профільна її проекції паралельні відповідно до осей X і Z, а фронтальна проекція розташовується довільно і показує натуральну величину фронталі. Принагідно на епюрі є кути нахилу прямої до горизонтальної (а) і профільної (площин) проекцій. Отже, ще раз:

У фронталі - горизонтальна проекція паралельна осі ОХ, а фронтальна відбиває натуральну величину

в) Профільна пряма. Очевидно, що це пряма, паралельна до профільної площини проекцій (рис. 20). Очевидно також, що натуральна величина профільної прямої є на профільній площині проекцій (проекція а "b" - рис. 20) і тут можна бачити кути її нахилу до площин Н (a) і V (b).

Наступне сімейство прямих, хоча й настільки важливих, як прямі рівня - це проецирующие прямі.

Прямі, перпендикулярні до площин проекцій, називаються проецірующими (за аналогією з проецірующими променями - рис. 21).

АВ пл. Н - пряма горизонтально-проецуюча; пл. V - пряма фронтально-проецуюча; пл. W - пряма профільно-проєціруюча.

2.2 Кут між прямою та площиною

площина пряма кут трикутник

Метод прямокутного трикутника

Пряма загального становища, як ми казали, нахилена до площин проекцій під деяким довільним кутом.

Кут між прямою та площиною визначається кутом, складеним прямою та її проекцією на цю площину (рис. 22). Кут a визначає кут нахилу відрізка АВ до пл. Н. З рис. 22: Ab1 | 1пл. Н; Вb1 = ВЬ - Аа = Z Рис. 22

У прямокутному трикутнику AВb1 катет Ab1 дорівнює горизонтальній проекції ab; а інший катет Вb1 дорівнює різниці відстаней точок А та В від пл. Н. Якщо з точки на горизонтальній проекції прямий ab проведемо перпендикуляр і відкладемо на ньому величину Z, то, з'єднавши точку а з отриманою точкою b0, отримаємо гіпотенузу аb0, рівну натуральній величині відрізка АВ. На епюрі це виглядає так (рис. 23):

Аналогічно визначається кут нахилу прямої до фронтальної площини проекцій (b) – рис. 24.

Зверніть увагу: при побудовах на горизонтальній прямій проекції ми відкладаємо на допоміжній прямий величину Z; при побудовах на фронтальній проекції – величину Y.

Розглянутий метод зветься прямокутного трикутника. З його допомогою можна визначити натуральну величину будь-якого відрізка, що цікавить нас, а також кути його нахилу до площин проекцій.

Взаємне становище прямих

Раніше ми розглянули питання належності точки прямої: якщо точка належить прямої, її проекції лежать на однойменних проекціях прямої (правило приналежності, див. рис. 14). Зі шкільного курсу геометрії згадаємо: дві прямі перетинаються в одній точці (або: якщо дві прямі мають одну загальну точку, то вони перетинаються в цій точці).

Проекції прямих, що перетинаються, на епюрі мають яскраво виражену ознаку: проекції точки перетину лежать на одній лінії зв'язку (рис. 25). Дійсно: точка До належить і АВ та CD; на епюрі точка k лежить на одній лінії зв'язку з точкою k.

Прямі АВ та CD - перетинаються

Наступне з можливих взаємних розташувань двох прямих у просторі – прямі схрещуються. Це можливо у випадку, коли прямі не є паралельними, але й не перетинаються. Такі прямі завжди можна укласти в дві паралельні площини (рис. 26). Це аж ніяк не означає, що дві прямі, що схрещуються, обов'язково лежать у двох паралельних площинах; а лише те, що через них можна провести дві паралельні площини.

Проекції двох прямих, що схрещуються, можуть перетинатися, але точки їх перетину не лежать на одній лінії зв'язку (рис. 27).

Принагідно вирішимо питання конкуруючих точках (рис. 27). На горизонтальній проекції бачимо дві точки (е,f), але в фронтальної вони зливаються до однієї (e"f"), причому незрозуміло, яка з точок видно, яка не видно (конкуруючі точки).

Дві точки, фронтальні проекції яких збігаються, називаються фронтально-конкуруючими.

Такий випадок ми розглядали раніше (рис. 11), щодо теми «взаємне розташування двох точок». Тому застосуємо правило:

З двох точок, що конкурують, вважається видимою та, координата якої більша.

З рис. 27 видно, що горизонтальна проекція точки Е (е) відстане від осі ОХ далі, ніж точка f. Отже, координата Y точки «е» більше, ніж у точки f; отже, видимою буде точка Е. На передній проекції точка f" укладена в дужки як невидима.

Ще одне наслідок: точка е належить проекції прямої ab, а це означає, що на фронтальній проекції пряма а"Ь" розташована "поверх" прямий c"d".

Паралельні прямі

Паралельні прямі на епюрі легко розпізнати в обличчя, бо однойменні проекції двох паралельних прямих - паралельні.

Зверніть увагу: однойменні! Тобто. фронтальні проекції паралельні між собою, а горизонтальні – між собою (рис. 29).

Доказ: на малюнку 28 у просторі дано дві паралельні прямі АВ та CD. Проведемо через них проецірующие площини Q і Т - вони виявляться паралельними (бо якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні двом перетинаються прямим інший площині, то такі площини паралельні).

На епюрі З0а задані паралельні прямі, на епюрі 30б прямі схрещуються, хоч і в тому, і в іншому випадку фронтальні та горизонтальні проекції взаємно паралельні.

Існує, однак, прийом, за допомогою якого можна визначити взаємне положення двох профільних прямих, не вдаючись до побудови третіх проекцій. Для цього достатньо з'єднати кінці проекцій допоміжними прямими, як показано на рис 30. Якщо виявиться, що точки перетину цих прямих лежать на одній лінії зв'язку - профільні прямі паралельні між собою - рис. З0а. Якщо ні - профільні прямі схрещуються (рис. 306).

Особливі випадки становища прямих:

Проекції прямого кута

Якщо дві прямі загального положення перетинаються підлогу прямим кутом, їх проекції утворюють кут, не рівний 90° (рис. 31).

Оскільки при перетині двох паралельних площин третьої в перетині виходять паралельні прямі, то горизонтальні проекції ab і cd - паралельні.

Якщо повторити операцію та спроектувати прямі АВ та CD на фронтальну площину проекцій, ми отримаємо той самий результат.

Особливий випадок є дві профільні прямі, задані фронтальними та горизонтальними проекціями (рис.30). Як було сказано, у профільних прямих фронтальні та горизонтальні проекції взаємно паралельні, однак, за цією ознакою не можна судити про паралельність двох профільних прямих, не побудувавши третьої проекції.

Завдання. Побудуйте рівнобедрений прямокутний трикутник ABC, катет ВС котрою лежить на прямій MN (рис. 34).

Рішення. З епюру видно, що пряма MN є горизонталь. А за умовою трикутник - прямокутний.

Скористаємося властивістю проекції прямого кута та опустимо з точки «а» перпендикуляр HА проекцію mn (на пл. Н наш прямий кут проектується без спотворення) – рис. 35.

Як допоміжна пряма, що проводиться з кінця відрізка під прямим кутом до даного, ми використовуємо частину горизонтальної проекції прямої, а саме bm (рис. 36). Відкладемо на ній величину різниці координат Z, взяту з фронтальної проекції, і з'єднаємо точку "а" з кінцем отриманого відрізка. Ми отримаємо натуральну величину катета АВ (ab ; ab).

На рисунках 31 і 32 показані дві прямі загального положення, що утворюють між собою кут 90° (на рис. 32 ці прямі лежать в одній площині Р). Як бачимо, на епюрах кут, утворений проекціями прямих, не дорівнює 90 °.

Окремим питанням ми розглядаємо проекції прямого кута з наступної причини:

Якщо одна зі сторін прямого кута паралельна до будь-якої площини проекцій, то на цю площину прямий кут проектується без спотворень (рис. 33).

Ми не станемо доводити це положення (пропрацюйте це самостійно), а розглянемо переваги, які можна витягти з цього правила.

Насамперед, зазначимо, що за умовою одна зі сторін прямого кута паралельна до будь-якої площини проекцій, отже, одна зі сторін буде або фронталлю, або горизонталлю (може бути і профільною прямою) - рис. 33.

А фронталь і горизонталь на епюрі легко впізнати «в обличчя» (одна з проекцій обов'язково паралельна осі ОХ), або її можна легко побудувати за потреби. Крім того, у фронілі та горизонталі є найважливіша властивість: одна з їхньої проекції обов'язково відображає

Користуючись правилом належності, знайдемо фронтальну проекцію точки b" за допомогою лінії зв'язку. У нас з'явився катет АВ (a"b"; ab).

Щоб відкласти катет НД на стороні MN, потрібно спочатку визначити натуральну величину відрізка АВ (a d ; ab). Для цього скористаємося вже вивченим правилом прямокутного трикутника.

ВИСНОВОК

Загальні рівняння прямої у просторі

Рівняння прямої може бути розглянуте як рівняння лінії перетину двох площин. Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

× + D = 0, де

Нормаль поверхні; - радіус- вектор довільної точки площини.

Нехай у просторі задані дві площини: × + D 1= 0 і × + D 2= 0, вектори нормалі мають координати: (A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2); (x, y, z). Тоді загальні рівняння прямої у векторній формі:

Загальні рівняння прямої в координатній формі:

Для цього треба знайти довільну точку прямої і числа m, n, p. При цьому напрямний вектор прямий може бути знайдений як вектор добуток векторів нормалі до заданих площин.

Рівняння площини у просторі

Нехай дані точки та ненульовий вектор (тобто , де

за умови є вектором нормалі.

Якщо , , , ..., то рівняння можна перетворити на вигляд . Числа , і , і

Нехай - якась точка площини, - Вектор перпендикулярний площині. Тоді рівняння є рівняння цієї площини.

Коефіцієнти , ; у рівнянні площини є координатами вектора перпендикулярного площині.

Якщо рівняння площини розділити на число, що дорівнює довжині вектора , то отримаємо рівняння площини у нормальній формі.

Рівняння площини, яка проходить через точку і перпендикулярна ненульовому вектору, має вигляд .

Будь-яке рівняння першого ступеня задає координатному просторі єдину площину, яка перпендикулярна вектору з координатами .

Рівняння є рівнянням площини, що проходить через точку і перпендикулярній ненульовому вектору.

Кожна площина задається в системі прямокутних координат , , рівнянням виду.

за умови, що серед коефіцієнтів , , є ненульові, задає у просторі площину у системі прямокутних координат. Площина у просторі задається у системі прямокутних координат , , рівнянням виду , за умови, що .

Правильне і зворотне твердження: рівняння виду за умови задає у просторі площину у системі прямокутних координат.

Де , , , , ,

Площина у просторі задається рівнянням , де , , , - дійсні числа, причому , , одночасно не дорівнюють 0 і складають координати вектора , перпендикулярного цій площині і називається вектором нормалі.

Нехай дані точки та ненульовий вектор (тобто ). Тоді векторне рівняння площини , де - довільна точка площини) набуває вигляду - рівняння площини за точкою та вектором нормалі.

Кожне рівняння першого ступеня за умови задає у прямокутній системі координат єдину площину, для якої вектор є вектором нормалі.

Якщо , , , , то рівняння можна перетворити на вигляд . Числа , і рівні довжинам відрізків, які відсікає площину на осях , і відповідно. Тому рівняння називається рівнянням площини "у відрізках".

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Стереометрія. Геометрія у просторі. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І.

2.Александров П. С. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. – Головна редакція фізико-математичної літератури, 2000. – 512 с.

.Беклемішев Д.В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри, 2005. – 304 с.

.Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія: Навч. для вузів. – 7-ме вид., стер., 2004. – 224 с. - (Курс вищої математики та математичної фізики.)

.Єфімов Н. В. Короткий курс аналітичної геометрії: Навч. допомога. - 13-те вид., стереот. -, 2005. – 240 с.

.Канатніков О.М., Крищенко О.П. Аналітична геометрія. -2-е вид. -, 2000, 388 с (Сер.Математика в технічному університеті

.Кадомцев СБ. Аналітична геометрія та лінійна алгебра, 2003. – 160 с.

.Федорчук В. В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри: Навч. посібник, 2000. – 328 с.

.Аналітична геометрія (конспект лекцій Троїцького О.В., 1 курс, 1999/2000) – 118 с.

.Бортаковський, А.С. Аналітична геометрія в прикладах та задачах: Навч. Посібник/О.С. Бортаковський, А.В. Пантелєєв. - Вищ. шк., 2005. – 496 с: іл. - (Серія "Прикладна математика").

.Морозова Є.А., Скляренко Є.Г. Аналітична геометрія. Методичний посібник 2004. – 103 с.

.Методичні вказівки та робоча програма з курсу «Вища математика» – 55 с.