Modalități interesante de a demonstra prezentarea teoremei lui Pitagora. Prezentare pe tema „metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora”

Planul lecției Moment organizatoric Punct organizatoric Repetare Repetiție Mesaj despre viața lui Pitagora din Samos Mesaj despre viața lui Pitagora din Samos Informații istorice despre teorema lui Pitagora Informații istorice despre teorema lui Pitagora Lucrare asupra teoremei Lucrarea teoremei Rezolvarea problemelor folosind teorema Rezolvarea probleme folosind teorema Rezumarea lecției Rezumarea lecției Teme Tema pentru acasă

Pitagora din Samos Pitagora sa născut în anul 580 î.Hr. în Grecia Antică pe insula Samos, care este situată în Marea Egee în largul coastei Asiei Mici, motiv pentru care este numit Pitagora din Samos. În familia unui cioplitor în piatră care și-a găsit mai degrabă faima decât bogăția. Chiar și în copilărie, a arătat abilități extraordinare, iar când a crescut, imaginația agitată a tânărului s-a înghesuit pe mica insulă.

Pitagora Pitagora s-a mutat în orașul Milet și a devenit un elev al lui Thales, care la vremea aceea avea peste optzeci de ani. Omul de știință înțelept l-a sfătuit pe tânăr să meargă în Egipt, unde el însuși a studiat cândva știința. O țară necunoscută s-a deschis înaintea lui Pitagora. A fost uimit de faptul că în Grecia sa natală zeii erau sub formă de oameni, iar zeii egipteni erau sub formă de jumătate de om - jumătate de animale. Cunoștințele erau concentrate în temple, accesul la care era limitat.

Lui Pitagora i-a luat ani de zile să studieze în profunzime cultura egipteană înainte de a i se permite să se familiarizeze cu realizările de secole ale științei egiptene. Când Pitagora a înțeles știința preoților egipteni, s-a dus acasă pentru a-și crea propria școală acolo. Preoții, care nu voiau să-și răspândească cunoștințele dincolo de temple, nu voiau să-l dea drumul. Cu mare dificultate a reușit să depășească acest obstacol.

Cu toate acestea, în drum spre casă, Pitagora a fost capturat și a ajuns în Babilon. Babilonienii apreciau oamenii deștepți, așa că și-a găsit locul printre înțelepții babilonieni. Știința babiloniană a fost mai dezvoltată decât știința egipteană. Cele mai izbitoare succese au fost în algebră.Pitagora Babilonienii au inventat și au folosit sistemul de numere poziționale la numărare și au fost capabili să rezolve ecuații liniare, pătratice și unele tipuri de ecuații cubice. Pitagora a trăit în Babilon aproximativ zece ani și s-a întors în patria sa la vârsta de patruzeci de ani. Dar nu a rămas mult timp pe insula Samos. În semn de protest împotriva tiranului Policrate, care atunci conducea insula, el s-a stabilit într-una dintre coloniile grecești din sudul Italiei, în orașul Crotone.

Acolo Pitagora a organizat o ligă secretă a tineretului din reprezentanți ai aristocrației. Ei au fost acceptați în această uniune cu mari ceremonii după lungi încercări. Fiecare participant a renunțat la proprietatea sa și a jurat că va păstra secrete învățăturile fondatorului. Pitagoreenii, așa cum au fost numiți mai târziu, au studiat matematica, filozofia și științele naturii. La școală a existat un decret conform căruia autoritatea tuturor lucrărilor de matematică era atribuită profesorului. Alianța lui Pitagora era secretă. Emblema sau marca de identificare a unirii era o pentagramă - o stea cu cinci colțuri. Pentagramei i s-a atribuit capacitatea de a proteja o persoană de spiritele rele.

Pitagoreii au făcut multe descoperiri importante în aritmetică și geometrie. De asemenea, se știe că, pe lângă dezvoltarea spirituală și morală a elevilor lui Pitagora, el era preocupat de dezvoltarea lor fizică. Nu numai că el însuși a participat la Jocurile Olimpice și a câștigat de două ori lupte cu pumnii, dar a antrenat și o galaxie de mari olimpici.Pythagoras Omul de știință a dedicat aproximativ patruzeci de ani școlii pe care a creat-o și, conform unei versiuni, la vârsta de optzeci de ani Pitagora a fost ucis într-o luptă de stradă în timpul revoltei populare. După moartea sa, elevii au înconjurat numele profesorului lor cu multe legende.

În textele babiloniene se găsește cu 1200 de ani înainte de Pitagora. Aparent, el a fost primul care i-a găsit dovada. În acest sens, s-a făcut următoarea înscriere: „... când a descoperit că într-un triunghi dreptunghic ipotenuza corespunde picioarelor, a sacrificat un taur din aluat de grâu.” Istoria teoremei lui Pitagora Istoria teoremei lui Pitagora este interesantă. Deși această teoremă este asociată cu numele lui Pitagora, era cunoscută cu mult înaintea lui.

Teorema Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Având în vedere: Δ ABC, C = 90° Demonstrați: Demonstrați: D Considerând cos B, obținem: Adunând (1) și (2), obținem: Considerând cos B, obținem: Să coborâm înălțimea SD de la vârful lui unghiul drept

Slide 2

a2+b2=c2 c a b P

Slide 3

Pitagora nu a descoperit această proprietate a unui triunghi dreptunghic; el a fost probabil primul care a generalizat-o și a dovedit-o, transferând-o astfel din domeniul practicii în domeniul științei. Nu știm cum a făcut-o. Se presupune că demonstrația lui Pitagora nu a fost fundamentală, ci doar o confirmare, un test al acestei proprietăți pe o serie de tipuri particulare de triunghiuri, începând cu un triunghi dreptunghic isoscel, pentru care rezultă în mod evident din Fig. 1.

Slide 4

Slide 5

Dovezi bazate pe utilizarea conceptului de dimensiune egală a figurilor.

Slide 6

Este clar că dacă scădem de patru ori aria unui triunghi dreptunghic cu catetele a, b din aria pătratului, atunci vor rămâne suprafețe egale, adică c2 = a2 + b2. Cu toate acestea, vechii hinduși, cărora le aparține acest raționament, de obicei nu l-au notat, ci au însoțit desenul cu un singur cuvânt: „uite!” Este foarte posibil ca Pitagora să fi oferit aceeași dovadă.

Slide 7

Dovezi aditive. Aceste dovezi se bazează pe descompunerea pătratelor construite pe catete în figuri din care se poate adăuga un pătrat construit pe ipotenuză. Dovada lui Einstein (Fig. 3) se bazează pe descompunerea unui pătrat construit pe ipotenuză în 8 triunghiuri.

Slide 8

În fig. 4 arată demonstrarea teoremei lui Pitagora folosind împărțirea lui al-Nayriziyah, comentatorul medieval de la Bagdad despre Elementele lui Euclid. În această partiție, pătratul construit pe ipotenuză este împărțit în 3 triunghiuri și 2 patrulatere. Aici: ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C; DE = BF. Demonstrați teorema folosind această partiție. D E

Slide 9

Dovada prin metoda de completare. Esența acestei metode este că la pătratele construite pe catete și la pătratul construit pe ipotenuză se adaugă cifre egale în așa fel încât să se obțină cifre egale.

Slide 10

Valabilitatea teoremei lui Pitagora rezultă din dimensiunea egală a hexagoanelor AEDFPB și ACBNMQ. F

Slide 11

În fig. 13 ABC – dreptunghiular, C – unghi drept, CM AB, b1 – proiecția catetei b pe ipotenuză, a1 – proiecția catetei a pe ipotenuză, h – altitudinea triunghiului trasat la ipotenuză. Deoarece ABC este similar cu ACM, rezultă că b2 = c*b1; (1) din faptul că ABC este similar cu BCM, rezultă că a2 = c*a1. (2) Adunând egalitățile (1) și (2) termen cu termen, obținem a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. b

Slide 12

În figura 15, trei triunghiuri dreptunghiulare formează un trapez. Prin urmare, aria acestei figuri poate fi găsită folosind formula pentru aria unui trapez dreptunghiular sau ca suma ariilor a trei triunghiuri. Dovada lui Garfield.

Slide 13

Biografia lui Pitagora. Marele om de știință Pitagora s-a născut în jurul anului 570 î.Hr. pe insula Samos. Tatăl lui Pitagora a fost Mnesarchus, un tăietor de pietre prețioase. Numele mamei lui Pitagora nu este cunoscut. Potrivit multor mărturii străvechi, băiatul care s-a născut era fabulos de frumos și și-a arătat curând abilitățile extraordinare. Printre profesorii tinerilor Pitagora s-au numărat și bătrânul Hermodamantus și Pherecydes din Syros. Tânărul Pitagora a petrecut zile întregi la picioarele bătrânului Hermo, ascultând melodia citrei și hexametrele lui Homer. Pitagora și-a păstrat pasiunea pentru muzica și poezia marelui Homer de-a lungul vieții. Și, fiind un înțelept recunoscut, înconjurat de o mulțime de discipoli, Pitagora și-a început ziua cântând unul dintre cântecele lui Homer. Pherecydes a fost un filosof și a fost considerat fondatorul școlii italiene de filosofie. Dar oricum ar fi, imaginația neliniștită a tânărului Pitagora s-a înghesuit foarte curând în micul Samos și s-a dus la Milet, unde a întâlnit un alt om de știință - Thales. Thales îl sfătuiește să meargă în Egipt pentru cunoaștere, ceea ce a făcut Pitagora. În 548 î.Hr. Pitagora a ajuns în Naucratis, o colonie samiană, unde era cineva care să găsească adăpost și hrană.

Slide 14

După ce a studiat limba și religia egiptenilor, pleacă la Memphis. În ciuda scrisorii de recomandare a faraonului, preoții vicleni nu s-au grăbit să-și dezvăluie secretele lui Pitagora, oferindu-i teste grele. Dar, mânat de setea de cunoaștere, Pitagora i-a biruit pe toți, deși conform săpăturilor, preoții egipteni nu l-au putut învăța prea multe, pentru că la acea vreme, geometria egipteană era o știință pur aplicată (satisface nevoia din acea vreme de numărare și măsurare a terenurilor). Prin urmare, după ce a aflat tot ce i-au dat preoții, a fugit de ei și s-a mutat în patria sa din Hellas. Cu toate acestea, după ce a terminat o parte a călătoriei, Pitagora a decis să facă o călătorie pe uscat, în timpul căreia a fost capturat de Cambises, regele Babilonului, care se îndrepta spre casă. Nu este nevoie să dramatizăm viața lui Pitagora în Babilon, pentru că... marele domnitor Cyrus era tolerant cu toți captivii. Matematica babiloniană a fost, fără îndoială, mai dezvoltată (un exemplu în acest sens este sistemul pozițional de calcul) decât cea egipteană, iar Pitagora a avut multe de învățat. Dar în 530 î.Hr. Cyrus a pornit într-o campanie împotriva triburilor din Asia Centrală. Și, profitând de agitația din oraș, Pitagora a fugit în patria sa.

Slide 15

Iar pe Samos în acea vreme domnea tiranul Policrate. Desigur, Pitagora nu a fost mulțumit de viața unui sclav de curte și s-a retras în peșteri din vecinătatea Samosului. După câteva luni de pretenții de la Policrate, Pitagora s-a mutat la Croton. În Croton, Pitagora a înființat ceva de genul o frăție religios-etică sau un ordin monahal secret („Pitagoreici”), ai cărui membri s-au angajat să conducă așa-numitul mod de viață pitagoreic. Era în același timp o uniune religioasă, un club politic și o societate științifică. Trebuie spus că unele dintre principiile predicate de Pitagora sunt demne de imitat și acum. ...au trecut 20 de ani. Faima frăției s-a răspândit în întreaga lume. Într-o zi, Cylon, un om bogat, dar rău, vine la Pitagora, dorind să se alăture frăției în timp ce era beat. După ce a primit un refuz, Cylon începe să lupte cu Pitagora, profitând de incendierea casei sale. În timpul incendiului, pitagoreenii au salvat viața profesorului lor cu prețul lor, după care Pitagora s-a întristat și s-a sinucis curând.

Vizualizați toate diapozitivele

Istoria teoremei. China antică Să începem recenzia noastră istorică cu China antică. Aici cartea de matematică Chu-pei atrage o atenție deosebită. Acest eseu vorbește despre triunghiul lui Pitagora cu laturile 3, 4 și 5: Să începem cu China antică. Aici cartea de matematică Chu-pei atrage o atenție deosebită. Această lucrare spune asta despre un triunghi pitagoreic cu laturile 3, 4 și 5: „Dacă un unghi drept este descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor sale va fi 5, când baza este 3 și înălțimea este 4.” În aceeași carte este propus un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara. În aceeași carte este propus un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

Se cunosc ceva mai multe despre teorema lui Pitagora la babilonieni. Într-un text datând din vremea lui Hammurabi, adică din anul 2000 î.Hr. e., se dă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic. Din aceasta putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri. Geometria hindușilor, ca și în rândul egiptenilor și babilonienilor, era strâns legată de cultul. Este foarte probabil ca teorema asupra pătratului ipotenuzei să fi fost deja cunoscută în India în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e. India antică

Cantor (cel mai mare istoric german al matematicii) crede că egalitatea: 3² + 4² = 5² era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e., în timpul regelui Amenemhat I (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin) Potrivit lui Cantor, harpedonapții, sau „trăgători de frânghii”, construiau unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile 3, 4 și 5. Metoda lor de construcția poate fi reprodusă foarte ușor. Să luăm o frânghie de 12 metri lungime și să legăm de ea o dungă colorată la o distanță de 3 metri de un capăt și 4 metri de celălalt. Unghiul drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime.

Bazându-se, pe de o parte, pe nivelul actual de cunoștințe despre matematica egipteană și babiloniană, și pe de altă parte, pe un studiu critic al surselor grecești, Van der Waerden (matematician olandez) a tras următoarea concluzie: „Meritul primii matematicieni greci, cum ar fi Thales, Pitagora și pitagoreenii, nu este descoperirea matematicii, ci sistematizarea și justificarea ei. În mâinile lor, rețetele de calcul bazate pe idei vagi s-au transformat într-o știință exactă."

Marele om de știință Pitagora s-a născut în jurul anului 570 î.Hr. pe insula Samos. Tatăl lui Pitagora a fost Mnesarchus, un tăietor de pietre prețioase. Numele mamei lui Pitagora este necunoscut. Potrivit multor mărturii străvechi, băiatul care s-a născut era fabulos de frumos și și-a arătat curând abilitățile extraordinare. Pitagora și-a păstrat pasiunea pentru muzica și poezia marelui Homer de-a lungul vieții. Curând, imaginația neliniștită a tânărului Pitagora s-a înghesuit în micul Samos și s-a dus la Milet, unde a întâlnit un alt om de știință, Thales. Apoi pleacă într-o călătorie și este capturat de regele babilonian Cyrus. În 530 î.Hr. Cyrus a pornit într-o campanie împotriva triburilor din Asia Centrală. Și, profitând de agitația din oraș, Pitagora a fugit în patria sa.

Iar pe Samos în acea vreme domnea tiranul Policrate. După câteva luni de pretenții de la Policrate, Pitagora s-a mutat la Croton. La Croton, Pitagora a înființat ceva asemănător unei frății religioase-etice sau a unui ordin monahal secret („Pitagoreici”), ai cărui membri s-au angajat să conducă așa-numitul mod de viață pitagoreic.... Au trecut 20 de ani. Faima frăției s-a răspândit în întreaga lume. Într-o zi, Cylon, un om bogat, dar rău, vine la Pitagora, dorind să se alăture frăției în timp ce era beat. După ce a primit un refuz, Cylon începe să lupte cu Pitagora, profitând de incendierea casei sale. În timpul incendiului, pitagoreenii au salvat viața profesorului lor cu prețul lor, după care Pitagora s-a întristat și s-a sinucis curând.

Teorema lui Pitagora. Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Alte formulări ale teoremei. Teorema lui Euclid afirmă (traducere literală): „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul laturii care se întinde pe unghiul drept este egal cu pătratele laturilor care înconjoară unghiul drept”. În Geometria Culmonensis (c. 1400), traducerea teoremei spune: „Aria unui pătrat, măsurată de-a lungul laturii sale lungi, este la fel de mare ca cea a două pătrate măsurate de-a lungul celor două laturi adiacente unei drepte. unghi."

Cea mai simplă dovadă. Cea mai simplă demonstrație a teoremei se obține în cel mai simplu caz al unui triunghi dreptunghic isoscel. De fapt, este suficient doar să privim mozaicul de triunghiuri dreptunghiulare isoscele pentru a fi convins de validitatea teoremei. De exemplu, pentru triunghiul ABC: pătratul construit pe ipotenuza AC conține 4 triunghiuri originale, iar pătratele construite pe laturi conțin două.

Dovada prin metoda scăderii. Să ne uităm la o altă demonstrație folosind metoda scăderii. Să anexăm desenul familiar al teoremei lui Pitagora într-un cadru dreptunghiular, ale cărui direcții ale laturilor coincid cu direcțiile catetelor triunghiului. Să continuăm câteva dintre segmentele figurii așa cum este indicat în figură, în timp ce dreptunghiul se desparte în mai multe triunghiuri, dreptunghiuri și pătrate. Să scoatem mai întâi câteva părți din dreptunghi, astfel încât să rămână doar pătratul construit pe ipotenuză. Aceste părți sunt următoarele: 1. triunghiuri 1, 2, 3, 4; 2. dreptunghi 5; 3. dreptunghi 6 și pătrat 8; 4. dreptunghi 7 și pătrat 9;

Apoi aruncăm părțile din dreptunghi, astfel încât să rămână doar pătratele construite pe laturi. Aceste părți vor fi: 1. dreptunghiuri 6 și 7; 2. dreptunghi 5; 3. dreptunghi 1 (umbrit); 4. dreptunghi 2 (umbrit); Tot ce trebuie să facem este să arătăm că piesele luate au dimensiuni egale. Acest lucru este ușor de văzut datorită aranjamentului figurilor. Din figură este clar că: 1. dreptunghiul 5 este egal ca mărime cu el însuși; 2. patru triunghiuri 1,2,3,4 au dimensiuni egale cu două dreptunghiuri 6 și 7; 3. dreptunghiul 6 și pătratul 8, luate împreună, sunt egale ca mărime cu dreptunghiul 1 (umbrite);; 4. dreptunghiul 7 împreună cu pătratul 9 au dimensiuni egale cu dreptunghiul 2 (umbrit); Teorema este demonstrată

Dovada lui Einstein Punctele E, C și F se află pe aceeași linie; aceasta rezultă din calcule simple ale gradului de măsură a unghiului ECF (este desfășurat). CD este desenat perpendicular pe EF. Laturile stânga și dreapta ale pătratului construit pe ipotenuză sunt extinse în sus până se intersectează cu EF; partea EA este extinsă până se intersectează cu CD. În consecință, triunghiurile egale sunt numerotate egal.

De fapt, triunghiurile ABD și BFC sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele: FB = AB, BC = BD, iar unghiurile dintre ele sunt egale ca unghiuri obtuze cu laturi reciproc perpendiculare. S ABD = 0,5 S BJLD, deoarece triunghiul ABD și dreptunghiul BJLD au o bază comună BD și o înălțime comună LD. În mod similar S FBC=0,5 S ABFH (BF-bază comună, AB-înălțime comună). Prin urmare, ținând cont de faptul că S ABD= S FBC, avem S BJLD= S ABFH. În mod similar, dacă desenați segmentul AE folosind egalitatea triunghiurilor ВСК și ACE, veți demonstra că S JCEL = S ACKG. Deci, S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED, care este ceea ce trebuia dovedit. Această dovadă a fost dată de Euclid în Elementele sale. Potrivit lui Proclus (Bizant), a fost inventat chiar de Euclid. Dovada lui Euclid este dată în propoziția 47 din prima carte a Elementelor. Pe ipotenuza și catetele triunghiului dreptunghic ABC se construiesc pătratele corespunzătoare și se demonstrează că dreptunghiul BJLD este egal cu pătratul ABFH, iar dreptunghiul JCEL este egal cu pătratul AGKC. Apoi, suma ariilor pătratelor de pe catete va fi egală cu aria pătratului de pe ipotenuză.

Al doilea mister este numărul exact necunoscut de dovezi ale celebrei teoreme a lui Pitagora din Samos. Din acest motiv am hotărât să efectuez o anchetă sociologică, care a arătat că majoritatea oamenilor din generația mai în vârstă sunt de acord cu existența a 250 de dovezi, deși știu din surse suplimentare că există mai mult de 350 de dovezi ale acestei teoreme, care este de ce a intrat chiar în Cartea Recordurilor Guinness! Dar, desigur, relativ puține idei fundamental diferite sunt folosite în aceste dovezi.

Al treilea secret este că teorema lui Pitagora este un simbol al matematicii astăzi. Cel de-al patrulea secret - teorema lui Pitagora - ne oferă o bogăție de material pentru generalizare - cel mai important tip de activitate mentală, baza gândirii teoretice, pe care mulți oameni de știință o cunosc fluent. Aici putem adăuga că din teorema lui Pitagora se poate trece la alte teoreme.

Al cincilea secret este că unii cercetători îi atribuie lui Pitagora dovada pe care Euclid a dat-o în prima carte a lui Elementele. Pe de altă parte, Proclus (matematicianul secolului al V-lea) a susținut că demonstrația din Elemente îi aparține lui Euclid însuși. Dar totuși, astăzi metoda de demonstrare a lui Pitagora rămâne necunoscută.

Al șaselea secret este legenda despre însuși Pitagora, omul care a demonstrat prima dată această teoremă. Există o legendă că atunci când Pitagora din Samos și-a dovedit teorema, el a mulțumit zeilor sacrificând 100 de tauri. Au existat și legende despre abilitățile hipnotice ale omului de știință: de parcă ar putea schimba direcția de zbor a păsărilor doar cu privirea lui. Ei au mai spus că acest om uimitor a fost văzut simultan în diferite orașe, între care au fost câteva zile de călătorie. Și că se presupune că deținea o „roată a norocului”, prin rotire pe care nu numai că a prezis viitorul, ci și a intervenit, dacă era necesar, în cursul evenimentelor.

Descrierea prezentării prin diapozitive individuale:

1 tobogan

Descriere slide:

Profesor al Liceului KazGASA Auelbekova G.U. „Teorema lui Pitagora și diverse moduri de a o demonstra”. 2016

2 tobogan

Descriere slide:

OBIECTIV: Obiectivul principal este de a analiza diferitele moduri de a demonstra Teorema lui Pitagora. Arată ce semnificație are teorema lui Pitagora în dezvoltarea științei și tehnologiei, în matematică în general.

3 slide

Descriere slide:

Din biografia lui Pitagora Cel mai mult pe care populația știe acum despre această greacă antică respectată se încadrează într-o singură frază: „Pantalonii lui Pitagora sunt egali din toate părțile”. Autorii acestei tachineri sunt clar separați de secole de Pitagora, altfel nu ar fi îndrăznit să tachineze. Pentru că Pitagora nu este deloc pătratul ipotenuzei, egal cu suma pătratelor catetelor. Acesta este un filosof celebru. Pitagora a trăit în secolul al VI-lea î.Hr., avea un aspect frumos, purta o barbă lungă și o diademă de aur pe cap. Pitagora nu este un nume, ci o poreclă pe care a primit-o filosoful pentru că a vorbit întotdeauna corect și convingător, ca un oracol grec. (Pythagoras - „persuasiv prin vorbire”). Cu discursurile sale a dobândit 2.000 de elevi, care, împreună cu familiile lor, au format un stat-școală, în care legile și regulile lui Pitagora erau în vigoare. A fost primul care a dat un nume liniei sale de muncă. Cuvântul „filosof”, ca și cuvântul „cosmos”, ne-a venit de la Pitagora. Există mult cosmic în filosofia lui. El a susținut că pentru a înțelege pe Dumnezeu, omul și natura, trebuie să studiezi algebra cu geometria, muzica și astronomia. Apropo, sistemul pitagoreic de cunoaștere este numit „matematică” în greacă. Cât despre triunghiul notoriu cu ipotenuza și catetele sale, acesta, potrivit marelui grec, este mai mult decât o figură geometrică. Aceasta este „cheia” pentru toate fenomenele criptate ale vieții noastre. Totul în natură, spunea Pitagora, este împărțit în trei părți. Prin urmare, înainte de a rezolva orice problemă, aceasta trebuie reprezentată sub forma unei diagrame triunghiulare. "Vezi triunghiul - și problema este rezolvată în două treimi."

4 slide

Descriere slide:

Acum există trei formulări ale teoremei lui Pitagora: 1. Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. 2. Aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. 3. Un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este echivalent cu pătratele construite pe catete. Teorema inversă a lui Pitagora: Pentru fiecare triplu de numere pozitive a, b și c astfel încât a2 + b2 = c2, există un triunghi dreptunghic cu catetele a și b și ipotenuza c. tu

5 slide

Descriere slide:

Din istoria teoremei Din istoria teoremei Strict vorbind, deși teorema este numită „teorema lui Pitagora”, Pitagora însuși nu a descoperit-o. Triunghiul dreptunghic și proprietățile sale speciale au fost studiate cu mult înaintea lui. Există două puncte de vedere polare asupra acestei probleme. Potrivit unei versiuni, Pitagora a fost primul care a găsit o demonstrație completă a teoremei. Potrivit altuia, dovada nu aparține paternului lui Pitagora. Astăzi nu mai poți verifica cine are dreptate și cine greșește. Ceea ce se știe este că dovada lui Pitagora, dacă a existat vreodată, nu a supraviețuit. Cu toate acestea, există sugestii că faimoasa dovadă din Elementele lui Euclid ar putea aparține lui Pitagora, iar Euclid a înregistrat-o doar. De asemenea, se știe astăzi că problemele despre un triunghi dreptunghic se găsesc în sursele egiptene din vremea faraonului Amenemhat I, pe tăblițele de lut babiloniene din timpul domniei regelui Hammurabi, în vechiul tratat indian „Sulva Sutra” și în vechea lucrare chineză „ Zhou-bi suan jin”. După cum putem vedea, teorema lui Pitagora a ocupat mințile matematicienilor încă din cele mai vechi timpuri. Acest lucru este confirmat de aproximativ 500 de dovezi diferite care există astăzi. În acest sens, nicio altă teoremă nu poate concura cu ea. Printre autorii celebri de dovezi îi putem aminti pe Leonardo da Vinci și pe cel de-al XX-lea președinte american James Garfield. Toate acestea vorbesc despre importanța extremă a acestei teoreme pentru matematică: majoritatea teoremelor de geometrie sunt derivate din ea sau sunt într-un fel legate de ea. .

6 diapozitiv

Descriere slide:

Formulări Enunțuri ale teoremei traduse din greacă, latină și germană În Euclid, această teoremă afirmă (traducere literală): „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul laturii care se întinde pe unghiul drept este egal cu pătratele de pe laturile care înconjoară unghiul drept. .” Traducerea latină a textului arab Annairitsi (aproximativ 900 î.Hr.), realizată de Gerhard de Clemons (începutul secolului al XII-lea), tradusă în rusă, spune: „În fiecare triunghi dreptunghic, pătratul format pe latura întinsă peste unghiul drept este egal cu suma a două pătrate formate pe două laturi care înconjoară un unghi drept.” În Geometria Culmonensis (c. 1400), traducerea teoremei spune: „Aria unui pătrat, măsurată de-a lungul laturii sale lungi, este la fel de mare ca cea a două pătrate măsurate de-a lungul celor două laturi adiacente unei drepte. unghi." În prima traducere rusă a Elementelor euclidiene, realizată de F. I. Petrushevsky, teorema lui Pitagora este enunțată astfel: „În triunghiuri dreptunghiulare, pătratul laturii opuse unghiului drept este egal cu suma pătratelor laturilor care conțin dreapta. unghi."

7 slide

Descriere slide:

Construcția folosită pentru demonstrație este următoarea: pentru un triunghi dreptunghic cu unghi drept, pătrate deasupra catetelor și și un pătrat deasupra ipotenuzei, se construiesc o altitudine și o rază care o prelungește, împărțind pătratul de deasupra ipotenuzei în două dreptunghiuri. și. Demonstrarea are drept scop stabilirea egalității ariilor dreptunghiului cu pătratul deasupra catetei, egalitatea ariilor celui de-al doilea dreptunghi constituind pătratul cu ipotenuza și dreptunghiul deasupra celuilalt catet în mod similar. Egalitatea ariilor dreptunghiului se stabilește prin congruența triunghiurilor și a căror aria fiecăruia este egală cu jumătate din aria pătratelor și, în consecință, în legătură cu următoarea proprietate: aria a triunghiului este egală cu jumătate din aria dreptunghiului dacă figurile au o latură comună, iar înălțimea triunghiului față de latura comună este cealaltă latură a dreptunghiului. Congruența triunghiurilor rezultă din egalitatea a două laturi (laturile pătratelor) și unghiul dintre ele (alcătuit dintr-un unghi drept și un unghi la. Astfel, demonstrația stabilește că aria unui pătrat deasupra ipotenuzei, compusă de dreptunghiuri și, este egală cu suma ariilor pătratelor de deasupra catetelor.

8 slide

Descriere slide:

AJ este înălțimea coborâtă până la ipotenuză. Să demonstrăm că continuarea lui împarte pătratul construit pe ipotenuză în două dreptunghiuri, ale căror arii sunt egale cu ariile Pătratelor corespunzătoare construite pe laturi. Să demonstrăm că dreptunghiul BJLD este egal ca mărime cu pătratul ABFH. Triunghi ABD=BFC (pe două laturi și unghiul dintre ele BF=AB; BC=BD; unghi FBC=unghi ABD).

Slide 9

Descriere slide:

S triunghi ABD=1/2 S dreptunghi BJLD, deoarece Triunghiul ABD și dreptunghiul BJLD au o bază comună BD și o înălțime comună LD. SIMILAR, S triunghi FBC=1/2 S dreptunghi ABFH(BF-bază comună, AB-înălțime comună). Prin urmare, ținând cont de faptul că S al triunghiului ABD =S al triunghiului FBC, avem: S BJLD=S ABFH. În mod similar, folosind egalitatea triunghiurilor BCK și ACE, se demonstrează că S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. Triunghi S=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD Teorema este demonstrată. A L B D

10 diapozitive

Descriere slide:

Dovada matematicianului indian Bhaskari a in c in a - in in in c Metoda lui Bhaskari este urmatoarea: exprimati aria patratului construit pe ipotenuza (c²) ca suma ariilor triunghiurilor (4S = 4· 0,5 a b) și aria pătratului (a – c) ². Adică, rezultă că c ² = 4 · 0,5 a b + (a – c) ² c ² = 2 a b + a ² - 2 a b + b ² c ² = a ² + b ² Teorema este demonstrată.

11 diapozitiv

Descriere slide:

Dovada lui Waldheim a b c a b c Waldheim folosește faptul că aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor sale, iar aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale paralele și înălțimea sa . Acum, pentru a demonstra teorema, este suficient să exprimați aria trapezului în două moduri S trapez = 0,5(a + b) (a + b) = 0,5 (a + b) ² S trapez = 0,5 a b + 0, 5 a b + 0,5 c ² Echivalând laturile drepte, obținem 0,5 (a + b) ² = 0,5 a b + 0,5 a b + 0,5 c ² (a + b) ² = a b + а в + с ² а ² + 2 а в + в ² = 2 а в + с ² с ² = а ² + в ² Teorema este demonstrată

12 slide

Descriere slide:

Demonstrația lui Hawkins A B C A1 B1 a c D c a c 1. Să rotim ∆ABC dreptunghiular (cu unghi drept C) în jurul centrului în punctul C cu 90º, astfel încât să ia poziția A1 B1 C, așa cum se arată în figură. 2. Să continuăm ipotenuza B1 A1 dincolo de punctul A1 până când se intersectează cu dreapta AB în punctul D. Segmentul B1 D va avea înălțimea ∆B1AB (deoarece ∟B1DA = 90º). 3. Se consideră patrulaterul A1AB1B. Pe de o parte, SА1АВ1В = SАА1 + SСВВ1 =0.5в · в + 0.5а · а=0.5(а² + в²) Pe de altă parte, SA1АВ1В = SA1ВВ1 + SАА1ВВ1 + SАА1ВВ1 + SАА1ВВ1 + SАА1В1 = · .А5 В1 = · . · s ·(AD + VD) = 0,5 · s² Echivalând expresiile rezultate, obținem 0,5 (a² + b²) = 0,5 c² a² + b² = c² Teorema este demonstrată.

Slide 13

Descriere slide:

Dovada geometrică. (Metoda lui Hoffmann) Construiți triunghiul ABC cu unghi drept C. Construiți BF=CB, BFCB Construcția BE=AB, BEAB Construcția AD=AC, ADAC Punctele F, C, D aparțin aceleiași drepte.

Slide 14

Descriere slide:

După cum vedem, patrulaterele ADFB și ACBE sunt egale ca mărime, deoarece ABF=ECB. Triunghiurile ADF și ACE au dimensiuni egale. Scădem triunghiul ABC pe care îl împart din ambele patrulatere egale și obținem: 1/2a2+1/2b 2=1/2c 2 În consecință: a2+ b 2 =c 2 Teorema este demonstrată.

15 slide

Descriere slide:

Dovada algebrică (metoda lui Möhlmann) Aria unui dreptunghi dat pe o parte este 0,5ab, pe cealaltă 0,5pr, unde p este semiperimetrul triunghiului, r este raza cercului înscris (r=0,5). (a+b-c)). A C

16 diapozitiv

Descriere slide:

Avem: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)*0,5(a+b-c) Rezultă că c2= a2+b2 Teorema este demonstrată. A C

Slide 17

Descriere slide:

Semnificația teoremei lui Pitagora Teorema lui Pitagora este pe bună dreptate una dintre principalele teoreme ale matematicii. Semnificația acestei teoreme este că cu ajutorul ei se pot deriva majoritatea teoremelor din geometrie. Valoarea sa în lumea modernă este, de asemenea, mare, deoarece teorema lui Pitagora este folosită în multe ramuri ale activității umane. De exemplu, este utilizat în amplasarea paratrăsnetului pe acoperișurile clădirilor, în producția de ferestre de anumite stiluri arhitecturale și chiar în calcularea înălțimii antenelor operatorilor de telefonie mobilă. Și aceasta nu este întreaga listă de aplicații practice ale acestei teoreme. De aceea este foarte important să cunoaștem teorema lui Pitagora și să înțelegem sensul acesteia.

18 slide

Descriere slide:

Teorema lui Pitagora în literatură. Pitagora nu este doar un mare matematician, ci și un mare gânditor al timpului său. Să facem cunoștință cu câteva dintre afirmațiile sale filozofice...

Slide 19

Descriere slide:

1. Gândirea este mai presus de orice între oamenii de pe pământ. 2. Nu vă așezați pe o măsură de cereale (adică, nu trăiți cu mâinile în sân). 3. Când plecați, nu vă uitați înapoi (adică, înainte de moarte, nu vă agățați de viață). 4. Nu merge pe drumul bătut (adică nu urmezi părerile mulțimii, ci părerile celor puțini care înțeleg). 5. Nu țineți rândunele în casă (adică nu primiți oaspeți vorbăreți sau neîngrădiți în limba lor). 6. Fii alături de cei care duc povara, nu fii cu cei care aruncă povara (adică, încurajează oamenii nu la lenevire, ci la virtute, la muncă). 7. Nu purta imagini în ring (adică nu te etala în fața oamenilor cum judeci și gândești la zei).

Cernov Maxim

Un proiect de geometrie, conceput sub forma unei prezentări pe tema „Teorema lui Pitagora și diverse metode de demonstrare a acesteia”

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Teorema lui Pitagora și diverse metode de demonstrare a acesteia Completat de: Chernov Maxim 8A

Scopul proiectului: Prezentarea teoremei lui Pitagora și prezentarea diferitelor modalități de demonstrare a acesteia.

Istorie Cartea antică chineză Zhou Bi Xuan Jing vorbește despre un triunghi pitagoreic cu laturile 3, 4 și 5. Aceeași carte oferă un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara. Moritz Cantor (cel mai important istoric german al matematicii) crede că egalitatea 3² + 4² = 5² era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr., în timpul regelui Amenemhat I (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Potrivit lui Cantor, harpedonapții, sau „trăgătorii de frânghii”, construiau unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile de 3, 4 și 5. Metoda lor de construcție poate fi reprodusă foarte ușor. Să luăm o frânghie de 12 m lungime și să legăm de ea o bandă colorată la o distanță de 3 m de un capăt și 4 metri de celălalt. Unghiul drept va fi între laturile de 3 și 4 metri lungime. S-ar putea obiecta harpedonaptienilor că metoda lor de construcție devine de prisos dacă se folosește, de exemplu, un pătrat de lemn, care este folosit de toți dulgherii. Într-adevăr, se cunosc desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene care înfățișează un atelier de tâmplărie. Se cunosc ceva mai multe despre teorema lui Pitagora la babilonieni. Un text datând din vremea lui Hammurabi, adică 2000 î.Hr., oferă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel. Din aceasta putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri. Bazându-se, pe de o parte, pe nivelul actual de cunoștințe despre matematica egipteană și babiloniană și, pe de altă parte, pe un studiu critic al surselor grecești, Van der Varden (matematician olandez) a concluzionat că există o mare probabilitate ca teorema pe pătratul ipotenuzei era cunoscută în Babilon deja în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e. Potrivit comentariului lui Proclus despre Euclid, Pitagora (ai cărui ani sunt în general considerați a fi 570-490 î.Hr.) a folosit metode algebrice pentru a găsi tripleți pitagoreici. Cu toate acestea, Proclu a scris între 410 și 485. n. e. Thomas Little Heath credea că nu există nicio referință explicită, datând din cele 5 secole de la moartea lui Pitagora, că Pitagora a fost autorul teoremei. Cu toate acestea, atunci când autori precum Plutarh și Cicero scriu despre teorema lui Pitagora, ei scriu ca și cum paternitatea lui Pitagora ar fi fost larg cunoscută și fără îndoială: „Dacă această formulă îi aparține lui Pitagora personal..., dar putem presupune cu încredere că îi aparține perioada matematicii pitagoreice”. Potrivit legendei, Pitagora a sărbătorit descoperirea teoremei sale cu un festin gigantic, sacrificând o sută de tauri pentru a sărbători. În jurul anului 400 î.Hr. î.Hr., conform lui Proclu, Platon a oferit o metodă pentru găsirea tripleților pitagoreici, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora a apărut în Elementele lui Euclid.

Formulări: Formulare geometrică: Inițial, teorema a fost formulată după cum urmează: Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. Formulare algebrică: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor. Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu, iar lungimile catetelor cu a și b: a2+b2=c2 Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Demonstrații În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil, teorema lui Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de demonstrații. O astfel de diversitate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie. Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai cunoscute dintre ele: dovezi prin metoda zonei, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri similare Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre demonstrațiile construite direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri. Fie ABC un triunghi dreptunghic cu unghi drept C. Să tragem înălțimea din C și să notăm baza ei cu H. Triunghiul ACH este similar cu triunghiul ABC în două unghiuri. La fel, triunghiul CBH este similar cu ABC. Prin introducerea notației obținem Ce este echivalent Adăugând, obținem sau, care este ceea ce trebuia să dovedim

Demonstrații folosind metoda zonei Următoarele dovezi, în ciuda simplității lor aparente, nu sunt deloc atât de simple. Toate folosesc proprietățile ariei, a cărei demonstrație este mai complexă decât demonstrația teoremei lui Pitagora în sine.Demonstrarea prin echicomplementaritate Să aranjam patru triunghiuri dreptunghice egale așa cum se arată în figura 1. Un patrulater cu laturile c este un pătrat, deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90°, iar un unghi drept este de 180°. Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu latura (a + b), iar pe de altă parte, cu suma ariilor celor patru triunghiuri și zona pătratului interior. Q.E.D. .

Dovada lui Euclid Ideea demonstrației lui Euclid este următoarea: să încercăm să demonstrăm că jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe catete și apoi ariile pătratelor mari și ale celor două pătrate mici sunt egale. Să ne uităm la desenul din stânga. Pe el am construit pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic și am desenat o rază s de la vârful unghiului drept C perpendicular pe ipotenuza AB, ea taie pătratul ABIK, construit pe ipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și HAKJ, respectiv. Se pare că ariile acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu ariile pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare. Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK. Pentru a face acest lucru, vom folosi o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca și dreptunghiul dat este egală cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimii. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (neprezentată în figură), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK. Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstrați egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului conform proprietății de mai sus). Această egalitate este evidentă: triunghiurile sunt egale pe ambele părți și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK, AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri din întrebarea va coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°). Raționamentul pentru egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet similar. Astfel, am demonstrat că aria unui pătrat construit pe ipotenuză este compusă din ariile pătratelor construite pe catete. Ideea din spatele acestei dovezi este ilustrată în continuare de animația de mai sus. Această dovadă este numită și „pantaloni pitagoreici”.

Dovada lui Leonardo da Vinci Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea. Să luăm în considerare desenul, după cum se poate vedea din simetrie, segmentul taie pătratul în două părți identice (deoarece triunghiurile sunt egale în construcție). Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului, vedem egalitatea figurilor umbrite și. Acum este clar că aria figurii pe care am umbrit-o este egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor mici (construite pe picioare) și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului mare (construit pe ipotenuză) plus aria triunghiului original. Astfel, jumătate din suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu jumătate din aria pătratului mare și, prin urmare, suma ariilor pătratelor construite pe picioare este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză.

Semnificația teoremei lui Pitagora Teorema lui Pitagora este una dintre principalele și, s-ar putea spune, cea mai importantă teoremă de geometrie. Semnificația sa constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi deduse din ea sau cu ajutorul ei.

Vă mulțumim pentru atenție!