Propriedades de retas e planos no espaço. Linhas retas e planos no espaço

Observações preliminares

1. Na estereometria, estudam-se corpos geométricos e figuras espaciais, cujos pontos nem todos estão no mesmo plano. As figuras espaciais são representadas no desenho usando desenhos que produzem aproximadamente a mesma impressão no olho que a própria figura. Esses desenhos são feitos de acordo com certas regras baseadas nas propriedades geométricas das figuras.
Uma das maneiras de representar figuras espaciais em um plano será indicada posteriormente (§ 54-66).

CAPÍTULO UM RETAS E PLANOS

I. DETERMINANDO A POSIÇÃO DO AVIÃO

2. Imagem de um avião. Na vida cotidiana, muitos objetos cuja superfície se assemelha a um plano geométrico têm a forma de um retângulo: a encadernação de um livro, o vidro de uma janela, a superfície de uma mesa, etc. ângulo e de uma grande distância, parecem-nos ter a forma de um paralelogramo. Portanto, é costume representar o plano no desenho como um paralelogramo 1. Este plano é geralmente designado por uma letra, por exemplo “plano M” (Fig. 1).

1 Junto com a imagem indicada do avião, também é possível como nos desenhos 15-17, etc.
(Nota do editor)

3. Propriedades básicas do plano. Indiquemos as seguintes propriedades do plano, que são aceitas sem prova, ou seja, são axiomas:

1) Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então cada ponto dessa reta pertence ao plano.

2) Se dois planos têm um ponto comum, eles se cruzam ao longo de uma linha reta que passa por esse ponto.

3) Através de quaisquer três pontos que não estejam na mesma linha, um plano pode ser traçado, e apenas um.

4. Consequências. Os seguintes corolários podem ser deduzidos da última frase:

1) Através de uma linha reta e de um ponto fora dela, você pode desenhar um plano (e apenas um). Na verdade, um ponto fora de uma linha, juntamente com cerca de dois pontos nesta linha, constituem três pontos através dos quais um plano (e ainda por cima) pode ser traçado.

2) Através de duas linhas que se cruzam você pode desenhar um plano (e apenas um). Com efeito, tomando o ponto de intersecção e mais um ponto em cada reta, teremos três pontos através dos quais podemos traçar um plano (e, além disso, um).

3) Apenas um plano pode ser traçado através de duas linhas paralelas. Na verdade, as linhas paralelas, por definição, estão no mesmo plano; este plano é único, pois no máximo um plano pode ser traçado através de um dos paralelos e de algum ponto do outro.

5. Rotação do avião em torno de uma linha reta. Através de cada linha reta no espaço pode-se desenhar um número infinito de planos.

Na verdade, vamos dar-nos uma linha reta A (Figura 2).

Vamos pegar algum ponto A fora dele. Através do ponto A e da linha reta A passa por um único plano (§4). Vamos chamá-lo de plano M. Pegue um novo ponto B fora do plano M. Através do ponto B e da linha reta A por sua vez, passa pelo avião. Vamos chamá-lo de plano N. Ele não pode coincidir com M, pois contém o ponto B, que não pertence ao plano M. Podemos então tomar outro novo ponto C no espaço fora dos planos M e N. Através do ponto C e da reta A um novo avião passa. Vamos chamá-lo de P. Não coincide nem com M nem com N, pois contém um ponto C que não pertence nem ao plano M nem ao plano N. Continuando a tomar cada vez mais novos pontos no espaço, obteremos mais e mais novos pontos desta forma e novos planos passando por esta linha A . Haverá um número incontável de tais aviões. Todos esses planos podem ser considerados como diferentes posições do mesmo plano, que gira em torno de uma linha reta A .

Podemos, portanto, expressar mais uma propriedade de um plano: um plano pode girar em torno de qualquer linha reta situada neste plano.

6. Problemas de construção no espaço. Todas as construções feitas em planimetria foram realizadas em um plano utilizando ferramentas de desenho. Para construções no espaço, as ferramentas de desenho tornam-se inadequadas, pois é impossível desenhar figuras no espaço. Além disso, ao construir no espaço, surge outro novo elemento - um plano, cuja construção no espaço não pode ser realizada por meios tão simples como construir uma linha reta sobre um plano.

Portanto, ao construir no espaço, é necessário determinar com precisão o que significa realizar esta ou aquela construção e, em particular, o que significa construir um plano no espaço. Em todas as construções no espaço assumiremos:

1) que um plano pode ser construído se forem encontrados os elementos que determinam sua posição no espaço (§ 3 e 4), ou seja, que podemos construir um plano passando por três pontos dados, por uma reta e um ponto fora dela, por duas linhas que se cruzam ou duas paralelas;

2) que se dois planos que se cruzam são dados, então a linha de sua intersecção também é dada, ou seja, que podemos encontrar a linha de intersecção de dois planos;

3) que se um plano é dado no espaço, então podemos realizar nele todas as construções que foram realizadas na planimetria.

Realizar qualquer construção no espaço significa reduzi-la a um número finito das construções básicas que acabamos de indicar. Com a ajuda destas tarefas básicas, problemas mais complexos podem ser resolvidos.

Essas sentenças resolvem problemas que envolvem construção em estereometria.

7. Um exemplo de problema de construção no espaço.
Tarefa. Encontre o ponto de intersecção de uma determinada linha A (Fig. 3) com um determinado plano R.

Tomemos algum ponto A do plano P. Através do ponto A e da reta A desenhe o plano Q. Ele cruza o plano P ao longo de uma certa linha reta b . No plano Q encontramos o ponto C da intersecção das retas A E b . Este ponto será o que procuramos. Se direto A E b forem paralelos, então o problema não terá solução.

40. Conceitos básicos de estereometria.

As principais figuras geométricas no espaço são um ponto, uma linha reta e um plano. A Figura 116 mostra várias figuras em

espaço. A união de diversas figuras geométricas no espaço também é uma figura geométrica; na Figura 117 a figura consiste em dois tetraedros.

Os aviões são designados por letras gregas minúsculas:

A Figura 118 mostra o plano a, as retas a e os pontos A, B e C. Diz-se que o ponto A e a reta a estão no plano a ou pertencem a ele. Sobre os pontos B e C e a linha 6, que não estão no plano a ou não pertencem a ele.

A introdução da figura geométrica básica - o plano - obriga-nos a expandir o sistema de axiomas. Listamos os axiomas que expressam as propriedades básicas dos planos no espaço. Esses axiomas são designados no manual pela letra C.

Qualquer que seja o plano, existem pontos que pertencem a este plano e pontos que não pertencem a ele.

Na Figura 118, o ponto A pertence ao plano a, mas os pontos B e C não pertencem a ele.

Se dois planos diferentes têm um ponto comum, então eles se cruzam em linha reta.

Na Figura 119, dois planos diferentes a e P possuem um ponto comum A, o que significa que, segundo o axioma, existe uma reta pertencente a cada um desses planos. Além disso, se algum ponto pertence a ambos os planos, então pertence à reta a. Diz-se que os planos a e, neste caso, se cruzam ao longo da linha reta a.

Se duas linhas diferentes têm um ponto comum, então um plano pode ser traçado através delas, e apenas um.

A Figura 120 mostra duas retas diferentes a e tendo um ponto comum O, o que significa que, pelo axioma, existe um plano a contendo retas a e. Além disso, pelo mesmo axioma, o plano a é único.

Esses três axiomas complementam os axiomas da planimetria discutidos no Capítulo I. Todos eles juntos são um sistema de axiomas da geometria.

Usando esses axiomas, pode-se provar os primeiros teoremas da estereometria.

T.2.1. Através de uma linha reta e de um ponto que não está sobre ela, você pode desenhar um plano, e apenas um.

T.2.2. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence a esse plano.

T.2.3. Através de três pontos que não estão na mesma reta, é possível traçar um plano, e apenas um.

Exemplo 1. Dado um plano a. Prove que existe uma reta que não está no plano a e o intercepta.

Solução. Tomemos o ponto A no plano a, o que pode ser feito segundo o axioma C. Segundo o mesmo axioma, existe um ponto B que não pertence ao plano a. Uma linha reta pode ser traçada através dos pontos A e B (axioma). A linha reta não está no plano a e o cruza (no ponto A).

Duas linhas no espaço são paralelas se estiverem no mesmo plano e não se cruzarem.

Duas linhas retas no espaço se cruzam se não houver nenhum plano em que ambas se encontrem.

Sinal de cruzamento de linhas. Se uma das duas retas estiver em um determinado plano e a outra reta cruzar esse plano em um ponto que não pertence à primeira reta, então essas retas se cruzam.

Um plano e uma reta que não pertence ao plano são paralelos se não tiverem pontos comuns.

Um sinal de paralelismo entre uma linha e um plano. Se uma reta que não pertence ao plano é paralela a qualquer reta que pertence ao plano, então ela também é paralela ao plano.

Propriedades de um plano e de uma reta paralela ao plano:

1) se um plano contém uma reta paralela a outro plano e cruza este plano, então a reta de intersecção dos planos é paralela a esta reta;

2) se planos que se cruzam são traçados através de cada uma das duas linhas paralelas, então a linha de sua intersecção é paralela a essas linhas.

Dois planos são paralelos se não tiverem pontos comuns.

Um sinal de paralelismo de planos, se duas linhas que se cruzam de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas que se cruzam de outro plano, então esses planos são paralelos.

Uma linha é perpendicular a um plano se for perpendicular a qualquer linha pertencente ao plano.

Sinal de perpendicularidade de uma reta e de um plano: se uma reta é perpendicular a duas retas que se cruzam em um plano, então ela é perpendicular ao plano.

Propriedades de uma linha perpendicular a um plano.

1) se uma das duas retas paralelas é perpendicular a um plano, então a outra reta é perpendicular a esse plano;

2) uma linha reta perpendicular a um dos dois planos paralelos também é perpendicular ao outro plano.

Um sinal de perpendicularidade dos planos. Se um plano contém uma perpendicular a outro plano, então ele é perpendicular a esse plano.

Uma linha reta que cruza um plano, mas não é perpendicular a ele, é chamada de inclinada ao plano.

Teorema das três perpendiculares. Para que uma linha reta situada em um plano seja perpendicular a uma linha inclinada, é necessário e suficiente que seja perpendicular à projeção dessa linha inclinada no plano.

Na Figura 1 há uma linha reta b− inclinado para o plano, reto c- projeção deste plano inclinado e desde A┴ Com, Que a┴ b

O ângulo entre o inclinado e o plano é o ângulo entre o inclinado e sua projeção no plano. Na Figura 2 há uma linha reta b- inclinado para o plano, reto aé a projeção deste plano inclinado no plano, α é o ângulo entre este plano inclinado e o plano.

Um ângulo diédrico é formado pela intersecção de dois planos. A linha reta obtida como resultado da intersecção de dois planos é chamada de aresta do ângulo diédrico. Dois semiplanos com uma aresta comum são chamados de faces de um ângulo diédrico.

Um semiplano cujo limite coincide com a aresta de um ângulo diédrico e que divide o ângulo diédrico em dois ângulos iguais é chamado de plano bissetor.

O ângulo diédrico é medido pelo ângulo linear correspondente. O ângulo linear de um ângulo diédrico é o ângulo entre as perpendiculares traçadas em cada face até a aresta.

Prisma

Um poliedro cujas duas faces são iguais n- quadrados situados em planos paralelos e o resto n faces são paralelogramos, chamados n- prisma de carbono.

Dois n- os quadrados são as bases do prisma, os paralelogramos são as faces laterais. Os lados das faces são chamados de arestas do prisma e as extremidades das arestas são chamadas de vértices do prisma.

A altura de um prisma é o segmento perpendicular entre as bases do prisma.

A diagonal de um prisma é um segmento que conecta dois vértices das bases que não estão na mesma face.

Um prisma reto é um prisma cujas bordas laterais são perpendiculares aos planos das bases (Fig. 3).

Um prisma inclinado é um prisma cujas nervuras laterais estão inclinadas em relação aos planos das bases (Fig. 4).

O volume e a área superficial de um prisma de altura h são encontrados usando as fórmulas:

A área da superfície lateral de um prisma reto pode ser calculada usando a fórmula.

Volume e área de superfície O prisma inclinado (Fig. 4) também pode ser calculado de forma diferente: onde ΔPNK é a seção perpendicular à aresta l.

Um prisma regular é um prisma reto cuja base é um polígono regular.

Um paralelepípedo é um prisma cujas faces são paralelogramos.

Um paralelepípedo cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases é denominado paralelepípedo reto.

Um paralelepípedo retangular é um paralelepípedo reto cuja base é um retângulo.

Propriedade da diagonal de um cubóide

O quadrado da diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões: d² = a² + b² + c², onde abc- o comprimento das arestas que emergem de um vértice, d- diagonal do paralelepípedo (Fig. 3).

O volume de um paralelepípedo retangular é encontrado usando a fórmula V = abc.

Um cubo é um paralelepípedo retangular com arestas iguais. Todas as faces de um cubo são quadradas.

O volume, a área de superfície e a diagonal de um cubo com aresta são encontrados usando as fórmulas:

V = a³, S = 6a² d² = 3 a².

Pirâmide

Um poliedro, cuja face é um polígono e as faces restantes são triângulos com um vértice comum, é chamado de pirâmide. O polígono é chamado de base da pirâmide e os triângulos são chamados de faces laterais.

A altura de uma pirâmide é um segmento perpendicular traçado do topo da pirâmide ao plano da base.

Se todas as arestas laterais da pirâmide forem iguais ou inclinadas em relação ao plano da base no mesmo ângulo, então a altura cai para o centro do círculo circunscrito.

Se as faces laterais da pirâmide estiverem inclinadas em relação ao plano da base no mesmo ângulo (os ângulos diédricos na base são iguais), então a altura cai para o centro do círculo inscrito.

Uma pirâmide é chamada regular se sua base for um polígono regular e sua altura cair no centro do círculo inscrito e circunscrito do polígono situado na base da pirâmide. A altura da face lateral de uma pirâmide regular, traçada a partir de seu vértice, é chamada de apótema.

Por exemplo, a Figura 5 mostra uma pirâmide triangular regular SABC(tetraedro): AB= a.C.= A.C.= a, DO = r- raio de um círculo inscrito em um triângulo abc, O.A.=R- raio do círculo circunscrito ao triângulo abc, ENTÃO=h- altura

pirâmides, SD = eu- apótema, - ângulo de inclinação da lateral

costelas S.A. ao plano da base, - ângulo de inclinação da face lateral SBC ao plano da base da pirâmide.

Uma pirâmide triangular é chamada de tetraedro. Um tetraedro é dito regular se todas as suas arestas são iguais.

O volume da pirâmide e sua área de superfície são encontrados usando as fórmulas:

Onde h- altura da pirâmide.

Área da superfície lateral de uma pirâmide regular encontrado pela fórmula , onde está o apótema da pirâmide.

Uma pirâmide truncada é um poliedro cujos vértices são os vértices da base da pirâmide e os vértices de sua seção por um plano paralelo à base da pirâmide. As bases de uma pirâmide truncada são polígonos semelhantes.

O volume de uma pirâmide truncada é encontrado pela fórmula , onde e são as áreas das bases, h é a altura da pirâmide truncada.

Poliedros regulares

Um poliedro regular é um poliedro convexo no qual todas as faces são polígonos regulares com o mesmo número de lados e o mesmo número de arestas convergem em cada vértice do poliedro.

As faces de um poliedro regular podem ser triângulos equiláteros, quadrados ou pentágonos regulares.

Se um poliedro regular tem faces que são triângulos regulares, então os poliedros correspondentes são um tetraedro regular (tem 4 faces), um octaedro regular (tem 8 faces), um icosaedro regular (tem 20 faces).

Se um poliedro regular tiver faces quadradas, então o poliedro é chamado de cubo ou hexaedro (tem 6 faces).

Se um poliedro regular tiver faces pentagonais regulares, então o poliedro é chamado de dodecaedro (tem 12 faces).

Cilindro

Um cilindro é uma figura obtida girando um retângulo em torno de um de seus lados.

Na Figura 6, a reta é o eixo de rotação; - altura, eu- formando; ABCD- seção axial de um cilindro obtida girando um retângulo em torno de seu lado. O volume e a área superficial do cilindro são encontrados usando as fórmulas:

, , , , Onde R- raio base, h- altura, eu- geratriz do cilindro.

Cone

Um cone é uma figura obtida girando um triângulo retângulo em torno de uma de suas pernas. Na Figura 7 há uma linha reta O.B.- eixo de rotação; O.B. = h- altura, eu- gerador;Δ abc- seção axial de um cone obtida pela rotação de um triângulo retângulo OBC ao redor da perna O.B..

AVIÃO.

Definição. Qualquer vetor diferente de zero perpendicular ao plano é chamado de vetor normal, e é designado .

Definição. Uma equação plana da forma em que os coeficientes são números reais arbitrários que não são iguais a zero ao mesmo tempo é chamada equação geral do plano.

Teorema. A equação define um plano que passa por um ponto e possui um vetor normal.

Definição. Ver equação do plano

Onde – números reais arbitrários diferentes de zero são chamados equação do plano em segmentos.

Teorema. Let Ser a equação do plano em segmentos. Então estão as coordenadas dos pontos de sua intersecção com os eixos coordenados.

Definição. A equação geral do plano é chamada normalizado ou normal equação plana se

E .

Teorema. A equação normal de um plano pode ser escrita na forma onde é a distância da origem ao plano dado e são os cossenos de direção de seu vetor normal ).

Definição. Fator de normalização a equação geral do plano é chamada de número – onde o sinal é escolhido oposto ao sinal do termo livre D.

Teorema. Let Ser o fator de normalização da equação geral do plano. Então a equação – é uma equação normalizada do plano dado.

Teorema. Distância d do ponto avião .

A posição relativa de dois planos.

Dois planos coincidem, são paralelos ou se cruzam em linha reta.

Teorema. Sejam os planos especificados por equações gerais: . Então:

1) se , então os planos coincidem;

2) se , então os planos são paralelos;

3) se ou, então os planos se cruzam ao longo de uma linha reta, cuja equação é o sistema de equações: .

Teorema. Sejam os vetores normais de dois planos, então um dos dois ângulos entre esses planos é igual a :.

Consequência. Deixar ,são os vetores normais de dois planos dados. Se for o produto escalar, os planos dados são perpendiculares.

Teorema. Sejam dadas as coordenadas de três pontos diferentes no espaço de coordenadas:

Então a equação –é a equação do plano que passa por esses três pontos.

Teorema. Sejam dadas as equações gerais de dois planos que se cruzam: e. Então:

– equação do plano bissetor de um ângulo diédrico agudo, formado pela intersecção desses planos;

– equação do plano bissetor de um ângulo diédrico obtuso.

Pacote e pacote de aviões.

Definição. Um monte de aviõesé o conjunto de todos os planos que possuem um ponto comum, que é chamado centro do ligamento.

Teorema. Sejam três planos com um único ponto comum. Então a equação onde existem parâmetros reais arbitrários que são simultaneamente diferentes de zero é equação do pacote plano.

Teorema. A equação onde parâmetros reais arbitrários que não são iguais a zero ao mesmo tempo é equação de um feixe de planos com o centro do feixe no ponto .

Teorema. Sejam dadas as equações gerais de três planos:

são seus vetores normais correspondentes. Para que três planos dados se cruzem num único ponto, é necessário e suficiente que o produto misto dos seus vetores normais não seja igual a zero:

Neste caso, as coordenadas do seu único ponto comum são a única solução do sistema de equações:

Definição. Um monte de aviõesé o conjunto de todos os planos que se cruzam ao longo da mesma linha reta, denominado eixo da viga.

Teorema. Sejam dois planos que se cruzam em linha reta. Então a equação, onde estão parâmetros reais arbitrários que são simultaneamente diferentes de zero, é equação de um lápis de planos com eixo de feixe

DIRETO.

Definição. Qualquer vetor diferente de zero colinear a uma determinada reta é chamado de vetor guia, e é denotado

Teorema. equação paramétrica de uma linha reta no espaço: onde estão as coordenadas de um ponto fixo arbitrário de uma determinada linha, são as coordenadas correspondentes de um vetor de direção arbitrário de uma determinada linha, são um parâmetro.

Consequência. O seguinte sistema de equações é a equação de uma reta no espaço e é chamado equação canônica da reta no espaço: onde estão as coordenadas de um ponto fixo arbitrário de uma determinada linha, são as coordenadas correspondentes de um vetor de direção arbitrário de uma determinada linha.

Definição. Equação de linha canônica da forma - chamado a equação canônica de uma reta que passa por dois pontos dados diferentes

A posição relativa de duas linhas no espaço.

Existem 4 casos possíveis de localização de duas linhas no espaço. As linhas podem coincidir, ser paralelas, cruzar-se em um ponto ou cruzar-se.

Teorema. Sejam dadas as equações canônicas de duas retas:

onde estão seus vetores de direção e são pontos fixos arbitrários situados em linhas retas, respectivamente. Então:

E ;

e pelo menos uma das igualdades não é satisfeita

;

, ou seja

4) retas cruzadas, se , ou seja

Teorema. Deixar

– duas linhas retas arbitrárias no espaço, especificadas por equações paramétricas. Então:

1) se o sistema de equações

tem uma solução única: as linhas se cruzam em um ponto;

2) se um sistema de equações não tem soluções, então as linhas são cruzadas ou paralelas.

3) se um sistema de equações tiver mais de uma solução, então as retas coincidem.

A distância entre duas linhas retas no espaço.

Teorema.(Fórmula para a distância entre duas linhas paralelas.): Distância entre duas linhas paralelas

Onde está seu vetor de direção comum, os pontos nessas linhas podem ser calculados usando a fórmula:

ou

Teorema.(Fórmula para a distância entre duas linhas que se cruzam.): Distância entre duas linhas que se cruzam

pode ser calculado usando a fórmula:

Onde – módulo do produto misto de vetores de direção E e vetor, – o módulo do produto vetorial dos vetores de direção.

Teorema. Sejam as equações de dois planos que se cruzam. Então o seguinte sistema de equações é a equação da linha reta ao longo da qual esses planos se cruzam: . O vetor de direção desta linha pode ser o vetor , Onde ,– vetores normais desses planos.

Teorema. Seja dada a equação canônica de uma reta: , Onde . Então o seguinte sistema de equações é a equação de uma determinada reta definida pela intersecção de dois planos: .

Teorema. Equação de uma perpendicular largada de um ponto diretamente parece onde estão as coordenadas do produto vetorial e são as coordenadas do vetor de direção desta linha. O comprimento da perpendicular pode ser encontrado usando a fórmula:

Teorema. A equação da perpendicular comum de duas linhas oblíquas é: Onde.

A posição relativa de uma linha reta e de um plano no espaço.

Existem três casos possíveis de posição relativa de uma linha no espaço e no plano:

Teorema. Seja o plano dado por uma equação geral, e a reta dada por equações canônicas ou paramétricas ou, onde vetor é o vetor normal do plano são as coordenadas de um ponto fixo arbitrário da linha e são as coordenadas correspondentes de um vetor direcionador arbitrário da linha. Então:

1) se , então a reta intercepta o plano em um ponto cujas coordenadas podem ser encontradas no sistema de equações

2) se e, então a reta está no plano;

3) se e, então a reta é paralela ao plano.

Consequência. Se o sistema (*) tiver uma solução única, então a reta intercepta o plano; se o sistema (*) não tiver soluções, então a reta é paralela ao plano; se o sistema (*) tiver infinitas soluções, então a linha reta está no plano.

Resolvendo problemas típicos.

Tarefa №1 :

Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto paralelo aos vetores

Vamos encontrar o vetor normal do plano desejado:

= =

Como vetor normal do plano, podemos tomar o vetor, então a equação geral do plano terá a forma:

Para encontrar , é necessário substituir nesta equação as coordenadas de um ponto pertencente ao plano.

Tarefa №2 :

Duas faces de um cubo estão em planos e calcule o volume deste cubo.

É óbvio que os planos são paralelos. O comprimento da aresta de um cubo é a distância entre os planos. Escolha um ponto arbitrário no primeiro plano: encontre-o.

Vamos encontrar a distância entre os planos como a distância do ponto ao segundo plano:

Então, o volume do cubo é igual a ()

Tarefa №3 :

Encontre o ângulo entre as faces da pirâmide e seus vértices

O ângulo entre planos é o ângulo entre os vetores normais a esses planos. Vamos encontrar o vetor normal do plano: [,];

, ou

Da mesma maneira

Tarefa №4 :

Componha a equação canônica da reta .

Então,

O vetor é perpendicular à reta, portanto,

Portanto, a equação canônica da reta terá a forma .

Tarefa №5 :

Encontre a distância entre as linhas

E .

As linhas são paralelas porque seus vetores de direção são iguais. Deixe o ponto pertence à primeira linha e o ponto está na segunda linha. Vamos encontrar a área de um paralelogramo construído sobre vetores.

[,];

A distância necessária é a altura do paralelogramo abaixado do ponto:

Tarefa №6 :

Calcule a distância mais curta entre as linhas:

Vamos mostrar que as linhas distorcidas, ou seja, vetores que não pertencem ao mesmo plano: ≠ 0.

1 maneira:

Através da segunda linha desenhamos um plano paralelo à primeira linha. Para o plano desejado, são conhecidos os vetores e pontos pertencentes a ele. O vetor normal de um plano é o produto vetorial de vetores e, portanto .

Assim, podemos tomar um vetor como vetor normal do plano, então a equação do plano terá a forma: sabendo que o ponto pertence ao plano, escreveremos a equação:

A distância necessária - esta distância do ponto da primeira linha reta ao plano é encontrada pela fórmula:

13.

Método 2:

Usando os vetores , construiremos um paralelepípedo.

A distância necessária é a altura do paralelepípedo baixado do ponto até sua base, construída sobre vetores.

Resposta: 13 unidades.

Tarefa №7 :

Encontre a projeção de um ponto em um plano

O vetor normal de um plano é o vetor de direção de uma linha reta:

Vamos encontrar o ponto de intersecção da linha

e aviões:

.

Substituindo planos na equação, encontramos, e então

Comente. Para encontrar um ponto simétrico a um ponto em relação ao plano, você precisa (semelhante ao problema anterior) encontrar a projeção do ponto no plano e, a seguir, considerar o segmento com início e meio conhecidos, usando as fórmulas ,,.

Tarefa №8 :

Encontre a equação de uma perpendicular deixada cair de um ponto em uma linha .

1 maneira:

Método 2:

Vamos resolver o problema da segunda maneira:

O plano é perpendicular a uma determinada reta, então o vetor direção da reta é o vetor normal do plano. Conhecendo o vetor normal do plano e um ponto do plano, escrevemos sua equação:

Vamos encontrar o ponto de intersecção do plano e a reta escrita parametricamente:

,

Vamos criar uma equação para uma reta que passa pelos pontos e:

.

Responder: .

Os seguintes problemas podem ser resolvidos da mesma maneira:

Tarefa №9 :

Encontre um ponto simétrico a um ponto relativo a uma linha reta .

Tarefa №10 :

Dado um triângulo com vértices Encontre a equação da altura abaixada do vértice para o lado.

O processo de solução é completamente semelhante aos problemas anteriores.

Responder: .

Tarefa №11 :

Encontre a equação de uma perpendicular comum a duas retas: .

0.

Considerando que o plano passa pelo ponto, escrevemos a equação deste plano:

O ponto pertence, então a equação do plano assume a forma:.

Responder:

Tarefa №12 :

Escreva a equação de uma reta que passa por um ponto e cruza as retas .

A primeira linha passa pelo ponto e possui um vetor de direção; o segundo passa pelo ponto e tem um vetor de direção

Vamos mostrar que essas retas são distorcidas; para isso comporemos um determinante cujas retas são as coordenadas dos vetores ,, , os vetores não pertencem ao mesmo plano.

Vamos desenhar um plano através do ponto e da primeira linha reta:

Seja um ponto arbitrário do plano, então os vetores são coplanares. A equação plana tem a forma :.

Da mesma forma, criamos uma equação para o plano que passa pelo ponto e pela segunda reta: 0.

A linha reta desejada é a intersecção de planos, ou seja....

O resultado educacional após o estudo deste tema é a formação dos componentes indicados na introdução, um conjunto de competências (saber, ser capaz, dominar) em dois níveis: inicial e avançado. O nível limite corresponde a uma classificação “satisfatória”, o nível avançado corresponde a uma classificação “bom” ou “excelente”, dependendo dos resultados das atribuições de casos de defesa.

Para diagnosticar independentemente esses componentes, são oferecidas as seguintes tarefas.

INTRODUÇÃO

Capítulo 1. Avião no espaço

1 Ponto de intersecção de uma reta com um plano

1 Vários casos de posição de uma linha no espaço

2Ângulo entre uma reta e um plano

CONCLUSÃO

LISTA DE FONTES UTILIZADAS

INTRODUÇÃO

Qualquer equação de primeiro grau em relação às coordenadas x, y, z

Por + Cz +D = 0

define um plano e vice-versa: qualquer plano pode ser representado por uma equação, que é chamada de equação do plano.

O vetor n (A, B, C) ortogonal ao plano é chamado de vetor normal do plano. Na equação, os coeficientes A, B, C não são iguais a 0. Casos especiais da equação

D = 0, Ax+By+Cz = 0 - o plano passa pela origem.

C = 0, Ax+By+D = 0 - o plano é paralelo ao eixo Oz.

C = D = 0, Ax + By = 0 - o avião passa pelo eixo Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 - o plano é paralelo ao plano Oyz.

Equações de planos coordenados: x = 0, y = 0, z = 0.

Uma linha reta no espaço pode ser especificada:

) como a linha de intersecção de dois planos, ou seja, sistema de equações:

A 1 x+B 1 y+C 1 z + D 1= 0, UMA 2 x+B 2 y+C 2 z + D 2 = 0;

) por seus dois pontos M 1(x 1, sim 1, z 1) e M 2(x 2, sim 2, z 2), então a reta que passa por eles é dada pelas equações:

=;

) ponto M 1(x 1, sim 1, z 1), pertencente a ele, e o vetor a (m, n, p), colinear a ele. Então a linha reta é determinada pelas equações:

As equações são chamadas de equações canônicas da reta.

O vetor a é chamado de vetor diretor da linha.

Obtemos equações paramétricas de uma linha reta igualando cada uma das razões ao parâmetro t:

X 1+mt, y = y 1+nt, z = z1 + ponto.

Resolvendo o sistema como um sistema de equações lineares para as incógnitas x e y, chegamos às equações da reta nas projeções ou às equações reduzidas da reta:

Mz + a, y = nz + b

Das equações você pode passar para as equações canônicas encontrando z de cada equação e igualando os valores resultantes:

Das equações gerais (3.2) você pode passar para as canônicas de outra forma, se encontrar algum ponto nesta reta e seu vetor diretor n = , onde n 1(A 1,B 1, C 1) e n 2(A 2,B 2, C 2) - vetores normais de determinados planos. Se um dos denominadores m, n ou p nas equações (3.4) for igual a zero, então o numerador da fração correspondente deve ser igual a zero, ou seja, sistema

é equivalente ao sistema ; tal linha reta é perpendicular ao eixo do Boi.

Sistema é equivalente ao sistema x = x 1,s = s 1; a linha reta é paralela ao eixo Oz.

Objetivo do trabalho do curso:estudar linhas retas e planos no espaço.

Objetivos do curso:considere um plano no espaço, sua equação, e também considere um plano no espaço.

Estrutura do curso:introdução, 2 capítulos, conclusão, lista de fontes utilizadas.

Capítulo 1. Avião no espaço

.1 Ponto de intersecção de uma linha reta e um plano

Seja o plano Q dado por uma equação geral: Ax+By+Cz+D=0, e a reta L na forma paramétrica: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, então para encontrar o ponto de intersecção da reta L e do plano Q, é necessário encontrar o valor do parâmetro t no qual o ponto da reta ficará no plano. Substituindo o valor x, y, z na equação do plano e expressando t, obtemos

O valor de t será único se a reta e o plano não forem paralelos.

Condições para paralelismo e perpendicularidade de uma linha e um plano

Considere a linha reta L:

e avião?:

Linha L e avião? :

a) perpendiculares entre si se e somente se o vetor diretor for reto e vetor normal os planos são colineares, ou seja,

b) paralelos entre si se e somente se os vetores E perpendicular, ou seja,

e Am + Bn + Ср = 0.

.2 Ângulo entre uma linha reta e um plano

Canto ?entre o vetor normal do plano e o vetor diretor da linha reta calculado pela fórmula:

Bando de aviões

O conjunto de todos os planos que passam por uma determinada linha reta L é chamado de feixe de planos, e a linha reta L é chamada de eixo do feixe. Deixe o eixo do feixe ser dado pelas equações

Multiplicamos a segunda equação do termo do sistema pela constante e a adicionamos à primeira equação:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Esta equação tem o primeiro grau em relação a x, y, z e, portanto, para qualquer valor numérico ?define um plano. Como esta equação é consequência de duas equações, as coordenadas de um ponto que satisfaça essas equações também satisfarão esta equação. Portanto, para qualquer valor numérico ?Esta equação é a equação de um plano que passa por uma determinada linha. A equação resultante é equação de um lápis de planos.

Exemplo.Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M 1(2, -3, 4) paralelo às linhas retas

Solução.Vamos escrever a equação para vários planos que passam por um determinado ponto M1 :

A (x - 2) + B (y + 3) + C (z - 4) = 0.

Como o plano desejado deve ser paralelo a essas retas, seu vetor normal deve ser perpendicular aos vetores de direção essas linhas retas. Portanto, como vetor N podemos tomar o produto vetorial de vetores:

Consequentemente, A = 4, B = 30, C = - 8. Substituindo os valores encontrados de A, B, C na equação para conectar os planos, obtemos

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 ou 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

Exemplo.Encontre o ponto de intersecção de uma linha e plano 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Solução.Vamos escrever as equações desta reta na forma paramétrica:

Vamos substituir x, y, z por essas expressões na equação do plano:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Vamos substituir t = 1 nas equações paramétricas da reta. Nós temos

Então, a reta e o plano se cruzam no ponto M(3, 2, 7).

Exemplo.Encontre o ângulo ?entre a linha reta e o plano 4x-2y-2z+7=0. Solução.Aplicamos a fórmula (3.20). Porque

Que

Por isso,? = 30°.

Uma linha reta no espaço é infinita, por isso é mais conveniente defini-la como um segmento. Do curso escolar de geometria euclidiana, conhece-se o axioma: “através de dois pontos no espaço pode-se traçar uma linha reta e, além disso, apenas uma”. Conseqüentemente, uma linha reta em um diagrama pode ser especificada por duas projeções de pontos frontais e duas horizontais. Mas como uma linha reta é uma linha reta (e não uma curva), então com razão podemos conectar esses pontos com um segmento de linha reta e obter as projeções frontal e horizontal da linha reta (Fig. 13).

Prova do contrário: nos planos de projeção V e H são dadas duas projeções a"b" e ab (Fig. 14). Vamos traçar planos através deles, perpendiculares aos planos de projeções V e H (Fig. 14), a linha de intersecção dos planos será a reta AB.

.1 Vários casos de posição de uma linha no espaço

Nos casos que consideramos, as retas não eram paralelas nem perpendiculares aos planos de projeção V, H, W. A maioria das retas ocupa exatamente esta posição no espaço e são chamadas de retas de posição geral. Eles podem ser ascendentes ou descendentes (descubra você mesmo).

Na Fig. A Figura 17 mostra uma reta em posição geral, definida por três projeções. Vamos considerar uma família de linhas que possuem propriedades importantes - linhas paralelas a qualquer plano de projeção.

Na Fig. A Figura 17 mostra uma reta em posição geral, definida por três projeções.

Vamos considerar uma família de linhas que possuem propriedades importantes - linhas paralelas a qualquer plano de projeção.

a) Linha reta horizontal (caso contrário - horizontal, linha reta nível horizontal). Este é o nome de uma linha reta paralela ao plano de projeção horizontal. Sua imagem no espaço e no diagrama é mostrada na Fig. 18.

A linha horizontal é fácil de reconhecer no diagrama “pessoalmente”: sua projeção frontal é sempre paralela ao eixo OX. As propriedades mais importantes da horizontal são formuladas da seguinte forma:

Na horizontal, a projeção frontal é paralela ao eixo OX, e a horizontal reflete o tamanho real. Ao longo do caminho, a projeção horizontal da linha horizontal no diagrama permite determinar o ângulo de sua inclinação em relação ao plano V (ângulo b) e ao plano W (y) - Fig.

b) A reta frontal (frontal, reta do nível frontal) é uma reta paralela ao plano frontal das projeções. Não o ilustramos com uma imagem visual, mas mostramos seus diagramas (Fig. 19).

O diagrama frontal é caracterizado pelo fato de suas projeções horizontal e de perfil serem paralelas aos eixos X e Z, respectivamente, e a projeção frontal estar localizada arbitrariamente e mostrar o tamanho natural do frontal. Ao longo do caminho, o diagrama mostra os ângulos de inclinação da linha reta em relação aos planos de projeção horizontal (a) e perfil (y). Então novamente:

Na frente - a projeção horizontal é paralela ao eixo OX, e a frontal reflete o tamanho real

c) Linha reta do perfil. Obviamente, esta é uma linha reta paralela ao plano do perfil das projeções (Fig. 20). Também é óbvio que o tamanho natural da linha reta do perfil está disponível no plano de projeção do perfil (projeção a"b" - Fig. 20) e aqui você pode ver os ângulos de sua inclinação em relação aos planos H (a) e V (b).

A próxima família de linhas, embora não tão importante quanto as linhas de nível, são as linhas projetadas.

As retas perpendiculares aos planos de projeção são chamadas de projeção (por analogia com os raios projetados - Fig. 21).

AB pl. H - reto projetando-se horizontalmente; pl. V - projeção frontal reta; quadrada. W - projeção de perfil reto.

2.2 Ângulo entre uma linha reta e um plano

plano, ângulo reto, triângulo

Método do triângulo retângulo

Uma linha reta em posição geral, como já dissemos, está inclinada em relação aos planos de projeção em algum ângulo arbitrário.

O ângulo entre uma reta e um plano é determinado pelo ângulo formado pela reta e sua projeção neste plano (Fig. 22). O ângulo a determina o ângulo de inclinação do segmento AB em relação ao quadrado. N. Da Fig. 22: Ab1 |1pl. N; Bb1 = Bb - Aa = Z Fig. 22

Em um triângulo retângulo ABb1, a perna Ab1 é igual à projeção horizontal ab; e a outra perna Bb1 é igual à diferença nas distâncias dos pontos A e B do quadrado. H. Se traçarmos uma perpendicular do ponto B na projeção horizontal da reta ab e traçarmos o valor Z nela, então conectando o ponto a com o ponto resultante b0, obtemos a hipotenusa ab0, igual ao valor natural do segmento AB. No diagrama fica assim (Fig. 23):

O ângulo de inclinação da linha reta em relação ao plano frontal das projeções (b) é determinado de forma semelhante - fig. 24.

Observação: ao construir na projeção horizontal de uma linha, adiamos o valor Z na linha auxiliar; ao plotar em uma projeção frontal - o valor Y.

O método considerado é chamado de triângulo retângulo. Com sua ajuda, você pode determinar o tamanho natural de qualquer segmento de nosso interesse, bem como os ângulos de sua inclinação em relação aos planos de projeção.

Posição mútua de linhas

Anteriormente, consideramos a questão de saber se um ponto pertence a uma linha: se um ponto pertence a uma linha, então suas projeções estão nas mesmas projeções da linha (regra de adesão, ver Fig. 14). Do curso escolar de geometria, lembremos: duas retas se cruzam em um ponto (ou: se duas retas têm um ponto comum, então elas se cruzam neste ponto).

As projeções das linhas que se cruzam no diagrama têm uma característica pronunciada: as projeções do ponto de interseção ficam na mesma linha de conexão (Fig. 25). Na verdade: o ponto K pertence tanto a AB quanto a CD; no diagrama, o ponto k" está na mesma linha de conexão com o ponto k.

Linhas diretas AB e CD - se cruzam

O próximo arranjo mútuo possível de duas linhas no espaço é que as linhas se cruzem. Isso é possível quando as linhas não são paralelas, mas também não se cruzam. Essas linhas retas sempre podem ser encerradas em dois planos paralelos (Fig. 26). Isto não significa que duas linhas que se cruzam estejam necessariamente em dois planos paralelos; mas apenas dois planos paralelos podem ser traçados através deles.

As projeções de duas linhas que se cruzam podem se cruzar, mas seus pontos de intersecção não estão na mesma linha de conexão (Fig. 27).

Ao longo do caminho, resolveremos a questão dos pontos concorrentes (Fig. 27). Na projeção horizontal vemos dois pontos (e,f), e na projeção frontal eles se fundem em um (e"f"), e não está claro qual dos pontos é visível e qual não é visível (pontos concorrentes) .

Dois pontos cujas projeções frontais coincidem são chamados de concorrentes frontais.

Consideramos um caso semelhante anteriormente (Fig. 11), ao estudar o tópico “posição mútua de dois pontos”. Portanto, aplicamos a regra:

De dois pontos concorrentes, aquele cuja coordenada for maior é considerado visível.

Da Fig. 27 pode-se observar que a projeção horizontal do ponto E (e) está mais distante do eixo OX que o ponto f. Portanto, a coordenada “Y” do ponto “e” é maior que a do ponto f; portanto, o ponto E será visível. Na projeção frontal, o ponto f" está entre colchetes como invisível.

Outra consequência: o ponto e pertence à projeção da reta ab, o que significa que na projeção frontal a reta a"b" está localizada "em cima" da reta c"d".

Linhas paralelas

As linhas paralelas em um diagrama são fáceis de reconhecer à vista, porque as projeções de duas linhas paralelas com o mesmo nome são paralelas.

Atenção: eles têm o mesmo nome! Aqueles. as projeções frontais são paralelas entre si e as horizontais são paralelas entre si (Fig. 29).

Prova: na Figura 28, duas retas paralelas AB e CD são dadas no espaço. Vamos desenhar os planos projetados Q e T através deles - eles serão paralelos (pois se duas linhas que se cruzam de um plano são paralelas a duas linhas que se cruzam de outro plano, então esses planos são paralelos).

No diagrama 30a são dadas linhas paralelas, no diagrama 30b são dadas linhas que se cruzam, embora em ambos os casos as projeções frontal e horizontal sejam mutuamente paralelas.

Existe, no entanto, uma técnica com a qual é possível determinar a posição relativa de duas linhas de perfil sem recorrer à construção de terceiras projeções. Para isso, basta conectar as extremidades das projeções com retas auxiliares, conforme mostrado na Fig. 30. Se se verificar que os pontos de intersecção dessas retas estão na mesma linha de conexão - as retas de perfil são paralelos entre si - Fig. Z0a. Caso contrário, linhas retas transversais (Fig. 306).

Casos especiais de posição de retas:

Projeções em ângulo reto

Se duas linhas gerais se cruzam em um ângulo reto, então suas projeções formam um ângulo diferente de 90° (Fig. 31).

E como quando dois planos paralelos se cruzam com um terceiro, retas paralelas são obtidas na interseção, então as projeções horizontais ab e cd são paralelas.

Se repetirmos a operação e projetarmos as retas AB e CD no plano frontal das projeções, obteremos o mesmo resultado.

Um caso especial é representado por duas retas de perfil, definidas por projeções frontal e horizontal (Fig. 30). Como foi dito, para linhas de perfil, as projeções frontal e horizontal são mutuamente paralelas, porém, com base nesta característica, é impossível julgar o paralelismo de duas linhas de perfil sem construir uma terceira projeção.

Tarefa. Construa um triângulo retângulo isósceles ABC, cuja perna BC esteja na linha MN (Fig. 34).

Solução. Fica claro no diagrama que a linha reta MN é uma linha horizontal. E de acordo com a condição, o triângulo requerido é retângulo.

Vamos usar a propriedade da projeção de um ângulo reto e diminuir a projeção perpendicular HA mn do ponto “a” (nosso ângulo reto é projetado no quadrado H sem distorção) - Fig. 35.

Como linha auxiliar traçada a partir do final do segmento perpendicularmente a este, utilizamos parte da projeção horizontal da linha, nomeadamente bm (Fig. 36). Vamos traçar nele o valor da diferença nas coordenadas Z, retirada da projeção frontal, e conectar o ponto “a” ao final do segmento resultante. Obteremos o tamanho real da perna AB (ab ; ab).

As Figuras 31 e 32 mostram duas retas de posição geral formando um ângulo de 90° entre si (na Figura 32 essas retas estão no mesmo plano P). Como você pode ver, nos diagramas o ângulo formado pelas projeções das retas não é igual a 90°.

Consideramos a projeção de um ângulo reto como uma questão separada pelo seguinte motivo:

Se um dos lados do ângulo reto for paralelo a qualquer plano de projeção, então o ângulo reto é projetado neste plano sem distorção (Fig. 33).

Não provaremos este ponto (trabalhe você mesmo), mas consideraremos as vantagens que podem ser derivadas desta regra.

Em primeiro lugar, notamos que de acordo com a condição, um dos lados de um ângulo reto é paralelo a qualquer plano de projeção, portanto, um dos lados será frontal ou horizontal (talvez uma linha reta de perfil) - Fig. 33.

E o frontal e o horizontal no diagrama são fáceis de reconhecer “à vista” (uma das projeções é necessariamente paralela ao eixo OX), ou podem ser facilmente construídos se necessário. Além disso, o frontal e o horizontal têm a propriedade mais importante: uma de suas projeções reflete necessariamente

Usando a regra de pertinência, encontramos a projeção frontal do ponto b" usando a linha de comunicação. Agora temos uma perna AB (a"b";ab).

Para colocar a perna BC no lado MN, você deve primeiro determinar o tamanho real do segmento AB (um d ; ab). Para fazer isso, usaremos a já estudada regra do triângulo retângulo.

CONCLUSÃO

Equações gerais de uma linha reta no espaço

A equação de uma linha reta pode ser considerada como a equação da linha de intersecção de dois planos. Conforme discutido acima, um plano em forma vetorial pode ser especificado pela equação:

× + D = 0, onde

Plano normal; - raio é o vetor de um ponto arbitrário no plano.

Sejam dados dois planos no espaço: × +D 1= 0 e × +D 2= 0, os vetores normais têm coordenadas: (A 1,B 1, C 1), (A 2,B 2, C 2); (x, y, z). Então as equações gerais da reta na forma vetorial:

Equações gerais de uma linha reta em forma de coordenadas:

Para fazer isso, você precisa encontrar um ponto arbitrário na reta e os números m, n, p. Neste caso, o vetor diretor da reta pode ser encontrado como o produto vetorial dos vetores normais aos planos dados.

Equação de um plano no espaço

Deixe o ponto dado e vetor diferente de zero (aquilo é , Onde

dado que é o vetor normal.

Se , , , ..., então a equação pode ser convertido para a forma . Números , E , E

Deixar - algum ponto do avião, - vetor perpendicular ao plano. Então a equação é a equação deste plano.

Chances , ; na equação do plano são as coordenadas de um vetor perpendicular ao plano.

Se a equação do plano for dividida por um número igual ao comprimento do vetor , então obtemos a equação do plano na forma normal.

Equação de um plano que passa por um ponto e perpendicular ao vetor diferente de zero, tem a forma .

Qualquer equação do primeiro grau define um único plano no espaço de coordenadas que é perpendicular ao vetor com coordenadas .

A equação é a equação do plano que passa pelo ponto e perpendicular a um vetor diferente de zero.

Cada avião especificado em um sistema de coordenadas retangular , , equação da forma .

desde que entre os coeficientes , , existem diferentes de zero, define um plano no espaço em um sistema de coordenadas retangulares. O plano no espaço é especificado em um sistema de coordenadas retangular , , equação da forma , providenciou que .

O inverso também é verdadeiro: uma equação da forma dado que define um plano no espaço em um sistema de coordenadas retangulares.

Onde , , , , ,

O plano no espaço é dado pela equação , Onde , , , são números reais e , , não são simultaneamente iguais a 0 e constituem as coordenadas do vetor , perpendicular a este plano e denominado vetor normal.

Deixe o ponto dado e vetor diferente de zero (aquilo é ). Então a equação vetorial do plano , Onde - ponto arbitrário do plano) assume a forma - equação de um plano por ponto e vetor normal.

Toda equação de primeiro grau dado que especifica em um sistema de coordenadas retangular o único plano para o qual o vetor é o vetor normal.

Se , , , , então a equação pode ser convertido para a forma . Números , E são iguais aos comprimentos dos segmentos que o plano corta nos eixos , E respectivamente. Portanto a equação é chamada de equação do plano “em segmentos”.

LISTA DE FONTES UTILIZADAS

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.Kanatnikov A.N., Krischenko A.P. Geometria analítica. -2ª ed. -, 2000, 388 pp. (Ser. Matemática na Universidade Técnica

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.Geometria analítica (notas de aula de E.V. Troitsky, 1º ano, 1999/2000) - 118 p.

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