Interesanti veidi, kā pierādīt Pitagora teorēmas izklāstu. Prezentācija par tēmu "Pitagora teorēmas pierādīšanas metodes"

Nodarbības plāns Organizācijas moments Organizācijas moments Atkārtojums Atkārtojums Referāts par Samas Pitagora dzīvi Referāts par Samas Pitagora dzīvi Vēsturiskais pamatojums Pitagora teorēmai Vēsturiskais pamatojums Pitagora teorēmai Darbs pie teorēmas Darbs pie teorēmas Problēmu risināšana, izmantojot teorēmu Risināšana problēmas, izmantojot teorēmu Stundas rezumēšana Stundas apkopošana mājasdarbs mājasdarbs

Pitagors Pitagors no Samos dzimis 580. gadā pirms mūsu ēras. senajā Grieķijā Samos salā, kas atrodas Egejas jūrā pie Mazāzijas krastiem, tāpēc viņu dēvē par Samosas Pitagoru. Akmens grebēja ģimenē, kurš atrada slavu, nevis bagātību. Pat bērnībā viņš parādīja neparastas spējas, un, kad viņš uzauga, jaunā vīrieša nemierīgā iztēle kļuva pārpildīta uz mazas salas.

Pitagors Pitagors pārcēlās uz Mileyus pilsētu un kļuva par Talesa studentu, kurš tajā laikā bija ap astoņdesmit. Gudrais zinātnieks ieteica jauneklim doties uz Ēģipti, kur viņš pats savulaik studējis zinātni. Pitagora priekšā pavērās nezināma valsts. Viņu pārsteidza fakts, ka viņa dzimtajā Grieķijā dievi bija cilvēku formā, bet ēģiptiešu dievi - puscilvēku - pusdzīvnieku formā. Zināšanas koncentrējās tempļos, kuriem piekļuve bija ierobežota.

Pitagoram bija vajadzīgi gadi, lai padziļināti pētītu Ēģiptes kultūru, pirms viņš varēja iepazīties ar gadsimtiem senajiem Ēģiptes zinātnes sasniegumiem. Kad Pitagors saprata ēģiptiešu priesteru zinātni, viņš devās mājās, lai izveidotu tur savu skolu. Priesteri, kuri nevēlējās izplatīt savas zināšanas ārpus tempļiem, negribēja viņu palaist. Ar lielām grūtībām viņam izdevās pārvarēt šo šķērsli.

Tomēr mājupceļā Pitagors tika sagūstīts un nokļuva Babilonā. Babilonieši novērtēja gudrus cilvēkus, tāpēc viņš atrada savu vietu starp Babilonijas gudrajiem. Babilonijas zinātne bija attīstītāka nekā Ēģiptes zinātne. Visspilgtākie bija algebras panākumi Pitagors Babilonieši izgudroja un skaitīšanā izmantoja pozicionālo skaitļu sistēmu, spēja atrisināt lineāros, kvadrātvienādojumus un dažu veidu kubiskos vienādojumus. Pitagors Babilonā dzīvoja apmēram desmit gadus un atgriezās dzimtenē četrdesmit gadu vecumā. Taču Samos salā viņš ilgi neuzturējās. Protestējot pret tirānu Polikrātu, kurš toreiz valdīja salā, viņš apmetās uz dzīvi vienā no Grieķijas kolonijām Itālijas dienvidos Krotones pilsētā.

Tur Pitagors noorganizēja slepenu jauniešu savienību no aristokrātijas pārstāvjiem. Šī savienība tika pieņemta ar lielām ceremonijām pēc ilgiem pārbaudījumiem. Katrs ienācējs atteicās no sava īpašuma un deva zvērestu turēt noslēpumā dibinātāja mācības. Pitagorieši, kā viņus vēlāk sauca, nodarbojās ar matemātiku, filozofiju un dabaszinātnēm. Skolā bija dekrēts, saskaņā ar kuru visu matemātisko darbu autorība tika attiecināta uz skolotāju. Pitagoriešu savienība bija slepena. Apvienības emblēma jeb identifikācijas zīme bija pentagramma – piecstaru zvaigzne. Pentagrammai tika dota iespēja aizsargāt cilvēku no ļaunajiem gariem.

Pitagorieši veica daudzus svarīgus atklājumus aritmētikā un ģeometrijā. Ir arī zināms, ka papildus Pitagora mācekļu garīgajai un morālajai attīstībai rūpēja arī viņu fiziskā attīstība. Viņš ne tikai pats piedalījās olimpiskajās spēlēs un izcīnīja divas dūres, bet arī izaudzināja lielu olimpiešu plejādi.Tautas sacelšanās laiks. Pēc viņa nāves skolēni sava skolotāja vārdu apvija ar daudzām leģendām.

Babiloniešu tekstos viņa notiek 1200 gadus pirms Pitagora. Acīmredzot viņš bija pirmais, kurš atrada tam pierādījumu. Šajā sakarā tika izdarīts šāds ieraksts: "... kad viņš atklāja, ka taisnleņķa trijstūrī hipotenūza atbilst kājām, viņš upurēja bulli, kas izgatavots no kviešu mīklas." Pitagora teorēmas vēsture Pitagora teorēmas vēsture ir interesanta. Lai gan šī teorēma ir saistīta ar Pitagora vārdu, tā bija zināma jau ilgi pirms viņa.

Teorēma Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Dots: Δ ABC, C = 90° Pierādīt: Pierādījums: D Ņemot vērā cos B, iegūstam: Saskaitot (1) un (2), iegūstam: Ņemot vērā cos B, iegūstam: Nolaidīsim SD augstumu no virsotnes pareizais leņķis

2. slaids

a2+b2=c2 c a b P

3. slaids

Šo taisnleņķa trīsstūra īpašību Pitagors neatklāja, iespējams, viņš bija pirmais, kas to vispārināja un pierādīja, tādējādi pārnesot to no prakses jomas uz zinātnes jomu. Mēs nezinām, kā viņš to izdarīja. Tomēr tiek pieņemts, ka Pitagora pierādījums nebija fundamentāls, bet gan tikai apstiprinājums, šīs īpašības pārbaude vairāku veidu trijstūriem, sākot ar vienādsānu taisnstūra trīsstūri, par ko tas acīmredzami izriet no att. 1.

4. slaids

5. slaids

Pierādījumi, kas balstīti uz vienāda figūru laukuma jēdziena izmantošanu.

6. slaids

Ir skaidrs, ka, ja no kvadrāta laukuma atņemam taisnleņķa trijstūra ar kājiņām a, b četrkāršo laukumu, tad paliek vienādas platības, t.i., c2 = a2 + b2. Taču senie hinduisti, kuriem šis prātojums pieder, parasti to nepierakstīja, bet zīmējumu papildināja tikai ar vienu vārdu: “skaties!” Pilnīgi iespējams, ka Pitagors piedāvāja tādu pašu pierādījumu.

7. slaids

papildu pierādījumi. Šie pierādījumi ir balstīti uz kājiņām uzbūvēto kvadrātu sadalīšanos figūrās, no kurām iespējams pievienot uz hipotenūzas uzbūvētu kvadrātu. Einšteina pierādījums (3. att.) balstās uz hipotenūzas uzcelta kvadrāta sadalīšanos 8 trīsstūros.

8. slaids

Uz att. 4. attēlā parādīts Pitagora teorēmas pierādījums, izmantojot viduslaiku Bagdādes komentētāja Eiklida “Sākumu” al-Nairizijas nodalījumu. Šajā nodalījumā uz hipotenūzas uzceltais kvadrāts ir sadalīts 3 trīsstūros un 2 četrstūros. Šeit: ABC ir taisnleņķa trīsstūris ar taisnu leņķi C; DE=BF. Pierādiet teorēmu, izmantojot šo nodalījumu. D E

9. slaids

Pierādījumi ar pagarinājuma metodi. Šīs metodes būtība ir tāda, ka kvadrātiem, kas uzbūvēti uz kājām, un kvadrātam, kas uzbūvēts uz hipotenūzas, tiek piestiprinātas vienādas figūras tā, lai iegūtu vienādas figūras.

10. slaids

Pitagora teorēmas derīgums izriet no sešstūru AEDFPB un ACBNMQ vienāda izmēra. F

11. slaids

Uz att. 13 ABC - taisnstūrveida, C - taisnleņķis, CM AB, b1 - kājas b projekcija uz hipotenūzas, a1 - kājas a projekcija uz hipotenūzu, h - trijstūra augstums, kas novilkts uz hipotenūzu. Tā kā ABC ir līdzīgs ACM, no tā izriet, ka b2 = c*b1; (1) tā kā ABC ir līdzīgs BCM, no tā izriet, ka a2 = c*a1. (2) Saskaitot vienādības (1) un (2) pa vārdam, iegūstam a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. b

12. slaids

15. attēlā trīs taisnleņķa trijstūri veido trapecveida formu. Tāpēc šī attēla laukumu var atrast pēc taisnstūra trapeces laukuma formulas vai kā trīs trīsstūru laukumu summu. Gārfīlda pierādījums.

13. slaids

Pitagora biogrāfija. Lielais zinātnieks Pitagors dzimis ap 570. gadu pirms mūsu ēras. Samos salā. Pitagora tēvs bija Mnesarhs, dārgakmeņu griezējs. Pitagora mātes vārds nav zināms. Pēc daudzām senām liecībām dzimušais zēns bija pasakaini izskatīgs un drīz vien parādīja savas izcilās spējas. Starp jaunā Pitagora skolotājiem bija vecākais Germodamants un Sīrosas Ferekids. Jaunais Pitagors veselas dienas pavadīja pie vecākā Hermo kājām, klausoties citharas melodijas un Homēra heksametrus. Lielā Homēra aizraušanās ar mūziku un dzeju Pitagors saglabāja visu mūžu. Un, būdams atzīts gudrais, studentu pūļa ieskauts, Pitagors dienu sāka, nodziedot vienu no Homēra dziesmām. Ferekids bija filozofs un tika uzskatīts par Itālijas filozofijas skolas dibinātāju. Taču, lai kā arī būtu, jaunā Pitagora nemierīgā iztēle drīz vien pārpildījās mazajā Samosā, un viņš dodas uz Milētu, kur satiekas ar citu zinātnieku Talesu. Talss viņam iesaka doties pēc zināšanām uz Ēģipti, ko arī Pitagors izdarīja. 548. gadā pirms mūsu ēras Pitagors ieradās Navkratisā, Sāmas kolonijā, kur bija kam atrast pajumti un pārtiku.

14. slaids

Pēc ēģiptiešu valodas un reliģijas apguves viņš dodas uz Memfisu. Neskatoties uz faraona ieteikuma vēstuli, viltīgie priesteri nesteidzās Pitagoram atklāt savus noslēpumus, piedāvājot viņam smagus pārbaudījumus. Bet, zināšanu slāpju vadīts, Pitagors tos visus pārvarēja, lai gan pēc izrakumiem Ēģiptes priesteri viņam neko daudz nevarēja iemācīt, jo. tajā laikā Ēģiptes ģeometrija bija tīri lietišķa zinātne (apmierinot tā laika vajadzību pēc zemes skaitīšanas un mērīšanas). Tāpēc, uzzinājis visu, ko priesteri viņam deva, viņš, aizbēgis no viņiem, pārcēlās uz savu dzimteni Hellā. Tomēr, paveicis daļu ceļa, Pitagors nolemj doties sauszemes ceļojumā, kura laikā viņu sagūstīja Babilonas karalis Kambīss, kurš devās mājup. Nav nepieciešams dramatizēt Pitagora dzīvi Babilonijā, jo lielais valdnieks Kīrs bija iecietīgs pret visiem gūstekņiem. Babilonijas matemātika nenoliedzami bija progresīvāka (piemērs tam ir skaitļošanas pozicionālā sistēma) nekā ēģiptiešu matemātika, un Pitagoram bija daudz ko mācīties. Bet 530. gadā pirms mūsu ēras. Kīrs devās kampaņā pret ciltīm Vidusāzijā. Un, izmantojot pilsētas kņadu, Pitagors aizbēga uz dzimteni.

15. slaids

Un uz Samos tajā laikā valdīja tirāns Polikrāts. Protams, Pitagors nebija apmierināts ar galma pusverga dzīvi, un viņš aizgāja uz alām Samos apkaimē. Pēc vairāku mēnešu Polikrāta pretenzijām Pitagors pārceļas uz Krotonu. Pitagors Krotonā nodibināja kaut ko līdzīgu reliģiski ētiskai brālībai vai slepenam klosteru ordenim ("pitagoriešiem"), kura locekļiem bija pienākums vadīt tā saukto pitagoriešu dzīvesveidu. Tā vienlaikus bija gan reliģiska savienība, gan politisks klubs, gan zinātniska biedrība. Jāsaka, ka daži no Pitagora sludinātajiem principiem ir atdarināšanas vērti arī tagad. ...Ir pagājuši 20 gadi. Brālības slava izplatījās visā pasaulē. Kādu dienu pie Pitagora ierodas bagāts, bet ļauns cilvēks Sailons, kurš vēlas dzērumā pievienoties brālībai. Saņemot atteikumu, Sailons sāk cīņu ar Pitagoru, izmantojot viņa mājas dedzināšanu. Ugunsgrēka laikā pitagorieši par saviem līdzekļiem izglāba sava skolotāja dzīvību, pēc kā Pitagoram kļuva ilgas pēc mājām un viņš drīz izdarīja pašnāvību.

Skatīt visus slaidus

Teorēmas vēsture. Senā Ķīna Sāksim savu vēsturisko apskatu ar seno Ķīnu. Šeit īpašu uzmanību piesaista Chu-pei matemātiskā grāmata. Šajā esejā teikts par Pitagora trīsstūri ar 3., 4. un 5. malu: Sāksim vēsturisko apskatu ar seno Ķīnu. Šeit īpašu uzmanību piesaista Chu-pei matemātiskā grāmata. Šajā esejā teikts par Pitagora trīsstūri ar malām 3, 4 un 5: "Ja taisns leņķis ir sadalīts tā sastāvdaļās, tad līnija, kas savieno tā malu galus, būs 5, ja pamatne ir 3 un augstums ir 4 ”. Tajā pašā grāmatā ir piedāvāts zīmējums, kas sakrīt ar vienu no Bašaras hinduistu ģeometrijas zīmējumiem. Tajā pašā grāmatā ir piedāvāts zīmējums, kas sakrīt ar vienu no Bašaras hinduistu ģeometrijas zīmējumiem.

Nedaudz vairāk ir zināms par Pitagora teorēmu babiloniešu vidū. Vienā tekstā, kas datēts ar Hammurapi laiku, t.i., līdz 2000.g.pmē. e., dots aptuvens taisnleņķa trijstūra hipotenūzas aprēķins. No tā varam secināt, ka Mezopotāmijā viņi vismaz dažos gadījumos varēja veikt aprēķinus ar taisnleņķa trijstūriem. Ģeometrija hinduistu, kā arī ēģiptiešu un babiloniešu vidū bija cieši saistīta ar kultu. Ļoti iespējams, ka hipotenūzas kvadrāta teorēma bija zināma jau Indijā aptuveni 18. gadsimtā pirms mūsu ēras. e. senā Indija

Kantors (lielākais vācu matemātikas vēsturnieks) uzskata, ka vienlīdzība: 3² + 4² = 5² bija zināma jau ēģiptiešiem ap 2300. gadu pirms mūsu ēras. pirms mūsu ēras karaļa Amenemhata I laikā (saskaņā ar Berlīnes muzeja papirusu 6619) Pēc Kantora domām, harpedonapti jeb "stīgu spriegotāji" veidoja taisnus leņķus, izmantojot taisnleņķa trīsstūrus ar malām 3, 4 un 5. Tas ir ļoti viegli reproducēt to uzbūves metodi. Paņemiet 12 metrus garu virvi un piesieniet pie tās pa krāsainu joslu 3 metru attālumā no viena gala un 4 metru attālumā no otra. Starp malām 3 un 4 metru garumā tiks norobežots taisns leņķis.

Pamatojoties, no vienas puses, uz pašreizējo zināšanu līmeni par Ēģiptes un Babilonijas matemātiku un, no otras puses, uz kritisku grieķu avotu izpēti, Van der Vērdens (nīderlandiešu matemātiķis) secināja: "Pirmo grieķu matemātiķu nopelni. , piemēram, Talss, Pitagors un pitagorieši, nav matemātikas atklājums, bet gan tās sistematizācija un pamatojums. Viņu rokās skaitļošanas receptes, kas balstītas uz neskaidrām idejām, pārvērtās par eksakto zinātni.

Lielais zinātnieks Pitagors dzimis ap 570. gadu pirms mūsu ēras. Samos salā. Pitagora tēvs bija Mnesarhs, dārgakmeņu griezējs. Pitagora mātes vārds nav zināms. Pēc daudzām senām liecībām dzimušais zēns bija pasakaini izskatīgs un drīz vien parādīja savas izcilās spējas. Lielā Homēra aizraušanās ar mūziku un dzeju Pitagors saglabāja visu mūžu. Drīz vien jaunā Pitagora nemierīgā iztēle kļuva pārpildīta mazajam Samosam, un viņš dodas uz Milētu, kur satiekas ar citu zinātnieku Talesu. Tad viņš dodas ceļojumā, un Babilonijas karalis Kīrs viņu sagūsta. 530. gadā pirms mūsu ēras Kīrs devās kampaņā pret ciltīm Vidusāzijā. Un, izmantojot pilsētas kņadu, Pitagors aizbēga uz dzimteni.

Un uz Samos tajā laikā valdīja tirāns Polikrāts. Pēc vairāku mēnešu Polikrāta pretenzijām Pitagors pārceļas uz Krotonu. Krotonā Pitagors nodibināja kaut ko līdzīgu reliģiski ētiskai brālībai vai slepenam klosteru ordenim ("pitagoriešiem"), kuru biedriem bija pienākums vadīt tā saukto pitagoriešu dzīvesveidu.... Ir pagājuši divdesmit gadi. Brālības slava izplatījās visā pasaulē. Kādu dienu pie Pitagora ierodas bagāts, bet ļauns cilvēks Sailons, kurš vēlas dzērumā pievienoties brālībai. Saņemot atteikumu, Sailons sāk cīņu ar Pitagoru, izmantojot viņa mājas dedzināšanu. Ugunsgrēka laikā pitagorieši par saviem līdzekļiem izglāba sava skolotāja dzīvību, pēc kā Pitagoram kļuva ilgas pēc mājām un viņš drīz izdarīja pašnāvību.

Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Citi teorēmas formulējumi. Eiklīda valodā šī teorēma skan (burtiskais tulkojums): "Taisnstūrī taisnā leņķī izstieptās malas kvadrāts ir vienāds ar kvadrātiem malās, kas aptver taisno leņķi." Geometria Culmonensis (apmēram 1400) tulkojumā teorēma skan šādi: "Tātad, kvadrāta laukums, mērot gar garo malu, ir tikpat liels kā diviem kvadrātiem, kas tiek mērīti abās tā malās. blakus taisnam leņķim."

Vienkāršākais pierādījums. Vienkāršākais teorēmas pierādījums tiek iegūts vienkāršākajā vienādsānu taisnstūra trijstūra gadījumā. Patiešām, pietiek tikai apskatīt vienādsānu taisnleņķa trijstūri, lai pārliecinātos, ka teorēma ir patiesa. Piemēram, trīsstūrim ABC: kvadrātā, kas veidots uz hipotenūzas AC, ir 4 sākotnējie trīsstūri, un kvadrātos, kas veidoti uz kājām, ir divi.

Pierādījums ar atņemšanu. Iepazīsimies ar citu pierādījumu ar atņemšanas metodi. Ievietojam pazīstamo Pitagora teorēmas zīmējumu taisnstūra rāmī, kura malu virzieni sakrīt ar trijstūra kāju virzieniem. Turpināsim dažus figūras segmentus, kā parādīts attēlā, kamēr taisnstūris sadalās vairākos trīsstūros, taisnstūros un kvadrātos. Vispirms no taisnstūra noņemsim dažas daļas, lai paliktu tikai kvadrāts, kas uzbūvēts uz hipotenūzas. Šīs daļas ir šādas: 1. trijstūri 1, 2, 3, 4; 2. taisnstūris 5; 3. taisnstūris 6 un kvadrāts 8; 4. taisnstūris 7 un kvadrāts 9;

Tad no taisnstūra daļas izmetam tā, lai paliek tikai uz kājām uzbūvētie kvadrāti. Šīs daļas būs: 1. taisnstūri 6 un 7; 2. taisnstūris 5; 3. taisnstūris 1 (ēnots); 4. taisnstūris 2 (ēnots); Mums atliek tikai parādīt, ka atņemtās daļas ir vienādas. To ir viegli redzēt, pateicoties figūru izkārtojumam. No attēla ir skaidrs, ka: 1. taisnstūris 5 ir vienāds ar savu izmēru; 2. četri trīsstūri 1,2,3,4 pēc laukuma ir vienādi ar diviem taisnstūriem 6 un 7; 3. 6. taisnstūris un 8. kvadrāts, ņemot kopā, ir vienādi ar 1. taisnstūri (ēnots); 4. taisnstūris 7 kopā ar kvadrātu 9 pēc laukuma ir vienāds ar taisnstūri 2 (ēnots); Teorēma pierādīta

Einšteina pierādījums Punkti E, C un F atrodas uz vienas taisnes; tas izriet no vienkāršiem leņķa ECF pakāpes aprēķiniem (tas ir atlocīts). CD ir novilkts perpendikulāri EF. Uz hipotenūzas uzbūvētā kvadrāta kreisā un labā mala tiek turpināta uz augšu līdz krustojumam ar EF; sānu EA ir pagarināts līdz krustojumam ar CD. Attiecīgi vienādi trīsstūri ir vienādi numurēti.

Patiešām, trijstūri ABD un BFC ir vienādi divās malās un leņķis starp tiem: FB = AB, BC = BD, un leņķi starp tiem ir vienādi kā neasi leņķi ar savstarpēji perpendikulārām malām. S ABD \u003d 0,5 S BJLD, jo trijstūrim ABD un taisnstūrim BJLD ir kopīgs pamats BD un kopīgs augstums LD. Līdzīgi S FBC=0,5 S ABFH (BF-kopējā bāze, AB-kopējais augstums). Tādējādi, ņemot vērā, ka S ABD = S FBC, mums ir S BJLD = S ABFH. Līdzīgi, ja jūs uzzīmējat segmentu AE, izmantojot trīsstūru BCK un ACE vienādību, jūs pierādīsit, ka S JCEL = S ACKG. Tātad, S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED, kas bija jāpierāda. Šo pierādījumu sniedza Eiklīds savos elementos. Saskaņā ar Proklu (Bizantija), to izgudroja pats Eiklīds. Eiklida pierādījums ir sniegts Pirmās sākuma grāmatas 47. priekšlikumā. Uz taisnleņķa trijstūra ABC hipotenūzas un kājiņām tiek konstruēti attiecīgie kvadrāti un tiek pierādīts, ka taisnstūris BJLD ir vienāds ar kvadrātu ABFH, bet taisnstūris JCEL ir vienāds ar kvadrātu AGKS. Tad kvadrātu laukumu summa uz kājām būs vienāda ar kvadrāta laukumu uz hipotenūzas.

Otrais noslēpums ir neprecizēts slavenās Pitagora Samos teorēmas pierādījumu skaits. Tieši šajā gadījumā nolēmu veikt socioloģisko aptauju, kas parādīja, ka lielākā daļa vecākās paaudzes piekrīt 250 pierādījumu esamībai, lai gan no papildu avotiem zinu, ka šai teorēmai ir vairāk nekā 350 pierādījumu, tāpēc tas pat iekļuva Ginesa rekordu grāmatā! Bet, protams, šajos pierādījumos tiek izmantots salīdzinoši maz principiāli atšķirīgu ideju.

Trešais noslēpums ir tāds, ka Pitagora teorēma mūsdienās ir matemātikas simbols. Ceturtais noslēpums - Pitagora teorēma sniedz mums visbagātāko materiālu vispārināšanai - vissvarīgāko garīgās darbības veidu, teorētiskās domāšanas pamatu, ko daudzi zinātnieki pārvalda. Šeit var piebilst, ka no Pitagora teorēmas var pāriet uz citām teorēmām.

Piektais noslēpums ir tāds, ka daži zinātnieki piedēvē Pitagoram pierādījumu, ko Eiklīds sniedza savā Elementu pirmajā grāmatā. No otras puses, Prokls (5. gadsimta matemātiķis) apgalvoja, ka pierādījumu elementos radījis pats Eiklīds. Tomēr šodien Pitagora pierādīšanas metode joprojām nav zināma.

Sestais noslēpums ir leģendas par pašu Pitagoru, cilvēku, kurš pirmo reizi pierādīja šo teorēmu. Ir leģenda, ka, kad Pitagors no Samos pierādīja savu teorēmu, viņš pateicās dieviem, upurējot 100 buļļus. Bija arī leģendas par zinātnieka hipnotiskajām spējām: it kā ar vienu skatienu viņš varētu mainīt putnu lidojuma virzienu. Un viņi arī teica, ka šī apbrīnojamā persona vienlaikus tika redzēta dažādās pilsētās, starp kurām bija vairākas ceļojumu dienas. Un ka viņam it kā piederējis "laimes rats", kuru griežot, viņš ne tikai prognozēja nākotni, bet arī nepieciešamības gadījumā iejaucās notikumu gaitā.

Prezentācijas apraksts atsevišķos slaidos:

1 slaids

Slaida apraksts:

Liceja skolotāja KazGASA Auelbekova G.U. "Pitagora teorēma un dažādi veidi, kā to pierādīt." 2016. gads

2 slaids

Slaida apraksts:

MĒRĶIS: Galvenais uzdevums ir apsvērt dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus. Parādiet Pitagora teorēmas nozīmi zinātnes un tehnikas attīstībā, matemātikā kopumā.

3 slaids

Slaida apraksts:

No Pitagora biogrāfijas Visvairāk, kas iedzīvotājiem tagad ir zināms par šo cienījamo seno grieķi, ietilpst vienā frāzē: "Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm." Šīs tīzes autorus no Pitagora skaidri šķir gadsimti, citādi viņi neuzdrošinātos ķircināt. Jo Pitagors nepavisam nav hipotenūzas kvadrāts, kas vienāds ar kāju kvadrātu summu. Šis ir slavens filozofs. Pitagors dzīvoja sestajā gadsimtā pirms mūsu ēras, bija skaists izskats, valkāja garu bārdu un zelta diadēmu galvā. Pitagors nav vārds, bet gan iesauka, ko filozofs saņēma par to, ka vienmēr runāja pareizi un pārliecinoši, kā grieķu orākuls. (Pitagors - "pārliecinoša runa".) Ar savām runām viņš ieguva 2000 skolēnu, kuri kopā ar ģimenēm izveidoja skolu-valsti, kurā bija spēkā Pitagora likumi un noteikumi. Viņš bija pirmais, kas deva nosaukumu savam darba virzienam. Vārds "filozofs", tāpat kā vārds "kosmoss" nāca pie mums no Pitagora. Viņa filozofijā ir daudz vietas. Viņš apgalvoja, ka, lai izprastu Dievu, cilvēku un dabu, ir jāmācās algebra ar ģeometriju, mūziku un astronomiju. Starp citu, tieši Pitagora zināšanu sistēmu grieķu valodā sauc par "matemātiku". Kas attiecas uz bēdīgi slaveno trīsstūri ar hipotenūzu un kājām, tas, pēc lielā grieķa domām, ir vairāk nekā ģeometriska figūra. Šī ir "atslēga" visām mūsu dzīves šifrētajām parādībām. Viss dabā, teica Pitagors, ir sadalīts trīs daļās. Tāpēc pirms jebkuras problēmas risināšanas tas ir jāuzrāda trīsstūrveida diagrammas veidā. "Redziet trīsstūri - un problēma ir atrisināta par divām trešdaļām."

4 slaids

Slaida apraksts:

Tagad ir trīs Pitagora teorēmas formulējumi: 1. Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. 2. Uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas uzbūvēta kvadrāta laukums ir vienāds ar uz kājiņām uzbūvēto kvadrātu laukumu summu. 3. Uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas uzbūvēts kvadrāts atrodas vienādā attālumā ar kvadrātiem, kas uzbūvēti uz kājiņām. Apgrieztā Pitagora teorēma: jebkuram pozitīvu skaitļu a, b un c trīskāršam, kurā a2 + b2 = c2, pastāv taisnleņķa trijstūris ar kājiņām a un b un hipotenūzu c. tu

5 slaids

Slaida apraksts:

No teorēmas vēstures No teorēmas vēstures Stingri sakot, lai gan teorēmu sauc par "Pitagora teorēmu", pats Pitagors to neatklāja. Taisnstūra trīsstūris un tā īpašās īpašības ir pētītas ilgi pirms tā. Šajā jautājumā ir divi polāri viedokļi. Saskaņā ar vienu versiju Pitagors bija pirmais, kurš atrada pilnīgu teorēmas pierādījumu. Saskaņā ar citu, pierādījums nepieder Pitagora autorībai. Šodien vairs nevar pārbaudīt, kuram taisnība un kuram nav. Ir zināms tikai tas, ka Pitagora pierādījums, ja tāds kādreiz pastāvējis, nav saglabājies. Tomēr ir pieņēmumi, ka slavenais pierādījums no Eiklida elementiem varētu piederēt Pitagoram, un Eiklīds to tikai ierakstīja. Mūsdienās arī zināms, ka problēmas par taisnleņķa trīsstūri ir atrodamas Ēģiptes avotos no faraona Amenemheta I laikiem, uz Babilonijas māla plāksnēm no karaļa Hamurabi valdīšanas, senindiešu traktātā Sulva Sutra un seno ķīniešu darbā Džou. -Bi Suan Jin. Kā redzat, Pitagora teorēma ir nodarbinājusi matemātiķu prātus kopš seniem laikiem. Apmēram 500 dažādu pierādījumu, kas pastāv šodien, kalpo kā apstiprinājums. Neviena cita teorēma nevar ar to sacensties šajā ziņā. Ievērojami pierādījumu autori ir Leonardo da Vinči un Amerikas Savienoto Valstu 20. prezidents Džeimss Gārfīlds. Tas viss liecina par šīs teorēmas ārkārtējo nozīmi matemātikā: lielākā daļa ģeometrijas teorēmu ir atvasinātas no tās vai vienā vai otrā veidā ar to saistītas. .

6 slaids

Slaida apraksts:

Izteikumi Teorēmas apgalvojumi, kas tulkoti no grieķu, latīņu un vācu valodas Eiklīda valodā šī teorēma skan (burtiskais tulkojums): "Taisnstūrī taisnā leņķī izstieptās malas kvadrāts ir vienāds ar kvadrātiem uz malām, kas aptver pareizā leņķī." Annairici (apmēram 900. g. p.m.ē.) arābu teksta tulkojumā, ko veica Gerhards no Klemonsa (12. gs. sākums), kas tulkots krievu valodā, ir teikts: "Jebkurā taisnleņķa trijstūrī malā izveidotais kvadrāts stiepās pāri taisnleņķis ir vienāds ar divu kvadrātu summu, kas izveidotas no divām pusēm, kas veido taisnu leņķi. Geometria Culmonensis (apmēram 1400) tulkojumā teorēma skan šādi: "Tātad, kvadrāta laukums, mērot gar garo malu, ir tikpat liels kā diviem kvadrātiem, kas tiek mērīti abās tā malās. blakus taisnam leņķim." F. I. Petruševska eiklīda "Sākumu" pirmajā krievu valodā Pitagora teorēma ir teikta šādi: "Taisnleņķa trijstūrī taisnleņķa malas kvadrāts ir vienāds ar taisnleņķa kvadrātu summu. malas, kurās ir taisns leņķis."

7 slaids

Slaida apraksts:

Pierādījumam izmantota šāda konstrukcija: taisnleņķa trijstūrim ar taisnleņķi, kvadrātiem virs kājām un un kvadrātu virs hipotenūzas tiek konstruēts augstums un stars, kas to turpina, sadalot kvadrātu virs hipotenūzas. divos taisnstūros un. Pierādījuma mērķis ir līdzīgā veidā noteikt taisnstūra laukumu vienādību ar kvadrātu virs kājas, otrā taisnstūra laukumu vienādību, kas ir hipotenūzas kvadrāts, un taisnstūra laukumu vienādību virs otras kājas. . Taisnstūra laukumu vienādība tiek noteikta caur trīsstūru kongruenci, un katra laukums ir vienāds ar pusi no kvadrātu laukuma un attiecīgi saistībā ar šādu īpašību: laukums no trijstūra ir vienāds ar pusi no taisnstūra laukuma, ja figūrām ir kopīga mala, un trijstūra augstums līdz kopējai malai ir taisnstūra otra mala. Trīsstūru sakritība izriet no divu malu vienādības (kvadrātu malas) un leņķa starp tām (sastāv no taisnleņķa un leņķa pie. Tādējādi pierādījums nosaka, ka kvadrāta laukums virs hipotenūzas , kas sastāv no taisnstūriem un ir vienāds ar kvadrātu laukumu summu, kas atrodas virs kājām.

8 slaids

Slaida apraksts:

AJ ir augstums, kas atņemts no hipotenūzas. Pierādīsim, ka tā turpinājums sadala uz hipotenūzas uzcelto kvadrātu divos taisnstūros, kuru laukumi ir vienādi ar atbilstošo uz kājām uzbūvēto kvadrātu laukumiem. Pierādīsim, ka taisnstūris BJLD pēc platības ir vienāds ar kvadrātu ABFH. Trijstūris ABD=BFC (no divām pusēm un leņķis starp tām BF=AB; BC=BD; leņķis FBC=leņķis ABD).

9 slaids

Slaida apraksts:

S no trīsstūra ABD=1/2 S no taisnstūra BJLD, jo Trijstūrim ABD un taisnstūrim BJLD ir kopīgs pamats BD un kopīgs augstums LD. LĪDZĪGI, S no trijstūra FBC=1/2 S no taisnstūra ABFH(BF-kopējā bāze, AB-kopējais augstums). Tādējādi, ņemot vērā, ka trijstūra ABD = S trīsstūra FBC, mums ir: S BJLD = S ABFH. LĪDZĪGI, izmantojot trīsstūru BCK un ACE vienādību, tiek pierādīts, ka S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. Trijstūris S=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD Teorēma ir pierādīta. A L B D

10 slaids

Slaida apraksts:

Indijas matemātiķa Bhaskari pierādījums (a - c) ². Tas ir, izrādās, ka c ² \u003d 4 0,5 a b + (a - c) ² c ² \u003d 2 a b + a ² - 2 a b + c ² c ² \u003d a ² + c ² Teorēma ir pierādīta.

11 slaids

Slaida apraksts:

Waldheima pierādījums а в са в с Waldheim izmanto faktu, ka taisnleņķa trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā kāju reizinājuma, bet trapeces laukums ir vienāds ar pusi no paralēles summas. pamatnes un augstums. Tagad, lai pierādītu teorēmu, pietiek ar trapeces laukumu izteikt divos veidos: S trapece = 0,5 (a + b) (a + b) = 0,5 (a + b) ² S trapece = 0,5 a b + 0, 5 a b + 0,5 s ² Pielīdzinot labās daļas, mēs iegūstam 0,5 (a + b) ² \u003d 0,5 a b + 0,5 a b + 0,5 s ² (a + b) ² \u003d a b + a c + c ² a ² + 2 a c + c ² = 2 a c + c ² c ² = a ² + c ² Teorēma ir pierādīta

12 slaids

Slaida apraksts:

Hokinsa pierādījums A B C A1 B1 a c D c a c c 1. Pagrieziet taisnstūrveida ∆ABC (ar taisnleņķi C) ap centru punktā C par 90º, lai tas ieņemtu pozīciju A1 B1 C, kā parādīts attēlā. 2. Turpinām hipotenūzu B1 A1 aiz punkta A1, līdz tā krustojas ar taisni AB punktā D. Nogrieznis B1 D būs augstums ∆B1AB (jo ∟B1DA = 90º). 3. Aplūkosim četrstūri A1AB1B. No vienas puses, SA1AB1B \u003d SCAA1 + SSBB1 \u003d 0,5v + 0,5a a \u003d 0,5 (a² + b²) HELL \u003d \u003d 0,5 s (ELLE + VD) ², iegūstot izteiksmi 0.5 0,5 (a² + b²) \u003d 0,5 s² a² + b² \u003d s² Teorēma ir pierādīta.

13 slaids

Slaida apraksts:

ģeometriskais pierādījums. (Hofmaņa metode) Konstruēt trīsstūri ABC ar taisnu leņķi С Konstruēt BF=CB, BFCB Konstruēt BE=AB, BEAB Konstruēt AD=AC, ADAC Punkti F, C, D pieder vienai taisnei.

14 slaids

Slaida apraksts:

Kā redzam, četrstūri ADFB un ACBE ir vienādi pēc izmēra, kopš ABF=ECB. Trijstūri ADF un ACE ir vienādi. No abiem vienāda izmēra četrstūriem atņem tiem kopējo trīsstūri ABC, iegūst: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2 Attiecīgi: a2+ b 2 =с 2 Teorēma ir pierādīta.

15 slaids

Slaida apraksts:

Algebriskais pierādījums (Mölmaņa metode) Šī taisnstūra laukums vienā pusē ir vienāds ar 0,5ab, bet otrā pusē 0,5pr, kur p ir trijstūra pusperimetrs, r ir tajā ierakstītā apļa rādiuss (r =0,5(a+b-c)). A C

16 slaids

Slaida apraksts:

Mums ir: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) No šejienes izriet, ka c2= a2+b2 Teorēma ir pierādīta. A C

17 slaids

Slaida apraksts:

Pitagora teorēmas nozīme Pitagora teorēma pamatoti ir viena no matemātikas pamatteorēmām. Šīs teorēmas nozīme ir tajā, ka ar tās palīdzību ir iespējams atvasināt lielāko daļu ģeometrijas teorēmu. Tā vērtība mūsdienu pasaulē ir arī liela, jo Pitagora teorēma tiek izmantota daudzās cilvēka darbības jomās. Piemēram, to izmanto zibensnovedēju novietošanai uz ēku jumtiem, dažu arhitektūras stilu logu ražošanā un pat mobilo operatoru antenu augstuma aprēķināšanā. Un tas nav viss šīs teorēmas praktisko pielietojumu saraksts. Tāpēc ir ļoti svarīgi zināt Pitagora teorēmu un saprast tās nozīmi.

18 slaids

Slaida apraksts:

Pitagora teorēma literatūrā. Pitagors ir ne tikai izcils matemātiķis, bet arī izcils sava laika domātājs.Iepazīsimies ar dažiem viņa filozofiskajiem izteikumiem...

19 slaids

Slaida apraksts:

1. Doma galvenokārt ir starp cilvēkiem uz zemes. 2. Nesēdiet uz graudu mēra (t.i., nedzīvojiet dīkā). 3. Dodoties prom, neatskatīties atpakaļ (tas ir, pirms nāves, nepieķerties dzīvībai). 4. Neejiet pa sodīto ceļu (tas ir, sekojiet nevis pūļa viedokļiem, bet to nedaudzo, kuri saprot). 5. Neturiet bezdelīgas mājā (t.i., nepieņemiet ciemiņus, kas ir runīgi un valodā nesavaldīgi). 6. Esiet kopā ar to, kurš uzņemas slodzi, neesiet ar to, kurš izmet slodzi (tas ir, mudiniet cilvēkus nevis uz dīkdienu, bet uz tikumību, uz darbu). 7. Ringā nenēsā attēlus (t.i., nedefilē cilvēku priekšā, kā tu spried un domā par dieviem).

Černovs Maksims

Projekts par ģeometriju, veidots kā prezentācija par tēmu "Pitagora teorēma un dažādi tās pierādīšanas veidi"

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumu, izveidojiet Google kontu (kontu) un pierakstieties: https://accounts.google.com

Slaidu paraksti:

Pitagora teorēma un dažādi tās pierādīšanas veidi Pabeidza: Černovs Maksims 8A

Projekta mērķis: Izklāstīt Pitagora teorēmu, izklāstīt dažādus tās pierādīšanas veidus.

Vēsture Senajā ķīniešu grāmatā Zhou bi suan jing ir runāts par Pitagora trīsstūri ar malām 3, 4 un 5. Tajā pašā grāmatā ir piedāvāts zīmējums, kas sakrīt ar vienu no hinduistu ģeometrijas zīmējumiem Bashārā. Morics Kantors (lielākais vācu matemātikas vēsturnieks) uzskata, ka vienādību 3 ² + 4 ² = 5² ēģiptieši zināja jau ap 2300. gadu pirms mūsu ēras, karaļa Amenemheta I laikā (saskaņā ar Berlīnes muzeja papirusu 6619). Saskaņā ar Cantor teikto, harpedonapti jeb "stīgu spriegotāji" veidoja taisnus leņķus, izmantojot taisnleņķa trijstūrus ar malām 3, 4 un 5. Ir ļoti viegli reproducēt to konstrukcijas metodi. Ņemsim 12 m garu virvi un piesienam pie tās pa krāsainu joslu 3 m attālumā no viena gala un 4 metru attālumā no otra. Starp malām 3 un 4 metru garumā tiks norobežots taisns leņķis. Varētu iebilst pret Harpedonaptiem, ka viņu konstruēšanas metode kļūst lieka, ja, piemēram, tiek izmantots visu galdnieku izmantotais koka laukums. Patiešām, ir zināmi ēģiptiešu zīmējumi, kuros ir atrasts šāds rīks - piemēram, zīmējumi, kuros attēlota galdniecības darbnīca. Nedaudz vairāk ir zināms par Pitagora teorēmu babiloniešu vidū. Vienā tekstā, kas datēts ar Hammurapi laiku, tas ir, 2000. gadu pirms mūsu ēras, ir dots aptuvens vienādsānu taisnstūra trīsstūra hipotenūzas aprēķins. No tā varam secināt, ka Mezopotāmijā viņi vismaz dažos gadījumos varēja veikt aprēķinus ar taisnleņķa trijstūriem. Pamatojoties, no vienas puses, uz pašreizējo zināšanu līmeni Ēģiptes un Babilonijas matemātikas jomā un, no otras puses, uz kritisku grieķu avotu izpēti, van der Vērdens (nīderlandiešu matemātiķis) secināja, ka pastāv liela varbūtība, ka teorēma par hipotenūzas kvadrātu bija zināma Babilonijā aptuveni 18. gadsimtā pirms mūsu ēras. e. Saskaņā ar Prokla komentāriem par Eiklidu, Pitagors (kurš parasti dzīvoja starp 570-490 BC) izmantoja algebriskas metodes, lai atrastu Pitagora trīskāršus. Tomēr Prokls rakstīja no 410 līdz 485. n. e. Tomass Litls Hīts uzskatīja, ka 5 gadsimtus pēc Pitagora nāves nav skaidri minēts, ka teorēmas autors bija Pitagors. Tomēr, kad tādi autori kā Plutarhs un Cicerons raksta par Pitagora teorēmu, viņi raksta tā, it kā Pitagora autorība būtu plaši zināma un noteikta.Pitagora matemātikas periods. Saskaņā ar leģendu, Pitagors savas teorēmas atklāšanu svinēja ar milzu mielastu, nokaujot simts vēršus, lai svinētu. Ap 400 BC. e., saskaņā ar Proklu, Platons deva metodi Pitagora trīskāršu atrašanai, apvienojot algebru un ģeometriju. Apmēram 300.g.pmē. e. Eiklida Principā parādījās vecākais Pitagora teorēmas aksiomātiskais pierādījums.

Apgalvojumi: Ģeometriskā formulēšana: Sākotnēji teorēma tika formulēta šādi: Taisnleņķa trijstūrī uz hipotenūzas uzbūvētā kvadrāta laukums ir vienāds ar uz kājām uzcelto kvadrātu laukumu summu. Algebriskais formulējums: taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas garuma kvadrāts ir vienāds ar kāju garumu kvadrātu summu. Tas ir, apzīmējot trijstūra hipotenūzas garumu cauri, un kāju garumus caur a un b: a2+b2=c2 Abi teorēmas formulējumi ir līdzvērtīgi, bet otrs formulējums ir elementārāks, tas neprasa. apgabala jēdziens. Tas ir, otro apgalvojumu var pārbaudīt, neko nezinot par laukumu un izmērot tikai taisnleņķa trijstūra malu garumus.

Pierādījumi Šobrīd zinātniskajā literatūrā ir fiksēti 367 šīs teorēmas pierādījumi. Iespējams, Pitagora teorēma ir vienīgā teorēma ar tik iespaidīgu pierādījumu skaitu. Šāda dažādība ir izskaidrojama tikai ar teorēmas fundamentālo nozīmi ģeometrijā. Protams, konceptuāli tās visas var iedalīt nelielā skaitā klašu. Slavenākie no tiem: pierādījumi ar laukuma metodi, aksiomātiskie un eksotiskie pierādījumi (piemēram, izmantojot diferenciālvienādojumus).

Izmantojot līdzīgus trijstūrus Šis algebriskās formulējuma pierādījums ir vienkāršākais no pierādījumiem, kas izveidoti tieši no aksiomām. Jo īpaši tajā netiek izmantots figūras laukuma jēdziens. Lai ABC ir taisnleņķa trijstūris ar taisnu leņķi C . Uzzīmējiet augstumu no C un apzīmējiet tā pamatu ar H . Trijstūris ACH ir līdzīgs trijstūrim ABC divos leņķos. Līdzīgi trīsstūris CBH ir līdzīgs ABC. Ieviešot apzīmējumu, iegūstam Kurš ir līdzvērtīgs Saskaitot, iegūstam vai, kas bija jāpierāda

Pierādījumi ar laukuma metodi Tālāk minētie pierādījumi, neskatoties uz šķietamo vienkāršību, nemaz nav tik vienkārši. Visos izmantotas laukuma īpašības, kuru pierādīšana ir sarežģītāka nekā pašas Pitagora teorēmas pierādīšana Pierādīšana ar vienādojumu Novietosim četrus vienādus taisnleņķa trijstūrus, kā parādīts 1. attēlā Četrstūris ar malām c ir kvadrāts, jo summa no diviem akūtiem leņķiem ir 90 °, un izstrādātais leņķis ir 180 °. Visas figūras laukums ir vienāds, no vienas puses, ar kvadrāta laukumu ar malu (a + b), un, no otras puses, ar četru trīsstūru laukumu un laukuma summu no iekšējā laukuma. Q.E.D. .

Eiklida pierādījums Eiklida pierādījuma ideja ir šāda: mēģināsim pierādīt, ka puse no kvadrāta laukuma, kas uzbūvēts uz hipotenūzas, ir vienāds ar to kvadrātu puslaukumu summu, kas uzbūvēti uz kājām, un tad lielā un divu mazo kvadrātu laukumi ir vienādi. Apsveriet zīmējumu kreisajā pusē. Taisnleņķa trijstūra malās uz tā uzbūvējām kvadrātus un no taisnleņķa C virsotnes uzzīmējām staru s perpendikulāri hipotenūzai AB, tas sagriež uz hipotenūzas uzbūvēto kvadrātu ABIK divos taisnstūros - BHJI un HAKJ. , attiecīgi. Izrādās, ka šo taisnstūru laukumi ir precīzi vienādi ar kvadrātu laukumiem, kas uzbūvēti uz attiecīgajām kājām. Mēģināsim pierādīt, ka kvadrāta DECA laukums ir vienāds ar taisnstūra AHJK laukumu. Lai to izdarītu, mēs izmantojam papildu novērojumu: Trijstūra laukums ar tādu pašu augstumu un pamatni kā dotajam taisnstūrim ir vienāds ar pusi no dotā taisnstūra laukuma. Tas ir rezultāts, definējot trīsstūra laukumu kā pusi no pamatnes un augstuma reizinājuma. No šī novērojuma izriet, ka trīsstūra ACK laukums ir vienāds ar trijstūra AHK laukumu (nav parādīts), kas, savukārt, ir vienāds ar pusi no taisnstūra AHJK laukuma. Tagad pierādīsim, ka arī trijstūra ACK laukums ir vienāds ar pusi no DECA kvadrāta laukuma. Vienīgais, kas tam jādara, ir jāpierāda trijstūra ACK un BDA vienādība (jo trijstūra BDA laukums ir vienāds ar pusi no kvadrāta laukuma pēc iepriekš minētās īpašības). Šī vienlīdzība ir acīmredzama: trijstūriem ir vienādas divas malas un leņķis starp tiem. Proti - AB=AK, AD=AC - leņķu CAK un BAD vienādību ir viegli pierādīt ar kustības metodi: pagriezīsim trijstūri CAK par 90° pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tad redzams, ka abu aplūkoto trijstūri atbilstošās malas sakritīs. (sakarā ar to, ka leņķis pie kvadrāta virsotnes ir 90°). Arguments par kvadrāta BCFG un taisnstūra BHJI laukumu vienādību ir pilnīgi analogs. Tādējādi mēs esam pierādījuši, ka uz hipotenūzas uzceltā kvadrāta laukums ir uz kājām uzcelto kvadrātu laukumu summa. Šī pierādījuma ideja ir tālāk ilustrēta iepriekš redzamajā animācijā. Šo pierādījumu sauc arī par "Pitagora biksēm".

Leonardo da Vinči pierādījums Galvenie pierādījuma elementi ir simetrija un kustība. Apsveriet zīmējumu, kā redzams no simetrijas, segments sagriež kvadrātu divās identiskās daļās (jo trīsstūri un ir vienādi pēc konstrukcijas). Izmantojot rotāciju par 90 grādiem pretēji pulksteņrādītāja virzienam ap punktu, mēs redzam ēnoto figūru vienādību un. Tagad ir skaidrs, ka mūsu ēnotās figūras laukums ir vienāds ar pusi no mazo kvadrātu laukumiem (uzbūvētiem uz kājām) un sākotnējā trīsstūra laukuma. No otras puses, tas ir vienāds ar pusi no lielā kvadrāta laukuma (uzcelta uz hipotenūzas) plus sākotnējā trīsstūra laukums. Tādējādi puse no mazo kvadrātu laukumu summas ir vienāda ar pusi no lielā kvadrāta laukuma, un tāpēc uz kājām uzbūvēto kvadrātu laukumu summa ir vienāda ar uzbūvētā kvadrāta laukumu uz hipotenūzas.

Pitagora teorēmas nozīme Pitagora teorēma ir viena no galvenajām un, varētu teikt, vissvarīgākajām ģeometrijas teorēmām. Tās nozīme ir tajā, ka no tās vai ar tās palīdzību var izsecināt lielāko daļu ģeometrijas teorēmu.

Paldies par jūsu uzmanību!