راه های جالب برای اثبات ارائه قضیه فیثاغورث. ارائه با موضوع "روش های اثبات قضیه فیثاغورث"

طرح درس لحظه سازمانی لحظه سازمانی تکرار تکرار گزارش از زندگی فیثاغورث ساموسی گزارش زندگی فیثاغورث ساموس پیشینه تاریخی قضیه فیثاغورث پیشینه تاریخی قضیه فیثاغورث کار بر روی قضیه کار بر روی قضیه حل مسائل با استفاده از قضیه حل قضیه مسائل با استفاده از قضیه خلاصه کردن درس خلاصه کردن تکلیف درس

فیثاغورث فیثاغورث ساموسی در سال 580 قبل از میلاد به دنیا آمد. در یونان باستان در جزیره ساموس، که در دریای اژه در سواحل آسیای صغیر واقع شده است، بنابراین او را فیثاغورس ساموس می نامند. در خانواده یک سنگ تراشی که به جای ثروت، شهرت پیدا کرد. او حتی در کودکی توانایی های خارق العاده ای از خود نشان داد و وقتی بزرگ شد، تخیلات ناآرام مرد جوان در جزیره ای کوچک شلوغ شد.

فیثاغورث فیثاغورث به شهر مایلیوس نقل مکان کرد و شاگرد تالس شد که در آن زمان هشتاد ساله بود. دانشمند خردمند به مرد جوان توصیه کرد که به مصر برود، جایی که خود زمانی به تحصیل علم پرداخت. کشوری ناشناخته در برابر فیثاغورث گشوده شد. او از این واقعیت شگفت زده شد که در زادگاهش یونان، خدایان به شکل مردم بودند و خدایان مصری - به شکل نیمه انسان - نیمه حیوانات. دانش در معابدی متمرکز شده بود که دسترسی به آنها محدود بود.

فیثاغورث سالها طول کشید تا فرهنگ مصر را عمیقاً مطالعه کند تا اینکه اجازه یافت با دستاوردهای چند صد ساله علم مصر آشنا شود. وقتی فیثاغورث علم کاهنان مصری را درک کرد، به خانه می رفت تا مدرسه خود را در آنجا ایجاد کند. کاهنان که نمی خواستند دانش خود را در خارج از معابد منتشر کنند، نمی خواستند او را رها کنند. او به سختی توانست بر این مانع غلبه کند.

با این حال، در راه خانه، فیثاغورث اسیر شد و در نهایت به بابل رفت. بابلی ها برای افراد باهوش ارزش قائل بودند، بنابراین او جایگاه خود را در میان خردمندان بابلی یافت. علم بابل بیش از مصر توسعه یافته بود. برجسته ترین آنها موفقیت های جبر بود.فیثاغورث بابلی ها سیستم اعداد موقعیتی را اختراع کردند و در شمارش استفاده کردند و توانستند معادلات خطی، درجه دوم و برخی از انواع معادلات مکعبی را حل کنند. فیثاغورث حدود ده سال در بابل زندگی کرد و در چهل سالگی به وطن خود بازگشت. اما در جزیره ساموس مدت زیادی نماند. در اعتراض به پولیکراتس ظالم، که در آن زمان بر جزیره حکومت می کرد، در یکی از مستعمرات یونانی جنوب ایتالیا در شهر کروتون ساکن شد.

فیثاغورث در آنجا اتحادیه پنهانی جوانان را از نمایندگان اشراف سازمان داد. این اتحادیه پس از آزمایش های طولانی با تشریفات عالی پذیرفته شد. هر وارد کننده از اموال خود چشم پوشی کرد و سوگند یاد کرد که آموزه های مؤسس را مخفی نگه دارد. فیثاغورثی ها که بعدها به آنها گفته شد، به ریاضیات، فلسفه و علوم طبیعی مشغول بودند. مدرسه حکمی داشت که به موجب آن تألیف تمام آثار ریاضی به معلم نسبت داده می شد. اتحاد فیثاغورثیان مخفی بود. نشان یا علامت شناسایی اتحادیه یک پنتاگرام - یک ستاره پنج پر بود. به پنتاگرام توانایی محافظت از شخص در برابر ارواح شیطانی داده شد.

فیثاغورثی ها اکتشافات مهم بسیاری در حساب و هندسه انجام دادند. همچنین مشخص است که علاوه بر رشد معنوی و اخلاقی شاگردان فیثاغورث، رشد جسمانی آنها نیز مورد توجه بوده است. او نه تنها خودش در بازی های المپیک شرکت کرد و دو مشت برد، بلکه کهکشانی از المپیکی های بزرگ را نیز در زمان قیام مردمی پرورش داد. پس از مرگ او، دانش آموزان نام معلم خود را با افسانه های بسیاری احاطه کردند.

در متون بابلی، او 1200 سال قبل از فیثاغورس رخ می دهد. ظاهراً او اولین کسی بود که دلیل آن را یافت. در این رابطه این مدخل انجام شد: «... هنگامی که دریافت که در مثلث قائم الزاویه هیپوتنوس مطابق با پاها است، گاو نر ساخته شده از خمیر گندم را قربانی کرد». تاریخچه قضیه فیثاغورث تاریخچه قضیه فیثاغورث جالب است. اگرچه این قضیه با نام فیثاغورث همراه است، اما مدت ها قبل از او شناخته شده بود.

قضیه در یک مثلث قائم الزاویه، مجذور هیپوتنوس برابر با مجموع مربع های پاها است. با توجه به: Δ ABC، C = 90° اثبات: اثبات: D با در نظر گرفتن cos B، به دست می‌آییم: با جمع کردن (1) و (2)، به دست می‌آییم: با در نظر گرفتن cos B، به دست می‌آییم: ارتفاع SD را از راس آن کم کنیم. زاویه مناسب

اسلاید 2

a2+b2=c2 c a b P

اسلاید 3

فیثاغورث این خاصیت مثلث قائم الزاویه را کشف نکرد، او احتمالاً اولین کسی بود که آن را تعمیم و اثبات کرد و بدین وسیله آن را از حوزه عمل به حوزه علم منتقل کرد. ما نمی دانیم او چگونه این کار را کرد. فرض بر این است که، با این وجود، اثبات فیثاغورث بنیادی نبود، بلکه فقط یک تأیید بود، تأییدی از این ویژگی در تعدادی از انواع خاص مثلث، که با یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین شروع می شود، که بدیهی است که از شکل زیر آمده است. 1.

اسلاید 4

اسلاید 5

شواهد مبتنی بر استفاده از مفهوم مساحت مساوی ارقام.

اسلاید 6

واضح است که اگر مساحت چهار مثلث قائم الزاویه با پاهای a، b را از مساحت مربع کم کنیم، مساحت های مساوی باقی می ماند، یعنی c2 = a2 + b2. با این حال، هندوهای باستان، که این استدلال به آنها تعلق دارد، معمولاً آن را یادداشت نمی کردند، بلکه نقاشی را تنها با یک کلمه همراه می کردند: "ببین!" این کاملاً محتمل است که فیثاغورث همین دلیل را ارائه کرده باشد.

اسلاید 7

شواهد افزودنی این اثبات ها بر اساس تجزیه مربع های ساخته شده بر روی پاها به ارقام است که از آنها می توان مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس را اضافه کرد. اثبات اینشتین (شکل 3) بر اساس تجزیه مربع ساخته شده بر روی هیپوتنوس به 8 مثلث است.

اسلاید 8

روی انجیر 4 اثبات قضیه فیثاغورث را با استفاده از تقسیم النیریزیه، مفسر قرون وسطایی بغداد در "آغاز" اقلیدس نشان می دهد. در این پارتیشن مربع ساخته شده روی هیپوتونوس به 3 مثلث و 2 چهار گوش تقسیم می شود. در اینجا: ABC یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست C است. DE=BF. با استفاده از این پارتیشن قضیه را ثابت کنید. D E

اسلاید 9

اثبات با روش گسترش. ماهیت این روش این است که ارقام مساوی به مربع های ساخته شده روی پاها و به مربع ساخته شده روی هیپوتانوس به گونه ای متصل می شوند که ارقام مساوی به دست می آیند.

اسلاید 10

اعتبار قضیه فیثاغورث از اندازه مساوی شش ضلعی های AEDFPB و ACBNMQ ناشی می شود. اف

اسلاید 11

روی انجیر 13 ABC - مستطیل، C - زاویه راست، CM AB، b1 - طرح ریزی پایه b روی هیپوتنوز، a1 - طرح ریزی پایه a روی هیپوتنوز، h - ارتفاع مثلث کشیده شده به سمت هیپوتنوز. از آنجایی که ABC مشابه ACM است، نتیجه می شود که b2 = c*b1; (1) از آنجایی که ABC مشابه BCM است، نتیجه می شود که a2 = c*a1. (2) با اضافه کردن تساوی (1) و (2) ترم به ترم، a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2 را به دست می آوریم. ب

اسلاید 12

در شکل 15، سه مثلث قائم الزاویه یک ذوزنقه را تشکیل می دهند. بنابراین مساحت این شکل را می توان با فرمول مساحت ذوزنقه مستطیلی یا به صورت مجموع مساحت های سه مثلث یافت. اثبات گارفیلد

اسلاید 13

زندگی نامه فیثاغورث. فیثاغورث دانشمند بزرگ در حدود سال 570 قبل از میلاد به دنیا آمد. در جزیره ساموس پدر فیثاغورث منسارخوس بود که گوهرتراش بود. نام مادر فیثاغورث مشخص نیست. طبق بسیاری از شواهد باستانی، پسر متولد شده فوق العاده زیبا بود و به زودی توانایی های برجسته خود را نشان داد. از جمله معلمان فیثاغورث جوان، ژرمودامانت و فرکیدس از سیروس بودند. فیثاغورث جوان تمام روزها را زیر پای هرمو بزرگ گذراند و به ملودی های سیتارا و هگزامترهای هومر گوش داد. اشتیاق به موسیقی و شعر هومر بزرگ، فیثاغورس را تا آخر عمر حفظ کرد. و فیثاغورث که حکیمی شناخته شده بود، در محاصره انبوهی از دانش آموزان، روز خود را با خواندن یکی از آهنگ های هومر آغاز کرد. فرسیدس فیلسوف بود و بنیانگذار مکتب فلسفی ایتالیایی به شمار می رفت. اما به هر حال، تخیل بی قرار فیثاغورث جوان به زودی در ساموس کوچک شلوغ شد و او به میلتوس می رود و در آنجا با دانشمند دیگری به نام تالس ملاقات می کند. تالس به او توصیه می کند که برای دانش به مصر برود که فیثاغورس نیز چنین کرد. در سال 548 ق.م فیثاغورث وارد ناوکراتیس، مستعمره سامی ها شد، جایی که شخصی برای یافتن سرپناه و غذا وجود داشت.

اسلاید 14

پس از مطالعه زبان و مذهب مصریان، عازم ممفیس می شود. علیرغم توصیه نامه فرعون، کاهنان حیله گر عجله ای نداشتند تا اسرار خود را برای فیثاغورث فاش کنند و آزمایش های سختی را به او پیشنهاد کردند. اما فیثاغورث بر اثر تشنگی دانش، بر همه آنها غلبه کرد، اگرچه طبق کاوش ها، کاهنان مصری نتوانستند چیز زیادی به او بیاموزند، زیرا. در آن زمان هندسه مصری یک علم صرفاً کاربردی بود (برآورنده نیاز آن زمان به شمارش و اندازه گیری زمین). بنابراین، با آموختن همه چیزهایی که کشیشان به او دادند، پس از فرار از دست آنها، به وطن خود در هلاس نقل مکان کرد. با این حال، فیثاغورث پس از انجام بخشی از راه، تصمیم به سفر زمینی می گیرد و در طی آن توسط کمبوجیه، پادشاه بابل، که در حال رفتن به خانه بود، اسیر شد. لازم نیست زندگی فیثاغورث در بابل را دراماتیزه کنیم، زیرا کوروش فرمانروای بزرگ با همه اسیران مدارا می کرد. ریاضیات بابلی به طور غیرقابل انکاری پیشرفته تر از ریاضیات مصری بود (نمونه ای از آن سیستم موقعیتی حساب دیفرانسیل و انتگرال است) و فیثاغورث چیزهای زیادی برای یادگیری داشت. اما در سال 530 ق.م. کوروش به لشکرکشی به قبایل آسیای میانه پرداخت. و فیثاغورث با سوء استفاده از هیاهوی شهر به سرزمین خود گریخت.

اسلاید 15

و در ساموس در آن زمان پلیکراتس ظالم سلطنت کرد. البته فیثاغورث از زندگی نیمه برده درباری راضی نبود و به غارهای اطراف ساموس بازنشسته شد. پس از چندین ماه ادعای پولیکراتس، فیثاغورس به کروتون نقل مکان کرد. فیثاغورث در کروتون چیزی شبیه یک برادری مذهبی-اخلاقی یا یک نظم رهبانی مخفی ("فیثاغورثی ها") ایجاد کرد که اعضای آن موظف بودند به اصطلاح زندگی فیثاغورثی را رهبری کنند. در عین حال یک اتحادیه مذهبی و یک باشگاه سیاسی و یک انجمن علمی بود. باید گفت که برخی از اصولی که فیثاغورث موعظه کرده است حتی اکنون نیز قابل تقلید است. ... 20 سال گذشت. آوازه برادری در سراسر جهان پیچید. یک روز، سیلون، مردی ثروتمند اما شرور، نزد فیثاغورس می‌آید و می‌خواهد مستانه به برادری بپیوندد. پس از رد شدن، سایلون با سوء استفاده از آتش زدن خانه اش، مبارزه با فیثاغورث را آغاز می کند. در جریان آتش سوزی، فیثاغورثی ها به هزینه خود جان معلم خود را نجات دادند و پس از آن فیثاغورث دلتنگ شد و به زودی خودکشی کرد.

مشاهده همه اسلایدها

تاریخچه قضیه. چین باستان بیایید مرور تاریخی خود را با چین باستان شروع کنیم. در اینجا کتاب ریاضی چوپی توجه ویژه ای را به خود جلب می کند. این مقاله در مورد مثلث فیثاغورث با ضلع های 3، 4 و 5 این را می گوید: بیایید بررسی تاریخی را با چین باستان شروع کنیم. در اینجا کتاب ریاضی چوپی توجه ویژه ای را به خود جلب می کند. این مقاله در مورد مثلث فیثاغورث با ضلع های 3، 4 و 5 چنین می گوید: "اگر یک زاویه قائمه به اجزای تشکیل دهنده آن تجزیه شود، خطی که انتهای اضلاع آن را به هم متصل می کند، زمانی که پایه 3 و ارتفاع آن 4 باشد، 5 خواهد بود. " در همین کتاب، طرحی پیشنهاد شده است که با یکی از نقاشی‌های هندسی بشارا مطابقت دارد. در همین کتاب، طرحی پیشنهاد شده است که با یکی از نقاشی‌های هندسی بشارا مطابقت دارد.

در مورد قضیه فیثاغورث در میان بابلی ها تا حدودی بیشتر شناخته شده است. در یک متن مربوط به زمان حمورابی، یعنی به 2000 ق.م. e.، یک محاسبه تقریبی از هیپوتنوز یک مثلث قائم الزاویه داده شده است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که در بین النهرین حداقل در مواردی قادر به انجام محاسبات با مثلث های قائم الزاویه بودند. هندسه در میان هندوها و همچنین در میان مصریان و بابلی ها ارتباط تنگاتنگی با این آیین داشت. به احتمال بسیار زیاد قضیه مربع هیپوتنوس قبلاً در قرن 18 قبل از میلاد در هند شناخته شده بود. ه. هند باستان

کانتور (بزرگترین مورخ آلمانی ریاضیات) معتقد است که برابری: 3² + 4² = 5² قبلاً در حدود 2300 سال قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. ه.، در زمان پادشاه آمنهات اول (طبق پاپیروس 6619 موزه برلین) طبق گفته کانتور، هارپدوناپت ها یا "طناب ها" با استفاده از مثلث های قائم الزاویه با ضلع های 3، 4 و 5، زوایای قائمه می ساختند. روش ساخت آنها آسان است. طنابی به طول 12 متر بردارید و در امتداد یک نوار رنگی به فاصله 3 متر از یک سر و 4 متر از سر دیگر به آن ببندید. یک زاویه قائم بین اضلاع به طول 3 و 4 متر محصور خواهد شد.

Van der Waerden (ریاضیدان هلندی) بر اساس سطح دانش فعلی در مورد ریاضیات مصر و بابل از یک سو و از سوی دیگر بر اساس مطالعه انتقادی منابع یونانی به این نتیجه رسید: «شایستگی اولین ریاضیدان یونانی مانند تالس، فیثاغورث و فیثاغورثی ها، کشف ریاضیات نیست، بلکه نظام مندی و اثبات آن است. در دست آنها دستور العمل های محاسباتی مبتنی بر ایده های مبهم به یک علم دقیق تبدیل شده است.

فیثاغورث دانشمند بزرگ در حدود سال 570 قبل از میلاد به دنیا آمد. در جزیره ساموس پدر فیثاغورث منسارخوس بود که گوهرتراش بود. نام مادر فیثاغورث ناشناخته است. طبق بسیاری از شواهد باستانی، پسر متولد شده فوق العاده زیبا بود و به زودی توانایی های برجسته خود را نشان داد. اشتیاق به موسیقی و شعر هومر بزرگ، فیثاغورس را تا آخر عمر حفظ کرد. به زودی، تخیل بی قرار فیثاغورث جوان در ساموس کوچک شلوغ شد و او به میلتوس رفت و در آنجا با دانشمند دیگری به نام تالس ملاقات کرد. سپس به سفر می رود و توسط کوروش پادشاه بابل اسیر می شود. در سال 530 ق.م کوروش به لشکرکشی به قبایل آسیای میانه پرداخت. و فیثاغورث با سوء استفاده از هیاهوی شهر به سرزمین خود گریخت.

و در ساموس در آن زمان پلیکراتس ظالم سلطنت کرد. پس از چندین ماه ادعای پولیکراتس، فیثاغورس به کروتون نقل مکان کرد. فیثاغورث در کروتون چیزی شبیه یک برادری مذهبی-اخلاقی یا یک نظم رهبانی مخفی ("فیثاغورثی ها") تأسیس کرد که اعضای آن موظف بودند به اصطلاح زندگی فیثاغورثی را رهبری کنند .... بیست سال از آن زمان می گذرد. آوازه برادری در سراسر جهان پیچید. یک روز، سیلون، مردی ثروتمند اما شرور، نزد فیثاغورس می‌آید و می‌خواهد مستانه به برادری بپیوندد. پس از رد شدن، سایلون با سوء استفاده از آتش زدن خانه اش، مبارزه با فیثاغورث را آغاز می کند. در جریان آتش سوزی، فیثاغورثی ها به هزینه خود جان معلم خود را نجات دادند و پس از آن فیثاغورث دلتنگ شد و به زودی خودکشی کرد.

قضیه فیثاغورس. در مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها. فرمول های دیگر قضیه. در اقلیدس، این قضیه (ترجمه تحت اللفظی) می گوید: «در مثلث قائم الزاویه، مربع ضلع کشیده شده بر روی زاویه قائمه برابر است با مربع های اضلاع که زاویه قائمه را در بر می گیرند». در Geometria Culmonensis (حدود 1400) در ترجمه، قضیه به شرح زیر است: "بنابراین، مساحت یک مربع، که در امتداد ضلع بلند اندازه گیری می شود، به اندازه دو مربع است که در دو طرف آن اندازه گیری می شود. در مجاورت یک زاویه قائمه."

ساده ترین اثبات ساده ترین اثبات قضیه در ساده ترین حالت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به دست می آید. در واقع، کافی است فقط به کاشی کاری مثلث های قائم الزاویه نگاه کنیم تا ببینیم قضیه درست است. به عنوان مثال، برای مثلث ABC: مربع ساخته شده بر روی فرضیه AC شامل 4 مثلث اولیه و مربع های ساخته شده روی پاها شامل دو مثلث است.

اثبات با تفریق. بیایید با اثبات دیگری به روش تفریق آشنا شویم. ما رسم آشنای قضیه فیثاغورث را در یک قاب مستطیلی قرار می دهیم که جهت اضلاع آن با جهات پایه های مثلث منطبق است. بیایید برخی از بخش های شکل را همانطور که در شکل نشان داده شده است ادامه دهیم، در حالی که مستطیل به چندین مثلث، مستطیل و مربع تقسیم می شود. ابتدا چند قسمت از مستطیل را برداریم تا فقط یک مربع ساخته شده روی هیپوتنوس باقی بماند. این قطعات به شرح زیر است: 1. مثلث 1، 2، 3، 4; 2. مستطیل 5; 3. مستطیل 6 و مربع 8; 4. مستطیل 7 و مربع 9;

سپس قطعات را از مستطیل دور می اندازیم تا فقط مربع های ساخته شده روی پاها باقی بماند. این قسمت ها عبارتند از: 1. مستطیل های 6 و 7; 2. مستطیل 5; 3. مستطیل 1 (سایه دار)؛ 4. مستطیل 2 (سایه دار)؛ فقط برای ما باقی می ماند که نشان دهیم اجزای تفریق شده برابر هستند. به دلیل چیدمان شکل ها به راحتی قابل مشاهده است. از شکل مشخص است که: 1. مستطیل 5 از نظر اندازه با خودش برابر است. 2. چهار مثلث 1،2،3،4 مساحتی برابر با دو مستطیل 6 و 7 دارند. 3. مستطیل 6 و مربع 8، با هم، اندازه مستطیل 1 (سایه دار) هستند. 4. مستطیل 7 به همراه مربع 9 مساحتی برابر با مستطیل 2 دارند (سایه دار). قضیه ثابت شد

اثبات اینشتین نقاط E، C و F روی یک خط قرار دارند. این از محاسبات ساده اندازه گیری درجه زاویه ECF نتیجه می شود (باز شده است). CD عمود بر EF رسم شده است. ضلع چپ و راست مربع ساخته شده روی هیپوتونوس به سمت بالا تا تقاطع با EF ادامه می یابد. سمت EA تا تقاطع با CD گسترش یافته است. بر این اساس، مثلث های مساوی به یک اندازه شماره گذاری می شوند.

در واقع، مثلث های ABD و BFC در دو ضلع و زاویه بین آنها برابرند: FB = AB، BC = BD، و زوایای بین آنها به عنوان زوایای منفرد با اضلاع عمود بر یکدیگر برابر است. S ABD \u003d 0.5 S BJLD، زیرا مثلث ABD و مستطیل BJLD دارای پایه مشترک BD و ارتفاع مشترک LD هستند. به طور مشابه S FBC=0.5 S ABFH (BF-پایه مشترک، AB-ارتفاع مشترک). بنابراین، با در نظر گرفتن S ABD= S FBC، S BJLD= S ABFH داریم. به همین ترتیب، اگر قطعه AE را با استفاده از برابری مثلث های BCK و ACE رسم کنید، ثابت خواهید کرد که S JCEL = S ACKG. پس S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED که قرار بود ثابت شود. این اثبات توسط اقلیدس در عناصر خود ارائه شده است. به گفته پروکلوس (بیزانس) توسط خود اقلیدس اختراع شد. برهان اقلیدس در گزاره 47 از کتاب اول آغازها آمده است. مربع های متناظر روی فرضیه و پایه های مثلث قائم الزاویه ABC ساخته شده و ثابت می شود که مستطیل BJLD برابر مربع ABFH و مستطیل JCEL برابر مربع AGKS است. سپس مجموع مساحت مربع های روی پاها برابر با مساحت مربع روی هیپوتانوس خواهد بود.

معمای دوم تعداد نامشخصی از اثبات قضیه معروف فیثاغورث ساموس است. به همین مناسبت بود که تصمیم گرفتم یک نظرسنجی جامعه‌شناختی انجام دهم که نشان داد اکثر نسل قدیم با وجود 250 دلیل موافق هستند، اگرچه از منابع اضافی می‌دانم که بیش از 350 دلیل برای این قضیه وجود دارد، بنابراین حتی وارد کتاب رکوردهای گینس شد! اما، البته، نسبتاً اندکی از ایده های اساساً متفاوت در این اثبات ها استفاده می شود.

راز سوم این است که قضیه فیثاغورث امروزه نماد ریاضیات است. راز چهارم - قضیه فیثاغورث غنی ترین مطالب را برای تعمیم در اختیار ما قرار می دهد - مهمترین نوع فعالیت ذهنی، اساس تفکر نظری است که بسیاری از دانشمندان به آن مسلط هستند. در اینجا می توان اضافه کرد که می توان از قضیه فیثاغورث به قضایای دیگر رفت.

پنجمین راز این است که برخی از محققان دلیلی را که اقلیدس در کتاب اول عناصر خود آورده است به فیثاغورث نسبت می دهند. از سوی دیگر، پروکلوس (ریاضیدان قرن پنجم) مدعی شد که اثبات موجود در عناصر به خاطر خود اقلیدس بوده است. اما هنوز هم امروزه روش اثبات فیثاغورث ناشناخته باقی مانده است.

راز ششم، افسانه های مربوط به خود فیثاغورث است، مردی که اولین بار این قضیه را اثبات کرد. افسانه ای وجود دارد که وقتی فیثاغورث ساموسی قضیه خود را اثبات کرد، با قربانی کردن 100 گاو نر از خدایان تشکر کرد. همچنین افسانه هایی در مورد توانایی های هیپنوتیزمی دانشمند وجود داشت: گویی با یک نگاه می تواند جهت پرواز پرندگان را تغییر دهد. و همچنین گفته اند که این شخص شگفت انگیز همزمان در شهرهای مختلف دیده شده است که بین آنها چندین روز سفر بوده است. و اینکه او ظاهراً صاحب "چرخ بخت" بود، که با چرخاندن آن، نه تنها آینده را پیش بینی کرد، بلکه در صورت لزوم در جریان حوادث مداخله کرد.

شرح ارائه در اسلایدهای جداگانه:

1 اسلاید

توضیحات اسلاید:

معلم لیسه در KazGASA Auelbekova G.U. «قضیه فیثاغورث و راه های مختلف اثبات آن». 2016

2 اسلاید

توضیحات اسلاید:

هدف: وظیفه اصلی در نظر گرفتن راه های مختلف برای اثبات قضیه فیثاغورث است. نشان دادن اهمیت قضیه فیثاغورث در توسعه علم و فناوری، به طور کلی در ریاضیات.

3 اسلاید

توضیحات اسلاید:

از زندگی نامه فیثاغورث بیشترین چیزی که اکنون در مورد این یونانی محترم باستان برای مردم شناخته شده است در یک عبارت قرار می گیرد: "شلوار فیثاغورث از همه طرف برابر است." نویسندگان این تیزر به وضوح قرن ها از فیثاغورث جدا شده اند، در غیر این صورت جرات کنایه زدن را نداشتند. زیرا فیثاغورث اصلاً مربع هیپوتنوس برابر با مجموع مربع های پاها نیست. این یک فیلسوف معروف است. فیثاغورث در قرن ششم قبل از میلاد زندگی می کرد، ظاهری زیبا داشت، ریش بلندی داشت و بر روی سرش سنگی طلایی داشت. فیثاغورث یک نام نیست، بلکه لقبی است که فیلسوف به دلیل اینکه همیشه درست و متقاعد کننده صحبت می کند، مانند یک اوراکل یونانی دریافت کرده است. (فیثاغورث - "سخنرانی متقاعد کننده".) با سخنرانی های خود 2000 دانش آموز را به دست آورد که به همراه خانواده های خود یک مدرسه-دولت را تشکیل دادند که در آن قوانین و قوانین فیثاغورث در آن جاری بود. او اولین کسی بود که نامی برای خط کار خود گذاشت. کلمه "فیلسوف" مانند کلمه "کیهان" از فیثاغورس به ما رسیده است. فضای زیادی در فلسفه او وجود دارد. او استدلال کرد که برای درک خدا، انسان و طبیعت، باید جبر را با هندسه، موسیقی و نجوم مطالعه کرد. به هر حال، این سیستم دانش فیثاغورثی است که در یونانی "ریاضیات" نامیده می شود. در مورد مثلث بدنام با هیپوتونوس و پاهایش، به گفته یونانی بزرگ، این بیش از یک شکل هندسی است. این "کلید" همه پدیده های رمزگذاری شده زندگی ما است. فیثاغورث گفت همه چیز در طبیعت به سه قسمت تقسیم می شود. بنابراین قبل از حل هر مسئله ای باید به صورت نمودار مثلثی ارائه شود. "مثلث را ببینید - و مشکل دو سوم حل شده است."

4 اسلاید

توضیحات اسلاید:

در حال حاضر سه صورت بندی از قضیه فیثاغورث وجود دارد: 1. در مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پا. 2. مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها. 3. مربعی که بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه ساخته شده است با مربع های ساخته شده روی پاها فاصله دارد. قضیه فیثاغورث معکوس: برای هر سه گانه اعداد مثبت a، b و c به طوری که a2 + b2 = c2، یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a و b و فرضیه c وجود دارد. شما

5 اسلاید

توضیحات اسلاید:

از تاریخچه قضیه از تاریخچه قضیه به بیان دقیق، اگرچه این قضیه "قضیه فیثاغورث" نامیده می شود، خود فیثاغورث آن را کشف نکرد. مثلث قائم الزاویه و خواص ویژه آن مدت ها قبل از آن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این مورد دو دیدگاه قطبی وجود دارد. طبق یک نسخه، فیثاغورث اولین کسی بود که اثبات کامل قضیه را یافت. به گفته دیگری، اثبات متعلق به نویسنده فیثاغورث نیست. امروز دیگر نمی توانید بررسی کنید که چه کسی درست می گوید و چه کسی اشتباه می کند. فقط معلوم است که اثبات فیثاغورث، اگر زمانی وجود داشته باشد، باقی نمانده است. با این حال، پیشنهاداتی وجود دارد مبنی بر اینکه اثبات معروف عناصر اقلیدس ممکن است متعلق به فیثاغورس باشد و اقلیدس فقط آن را ثبت کرده است. امروزه نیز شناخته شده است که مشکلات مربوط به مثلث قائم الزاویه در منابع مصری از زمان فرعون آمنمه اول، بر روی لوح های گلی بابلی از سلطنت پادشاه حمورابی، در رساله باستانی هندی Sulva Sutra و اثر چینی باستانی Zhou یافت می شود. -بی سون جین. همانطور که می بینید، قضیه فیثاغورث از زمان های قدیم ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده است. تقریباً 500 مدرک مختلف که امروزه وجود دارد به عنوان تأیید عمل می کند. هیچ قضیه دیگری از این نظر نمی تواند با آن رقابت کند. نویسندگان شواهد برجسته عبارتند از لئوناردو داوینچی و بیستمین رئیس جمهور ایالات متحده، جیمز گارفیلد. همه اینها حاکی از اهمیت فوق العاده این قضیه برای ریاضیات است: بیشتر قضایای هندسه از آن مشتق شده اند یا به نوعی با آن مرتبط هستند. .

6 اسلاید

توضیحات اسلاید:

بیانیه‌های قضیه ترجمه شده از یونانی، لاتین و آلمانی در اقلیدس، این قضیه (ترجمه تحت اللفظی) چنین می‌گوید: «در مثلث قائم‌الزاویه، مربع ضلعی که روی زاویه قائمه کشیده شده است برابر است با مربع‌های اضلاع که ضلع را محصور می‌کنند. زاویه راست." ترجمه لاتین متن عربی Annairici (حدود 900 سال قبل از میلاد) که توسط Gerhard of Clemons (آغاز قرن 12 میلادی) به روسی ترجمه شده است چنین است: "در هر مثلث قائم الزاویه، مربع تشکیل شده در ضلع بر روی زاویه راست برابر است با مجموع دو مربع تشکیل شده در دو طرف که یک زاویه قائمه ایجاد می کنند. در Geometria Culmonensis (حدود 1400) در ترجمه، قضیه به شرح زیر است: "بنابراین، مساحت یک مربع، که در امتداد ضلع بلند اندازه گیری می شود، به اندازه دو مربع است که در دو طرف آن اندازه گیری می شود. در مجاورت یک زاویه قائمه." در اولین ترجمه روسی «آغازهای اقلیدسی» که توسط F. I. Petrushevsky انجام شده است، قضیه فیثاغورث به شرح زیر بیان شده است: «در مثلث های قائم الزاویه، مربع ضلع مقابل زاویه قائم برابر است با مجموع مربع های اضلاع دارای زاویه راست.»

7 اسلاید

توضیحات اسلاید:

ساختاری که برای اثبات استفاده می شود به شرح زیر است: برای مثلث قائم الزاویه با زاویه قائمه، مربع روی پاها و مربع روی هیپوتانوس، یک ارتفاع ساخته می شود و یک پرتو که آن را ادامه می دهد، مربع را بر روی هیپوتانوس تقسیم می کند. به دو مستطیل و. هدف از اثبات برابری مساحت‌های مستطیل با مربع بالای ساق، برابری مساحت‌های مستطیل دوم، که مربع هیپوتانوس است، و مستطیل بالای پایه دیگر به روشی مشابه است. . تساوی مساحت های مستطیل و از طریق همخوانی مثلث ها و مساحت هر یک از آنها برابر با نصف مساحت مربع ها و به ترتیب در ارتباط با خاصیت زیر مشخص می شود: اگر شکلها دارای ضلع مشترک باشند، مساحت مثلث برابر با نصف مساحت مستطیل است و ارتفاع مثلث تا ضلع مشترک، ضلع دیگر مستطیل است. مطابقت مثلث ها از تساوی دو ضلع (ضلع مربع ها) و زاویه بین آنها (متشکل از یک زاویه قائمه و یک زاویه در) ناشی می شود. ، متشکل از مستطیل ها و برابر است با مجموع مساحت مربع های بالای پاها.

8 اسلاید

توضیحات اسلاید:

AJ ارتفاعی است که از هیپوتانوس کم می شود. اجازه دهید ثابت کنیم که ادامه آن مربع ساخته شده روی هیپوتنوس را به دو مستطیل تقسیم می کند که مساحت آنها برابر است با مساحت مربع های متناظر ساخته شده روی پاها. اجازه دهید ثابت کنیم که مساحت مستطیل BJLD با مربع ABFH برابر است. مثلث ABD=BFC (در دو ضلع و زاویه بین آنها BF=AB؛ BC=BD؛ زاویه FBC=زاویه ABD).

9 اسلاید

توضیحات اسلاید:

S از مثلث ABD=1/2 S از مستطیل BJLD، زیرا مثلث ABD و Rectangle BJLD دارای پایه مشترک BD و ارتفاع مشترک LD هستند. به طور مشابه، S از مثلث FBC = 1/2 S از مستطیل ABFH (BF-پایه مشترک، AB-ارتفاع مشترک). بنابراین با توجه به اینکه S مثلث ABD =S مثلث FBC داریم: S BJLD=S ABFH. به همین ترتیب، با استفاده از برابری مثلث های BCK و ACE، ثابت می شود که S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. مثلث S=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD قضیه ثابت می شود. A L B D

10 اسلاید

توضیحات اسلاید:

اثبات ریاضیدان هندی بهاسکاری (a - c) ². یعنی معلوم می شود که c ² \u003d 4 0.5 a b + (a - c) ² c ² \u003d 2 a b + a ² - 2 a b + c ² c² \u003d a ² + c ² قضیه ثابت شده است.

11 اسلاید

توضیحات اسلاید:

برهان والدهایم а в са в с والدهایم از این واقعیت استفاده می کند که مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف حاصلضرب پاهای آن است و مساحت ذوزنقه برابر حاصلضرب نصف مجموع موازی است. پایه ها و ارتفاع حال برای اثبات قضیه کافی است مساحت ذوزنقه را به دو صورت بیان کنیم S trapezium = 0.5 (a + b) (a + b) = 0.5 (a + b) ² S trapezoid = 0.5 a b + 0, 5 a b + 0.5 s² با معادل کردن قسمت های مناسب، 0.5 (a + b) ² \u003d 0.5 a b + 0.5 a b + 0.5 s² (a + b) ² \u003d a b + a c + c² a ² + به دست می آوریم. 2 a c + c ² = 2 a c + c ² c ² = a ² + c ² قضیه ثابت می شود

12 اسلاید

توضیحات اسلاید:

اثبات هاوکینز A B C A1 B1 a c D c a c c 1. ΔABC مستطیلی (با زاویه راست C) را به اندازه 90 درجه به دور مرکز در نقطه C بچرخانید تا موقعیت A1 B1 C را بگیرد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 2. هیپوتانوز B1 A1 را فراتر از نقطه A1 ادامه می دهیم تا زمانی که با خط AB در نقطه D قطع شود. 3. چهار ضلعی A1AB1B را در نظر بگیرید. از یک طرف، SA1AB1B \u003d SCAA1 + SSBB1 \u003d 0.5v + 0.5a a \u003d 0.5 (a² + b²) HELL \u003d \u003d 0.5 ثانیه (HELL + VD) \u003d 0 به دست می‌آید. 0.5 (a² + b²) \u003d 0.5 s² a² + b² \u003d s² این قضیه ثابت شده است.

13 اسلاید

توضیحات اسلاید:

اثبات هندسی (روش هافمن) بیایید یک مثلث ABC با زاویه قائم C بسازیم. ساخت BF=CB، BFCB ساخت BE=AB، BEAB ساخت AD=AC، ADAC نقاط F، C، D متعلق به یک خط مستقیم هستند. .

14 اسلاید

توضیحات اسلاید:

همانطور که می بینیم، اندازه چهار ضلعی ADFB و ACBE برابر است، زیرا ABF=ECB مثلث های ADF و ACE برابر هستند. از هر دو چهار ضلعی هم اندازه مثلث مشترک ABC را کم می کنیم، به دست می آید: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2 به ترتیب: a2+ b 2 =с 2 قضیه ثابت می شود.

15 اسلاید

توضیحات اسلاید:

برهان جبری (روش مولمان) مساحت این مستطیل از یک طرف برابر با 0.5ab و از طرف دیگر برابر 0.5pr است که p نیمه محیط مثلث و r شعاع دایره محاط شده در آن است (r) =0.5 (a+b-c)). A C

16 اسلاید

توضیحات اسلاید:

داریم: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) نتیجه می شود که c2= a2+b2 قضیه ثابت می شود. A C

17 اسلاید

توضیحات اسلاید:

اهمیت قضیه فیثاغورث قضیه فیثاغورث به حق یکی از قضایای اساسی ریاضیات است. اهمیت این قضیه در این است که با کمک آن می توان بیشتر قضایای هندسه را استخراج کرد. ارزش آن در دنیای مدرن نیز بسیار زیاد است، زیرا قضیه فیثاغورث در بسیاری از زمینه های فعالیت انسانی استفاده می شود. به عنوان مثال در مکان یابی میله های صاعقه بر روی پشت بام ساختمان ها، در تولید پنجره های برخی از سبک های معماری و حتی در محاسبه ارتفاع آنتن اپراتورهای تلفن همراه استفاده می شود. و این تمام فهرست کاربردهای عملی این قضیه نیست. به همین دلیل است که دانستن قضیه فیثاغورث و درک معنای آن بسیار مهم است.

18 اسلاید

توضیحات اسلاید:

قضیه فیثاغورث در ادبیات فیثاغورث نه تنها ریاضی دان بزرگی است، بلکه متفکر بزرگ زمان خود نیز هست، با برخی از گزاره های فلسفی او آشنا می شویم...

19 اسلاید

توضیحات اسلاید:

1. فکر بیش از همه بین مردم روی زمین است. 2. روی پیمانه غلات ننشینید (یعنی بیکار زندگی نکنید). 3. هنگام خروج به عقب نگاه نکنید (یعنی قبل از مرگ به زندگی نچسبید). 4. از راه شکسته نروید (یعنی از عقاید جمعیت پیروی نکنید، بلکه از عقاید معدودی که می فهمند). 5. پرستوها را در خانه نگذارید (یعنی از مهمانانی که پرحرف هستند و در زبان بی بند و بار هستند پذیرایی نکنید). 6. با بار بردار باش، با بارگذار نباش (یعنی مردم را نه به بطالت، بلکه به فضیلت، به کار تشویق کن). 7. در رینگ تصاویر نپوشید (یعنی در مقابل مردم رژه نروید، همانطور که قضاوت می کنید و به خدایان فکر می کنید).

چرنوف ماکسیم

پروژه هندسه، طراحی شده به عنوان ارائه با موضوع "قضیه فیثاغورث و راه های مختلف اثبات آن"

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه ها، یک حساب Google (حساب) ایجاد کنید و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلایدها:

قضیه فیثاغورث و روشهای مختلف اثبات آن تکمیل شده توسط: Chernov Maxim 8A

هدف پروژه: بیان قضیه فیثاغورث، ارائه راه های مختلف برای اثبات آن.

تاریخچه کتاب چینی باستانی ژو بی سوان جینگ از یک مثلث فیثاغورثی با ضلع های 3، 4 و 5 صحبت می کند. در همان کتاب، طرحی پیشنهاد شده است که با یکی از نقشه های هندسی هندو باخارا مطابقت دارد. موریتز کانتور (بزرگترین مورخ آلمانی ریاضیات) معتقد است که برابری 3 ² + 4 ² = 5² قبلاً در حدود 2300 سال قبل از میلاد مسیح در زمان پادشاه آمن هت اول برای مصریان شناخته شده بود (طبق پاپیروس 6619 موزه برلین). به گفته کانتور، هارپدوناپت ها یا "تنش دهنده های ریسمان" با استفاده از مثلث های قائم الزاویه با ضلع های 3، 4 و 5، زاویه های قائمه می ساختند. بازتولید روش ساخت آنها بسیار آسان است. یک طناب به طول 12 متر برداریم و در امتداد یک نوار رنگی به فاصله 3 متر از یک سر و 4 متر از سر دیگر به آن ببندیم. یک زاویه قائم بین اضلاع به طول 3 و 4 متر محصور خواهد شد. ممکن است به هارپدوناپت ها اعتراض شود که روش ساخت آنها زائد می شود اگر مثلاً از مربع چوبی استفاده شده توسط همه نجارها استفاده شود. در واقع، نقشه های مصری شناخته شده است که در آنها چنین ابزاری یافت می شود - به عنوان مثال، نقاشی هایی که یک کارگاه نجاری را به تصویر می کشند. در مورد قضیه فیثاغورث در میان بابلی ها تا حدودی بیشتر شناخته شده است. در یک متن مربوط به زمان حمورابی، یعنی به 2000 سال قبل از میلاد، محاسبه تقریبی هیپوتنوس مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین آورده شده است. از اینجا می توان نتیجه گرفت که در بین النهرین حداقل در مواردی قادر به انجام محاسبات با مثلث های قائم الزاویه بودند. وان در وایردن (ریاضی دان هلندی) بر اساس سطح دانش فعلی ریاضیات مصر و بابل از یک سو و از سوی دیگر بر اساس مطالعه انتقادی منابع یونانی به این نتیجه رسید که احتمال زیادی وجود دارد که قضیه مربع هیپوتنوس در حدود قرن 18 قبل از میلاد در بابل شناخته شد. ه. با توجه به تفسیر پروکلوس در مورد اقلیدس، فیثاغورث (که عموماً معتقدند بین 570-490 قبل از میلاد می زیسته است) از روش های جبری برای یافتن ثلاث فیثاغورثی استفاده کرده است. با این حال، پروکلوس بین سالهای 410 و 485 نوشت. n ه. توماس لیتل هیت معتقد بود که هیچ اشاره صریحی وجود ندارد که قدمت آن به دوره ای 5 قرنی پس از مرگ فیثاغورث می رسد که فیثاغورث نویسنده این قضیه بوده است. با این حال، هنگامی که نویسندگانی مانند پلوتارک و سیسرو در مورد قضیه فیثاغورث می نویسند، به گونه ای می نویسند که گویی تألیف فیثاغورث به طور گسترده ای شناخته شده و قطعی است. دوره ریاضیات فیثاغورث. طبق افسانه ها، فیثاغورث کشف قضیه خود را با جشنی عظیم جشن گرفت و صد گاو نر را برای جشن ذبح کرد. در حدود 400 ق.م. ه.، طبق گفته پروکلوس، افلاطون روشی را برای یافتن سه گانه فیثاغورثی، ترکیب جبر و هندسه ارائه کرد. حدود 300 ق.م. ه. در اصل اقلیدس، قدیمی ترین برهان بدیهی قضیه فیثاغورث ظاهر شد.

گزاره ها: فرمول هندسی: در ابتدا قضیه به صورت زیر بیان شد: در مثلث قائم الزاویه، مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس برابر با مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پاها است. فرمول جبری: در مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر با مجموع مجذورات طول پاها است. یعنی نشان دادن طول فرضیه مثلث از طریق، و طول پاهای از طریق a و b: a2+b2=c2 هر دو صورت‌بندی قضیه معادل هستند، اما صورت دوم ابتدایی‌تر است، نیازی به آن ندارد. مفهوم منطقه یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد مساحت و تنها با اندازه گیری طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تأیید کرد.

اثبات ها در حال حاضر 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالاً قضیه فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی را فقط می توان با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه توضیح داد. البته از نظر مفهومی می توان همه آنها را به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها: اثبات با روش مساحت، اثبات بدیهی و عجیب و غریب (به عنوان مثال، با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

از طریق مثلث های مشابه اثبات زیر برای فرمول جبری ساده ترین برهان است که مستقیماً از بدیهیات ساخته شده است. به طور خاص، از مفهوم مساحت یک شکل استفاده نمی کند. فرض کنید ABC یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست C باشد. یک ارتفاع از C رسم کنید و قاعده آن را با H نشان دهید. مثلث ACH در دو زاویه شبیه مثلث ABC است. به طور مشابه، مثلث CBH مشابه ABC است. با معرفی نماد، به دست می آوریم که معادل است اضافه کردن، یا، که برای اثبات لازم بود، به دست می آوریم

اثبات به روش مساحت اثبات‌های زیر علیرغم سادگی ظاهری، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها از خصوصیات مساحتی استفاده می کنند که اثبات آن از اثبات خود قضیه فیثاغورث پیچیده تر است. از دو زاویه حاد 90 درجه و زاویه توسعه یافته 180 درجه است. مساحت کل شکل از یک طرف مساحت مربع با ضلع (a + b) و از طرف دیگر مجموع مساحت چهار مثلث و مساحت است. از مربع داخلی Q.E.D. .

اثبات اقلیدس ایده اثبات اقلیدس به این صورت است: بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که نیمی از مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها و سپس مساحت مربع های بزرگ و دو مربع کوچک برابر است. نقاشی سمت چپ را در نظر بگیرید. بر روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بر روی آن مربع ساختیم و از راس زاویه قائم C عمود بر هیپوتانوس AB یک پرتو s رسم کردیم، مربع ABIK را که روی هیپوتنوز ساخته شده است به دو مستطیل - BHJI و HAKJ بریدیم. ، به ترتیب. معلوم می شود که مساحت این مستطیل ها دقیقاً برابر با مساحت مربع های ساخته شده روی پایه های مربوطه است. بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که مساحت مربع DECA برابر با مساحت مستطیل AHJK است. برای این کار از یک مشاهده کمکی استفاده می کنیم: مساحت مثلثی با ارتفاع و قاعده برابر با مستطیل داده شده برابر با نصف مساحت مستطیل داده شده است. این نتیجه تعریف مساحت مثلث به عنوان نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع است. از این مشاهدات نتیجه می شود که مساحت مثلث ACK برابر با مساحت مثلث AHK (نشان داده نشده) است که به نوبه خود برابر با نصف مساحت مستطیل AHJK است. اکنون ثابت کنیم که مساحت مثلث ACK نیز برابر با نصف مساحت مربع DECA است. تنها کاری که برای این کار باید انجام شود اثبات برابری مثلث های ACK و BDA است (زیرا مساحت مثلث BDA با ویژگی فوق برابر با نصف مساحت مربع است). این برابری آشکار است: مثلث ها در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند. یعنی - AB=AK، AD=AC - تساوی زوایای CAK و BAD با روش حرکت به راحتی قابل اثبات است: بیایید مثلث CAK را 90 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخانیم، سپس بدیهی است که اضلاع متناظر دو مثلث در نظر گرفته شده بر هم منطبق می‌شوند. (با توجه به اینکه زاویه راس مربع 90 درجه است). بحث در مورد تساوی مساحت های مربع BCFG و مستطیل BHJI کاملاً مشابه است. بنابراین، ما ثابت کردیم که مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پاها است. ایده پشت این اثبات بیشتر با انیمیشن بالا نشان داده شده است. به این اثبات "شلوار فیثاغورثی" نیز می گویند.

اثبات لئوناردو داوینچی عناصر اصلی اثبات تقارن و حرکت هستند. نقشه را در نظر بگیرید، همانطور که از تقارن مشاهده می شود، قطعه مربع را به دو قسمت یکسان برش می دهد (از آنجایی که مثلث ها و از نظر ساختار برابر هستند). با استفاده از چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت حول نقطه، برابری ارقام سایه دار را مشاهده می کنیم. اکنون مشخص است که مساحت شکلی که سایه انداخته ایم برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های کوچک (ساخته شده روی پاها) و مساحت مثلث اصلی. از طرف دیگر، برابر است با نصف مساحت مربع بزرگ (ساخته شده بر روی هیپوتنوز) به اضافه مساحت مثلث اصلی. بنابراین، نیمی از مجموع مساحت مربع های کوچک برابر با نصف مساحت مربع بزرگ است و بنابراین مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پایه ها برابر با مساحت مربع ساخته شده است. روی هیپوتانوز

معنای قضیه فیثاغورث قضیه فیثاغورث یکی از اصلی ترین و شاید بتوان گفت مهم ترین قضیه هندسه است. اهمیت آن در این است که بیشتر قضایای هندسه را می توان از آن یا به کمک آن استنباط کرد.

با تشکر از توجه شما!