Zanimljivi načini dokazivanja prezentacije Pitagorine teoreme. Prezentacija na temu "metode dokazivanja Pitagorine teoreme"

Plan časa Organizacioni momenat Organizacioni momenat Ponavljanje Ponavljanje Izveštaj o životu Pitagore sa Samosa Izveštaj o životu Pitagore sa Samosa Istorijska pozadina Pitagorine teoreme Historijska pozadina Pitagorine teoreme Rad na teoremi Rad na teoremi Rješavanje zadataka pomoću teoreme Rješavanje zadaci koristeći teoremu Sumiranje lekcije Rezimiranje domaće zadaće lekcije

Pitagora Pitagora sa Samosa rođen je 580. godine prije Krista. u staroj Grčkoj na ostrvu Samos, koje se nalazi u Egejskom moru uz obalu Male Azije, pa ga zovu Pitagora sa Samosa. U porodici kamenorezaca koji je pronašao slavu, a ne bogatstvo. Još u detinjstvu je pokazivao izuzetne sposobnosti, a kada je odrastao, nemirna mašta mladića se nagomilala na malom ostrvu.

Pitagora Pitagora se preselio u grad Milejus i postao Talesov učenik, koji je u to vreme bio u svojim osamdesetim godinama. Mudri naučnik savjetovao je mladića da ode u Egipat, gdje je i sam jednom studirao nauku. Pred Pitagorom se otvorila nepoznata zemlja. Zapanjila ga je činjenica da su u njegovoj rodnoj Grčkoj bogovi bili u obliku ljudi, a egipatski bogovi - u obliku poluljudi - poluživotinja. Znanje je bilo koncentrisano u hramovima, kojima je pristup bio ograničen.

Pitagori su bile potrebne godine da duboko prouči egipatsku kulturu prije nego što mu je dozvoljeno da se upozna sa stoljetnim dostignućima egipatske nauke. Kada je Pitagora shvatio nauku egipatskih sveštenika, otišao je kući da tamo stvori sopstvenu školu. Sveštenici, koji nisu hteli da šire svoje znanje van hramova, nisu ga hteli pustiti. Teškom mukom je uspio savladati ovu prepreku.

Međutim, na putu kući, Pitagora je zarobljen i završio je u Babilonu. Babilonci su cijenili pametne ljude, pa je on našao svoje mjesto među vavilonskim mudracima. Babilonska nauka bila je razvijenija od egipatske. Najupečatljiviji su bili uspjesi algebre Pitagora Babilonci su izmislili i koristili pozicioni brojevni sistem u brojanju, mogli su riješiti linearne, kvadratne i neke vrste kubnih jednačina. Pitagora je živio u Babilonu oko deset godina, a u svoju domovinu vratio se sa četrdeset godina. Ali na ostrvu Samos nije se dugo zadržao. U znak protesta protiv tiranina Polikrata, koji je tada vladao ostrvom, nastanio se u jednoj od grčkih kolonija južne Italije u gradu Crotone.

Tamo je Pitagora organizovao tajnu uniju mladih od predstavnika aristokracije. Ovaj sindikat je prihvaćen uz velike ceremonije nakon dugih iskušenja. Svaki ulazak se odrekao svoje imovine i zakleo se da će čuvati tajnu učenja osnivača. Pitagorejci, kako su ih kasnije nazvali, bavili su se matematikom, filozofijom i prirodnim naukama. Škola je imala uredbu prema kojoj se autorstvo svih matematičkih radova pripisivalo učitelju. Unija pitagorejaca bila je tajna. Amblem ili identifikacijska oznaka sindikata bio je pentagram - zvijezda petokraka. Pentagram je dobio sposobnost da zaštiti osobu od zlih duhova.

Pitagorejci su napravili mnoga važna otkrića u aritmetici i geometriji. Također je poznato da se osim duhovnog i moralnog razvoja Pitagorinih učenika, radilo o njihovom fizičkom razvoju. On ne samo da je sam učestvovao na Olimpijskim igrama i pobedio u dva okršaja, već je odgajao plejadu velikih olimpijaca u vreme narodnog ustanka. Nakon njegove smrti, učenici su okružili ime svog učitelja mnogim legendama.

U vavilonskim tekstovima ona se javlja 1200 godina prije Pitagore. Očigledno, on je bio prvi koji je našao njegov dokaz. S tim u vezi, napravljen je sljedeći zapis: "... kada je otkrio da u pravokutnom trokutu hipotenuza odgovara katetama, žrtvovao je bika napravljenog od pšeničnog tijesta." Istorija Pitagorine teoreme Istorija Pitagorine teoreme je zanimljiva. Iako je ova teorema povezana s Pitagorinim imenom, bila je poznata mnogo prije njega.

Teorema U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta. Dato je: Δ ABC, C = 90°. Dokazati: Dokaz: D Uzimajući u obzir cos B, dobijamo: Sabiranjem (1) i (2) dobijamo: Uzimajući u obzir cos B, dobijamo: Spustimo visinu SD sa vrha pravi ugao

slajd 2

a2+b2=c2 c a b P

slajd 3

Pitagora nije otkrio ovo svojstvo pravouglog trougla, on je vjerovatno prvi koji ga je generalizovao i dokazao i time ga prenio iz područja prakse u područje nauke. Ne znamo kako je to uradio. Pretpostavlja se da, ipak, Pitagorin dokaz nije bio fundamentalan, već samo potvrda, provjera ovog svojstva na nizu određenih tipova trokuta, počevši od jednakokračnog pravokutnog trokuta, za koji očito slijedi iz Sl. 1.

slajd 4

slajd 5

Dokazi zasnovani na upotrebi koncepta jednake površine figura.

slajd 6

Jasno je da ako od površine kvadrata oduzmemo četverostruku površinu pravokutnog trokuta s kracima a, b, onda ostaju jednake površine, tj. c2 = a2 + b2. Međutim, drevni hindusi, kojima ovo rezonovanje pripada, obično ga nisu zapisivali, već su crtež propratili samo jednom riječju: "pogledaj!" Sasvim je moguće da je Pitagora ponudio isti dokaz.

Slajd 7

aditivni dokazi. Ovi se dokazi zasnivaju na razlaganju kvadrata izgrađenih na katetama na figure, od kojih je moguće dodati kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Ajnštajnov dokaz (slika 3) zasniva se na dekompoziciji kvadrata izgrađenog na hipotenuzi na 8 trouglova.

Slajd 8

Na sl. 4 prikazuje dokaz Pitagorine teoreme korištenjem podjele al-Nairizije, srednjovjekovnog bagdadskog komentatora Euklidovih "Početaka". U ovoj pregradi, kvadrat izgrađen na hipotenuzi podijeljen je na 3 trokuta i 2 četverokuta. Ovdje: ABC je pravougli trokut sa pravim uglom C; DE=BF. Dokažite teoremu koristeći ovu particiju. D E

Slajd 9

Dokaz metodom proširenja. Suština ove metode je da se na kvadrate izgrađene na katetama i na kvadrat izgrađen na hipotenuzi pričvršćuju jednake figure na način da se dobiju jednake figure.

Slajd 10

Valjanost Pitagorine teoreme proizlazi iz jednake veličine šestouglova AEDFPB i ACBNMQ. F

slajd 11

Na sl. 13 ABC - pravougaona, C - pravi ugao, CM AB, b1 - projekcija kraka b na hipotenuzu, a1 - projekcija kraka a na hipotenuzu, h - visina trougla povučena na hipotenuzu. Budući da je ABC sličan ACM-u, slijedi da je b2 = c*b1; (1) budući da je ABC sličan BCM-u, slijedi da je a2 = c*a1. (2) Sabiranjem jednakosti (1) i (2) član po član, dobijamo a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. b

slajd 12

Na slici 15, tri pravokutna trougla čine trapez. Stoga se površina ove figure može naći po formuli za površinu pravokutnog trapeza, ili kao zbir površina tri trokuta. Garfieldov dokaz.

slajd 13

Pitagorina biografija. Veliki naučnik Pitagora rođen je oko 570. godine prije nove ere. na ostrvu Samos. Pitagorin otac bio je Mnesarchus, rezbar dragulja. Ime Pitagorine majke nije poznato. Prema mnogim drevnim svjedočanstvima, rođeni dječak je bio fantastično zgodan i ubrzo je pokazao svoje izvanredne sposobnosti. Među učiteljima mladog Pitagore bili su stariji Germodamant i Ferekid sa Sirosa. Mladi Pitagora je čitave dane provodio kraj nogu starijeg Herma, slušajući melodije kitare i Homerove heksametre. Strast prema muzici i poeziji velikog Homera, Pitagora je zadržao do kraja života. I, kao priznati mudrac, okružen gomilom učenika, Pitagora je dan započeo pjevanjem jedne od Homerovih pjesama. Ferekid je bio filozof i smatran je osnivačem italijanske škole filozofije. Ali kako god bilo, nemirna mašta mladog Pitagore ubrzo se stisnula na malom Samosu i on odlazi u Milet, gde se susreće sa drugim naučnikom, Talesom. Tales ga savjetuje da ode u Egipat po znanje, što je Pitagora i učinio. Godine 548. pne Pitagora je stigao u Navkratis, samijsku koloniju, gdje je bilo kome da nađe sklonište i hranu.

Slajd 14

Nakon što je proučio jezik i religiju Egipćana, odlazi u Memphis. Uprkos faraonovom pismu preporuke, lukavi svećenici nisu žurili da otkriju svoje tajne Pitagori, nudeći mu teška iskušenja. Ali, vođen željom za znanjem, Pitagora ih je sve savladao, iako ga, prema iskopavanjima, egipatski svećenici nisu mogli mnogo naučiti, jer. u to vreme, egipatska geometrija je bila čisto primenjena nauka (zadovoljavajući tadašnje potrebe za brojanjem i merenjem zemlje). Stoga, saznavši sve što su mu dali svećenici, on se, pobjegavši ​​od njih, preselio u svoju domovinu u Heladu. Međutim, nakon što je prošao dio puta, Pitagora se odlučuje na kopneno putovanje, tokom kojeg ga je zarobio Kambiz, kralj Babilona, ​​koji je krenuo kući. Nije potrebno dramatizirati Pitagorin život u Vavilonu, jer veliki vladar Kir je bio tolerantan prema svim zarobljenicima. Babilonska matematika je nesumnjivo bila naprednija (primjer za to je pozicijski sistem računanja) od egipatske, a Pitagora je imao mnogo toga da nauči. Ali 530. godine pne. Kir je krenuo u pohod protiv plemena u centralnoj Aziji. I, iskoristivši metež u gradu, Pitagora je pobegao u svoju domovinu.

slajd 15

A na Samosu je u to vrijeme vladao tiranin Polikrat. Naravno, Pitagora nije bio zadovoljan životom dvorskog poluroba, te se povukao u pećine u okolini Samosa. Nakon nekoliko mjeseci Polikratovih potraživanja, Pitagora se seli u Kroton. Pitagora je u Krotonu osnovao nešto poput religiozno-etičkog bratstva ili tajnog monaškog reda („pitagorejci“), čiji su članovi bili obavezni da vode takozvani pitagorejski način života. Bio je to u isto vrijeme i vjerska zajednica, i politički klub, i naučno društvo. Mora se reći da su neka od načela koja je propovijedao Pitagora vrijedna oponašanja i sada. ...Prošlo je 20 godina. Slava bratstva proširila se po cijelom svijetu. Jednog dana, Sajlon, bogat ali zao čovek, dolazi Pitagori, želeći da se pijano pridruži bratstvu. Pošto je odbijen, Sajlon započinje borbu sa Pitagorom, koristeći se paljevinom njegove kuće. Tokom požara, Pitagorejci su spasili život svog učitelja o vlastitoj cijeni, nakon čega je Pitagora zavladao nostalgijom za domom i ubrzo je izvršio samoubistvo.

Pogledajte sve slajdove

Istorija teoreme. Drevna Kina Započnimo naš istorijski pregled sa drevnom Kinom. Ovdje posebnu pažnju privlači matematička knjiga Chu-peija. Ovaj esej govori ovo o Pitagorinom trouglu sa stranicama 3, 4 i 5: Počnimo istorijski pregled sa drevnom Kinom. Ovdje posebnu pažnju privlači matematička knjiga Chu-peija. Ovaj esej kaže ovo o Pitagorinom trokutu sa stranicama 3, 4 i 5: „Ako se pravi ugao razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5 kada je osnova 3, a visina 4 ." U istoj knjizi predlaže se crtež koji se poklapa s jednim od crteža hinduističke geometrije Bašare. U istoj knjizi predlaže se crtež koji se poklapa s jednim od crteža hinduističke geometrije Bašare.

Nešto više se zna o Pitagorinoj teoremi kod Babilonaca. U jednom tekstu koji datira iz vremena Hamurabija, tj. do 2000. godine prije Krista. e., dat je približan proračun hipotenuze pravouglog trougla. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi proračune sa pravokutnim trouglovima, barem u nekim slučajevima. Geometrija je kod Hindusa, kao i kod Egipćana i Babilonaca, bila usko povezana sa kultom. Vrlo je vjerovatno da je teorema o kvadratu hipotenuze bila poznata u Indiji oko 18. vijeka prije nove ere. e. drevna Indija

Kantor (najveći njemački istoričar matematike) smatra da je jednakost: 3² + 4² = 5² već bila poznata Egipćanima oko 2300. godine prije Krista. pne, za vrijeme kralja Amenemhata I (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja) Prema Kantoru, harpedonapti, ili "zatezači struna", gradili su prave uglove koristeći pravougaone trouglove sa stranicama 3, 4 i 5. Vrlo je lako reproducirati njihov način gradnje. Uzmite uže dužine 12 metara i zavežite ga uz obojenu traku na udaljenosti od 3 metra od jednog kraja i 4 metra od drugog. Pravi ugao će biti zatvoren između stranica dužine 3 i 4 metra.

Na osnovu, s jedne strane, sadašnjeg nivoa znanja o egipatskoj i babilonskoj matematici, as druge, na kritičkom proučavanju grčkih izvora, Van der Waerden (holandski matematičar) je zaključio: „Zasluge prvih grčkih matematičara , kao što su Tales, Pitagora i Pitagorejci, nije otkriće matematike, već njena sistematizacija i potkrepljenje. U njihovim rukama, računski recepti zasnovani na nejasnim idejama pretvorili su se u egzaktnu nauku."

Veliki naučnik Pitagora rođen je oko 570. godine prije nove ere. na ostrvu Samos. Pitagorin otac bio je Mnesarchus, rezbar dragulja. Ime Pitagorine majke nije poznato. Prema mnogim drevnim svjedočanstvima, rođeni dječak je bio fantastično zgodan i ubrzo je pokazao svoje izvanredne sposobnosti. Strast prema muzici i poeziji velikog Homera, Pitagora je zadržao do kraja života. Ubrzo se nemirna mašta mladog Pitagore stisnula na malom Samosu, i on odlazi u Milet, gde se sastaje sa drugim naučnikom, Talesom. Zatim odlazi na putovanje i hvata ga babilonski kralj Kir. Godine 530. pne Kir je krenuo u pohod protiv plemena u centralnoj Aziji. I, iskoristivši metež u gradu, Pitagora je pobegao u svoju domovinu.

A na Samosu je u to vrijeme vladao tiranin Polikrat. Nakon nekoliko mjeseci Polikratovih potraživanja, Pitagora se seli u Kroton. Pitagora je u Krotonu osnovao nešto poput vjersko-etičkog bratstva ili tajnog monaškog reda („pitagorejci“), čiji su članovi bili obavezni da vode takozvani pitagorejski način života.... Prošlo je dvadeset godina. Slava bratstva proširila se po cijelom svijetu. Jednog dana, Sajlon, bogat ali zao čovek, dolazi Pitagori, želeći da se pijano pridruži bratstvu. Pošto je odbijen, Sajlon započinje borbu sa Pitagorom, koristeći se paljevinom njegove kuće. Tokom požara, Pitagorejci su spasili život svog učitelja o vlastitoj cijeni, nakon čega je Pitagora zavladao nostalgijom za domom i ubrzo je izvršio samoubistvo.

Pitagorina teorema. U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta. Druge formulacije teoreme. U Euklidu ova teorema glasi (doslovni prijevod): "U pravokutnom trouglu, kvadrat stranice istegnute nad pravim uglom jednak je kvadratima na stranicama koje zatvaraju pravi ugao." U Geometria Culmonensis (oko 1400.) u prijevodu, teorema glasi na sljedeći način: "Dakle, površina kvadrata, mjerena duž dugačke stranice, velika je kao i površina dva kvadrata koja se mjere na dvije njegove strane uz pravi ugao."

Najjednostavniji dokaz. Najjednostavniji dokaz teoreme dobiva se u najjednostavnijem slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta. Zaista, dovoljno je samo pogledati popločavanje jednakokračnih pravokutnih trouglova da vidimo da je teorema tačna. Na primjer, za trokut ABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AC sadrži 4 početna trokuta, a kvadrati izgrađeni na katetama sadrže dva.

Dokaz oduzimanjem. Upoznajmo se sa još jednim dokazom metodom oduzimanja. Poznati crtež Pitagorine teoreme zatvaramo u pravokutni okvir, čiji se smjerovi stranica poklapaju sa smjerovima krakova trokuta. Nastavimo neke segmente figure kao što je prikazano na slici, dok se pravougaonik raspada na nekoliko trouglova, pravougaonika i kvadrata. Prvo, uklonimo nekoliko dijelova iz pravokutnika tako da ostane samo kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Ovi dijelovi su sljedeći: 1. trouglovi 1, 2, 3, 4; 2. pravougaonik 5; 3. pravougaonik 6 i kvadrat 8; 4. pravougaonik 7 i kvadrat 9;

Zatim odbacujemo dijelove iz pravokutnika tako da ostanu samo kvadrati izgrađeni na nogama. Ovi dijelovi će biti: 1. pravokutnici 6 i 7; 2. pravougaonik 5; 3. pravougaonik 1 (osenčen); 4. pravougaonik 2 (osenčen); Ostaje nam samo da pokažemo da su oduzeti dijelovi jednaki. To je lako uočiti zbog rasporeda figura. Iz slike je jasno da je: 1. pravougaonik 5 jednak samom sebi; 2. četiri trougla 1,2,3,4 su po površini jednaka dva pravougaonika 6 i 7; 3. pravougaonik 6 i kvadrat 8, uzeti zajedno, jednaki su veličini pravougaonika 1 (osenčeni); 4. pravougaonik 7 zajedno sa kvadratom 9 jednaki su po površini pravougaoniku 2 (osenčeni); Teorem dokazan

Einsteinove dokazne tačke E, C i F leže na istoj liniji; ovo proizilazi iz jednostavnih proračuna stepena mjere ugla ECF (otklopljen je). CD je nacrtan okomito na EF. Lijeva i desna strana kvadrata izgrađenog na hipotenuzi nastavljaju se prema gore do sjecišta sa EF; strana EA je produžena do raskrsnice sa CD. Prema tome, jednaki trouglovi su jednako numerisani.

Zaista, trouglovi ABD i BFC su jednaki po dvije stranice i ugao između njih: FB = AB, BC = BD, a uglovi između njih su jednaki kao tupi uglovi sa međusobno okomitim stranicama. S ABD \u003d 0,5 S BJLD, budući da trokut ABD i pravougaonik BJLD imaju zajedničku osnovu BD i zajedničku visinu LD. Slično S FBC=0,5 S ABFH (BF-zajednička baza, AB-zajednička visina). Dakle, uzimajući u obzir da je S ABD= S FBC, imamo S BJLD= S ABFH. Slično, ako nacrtate segment AE koristeći jednakost trouglova BCK i ACE, dokazat ćete da je S JCEL = S ACKG. Dakle, S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED, što je trebalo dokazati. Ovaj dokaz je dao Euklid u svojim Elementima. Prema Proklu (Bizant), izumio ga je sam Euklid. Euklidov dokaz je dat u Propoziciji 47 prve knjige Početaka. Na hipotenuzi i kracima pravouglog trougla ABC konstruisani su odgovarajući kvadrati i dokazano je da je pravougaonik BJLD jednak kvadratu ABFH, a pravougaonik JCEL kvadratu AGKS. Tada će zbir površina kvadrata na katetama biti jednak površini kvadrata na hipotenuzi.

Druga misterija je neodređeni broj dokaza čuvene Pitagorine teoreme o Samosu. Tom prilikom sam odlučio da sprovedem sociološko istraživanje, koje je pokazalo da se većina starije generacije slaže sa postojanjem 250 dokaza, iako iz dodatnih izvora znam da postoji više od 350 dokaza ove teoreme, pa čak i ušao u Ginisovu knjigu rekorda! Ali, naravno, relativno malo fundamentalno različitih ideja koristi se u ovim dokazima.

Treća misterija je da je Pitagorina teorema danas simbol matematike. Četvrta tajna - Pitagorina teorema pruža nam najbogatiji materijal za generalizaciju - najvažniji tip mentalne aktivnosti, osnova teorijskog razmišljanja, kojom tečno vladaju mnogi naučnici. Ovdje možemo dodati da se od Pitagorine teoreme može ići na druge teoreme.

Peta misterija je da neki učenjaci Pitagori pripisuju dokaz koji je Euklid dao u prvoj knjizi svojih Elementa. S druge strane, Proklo (matematičar iz 5. vijeka) je tvrdio da je dokaz u Elementima zaslužan sam Euklid. Ipak, danas je metod dokazivanja Pitagore ostao nepoznat.

Šesta misterija su legende o samom Pitagori, čovjeku koji je prvi dokazao ovu teoremu. Postoji legenda da kada je Pitagora sa Samosa dokazao svoju teoremu, zahvalio je bogovima žrtvujući 100 bikova. Postojale su i legende o hipnotičkim sposobnostima naučnika: kao da je jednim pogledom mogao promijeniti smjer leta ptica. Takođe su rekli da je ova nevjerovatna osoba istovremeno viđena u različitim gradovima, između kojih je bilo nekoliko dana putovanja. I da je navodno posedovao "točak sreće", okrećući ga, ne samo da je predviđao budućnost, već i intervenisao, ako je potrebno, u tok događaja.

Opis prezentacije na pojedinačnim slajdovima:

1 slajd

Opis slajda:

Nastavnik Liceja u KazGASA Auelbekova G.U. "Pitagorina teorema i različiti načini njenog dokazivanja." 2016

2 slajd

Opis slajda:

CILJ: Glavni zadatak je razmotriti različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme. Pokažite važnost Pitagorine teoreme u razvoju nauke i tehnologije, u matematici uopšte.

3 slajd

Opis slajda:

Iz Pitagorine biografije Najviše što je sada poznato stanovništvu o ovom poštovanom starom Grku uklapa se u jednu frazu: "Pitagorejske hlače su jednake na sve strane." Autore ovog tizera jasno dele vekovi od Pitagore, inače se ne bi usudili da zadirkuju. Jer Pitagora uopće nije kvadrat hipotenuze, jednak zbiru kvadrata kateta. Ovo je poznati filozof. Pitagora je živeo u šestom veku pre nove ere, imao je lep izgled, nosio je dugu bradu i zlatnu dijademu na glavi. Pitagora nije ime, već nadimak koji je filozof dobio zato što je uvijek govorio ispravno i uvjerljivo, poput grčkog proročišta. (Pitagora - "uvjerljivi govor".) Svojim govorima stekao je 2000 učenika, koji su zajedno sa svojim porodicama formirali školsku državu u kojoj su važili Pitagorini zakoni i pravila. On je bio prvi koji je dao ime svom poslu. Riječ "filozof", kao i riječ "kosmos" došla nam je od Pitagore. U njegovoj filozofiji ima puno prostora. Tvrdio je da se za razumijevanje Boga, čovjeka i prirode mora proučavati algebra sa geometrijom, muzikom i astronomijom. Inače, to je pitagorejski sistem znanja koji se na grčkom naziva "matematika". Što se tiče ozloglašenog trokuta sa hipotenuzom i nogama, ovo je, prema velikom Grku, više od geometrijske figure. Ovo je "ključ" za sve šifrovane fenomene našeg života. Sve u prirodi, rekao je Pitagora, podijeljeno je na tri dijela. Stoga, prije rješavanja bilo kojeg problema, on se mora prikazati u obliku trokutastog dijagrama. "Pogledajte trougao - i problem je dvije trećine riješen."

4 slajd

Opis slajda:

Sada postoje tri formulacije Pitagorine teoreme: 1. U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze je jednak zbiru kvadrata kateta. 2. Površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbiru površina kvadrata izgrađenih na katetama. 3. Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednako je udaljen s kvadratima izgrađenim na katetama. Inverzna Pitagorina teorema: Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c tako da je a2 + b2 = c2, postoji pravougaoni trokut sa kracima a i b i hipotenuzom c. ti

5 slajd

Opis slajda:

Iz istorije teoreme Iz istorije teoreme Strogo govoreći, iako se teorema naziva "Pitagorina teorema", sam Pitagora je nije otkrio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su mnogo prije njega. Postoje dva polarna gledišta po ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pitagora je bio prvi koji je pronašao potpuni dokaz teoreme. Prema drugom, dokaz ne pripada Pitagorinom autorstvu. Danas više ne možete provjeriti ko je u pravu, a ko nije. Poznato je samo da Pitagorin dokaz, ako je ikada postojao, nije preživio. Međutim, postoje sugestije da čuveni dokaz iz Euklidovih elemenata možda pripada Pitagori, a Euklid ga je samo zabilježio. Danas je takođe poznato da se problemi oko pravouglog trougla nalaze u egipatskim izvorima iz vremena faraona Amenemheta I, na babilonskim glinenim pločama iz vladavine kralja Hamurabija, u staroindijskoj raspravi Sulva Sutra i starokineskom djelu Zhou. -bi suan jin. Kao što vidite, Pitagorina teorema je zaokupljala umove matematičara od davnina. Otprilike 500 različitih dokaza koji danas postoje služe kao potvrda. Nijedna druga teorema ne može joj se takmičiti u ovom pogledu. Značajni autori dokaza su Leonardo da Vinci i 20. predsjednik Sjedinjenih Država, James Garfield. Sve ovo govori o izuzetnoj važnosti ove teoreme za matematiku: većina teorema geometrije je izvedena iz nje ili je, na ovaj ili onaj način, povezana s njom. .

6 slajd

Opis slajda:

Tvrdnje Tvrdnje teoreme prevedene s grčkog, latinskog i njemačkog U Euklidu ova teorema glasi (doslovni prijevod): „U pravokutnom trokutu kvadrat stranice istegnute preko pravog ugla jednak je kvadratima na stranicama koje zatvaraju pravi ugao." Latinski prijevod arapskog teksta Annairici (oko 900. godine prije Krista), koji je napravio Gerhard od Clemonsa (početak 12. stoljeća), preveden na ruski glasi: "U bilo kojem pravokutnom trouglu, kvadrat formiran na strani koja se proteže preko pravi ugao jednak je zbiru dva kvadrata formirana na dve strane koje čine pravi ugao. U Geometria Culmonensis (oko 1400.) u prijevodu, teorema glasi na sljedeći način: "Dakle, površina kvadrata, mjerena duž dugačke stranice, velika je kao i površina dva kvadrata koja se mjere na dvije njegove strane uz pravi ugao." U prvom ruskom prijevodu euklidskih "Početaka", koji je napravio F. I. Petrushevsky, Pitagorina teorema je navedena na sljedeći način: "U pravokutnim trouglovima kvadrat stranice nasuprot pravog ugla jednak je zbiru kvadrata stranice koje sadrže pravi ugao."

7 slajd

Opis slajda:

Konstrukcija koja se koristi za dokaz je sljedeća: za pravokutni trokut s pravim uglom, kvadratima nad katetama i kvadratom nad hipotenuzom, konstruira se visina i zraka koja je nastavlja, dijeleći kvadrat na hipotenuzu na dva pravougaonika i. Dokaz je usmjeren na utvrđivanje jednakosti površina pravokutnika s kvadratom iznad kateta, jednakosti površina drugog pravokutnika, koji je kvadrat hipotenuze, i pravokutnika iznad druge katete na sličan način . Jednakost površina pravougaonika i utvrđuje se kroz podudarnost trokuta i, od kojih je površina svakog jednaka polovini površine kvadrata, odnosno u vezi sa sledećim svojstvom: površina trokuta jednaka je polovini površine pravokutnika, ako figure imaju zajedničku stranu, a visina trokuta prema zajedničkoj strani je druga strana pravokutnika. Kongruencija trokuta proizilazi iz jednakosti dviju stranica (strane kvadrata) i ugla između njih (sastavljenog od pravog ugla i ugla u. Dakle, dokazom se utvrđuje da je površina kvadrata iznad hipotenuze , sastavljen od pravougaonika i, jednak je zbiru površina kvadrata iznad kateta. JEDNOSTAVAN DOKAZ

8 slajd

Opis slajda:

AJ je visina oduzeta od hipotenuze. Dokažimo da njegov nastavak dijeli kvadrat izgrađen na hipotenuzi na dva pravokutnika čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na katetama. Dokažimo da je pravougaonik BJLD po površini jednak kvadratu ABFH. Trougao ABD=BFC (na dve strane i ugao između njih BF=AB; BC=BD; ugao FBC=ugao ABD).

9 slajd

Opis slajda:

S trougla ABD=1/2 S pravougaonika BJLD, jer Trougao ABD i pravougaonik BJLD imaju zajedničku osnovu BD i zajedničku visinu LD. SLIČNO, S trougla FBC=1/2 S pravougaonika ABFH (BF-zajednička osnova, AB-zajednička visina). Dakle, s obzirom da je S trougla ABD =S trougla FBC, imamo: S BJLD=S ABFH. SLIČNO, koristeći jednakost trouglova BCK i ACE, dokazuje se da je S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. Trougao S=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD Teorema je dokazana. A L B D

10 slajd

Opis slajda:

Dokaz indijskog matematičara Bhaskarija a c c a - c c c Bhaskarijeva metoda je sljedeća: izraziti površinu kvadrata izgrađenog na hipotenuzi (c²) kao zbir površina trokuta (4S = 4 0,5 a c) i površina kvadrata (a - c)². Odnosno, ispada da c ² = 4 0,5 a b + (a - c) ² c ² = 2 a b + a ² - 2 a b + b ² c ² \u003d a ² + c ² Teorema je dokazana.

11 slajd

Opis slajda:

Waldheimov dokaz a v sa v s Waldheim koristi činjenicu da je površina pravokutnog trokuta jednaka polovini umnoška njegovih kateta, a površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira paralele baze i visinu. Sada, da bismo dokazali teoremu, dovoljno je izraziti površinu trapeza na dva načina S trapez = 0,5 (a + b) (a + b) = 0,5 (a + b) ² S trapez = 0,5 a b + 0, 5 a b + 0,5 s ² Izjednačavajući prave dijelove, dobijamo 0,5 (a + b) ² \u003d 0,5 a b + 0,5 a b + 0,5 s ² (a + b) ² \u003d a b + a c + c ² a ² + 2 a c + c ² = 2 a c + c ² c ² = a ² + c ² Teorema je dokazana

12 slajd

Opis slajda:

Hawkinsov dokaz A B C A1 B1 a c D c a c c 1. Zarotirajte pravougaoni ∆ABC (sa pravim uglom C) oko centra u tački C za 90º tako da zauzme položaj A1 B1 C, kao što je prikazano na slici. 2. Hipotenuzu B1 A1 nastavljamo dalje od tačke A1 sve dok se ne siječe sa pravom AB u tački D. Odsječak B1 D će biti visina ∆B1AB (pošto je ∟B1DA = 90º). 3. Razmotrimo četverougao A1AB1B. S jedne strane, SA1AB1B \u003d SCAA1 + SSBB1 \u003d 0,5v + 0,5a a \u003d 0,5 (a² + b²) HELL \u003d \u003d \u003d 0,5 s (HELL + VD) \u003d Equad2 dobijemo izraz 0,5 s. 0,5 (a² + b²) \u003d 0,5 s² a² + b² \u003d s² Teorema je dokazana.

13 slajd

Opis slajda:

geometrijski dokaz. (Hofmanova metoda) Konstruisati trougao ABC sa pravim uglom S. Konstruisati BF=CB, BFCB Konstruisati BE=AB, BEAB Konstruisati AD=AC, ADAC Tačke F, C, D pripadaju jednoj pravoj liniji.

14 slajd

Opis slajda:

Kao što vidimo, četvorouglovi ADFB i ACBE su jednaki po veličini, jer ABF=ECB. Trokuti ADF i ACE su jednaki. Oduzmemo od oba četvorougla jednake veličine zajednički trougao ABC za njih, dobijamo: 1/2a2+1/2b 2=1/2s 2 Odgovarajući: a2+ b 2 =s 2 Teorema je dokazana.

15 slajd

Opis slajda:

Algebarski dokaz (Mölmannova metoda) Površina ovog pravougaonika jednaka je 0,5ab s jedne strane, i 0,5pr s druge strane, gdje je p poluperimetar trokuta, r poluprečnik kružnice upisane u njega (r =0,5(a+b-c)). A C

16 slajd

Opis slajda:

Imamo: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) Iz toga slijedi da je c2= a2+b2 Teorema je dokazana. A C

17 slajd

Opis slajda:

Značaj Pitagorine teoreme Pitagorina teorema je s pravom jedna od fundamentalnih teorema matematike. Značaj ove teoreme je u tome što je uz njenu pomoć moguće izvesti većinu teorema iz geometrije. Njegova vrijednost u modernom svijetu je također velika, budući da se Pitagorina teorema koristi u mnogim područjima ljudske djelatnosti. Na primjer, koristi se u postavljanju gromobrana na krovovima zgrada, u proizvodnji prozora nekih arhitektonskih stilova, pa čak i u proračunu visine antena mobilnih operatera. I ovo nije cijela lista praktičnih primjena ove teoreme. Zato je veoma važno poznavati Pitagorinu teoremu i razumeti njeno značenje.

18 slajd

Opis slajda:

Pitagorina teorema u književnosti. Pitagora nije samo veliki matematičar, već i veliki mislilac svog vremena. Hajde da se upoznamo sa nekim njegovim filozofskim izjavama...

19 slajd

Opis slajda:

1. Misao je iznad svega između ljudi na zemlji. 2. Ne sjedite na zrnu (tj. ne živite besposleno). 3. Prilikom odlaska ne osvrći se (odnosno, prije smrti, ne hvataj se za život). 4. Ne idite utabanim putem (odnosno, ne slijedite mišljenja gomile, već mišljenja nekolicine koji razumiju). 5. Ne držite laste u kući (tj. ne primajte goste koji su pričljivi i nesputani u jeziku). 6. Budi sa onim koji preuzima teret, ne budi sa onim koji baca teret (tj. podsticaj ljude ne na nerad, već na vrlinu, na rad). 7. Ne nosite slike u ringu (tj. nemojte paradirati pred ljudima, kako sudite i mislite o bogovima).

Chernov Maxim

Projekat iz geometrije, osmišljen kao prezentacija na temu "Pitagorina teorema i različiti načini njenog dokazivanja"

Skinuti:

Pregled:

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Pitagorina teorema i različiti načini njenog dokazivanja Dovršio: Černov Maksim 8A

Svrha projekta: Izložiti Pitagorinu teoremu, predstaviti različite načine njenog dokazivanja.

Istorija Drevna kineska knjiga Zhou bi suan jing govori o pitagorinom trouglu sa stranicama 3, 4 i 5. U istoj knjizi predlaže se crtež koji se poklapa sa jednim od crteža hinduističke geometrije Bashare. Moritz Kantor (najveći njemački istoričar matematike) smatra da je jednakost 3² + 4² = 5² bila poznata Egipćanima već oko 2300. godine prije Krista, u vrijeme kralja Amenemheta I (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonapts, ili "zatezači struna", gradili su prave uglove koristeći pravouglove trouglova sa stranicama 3, 4 i 5. Vrlo je lako reproducirati njihovu konstrukciju. Uzmimo uže dužine 12 m i vežemo ga za njega duž trake u boji na udaljenosti od 3 m od jednog kraja i 4 metra od drugog. Pravi ugao će biti zatvoren između stranica dužine 3 i 4 metra. Harpedonaptima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se, na primjer, koristi drveni kvadrat koji koriste svi stolari. Zaista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat - na primjer, crteži koji prikazuju stolariju. Nešto više se zna o Pitagorinoj teoremi kod Babilonaca. U jednom tekstu koji datira iz vremena Hamurabija, odnosno do 2000. godine prije Krista, dat je približan proračun hipotenuze jednakokračnog pravouglog trougla. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi proračune sa pravokutnim trouglovima, barem u nekim slučajevima. Na osnovu, s jedne strane, sadašnjeg nivoa znanja egipatske i babilonske matematike, as druge strane, na kritičkom proučavanju grčkih izvora, van der Waerden (holandski matematičar) je zaključio da postoji velika vjerovatnoća da će teorema o kvadratu hipotenuze bila je poznata u Babilonu oko 18. vijeka prije nove ere. e. Prema Proklovom komentaru na Euklida, Pitagora (za koga se općenito vjeruje da je živio između 570-490 pne) koristio je algebarske metode da pronađe Pitagorine trojke. Međutim, Proklo je pisao između 410. i 485. godine. n. e. Thomas Little Heath je vjerovao da nema eksplicitnog pomena, koji datira iz perioda od 5 stoljeća nakon Pitagorine smrti, da je Pitagora autor teoreme. Međutim, kada autori poput Plutarha i Cicerona pišu o Pitagorinoj teoremi, oni pišu kao da je Pitagorino autorstvo bilo nadaleko poznato i izvjesno razdoblje pitagorejske matematike. Prema legendi, Pitagora je otkriće svoje teoreme proslavio ogromnom gozbom, zaklavši stotinu bikova da proslavi. Oko 400. pne. e., prema Proklu, Platon je dao metodu za pronalaženje Pitagorinih trojki, kombinujući algebru i geometriju. Oko 300. pne. e. u Euklidovim Principima pojavio se najstariji aksiomatski dokaz Pitagorine teoreme.

Tvrdnje: Geometrijska formulacija: U početku je teorema formulirana na sljedeći način: U pravokutnom trokutu površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbiru površina kvadrata izgrađenih na katetama. Algebarska formulacija: U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta. To jest, označavajući dužinu hipotenuze trokuta kroz i dužine kateta kroz a i b: a2+b2=c2 Obje formulacije teoreme su ekvivalentne, ali druga formulacija je elementarnija, ne zahtijeva koncept oblasti. To jest, drugi iskaz se može provjeriti bez poznavanja površine i mjerenjem samo dužina stranica pravouglog trougla.

Dokazi Trenutno je u naučnoj literaturi evidentirano 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno je Pitagorina teorema jedina teorema sa tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost se može objasniti samo fundamentalnim značajem teoreme za geometriju. Naravno, konceptualno, sve se mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi (na primjer, korištenjem diferencijalnih jednadžbi).

Kroz slične trokute Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od dokaza izgrađenih direktno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure. Neka je ABC pravougli trokut sa pravim uglom C. Nacrtajte visinu iz C i označite njenu osnovu sa H. Trougao ACH je sličan trokutu ABC u dva ugla. Slično, trougao CBH je sličan ABC. Uvodeći notaciju, dobijamo Što je ekvivalentno sabiranju, dobijamo ili, što je bilo potrebno da se dokaže

Dokazi metodom površina Sljedeći dokazi, uprkos njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni koriste svojstva površine, čiji je dokaz komplikovaniji od dokaza same Pitagorine teoreme Dokaz ekvikomplementacijom Postavimo četiri jednaka pravougla trougla kao što je prikazano na slici 1. Četvorougao sa stranicama c je kvadrat, budući da je zbir dva oštra ugla je 90°, a razvijeni ugao je 180°. Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom (a + b), a s druge strane zbroju površina četiri trokuta i površine unutrašnjeg kvadrata. Q.E.D. .

Euklidov dokaz Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovina površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovina površina kvadrata izgrađenih na katetama, a zatim površine velikog i dva mala kvadrata su jednake. Razmotrite crtež na lijevoj strani. Na njemu smo izgradili kvadrate na stranicama pravouglog trougla i povukli zrak s iz vrha pravog ugla C okomito na hipotenuzu AB, on seče kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravougaonika - BHJI i HAKJ , odnosno. Ispada da su površine ovih pravougaonika tačno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim kracima. Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravokutnika AHJK. Da bismo to uradili, koristimo pomoćno zapažanje: Površina trokuta sa istom visinom i osnovom kao i dati pravougaonik jednaka je polovini površine datog pravougaonika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao pola proizvoda osnove i visine. Iz ovog zapažanja proizilazi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazano), što je, pak, jednako polovini površine pravokutnika AHJK. Dokažimo sada da je površina trougla ACK jednaka polovini površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (pošto je površina trokuta BDA jednaka polovini površine kvadrata prema gore navedenom svojstvu). Ova jednakost je očigledna: trokuti su jednaki po dvije stranice i ugla između njih. Naime - AB=AK, AD=AC - jednakost uglova CAK i BAD lako je dokazati metodom kretanja: zarotimo trokut CAK 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je očigledno da će se odgovarajuće stranice dva razmatrana trokuta poklopiti (zbog činjenice da je ugao na vrhu kvadrata 90°). Argument o jednakosti površina kvadrata BCFG i pravougaonika BHJI potpuno je analogan. Tako smo dokazali da je površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi zbir površina kvadrata izgrađenih na katetama. Ideja iza ovog dokaza dodatno je ilustrovana gornjom animacijom. Ovaj dokaz se još naziva i "pitagorine pantalone".

Dokaz Leonarda da Vincija Glavni elementi dokaza su simetrija i kretanje. Razmotrite crtež, kao što se može vidjeti iz simetrije, segment siječe kvadrat na dva identična dijela (pošto su trokuti i jednaki u konstrukciji). Koristeći 90 stupnjeva u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko tačke, vidimo jednakost osjenčanih figura i. Sada je jasno da je površina figure koju smo zasjenili jednaka zbroju polovice površina malih kvadrata (sagrađenih na nogama) i površine originalnog trokuta. S druge strane, jednaka je polovini površine velikog kvadrata (sagrađenog na hipotenuzi) plus površina originalnog trokuta. Dakle, polovina zbira površina malih kvadrata jednaka je polovini površine velikog kvadrata, pa je stoga zbir površina kvadrata izgrađenih na nogama jednak površini izgrađenog kvadrata na hipotenuzi.

Značenje Pitagorine teoreme Pitagorina teorema je jedna od glavnih i, moglo bi se reći, najvažnija teorema geometrije. Njegov značaj leži u činjenici da se većina teorema geometrije može izvesti iz njega ili uz pomoć njega.

Hvala vam na pažnji!