بيت » مفردات » اكتب معادلات للأضلاع باستخدام الإحداثيات. كيف تتعلم حل المشاكل في الهندسة التحليلية؟ مشكلة نموذجية مع مثلث على متن الطائرة

اكتب معادلات للأضلاع باستخدام الإحداثيات. كيف تتعلم حل المشاكل في الهندسة التحليلية؟ مشكلة نموذجية مع مثلث على متن الطائرة

في الهندسة، غالبًا ما يُنظر إلى مفهوم "رأس المثلث". هذه هي نقطة تقاطع ضلعين من شكل معين. يظهر هذا المفهوم في كل مشكلة تقريبا، لذلك من المنطقي النظر فيه بمزيد من التفصيل.

تحديد رأس المثلث

في المثلث، هناك ثلاث نقاط تتقاطع فيها أضلاعه لتشكل ثلاث زوايا. وتسمى القمم، والجوانب التي تستقر عليها تسمى جوانب المثلث.

أرز. 1. قمة الرأس في المثلث.

يشار إلى القمم في المثلثات بأحرف كبيرة. لذلك، في أغلب الأحيان في الرياضيات، يُشار إلى الجوانب بحرفين لاتينيين كبيرين، بعد أسماء القمم التي تدخل الجوانب. على سبيل المثال، الضلع AB هو ضلع المثلث الذي يصل بين الرؤوس A وB.

أرز. 2. تعيين القمم في المثلث.

خصائص المفهوم

إذا أخذنا مثلثًا موجهًا بشكل تعسفي في المستوى، فمن الملائم عمليًا التعبير عن خصائصه الهندسية من خلال إحداثيات رؤوس هذا الشكل. وبالتالي، يمكن التعبير عن قمة المثلث A كنقطة بمعلمات عددية معينة A(x; y).

بمعرفة إحداثيات رؤوس المثلث، يمكنك العثور على نقاط تقاطع المتوسطات، وطول الارتفاع المخفض إلى أحد أضلاع الشكل، ومساحة المثلث.

للقيام بذلك، يتم استخدام خصائص المتجهات الموضحة في نظام الإحداثيات الديكارتية، لأنه يتم تحديد طول جانب المثلث من خلال طول المتجه مع النقاط التي تقع عندها القمم المقابلة لهذا الشكل.

باستخدام رأس المثلث

بالنسبة لأي قمة للمثلث، يمكنك العثور على زاوية مجاورة للزاوية الداخلية للشكل المعني. للقيام بذلك، سيكون عليك تمديد أحد جوانب المثلث. وبما أن هناك ضلعين في كل رأس، فإن هناك زاويتين خارجيتين في كل رأس. الزاوية الخارجية تساوي مجموع زاويتين داخليتين في مثلث غير مجاورتين لها.

أرز. 3. خاصية الزاوية الخارجية للمثلث.

إذا قمت ببناء زاويتين خارجيتين عند قمة واحدة، فستكونان متساويتين، مثل الزوايا الرأسية.

ماذا تعلمنا؟

أحد المفاهيم الهندسية المهمة عند النظر إلى أنواع مختلفة من المثلثات هو قمة الرأس. هذه هي النقطة التي يتقاطع فيها طرفا زاوية شكل هندسي معين. يُشار إليه بأحد الحروف الكبيرة للأبجدية اللاتينية. يمكن التعبير عن قمة المثلث بدلالة إحداثيات x وy، وهذا يساعد في تحديد طول ضلع المثلث باعتباره طول المتجه.

اختبار حول الموضوع

تصنيف المادة

متوسط تقييم: 4.2. إجمالي التقييمات المستلمة: 153.

الفصلالخامس. الهندسة التحليلية على متن الطائرة

وفي الفضاء

يتضمن القسم المهام التي تمت مناقشتها في موضوع "الهندسة التحليلية على المستوى وفي الفضاء": رسم معادلات مختلفة للخطوط المستقيمة على المستوى وفي الفضاء؛ تحديد الموضع النسبي للخطوط على المستوى، والخطوط المستقيمة، والخط المستقيم والمستوى، والمستويات في الفضاء؛ صورة منحنيات الدرجة الثانية. تجدر الإشارة إلى أن هذا القسم يعرض مشاكل المحتوى الاقتصادي، والتي يستخدم حلها معلومات من الهندسة التحليلية على المستوى.

عند حل مشاكل الهندسة التحليلية، من المستحسن استخدام الكتب المدرسية من المؤلفين التاليين: D.V. كليتينيكا، إن.ش.كريمر، د.ت. كتبه ف. ماليخينا، لان تغطي هذه الأدبيات مجموعة واسعة من المهام التي يمكن استخدامها للدراسة الذاتية حول هذا الموضوع. يتم تقديم تطبيق الهندسة التحليلية لحل المشكلات الاقتصادية في المنشورات التعليمية التي كتبها M.S. كراس وفي. إرماكوفا.

المشكلة 5.1. مع مراعاة إحداثيات رؤوس المثلثاي بي سي . ضروري

أ) اكتب معادلات أضلاع المثلث.

ب) اكتب معادلة ارتفاع المثلث المرسوم من رأسهمع إلى الجانبأ.ب وأوجد طوله؛

ج) اكتب معادلة متوسط المثلث المرسوم من الرأسفي إلى الجانبتكييف ;

د) إيجاد زوايا المثلث وتحديد نوعه (مستطيل، حاد، منفرج)؛

ه) العثور على أطوال جوانب المثلث وتحديد نوعه (سكالين، متساوي الساقين، متساوي الأضلاع)؛

هـ) ابحث عن إحداثيات مركز الثقل (نقطة تقاطع المتوسطات) للمثلثاي بي سي ;

ز) ابحث عن إحداثيات مركز تقويم المثلث (نقطة تقاطع الارتفاعات).اي بي سي .

لكل نقطة من النقاط أ) - ج) من الحل، قم بعمل رسومات في نظام الإحداثيات. في الصور ضع علامة على الخطوط والنقاط المقابلة لنقاط المهمة.

مثال 5.1

مع مراعاة إحداثيات رؤوس المثلثاي بي سي : . من الضروري أ) كتابة معادلات أضلاع المثلث؛ ب) اكتب معادلة ارتفاع المثلث المرسوم من رأسه مع إلى الجانبأ.ب وأوجد طوله؛ ج) اكتب معادلة متوسط المثلث المرسوم من الرأسفي إلى الجانبتكييف ; د) العثور على أطوال أضلاع المثلث وتحديد نوعه (مختلف الأضلاع، متساوي الساقين، متساوي الأضلاع)؛ هـ) إيجاد زوايا المثلث وتحديد نوعه (مستطيل، حاد، منفرج)؛ هـ) ابحث عن إحداثيات مركز الثقل (نقطة تقاطع المتوسطات) للمثلث اي بي سي ; ز) ابحث عن إحداثيات مركز تقويم المثلث (نقطة تقاطع الارتفاعات).اي بي سي .

حل

أ)لكل ضلع من أضلاع المثلث تكون إحداثيات النقطتين الواقعتين على المستقيمات المطلوبة معروفة، مما يعني أن معادلات أضلاع المثلث هي معادلات الخطوط التي تمر بنقطتين معلومتين

أين
و
الإحداثيات المقابلة للنقاط.

وبالتالي، استبدال إحداثيات النقاط المقابلة للخطوط المستقيمة في الصيغة (5.1)، نحصل عليها

,
,
,

من حيث، بعد التحولات، نكتب معادلات الجانبين

في التين. 7 نصور الجوانب المقابلة للمثلث
مستقيم.

إجابة:

ب)يترك
- الارتفاع المرسوم من قمة الرأس إلى الجانب
. بسبب ال
يمر عبر نقطة عمودي على المتجه
، ثم سنقوم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام الصيغة التالية

أين
- إحداثيات المتجه المتعامد مع الخط المطلوب،
- إحداثيات نقطة تنتمي إلى هذا الخط. أوجد إحداثيات المتجه العمودي على الخط
، واستبدل في الصيغة (5.2)

,
,

أوجد طول الارتفاع الفصلكالمسافة من النقطة إلى خط مستقيم

أين
– معادلة الخط المستقيم
,
- إحداثيات النقطة .

في الفقرة السابقة وجدت

باستبدال البيانات في الصيغة (5.3) نحصل على

في التين. 8 ارسم مثلثًا والارتفاع الموجود الفصل.

إجابة: .

ر يكون. 8

الخامس)الوسيط
مثلث
يقسم الجانب
إلى قسمين متساويين، أي. نقطة هي نقطة منتصف الجزء
. وبناء على ذلك، يمكنك العثور على الإحداثيات
نقاط

,
,

أين
و
و ، واستبدالها في الصيغ (5.4) نحصل عليها

;
.

المعادلة المتوسطة
مثلث
لنكتبها كمعادلة لخط يمر عبر النقاط
و
حسب الصيغة (5.1)

إجابة:(الشكل 9).

ر يكون. 9

ز)نجد أطوال أضلاع المثلث كأطوال المتجهات المتناظرة، أي.

,
,
.

حفلات
و
مثلث
متساويان، مما يعني أن المثلث متساوي الساقين مع القاعدة
.

إجابة:مثلث
متساوي الساقين مع القاعدة
;

,
.

د)زوايا المثلث
دعونا نجد الزوايا بين المتجهات المنبثقة من القمم المقابلة لمثلث معين، أي.

,
,
.

وبما أن المثلث متساوي الساقين وقاعدته
، الذي - التي

نحسب الزوايا بين المتجهات باستخدام الصيغة (4.4)، والتي تتطلب المنتجات العددية للمتجهات
,
.

لنجد إحداثيات ومقادير المتجهات اللازمة لحساب الزوايا

,
;

,
,
.

استبدال البيانات الموجودة في الصيغة (4.4) نحصل عليها

بما أن جيب تمام جميع الزوايا الموجودة موجب، فإن المثلث
حادة الزاوية.

إجابة:مثلث
حادة الزاوية.

,
,
.

ه)يترك

ثم الإحداثيات
نقاط
يمكن العثور عليها باستخدام الصيغ (5.5)

,
,

أين
,
و
- إحداثيات النقاط على التوالي , و ، لذلك،

,
.

إجابة:
– مركز ثقل المثلث
.

و)يترك - مركز تقويم المثلث
. أوجد إحداثيات النقطة كإحداثيات نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث. معادلة الارتفاع
تم العثور عليه في ب). دعونا نجد معادلة الارتفاع
:

,
,

بسبب ال
ثم حل النظام

هي إحداثيات النقطة ، حيث نجد
.

إجابة:
- مركز تقويم المثلث
.

المشكلة 5.2. التكاليف الثابتة في المؤسسة عند إنتاج بعض المنتجات هيF الخامس 0 فرك. لكل وحدة إنتاج، مع إيرادات تصل إلىر 0 فرك. لكل وحدة من المنتج المصنع. إنشاء وظيفة الربحص (س ) (س

بيانات حالة المشكلة المقابلة للخيارات:

مثال 5.2

التكاليف الثابتة في المؤسسة عند إنتاج بعض المنتجات هي
فرك. شهريا تكاليف متغيرة -
فرك. لكل وحدة إنتاج، مع إيرادات تصل إلى
فرك. لكل وحدة من المنتج المصنع. إنشاء وظيفة الربحص (س ) (س - كمية المنتجات المنتجة)؛ بناء الرسم البياني الخاص به وتحديد نقطة التعادل.

حل

دعونا نحسب إجمالي تكاليف الإنتاج عند الإصدار سوحدات من بعض المنتجات

إذا بيعت سوحدات الإنتاج، فإن إجمالي الدخل سيكون

بناءً على دالتي إجمالي الدخل وإجمالي التكاليف، نجد دالة الربح

نقطة التعادل - النقطة التي يكون فيها الربح صفراً، أو النقطة التي يساوي فيها إجمالي التكاليف إجمالي الإيرادات

من أين نجدها؟

- التعادل.

لرسم رسم بياني (الشكل 10) لدالة الربح، سنجد نقطة أخرى

إجابة:وظيفة الربح
، التعادل
.

المشكلة 5.3. يتم تحديد قوانين العرض والطلب لمنتج معين على التوالي من خلال المعادلاتص = ص د (س ), ص = ص س (س )، أينص - سعر المنتج،س - كمية البضائع. من المفترض أن يتم تحديد الطلب فقط من خلال سعر المنتج في السوقص مع ‎والعرض بالسعر فقطص س تلقى من قبل الموردين. ضروري

أ) تحديد نقطة توازن السوق.

ب) نقطة التوازن بعد فرض الضريبة تساوير . تحديد الزيادة في السعر والانخفاض في حجم المبيعات التوازنية.

ج) العثور على الدعمس مما سيؤدي إلى زيادة المبيعات بنسبةس 0 وحدات بالنسبة للأصل (المحدد في الفقرة أ))؛

د) إيجاد نقطة توازن جديدة ودخل حكومي عند فرض ضريبة متناسبة مع السعر ومتساويةن %;

هـ) تحديد مقدار الأموال التي ستنفقها الحكومة على شراء الفائض عند تحديد سعر أدنى يساوي ص 0 .

لكل نقطة حل، قم بعمل رسم في نظام الإحداثيات. في الشكل، ضع علامة على الخطوط والنقاط المقابلة لعنصر المهمة.

بيانات حالة المشكلة المقابلة للخيارات:

كيف تتعلم حل المشاكل في الهندسة التحليلية؟
مشكلة نموذجية مع مثلث على متن الطائرة

تم إنشاء هذا الدرس حول الاقتراب من خط الاستواء بين هندسة المستوى وهندسة الفضاء. في الوقت الحالي، هناك حاجة إلى تنظيم المعلومات المتراكمة والإجابة على سؤال مهم للغاية: كيف تتعلم حل المشاكل في الهندسة التحليلية؟تكمن الصعوبة في أنه يمكنك التوصل إلى عدد لا حصر له من المسائل في الهندسة، ولن يحتوي أي كتاب دراسي على هذا العدد الكبير والمتنوع من الأمثلة. ليس مشتق من وظيفةمع خمس قواعد للتمايز، وجدول والعديد من التقنيات….

هل هناك حل! لن أتحدث بصوت عالٍ عن حقيقة أنني قمت بتطوير نوع من التقنية الفخمة، ولكن في رأيي، هناك نهج فعال للمشكلة قيد النظر، والذي يسمح حتى دمية كاملة بتحقيق نتائج جيدة وممتازة. على الأقل، تبلورت الخوارزمية العامة لحل المشكلات الهندسية بشكل واضح جدًا في رأسي.

ما تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على القيام به
لحل المشاكل الهندسية بنجاح؟

لا يوجد مفر من هذا - حتى لا تضغط على الأزرار بشكل عشوائي بأنفك، فأنت بحاجة إلى إتقان أساسيات الهندسة التحليلية. لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة الهندسة أو نسيتها تمامًا، فيرجى البدء بالدرس ناقلات للدمى. بالإضافة إلى المتجهات والأفعال معها، تحتاج إلى معرفة المفاهيم الأساسية للهندسة المستوية، على وجه الخصوص، معادلة الخط في الطائرةو . يتم عرض هندسة الفضاء في المقالات معادلة الطائرة, معادلات الخط في الفضاء, المسائل الأساسية على الخط المستقيم والمستوى وبعض الدروس الأخرى. الخطوط المنحنية والأسطح المكانية من الدرجة الثانية متباعدة إلى حد ما، وليس هناك الكثير من المشاكل المحددة معهم.

لنفترض أن الطالب لديه بالفعل المعرفة والمهارات الأساسية في حل أبسط مشاكل الهندسة التحليلية. لكن الأمر يحدث على النحو التالي: تقرأ بيان المشكلة، و... تريد إغلاق الأمر برمته، ورميه في الزاوية البعيدة ونسيانه، مثل حلم مزعج. علاوة على ذلك، فإن هذا لا يعتمد بشكل أساسي على مستوى مؤهلاتك، فمن وقت لآخر أواجه بنفسي مهامًا ليس حلها واضحًا. ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ لا داعي للخوف من مهمة لا تفهمها!

أولاً، يجب تثبيت - هل هذه مشكلة "مسطحة" أم مكانية؟على سبيل المثال، إذا كانت الحالة تتضمن متجهات بإحداثيتين، فهذه هي هندسة المستوى بالطبع. وإذا قام المعلم بتحميل المستمع الممتن بالهرم، فمن الواضح أن هناك هندسة الفضاء. نتائج الخطوة الأولى جيدة جدًا بالفعل، لأننا تمكنا من قطع كمية هائلة من المعلومات غير الضرورية لهذه المهمة!

ثانية. عادة ما تهمك الحالة ببعض الأشكال الهندسية. في الواقع، قم بالسير على طول ممرات جامعتك الأصلية، وسترى الكثير من الوجوه القلقة.

في المسائل "المسطحة"، ناهيك عن النقاط والخطوط الواضحة، يكون الشكل الأكثر شيوعًا هو المثلث. سنقوم بتحليلها بتفصيل كبير. بعد ذلك يأتي متوازي الأضلاع، والأقل شيوعًا هو المستطيل والمربع والمعين والدائرة والأشكال الأخرى.

في المسائل المكانية، يمكن لنفس الأشكال المسطحة + المستويات نفسها والأهرامات الثلاثية المشتركة ذات متوازيات السطوح أن تطير.

السؤال الثاني - هل تعرف كل شيء عن هذا الرقم؟لنفترض أن الحالة تتحدث عن مثلث متساوي الساقين، وأنك تتذكر بشكل غامض نوع المثلث الذي هو عليه. نفتح الكتاب المدرسي ونقرأ عن المثلث المتساوي الساقين. ماذا أفعل... قال الطبيب المعين، وهذا يعني المعين. الهندسة التحليلية هي الهندسة التحليلية، ولكن سيتم حل المشكلة من خلال الخصائص الهندسية للأشكال نفسهاالمعروفة لنا من المناهج المدرسية. إذا كنت لا تعرف ما هو مجموع زوايا المثلث، يمكن أن تعاني لفترة طويلة.

ثالث. حاول دائمًا متابعة الرسم(على مسودة/نسخة نهائية/عقلية) ولو لم يقتضي الشرط ذلك. في المسائل "المسطحة"، أمر إقليدس نفسه بالتقاط مسطرة وقلم رصاص - ليس فقط لفهم الحالة، ولكن أيضًا لغرض الاختبار الذاتي. في هذه الحالة، المقياس الأكثر ملاءمة هو 1 وحدة = 1 سم (خليتان للكمبيوتر الدفتري). دعونا لا نتحدث عن الطلاب وعلماء الرياضيات المهملين الذين يدورون في قبورهم - يكاد يكون من المستحيل ارتكاب خطأ في مثل هذه المشكلات. بالنسبة للمهام المكانية، نقوم بإجراء رسم تخطيطي، مما سيساعد أيضًا في تحليل الحالة.

غالبًا ما يسمح لك الرسم أو الرسم التخطيطي برؤية طريقة حل المشكلة على الفور. بالطبع، لهذا تحتاج إلى معرفة أسس الهندسة وفهم خصائص الأشكال الهندسية (انظر الفقرة السابقة).

الرابع. تطوير خوارزمية الحل. العديد من المسائل الهندسية متعددة الخطوات، لذا فإن الحل وتصميمه مناسب جدًا لتقسيمه إلى نقاط. غالبًا ما تتبادر إلى ذهنك الخوارزمية فورًا بعد قراءة الشرط أو إكمال الرسم. في حالة الصعوبات، نبدأ بسؤال المهمة. على سبيل المثال، وفقًا للشرط "تحتاج إلى إنشاء خط مستقيم...". وهنا السؤال الأكثر منطقية هو: "ما الذي يجب معرفته لبناء هذا الخط المستقيم؟" لنفترض أننا "نعرف النقطة، ونحتاج إلى معرفة متجه الاتجاه". نطرح السؤال التالي: "كيف يمكن العثور على متجه الاتجاه هذا؟ أين؟" إلخ.

في بعض الأحيان يكون هناك "خطأ" - لم يتم حل المشكلة وهذا كل شيء. قد تكون أسباب التوقف ما يلي:

– فجوة خطيرة في المعرفة الأساسية. بمعنى آخر، أنت لا تعرف و/أو لا ترى شيئًا بسيطًا جدًا.

– الجهل بخصائص الأشكال الهندسية.

- كانت المهمة صعبة. نعم، يحدث ذلك. لا فائدة من التبخير لساعات وجمع الدموع في منديل. اطلب النصيحة من معلمك أو زملائك الطلاب أو اطرح سؤالاً في المنتدى. علاوة على ذلك، من الأفضل أن تجعل بيانها ملموسًا - حول ذلك الجزء من الحل الذي لا تفهمه. صرخة على شكل "كيف تحل المشكلة؟" لا يبدو جيدًا جدًا، وقبل كل شيء، لسمعتك الخاصة.

المرحلة الخامسة. نحن نقرر-نتحقق، نقرر-نتحقق، نقرر-نتحقق-نعطي إجابة. من المفيد التحقق من كل نقطة من المهمة مباشرة بعد الانتهاء منه. سيساعدك هذا على اكتشاف الخطأ على الفور. بطبيعة الحال، لا أحد يمنع حل المشكلة برمتها بسرعة، ولكن هناك خطر إعادة كتابة كل شيء مرة أخرى (في كثير من الأحيان عدة صفحات).

ربما تكون هذه هي جميع الاعتبارات الرئيسية التي ينبغي مراعاتها عند حل المشكلات.

الجزء العملي من الدرس معروض في الهندسة المستوية. سيكون هناك مثالين فقط، ولكن لن يبدو كافيا =)

دعنا نستعرض موضوع الخوارزمية التي نظرت إليها للتو في عملي العلمي الصغير:

مثال 1

يتم إعطاء ثلاثة رؤوس متوازي الأضلاع. العثور على القمة.

لنبدأ بالفهم:

الخطوةالاولى: من الواضح أننا نتحدث عن مشكلة "مسطحة".

الخطوة الثانية: المشكلة تتعامل مع متوازي الأضلاع. هل يتذكر الجميع هذا الشكل المتوازي الأضلاع؟ ليست هناك حاجة للابتسام، فالكثير من الناس يتلقون تعليمهم في سن 30-40-50 أو أكثر، لذلك حتى الحقائق البسيطة يمكن محوها من الذاكرة. تعريف متوازي الأضلاع موجود في المثال رقم 3 من الدرس الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات.

الخطوة الثالثة: لنقم بعمل رسم نحدد عليه ثلاثة رؤوس معروفة. من المضحك أنه ليس من الصعب بناء النقطة المطلوبة على الفور:

إن بنائه أمر جيد بالطبع، ولكن يجب صياغة الحل بشكل تحليلي.

الخطوة الرابعة: تطوير خوارزمية الحل. أول ما يتبادر إلى الذهن هو أنه يمكن العثور على نقطة كتقاطع الخطوط. نحن لا نعرف معادلاتهم، لذلك سيتعين علينا التعامل مع هذه المسألة:

1) الضلعان المتقابلان متوازيان. بالنقاط دعونا نجد متجه الاتجاه لهذه الجوانب. هذه هي أبسط مشكلة تمت مناقشتها في الفصل. ناقلات للدمى.

ملحوظة: من الأصح أن نقول "معادلة خط يحتوي على جانب" ، ولكن هنا وللإيجاز أكثر سأستخدم عبارات "معادلة الجانب" ، "متجه اتجاه الجانب" ، وما إلى ذلك.

3) الضلعان المتقابلان متوازيان. وباستخدام النقاط، نجد متجه الاتجاه لهذه الجوانب.

4) لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه

في الفقرات 1-2 و3-4 قمنا بالفعل بحل نفس المشكلة مرتين، بالمناسبة تمت مناقشتها في المثال رقم 3 من الدرس أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. كان من الممكن اتباع طريق أطول - ابحث أولاً عن معادلات الخطوط وبعد ذلك فقط "اسحب" متجهات الاتجاه منها.

5) الآن أصبحت معادلات الخطوط معروفة. كل ما تبقى هو تكوين وحل النظام المقابل للمعادلات الخطية (انظر الأمثلة رقم 4، 5 من نفس الدرس) أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى).

تم العثور على هذه النقطة.

المهمة بسيطة للغاية وحلها واضح، ولكن هناك طريقة أقصر!

الحل الثاني:

أقطار متوازي الأضلاع مقسمة بنقطة تقاطعها. لقد حددت النقطة، ولكن من أجل عدم تشويش الرسم، لم أرسم الأقطار نفسها.

لنقم بإنشاء معادلة للجانب نقطة بنقطة:

للتحقق، يجب عليك عقليًا أو على مسودة استبدال إحداثيات كل نقطة في المعادلة الناتجة. الآن دعونا نجد المنحدر. وللقيام بذلك نعيد كتابة المعادلة العامة في صورة معادلة ذات معامل الميل:

وبالتالي فإن المنحدر هو:

وبالمثل، نجد معادلات الجانبين. لا أرى فائدة كبيرة في وصف نفس الشيء، لذلك سأقدم النتيجة النهائية على الفور:

2) أوجد طول الضلع. هذه هي أبسط مشكلة يتم تناولها في الفصل. ناقلات للدمى. للحصول على نقاط نستخدم الصيغة:

باستخدام نفس الصيغة، من السهل العثور على أطوال الجوانب الأخرى. يمكن إجراء الفحص بسرعة كبيرة باستخدام مسطرة عادية.

نحن نستخدم الصيغة .

لنجد المتجهات:

هكذا:

بالمناسبة، على طول الطريق وجدنا أطوال الجانبين.

نتيجة ل:

حسنًا، يبدو أن هذا صحيح، ولكي تكون مقنعًا، يمكنك إرفاق منقلة بالزاوية.

انتباه! لا تخلط بين زاوية المثلث والزاوية الواقعة بين الخطوط المستقيمة. يمكن أن تكون زاوية المثلث منفرجة، لكن لا يمكن أن تكون الزاوية بين الخطوط المستقيمة (راجع الفقرة الأخيرة من المقال أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى). ومع ذلك، للعثور على زاوية المثلث، يمكنك أيضًا استخدام الصيغ من الدرس أعلاه، ولكن الخشونة هي أن تلك الصيغ تعطي دائمًا زاوية حادة. وبمساعدتهم، قمت بحل هذه المشكلة في المسودة وحصلت على النتيجة. وفي النسخة النهائية، يجب أن أكتب أعذارًا إضافية.

4) اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة موازية للخط.

المهمة القياسية، تمت مناقشتها بالتفصيل في المثال رقم 2 من الدرس أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. من المعادلة العامة للخط دعونا نخرج ناقل الدليل. لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

كيفية العثور على ارتفاع المثلث؟

5) لنقم بإنشاء معادلة للارتفاع ونوجد طوله.

ليس هناك مفر من التعريفات الصارمة، لذلك سيتعين عليك سرقة الكتاب المدرسي:

ارتفاع المثلث ويسمى العمودي المرسوم من رأس المثلث على الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل له.

أي أنه من الضروري إنشاء معادلة للخط العمودي المرسوم من الرأس إلى الجانب. تمت مناقشة هذه المهمة في الأمثلة رقم 6، 7 من الدرس أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. من مكافئ. إزالة الناقل العادي. لنقم بتكوين معادلة الارتفاع باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

يرجى ملاحظة أننا لا نعرف إحداثيات النقطة.

في بعض الأحيان يتم العثور على معادلة الارتفاع من نسبة المعاملات الزاوية للخطوط المتعامدة: . ففي هذه الحالة إذن: . لنقم بتكوين معادلة الارتفاع باستخدام نقطة ومعامل زاوي (انظر بداية الدرس معادلة الخط المستقيم على المستوى):

يمكن العثور على طول الارتفاع بطريقتين.

هناك طريق دوار:

أ) العثور على - نقطة تقاطع الارتفاع والجانب؛
ب) أوجد طول القطعة باستخدام نقطتين معروفتين.

ولكن في الصف أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوىتم النظر في صيغة مناسبة للمسافة من نقطة إلى خط. النقطة معروفة: ومعادلة الخط معروفة أيضاً: ، هكذا:

6) احسب مساحة المثلث . في الفضاء، يتم حساب مساحة المثلث تقليديا باستخدام ناقلات المنتج من ناقلات، ولكن هنا لدينا مثلث على المستوى. نستخدم صيغة المدرسة:
- مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته وارتفاعه.

في هذه الحالة: