طرق مثيرة للاهتمام لإثبات عرض نظرية فيثاغورس. عرض تقديمي حول موضوع "طرق إثبات نظرية فيثاغورس"

خطة الدرس اللحظة التنظيمية النقطة التنظيمية التكرار التكرار رسالة عن حياة فيثاغورس ساموس رسالة عن حياة فيثاغورس ساموس معلومات تاريخية عن نظرية فيثاغورس معلومات تاريخية عن نظرية فيثاغورس العمل على النظرية العمل على النظرية حل المشكلات باستخدام النظرية حل مشاكل باستخدام النظرية تلخيص الدرس تلخيص الدرس الواجب المنزلي الواجب المنزلي

فيثاغورس الساموسي ولد فيثاغورس عام 580 قبل الميلاد. في اليونان القديمة في جزيرة ساموس التي تقع في بحر إيجه قبالة سواحل آسيا الصغرى، ولهذا سمي بفيثاغورس الساموسي. في عائلة نحات الحجر الذي وجد الشهرة بدلاً من الثروة. حتى عندما كان طفلاً، أظهر قدرات غير عادية، وعندما كبر، أصبح خيال الشاب المضطرب ضيقًا على الجزيرة الصغيرة.

فيثاغورس انتقل فيثاغورس إلى مدينة ميليتس وأصبح تلميذا لطاليس الذي كان في ذلك الوقت في الثمانينات من عمره. نصح العالم الحكيم الشاب بالذهاب إلى مصر حيث درس هو نفسه العلوم ذات يوم. انفتحت دولة مجهولة أمام فيثاغورس. لقد أذهله حقيقة أن الآلهة في موطنه اليونان كانت على شكل بشر، وكانت الآلهة المصرية على شكل أنصاف بشر - نصف حيوانات. وتركزت المعرفة في المعابد، وكان الوصول إليها محدودًا.

استغرق فيثاغورس سنوات في دراسة الثقافة المصرية بعمق قبل أن يُسمح له بالتعرف على إنجازات العلوم المصرية التي تعود إلى قرون. ولما استوعب فيثاغورس علوم الكهنة المصريين، عاد إلى وطنه لينشئ مدرسته الخاصة هناك. الكهنة، الذين لم يرغبوا في نشر معرفتهم خارج المعابد، لم يرغبوا في السماح له بالرحيل. وبصعوبة كبيرة تمكن من التغلب على هذه العقبة.

ومع ذلك، في الطريق إلى المنزل، تم القبض على فيثاغورس وانتهى به الأمر في بابل. وكان البابليون يقدّرون الأذكياء، لذلك وجد مكانه بين حكماء البابليين. وكان العلم البابلي أكثر تطوراً من العلم المصري. أبرز النجاحات كانت في الجبر، ففيثاغورس اخترع البابليون نظام الأعداد الموضعية واستخدموه عند العد، واستطاعوا حل المعادلات الخطية والتربيعية وبعض أنواع المعادلات المكعبة. عاش فيثاغورس في بابل حوالي عشر سنوات وعاد إلى وطنه في سن الأربعين. لكنه لم يبق في جزيرة ساموس لفترة طويلة. كدليل على الاحتجاج ضد الطاغية بوليكراتس، الذي حكم الجزيرة بعد ذلك، استقر في إحدى المستعمرات اليونانية في جنوب إيطاليا في مدينة كروتوني.

هناك نظم فيثاغورس رابطة سرية للشباب من ممثلي الطبقة الأرستقراطية. تم قبولهم في هذا الاتحاد باحتفالات كبيرة بعد محاكمات طويلة. تخلى كل مشارك عن ممتلكاته وأقسم اليمين على الحفاظ على سرية تعاليم المؤسس. وقد درس الفيثاغوريون، كما دُعيوا فيما بعد، الرياضيات والفلسفة والعلوم الطبيعية. كان هناك مرسوم في المدرسة يُنسب بموجبه تأليف جميع الأعمال الرياضية إلى المعلم. كان التحالف فيثاغورس سريًا. كان الشعار أو العلامة التعريفية للاتحاد عبارة عن نجمة خماسية - نجمة خماسية. تم تكليف النجم الخماسي بالقدرة على حماية الإنسان من الأرواح الشريرة.

قام الفيثاغوريون بالعديد من الاكتشافات المهمة في الحساب والهندسة. ومن المعروف أيضًا أنه بالإضافة إلى التطور الروحي والأخلاقي لتلاميذ فيثاغورس، كان مهتمًا بتطورهم الجسدي. لم يشارك هو نفسه في الألعاب الأولمبية وفاز مرتين في معارك القبضة فحسب، بل قام أيضًا بتدريب مجموعة من الرياضيين الأولمبيين العظماء.فيثاغورس كرس العالم حوالي أربعين عامًا للمدرسة التي أنشأها، ووفقًا لإحدى الإصدارات، كان في سن الثمانين قُتل فيثاغورس في قتال بالشارع أثناء الانتفاضة الشعبية. وبعد وفاته أحاط الطلاب اسم معلمهم بالعديد من الأساطير.

تم العثور عليه في النصوص البابلية قبل فيثاغورس بـ 1200 عام. ويبدو أنه كان أول من وجد دليلاً على ذلك. وفي هذا الصدد تم الإدخال التالي: "... عندما اكتشف أن الوتر في المثلث القائم يتوافق مع الساقين، ضحى بثور مصنوع من عجينة القمح". تاريخ نظرية فيثاغورس تاريخ نظرية فيثاغورس مثير للاهتمام. ورغم أن هذه النظرية مرتبطة باسم فيثاغورس، إلا أنها كانت معروفة قبله بفترة طويلة.

النظرية في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين. معطى: Δ ABC, C = 90° إثبات: إثبات: D بالنظر إلى cos B، نحصل على: بإضافة (1) و (2)، نحصل على: بالنظر إلى cos B، نحصل على: دعونا نخفض الارتفاع SD من قمة الرأس الزاوية الصحيحة

الشريحة 2

a2+b2=c2 ج أ ب ص

الشريحة 3

ولم يكتشف فيثاغورس خاصية المثلث القائم الزاوية هذه، بل ربما كان أول من عممها وأثبتها، وبالتالي نقلها من مجال الممارسة إلى مجال العلم. لا نعرف كيف فعل ذلك. من المفترض أن برهان فيثاغورس لم يكن أساسيًا، بل مجرد تأكيد، واختبار لهذه الخاصية على عدد من أنواع معينة من المثلثات، بدءًا من المثلث القائم متساوي الساقين، والذي يتبعه بوضوح من الشكل 1. 1.

الشريحة 4

الشريحة 5

البراهين المبنية على استخدام مفهوم الحجم المتساوي للأشكال.

الشريحة 6

ومن الواضح أننا إذا طرحنا أربعة أضعاف مساحة مثلث قائم الزاوية ذو أرجله a، b من مساحة المربع، فستبقى مساحات متساوية، أي c2 = a2 + b2. ومع ذلك، فإن الهندوس القدماء، الذين ينتمي إليهم هذا المنطق، عادة لم يكتبوه، بل رافقوا الرسم بكلمة واحدة فقط: "انظر!". ومن الممكن أن يكون فيثاغورس قد قدم نفس الدليل.

الشريحة 7

الأدلة المضافة. تعتمد هذه البراهين على تحليل المربعات المبنية على الأرجل إلى أشكال يمكن من خلالها إضافة مربع مبني على الوتر. يعتمد برهان أينشتاين (الشكل 3) على تحليل المربع المبني على الوتر إلى 8 مثلثات.

الشريحة 8

في التين. 4 يبين برهان نظرية فيثاغورس باستخدام تقسيم النيريزية، مفسر بغداد في العصور الوسطى لعناصر إقليدس. في هذا القسم، ينقسم المربع المبني على الوتر إلى 3 مثلثات و2 رباعيين. هنا: ABC مثلث قائم الزاوية C؛ دي = فرنك بلجيكي. إثبات النظرية باستخدام هذا القسم. د ه

الشريحة 9

الاستدلال بطريقة الإتمام. جوهر هذه الطريقة هو إضافة أرقام متساوية إلى المربعين المبنيين على الأرجل وإلى المربع المبني على الوتر بحيث يتم الحصول على أرقام متساوية.

الشريحة 10

صحة نظرية فيثاغورس تأتي من تساوي حجم الشكلين السداسيين AEDFPB وACBNMQ. F

الشريحة 11

في التين. 13 ABC - مستطيل، C - الزاوية القائمة، CM AB، b1 - إسقاط الساق b على الوتر، a1 - إسقاط الساق a على الوتر، h - ارتفاع المثلث المرسوم على الوتر. وبما أن ABC يشبه ACM، فإن ذلك يعني أن b2 = c*b1; (1) من حقيقة أن ABC يشبه BCM، يترتب على ذلك أن a2 = c*a1. (2) بجمع المتساويات (1) و (2) حدًا تلو الآخر، نحصل على a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. ب

الشريحة 12

في الشكل 15، تشكل ثلاثة مثلثات قائمة شبه منحرف. لذلك، يمكن إيجاد مساحة هذا الشكل باستخدام صيغة مساحة شبه المنحرف المستطيل، أو كمجموع مساحات ثلاثة مثلثات. دليل غارفيلد.

الشريحة 13

سيرة فيثاغورس. ولد العالم العظيم فيثاغورس حوالي عام 570 قبل الميلاد. في جزيرة ساموس. وكان والد فيثاغورس منسارخوس، قاطع الأحجار الكريمة. اسم والدة فيثاغورس غير معروف. وفقًا للعديد من الشهادات القديمة، كان الصبي المولود وسيمًا بشكل رائع، وسرعان ما أظهر قدراته غير العادية. من بين معلمي فيثاغورس الشاب كان هيرمودامانتوس الأكبر وفيريسيدس سيروس. قضى الشاب فيثاغورس أيامًا كاملة عند أقدام هيرمو الأكبر، مستمعًا إلى لحن القيثارة وسداسي هوميروس. احتفظ فيثاغورس بشغفه بموسيقى وشعر هوميروس العظيم طوال حياته. ولأنه حكيم معروف، ومحاطًا بحشد من التلاميذ، بدأ فيثاغورس يومه بغناء إحدى أغاني هوميروس. كان فيريسيدس فيلسوفًا ويعتبر مؤسس المدرسة الفلسفية الإيطالية. ولكن مهما كان الأمر، فإن الخيال المضطرب للشباب فيثاغورس سرعان ما أصبح عن كثب في ساموس الصغيرة، وذهب إلى ميليتس، حيث التقى بعالم آخر - طاليس. نصحه طاليس بالذهاب إلى مصر لطلب المعرفة، وهو ما فعله فيثاغورس. في عام 548 قبل الميلاد. وصل فيثاغورس إلى ناقراطيس، مستعمرة سامية، حيث كان هناك من يجد المأوى والطعام.

الشريحة 14

بعد أن درس لغة ودين المصريين، يغادر إلى ممفيس. على الرغم من خطاب توصية الفرعون، لم يكن الكهنة الماكرون في عجلة من أمرهم للكشف عن أسرارهم لفيثاغورس، وقدموا له اختبارات صعبة. ولكن، مدفوعًا بالتعطش للمعرفة، تغلب فيثاغورس عليهم جميعًا، على الرغم من أنه وفقًا للحفريات، لم يتمكن الكهنة المصريون من تعليمه الكثير، لأن في ذلك الوقت، كانت الهندسة المصرية علمًا تطبيقيًا بحتًا (يلبي حاجة ذلك الوقت لحساب وقياس الأراضي). لذلك، بعد أن تعلم كل ما أعطاه الكهنة، هرب منهم وانتقل إلى موطنه في هيلاس. ومع ذلك، بعد أن أكمل جزءًا من الرحلة، قرر فيثاغورس القيام برحلة برية، تم خلالها القبض عليه من قبل قمبيز، ملك بابل، الذي كان عائداً إلى منزله. لا داعي لتهويل حياة فيثاغورس في بابل، لأن... كان الحاكم العظيم كورش متسامحًا مع جميع الأسرى. كانت الرياضيات البابلية بلا شك أكثر تطوراً (مثال على ذلك النظام الموضعي لحساب التفاضل والتكامل) من الرياضيات المصرية، وكان لدى فيثاغورس الكثير ليتعلمه. ولكن في عام 530 قبل الميلاد. ذهب كورش في حملة ضد القبائل في آسيا الوسطى. والاستفادة من الاضطراب في المدينة، هرب فيثاغورس إلى وطنه.

الشريحة 15

وعلى ساموس في ذلك الوقت حكم الطاغية بوليكراتس. بالطبع، لم يكن فيثاغورس راضيًا عن حياة عبد البلاط، فتقاعد إلى الكهوف القريبة من ساموس. بعد عدة أشهر من مطالبات بوليكراتس، انتقل فيثاغورس إلى كروتوني. في كروتوني، أنشأ فيثاغورس ما يشبه الأخوة الدينية والأخلاقية أو النظام الرهباني السري ("الفيثاغوريون")، الذي تعهد أعضاؤه بقيادة ما يسمى بأسلوب الحياة الفيثاغوري. وكان في الوقت نفسه اتحادًا دينيًا، وناديًا سياسيًا، وجمعية علمية. يجب القول أن بعض المبادئ التي بشر بها فيثاغورس تستحق التقليد حتى الآن. ...لقد مرت 20 سنة. انتشرت شهرة الأخوة في جميع أنحاء العالم. في أحد الأيام، يأتي سايلون، وهو رجل ثري ولكنه شرير، إلى فيثاغورس، راغبًا في الانضمام إلى الأخوة وهو في حالة سكر. بعد أن تلقى الرفض، يبدأ Cylon في محاربة فيثاغورس، مستفيدًا من إحراق منزله. أثناء الحريق، أنقذ الفيثاغوريون حياة معلمهم على حسابهم، وبعد ذلك أصبح فيثاغورس حزينًا وسرعان ما انتحر.

عرض كافة الشرائح

تاريخ النظرية. الصين القديمة لنبدأ مراجعتنا التاريخية بالصين القديمة. هنا يجذب الكتاب الرياضي Chu-pei اهتمامًا خاصًا. يتحدث هذا المقال عن مثلث فيثاغورس ذو الأضلاع 3 و 4 و 5: لنبدأ بالصين القديمة. هنا يجذب الكتاب الرياضي Chu-pei اهتمامًا خاصًا. يقول هذا العمل عن مثلث فيثاغورس أضلاعه 3 و4 و5: «إذا تحللت زاوية قائمة إلى أجزائها المكونة لها، فإن الخط الواصل بين طرفي أضلاعها سيكون 5، عندما تكون القاعدة 3 والارتفاع 4." وفي نفس الكتاب يقترح رسماً يتطابق مع إحدى رسومات الهندسة الهندوسية لبشارة. وفي نفس الكتاب يقترح رسماً يتطابق مع إحدى رسومات الهندسة الهندوسية لبشارة.

يُعرف المزيد عن نظرية فيثاغورس بين البابليين. وفي أحد النصوص يعود تاريخه إلى زمن حمورابي، أي إلى عام 2000 قبل الميلاد. على سبيل المثال، يتم إعطاء حساب تقريبي لوتر المثلث القائم الزاوية. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين كانوا قادرين على إجراء العمليات الحسابية باستخدام المثلثات القائمة، على الأقل في بعض الحالات. كانت الهندسة بين الهندوس، كما هو الحال بين المصريين والبابليين، مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالعبادة. ومن المحتمل جدًا أن تكون نظرية مربع الوتر معروفة بالفعل في الهند حوالي القرن الثامن عشر قبل الميلاد. ه. الهند القديمة

يعتقد كانتور (أعظم مؤرخ ألماني للرياضيات) أن المساواة: 3² + 4² = 5² كانت معروفة لدى المصريين حوالي عام 2300 قبل الميلاد. على سبيل المثال، في عهد الملك أمنمحات الأول (وفقًا للبردية رقم 6619 من متحف برلين). ووفقًا لكانتور، فإن الهاربيدونابتس، أو "ساحبي الحبال"، قاموا ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة ذات أضلاع 3 و4 و5. يمكن إعادة إنتاج البناء بسهولة شديدة. لنأخذ حبلًا طوله 12 مترًا ونربط به شريطًا ملونًا على مسافة 3 أمتار من أحد الطرفين و4 أمتار من الطرف الآخر. سيتم وضع الزاوية القائمة بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار.

واستنادًا، من ناحية، إلى المستوى الحالي للمعرفة بالرياضيات المصرية والبابلية، ومن ناحية أخرى، إلى دراسة نقدية للمصادر اليونانية، توصل فان دير وايردن (عالم الرياضيات الهولندي) إلى الاستنتاج التالي: "إن علماء الرياضيات اليونانيين الأوائل مثل طاليس وفيثاغورس وفيثاغورس، لم يكن اكتشاف الرياضيات، بل تنظيمها وتبريرها، فبأيديهم تحولت الوصفات الحسابية المبنية على أفكار غامضة إلى علم دقيق."

ولد العالم العظيم فيثاغورس حوالي عام 570 قبل الميلاد. في جزيرة ساموس. وكان والد فيثاغورس منسارخوس، قاطع الأحجار الكريمة. اسم والدة فيثاغورس غير معروف. وفقًا للعديد من الشهادات القديمة، كان الصبي المولود وسيمًا بشكل رائع، وسرعان ما أظهر قدراته غير العادية. احتفظ فيثاغورس بشغفه بموسيقى وشعر هوميروس العظيم طوال حياته. وسرعان ما أصبح الخيال المضطرب لفيثاغورس الشاب مكتظًا في ساموس الصغيرة، فذهب إلى ميليتس، حيث التقى بعالم آخر، طاليس. ثم يذهب في رحلة ويقبض عليه الملك البابلي كورش. في عام 530 قبل الميلاد. ذهب كورش في حملة ضد القبائل في آسيا الوسطى. والاستفادة من الاضطراب في المدينة، هرب فيثاغورس إلى وطنه.

وعلى ساموس في ذلك الوقت حكم الطاغية بوليكراتس. بعد عدة أشهر من مطالبات بوليكراتس، انتقل فيثاغورس إلى كروتوني. في كروتوني، أنشأ فيثاغورس ما يشبه الأخوة الدينية والأخلاقية أو النظام الرهباني السري ("الفيثاغوريون")، الذي تعهد أعضاؤه بقيادة ما يسمى بأسلوب الحياة الفيثاغوري... مرت 20 عامًا. انتشرت شهرة الأخوة في جميع أنحاء العالم. في أحد الأيام، يأتي سايلون، وهو رجل ثري ولكنه شرير، إلى فيثاغورس، راغبًا في الانضمام إلى الأخوة وهو في حالة سكر. بعد أن تلقى الرفض، يبدأ Cylon في محاربة فيثاغورس، مستفيدًا من إحراق منزله. أثناء الحريق، أنقذ الفيثاغوريون حياة معلمهم على حسابهم، وبعد ذلك أصبح فيثاغورس حزينًا وسرعان ما انتحر.

نظرية فيثاغورس. في المثلث القائم، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين. صيغ أخرى للنظرية. تنص نظرية إقليدس (الترجمة الحرفية): "في المثلث القائم، مربع الجانب الذي يمتد للزاوية القائمة يساوي مربعات الجوانب التي تحيط بالزاوية القائمة." في Geometria Culmonensis (حوالي 1400)، تنص ترجمة النظرية على ما يلي: “مساحة المربع، المقاسة على طول ضلعه الطويل، تساوي مساحة مربعين مقاسين على طول ضلعيه المتجاورين على اليمين زاوية."

أبسط برهان. يتم الحصول على أبسط دليل على النظرية في أبسط حالة مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين. في الواقع، يكفي مجرد النظر إلى فسيفساء المثلثات القائمة متساوي الساقين للاقتناع بصحة النظرية. على سبيل المثال، بالنسبة للمثلث ABC: المربع المبني على الوتر AC يحتوي على 4 مثلثات أصلية، والمربعات المبنية على الجوانب تحتوي على اثنين.

الإثبات بطريقة الطرح. دعونا نلقي نظرة على برهان آخر باستخدام طريقة الطرح. لنضع الرسم المألوف لنظرية فيثاغورس في إطار مستطيل، تتطابق اتجاهات أضلاعه مع اتجاهات أرجل المثلث. لنتابع بعض أجزاء الشكل كما هو موضح في الشكل، بينما ينقسم المستطيل إلى عدة مثلثات ومستطيلات ومربعات. دعونا أولاً نزيل عدة أجزاء من المستطيل بحيث يبقى فقط المربع المبني على الوتر. وهذه الأجزاء هي كما يلي: 1. المثلثات 1، 2، 3، 4؛ 2. المستطيل 5؛ 3. المستطيل 6 والمربع 8؛ 4. المستطيل 7 والمربع 9؛

ثم نقوم بإخراج الأجزاء من المستطيل بحيث تبقى المربعات المبنية على الجوانب فقط. هذه الأجزاء ستكون: 1. المستطيلان 6 و 7؛ 2. المستطيل 5؛ 3. المستطيل 1 (مظلل)؛ 4. المستطيل 2 (مظلل)؛ كل ما علينا فعله هو أن نوضح أن الأجزاء المحذوفة متساوية في الحجم. من السهل رؤية ذلك بسبب ترتيب الأشكال. يتضح من الشكل أن: 1. المستطيل 5 يساوي حجمه نفسه؛ 2. أربعة مثلثات 1،2،3،4 متساوية في الحجم مع مستطيلين 6 و 7؛ 3. المستطيل 6 والمربع 8، معًا، متساويان في الحجم للمستطيل 1 (المظلل)؛؛ 4. المستطيل 7 والمربع 9 متساويان في الحجم مع المستطيل 2 (المظلل)؛ تم إثبات النظرية

نقاط إثبات أينشتاين E وC وF تقع على نفس الخط؛ يأتي ذلك من حسابات بسيطة لقياس درجة زاوية ECF (وهي غير مطوية). يتم رسم القرص المضغوط بشكل عمودي على EF. يمتد الجانبان الأيسر والأيمن للمربع المبني على الوتر لأعلى حتى يتقاطعا مع EF؛ يتم تمديد الجانب EA حتى يتقاطع مع القرص المضغوط. وبناء على ذلك، فإن المثلثات المتساوية تكون مرقمة بالتساوي.

وفي الواقع فإن المثلثين ABD وBFC متساويان في ضلعين والزاوية بينهما: FB = AB، BC = BD، والزوايا بينهما متساوية كزوايا منفرجة ومتعامدة الجانبين. S ABD = 0.5 S BJLD، نظرًا لأن المثلث ABD والمستطيل BJLD لهما قاعدة مشتركة BD وارتفاع مشترك LD. وبالمثل S FBC = 0.5 S ABFH (القاعدة المشتركة BF، الارتفاع المشترك AB). ومن ثم، مع الأخذ في الاعتبار أن S ABD= S FBC، لدينا S BJLD= S ABFH. وبالمثل، إذا قمت برسم القطعة AE باستخدام تساوي المثلثين ВСК وACE، فسوف تثبت أن S JCEL = S ACKG. لذا، S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED، وهو ما يجب إثباته. وقد قدم هذا الدليل إقليدس في كتابه العناصر. ووفقا لبروكلس (بيزنطة)، فقد اخترعها إقليدس نفسه. برهان إقليدس مذكور في الجملة 47 من الكتاب الأول للعناصر. على الوتر وأضلاع المثلث القائم ABC، تم إنشاء المربعات المقابلة وثبت أن المستطيل BJLD يساوي المربع ABFH، والمستطيل JCEL يساوي المربع AGKC. عندها سيكون مجموع مساحات المربعات على الساقين مساوياً لمساحة المربع الموجود على الوتر.

اللغز الثاني هو العدد غير المعروف على وجه التحديد من البراهين على نظرية فيثاغورس الساموسية الشهيرة. ولهذا السبب قررت إجراء مسح اجتماعي أظهر أن معظم الناس من الجيل الأكبر يوافقون على وجود 250 برهاناً، رغم أنني أعرف من مصادر إضافية أن هناك أكثر من 350 برهاناً لهذه النظرية، وهي ولماذا دخلت موسوعة غينيس للأرقام القياسية! ولكن، بالطبع، يتم استخدام عدد قليل نسبيًا من الأفكار المختلفة بشكل أساسي في هذه البراهين.

السر الثالث هو أن نظرية فيثاغورس هي رمز للرياضيات اليوم. السر الرابع - نظرية فيثاغورس - يزودنا بثروة من المواد للتعميم - أهم نوع من النشاط العقلي، أساس التفكير النظري، الذي يتقنه كثير من العلماء. هنا يمكننا أن نضيف أنه من نظرية فيثاغورس يمكن الانتقال إلى نظريات أخرى.

السر الخامس هو أن بعض الباحثين ينسبون إلى فيثاغورس الدليل الذي قدمه إقليدس في الكتاب الأول من كتابه العناصر. من ناحية أخرى، جادل بروكلس (عالم رياضيات القرن الخامس) بأن البرهان في العناصر يعود إلى إقليدس نفسه. لكن لا تزال طريقة إثبات فيثاغورس غير معروفة اليوم.

السر السادس هو أسطورة فيثاغورس نفسه، الرجل الذي أثبت هذه النظرية لأول مرة. هناك أسطورة مفادها أنه عندما أثبت فيثاغورس الساموسي نظريته، شكر الآلهة بالتضحية بـ 100 ثور. كانت هناك أيضًا أساطير حول قدرات العالم على التنويم المغناطيسي: كما لو أنه يستطيع تغيير اتجاه طيران الطيور بنظرة واحدة فقط. قالوا أيضًا إن هذا الرجل المذهل شوهد في نفس الوقت في مدن مختلفة، حيث كان هناك عدة أيام من السفر. وأنه من المفترض أنه كان يمتلك «عجلة الحظ»، التي بتدويرها لا يتنبأ بالمستقبل فحسب، بل يتدخل أيضًا، إذا لزم الأمر، في مجرى الأحداث.

وصف العرض التقديمي من خلال الشرائح الفردية:

1 شريحة

وصف الشريحة:

مدرس مدرسة ليسيوم في KazGASA Auelbekova G.U. "نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها المختلفة." 2016

2 شريحة

وصف الشريحة:

الهدف: الهدف الرئيسي هو النظر في الطرق المختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس. أظهر مدى أهمية نظرية فيثاغورس في تطور العلوم والتكنولوجيا والرياضيات بشكل عام.

3 شريحة

وصف الشريحة:

من سيرة فيثاغورس إن أكثر ما يعرفه السكان الآن عن هذا اليوناني القديم المحترم يتناسب مع عبارة واحدة: "سراويل فيثاغورس متساوية من جميع الجوانب". من الواضح أن مؤلفي هذه المضايقة مفصولون منذ قرون عن فيثاغورس، وإلا فلن يجرؤوا على المضايقة. لأن فيثاغورس ليس على الإطلاق مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين. هذا فيلسوف مشهور. عاش فيثاغورس في القرن السادس قبل الميلاد، وكان جميل المظهر، وله لحية طويلة، وعلى رأسه إكليل ذهبي. فيثاغورس ليس اسمًا، ولكنه لقب حصل عليه الفيلسوف لأنه كان يتحدث دائمًا بشكل صحيح ومقنع، مثل وحي يوناني. (فيثاغورس - "مقنع بالكلام".) من خلال خطبه اكتسب 2000 طالب، الذين شكلوا مع عائلاتهم دولة مدرسية، حيث كانت قوانين وقواعد فيثاغورس سارية المفعول. وكان أول من أعطى اسمًا لمجال عمله. إن كلمة "فيلسوف" مثل كلمة "الكون" جاءت إلينا من فيثاغورس. هناك الكثير من الكونية في فلسفته. وقال إنه لفهم الله والإنسان والطبيعة، يجب على المرء أن يدرس الجبر مع الهندسة والموسيقى وعلم الفلك. بالمناسبة، إن نظام المعرفة الفيثاغوري هو الذي يُسمى باللغة اليونانية "الرياضيات". أما المثلث سيئ السمعة مع الوتر والأرجل، فهو، حسب اليوناني الكبير، أكثر من مجرد شكل هندسي. هذا هو "المفتاح" لجميع الظواهر المشفرة في حياتنا. قال فيثاغورس إن كل شيء في الطبيعة ينقسم إلى ثلاثة أجزاء. لذلك، قبل حل أي مشكلة، يجب تمثيلها على شكل مخطط مثلثي. "انظر إلى المثلث - وتم حل المشكلة بالثلثين."

4 شريحة

وصف الشريحة:

الآن هناك ثلاث صيغ لنظرية فيثاغورس: 1. في المثلث القائم، يكون مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الأرجل. 2. مساحة المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحات المربعين المبنيين على الساقين. 3. المربع المبني على وتر المثلث القائم يعادل المربعات المبنية على الأرجل. نظرية فيثاغورس العكسي: لكل ثلاثية من الأعداد الموجبة a وb وc بحيث a2 + b2 = c2، يوجد مثلث قائم الزاوية له ساقان a وb ووتر c. أنت

5 شريحة

وصف الشريحة:

من تاريخ النظرية من تاريخ النظرية بالمعنى الدقيق للكلمة، رغم أن النظرية تسمى "نظرية فيثاغورس"، إلا أن فيثاغورس نفسه لم يكتشفها. تمت دراسة المثلث القائم الزاوية وخصائصه الخاصة قبل ذلك بوقت طويل. هناك وجهتا نظر قطبيتين حول هذه القضية. وفقًا لإحدى الإصدارات، كان فيثاغورس أول من وجد دليلاً كاملاً على النظرية. ووفقا لآخر، فإن الدليل لا ينتمي إلى تأليف فيثاغورس. اليوم لم يعد بإمكانك التحقق من هو على حق ومن هو على خطأ. والمعروف أن إثبات فيثاغورس، إن كان موجودًا، لم يبق. ومع ذلك، هناك اقتراحات بأن الدليل الشهير من كتاب العناصر لإقليدس قد ينتمي إلى فيثاغورس، وقد سجله إقليدس فقط. ومن المعروف اليوم أيضًا أن المسائل المتعلقة بالمثلث قائم الزاوية موجودة في المصادر المصرية من زمن الفرعون أمنمحات الأول، وعلى الألواح الطينية البابلية من عهد الملك حمورابي، وفي الرسالة الهندية القديمة “سولفا سوترا” والعمل الصيني القديم “. تشو بي سوان جين”. وكما نرى فإن نظرية فيثاغورس قد شغلت عقول علماء الرياضيات منذ القدم. وهذا ما تؤكده حوالي 500 قطعة مختلفة من الأدلة الموجودة اليوم. وفي هذا لا يمكن لأي نظرية أخرى أن تنافسها. من بين مؤلفي البراهين المشهورين يمكننا أن نتذكر ليوناردو دافنشي والرئيس الأمريكي العشرين جيمس جارفيلد. كل هذا يتحدث عن الأهمية البالغة لهذه النظرية بالنسبة للرياضيات: فمعظم نظريات الهندسة مشتقة منها أو مرتبطة بها بطريقة ما. .

6 شريحة

وصف الشريحة:

صيغ بيانات النظرية المترجمة من اليونانية واللاتينية والألمانية تقول هذه النظرية في إقليدس (ترجمة حرفية): “في المثلث القائم يكون مربع الضلع الذي يمتد للزاوية القائمة يساوي مربعات الأضلاع التي تحيط بالزاوية القائمة”. ". الترجمة اللاتينية للنص العربي أنايريتسي (حوالي 900 قبل الميلاد)، التي قام بها غيرهارد كليمونز (أوائل القرن الثاني عشر)، وترجمتها إلى الروسية تنص على ما يلي: "في كل مثلث قائم، المربع المتكون على الجانب الممتد فوق الزاوية القائمة يساوي مجموع مربعين يتكونان من ضلعين يحيطان بزاوية قائمة." في Geometria Culmonensis (حوالي 1400)، تنص ترجمة النظرية على ما يلي: “مساحة المربع، المقاسة على طول ضلعه الطويل، تساوي مساحة مربعين مقاسين على طول ضلعيه المتجاورين على اليمين زاوية." في الترجمة الروسية الأولى للعناصر الإقليدية، التي أجراها F. I. Petrushevsky، تم ذكر نظرية فيثاغورس على النحو التالي: "في المثلثات القائمة، مربع الجانب المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعات الجوانب التي تحتوي على الزاوية اليمنى زاوية."

7 شريحة

وصف الشريحة:

البناء المستخدم للإثبات هو كما يلي: بالنسبة لمثلث قائم الزاوية ومربعات فوق الأرجل ومربع فوق الوتر، يتم إنشاء ارتفاع وشعاع يمتد، ويقسم المربع فوق الوتر إلى مستطيلين و. ويهدف البرهان إلى إثبات تساوي مساحات المستطيل مع المربع فوق الرجل، ومساواة مساحات المستطيل الثاني المكون للمربع مع الوتر والمستطيل فوق الرجل الأخرى بطريقة مماثلة. يتم إثبات تساوي مساحات المستطيل من خلال تطابق المثلثات، ومساحة كل منها تساوي نصف مساحة المربعين، وبالتالي ترتبط بالخاصية التالية: المساحة المثلث يساوي نصف مساحة المستطيل إذا كان للأشكال ضلع مشترك، وارتفاع المثلث إلى الضلع المشترك هو الضلع الآخر للمستطيل. تطابق المثلثات يأتي من تساوي الضلعين (ضلعي المربعين) والزاوية بينهما (المكونة من زاوية قائمة وزاوية عند). وهكذا يثبت البرهان أن مساحة المربع فوق الوتر مكونة من المستطيلات، ويساوي مجموع مساحات المربعات فوق الأرجل.إثبات بسيط

8 شريحة

وصف الشريحة:

AJ هو الارتفاع المخفض إلى الوتر. ولنثبت أن استمراره يقسم المربع المبني على الوتر إلى مستطيلين، مساحاتهما تساوي مساحات المربعات المقابلة المبنية على الجوانب. دعونا نثبت أن المستطيل BJLD يساوي في الحجم المربع ABFH. المثلث ABD=BFC (على الجانبين والزاوية بينهما BF=AB; BC=BD; الزاوية FBC=الزاوية ABD).

الشريحة 9

وصف الشريحة:

مثلث S ABD = 1/2 S مستطيل BJLD، لأن المثلث ABD والمستطيل BJLD لهما قاعدة مشتركة BD وارتفاع مشترك LD. وبالمثل، المثلث S FBC = 1/2 S المستطيل ABFH (القاعدة المشتركة BF، الارتفاع المشترك AB). وبالتالي، مع الأخذ في الاعتبار أن S للمثلث ABD =S للمثلث FBC، لدينا: S BJLD=S ABFH. وبالمثل، باستخدام مساواة المثلثين BCK وACE، ثبت أن S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. المثلث S=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD تم إثبات النظرية. أ ل ب د

10 شريحة

وصف الشريحة:

برهان عالم الرياضيات الهندي بهاسكاري a in c in a - in in in c طريقة باسكاري هي كما يلي: عبر عن مساحة المربع المبني على الوتر (c²) كمجموع مساحات المثلثات (4S = 4· 0.5 أ ب) ومساحة المربع (أ – ج)². أي أنه اتضح أن ج ² = 4 · 0.5 أ ب + (أ – ج) ² ج ² = 2 أ ب + أ ² - 2 أ ب + ب ² ج ² = أ ² + ب ² تم إثبات النظرية.

11 شريحة

وصف الشريحة:

برهان فالدهايم أ ب ج أ ب ج يستخدم فالدهايم حقيقة أن مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب ساقيه، ومساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب نصف مجموع قاعدتيه المتوازيتين وارتفاعه . الآن لإثبات النظرية يكفي فقط التعبير عن مساحة شبه المنحرف بطريقتين S شبه منحرف = 0.5(a + b) (a + b) = 0.5 (a + b) ² S شبه منحرف = 0.5 a b + 0, 5 أ ب + 0.5 ج ² بمساواة الأطراف اليمنى، نحصل على 0.5 (أ + ب) ² = 0.5 أ ب + 0.5 أ ب + 0.5 ج ² (أ + ب) ² = أ ب + а в + с ² а ² + 2 а в + в ² = 2 а в + с ² с ² = а ² + в ² تم إثبات النظرية

12 شريحة

وصف الشريحة:

برهان هوكينز A B C A1 B1 a c D c a c 1. دعونا ندير الشكل المستطيل ∆ABC (بالزاوية القائمة C) حول المركز عند النقطة C بمقدار 90 درجة بحيث يأخذ الموضع A1 B1 C، كما هو موضح في الشكل. 2. لنواصل الوتر B1 A1 بعد النقطة A1 حتى يتقاطع مع الخط AB عند النقطة D. سيكون ارتفاع القطعة B1 D ∆B1AB (حيث أن ∟B1DA = 90°). 3. النظر في الشكل الرباعي A1AB1B. من ناحية، SА1АВ1В = SАА1 + SСВВ1 =0.5в · в + 0.5а · а=0.5(а² + в²) من ناحية أخرى، SA1АВ1В = SA1ВВ1 + SАА1В1 = 0.5 ثانية · ВД + 0.5 ثانية · AD = 0.5 · s ·(AD + VD) = 0.5 · s² ومعادلة التعبيرات الناتجة، نحصل على 0.5 (a² + b²) = 0.5 c² a² + b² = c² تم إثبات النظرية.

الشريحة 13

وصف الشريحة:

إثبات هندسي. (طريقة هوفمان) أنشئ مثلث ABC بزاوية قائمة C. أنشئ BF=CB، BFCB أنشئ BE=AB، BEAB أنشئ AD=AC، ADAC تنتمي النقاط F وC وD إلى نفس الخط.

الشريحة 14

وصف الشريحة:

كما نرى، فإن الشكلين الرباعيين ADFB وACBE متساويان في الحجم، لأن ABF = البنك المركزي الأوروبي. المثلثان ADF و ACE متساويان في الحجم. فلنطرح المثلث ABC الذي يشتركان فيه من الشكلين الرباعيين المتساويين، فنحصل على: 1/2a2+1/2b 2=1/2c 2 وعليه: a2+ b 2 =c 2 تم إثبات النظرية.

15 شريحة

وصف الشريحة:

برهان جبري (طريقة موهلمان) مساحة مستطيل معين على جانب واحد هي 0.5ab، على الجانب الآخر 0.5pr، حيث p هو نصف محيط المثلث، r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة (r=0.5) (أ+ب-ج)). أ ج

16 شريحة

وصف الشريحة:

لدينا: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) ويترتب على ذلك أن c2= a2+b2 تم إثبات النظرية. أ ج

الشريحة 17

وصف الشريحة:

معنى نظرية فيثاغورس نظرية فيثاغورس هي بحق إحدى النظريات الرئيسية في الرياضيات. تكمن أهمية هذه النظرية في أنه بمساعدتها يمكن استخلاص معظم النظريات في الهندسة. وقيمتها في العالم الحديث عظيمة أيضًا، حيث تُستخدم نظرية فيثاغورس في العديد من فروع النشاط البشري. على سبيل المثال، يتم استخدامه في وضع مانعات الصواعق على أسطح المباني، وفي إنتاج نوافذ ذات أنماط معمارية معينة، وحتى في حساب ارتفاع هوائيات مشغلي الهاتف المحمول. وهذه ليست القائمة الكاملة للتطبيقات العملية لهذه النظرية. ولهذا السبب من المهم جدًا معرفة نظرية فيثاغورس وفهم معناها.

18 شريحة

وصف الشريحة:

نظرية فيثاغورس في الأدب. فيثاغورس ليس فقط عالم رياضيات عظيم، بل هو أيضًا مفكر عظيم في عصره، دعونا نتعرف على بعض مقولاته الفلسفية...

الشريحة 19

وصف الشريحة:

1. الفكر فوق كل شيء بين الناس على وجه الأرض. 2. لا تجلس على مقياس الحبوب (أي لا تعيش مكتوفي الأيدي). 3. عند الرحيل لا تنظر إلى الوراء (أي قبل الموت لا تتشبث بالحياة). 4. لا تمشي في الطريق المطروق (أي لا تتبع آراء الجمهور، بل آراء القلة الذين يفهمون). 5. لا تحتفظ بطيور السنونو في منزلك (أي لا تستقبل ضيوفًا ثرثارين أو غير مقيدين بلغتهم). 6. كن مع من يحمل العبء، ولا تكن مع من يتخلص من العبء (أي شجع الناس على عدم الكسل، بل على الفضيلة، والعمل). 7. لا ترتدي صورًا في الحلبة (أي لا تتباهى أمام الناس بالطريقة التي تحكم بها وتفكر في الآلهة).

تشيرنوف مكسيم

مشروع في الهندسة مصمم على شكل عرض تقديمي حول موضوع "نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها المختلفة"

تحميل:

معاينة:

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها المختلفة أكملها: تشيرنوف مكسيم 8أ

هدف المشروع: عرض نظرية فيثاغورس وعرض الطرق المختلفة لإثباتها.

التاريخ يتحدث الكتاب الصيني القديم Zhou Bi Xuan Jing عن مثلث فيثاغورس أضلاعه 3 و 4 و 5. ويقدم الكتاب نفسه رسمًا يتطابق مع إحدى رسومات الهندسة الهندوسية لبشارة. ويرى موريتز كانتور (المؤرخ الألماني الرائد في الرياضيات) أن المساواة 3² + 4² = 5² كانت معروفة بالفعل لدى المصريين حوالي عام 2300 قبل الميلاد، في عهد الملك أمنمحات الأول (حسب البردية 6619 من متحف برلين). وفقًا لكانتور، قامت الحرابات، أو "ساحبات الحبال"، ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة بأضلاع 3 و4 و5. ويمكن إعادة إنتاج طريقة بنائها بسهولة شديدة. لنأخذ حبلًا طوله 12 مترًا ونربط به شريطًا ملونًا على مسافة 3 أمتار من أحد الطرفين و4 أمتار من الطرف الآخر. ستكون الزاوية القائمة بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار. يمكن الاعتراض على Harpedonaptians بأن أسلوبهم في البناء يصبح غير ضروري إذا استخدمنا، على سبيل المثال، مربعًا خشبيًا يستخدمه جميع النجارين. وبالفعل فإن الرسومات المصرية معروفة حيث توجد مثل هذه الأداة، على سبيل المثال، رسومات تصور ورشة نجارة. يُعرف المزيد عن نظرية فيثاغورس بين البابليين. أحد النصوص التي يعود تاريخها إلى زمن حمورابي، أي عام 2000 قبل الميلاد، يعطي حسابًا تقريبيًا لوتر المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين كانوا قادرين على إجراء العمليات الحسابية باستخدام المثلثات القائمة، على الأقل في بعض الحالات. واستنادا، من ناحية، على المستوى الحالي للمعرفة بالرياضيات المصرية والبابلية، ومن ناحية أخرى، وعلى دراسة نقدية للمصادر اليونانية، خلص فان دير فاردن (عالم الرياضيات الهولندي) إلى أن هناك احتمالا كبيرا بأن النظرية على مربع الوتر كان معروفًا في بابل بالفعل في حوالي القرن الثامن عشر قبل الميلاد. ه. وفقًا لتعليق بروكلس على إقليدس، استخدم فيثاغورس (الذي تعتبر سنواته بشكل عام 570-490 قبل الميلاد) طرقًا جبرية للعثور على ثلاثة توائم فيثاغورس. ومع ذلك، كتب بروكلس ما بين 410 و485. ن. ه. ويرى توماس ليتل هيث أنه لا توجد إشارة صريحة، تعود إلى القرون الخمسة التالية لوفاة فيثاغورس، إلى أن فيثاغورس هو صاحب النظرية. ومع ذلك، عندما يكتب مؤلفون مثل بلوتارخ وشيشرون عن نظرية فيثاغورس، فإنهم يكتبون كما لو أن تأليف فيثاغورس معروف على نطاق واسع ولا شك فيه. فترة الرياضيات الفيثاغورسية." وفقًا للأسطورة، احتفل فيثاغورس باكتشاف نظريته بإقامة وليمة ضخمة، حيث ذبح مائة ثور للاحتفال. حوالي 400 قبل الميلاد. قبل الميلاد، وفقا لبروكلس، أعطى أفلاطون طريقة للعثور على ثلاثة توائم فيثاغورس، والجمع بين الجبر والهندسة. حوالي 300 قبل الميلاد. ه. ظهر أقدم دليل بديهي لنظرية فيثاغورس في كتاب العناصر لإقليدس.

الصياغات: الصياغة الهندسية: في البداية تمت صياغة النظرية على النحو التالي: في المثلث القائم الزاوية، مساحة المربع المبني على الوتر تساوي مجموع مساحات المربعات المبنية على الساقين. الصيغة الجبرية: في المثلث القائم، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي أطوال الساقين. أي للإشارة إلى طول الوتر للمثلث بـ، وأطوال الأرجل بـ a وb: a2+b2=c2 كلتا صيغتي النظرية متكافئتان، لكن الصيغة الثانية أكثر أولية، ولا تتطلب مفهوم المنطقة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المساحة، وبقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.

البراهين حاليًا، تم تسجيل 367 برهانًا لهذه النظرية في الأدبيات العلمية. من المحتمل أن نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على هذا العدد الهائل من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا من خلال الأهمية الأساسية للنظرية في الهندسة. وبطبيعة الحال، من الناحية النظرية يمكن تقسيم كل منهم إلى عدد صغير من الطبقات. وأشهرها: البراهين بطريقة المساحة، والبراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال، استخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات مماثلة الدليل التالي على الصيغة الجبرية هو أبسط البراهين التي تم إنشاؤها مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص، فإنه لا يستخدم مفهوم مساحة الشكل. ليكن ABC مثلثا قائما زاويته قائمة C. لنرسم الارتفاع من C ونشير إلى قاعدته بـ H. المثلث ACH يشبه المثلث ABC في زاويتين. وبالمثل، فإن المثلث CBH يشبه ABC. من خلال تقديم الترميز نحصل على ما يعادل، وبالإضافة، نحصل على أو، وهو ما نحتاج إلى إثباته

البراهين باستخدام طريقة المساحة البراهين التالية، على الرغم من بساطتها الظاهرة، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كلهم يستخدمون خواص المساحة، وإثباتها أكثر تعقيدا من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.البرهان من خلال التكامل المتساوي دعونا نرتب أربعة مثلثات متساوية القائمة كما هو مبين في الشكل 1. الشكل الرباعي الذي له جوانب ج هو مربع، لأن مجموع زاويتين حادتين قياسهما 90 درجة، والزاوية المستقيمة قياسها 180 درجة. مساحة الشكل بأكمله تساوي من ناحية مساحة المربع الذي ضلعه (أ + ب) ومن ناحية أخرى مجموع مساحات المثلثات الأربعة والضلع (أ + ب) مساحة المربع الداخلي . Q.E.D. .

برهان إقليدس فكرة برهان إقليدس هي كما يلي: دعونا نحاول إثبات أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع مساحات نصف المربعين المبنيين على الساقين، ومن ثم مساحة المربعين الكبيرين والمربعين الصغيرين متساوية. دعونا نلقي نظرة على الرسم على اليسار. قمنا ببناء مربعات على جوانب المثلث القائم ورسمنا شعاعًا من قمة الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB، وهو يقطع مربع ABIK، المبني على الوتر، إلى مستطيلين - BHJI وHAKJ، على التوالى. وتبين أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة لها. دعونا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK. للقيام بذلك، سوف نستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث الذي له نفس ارتفاع وقاعدة المستطيل المعطى تساوي نصف مساحة المستطيل المعطى. وهذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث بأنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. ويترتب على هذه الملاحظة أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير موضح في الشكل)، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK. لنثبت الآن أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات تساوي المثلثات ACK و BDA (نظرًا لأن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). وهذه المساواة واضحة: المثلثان متساويان في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB=AK، AD=AC - من السهل إثبات تساوي الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، فمن الواضح أن الجوانب المقابلة للمثلثين في سيتزامن السؤال (نظرًا لأن الزاوية عند رأس المربع 90 درجة). إن سبب تساوي مساحة المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابه تمامًا. وبذلك أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر يتكون من مساحات المربعات المبنية على الساقين. يتم توضيح الفكرة وراء هذا الدليل بشكل أكبر من خلال الرسوم المتحركة أعلاه. ويسمى هذا الدليل أيضًا "سراويل فيثاغورس".

برهان ليوناردو دافنشي العناصر الرئيسية للبرهان هي التماثل والحركة. دعونا نفكر في الرسم، كما يتبين من التماثل، فإن القطعة تقطع المربع إلى جزأين متطابقين (نظرًا لأن المثلثين متساويان في البناء). وباستخدام الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة حول النقطة، نرى تساوي الأشكال المظللة و. الآن أصبح من الواضح أن مساحة الشكل الذي قمنا بتظليله تساوي مجموع نصف مساحات المربعات الصغيرة (المبنية على الأرجل) ومساحة المثلث الأصلي. ومن ناحية أخرى، فهو يساوي نصف مساحة المربع الكبير (المبني على الوتر) بالإضافة إلى مساحة المثلث الأصلي. وبذلك فإن نصف مجموع مساحات المربعات الصغيرة يساوي نصف مساحة المربع الكبير، وبالتالي مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل يساوي مساحة المربع المبني على الأرجل الوتر.

معنى نظرية فيثاغورس تعتبر نظرية فيثاغورس إحدى أهم النظريات في الهندسة، ويمكن القول أنها أهمها. وتكمن أهميتها في أنه يمكن استنتاج معظم نظريات الهندسة منها أو بمساعدتها.

شكرًا لكم على اهتمامكم!